Matematični problemi najdejo svojo uporabo v številnih znanostih. Sem spadajo ne le fizika, kemija, tehnika in ekonomija, ampak tudi medicina, ekologija in druge discipline. Pomemben koncept, ki ga morate obvladati, da bi našli rešitve za pomembne dileme, je odvod funkcije. Njegovega fizičnega pomena sploh ni tako težko razložiti, kot se morda zdi nepoznavalcu bistva problematike. Samo najti morate primerni primeri to v resnično življenje in običajnih vsakodnevnih situacijah. Pravzaprav se vsak avtomobilist vsak dan spopade s podobno nalogo, ko pogleda na merilnik hitrosti in določi hitrost svojega avtomobila v določenem trenutku določenega časa. Navsezadnje je ravno ta parameter tisti, ki vsebuje bistvo fizičnega pomena derivata.

Kako najti hitrost

Vsak petošolec lahko zlahka določi hitrost osebe na cesti, če pozna prevoženo razdaljo in čas potovanja. Če želite to narediti, prvo od danih vrednosti delite z drugo. Toda vsak mladi matematik ne ve, da trenutno ugotavljajo razmerje prirastkov funkcije in argumenta. Če si namreč gibanje predstavljamo v obliki grafa, ki nariše pot na ordinatni osi in čas na abscisi, bo točno tako.

Vendar hitrost pešca ali katerega koli drugega predmeta, ki ga določimo velika parcela pot se glede na enakomerno gibanje lahko spremeni. V fiziki je znanih veliko oblik gibanja. Lahko se pojavi ne le pri stalnem pospeševanju, ampak tudi poljubno upočasnjuje in povečuje. Opozoriti je treba, da v v tem primeručrta, ki opisuje gibanje, ne bo več ravna črta. Grafično lahko prevzame najbolj zapletene konfiguracije. Toda za katero koli točko na grafu lahko vedno narišemo tangento, ki jo predstavlja linearna funkcija.

Za razjasnitev parametra spremembe premika v odvisnosti od časa je potrebno skrajšati izmerjene segmente. Ko postanejo neskončno majhne, ​​bo izračunana hitrost trenutna. Ta izkušnja nam pomaga definirati izpeljanko. Iz takšnega sklepanja logično izhaja tudi njegov fizični pomen.

Z vidika geometrije

Znano je, da večja kot je hitrost telesa, bolj strm je graf odmika v odvisnosti od časa in s tem večji kot naklona tangente na graf v določeni točki. Indikator takih sprememb je lahko tangens kota med abscisno osjo in tangento. Ravno ta določa vrednost odvoda in se izračuna iz razmerja dolžin nasprotne in sosednje stranice v pravokotni trikotnik, ki ga tvori navpičnica, spuščena iz določene točke na abscisno os.

To je geometrijski pomen prva izpeljanka. Fizična se kaže v tem, da vrednost nasprotne strani v našem primeru predstavlja prevoženo razdaljo, sosednje strani pa čas. V tem primeru je njuno razmerje hitrost. In spet pridemo do zaključka, da je trenutna hitrost, določena, ko oba intervala težita k neskončno majhni, bistvo, ki kaže na njen fizični pomen. Druga izpeljanka v v tem primeru prišlo bo do pospeška telesa, kar posledično dokazuje stopnjo spremembe hitrosti.

Primeri iskanja odvodov v fiziki

Izpeljanka je pokazatelj hitrosti spreminjanja katere koli funkcije, tudi če ne govorimo o gibanju v dobesednem pomenu besede. Da bi to jasno prikazali, je tukaj nekaj konkretni primeri. Recimo, da se jakost toka, odvisno od časa, spreminja po naslednjem zakonu: jaz= 0,4t 2 . Potrebno je najti vrednost hitrosti, s katero se ta parameter spremeni na koncu 8. sekunde procesa. Upoštevajte, da sama želena vrednost, kot je razvidno iz enačbe, nenehno narašča.

Za rešitev je potrebno najti prvi derivat, katerega fizični pomen je bil obravnavan prej. Tukaj dI/ dt = 0,8 t. Naprej ga bomo našli za t=8 , ugotovimo, da je hitrost, s katero prihaja do trenutnih sprememb, enaka 6,4 A/ c. Tukaj velja, da se trenutna moč meri v amperih, čas pa v sekundah.

Vse je spremenljivo

Vidno svet okoli nas, sestavljen iz snovi, se nenehno spreminja, saj je v gibanju različnih procesov, ki se v njem dogajajo. Za njihov opis lahko uporabite največ različne parametre. Če jih združuje odvisnost, potem so matematično zapisane v obliki funkcije, ki jasno prikazuje njihove spremembe. In kjer je gibanje (v kakršni koli obliki se že izraža), obstaja tudi izpeljanka, o fizičnem pomenu katere razmišljamo v tem trenutku.

O tem govori naslednji primer. Recimo, da se telesna temperatura spreminja po zakonu T=0,2 t 2 . Hitrost njegovega segrevanja bi morali ugotoviti na koncu 10. sekunde. Težavo rešujemo na podoben način kot v prejšnjem primeru. To pomeni, da najdemo izpeljanko in nadomestimo vrednost t= 10 , dobimo T= 0,4 t= 4. To pomeni, da je končni odgovor 4 stopinje na sekundo, to pomeni, da se proces segrevanja in sprememba temperature, merjeno v stopinjah, odvija ravno pri tej hitrosti.

Reševanje praktičnih problemov

Seveda je lahko v resničnem življenju vse veliko bolj zapleteno kot pri teoretičnih problemih. V praksi se vrednost količin običajno določi med poskusom. V tem primeru se uporabljajo instrumenti, ki zagotavljajo odčitke med meritvami z določeno napako. Zato se morate pri izračunu ukvarjati s približnimi vrednostmi parametrov in se zateči k zaokroževanju neprijetnih številk ter drugih poenostavitev. Ko smo to upoštevali, se ponovno lotimo problemov o fizičnem pomenu derivata, pri čemer upoštevamo, da so le nekateri matematični model zapleteni procesi, ki se dogajajo v naravi.

Vulkanski izbruh

Predstavljajmo si, da izbruhne vulkan. Kako nevaren je lahko? Za razjasnitev tega vprašanja je treba upoštevati številne dejavnike. Poskušali bomo upoštevati enega od njih.

Iz ust "ognjene pošasti" se kamni vržejo navpično navzgor, z začetno hitrostjo od trenutka, ko pridejo ven. Treba je izračunati, kakšno največjo višino lahko dosežejo.

Da bi našli želeno vrednost, bomo sestavili enačbo za odvisnost višine H, merjene v metrih, od drugih vrednosti. Ti vključujejo začetno hitrost in čas. Vrednost pospeška smatramo za znano in približno enako 10 m/s 2 .

Delni derivat

Oglejmo si zdaj fizični pomen odvoda funkcije z nekoliko drugačnega zornega kota, saj sama enačba lahko vsebuje ne eno, ampak več spremenljivk. Na primer, v prejšnjem problemu je bila odvisnost višine dviga kamnov, vrženih iz kraterja vulkana, določena ne le s spremembo časovnih značilnosti, temveč tudi z vrednostjo začetne hitrosti. Slednja je veljala za konstantno, fiksno vrednost. Toda pri drugih težavah s popolnoma drugačnimi pogoji bi lahko bilo vse drugače. Če obstaja več količin, od katerih je odvisna kompleksna funkcija, se izračuni izvedejo po spodnjih formulah.

Fizični pomen pogoste izpeljanke je treba določiti kot v običajnem primeru. To je hitrost spremembe funkcije na določeni točki, ko se parameter spremenljivke poveča. Izračunana je tako, da so vse ostale komponente vzete kot konstante, le ena se šteje kot spremenljivka. Potem se vse zgodi po običajnih pravilih.

Če razumemo fizični pomen derivata, ni težko podati primerov reševanja zapletenih in kompleksnih problemov, katerih odgovor je mogoče najti s takšnim znanjem. Če imamo funkcijo, ki opisuje porabo goriva glede na hitrost avtomobila, lahko izračunamo, pri katerih parametrih slednje bo poraba bencina najmanjša.

V medicini je mogoče predvideti, kako se bo človek odzval človeško telo na zdravilo, ki ga je predpisal zdravnik. Jemanje zdravila vpliva na različne fiziološke kazalnike. Ti vključujejo spremembe krvni tlak, pulz, telesna temperatura in še veliko več. Vsi so odvisni od zaužitega odmerka zdravilo. Ti izračuni pomagajo predvideti potek zdravljenja, tako v ugodnih manifestacijah kot v neželenih dogodkih, ki lahko usodno vplivajo na spremembe v telesu bolnika.

Nedvomno je pomembno razumeti fizični pomen izpeljanke v tehnične težave, predvsem v elektrotehniki, elektroniki, projektiranju in gradbeništvu.

Zavorna pot

Razmislimo o naslednjem problemu. Avto, ki se je premikal s konstantno hitrostjo, je bil pri približevanju mostu prisiljen zavirati 10 sekund pred uvozom, saj je voznik opazil prometni znak, ki prepoveduje gibanje s hitrostjo nad 36 km/h. Ali je voznik kršil pravila, če je njegovo zavorno pot mogoče opisati s formulo S = 26t - t 2?

Po izračunu prvega odvoda najdemo formulo za hitrost, dobimo v = 28 - 2t. Nato v naveden izraz nadomestimo vrednost t=10.

Ker je bila ta vrednost izražena v sekundah, se izkaže, da je hitrost 8 m/s, kar pomeni 28,8 km/h. To omogoča razumevanje, da je voznik začel zavirati pravočasno in ni kršil prometnih pravil, s tem pa tudi omejitve hitrosti, navedene na znaku.

To dokazuje pomembnost fizičnega pomena derivata. Primer reševanja tega problema dokazuje širino uporabe tega koncepta na različnih področjih življenja. Tudi v vsakodnevnih situacijah.

Izpeljanka v ekonomiji

Do 19. stoletja so ekonomisti večinoma operirali s povprečji, pa naj je šlo za produktivnost dela ali cene proizvedenih izdelkov. Toda na neki točki so mejne vrednosti postale vse bolj potrebne za izdelavo učinkovitih napovedi na tem področju. Ti lahko vključujejo mejno korist, dohodek ali stroške. Razumevanje tega je spodbudilo ustvarjanje popolnoma novega orodja v ekonomske raziskave, ki obstaja in se razvija že več kot sto let.

Za pripravo takšnih izračunov, kjer prevladujejo koncepti, kot sta minimum in maksimum, je preprosto potrebno razumeti geometrijski in fizični pomen derivata. Med ustvarjalci teoretična osnova Te discipline vključujejo tako ugledne angleške in avstrijske ekonomiste, kot so W. S. Jevons, K. Menger in drugi. Seveda ni vedno priročno uporabljati mejnih vrednosti v ekonomskih izračunih. In na primer, četrtletna poročila ne ustrezajo nujno obstoječo shemo, vendar je uporaba takšne teorije v mnogih primerih uporabna in učinkovita.

Oglejmo si poljubno premico, ki poteka skozi točko na grafu funkcije - točko A(x 0, f (x 0)) in na neki točki seka graf B(x; f(x )). Tako premico (AB) imenujemo sekanta. Iz ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x ; BC =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

Ker je AC || Ox, potem Ð ALO = Ð BAC = β (kot ustrezen, ko je vzporeden). AmpakÐ ALO je naklonski kot sekante AB na pozitivno smer osi Ox. pomeni, tgβ = k - kotni koeficient premice AB.

Zdaj bomo zmanjšali ∆x, tj. ∆х→ 0. V tem primeru se bo točka B približala točki A po grafu, sekanta AB pa se bo vrtela. Mejni položaj sekante AB pri ∆х→ 0 bo premica ( a ), ki se imenuje tangenta na graf funkcije y = f (x) v točki A.

Če gremo do limite kot ∆x → 0 v enačbi tg β =∆ y /∆ x , potem dobimo

ali tg a = f "(x 0 ), saj
a - kot naklona tangente na pozitivno smer osi Ox

, po definiciji izpeljanke. Ampak tg a = k je kotni koeficient tangente, kar pomeni k = tg a = f "(x 0 ).

Geometrični pomen izpeljanke je torej naslednji:

Odvod funkcije v točki x 0 je enak naklonu tangenta na graf funkcije, narisan v točki z absciso x 0.

Fizični pomen derivata.

Razmislite o gibanju točke vzdolž ravne črte. Naj bo koordinata točke podana kadar koli x(t ). Znano je (iz tečaja fizike), da je povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] je enaka razmerju med prevoženo razdaljo v tem časovnem obdobju in časom, tj.

V av = ∆ x /∆ t . Preidemo do limite v zadnji enačbi pri ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - trenutna hitrost v trenutku t 0 , ∆ t → 0.

in lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (po definiciji derivata).

Torej n(t) = x"(t).

Fizični pomen odvoda je naslednji: odvod funkcije l = f( x) na točkix 0 je hitrost spremembe funkcije f(x) na točkix 0

Izpeljanka se uporablja v fiziki za iskanje hitrosti iz znane funkcije koordinat glede na čas, pospešek iz znane funkcije hitrosti glede na čas.

u (t) = x "(t) - hitrost,

a(f) = n"(t ) - pospešek, oz

a(t) = x"(t).

Če poznamo zakon gibanja materialne točke v krogu, potem lahko najdemo kotno hitrost in kotni pospešek med rotacijskim gibanjem:

φ = φ (t ) - sprememba kota s časom,

ω = φ "(t ) - kotna hitrost,

ε = φ "(t ) - kotni pospešek, ozε = φ "(t).

Če je zakon porazdelitve mase nehomogene palice znan, je mogoče najti linearno gostoto nehomogene palice:

m = m (x) - masa,

x О , l - dolžina palice,

p = m "(x) - linearna gostota.

Z izpeljavo se rešujejo problemi iz teorije elastičnosti in harmoničnih nihanj. Torej, po Hookovem zakonu

F = - kx, x – spremenljiva koordinata, k - koeficient elastičnosti vzmeti. Postavljanjeω2 = k/m , dobimo diferencialna enačba vzmetno nihalo x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

kjer je ω = √ k /√ m frekvenca nihanja ( l/c ), k - togost vzmeti ( H/m).

Enačba oblike y" +ω2y = 0 imenujemo enačba harmoničnih nihanj (mehanskih, električnih, elektromagnetnih). Rešitev takih enačb je funkcija

y = Asin (ωt + φ 0) ali y = Acos (ωt + φ 0), kjer je

A je amplituda nihanj,ω - ciklična frekvenca,

φ 0 - začetna faza.

Odvod funkcije f (x) v točki x0 je meja (če obstaja) razmerja med prirastkom funkcije v točki x0 in prirastkom argumenta Δx, če prirastek argumenta teži k nič in je označena z f '(x0). Dejanje iskanja odvoda funkcije se imenuje diferenciacija.
Odvod funkcije ima naslednji fizični pomen: odvod funkcije v dani točki je hitrost spremembe funkcije v dani točki.

Geometrijski pomen izpeljanke. Odvod v točki x0 je enak naklonu tangente na graf funkcije y=f(x) v tej točki.

Fizični pomen derivata.Če se točka premika vzdolž osi x in se njena koordinata spreminja po zakonu x(t), je trenutna hitrost točke:

Pojem diferenciala, njegove lastnosti. Pravila razlikovanja. Primeri.

Opredelitev. Diferencial funkcije v določeni točki x je glavni, linearni del prirastka funkcije. Diferencial funkcije y = f(x) je enak produktu njenega odvoda in prirastka neodvisne spremenljivke x. (argument).

Napisano je takole:

oz

oz


Diferencialne lastnosti
Diferencial ima podobne lastnosti kot derivat:





TO osnovna pravila razlikovanja vključujejo:
1) postavitev konstantnega faktorja zunaj predznaka derivata
2) odvod vsote, odvod razlike
3) odvod produkta funkcij
4) odvod količnika dveh funkcij (odvod ulomka)

Primeri.
Dokažimo formulo: Po definiciji odvoda imamo:

Poljubni faktor lahko vzamemo preko znaka prehoda na limito (to je znano iz lastnosti limite), torej

Na primer: Poiščite odvod funkcije
rešitev: Uporabimo pravilo postavitve množitelja izven predznaka odvoda :

Nemalokrat je treba najprej poenostaviti obliko diferenciabilne funkcije, da lahko uporabimo tabelo odvodov in pravila za iskanje odvodov. Naslednji primeri to jasno potrjujejo.

Diferenciacijske formule. Uporaba diferenciala v približnih izračunih. Primeri.

Uporaba diferenciala v približnih izračunih vam omogoča uporabo diferenciala za približek vrednosti funkcije.
Primeri.
S pomočjo diferenciala izračunajte približno
Za izračun dano vrednost uporabimo formulo iz teorije
Vstavimo v obravnavo funkcijo in predstavimo dano vrednost v obliki
potem pa računajmo

Če vse nadomestimo v formulo, končno dobimo
odgovor:

16. L'Hopitalovo pravilo za razkritje negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞. Primeri.
Meja razmerja dveh neskončno majhnih ali dveh neskončno velikih količin je enaka meji razmerja njunih odvodov.

1)

17. Naraščajoča in padajoča funkcija. Ekstrem funkcije. Algoritem za preučevanje funkcije za monotonost in ekstrem. Primeri.

funkcija poveča na intervalu, če za kateri koli dve točki tega intervala, povezani z razmerjem , neenakost velja. to je višja vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije, njen graf pa gre »od spodaj navzgor«. Predstavitvena funkcija se z intervalom povečuje

Prav tako funkcija zmanjša na intervalu, če za kateri koli dve točki danega intervala, tako da , Neenakost velja. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od zgoraj navzdol". Naš se v intervalih zmanjšuje, v intervalih se zmanjšuje .

Ekstremi Točka se imenuje največja točka funkcije y=f(x), če neenakost velja za vse x v njeni bližini. Pokliče se vrednost funkcije na maksimalni točki maksimum funkcije in označujejo.
Točka se imenuje točka minimuma funkcije y=f(x), če neenakost velja za vse x v njeni bližini. Pokliče se vrednost funkcije v točki minimuma minimalna funkcija in označujejo.
Okolico točke razumemo kot interval , kjer je dovolj majhno pozitivno število.
Najnižje in največje točke se imenujejo ekstremne točke, funkcijske vrednosti, ki ustrezajo ekstremnim točkam, pa se imenujejo ekstremi funkcije.

Za raziskovanje funkcije do monotonije, uporabite naslednji diagram:
- Poiščite domeno definicije funkcije;
- Poišči odvod funkcije in definicijsko področje odvoda;
- Poiščite ničle odvoda, tj. vrednost argumenta, pri kateri je odpeljanka enaka nič;
- Na numerični premici označite skupni del domene definicije funkcije in domene definicije njenega odvoda, na njem pa - ničle odvoda;
- Določite predznake odvoda na vsakem od dobljenih intervalov;
- S pomočjo predznakov odvoda določi, na katerih intervalih funkcija narašča in na katerih pada;
- Napišite ustrezne intervale, ločene s podpičji.

Raziskovalni algoritem neprekinjena funkcija y = f(x) za monotonost in ekstreme:
1) Poiščite odvod f ′(x).
2) Poiščite stacionarno (f ′(x) = 0) in kritično (f ′(x) ne obstaja) točko funkcije y = f(x).
3) Označite stacionarne in kritične točke na številski premici in na dobljenih intervalih določite predznake odvoda.
4) Sklepajte o monotonosti funkcije in njenih ekstremnih točkah.

18. Konveksnost funkcije. Prevojne točke. Algoritem za študij funkcije za konveksnost (konkavnost) Primeri.

konveksno navzdol na intervalu X, če se njegov graf ne nahaja nižje od tangente na katero koli točko v intervalu X.

Funkcija, ki jo je treba razlikovati, se imenuje konveksno navzgor na intervalu X, če se njegov graf ne nahaja višje od tangente na katero koli točko v intervalu X.

Točkovna formula se imenuje prevojna točka grafa funkcija y=f(x), če je v dani točki tangenta na graf funkcije (lahko je vzporedna z osjo Oy) in obstaja taka okolica točke formula, znotraj katere levo in desno od točke M ima graf funkcije različne smeri izboklina.

Iskanje intervalov za konveksnost:

Če ima funkcija y=f(x) končni drugi odvod na intervalu X in če neenakost velja (), potem ima graf funkcije na X konveksnost, usmerjeno navzdol (navzgor).
Ta izrek vam omogoča, da poiščete intervale konkavnosti in konveksnosti funkcije, rešiti morate samo neenakosti oziroma na domeni definicije prvotne funkcije.

Primer: Ugotovite intervale, na katerih je graf funkcije Ugotovite intervale, na katerih je graf funkcije ima konveksnost obrnjeno navzgor in konveksnost obrnjeno navzdol. ima konveksnost obrnjeno navzgor in konveksnost obrnjeno navzdol.
rešitev: Domena te funkcije je celotna množica realnih števil.
Poiščimo drugo izpeljanko.

Domena definicije drugega odvoda sovpada z domeno definicije prvotne funkcije, zato je za ugotovitev intervalov konkavnosti in konveksnosti dovolj rešiti in ustrezno. Posledično je funkcija konveksna navzdol na intervalni formuli in konveksna navzgor na intervalni formuli.

19) Asimptote funkcije. Primeri.

Ravna črta se imenuje navpična asimptota graf funkcije, če je vsaj ena od mejnih vrednosti enaka ali .

Komentiraj. Premica ne more biti navpična asimptota, če je funkcija v točki zvezna. Zato je treba navpične asimptote iskati na diskontinuitetnih točkah funkcije.

Ravna črta se imenuje horizontalna asimptota graf funkcije, če je vsaj ena od mejnih vrednosti ali enaka .

Komentiraj. Graf funkcije ima lahko le desno horizontalno asimptoto ali le levo.

Ravna črta se imenuje poševna asimptota graf funkcije if

PRIMER:

telovadba. Poiščite asimptote grafa funkcije

rešitev. Obseg funkcije:

a) navpične asimptote: ravna črta - navpična asimptota, saj

b) horizontalne asimptote: poiščite limit funkcije v neskončnosti:

to pomeni, da ni horizontalnih asimptot.

c) poševne asimptote:

Tako je poševna asimptota: .

Odgovori. Navpična asimptota je ravna.

Poševna asimptota je ravna.

20) Splošna shema raziskovanje funkcije in izris grafa. Primer.

a.
Poiščite ODZ in diskontinuitetne točke funkcije.

b. Poiščite točke presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi.

2. Izvedite študijo funkcije z uporabo prvega odvoda, to je, poiščite ekstremne točke funkcije in intervale naraščanja in zmanjševanja.

3. Raziščite funkcijo z odvodom drugega reda, to je, poiščite prevojne točke grafa funkcije in intervale njegove konveksnosti in konkavnosti.

4. Poiščite asimptote grafa funkcije: a) navpične, b) poševne.

5. Na podlagi raziskave sestavi graf funkcije.

Upoštevajte, da je pred izrisom grafa koristno ugotoviti, ali je dana funkcija liha ali soda.

Spomnimo se, da je funkcija poklicana, tudi če sprememba predznaka argumenta ne spremeni vrednosti funkcije: f(-x) = f(x) in funkcijo imenujemo liho, če f(-x) = -f(x).

V tem primeru je dovolj, da preučimo funkcijo in narišemo njen graf pozitivne vrednosti argumenti, ki pripadajo ODZ. pri negativne vrednosti argument, je graf dokončan na podlagi dejstva, da je soda funkcija simetrična glede na os Oj, in za liho glede na izvor.

Primeri. Raziščite funkcije in zgradite njihove grafe.

Domena funkcije D(y)= (–∞; +∞). Ni prelomnih točk.

Presečišče z osjo Ox: x = 0,y= 0.

Funkcija je liha, zato jo lahko preučujemo samo na intervalu )