glavni > Zavese in žaluzije

Manjša matrika. Izračun stopnje matrike z metodo osnovnih transformacij (Gauss algoritem). Kako najti rang matrike s pomočjo manjšega

Naj se nekaj matrike vpraša:

.

Označite v tej matrici poljubne strune I. poljubni stebri
. Potem determinanta - naročilo, sestavljeno iz elementov matrike
na presečišču označenih linij in stolpcev se imenuje manjša - Naročite Matrix.
.

Opredelitev 1.13.RANK MATRIX.
to se imenuje največji red mladoletnika te matrike, drugačen od nič.

Za izračun razred matrike je treba upoštevati vse svoje mladoletnike najmanjšega naročila in, če je vsaj eden od njih drugačen od nič, se premaknite na obravnavo mladoletnika višjega naloga. Ta pristop k določanju stopnje matrike se imenuje metoda (ali način živahnega manjša).

Naloga 1.4.Metoda živahnih mladoletnikov za določitev ranga matrike
.

.

Razmislite o v ospredju prvega naročila, na primer,
. Potem se obrnemo na obravnavo določenega konvekcije drugega reda.

Na primer,
.

Nazadnje, analiziramo v ospredju tretjega reda.

.

Tako je najvišji red manjših, drugačen od nič, je torej 2,
.

Pri reševanju problema 1.4 je mogoče ugotoviti, da se številni novinarski mladoletniki naročite razlikujejo od nič. V zvezi s tem poteka naslednji koncept.

Opredelitev 1.14.Osnovni mladoletnik matrike se imenuje vsak, drugačen od ničelnega roka, katerega vrstni red je enak robu matrike.

Teorem 1.2.(Teorem na podlagi manjšega). Bazične linije (osnovne stolpce) so linearno neodvisne.

Upoštevajte, da so vrstice (stolpci) matrike linearno odvisne, če in samo če je vsaj ena od njih lahko zastopana kot linearna kombinacija preostalega.

TEOREM 1.3.Število linearno neodvisnih linij matrike je enako številu linearno neodvisnih stolpcev matrike in enaka krilom matrike.

Teorem 1.4.(Potreben in zadosten pogoj enakosti ničel). Da bi ugotovili Naročilo bilo je enako nič, potrebno je in dovolj, da so njene linije (stolpci) linearno odvisne.

Izračun stopnje matrike, ki temelji na uporabi njegove definicije, je preveč okorna operacija. To postane bistvenega pomena za matrike visoke reda. V zvezi s tem se v praksi izračuna krpa matrike na podlagi uporabe izrezorov 10.2 - 10.4, kot tudi uporaba konceptov enakovrednosti matrik in osnovnih transformacij.

Opredelitev 1.15.Dve matriki
in se imenujejo enakovredna, če so njihovi uvrsti enaki, t.e.
.

Če je matrika
in ekvivalent, nato Praznujte
.

Teorem 1.5.Razvrstitev matrike se ne spremeni iz osnovnih transformacij.

Poklicali bomo osnovne transformacije matrike
kateri koli od naslednjih dejanj na matrici:

Zamenjajte vrvico s stolpci in stolpci z ustreznimi linijami;

Permutacija linij matrike;

Izražanje niza, katerih elementi so nič;

Pomnožitev katerega koli niza s številko, ki ni nič;

Dodajanje elementov ene vrstice ustreznih elementov druge črte, pomnožene na isto številko
.

Posledica izreka 1.5.Če je matrika
od matrike s pomočjo končnega števila osnovnih transformacij, nato matrika
in ekvivalent.

Pri izračunu stopnje matrike je treba prineseti z omejenim številom osnovnih transformacij v trapezoidno obliko.

Opredelitev 1.16.Trapezoidna bo imenovana taka oblika zastopanosti matrike, ko se v mejni manjši, največji red, ki se razlikuje od nič, se vsi elementi, ki so nižji od diagonale, uporabljajo na nič. Na primer:

.

Tukaj
, elementi matrike
nanesite na nič. Potem bo oblika predstavitve take matrike trapezoidna.

Praviloma se matrike na trapezoidno obliko dajejo z algoritmom Gaussa. Ideja Gaussa Algoritem je, da pomnožimo elemente prve vrste matrike na ustrezne multiplikatorje, poiščete vse elemente prvega stolpca pod elementom.
, se spremeni v nič. Nato pomnožimo elemente drugega stolpca na ustrezne multiplikatorje, poiščite vse elemente drugega stolpca pod elementom.
, se spremeni v nič. Naslednji prispejo na enak način.

Naloga 1.5.Določite rang matrike z informacijami v trapezoidno obliko.

.

Za udobje uporabe Gaussa Algoritma lahko zamenjate prve in tretje vrstice.






.

Očitno je tukaj
. Vendar, da bi rezultat v bolj elegantno obliko, lahko še naprej še naprej pretvorbo v stolpce.








.

Prej za kvadratno matrico - naročilo je uvedel koncept mladoletnika
element . Spomnimo se, da je bil postopek postopka imenovan tako
določen
hekanje - Vrstica I. -Do stolpec.

Zdaj bomo uvedli celoten koncept mladoletnika. Razmislite ni nujno Square Matrix. . Izberite nekaj Številke vrstice
in Številke stolpcev
.

Opredelitev. Manjši nalog Matiri (Ustreza izbranim vrstam in stolpcem) se imenuje determinanta naročila oblikovani z elementi, ki se soočajo s križiščem izbranih vrstic in stolpcev, tj. številka

.

Vsaka matrika ima toliko rudarjev tega naročila. Koliko načinov lahko izberete številke vrstic
in stolpec
.

Opredelitev. V matrici velikosti.
manjši nalog imenovan osnovaČe je drugačen od nič, in vseh mladoletnikov
enako naročilo nič ali mladoletnikov
v matrici absolutno ne.

Jasno je, da v matrici lahko obstaja več različnih osnovnih rudarjev, vendar imajo vsi osnovni mladoletniki enako naročilo. Dejansko, če vsi mladoletniki naročijo
enaka nič, potem nič in vse mladoletnike
, posledično vse najboljše naročila.

Opredelitev. RANK MATRIX. Vrstni red osnovnega manjša se imenuje ali drugače, največji nalog, za katerega obstajajo različni mladoletniki od nič. Če so vsi elementi matrike nič, potem se mesto take matrike po definiciji šteje za nič.

RANK MATRIX. označili bomo simbol
. Iz definicije ranga sledi, da je za matriko velikosti.
pošteno razmerje.

Dva načina za izračun stopnje matrike

vendar) Metoda živahnih manjšin

Naj se mladoletnik najde v matrici
- Naročite, razen nič. Razmislite le o teh mladoletnikih
- naročilo, ki vsebujejo sami (lubje)
: Če so vse nič, potem je ocena matrike enaka . V nasprotnem primeru je med busty rudarji, ki je neničela manjša
- Naročite, in celoten postopek se ponovi.

Primer 9. . Najdi rang Matrix. način živahnega mladoletnika.

Izberite mladoletnika drugega naročila
. Obstaja samo en manjši manjši, ki je končal izbrani mladoletnik
. Izračunam ga.

Torej, manjša
osnovna in uvrstitev matrike je enaka naročilu, t.j.

Jasno je, da je na ta način, da je mladoletnik v iskanju osnovne naloge, ki je povezana z velikimi izračuni, če dimenzije matrike niso zelo majhne. Vendar pa je enostavnejši način, da najdete razred matrike - s pomočjo osnovnih transformacij.

b) Metoda osnovnih transformacij

Opredelitev. Osnovne transformacije matrike Poklicali so naslednje transformacije:

    razmnoževanje niza s številko, ki ni nič;

    dodamo na eno linijo drugo linijo;

    permutacija strun;

    enako pretvorbo stolpcev.

Transformacije 1 in 2 se izvajajo izmenično.

Združevanje transformacij prvega in drugega tipa, lahko dodamo linearno kombinacijo preostalih vrstic na katero koli vrstico.

Teorem.. Osnovne transformacije ne spreminjajo ocene matrike.

(Brez dokazov)

Zamisel o praktični metodi za izračun stopnje matrike

leži v dejstvu, da s pomočjo osnovnih transformacij ta matrika vodi do vida

, (5)

v katerem "diagonalni" elementi
drugačen od nič, elementi pod "diagonalno" so nič. Strinjamo se, da bomo poklicali matriko ta vrsta trikotne (drugače se imenuje diagonalno, trapezno ali stopnišče). Po prinavljanju matrike na trikotno obliko, ki jo lahko takoj zapišete
.

Prav zares,
(Ker osnovne transformacije ne spreminjajo čin). Toda matrika obstaja drugačen od ničelnega rednega reda :

,

in manjši red
vsebuje ničelni niz in je zato enak nič.

Zdaj oblikujemo praktično rang izračun pravilo Matiri s pomočjo osnovnih transformacij: najti razred matrike sledi uporaba osnovnih transformacij, da jo pripelje na trikotni pogled. . Potem Rank MATRIX. to bo enako številu neničelnih nizov v nastalem matrici .

Primer 10. Najdi rang Matrix. metoda osnovnih transformacij

Sklep.

Spreminjamo prvi in \u200b\u200bdrugi niz (ker je prvi element druge vrstice -1 in bo priročen za izvedbo transformacij). Posledično smo dobili matriko ekvivalent tega.


Označeno - to matrični niz - . Začetno matrico moramo pripeljati na trikotno obliko. Upoštevali bomo prvo vrstico, da je vodilna, bo sodelovala v vseh transformacijah, vendar sama ostaja nespremenjena.

V prvi fazi bomo izvedli transformacijo, ki vam omogoča, da dobite prvega stolpca ZEROS, razen prvega elementa. To storite, iz druge vrstice, bo prebral prvo pomnoženo z 2
, do tretje vrstice dodajte prvo
in od tretjega od tretjega preloženega prvega pomnoženega s 3
Dobimo matrico, ki sovpada s tem matrico. Označuje isto pismo :

.

Ker moramo matriko voditi na obrazec (5), se odšteje od četrte vrstice drugega. Hkrati imamo:

.

Dobimo trikotni matriko in se lahko zaključi
, i.e., število neničelnih linij. Na kratko reševanje naloge je mogoče napisati na naslednji način:


Linije (stolpci). Več vrstic (stolpcev) se imenuje linearno neodvisna, razen če je eden izmed njih linearno skozi druge. Sistemski rang je vedno enak rangu sistema stolpca, ta številka pa se imenuje krpa matrike.

Razvrstitev matrike je najvišja od naročil vseh vrst neničelnih mladoletnikov te matrike. Rang ničelna matrika katere koli ničle. Če so vsi mladoletniki drugega reda nič, je rang enak eni itd.

Rank Matrix - Slika Dimension Dim \u2061 (im \u2061 (a)) (Displaystyle dim (operaterja (IM) (A))) Linearni operater, na katerega se matrika ustreza.

Ponavadi Rank Matrix. A (displaystyle a) oznaka Rang \u2061 A (DisplayStyle OperaterName (Rang) A), R \u2061 a (displaystyle operaterja (R) a), Rg \u2061 a (disprovestyle operaterja (RG) A) ali Rank \u2061 A (DisplayStyle operaterja (Rank) a). Zadnja možnost je značilna angleščina, prva dva pa sta nemški, francoski in številni drugi jeziki.

Enciklopedijski YouTube.

  • 1 / 5

    Pustite pravokotno matrico.

    Potem po definiciji krpe matrike A (displaystyle a) je:

    Teorem (o pravilnosti opredelitve uvrstitve). Naj vse manjša matrika A M × N (DisplayStyle A_ (M Časi n)) Naročilo K (displaystyle k) enaka nič ( M K \u003d 0 (DisplayStyle M_ (K) \u003d 0)). Potem ∀ m K + 1 \u003d 0 (DisplayStyle AllAll M_ (K + 1) \u003d 0)če obstajajo.

    Sorodne opredelitve

    Nepremičnine

    • Teorem (na podlagi manjšega): Naj bo. R \u003d R \u003d Ren A, M R (DisplayStyle R \u003d OperatorName (Rang) A, M_ (R)) - osnova manjša matrika A (displaystyle a), potem:
    • Posledica:
    • Teorem (o uvrstitvi invariance z osnovnimi transformacijami): Predstavljamo oznako za matrike, pridobljene drug od drugega z osnovnimi transformacijami. Potem je odobritev resnična: če A ~ B (DisplayStyle A SIM B)njihovi uvrsti so enaki.
    • Kretekker Therem - Capelli: Sistem linearnih algebrskih enačb je nato usklajen in le, če je uvrstitev njegove glavne matrike enaka rangu razširjene matrike. Še posebej:
      • Število glavnih spremenljivk sistema je enako rangu.
      • Skupni sistem bo določen (njegova rešitev je edinstvena), če je uvrstitev sistema enak številu vseh njenih spremenljivk.
    • Sylvester Neenakost: Če A. in B. Matrix velikosti m X N. in n x K.T.
    Rang \u2061 A B ≥ Rang \u2061 A + Rang \u2061 B - N (DisplayStyle OperaterName (Rang) AB GEQ OperaterName (Rang) A + OperaterName (Rang) B-N)

    To velja za naslednjo neenakost.

    • Neenakost Fronius: Če je AB, BC, ABC pravilno opredeljen, potem
    Rang \u2061 A B C ≥ Rang \u2061 A B + Rang \u2061 B C - Rang \u2061 B (DisplayStyle OperatorName (Rang) ABC ABC \\ muedName (Rang) AB + OperaterName (Rang)

    Linearna pretvorba in čin matrike

    Naj bo. A (displaystyle a) - Velikost Matrix. M × N (DisplayStyle M Časi n) nad njim C (displaystyle c) (Or. R (displaystyle r)). Naj bo. T (DisplayStyle T) - linearna transformacija, ki ustreza A (displaystyle a) v standardni osnovi; To pomeni T (x) \u003d a x (displaystyle t (x) \u003d sekira). RANK MATRIX. A (displaystyle a) - To je dimenzija regije vrednosti konverzije T (DisplayStyle T).

    Metode

    Obstaja več načinov iskanja čin matrike:

    • Metoda osnovnih transformacij
    Obroč matrike je enak številu neničelnih nizov v matriki, potem ko ga prinese v stopenjsko obliko s pomočjo osnovnih transformacij nad linijami matrike.
    • Metoda živahnih manjšin
    Naj v matrici A (displaystyle a) našel neničelo manjše K (displaystyle k)Naročilo M (displaystyle m). Razmislite o vseh mladoletnikih (K + 1) (DisplayStyle (K + 1))- naročilo, vključno z (mejnimi) manjšimi M (displaystyle m); Če so vse nič, potem je uvrstitev matrike enaka K (displaystyle k). V nasprotnem primeru je med busty rudarji, ki je nenišo, in celoten postopek se ponovi.

    RANK MATRIX.

    Opredelitev 1.

    Sistem vrstice / stolpca določene matrike se imenuje linearno neodvisna, če nobena od teh vrstic (nič od teh stolpcev) ni linearno izražena v drugih vrstah / stolpcih.

    Razvrstitev sistema vrstice / stolpca neke matrike $ A \u003d levo (A_ (IJ) desno) _ (M Časi n) $ se imenuje največje število linearno neodvisnih linij / stolpcev.

    Razvrstitev sistema stolpcev vedno sovpada s sistemom vrstic. Ta rang se imenuje uvrstitev matrike.

    Obroč matrike je največ od naročil manjšin dane matrike, za katere se determinanta razlikuje od nič.

    Če se želite sklicevati na razred matrike, se uporabljajo naslednji vnosi: $ Ranga $, $ RGA $, $ Ranka $.

    Razvrstitev matrike ima naslednje lastnosti:

    1. Za ničelno matrico je matrična uvrstitev nič, za počitek - uvrstitev ima nekaj pozitivnega števila.
    2. Razvrstitev pravokotne matrike reda $ M Čas n $ ni več manj od števila vrstic ali stolpcev matrike, tj. $ 0 Le Rang Lin (m, n) $.
    3. Za ne-degenerirano kvadratno matrico nekaterih red, je mesto te matrike sovpada z vrstnim redom te matrike.
    4. Deklornik kvadratne matrike nekaterih naročil, ki ima rang manjšega reda matrike, ki je enak nič.

    Obstajata dva načina, da najdete razred matrike:

    • obrniti s pomočjo determinantov in manjšin (metoda obrobe);
    • s pomočjo osnovnih transformacij.

    Algoritem metode obrobe vključuje naslednje:

    1. V primeru, ko so vsi mladoletniki prvega reda enaki nič, imamo rang matrike, ki se obravnava kot enaka nič.
    2. V primeru, da je vsaj eden od mladoletnikov prvega reda ni nič, in hkrati so vsi mladoletniki drugega reda enaki nič, čin matrike je 1.
    3. V primeru, da vsaj eden od mladoletnikov drugega reda ni nič, se raziskava manjšega raziskovalca tretjega reda preučuje. Kot rezultat, manjša je približno $ K $ in se preveri, ali so mladoletniki enaki nič od naročila $ K + $ 1. Če so vsi mladoletniki reda $ k + 1 $ nič, je matrična uvrstitev $ k $.

    Kako določiti rang matrike: Primeri

    Primer 1.

    Sklep:

    Upoštevajte, da uvrstitev začetne matrike ne more biti večja od 3.

    Med mladoletniki prvega reda obstajajo mladoletniki, niso enake nič, na primer, $ m_ (1) \u003d left | -2 pravi | \u003d -2 $. Razmislite o mladoletnikih drugega reda.

    $ M_ (2) \u003d levo | Začetek (matrika) (CC) (-2) & (1) \\ t (1) in (0) konec (matrika) \\ t \u003d -2 cdot 0-1 CDOT 1 \u003d 0-1 \u003d -1 $ 0

    $ M_ (3) \u003d levo | Začetek (matrika) (CCC) (-2) & (1) & (4) \\ t (1) & (0) & (3) \\ t (1) \\ t ) & (3) konec (matrika) \\ t \u003d -2 cdot 0 cdot 3 + 1 cdot 3 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 4-1 cdot 0 cdot 4-1 cdot 1 cdot 3-2 cdot 3 cdot (-2) \u003d 3 + 8-0-3 + 12 \u003d 20 ne 0 $

    Posledično je uvrstitev spornega matrika 3.

    Primer 2.

    Določite matrico CHAG MATRIX $ A \u003d levo (zaženite (polje) (CCCCC) (1) & (2) & (3) & (0) in (1) \\ t (0) & (1) & (1) & (2) & (3) & (4) \\\\ (2) & (3) & (1) & (4) & (5) \\ t (0) & (0) & (0) & (0) & (0) & (0) \\ t END (ARRAY) \\ t

    Sklep:

    Upoštevajte, da je uvrstitev začetne matrike ne more biti večja od 4 (strune 4, stolpci 5).

    Med mladoletniki prvega naročila se razlikuje od nič, na primer, $ M_ (1) \u003d levo | 1 Desno | \u003d 1 $. Razmislite o mladoletnikih drugega reda.

    $ M_ (2) \u003d levo | Začetek (polje) (CC) (1) & (2) (0) in (1) End (Array) Desno | \u003d 1 CDOT 1-0 CDOT 2 \u003d 1-0 \u003d 1 ne 0 $

    Izpolnili bomo manjši cilj drugega reda in dobimo mladoletnika tretjega reda.

    $ M_ (3) \u003d Levo | Začetek (Array) (CCC) (1) & (2) & (0) in (1) & (2) \\ t (2) \\ t & (1) konec (matrika) | \u003d 1 CDOT 1 CDOT 1 + 2 CDOT 2 CDOT 2 + 0 CDOT 3 CDOT 3-0 CDOT 1 CDOT 3-0 CDOT 1 \\ t CDOT 2-2 CDOT 3 CDOT 1 \u003d 1 + 8 + 0-6-0-6 \u003d -3 ne 0 $

    Prevzeli bomo dodelavo mladoletnika tretjega reda in dobili mladoletnico četrtega naročila.

    $ M_ (4) \u003d levo | Začetek (matrika) (CCCC) (1) & (2) & (3) & (0) in (1) & (2) & (2) & (2) \\ t (2) & (3) & (1) & (4) \\ t (0) & (0) & (0) & (0) End (Array) \\ t \u003d 0 $ (vsebuje ničelni niz) \\ t

    $ M_ (5) \u003d levo | Začetek (matrika) (CCCC) (1) & (2) & (3) & (1) \\ t (0) & (1) & (2) & (2) & (4) \\ t (2) & (3) & (1) & (5) (0) & (0) & (0) & (0) End (Array) \\ N | \u003d 0 $ (vsebuje ničelni niz) \\ t

    Vsi mladoletniki četrtega vrstnega reda matrike so torej nič, zato je uvrstitev matrike obravnavana 3.

    Iskanje ocene matrike s pomočjo osnovnih transformacij se zmanjša, da se matrix pripelje na diagonalno (stopenjsko) um. Rank, ki je nastal zaradi transformacij matrike, je enak številu neničelnih diagonalnih elementov.

    Primer 3.

    Določite rang matrike $ a \u003d levo (začnite (polje) (CCC) (-2) & (1) & (4) in (0) & (0) & (3) \\ t & (2) in (3) konec (matrika) \\ t

    Sklep:

    Spreminjamo prvo in drugo vrstico matrike A:

    $ A \u003d left (začetek (polje) (CCC) (-2) & (1) in (4) in (0) & (3) \\ t (1) in (2) 3) END (ARRAY) DESNO) SIM LEVO (ZAČETEK (CCC) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (-2) & (1) & (4) \\ t (1) & (2) in (3) konec (matrika) \\ t

    Pomnožite prvi niz matrike v številko 2 in jo položite z drugim nizom:

    $ Levac (Začetek (Array) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (-2) & (1) & (4) \\ t (1) in (2) & (2) \\ t END (ARRAY) DESNO) SIM LEVO (ZAČETEK (ARRAY) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t & (2) & (3) konec (matrika) \\ t

    Pomnožite prvi niz matrike s številko -1 in položite s tretjo vrstico:

    $ levo (zaženite (polje) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t (1) & (2) & (2) \\ t END (ARRAY) DESNO) SIM LEVO (ZAČETI (ARRAY) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t (0) \\ t (2) in (0) konec (matrika) \\ t

    Pomnožite drugi niz matrike D na številko -2 in položite s tretjo vrstico:

    $ levo (začetek (polje) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t (0) & (2) & (0) \\ t END (ARRAY) DESNO) SIM LEVO (ZAČETI (ARRAY) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t (0) \\ t (0) & (-20) End (ARRAY) \\ t

    $ Levac (Začetek (Array) (CCC) (1) & (0) & (3) \\ t (0) & (1) & (10) \\ t (0) & (0) & (-20) END (ARRAY) DESNO) $ - Steppe Matrix

    Količina ničelnih diagonalnih elementov je 3, torej $ Rang \u003d $ 3.

    Ta članek bo razpravljal o taki stvari kot čin matrike in potrebnih dodatnih konceptov. Podelili bomo primere in dokaze o iskanju ranga matrike in mi povedali, kaj je manjša matrika, in zakaj je tako pomembna.

    Manjša matrika

    Da bi razumeli, kakšen razred je, je treba obravnavati takšen koncept kot manjša matrika.

    Opredelitev 1.

    Manjšak.red matrike - determinanta kvadratne matrike reda k × K, ki je sestavljena iz elementov matrike A, ki so vnaprej izbrane K-linije in K-stolpci, medtem ko je položaj elementov matrike A.

    Preprosto postavite, če se v matrici in izbrišete (P-K) stolpce in (N-K), in iz tistih elementov, ki so ostali, da bi dobili matrico, hkrati pa ohraniti razporeditev elementov matrike A, potem determinanta posledične matrike in je manjša od naročila K Matrix A.

    Iz zgleda sledi, da mladoletniki prvega reda matrike a in obstajajo elementi matrike samih.

    Lahko prinesete nekaj primerov mladoletnikov 2. naročila. Izberite dve vrstici in dva stolpca. Na primer, 1. in 2 vrstici, 3. in 4. stolpec.

    S tem izborom manjših elementov drugega reda - 1 3 0 2 \u003d (- 1) × 2 - 3 × 0 \u003d - 2

    Drugi mladoletnik 2. vrstnega reda Matrixa A je 0 0 1 1 \u003d 0

    Vabita Ilustracija gradnje mladoletnikov drugega reda Matrix A:

    Manjje od 3. vrstnega reda se izkaže, če izvlečete tretji stolpec matrike A:

    0 0 3 1 1 1 - 1 - 4 0 \u003d 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0. - 0 × 2 × (- 4) \u003d - 9

    Ilustracija, kako manjši izredni red matrike A:

    Za to matrico rudarjev nad 3. vrstnim redom ne obstaja, ker

    k ≤ m i n (p, n) \u003d m i n (3, 4) \u003d 3

    Koliko je mladoletnik K-TH naročite za matriko in naročite P × N?

    Število rudarjev se izračuna po naslednji formuli:

    C P K × C N K, G D E s P k \u003d P! K! (P - K)! in c n k \u003d n! K! (N - K)! - število kombinacij P s K, od n s k, oziroma.

    Ko smo se odločili, kaj mladoletnikov matrika A, se lahko premaknete na definicijo ocene matrike A.

    Rank Matrix: Metode

    Opredelitev 2.

    RANK MATRIX. - najvišji red matrike, ki ni nič.

    Oznaka 1.

    Rank (a), RG (A), Rang (a).

    Od definicije razreda matrike in manjšega, postane matrika jasno, da je rang ničelne matrike nič, in čin nevodne matrike se razlikuje od nič.

    Iskanje matrike razreda po definiciji

    Opredelitev 3.

    Metoda intersticijskega minovana - metoda, ki temelji na določanju stopnje matrike.

    Algoritem delovanja z manjšimi :

    Potrebno je najti rang matriksa in naročila str.× n.. Če obstaja vsaj en element, ki ni nič, potem je rang matrike vsaj enaka enemu ( ker Obstaja manjša od 1. naročila, ki ni enaka nič).

    Naslednji sledi mladoletniku 2. naročila. Če so vsi mladoletniki naročila nič, potem je rang enak enemu. Z obstojem vsaj enega, ki ni enaka nič od manjšega naročila, je treba preklopiti na mladoletni red 3. vrstnega reda, in čin matrike, v tem primeru, bo enaka najmanj dvema.

    Podobno bomo nadaljevali s čin tretjega reda: Če so vsi mladoletniki matrike nič, potem bo mesto enako dve. Če obstaja vsaj en ničelni manjši iz 3. vrstnega reda, je obroč matrike enak najmanj trimu. In tako naprej po analogiji.

    Primer 2.

    Poiščite čin matrike:

    A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

    Ker je matrika neničela, je njegov najnižji rang enak.

    Manjje od 2. reda - 1 1 2 2 \u003d (- 1) × 2 - 1 × 2 \u003d 4 se razlikuje od nič. Iz tega sledi, da je rang matrika ni manjša od dveh.

    Obračamo mladoletnike 3. vrstnega reda: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5!3! (5 - 3)! \u003d 10 kosov.

    1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 \u003d (1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3- (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - \\ t (- 1) × 6 × 3 \u003d 0

    1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 \u003d (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 \u003d 0

    1 1 - 2 2 2 2 2 2 1 1 \u003d (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3- (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - \\ t (- 1) × 0 × 3 \u003d 0

    1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 \u003d (1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - (\\ t - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 \u003d 0

    1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 \u003d 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3- (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (4) × 11 \u003d 0

    1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 \u003d 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (4) × 1 \u003d 0

    1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 \u003d (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - (\\ t - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 \u003d 0

    Mladoletniki tretjega reda so nič, zato je čin matrike dva.

    Odgovor : Rank (a) \u003d 2.

    Iskanje ocene matrike z metodo živahnega manjša

    Opredelitev 3.

    Metoda živahnih manjšin - metoda, ki vam omogoča, da dobite rezultat z manj računalniškim delovanjem.

    Okoj milje. - Manjša M o K (K + 1) -Por na vrstnem redu matrike A, ki se osredotoča manj M matrix A, če matrika, ki ustreza manjši M o K, "vsebuje" matriko, ki ustreza manjši M.

    Preprosto povedano, matrika, ki ustreza mejem manjši M, dobimo iz matrike, ki ustreza meji manjšim m o K, ki prečka elemente ene vrstice in en stolpec.

    Primer 3.

    Poiščite čin matrike:

    A \u003d 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

    Da bi našli uvrstitev, smo vzeli manjši od 2. vrstnega reda M \u003d 2 - 1 4 1

    Zapišemo vse osredotočene mladoletnike:

    1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

    Da bi utemeljili metodo razpršil sredstev, dajemo teremu, da besedilo, ki ne zahteva dokazove baze.

    Teorem 1.

    Če so vsi mladoletniki, vezavni manjši K-TI vrstnega reda matrike in naročilo P na N, so nič, potem so vsi mladoletniki naročila (K + 1) matrika nič.

    Algoritem akcije :

    Da bi našli rang matrike, ni potrebno razvrstiti vseh mladoletnikov, samo poglejte meje.

    Če so žariščni mladoletniki nič, potem je mesto matrike nič. Če obstaja vsaj en manjši, ki ni enaka nič, potem upoštevamo temeljne mladoletnike.

    Če so vse nič, je uvrstitev (a) enaka dvema. Če obstaja vsaj en ne-nič dolgočasen, potem nadaljujemo z upoštevanjem njenih živahnih mladoletnikov. In tako naprej, na enak način.

    Primer 4.

    Poiščite krpo matrike z metodo živahnih mladoletnikov

    A \u003d 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

    Kako rešiti?

    Ker element A 11 matrike ni enak nič, potem vzamemo manjši od 1. vrstnega reda. Začnimo iskati konec manjšega, drugačnega od nič:

    2 1 4 2 \u003d 2 × 2 - 1 × 4 \u003d 0 2 0 4 1 \u003d 2 × 1 - 0 × 4 \u003d 2

    Ugotovili smo, da vevedni mladoletnik 2. naročila ni enak nič 2 0 4 1.

    Izvajamo bust dolgočasnih mladoletnikov - (od njih (4 - 2) × (5 - 2) \u003d 6 kosov).

    2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

    Odgovor : Rank (a) \u003d 2.

    Iskanje ranga matrike z Metodo Gauss (z uporabo osnovnih transformacij)

    Spomnimo se, da je osnovna transformacije.

    Osnovne transformacije:

    • s preureditvijo strun (stolpcev) matrike;
    • z množenjem vseh elementov katere koli vrstice (stolpca) matrike na poljubno nonzero številko K;

    z dodajanjem elementov katerega koli niza (stolpca) elementov, ki ustrezajo drugemu odtoku (stolpcu) matrik, ki se pomnožijo z poljubno številko K.

    Opredelitev 5.

    Iskanje ranga matrike z Gauss - metoda, ki temelji na teoriji enakovrednosti matrik: če je matrika pridobljena iz matrike A z uporabo končnega števila osnovnih transformacij, nato Rank (A) \u003d Rank (B).

    Veljavnost te odobritve izhaja iz določitve matrike: \\ t

    • v primeru permutacije vrstic ali stolpcev matrike, njegova determinanta spremeni znak. Če je nič, potem, ko so vrstice ali stolpci persučni, ostane enaka nič;
    • v primeru množenja vseh elementov katere koli vrstice (stolpca) matrike na poljubno število K, ki ni enaka nič, je determinanta nastalega matrika enaka determinantam začetne matrike, ki se pomnoži K;

    v primeru dodajanja elementov določene vrstice ali stolpca matrike ustreznih elementov druge linije ali stolpca, ki se pomnoži s številko K, ne spreminja svoje determinante.

    Bistvo metode osnovnih transformacij : Vodite matrico, katere rang je treba najti Trapezoidni s pomočjo osnovnih transformacij.

    Za kaj?

    Razvrstitev tovrstnih matrik je dovolj, da najdete. To je enako številu vrstic, v katerih je vsaj en neničelni element. In ker se uvrstitev pri izvajanju osnovnih transformacij ne spremeni, bo to mesto matrike.

    Ta proces ponazarjamo:

    • za pravokotne matrike in naročilo P na N, katerih število vrst je večje od števila stolpcev: \\ t

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 N - 1 B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 N - 2 B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 BN - 1 N 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0, r ank (a) \u003d n

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 KB 1 K + 1 ⋯ B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 Kb 2 K + 1 ⋯ B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 Bkk + 1 ⋯ BKN 0 0 0 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, r ank (a) \u003d k

    • za pravokotne matrike in naročilo p na N, katerih število vrst je manjše od števila stolpcev: \\ t

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 Pb 1 P + 1 ⋯ B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 Pb 2 P + 1 ⋯ B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 BPP + 1 ⋯ BPN, R ANK (A) \u003d P

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 KB 1 K + 1 ⋯ B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 Kb 2 K + 1 ⋯ B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 Bkk + 1 ⋯ BKN 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 0

    • za kvadratne matrike in naročilo n na n:

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 N - 1 B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 N - 1 B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 BN - 1 N 0 0 0 0 ⋯ 0 1 , R ank (a) \u003d n

    A ~ 1 B 12 B 13 ⋯ B 1 KB 1 K + 1 ⋯ B 1 N 0 1 B 23 ⋯ B 2 Kb 2 K + 1 ⋯ B 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 Bkk + 1 ⋯ BKN 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, r ank (a) \u003d k, k< n

    Primer 5.

    Poiščite čin matrike A s pomočjo osnovnih transformacij:

    A \u003d 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

    Kako rešiti?

    Ker je element A 11 drugačen od nič, je treba razmnožiti elemente prvega niza matrike a za 1 A 11 \u003d 1 2:

    A \u003d 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

    Elemente 2. linije dodamo ustrezne elemente prve vrstice, ki se pomnožijo z (-3). Na elemente tretjega niza Dodaj elemente 1. vrstice, ki se pomnožijo z (-1):

    ~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 ( - 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) ) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) \u003d

    1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

    Element A 22 (2) se razlikuje od nič, zato razmnožemo elemente 2. vrstice matrike A do (2) N A 1 A 22 (2) \u003d - 2 3:

    A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    • Na elemente tretjega niza nastalega matrika dodajte ustrezne elemente 2. vrstice, ki se pomnožijo s 3 2;
    • elementom 4. elementa 2. vrsticah, ki se pomnožijo z 9 2;
    • elementi 5. vrstice so elementi druge vrstice, ki se pomnožijo s 3 2.

    Vsi elementi vrstic so nič. Tako smo s pomočjo osnovnih transformacij, smo pripeljali matriko na trapezoidno obliko, se zdi, da je R a n K (A (4)) \u003d 2. Iz tega sledi, da je uvrstitev začetne matrike enaka dvema.

    Komentar

    Če izvedete elementarne transformacije, približne vrednosti niso dovoljene!

    Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

    Priporočljivo je tudi

Nalaganje ...Nalaganje ...