Raztopina nelinearnih enačb

Naj bo treba rešiti enačbo

Kje
- nelinearne neprekinjene funkcije.

Metode za reševanje enačb so razdeljene na neposredno in iterativne. Neposredne metode so metode za izračun raztopine s formulo (na primer, iskanje korenin kvadratne enačbe). Iterativne metode so metode, v katerih je podan nekaj začetnega približevanja, in konvergenčno zaporedje približka natančne rešitve je zgrajena, in vsak poznejši približek se izračuna z uporabo prejšnjega

Celotna rešitev nalogi je razdeljena na 3 faze:

Nastavite številko, naravo in lokacijo korenin enačbe (1).

Poiščite približne vrednosti korenin, tj. Določite vrzeli, v katerih se korenine imenujejo (ločevanje korenin).

Poiščite korensko vrednost z zahtevano natančnostjo (pojasnite korenine).

Obstajajo različne grafične in analitične metode za reševanje prvih dveh nalog.

Najbolj vizualni način ločevanja korenin enačbe (1) je določiti koordinate križičnih točk funkcije funkcije
Z osi abscisa. Abscissa. točke presečitve grafike
z osi
so korenine enačbe (1)

Korenine korenin iz enačbe (1) se lahko pridobijo analitično na podlagi izrek na lastnostih funkcij, ki so neprekinjene na segmentu.

Če na primer funkcija
neprekinjeno
in
, v skladu z Bolzanom - Kauchyom, na segmentu
obstaja vsaj en koren enačbe (1) (liho število korenin).

Če je funkcija
izpolnjuje pogoje izreka bolzano-kavchy in monotonne na tem segmentu, nato pa na
obstaja samo en koren enačbe (1). Dejansko ima enačba (1)
edini koren, če so izpolnjeni pogoji:

Če je funkcija v določenem intervalu neprekinjeno diferencialna, lahko uporabite posledico poteza izrek, vzdolž katerega je vedno vsaj ena stacionarna točka med koreninami korenin. Algoritem reševanja problemov v tem primeru bo naslednje:

Uporabno orodje za ločevanje korena je tudi uporaba teorema napada.

Rešitev tretjega problema izvajajo različne iterativne (numerične) metode: metoda dihotomije, metoda enostavne iteracije, metoda Newtona, metoda akord itd.

Primer Reševanje enačbe
metoda enostavna iteracija. Nastaviti
. Zgradite graf funkcije.

Graf kaže, da koren naše enačbe pripada segmentu
.
- rezanje izolacije korena naše enačbe. Preverite analitično, t.e. Pogoji (2):

Spomnimo se, da se začetna enačba (1) v načinu enostavne iteracije pretvori v obrazec
in iteracije se izvajajo s formulo:

(3)

Izvajanje izračunov po formuli (3) se imenuje ena ponovitev. Iteracije se ustavijo, ko je izpolnjen pogoj
kje - absolutna napaka lokacije korena, ali
kje - Napaka hladiva.

Postopek enostavne iteracije se konvergira, če je stanje izpolnjeno
za
. Izberite funkcijo
V formuli (3) je mogoče vplivati \u200b\u200bna konvergenco metode. V najpreprostejšem primeru
z znakom plus ali minus.

V praksi pogosto izražajo
Neposredno iz enačbe (1). Če se stanje konvergence ne izvede, se preoblikuje v obrazec (3) in izbrano. Predstavljajte si našo enačbo v obliki
(Express X iz enačbe). Preverite stanje konvergence metode:

za
. Upoštevajte, da se stanje konvergence ne izvede
, zato vzamemo segment izolacije korenin
. Na poti ugotavljamo, da pri predstavitvi naše enačbe v obliki
Pogoj konvergence metode ni zadovoljen:
na reza
. Graf kaže, da
hitreje kot funkcija
(| Tg | Nagib nagiba
Na reza
)

Izberite
. Organiziramo iteracije po formuli:

Programmatično organizirajte proces iteracij z določeno točnostjo:

> fV: \u003d PROC (F1, X0, EPS)

> k: \u003d 0:

x: \u003d x1 + 1:

medtem ko ABS (X1X)\u003e EPS

x1: \u003d F1 (X):

tiskanje (Evalf (X1.8)):

tiskanje (ABS (X1-X)):

: Printf ("ITER. \u003d% D", K):

konec.:

Za 19 iteracij smo dobili koren naše enačbe

z absolutno napako

Naj naša enačba z Newtono. Iteracije v Newtonovi metodi se izvajajo s formulo:

Newtonova metoda se lahko šteje za metodo enostavne iteracije s funkcijo, nato pa se stanje konvergence metode Newtona zabeleži kot:

.

V našem imenovanju
in konvergenčni pogoj se izvaja na segmentu
Kaj je vidno v grafikonu:

Spomnimo se, da je metoda Newtona konvergira s kvadratno hitrostjo in začetni približek je treba izbrati dovolj blizu korenu. Izračuni za proizvodnjo:
, začetno približevanje ,. Organiziramo iteracije po formuli:

Programmatično organizirajte proces iteracij z določeno točnostjo. 4 iteracije dobijo koren enačbe

od
Pregledali smo metode reševanja nelinearnih enačb na primeru kubičnih enačb, seveda, te metode rešijo različne vrste nelinearnih enačb. Na primer, reševanje enačb

newton S.
, Najdemo koren enačbe na [-1,5; -1]:

Naloga: Rešite nelinearne enačbe s točnostjo

0.

rezane delitve na pol (dihotomija)

preprosta ponovitev.

Newton (Tangent)

sektorja - akord.

Možnosti za naloge se izračunajo na naslednji način: Seznam seznama je razdeljen s 5 (
), ves del ustreza številu enačbe, ostankov - število metode.

Laboratorijska številka 3-4.

Številka opcije 5.

Namen dela: Naučite se rešiti sisteme nelinearnih enačb (SNA) z metodo enostavnih iteracij (MPI) in Newtona z uporabo računalnika.

1. Preučiti metodo MPI in Newtona za reševanje sistemov nelinearnih enačb.

2. Na posebnem primeru, asimilirati postopek za reševanje sistemov nelinearnih MPI enačb in Newtona z uporabo računalnika.

3. Naredite program in s tem, da rešite sistem enačb z natančnostjo.

Primer izvedbe

Naloga.

1. Analitično reševanje spanja:

2. Zgradite delovne formule MPI in Newtonova metoda za numerično rešitev sistema ob začetnem približevanju :.

3. Naredite program v katerem koli programskem jeziku, ki izvaja zgrajen iterativni proces.

Sklep.

Analitična metoda.

Analitična rešitev za spanje so točke in.

Metoda enostavnih iteracij (MPI).

Za izgradnjo delavcev, MPI formule za numerično rešitev sistema mora najprej pripeljati na misel:

Če želite to narediti, pomnožite prvo enačbo sistema na neznano konstanto, drugi - na, nato jih dodamo in jih dodamo v oba dela enačbe. Pridobimo prvo enačbo preoblikovanega sistema:

Neznane osebe določajo zadostne pogoje za konvergenco iterativnega procesa:

Te pogoje podrobneje pišemo:

Ko je verjel v nič izrazov pod znakom modula, dobimo sistem linearnih algebrskih enačb (Slava) 4 naročila velikosti s 4 neznanci:

Za reševanje sistema je treba izračunati zasebne izvedene finančne instrumente:

Potem bo Slava zabeležena taka:

Upoštevajte, da če se zasebni izvedeni finančni instrumenti malo spremenijo v soseski začetnega približka, potem:

Potem bo Slava zabeležena taka:

Z rešitvijo tega sistema so točke ,,,, Potem bodo delovne formule MPI za rešitev Snu pogledali:

Za izvajanje na računalniku se lahko delovne formule ponovno napišejo tako:

Iterativni proces se lahko zažene z nastavitvijo začetnega približevanja x 0 \u003d -2, y 0 \u003d -4. Postopek se konča med izvajanjem dveh pogojev istočasno: in. V tem primeru so vrednosti približna vrednost ene od rešitev SNU.

Newtonova metoda.

Za izgradnjo delovnih formul metode Newtona v obliki

kje, potrebujete:

1. Poiščite matriko zasebnih derivatov:

2. Poiščite determinanta te matrike:

3. Določite vrnjeno matrico:

Po pretvorbi:

Dobili smo delovno formulo Newtonove metode za izvajanje računalnika:

Blok diagram MPE in Newtonova metoda za signalno raztopino je prikazana na sliki 1.

Slika 1 metode MPI in Newton.

Besedila programov:

PROGRAM P3_4; (Ponovitve)

uporablja CRT;

vAR N: celo število;

CLRSCR;

XN: \u003d X- (X-Y + 2) + (1/2) * (X * Y-3);

yn: \u003d y + (2/3) * (x - y + 2) + (1/6) * (x * y-3);

WRITELN (N: 3, X: 9: 5, XN: 9: 5, (XN-X): 9: 5, Y: 9: 5, YN: 9: 5, (YN-Y): 9: 5) ;

n: \u003d n + 1;

Do (ABS (X-ZX)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

Readln;

2) METODA NEWTON:

PROGRAM P3_4; (Nyuton)

uporablja CRT;

vAR N: celo število;

X0, X, XN, Y0, Y, YN, EPS, ZX, ZY: Real;

CLRSCR;

N: \u003d 0; X0: \u003d - 2; X: \u003d X0; Y0: \u003d - 4; Y: \u003d y0; EPS: \u003d 0,001;

WRITELN ("N x (I) X (I + 1) X (I + 1) -X (I) Y (I) Y (I + 1) Y (I + 1) -y -y (I)");

XN: \u003d x- (1 / (x + y)) * (x * x-x * y + 2 * x + x-y + 2);

yn: \u003d y- (1 / (x + y)) * (x * y * (- y) -3 * (- y) + x * y-3);

WRITELN (N: 3, X: 9: 5, XN: 9: 5, ABS (XN-X): 9: 5, Y: 9: 5, YN: 9: 5, ABS (YN-Y): 9: pet);

n: \u003d n + 1;

dokler (ABS (X-ZX)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

Rezultati preskusov programa:

· Slika.2 - Programi, ki delujejo v skladu z metodo navadnih iteracij;

· Slika.3 - Newtonov programski program.

Sl.2 Odgovor: X (16) ≈ -300023, (16) ≈ -100001

Sl.3 Odgovor: X (8) ≈-3.00000, Y (8) ≈ - / 100000

Vsi ljudje iz narave želijo vedeti. (Aristotel. Metafizika)

Numerične metode: reševanje nelinearnih enačb

Naloge reševanja enačb so nenehno v praksi, na primer, v gospodarstvu, razvoj podjetja, želite vedeti, kdaj dobiček doseže določeno vrednost, v medicini v študiji delovanja drog, je pomembno vedeti, kdaj Koncentracija snovi doseže določeno raven itd.

Pri optimizaciji nalog je pogosto treba določiti točke, v katerih se izpeljana funkcija nanaša na 0, ki je predpogoj lokalno Ekstrukt.

V statistiki pri gradnji ocen, ki jih najmanjših kvadratov ali metode največje verjetnosti, je treba rešiti nelinearne enačbe in sisteme enačb, je treba rešiti.

Torej, obstaja celoten razred nalog, povezanih z iskanjem rešitev. nelinear. Enačbe, na primer, enačbe ali enačbe itd.

V najpreprostejšem primeru imamo funkcijo, ki je navedena na segmentu ( a., b) in sprejemanje določenih vrednosti.

Vsaka vrednost x. iz tega segmenta lahko primerjamo številko, to je delujoč Odvisnost, ključni koncept matematike.

Poiskati moramo takšno vrednost, v kateri se taka imenuje Funkcija korenin

Vizualno moramo določiti križišče funkcije Z osi abscisa.

Metoda delitve na pol

Najenostavnejši način iskanja korenin enačbe je metoda delitve na polovici ali dihotomijo.

Ta metoda je intuitivna in vsi bi delovali pri reševanju problema na podoben način.

Algoritem je naslednji.

Recimo, da smo našli dve točki in, kot so drugačen Znaki, nato med temi pikami, je vsaj en koren funkcije.

Segment delimo na pol in uvesti sredina Točka.

Potem niti .

Pustimo polovico segmenta, za katere imajo vrednosti na koncih različne znake. Zdaj je ta segment ponovno razdeljen na pol in pusti del tega, na mejah, od katerih ima funkcija različne znake, in tako naprej, doseganje zahtevane natančnosti.

Očitno, postopoma smo suzim območje, kjer se nahaja koreninski rok funkcije, in zato z določeno stopnjo natančnosti, jo opredeljujemo.

Opomba Opisan algoritem, ki se uporablja za vsako neprekinjeno delovanje.

Prednosti metode delitve na polovici morajo vključevati visoko zanesljivost in preprostost.

Pomanjkljivost metode je dejstvo, da morate pred začetkom vloge najti dve točki, vrednosti funkcij, v katerih imajo različne znake. Očitno se metoda ne uporablja za korenine celo množice in jih ni mogoče posplošiti v primeru kompleksnih korenin in na sistemu enačb.

Postopek za konvergenco linearne metode, na vsakem koraku, natančnost se dvakrat povečuje, več ponovitev je narejena, natančneje določi koren.

Newton Metoda: Teoretične osnove

Classic Newtonova metoda ali tangente To je, če - nekateri pristop k enačbi korenin Naslednji približek je opredeljen kot koreninski tangent s funkcijo, porabljenim na točki.

Enačba tangenta na funkcijo na točki je:

V enačbi tangenta, bomo to tudi dali.

Potem je zaporedni algoritem v Newtonovi metodi naslednji:

Konvergenca metode tangenta kvadratnega, vrstnega reda konvergence je 2.

Tako je konvergenca metode tangenta Newtona zelo hitra.

Ne pozabite na to čudovito dejstvo!

Brez sprememb se metoda posploši na celovit primer.

Če je koren koren druge množitve in zgoraj, vrstni red konvergence pade in postane linearna.

Vaja 1.. Poiščite metodo tangencialne rešitve enačbe na segmentu (0, 2).

Vaja 2. Poiščite metodo tangencialne rešitve enačbe na segmentu (1, 3).

Pomanjkljivosti metode Newtona bi morale vključevati njeno lokacijo, saj je zagotovljena, da se konvergira v samovoljnem začetku približevanja le, če je pogoj izpolnjen povsod V zmedo, je konvergenca le v nekem sosedstvu korena.

Pomanjkljivost metode Newtona je potreba po izračun izvedenih finančnih instrumentov na vsakem koraku.

Newtonova vizualizacija metode

Newtonova metoda (metoda tangenta) se uporablja, če enačba f.(x.) = 0 Ima korenin in pogoji so izpolnjeni:

1) Funkcija y.= f.(x.) Opredeljeno in neprekinjeno;

2) f.(a.)· f.(b.) < 0 (Funkcija prevzame vrednosti različnih znakov na koncih segmenta [ a.; b.]);

3) Derivati f "(x.) in f ""(x.) Ohranite znak na segmentu [ a.; b.] (i.e. funkcija f.(x.) se poveča ali zmanjša na segmentu [ a.; b.], hkrati pa ohraniti smer konveksnosti);

Glavna ideja metode je naslednja: na segmentu [ a.; b.] Izbrana taka številka x. 0 , v kateri f.(x. 0 ) ima isti znak kot f."" (x. 0 ), i.e. Pogoj se izvede f.(x. 0 )· f."" (x.) > 0 . Tako je izbrana točka z absciso x. 0 v kateri je tangenta krivulje y.= f.(x.) Na segmentu [ a.; b.] Prečkamo os Vol.. Za točko x. 0 Najprej je primerno izbrati enega od koncev segmenta.

Razmislite o metodi Newtona na posebnem primeru.

Dajmo vse večjo funkcijo y \u003d f (x) \u003d x 2 -2, neprekinjeno na segmentu (0; 2) in imajo f "(x) \u003d 2 x. > 0 in f. "" (x) \u003d 2 > 0 .

Slika1 . f (x) \u003d x 2 -2

Enačba tangencij na splošno je prisotna:

y-y 0 \u003d f" (x 0) · (x - x 0).

V našem primeru: y-Y 0 \u003d 2x 0 · (X-X 0).Kot točko x 0 izberite točko B 1 (B; F (B)) \u003d (2.2). Nosimo prednost funkcije y \u003d f (x) Na točki B 1, in navajamo točko presečišča tangenta in osi Vol. Točka x 1.. Pridobimo prvo tangentno enačbo: y-2 \u003d 2 · 2 (X-2), Y \u003d 4x-6.

Ox: x 1 \u003d

Slika2. Rezultat prve ponovitve

y \u003d f (x) Vol. Skozi točko x 1., dobite točko Pri 2 \u003d (1,5; 0,25). Ponovno porabimo tangento za funkcijo y \u003d f (x) V točki 2 in se nanašajo na točko presečišča tangenta in osi Vol. Točka x 2..

Druga Tangenecy enačba: y.-0.25=2*1.5(x.-1.5), y. = 3 x. - 4.25.

Presečišče tangenta in osi Ox: x 2 \u003d.

Slika3. Druga iteracija Newtonove metode

Potem poiščite točko križišča funkcije y \u003d f (x) in pravokotno porabljeno na osi Vol. Skozi točko X 2 dobimo točko v 3 in tako naprej.

Slika4. Tretji korak metode tangenta

Prvi približek korena se določi s formulo:

= 1.5.

Drugi približek korena se določi s formulo:

=

Tretji približek korena se določi s formulo:

V to smer , jAZ.- Približevanje korena se določi s formulo: \\ t

Izračuni potekajo do naključja decimalnih znakov, ki so potrebni za odziv, ali dano točnost e - pred izvedbo neenakosti | xI.- xI.-1 | < e..

V našem primeru primerjamo približek, pridobljen v tretjem koraku z resničnim odgovorom, ki izračunava na kalkulatorju:

Slika 5. Koren od 2, izračun na kalkulatorju

Kot je razvidno, v tretjem koraku smo dobili napako, ki je manjša od 0,000002.

Tako lahko izračunate vrednost velikosti "kvadratnega korena 2" s katero koli stopnjo natančnosti. Ta čudovita metoda je izumil Newton in omogoča korenine zelo zapletenih enačb.

Newton Metoda: Uporaba na C ++

V tem članku smo avtomatizirali proces izračuna korenin enačb s pisanjem aplikacije konzole v C ++. Razvili smo ga v Visual C ++ 2010 Express, to je brezplačno in zelo priročno razvojno okolje C ++.

Za začetek, zaženite Visual C ++ 2010 Express. Prikaže se začetno okno. V levem kotu kliknite »Ustvari projekt«.

Sl. 1. Začetna stran Visual C ++ 2010 Express

V meniju, ki se prikaže, izberite »Win32 Console Application«, vnesite metodo »Metoda«.

Sl. 2. Ustvarjanje projekta

// Metoda: CPP: Določa vstopno točko za aplikacijo konzole #Include "stdafx.h" #Include. uporabo imena STD; float f (dvojno x) // vrne vrednost funkcije f (x) \u003d x ^ 2-2 float df (float x) // vrne vrednost derivata float d2f (float x) // vrednost drugega derivata int _Tmain (INT ARGC, _TCHAR * ARGV) iNT EXIT \u003d 0, I \u003d 0; // spremenljivke za izhod in cikel dvojni x0, Xn; // Izračunani približki za root dvojno A, B, EPS; // Cut Borders in potrebna natančnost cout.<<"Please input \n=>"; cIN \u003e\u003e a \u003e\u003e b; // Vnesite meje segmenta, na katerem bomo iskali koren cout.<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cIN \u003e\u003e EPS; // Vnesite želeno natančnost izračuna Če (A\u003e B) // Če uporabnik zmede mejo segmenta, jih spremeni na mestih Če (F (A) * F (B)\u003e 0) // Če so znaki funkcije na robovih segmenta enaki, potem ni koren cout.<<"\nError! No roots in this interval\n"; Če (F (A) * D2F (A)\u003e 0) X0 \u003d A; //, da izberete izhodišče, preverite F (X0) * D2F (X0)\u003e 0? xn \u003d X0-F (X0) / DF (X0); // menimo, prvi približek cout.<<++i<<"-th iteration = "< medtem ko (FABS (X0-XN)\u003e EPS) // dokler ne dosežete potrebne natančnosti, se bo še naprej izračunala xn \u003d X0-F (X0) / DF (X0); // neposredno s formulo Newton cout.<<++i<<"-th iteration = "< cout.<<"\nRoot = "< cout.<<"\nExit?=>"; ) Medtem ko (izhod! \u003d 1); // Medtem ko uporabnik ni vnesel izhod \u003d 1

Poglejmo, kako deluje. Kliknite na zeleni trikotnik v zgornjem levem kotu zaslona ali tipko F5.

Če je napaka pri kompilaciji "ERROR LNK1123: Neuspeh pri pretvorbi v COFF: Datoteka je neveljavna ali poškodovana," se to zdravi z namestitvijo prvega servisnega paketa 1 ali v nastavitve projekta lastnosti -\u003e Nakladalec izklopite inkrementalno postavitev.

Sl. 4. Reševanje napak pri zbiranju projekta

Poiskali bomo korenine iz funkcije f (x) \u003d.x2-2..

Najprej preverite uporabo aplikacije na "napačnih" vhodnih podatkih. Na segmentu ni korenin, naš program mora izdati sporočilo o napaki.

Imamo okno za uporabo:

Sl. 5. Vnos vhodnih podatkov

Uvajamo meje segmenta 3 in 5, in natančnost 0,05. Program, kot je bilo, je izdal sporočilo o napaki, da na tem segmentu ni korena.

Sl. 6. Na ta segment korenin ni nič! "

Še ne bomo šli ven, tako na sporočilu "Izhod?" Vstopimo v "0".

Zdaj preverite uporabo aplikacije na pravilnih vhodnih podatkih. Uvajamo segment in natančnost 0,0001.

Sl. 7. Izračun korena s potrebno natančnostjo

Kot smo videli, je bila na 4. ponovitvi dosežena potrebna natančnost.

Za izhod iz aplikacije vnesite "EXIT?" \u003d\u003e 1.

Metoda sekventa

Da bi se izognili izračunu derivata, se lahko metoda Newtona poenostavi, ki nadomešča derivat o približni vrednosti, izračunana z dvema prejšnjima točkama:

Iterativni proces je:

To je dvostopenjski iterativni proces, ker uporablja dve prejšnji, da bi našli poznejši približek.

Postopek za konvergenco postopka zaporedja je nižji od metode tangenta in enake v primeru ene korena.

Ta čudovita vrednost se imenuje Zlati prerez:

Prepričan bom na to, ki šteje za udobje.

Tako, s točnostjo neskončno majhnega višjega reda

Z zavrženjem preostalega člana dobimo ponavljajoče se razmerje, katere raztopina je naravno poiskati.

Po zamenjavi imamo: in

Za konvergenco je treba zato pozitivno.

Ker poznavanje derivata ni potrebno, potem z enakim izračunom v oddelku sektorja (kljub manjšim vrstnim redam konvergence), je mogoče doseči večjo natančnost kot pri načinu tangenta.

Upoštevajte, da je blizu korena, ki ga morate razdeliti v majhno število, in to vodi do izgube natančnosti (zlasti v primeru več korenin), zato izbira razmeroma majhne, \u200b\u200bizvedejo izračune pred izvedbo In še naprej zmanjšujejo svojo razliko v razlika v sosednjih približkih.

Takoj, ko se rast začne, se izračuni ustavijo in zadnja ponovitev se ne uporablja.

Tak postopek za določanje časa konca iteracije se imenuje sprejem Garvika.

Metoda parabole.

Razmislite o metodi treh korakov, v kateri je približek določen s tremi prejšnjimi točkami, in. \\ T

Če želite to narediti, zamenjati, podobno oddelku sektorja, funkcija interpolacijske parabole, ki poteka skozi točke, in.

V obliki Newtona ima obliko:

Točka je opredeljena kot ena izmed korenin te polinome, ki je bližje modulu do točke.

Postopek za konvergenco metode parabole je višji od metode particije, vendar nižja od metode Newtona.

Pomembna razlika od prej obravnavanih metod je, da tudi če je resnična z resničnimi in začetnimi približki, ki jih je izbran Realni, Parabola metoda lahko privede do integriranega korena začetne naloge.

Ta metoda je zelo priročna za iskanje visoko stopnjo polinomskih korenin.

Metoda preprostih iteracij

Naloga iskanja rešitev enačb je mogoče oblikovati kot naloga iskanja korenin: ali kot naloga iskanja fiksne točke.

Naj bo. In - stiskanje: (zlasti dejstvo, da - stiskanje, kako zlahka videti, pomeni to).

Na theremu Banacha je edinstvena točka

Najdemo se kot meja preprostega iterativnega postopka.

kjer je začetni približek samovoljna točka vrzeli.

Če je diferencialna funkcija, potem je priročno merilo kompresije številka. Dejansko, na Lagrange Therem

Torej, če je derivat manjši od enega, je stiskanje.

Pogoj V bistvu, za, na primer, na, ni fiksne točke, čeprav je derivat nič. Hitrost konvergence je odvisna od vrednosti. Manj, hitreje je konvergenca.

Oddelek za Fizhemia Yufu (RSU)
Numerične metode in programiranje
Materiali za predmet predavanja
Predavatelj - Umetnost. Prep. Scherbakov i.N.

Sistemi nelinearnih enačb

Pri reševanju problemov modeliranja obnašanja kemijskih sistemov je pogosto potrebno rešiti sisteme enačb, ki niso nelinearne glede na spremenljivke. Sistemi N. Linearne enačbe z n neznano x 1, x 2, ..., x n splošno sprejeta na naslednji način:

kjer je F 1, F 2, ..., F n kakršne koli funkcije neodvisnih spremenljivk, vključno z nelinearnimi glede na neznano.

Kot v primeru linearnih enačb je sistemska rešitev taka vektor (ali vektorji) (X *), ki je med substitucijo istočasno samo vse enačbe sistema v identitetah.

Sistem enačb ne sme imeti rešitev, imajo eno rešitev, končno ali neskončno število rešitev. Vprašanje števila rešitev je treba rešiti posebej za vsako določeno nalogo posebej.

Razmislite o več enostavnih iterativnih metodah za reševanje sistemov nelinearnih enačb, in sicer metoda preproste ponovitve, metoda Zeidela in metode Newton.

Metoda preproste ponovitve

Za izvajanje te metode je topni sistem enačb potreben z algebrskimi transformacijami, ki vodijo do naslednje oblike, ki izražajo iz vsake enačbe na eni spremenljivki, kot sledi:

Izbira začetnega približevalnega vektorja

zamenjati pretvorjeni sistem enačb. Iz prve enačbe, se pridobljeni nov približek prve spremenljivke, od druge-sekunde itd. Nastala določena vrednost spremenljivk je spet substituirana v te enačbe, itd. Diffx, na (I + 1) iterativni postopek

Metoda ZEIZE.

Sprememba zdravila Zeidel algoritem enostavne iteracije je uporaba rafiniranih vrednosti spremenljivk že na trenutni stopnji ponovitve. Torej, da pojasniti vrednosti prve spremenljivke, se uporabljajo samo vrednosti prejšnjega koraka, za drugo spremenljivko - vrednost x 1 trenutnega koraka in ostalo - od prejšnjega itd. :D:

METODA NEWTON RAFSON.

Matematična osnova metode je linearizacija funkcij F. 1 , F. 2 , F N. (levi deli enačb, ki nastanejo) z razgradnjo v seriji Taylorja v soseski točke začetnega približevanja reševanju in neupoštevanja vseh članov serije poleg linearnega razmeroma poveča spremenljivke.

Razmislite o metodi na primeru sistema dveh enačb z dvema neznanma:

Linearizirajte funkcije F. 1 , F. 2 Z razgradnjo v seriji Taylorja v bližini neke točke (začetno približevanje) in neupoštevanje vseh članov serije poleg linearnega glede na povečanje spremenljivk.

Spomnimo se, da ima za funkcijo ene spremenljivke, razgradnja v seriji Taylorja v bližini določene točke X 0 ima naslednji obrazec:

po neupoštevanju vseh članov, razen linearnega:

Za funkcijo več spremenljivk se razgradnja izvede podobno.

Izberite za iskanje rešitev sistema enačb nekaj začetnih približkov

Pišemo za funkcijo F. 1 2 Spremenljivke linearnega dela razgradnje v seriji Taylorja v bližini izbrane točke

za drugo enačbo podobno

Če variabilne vrednosti x. 1 in x. 2 so rešitev, obe enačbe sistema bi se morala pritožiti na nič, tako da nastale razgradnje enačijo nič.

Za kratko snemanje uvajamo naslednjo notacijo:

Prirast spremenljivke

Vrednost prve zasebne funkcije F. j s spremenljivko X i s spremenljivimi vrednostmi

- Vrednost J je funkcija pri ustreznih vrednostih spremenljivk, to je edinstvenost J-to enačba.

Dobimo sistem linearnih enačb 2 x 2 glede povečanja spremenljivk

Ali, v matrični obliki,

kjer se matrika vrednot zasebnih izvedenih finančnih instrumentov imenuje matrika JacoBi (ali jacobian.). Rešitev tega sistema daje vektorske spremembe začetnega približevanja.

Poleg tega z začetnim približevalnim vektorjem daje nove vrednosti spremenljivk.

Postopek rešitve je torej naslednji:

1. Izbrano je začetno približevanje, sistem se zmanjša na normalno, v analitični obliki so zasebni derivati \u200b\u200bdesnih delov enačb sistema na vse izmenično.

2. Izračuna se matrika jamstvenih izvedenih finančnih instrumentov JACOBI ob začetnem približevanju.

3. Rešil je sistem linearnih enačb glede na korake spremenljivk.

4. Vektor za zaposlovanje se doda Osnovni vektorji približevanja

5. Pogoj za konvergenco se preveri in, če ni dosežen, se postopek ponovi z odstavkom 2. \\ t

Metoda se enostavno posploši na sistemu enačb vsake dimenzije.

Za funkcijo F 1 N Spremenljivke linearnega dela razgradnje v seriji Taylorja v soseski točke napisano tako

Po razgradnji vseh enačb sistema in z uporabo predhodno vnesenih označb po preoblikovanju dobimo sistem linearnih enačb naročila n glede na prirast spremenljivk Δ x i

Ali, v matrični obliki,

V skrajšani obliki je mogoče napisati tako - (F «) (Δ x) \u003d - (f), kjer je matrika vrednosti zasebnih derivatov - (F") - imenovana Matrix Jacobi. ali jacobian. Sistemi enačb.

Rešitev tega sistema daje vektorske spremembe začetnega približevanja. Dodajanje tega z začetnim približevalnim vektorjem daje nove, določene vrednosti spremenljivk.

Zasebni derivati, potrebni za izračun jacobi Matrice., Je mogoče izračunati analitično ali, če je nemogoče ali težko pridobiti, glede na formule približne diferenciacije, na primer, kot razmerje prirastka funkcije, da bi povečali argument

kje ePSILON.- dovolj majhno število.

Metode za spremljanje konvergence iterativnih metod
Sistemske rešitve

Konvergenca iterativnega procesa reševanja sistema nelinearnih enačb je mogoče nadzorovati na več načinov, na primer:

1. Normalno (Euklidov ali -maksimat), ki je pogledal vektor

2. Euclideoova norma relativnih različic spremenljivk

3. Norm-maksimalni vektor relativnih odstopanj

Uporabite Newtonova metoda za reševanje sistema enačb

Matrica zasebnih derivatov (v analitični obliki)

Sistem linearnih enačb

Lahko ga reši analitično ali z daljinskim upravljalnikom ali metodo cirkulacije matrike. Vzemite začetni približek x \u003d 0,15, y \u003d 0,17

Prva ponovitev:

JACOBI MATRIX - vrednosti vektorske funkcije Izračunani vektorske spremembe Novo približevanje x \u003d 0.15 + 0.028704 \u003d 0.178704, Y \u003d 0,17 + 0.090926 \u003d 0,090926 \u003d 0,260926 Druga iteracija: Izračunani vektorski predlogi sprememb Novo približevanje x \u003d 0.196656, Y \u003d 0,293359 Tretja iteracija: Izračunani vektorski predlogi sprememb Novo približevanje x \u003d 0,199867, Y \u003d 0,299739 Že na 6. ponovitvi Euclidove, norma nejasnega vektorja je 2,8 ∙ 10 -13, največja relativna sprememba spremenljivk je 1,6 ∙ 10 -12 in Rešitev se konvergira na X \u003d 0,2, Y \u003d 0,3 z absolutno napako manj kot 5 ∙ \u200b\u200b10 -7. Postopek enostavne iteracije pod enakimi začetnimi pogoji se konvergira s točnostjo na 33. koraku, sprememba zdravila Zeidelo - na 31. koraku. Spodnja slika prikazuje primer organizacije izračunov pri reševanju obravnavanega sistema v programu MS Excel
Pojasnila: V celicah B3 in B4 so postavljeni začetni približki raztopine sistema (vrednosti x 0 in y 0). V območju D3: E4 celice, formule za izračun matrike YakoBI so postavljeni, če je X v celici B3, in Y v B4 celici (formule so prikazane spodaj). V celicah G3: G4 izračuna vrednost vektorja Venere z negativnim znakom.
V celici H3 se Euclideoova izračuna po novinanju nenavadnega vektorja. V celicah I3: I4 - sistem linearnih enačb je rešen in se izračuna vektor sprememb raztopine. Za to je matrika sistemskih koeficientov (matrika JacoBi) narisana in pomnožena na vektorski koloni prostih članov (negativni vektor ostankov). Formula v tem obsegu celic se vnese kot formula za matriko. V bližini - v celici J3 - se izračuna norma vektorja sprememb do nadzora konvergence (glej formule na spodnji sliki).
Vrednosti, dobljene v celicah I3: I4 se dodajo začetnemu približevanju (v celicah B6: B7), nato pa se izračuni ponovijo podoben prvemu ciklu. Formule, zabeležene v vrstici 6 in 7, se lahko kopirajo, dokler se ne doseže zahtevana natančnost.

Naloge, zmanjšane na rešitev sistema nelinearnih enačb

Primer težave, v katerem se uporablja raztopina sistemov nelinearnih enačb, je lahko približek tabele, ki je določena funkcija z matematičnimi modeli, nelinearni glede na parametre. Prej je bila podrobno opisana. Če ga prilagoditvena funkcija in parametre, ki jih določajo i. označite na naslednji način pogoj, da prečkajo razpored funkcije prek vseh tabel Nastavitvenih vrednosti je mogoče napisati v obliki naslednjega sistema: Drug primer je iskanje ekstremnega (najmanjšega ali največ) funkcije več spremenljivk ekstremnega pogoja je sočasna enakopravnost nič vseh zasebnih derivatov. Zato je treba rešiti sistem enačb naslednjih vrst, ki bodo v splošnem primeru nelinearne

Metoda preproste ponovitve, ki se imenuje tudi zaporedna približna metoda, je matematični algoritem za iskanje vrednosti neznane vrednosti s postopnim pojasnilom. Bistvo te metode je, da, kot je razvidno iz imena, postopoma izraža naslednje iz začetnega približevanja, dobili več in bolj rafinirane rezultate. Ta metoda se uporablja za iskanje vrednosti spremenljivke v dani funkciji, kot tudi pri reševanju sistemov enačb, tako linearnih kot nelinearnih.

Razmislite, kako se ta metoda izvaja pri reševanju naklona. Enostavna iteracijska metoda ima naslednji algoritem:

1. Preverjanje izvajanja pogoja konvergence v izvorni matrici. Convergence Therem: Če ima izvorna matrika sistema diagonalno razširjenost (ki je v vsaki vrstici, morajo biti elementi glavne diagonale več modulo kot vsota elementov z diagonali v modulu), nato metoda enostavnih iteracij se gibljejo.

2. Matrika izvornega sistema nima vedno diagonalne prevlade. V takih primerih se lahko sistem pretvori. Enačbe, ki izpolnjujejo konvergenčni pogoj, so ostale nedotaknjene in z nezadostno linearnimi kombinacijami, t.j. Stroj, odbitek, zložljive enačbe med seboj, dokler ne dobijo želenega rezultata.

Če so neprimerni koeficienti v glavni diagonalni v glavni diagonalni, se komponente, ki se dodajo obema delih take enačbe, katerih znaki naj se ujemajo z znaki diagonalnih elementov.

3. Transformacija nastalega sistema na normalno obliko:

x - \u003d β - + α * X -

To je mogoče narediti na več načinov, na primer, zato: od prve enačbe za izražanje x 1 skozi drugo neznano, od drugega 2, od tretjega 3, itd. V tem primeru uporabljamo formule:

α ij \u003d - (IJ / ai)

i \u003d B I / A II
Potrebno je zagotoviti, da pridobljeni sistem normalnih vrst ustreza konvergenčnemu stanju:

Σ (j \u003d 1) | α ij | ≤ 1, z i \u003d 1,2, ... n

4. Začeli smo veljati, v resnici, metodo zaporednih približkov.

x (0) - Začetni približek, Express X (1), poleg X (1) Express X (2). Splošna formula in matrika izgleda takole:

x (N) \u003d β - + α * x (n-1)

Izračunajte, dokler ne dosežete zahtevane natančnosti:

max | x i (k) -x i (k + 1) ≤ ε

Torej, razumemo metodo enostavne ponovitve v praksi. Primer:
Rešite Slaya:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 \u003d 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 \u003d 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4 s točnostjo ε \u003d 10 -3

Poglejmo, če diagonalni elementi prevladujejo modul.

Vidimo, da stanje konvergence izpolnjuje samo tretjo enačbo. Prva in druga pretvorimo prvo enačbo, da dodamo drugo:

7.6x1 + 0,6x2 + 2.4x3 \u003d 3

Od tretjega bo izdal prvo:

2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2

Prvotni sistem smo preoblikovali v enakovredni:

7.6x1 + 0,6x2 + 2.4x3 \u003d 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4

Zdaj dajemo sistem normalni obliki:

x1 \u003d 0.3947-0.0789x2-0.3158x3.
x2 \u003d 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 \u003d 0,8511-0.383x1-0.5319x2.

Preverite konvergenco postopka ponovitve:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 \u003d 0,9149 ≤ 1, t.j. Stanje se izvede.

0,3947
Začetni približek X (0) \u003d 0.4762
0,8511

Te vrednosti nadomeščamo enačbi normalne oblike, dobimo naslednje vrednosti:

0,08835
X (1) \u003d 0,486793
0,446639

Nameravamo nove vrednosti, dobimo:

0,215243
x (2) \u003d 0.405396
0,558336

Še naprej se izračunamo do trenutka, dokler vrednosti ne izpolnjujejo določenega pristopa.

x (7) \u003d 0,441091

Preverite pravilnost dobljenih rezultatov:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1 * 0,1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0,544 \u003d 0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Rezultati, pridobljeni med zamenjavo ugotovljenih vrednosti v začetne enačbe, v celoti izpolnjujejo pogoje enačbe.

Kot smo videli, je preprosta metoda iteracije daje precej natančne rezultate, vendar, da bi rešila to enačbo, smo morali porabiti veliko časa in izdelati obsežnih izračunov.