Kako rešiti določen integral. Določene integralne in metode za njen izračun. Poiščite poseben integral sebe in nato glej odločitev

Postopek reševanja integralov v znanosti pod imenom "Matematika" se imenuje integracija. S pomočjo integracije lahko najdete nekatere fizične količine: območje, volumen, masa teles in še veliko več.

Integrami so negotovi in \u200b\u200bopredeljeni. Razmislite o vrsti določenega integralnega in poskusite razumeti njegov fizični pomen. Zdi se v tem obrazcu: $$ int ^ a _b f (x) dx $$. Posebna značilnost piše poseben integral iz nedoločenega, da obstaja integracijska meja A in b. Zdaj bomo ugotovili, kaj potrebujejo, in da še vedno pomeni določen integral. V geometričnem smislu je taka integrala enaka območju slike, omejene krivulje F (X), linije A in B, in os OH.

Slika 1 kaže, da je določen integral isto območje, ki je pobarvano s sivo. Preverimo ga na najpreprostejši primer. Z integracijo bomo našli območje slike na sliki, nato pa ga izračunamo na običajen način, da pomnožimo dolžino širine.

Slika 2 kaže, da $ y \u003d f (x) \u003d $ 3, $ a \u003d 1, b \u003d $ 2. Zdaj jih nadomestimo v opredelitev integrala, dobimo to $$ s \u003d int _a ^ bf (x) dx \u003d int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) velika | _1 ^ 2 \u003d (3 cdot 2) - (3 cdot 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 Besedilo (ur) ^ 2 $$ Preverimo na običajen način. V našem primeru, dolžina \u003d 3, širina slike \u003d 1. $$ S \u003d besedilo (dolžina) CDOT Besedilo (širina) \u003d 3 CDOT 1 \u003d 3 Besedilo (ur) ^ 2 $ $ kot vi lahko vidi, vse je popolnoma sovpadalo.

Pojavi se vprašanje: Kako rešiti integrate so negotovi in \u200b\u200bkakšen je pomen? Rešitev takih integralov je ugotovitev primitivnih funkcij. Ta proces je nasprotno, da najdete derivat. Da bi našli primarno, lahko uporabite našo pomoč pri reševanju problemov v matematiki ali pa morate samostojno nedvomno voziti lastnosti integralov in integracijske tabele najpreprostejših osnovnih funkcij. Iskanje je tako $$ int f (x) dx \u003d f (x) + c besedilo (kje) f (x) $ je primitivni $ f (x), c \u003d € $.

Če želite rešiti integral, morate vključiti funkcijo $ f (x) $ prek spremenljivke. Če je funkcija tabela, se odgovor zabeleži v ustrezni obliki. Če ne, se postopek zmanjša na tabelovo funkcijo od funkcije $ f (x) $ z zbrisanimi matematičnimi transformacijami. Za to obstajajo različne metode in lastnosti, ki še dodatno upoštevajo.

Torej, zdaj naredite algoritem, kako rešiti integrate za lutke?

Algoritem za izračun integralov

Naučimo se določenega integralnega ali ne.
Če je negotova, potem morate najti primitivno funkcijo $ f (x) $ iz integriranega $ f (x) $ z uporabo matematičnih transformacij, ki vodijo do tabelarnega ogled funkcijo $ f (x) $.
Če je definiran, potem morate izvesti korak 2, nato pa nadomestiti meje $ A $ in $ B $ v primitivno funkcijo $ f (x) $. S svojo formulo je to v članku "Newtonova formula Leibnitsa".

Primeri rešitev

Torej ste se naučili, kako rešiti integrate za lutke, primeri reševanja integralov razstavljamo police. Naučili so fizični in geometrični pomen. Metode odločanja bodo določene v drugih členih.

Rešitev integralov je naloga svetloba, vendar samo za izvolitev. Ta članek je namenjen tistim, ki se želijo naučiti razumeti integrate, vendar ne ve, kaj o njih ali skoraj nič. Integral ... zakaj je to potrebno? Kako ga izračunati? Kaj je določen in nedoločen integral?

Če vam je edina integralna aplikacija, ki je znana, je, da dobite kvačkanje v obliki integralne ikone, kar je koristno od težko dostopnih mest, nato pa dobrodošli! Več o tem, kako rešiti najpreprostejše in druge integrale in zakaj brez njega je nemogoče narediti v matematiki.

Študiramo koncept « integral. »

Integracija je bila znana v starem Egiptu. Seveda, ne v sodobni obliki, ampak še vedno. Od takrat je matematika napisala veliko knjig na to temo. Še posebej razlikujejo Newton. in Leibints. Toda bistvo stvari se ni spremenilo.

Kako razumeti integrate iz nič? Na noben način! Da bi razumeli to temo, bo še vedno potrebno osnovno znanje temeljev matematične analize. Informacije o potrebnih in za razumevanje integralov, smo že v našem blogu.

Negotov integral

Naj imamo nekakšno funkcijo f (x) .

Negotovo integralno funkcijo f (x) Ta funkcija se imenuje F (x) , katerega derivat je enak funkciji f (x) .

Z drugimi besedami, integral je izvedeni finančni instrument nasprotljivo ali primitivno. Mimogrede, kako brati v našem članku.

Obstaja za vse neprekinjene funkcije. Tudi stalni znak se pogosto doda primarni, saj se izvedeni finančni instrumenti razlikujejo v stalni sovpadanju. Postopek iskanja integral se imenuje integracija.

Preprost primer:

Nenehno ne izračunati primitivnih osnovnih funkcij, je primerno, da jih vozite v tabelo in uporabite pripravljene vrednosti.

Popolne integrale tabel za študente

Določen integral.

Ob dogovoru s konceptom integrala se ukvarjamo z neskončno majhnimi vrednotami. Integral bo pomagal izračunati figure slike, mase nehomogenega telesa, posredovana pod neenakomerno potjo gibanja in še veliko več. Ne smemo pozabiti, da je integral vsota neskončno velikega števila neskončno majhnih izrazov.

Kot primer si zamislite urnik neke funkcije.

Kako najti območje številk, ki jih omejuje graf funkcije? S pomočjo integrala! Razdelimo curvilinear trapez, omejeno z koordinatnih osi in graf funkcije, na neskončno majhnih segmentih. Tako bo številka razdeljena na tanke stebre. Vsota območja stolpcev bo območje trapez. Ampak ne pozabite, da bo takšen izračun dal zgleden rezultat. Vendar pa bodo manjši segmenti že, bolj natančen bo izračun. Če jih znižamo v takšnem obsegu, da bo dolžina prizadevala za nič, se bo obseg segmentov prizadeval za območje slike. To je poseben integral, ki je napisan na naslednji način:

Točke A in B se imenujejo omejitve integracije.

« Integral. »

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust

Pravila za izračun integralov za lutke

Lastnosti negotovega integrala

Kako rešiti nedoločen integral? Tu bomo upoštevali lastnosti negotovega integralnega, ki bo koristna pri reševanju primerov.

Derivat celovitega je enak funkciji integranda:

Stalna je lahko iz znaka integrala:

Integral iz zneska je enak količini integralov. Tudi za razliko:

Lastnosti določenega integrala

Linearnost:

Integral znak se spremeni, če se omejitve integracije zamenjajo:

Za kaj Točke a., b. in od:

Ugotovili smo, da je določen integral meja zneska. Toda kako dobiti določeno vrednost pri reševanju primera? Za to je newton-leibninska formula:

Primeri rešitev integralih

Spodaj bo pogledal nedoločen integralni in primere z raztopino. Predlagamo, da neodvisno razumemo razdelke raztopine, in če je nekaj nerazumljivo, postavljajte vprašanja v pripombah.

Za zagotovitev materiala si oglejte videoposnetek o tem, kako so v praksi rešeni integrali. Ne obupajte, če se integral ne daje takoj. Za študente se obrnite na svoje strokovne storitve, in vsaka trojna ali ukrivljena integralna integralna na zaprti površini bo postala sila.

V vsakem poglavju bodo nalog za neodvisno rešitev, na katero lahko vidite odgovore.

Koncept določene integralne in formule Newton Labice

Definiran integral Iz neprekinjene funkcije f.(x.) na končnem segmentu [ a., b.] (kje) je prirast nekaterih primitivnih na tem segmentu. (Na splošno se razumevanje opazno lahko enostavno, če boste ponovili temo nedoločenega integralnega), ki jih uporablja snemanje

Kot je razvidno na spodnjih grafikovih (povečanje primitivne funkcije je označeno), določen integral je lahko pozitiven in negativen (Izračunana kot razlika med vrednostjo primitivnega v zgornji meji in njegovi vrednosti v spodnji meji, t.j. kako F.(b.) - F.(a.)).

Številke a. in b. omejitve nižjih in zgornjih integracij, in segment [ a., b.] - Segment integracije.

Torej, če. F.(x.) - nekakšna primitivna funkcija za f.(x.), potem, v skladu z opredelitvijo,

(38)

Enakost (38) se imenuje formula Newton Labeau. . Razlika F.(b.) – F.(a.) Na kratko zapišite to:

Zato bo evidentirana formula Newton Labice in tako:

(39)

Dokažemo, da določen integral ni odvisen od tega, na katero se prilagaja primitivna integrirana funkcija. Naj bo. F.(x.) in f ( h.) - poljubna primitivna integrirana funkcija. Ker je to primarna in enaka funkcija, se razlikujejo od trajnega mandata: f ( h.) = F.(x.) + C.. zato

Tako je bilo ugotovljeno, da je na segmentu [ a., b.] Povečajo vseh primitivnih funkcij f.(x.) ujemati se.

Za izračun posebnega integrala je treba najti kakršno koli primitivno funkcijo Integrand, tj. Najprej bi morali najti negotovo integralno. Konstanta Od iz naslednjih izračunov izključeni. Formula se nato uporabi na formulo Newton - Leibnia: vrednost zgornje meje je substituirana v primitivno funkcijo. b. , naprej - vrednost spodnje meje a. razlika je izračunana F (b) - f (a) . Nastalo število in bo poseben integral..

Za a. = b. Po definiciji je sprejeta

Primer 1.

Sklep. Najprej najti nedoločen integral:

Uporaba Newtonove formule na primarno

(za Od \u003d 0), priti

Vendar pa pri izračunu posebnega integrala, je bolje, da ne najdemo ločeno primitivne, vendar takoj napišite integral v obliki (39).

Primer 2.Izračunajte določen integral

Sklep. S formulo

Poiščite poseben integral sebe in nato glej odločitev

Lastnosti določenega integrala

Teorem 2.Vrednost posebnega integrala ni odvisna od označbe spremenljivke integracije.

(40)

Naj bo. F.(x.) - Pred-podobno za f.(x.). Za f.(t.) Ista funkcija je enaka funkcija. F.(t.), v kateri samo drugače označuje neodvisna spremenljivka. Zato,

Na podlagi formule (39) zadnja enakost pomeni enakost integralov

Teorem 3.Stalni multiplikator se lahko izvede za znak določenega integrala.

(41)

Teorem 4.Določen integral iz algebrskega zneska končnega števila funkcij je enak algebrski količini nekaterih integralov iz teh funkcij..

(42)

Teorem 5.Če je segment integracije razdeljen na dele, je določen sestavni del po vsej segmentu enak vsoti nekaterih integralov s strani njenih delov. če

(43)

Teorem 6.Ko so integralne omejitve persutačne, absolutna vrednost določenega integrala ne spreminja, ampak samo njen znak se spremeni.

(44)

Teorem 7.(Povprečni izrek). Posebni integral je enak proizvodu dolžine integracije integracije v vrednost funkcije integranda na neki točki v njem.

(45)

Teorem 8.Če je zgornja meja integracije večja od spodnje in integrirane funkcije nilne (pozitivne), potem je določen integral nepreverjen (pozitiven), t.j. če

Teorem 9.Če je zgornja meja integracije večja od nižje in funkcije in neprekinjene, potem neenakost

toliko se lahko vključite.

(46)

Lastnosti določenega integrata omogočajo poenostavitev neposrednega izračuna integralov.

Primer 5.Izračunajte določen integral

Z uporabo izrezov 4 in 3, in ko so v prvih ročnih - tabularni integrali (7) in (6), dobimo

Določen integral s spremenljivo zgornjo mejo

Naj bo. f.(x.) - neprekinjeno na segmentu [ a., b.] Funkcija in F.(x.) - njena primitivna. Razmislite o posebnem integralu

(47)

in okoli t. Spremenljivka integracije je označena tako, da se ne sme zamenjati z zgornjo mejo. Ko se spremeni h.določena integralna (47) spremembe, t.j. To je funkcija zgornje integracijske meje. h.ki jih označujemo F.(h.), t.e.

(48)

Dokažemo, da je funkcija F.(h.) je primarno f.(x.) = f.(t.). Dejansko razlikovanje F.(h.), dobimo

sodišče F.(x.) - Pred-podobno za f.(x.), ampak. F.(a.) - stalni znesek.

Funkcija F.(h.) - eden od neskončnih nizov primitivnega f.(x.), in sicer, kdaj x. = a.na nič. Ta izjava se pridobi, če je v enakosti (48) x. = a.in uporabite prejšnji teorem odstavka.

Izračun določenih integralov z integracijo po delih in metodi za zamenjavo spremenljivke

kjer po definiciji, F.(x.) - Pred-podobno za f.(x.). Če v integrativnem smislu zamenjajte spremenljivko

potem v skladu s formulo (16), ki jo lahko posnamete

V tem izrazu

funkcijo, podobno

Dejansko, njegov derivat, po mnenju razlikovalna pravila kompleksne funkcije , enako

Naj bodo α in β vrednosti spremenljivke t. v kateri funkcija

upošteva vrednosti a.in b..

Toda glede na Newton Labnic formula, razlika F.(b.) – F.(a.) tukaj je

Ta kalkulator vam omogoča, da rešujete poseben integral na spletu. Pravzaprav, izračun posebnega integrala - To je temelj, ki je enak območju pod časovnim razporedom funkcije. Za reševanje je treba določiti meje integracije in integrable funkcijo. Po integraciji bo sistem našli primitivno funkcijo za določeno funkcijo, bo izračunala svoje vrednosti na točkah meje integracije, bo našla njihovo razliko, ki bo rešitev za določen integral. Če želite rešiti nedoločen integral, morate uporabiti podoben spletni kalkulator, ki je na naši spletni strani na povezavi - rešiti nedoločen integral.

Dovolimo izračunajte poseben integral na spletu Hitro in zanesljivo. Vedno boste dobili pravo odločitev. Poleg tega bo za tabele, bo odgovor v klasični obliki, to je, da se izrazijo z znanimi konstanti, kot je številka "PI", "razstavljavca", itd. Vsi izračuni so popolnoma brezplačni in ne zahtevajo registracije. Reševanje specifičnega integralnega z nami, se razbremenite od delovno intenzivnega in kompleksnega računalništva ali reševanja integrala sami - lahko preverite rešitev, ki ste jo prejeli.

In zakaj potrebujete integrate? Poskusite odgovoriti na to vprašanje.

Razlaga teme integralov, učitelji navajajo uporabo področja uporabe s strani šolskega uma. Med njimi:

izračun figure.
izračun telesne teže z neenakomerno gostoto.
določanje poti se je premaknilo med premikanjem z nestalno hitrostjo.
in itd

Vezite vse te procese ni vedno pridobljeno, zato je veliko študentov zmedeno, tudi če je vse osnovno znanje, da bi razumeli integral.

Glavni razlog- Pomanjkanje razumevanja praktičnega pomena integralov.

Integral - kaj je to?

Predpogoji. Potreba po vključevanju je nastala v antični Grčiji. V tem času se je Archeds začel uporabljati metode za iskanje območja kroga, podobno kot sodobni integralni račun. Glavni pristop za določitev območja neenakomernih številk je bil potem "metoda izčrpanja", ki je dovolj enostavna za razumevanje.

Bistvo metode. Ta številka ustreza monotonskemu zaporedju drugih številk, nato pa se izračuna meja zaporedja njihovega območja. Ta omejitev je bila sprejeta za področje te številke.

Pri tej metodi se zamisel o celovitem izračunu zlahka izsledi, kar je najti mejo neskončnega zneska. V prihodnosti so znanstveniki uporabili to idejo, da bi rešili uporabljene naloge Astronavtika, ekonomija, mehanizacija itd.

Sodobna integralna. Klasična teorija integracije je bila oblikovana na splošni obliki Newton in Leibskian. Zanašal se je na zakone diferencialnega računa, ki so obstajali. Za njeno razumevanje je treba imeti nekaj osnovnega znanja, ki bo pomagal matematičnemu jeziku, da bi opisal vizualne in intuitivne ideje o integralih.

Pojasnite koncept "integral"

Postopek iskanja derivata se imenuje diferenciacijain iskanje primitivnega - integracija.

Integral. matematični jezik - To je primitivna funkcija (kar je bila pred izvedenim) + konstantno "C".
Integral. preproste besede - To je območje krivulja. Negotov integral - celotno območje. Poseben integral je območje na določenem območju.

Integral je napisan na naslednji način:

Vsaka integrirana funkcija se pomnoži s komponento "DX". Kaže, katero variabilno integracijo poteka. "DX" je prirast argumenta. Namesto X lahko obstaja kateri koli drugi argument, na primer t (čas).

Negotov integral

Indefinitni integral nima meja integracije.

Za reševanje nedoločenih integralov zadostuje najti funkcijo primitivnega integranda in dodati "C".

Določen integral.

V določenem integralu je na znaku integracije napisana meja "A" in "B". Navedeni so na osi X v spodnjem grafu.

Za izračun posebnega integrala je potrebno najti primitivno, nadomestiti vrednost "A" in "B" in poiščite razliko. V matematiki se imenuje formula Newton Labeau.:

Integrami tabel za študente (osnovne formule)

Prenesite formule integralov, bodo prišli k vam

Kako pravilno izračunati integral

Obstaja več preprostih operacij za pretvorbo integralov. Tukaj je glavna:

Odstranjevanje konstante iz podstavnega znaka

Razgradnja celovega zneska na vsoto integralov

Če spremenite mesta A in B, se bo znak spremenil

Integral lahko prekinete za vrzeli, kot sledi.

To so najpreprostejše lastnosti, na podlagi katerih bodo oblikovane bolj zapletene izreke in metode za izračun.

Primeri izračuna integralov

Odločitev nedoločenega integrala

Sklep posebnega integrala

Osnovni koncepti za razumevanje teme

Da bi razumeli bistvo integracije in nismo zaprli strani iz nesporazuma, bomo razložili številne osnovne koncepte. Kaj je funkcija, derivat, omejitev in primitivna.

Funkcija - pravilo, s katerim vse elemente enega niza korelate z vsemi elementi iz druge.

Derivat. - funkcija, ki opisuje hitrost spremembe druge funkcije na vsaki določeni točki. Če rečemo strog jezik, je to meja odnos funkcije funkcije, da bi povečal argument. Ročno se izračuna, vendar je lažje uporabiti tabelo derivatov, v katerih se zbirajo večina standardnih funkcij.

Povečanje - Kvantitativna sprememba v funkciji z določeno spremembo argumenta.

Omejitev - Vrednost, na katero je vrednost funkcije, si prizadevati za argument do določene vrednosti.

Primer Omejitev: Predpostavimo z X, ki je enaka 1, bo Y enaka 2., vendar, če X ni enak 1, vendar išče 1, to pomeni, da nikoli ne doseže? V tem primeru Y ne bo nikoli dosegli 2, vendar se bo le prizadevala za to velikost. V matematičnem jeziku je to napisano na naslednji način: Liker (X), z X -\u003e 1 \u003d 2. Preberite: Omejitev funkcije Y (X) se prebere, ko iščejo 1, ki je enaka 2.

Kot je bilo že omenjeno, je derivat funkcija, ki opisuje drugo funkcijo. Začetno funkcijo lahko izpeljemo za katero koli drugo funkcijo. Ta druga funkcija se imenuje predo-oblikovan.

Zaključek

Poiščite integrate niso težko. Če ne razumete, kako to storiti ,. Od drugič postane jasnejši. Ne pozabite! Raztopina integralov je zmanjšana na enostavne transformacije funkcije Integrand in jo poiščite.

Če vas besedilo ne vnese, si oglejte videoposnetek o pomenu integrala in derivata:

Integrami - Kaj je, kako rešiti, primere rešitev in razlaga za čajnike Posodobljeno: 22. november 2019 Avtor: Znanstveni članki.ru.