Tabela osnovnih formul za določen integral. Antideriva

Antiderivativna funkcija in nedoločen integral

Dejstvo 1. Integracija je dejanje, nasprotno diferenciaciji, in sicer obnovitev funkcije iz znanega izpeljanke te funkcije. Tako je funkcija obnovljena F.(x) je poklican antideriva za funkcijo f(x).

Opredelitev 1. Funkcija F.(x f(x) v določenem intervalu Xče za vse vrednosti x iz tega intervala enakost F. "(x)=f(x), to je ta funkcija f(x) je izpeljanka izvedene funkcije F.(x). .

Na primer funkcija F.(x) = greh x je derivat funkcije f(x) = cos x na celotni številski vrstici, saj za vsako vrednost x (greh x) "= (cos x) .

Opredelitev 2. Nedoločeni integral funkcije f(x) je niz vseh njegovih derivatov... V tem primeru se uporabi zapis

∫

f(x)dx

,

kje je znak ∫ se imenuje integralni znak, funkcija f(x) Je integrand in f(x)dx - integrand.

Torej če F.(x) Je nekakšen derivat za f(x), potem

∫

f(x)dx = F.(x) +C

kje C - poljubna konstanta (konstanta).

Za razumevanje pomena množice izpeljank funkcije kot nedoločenega integrala je primerna naslednja analogija. Naj bodo vrata (tradicionalna lesena vrata). Njegova funkcija je "biti vrata". In iz česa so vrata? Iz lesa. To pomeni, da je množica derivatov integranda "biti vrata", to je njegov nedoločen integral, funkcija "biti drevo + C", kjer je C konstanta, kar v tem kontekstu lahko pomeni za na primer drevesna vrsta. Tako kot so vrata izdelana iz lesa z nekaterimi orodji, je izpeljanka funkcije "izdelana" iz antiderivativne funkcije z uporabo formula, ki smo jo naučili s preučevanjem izpeljanke .

Potem je tabela funkcij običajnih predmetov in njihovih ustreznih derivatov ("biti vrata" - "biti drevo", "biti žlica" - "biti kovina" itd.) Podobna tabeli osnovnih nedoločenih integralov, ki bodo podani spodaj. V tabeli nedoločenih integralov so navedene skupne funkcije z navedbo izpeljanih derivatov, iz katerih so te funkcije "narejene". V delu problemov iskanja nedoločenega integrala so podani takšni integrani, ki jih je mogoče brez posebnih premislekov neposredno integrirati, to je po tabeli nedoločenih integralov. V bolj zapletenih težavah je treba integrand najprej pretvoriti, da se lahko uporabijo tabelarni integrali.

Dejstvo 2. Pri ponovni vzpostavitvi funkcije kot derivata moramo upoštevati poljubno konstanto C, in da ne bi napisali seznama izpeljanih derivatov z različnimi konstantami od 1 do neskončnosti, morate napisati niz proizivodov s poljubno konstanto C na primer takole: 5 x³ + S. Torej je v izraz antideriveva vključena poljubna konstanta (konstanta), saj je lahko antideriva funkcija, na primer 5 x³ + 4 ali 5 x³ + 3 in razlikovanje 4 ali 3 ali katera koli druga konstanta izgine.

Postavimo problem integracije: za to funkcijo f(x) poiščite takšno funkcijo F.(x), čigar izpeljanka je enako f(x).

Primer 1. Poiščite množico izpeljank funkcije

Rešitev. Za to funkcijo je derivat funkcija

Funkcija F.(x) se imenuje antideriva za funkcijo f(x), če izpeljanka F.(x) je enako f(x) ali, kar je isto, diferencial F.(x) je enako f(x) dx, tj.

(2)

Zato je funkcija anti -derivacija za funkcijo. Vendar pa to ni edini derivat za. Služijo tudi kot funkcije

kje Z Je poljubna konstanta. To je mogoče preveriti z diferenciacijo.

Če torej za funkcijo obstaja en izpeljanka, potem zanjo obstaja neskončno število izpeljank, ki se razlikujejo po konstantnem izrazu. Vsi derivati ​​za funkcijo so zapisani v zgornji obliki. To izhaja iz naslednjega izreka.

Izrek (uradna izjava dejstva 2).Če F.(x) Ali je derivat funkcije f(x) v določenem intervalu NS, potem kateri koli drugi izpeljanka za f(x) na istem intervalu lahko predstavimo kot F.(x) + C, kje Z Je poljubna konstanta.

V naslednjem primeru se že nanašamo na tabelo integralov, ki bo podana v 3. oddelku, po lastnostih nedoločenega integrala. To naredimo, preden preberemo celotno tabelo, da bo bistvo zgoraj navedenega jasno. Po tabeli in lastnostih jih bomo v celoti uporabili pri integraciji.

Primer 2. Poiščite sklope anti -derivatov:

Rešitev. Najdemo nabore izpeljanih funkcij, iz katerih so te funkcije "narejene". Ko omenjate formule iz tabele integralov, za zdaj le sprejmite, da takšne formule obstajajo, celotno tabelo nedoločenih integralov pa bomo preučili nekoliko dlje.

1) Uporaba formule (7) iz tabele integralov za n= 3, dobimo

2) Z uporabo formule (10) iz tabele integralov za n= 1/3, imamo

3) Od takrat

potem po formuli (7) pri n= -1/4 najdba

Integral ni funkcija sama f, in njegov produkt z diferencialom dx... To se naredi predvsem zato, da se označi, katera spremenljivka se išče za izpeljanko. Na primer,

, ;

tukaj je v obeh primerih integrand enak, vendar se izkaže, da so njegovi nedoločeni integrali v obravnavanih primerih različni. V prvem primeru se ta funkcija obravnava kot funkcija spremenljivke x, v drugem - kot funkcija z .

Postopek iskanja nedoločenega integrala funkcije imenujemo integracija te funkcije.

Geometrijski pomen nedoločenega integrala

Naj bo potrebno najti krivuljo y = F (x) in že vemo, da je tangenta kota nagiba tangente na vsaki od njenih točk dana funkcija f (x) abscissa te točke.

Glede na geometrijski pomen derivata je tangenta kota nagiba tangente na dani točki krivulje y = F (x) je enaka vrednosti izvedenega finančnega instrumenta F "(x)... Zato moramo najti takšno funkcijo F (x), za kar F "(x) = f (x)... Funkcija, potrebna pri nalogi F (x) je njegov derivat f (x)... Pogoj problema ne izpolnjuje ena krivulja, ampak družina krivulj. y = F (x) je ena od teh krivulj in iz nje lahko dobimo katero koli drugo krivuljo z vzporednim prevajanjem vzdolž osi Oj.

Pokličimo graf provedene funkcije f (x) integralna krivulja. Če F "(x) = f (x), nato graf funkcije y = F (x) obstaja integralna krivulja.

Dejstvo 3. Nedoločeni integral je geometrijsko predstavljen z družino vseh integralnih krivulj kot na spodnji sliki. Oddaljenost vsake krivulje od izhodišča je določena s poljubno konstanto (konstanto) integracije C.

Nedoločene integralne lastnosti

Dejstvo 4. Izrek 1. Izpeljanka nedoločenega integrala je enaka integranu, njen diferencial pa je enak integranu.

Dejstvo 5. Izrek 2. Nedoločeni integral diferenciala funkcije f(x) je enaka funkciji f(x) do stalnega roka , tj.

(3)

Izreke 1 in 2 kažejo, da sta diferenciacija in integracija vzajemni operaciji.

Dejstvo 6. Izrek 3. Konstantan faktor v integrandu lahko vzamemo iz nedoločenega integralnega znaka , tj.

Na tej strani boste našli:

1. Pravzaprav tabela s derivativi - lahko jo prenesete v formatu PDF in natisnete;

2. Videoposnetek o uporabi te tabele;

3. Kup primerov izračunavanja izpeljanke iz različnih učbenikov in testov.

V samem videu bomo analizirali številne naloge, pri katerih je potrebno izračunati provedene funkcije, pogosto precej zapletene, najpomembneje pa, da niso zakoni moči. Vse funkcije, povzete v zgornji tabeli, morate vedeti na pamet, kot so derivati. Brez njih je nadaljnja študija integralov in njihova uporaba pri reševanju praktičnih problemov nemogoča.

Danes se še naprej ukvarjamo s derivati ​​in prehajamo na nekoliko bolj zapleteno temo. Če smo nazadnje obravnavali izpeljanke le iz funkcij moči in nekoliko bolj zapletenih konstrukcij, bomo danes analizirali trigonometrijo in še veliko več.

Kot sem rekel v zadnji lekciji, se izvedeni derivati ​​v nasprotju z izvedenimi nikoli ne rešujejo "brezglavo" s pomočjo standardnih pravil. Še več, slaba novica je, da se za razliko od izpeljanega derivat morda sploh ne šteje. Če napišemo povsem naključno funkcijo in poskušamo najti njeno izpeljanko, potem je zelo verjetno, da nam bo uspelo, vendar se izvedena izvedba v tem primeru skoraj nikoli ne šteje. Obstaja pa dobra novica: obstaja precej obsežen razred funkcij, imenovanih osnovne funkcije, katerih izpeljave je zelo enostavno izračunati. In vse druge bolj zapletene konstrukcije, ki so podane pri vseh vrstah nadzora, neodvisnih in pregledih, so pravzaprav sestavljene iz teh osnovnih funkcij z dodajanjem, odštevanjem in drugimi preprostimi dejanji. Anti -derivati ​​takšnih funkcij so že dolgo izračunani in povzeti v posebnih tabelah. Danes bomo delali s takšnimi funkcijami in tabelami.

Začeli bomo, kot vedno, s ponavljanjem: spomnite se, kaj je derivat, zakaj jih je neskončno veliko in kako določiti njihov splošni videz. Za to sem izbral dve preprosti nalogi.

Reševanje preprostih primerov

Primer št. 1

Takoj upoštevajte, da je $ \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (6) $ in na splošno prisotnost $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ text () $ nam takoj namigne, da je že izvedena funkcija, ki je derivativna, povezana s trigonometrijo. Če pogledamo tabelo, ugotovimo, da $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ $ ni nič drugega kot $ \ text (arctg) x $. Zato bomo zapisali:

Če želite najti, morate zapisati naslednje:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

Primer št. 2

Ukvarja se tudi s trigonometričnimi funkcijami. Če pogledamo tabelo, se bo res izkazalo tako:

Med vsem naborom derivatov moramo najti tistega, ki prehaja skozi določeno točko:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

Zapišimo dokončno:

Tako preprosto je. Edina težava je v tem, da se morate za štetje provedenih derivatov enostavnih funkcij naučiti tabele. Vendar po pregledu tabele izvedenih finančnih instrumentov za vas mislim, da to ne bo problem.

Reševanje problemov z eksponentno funkcijo

Najprej zapišite naslednje formule:

\ [((e) ^ (x)) \ do ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

Poglejmo, kako vse to deluje v praksi.

Primer št. 1

Če pogledamo vsebino oklepajev, bomo opazili, da v tabeli provedenih derivatov ni takega izraza, da bi bil $ ((e) ^ (x)) $ v kvadratu, zato je treba ta kvadrat razširiti. Za to uporabimo skrajšane formule množenja:

Poiščimo povod za vsak izraz:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ levo (((e) ^ (2)) \ desno)) ^ (x)) \ do \ frac (((\ levo (((e) ^ (2)) \ desno)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ levo (((e) ^ (- 2)) \ desno)) ^ (x)) \ do \ frac (((\ levo (((e ) ^ (- 2)) \ desno)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

Sedaj pa zberemo vse izraze v en sam izraz in dobimo splošno provedeno:

Primer št. 2

Tokrat je eksponent že večji, zato bo formula za skrajšano množenje precej zapletena. Razširimo torej oklepaje:

Sedaj bomo s te konstrukcije poskušali vzeti izpeljanko naše formule:

Kot lahko vidite, v primitivih eksponentne funkcije ni nič zapletenega in nadnaravnega. Vse se štejejo po tabelah, vendar bodo pozorni učenci verjetno opazili, da je izpeljanka $ ((e) ^ (2x)) $ veliko bližje samo $ ((e) ^ (x)) $ kot $ ((a) ^ (x)) $. Torej, morda obstaja še kakšno posebno pravilo, ki omogoča, da poznamo izpeljavo $ ((e) ^ (x)) $, da najdemo $ ((e) ^ (2x)) $? Ja, takšno pravilo obstaja. Poleg tega je sestavni del dela s tabelo anti -derivatov. Zdaj ga bomo analizirali na primeru istih izrazov, s katerimi smo pravkar delali.

Pravila za delo s tabelo derivatov

Zapišemo še enkrat svojo funkcijo:

V prejšnjem primeru smo za rešitev uporabili naslednjo formulo:

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ime operaterja (lna)) \]

Zdaj pa bomo ravnali nekoliko drugače: spomnite se, na podlagi česa je $ ((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) $. Kot je bilo že rečeno, ker izpeljanka $ ((e) ^ (x)) $ ni nič drugega kot $ ((e) ^ (x)) $, bo njen izpeljanka enaka istemu $ ((e) ^ ( x)) $. Problem pa je, da imamo $ ((e) ^ (2x)) $ in $ ((e) ^ (- 2x)) $. Zdaj pa poskusimo najti izpeljanko $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ levo (((e) ^ (2x)) \ desno)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ levo (2x \ desno)) ^ ( \ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

Ponovno prepišemo našo konstrukcijo:

\ [((\ levo (((e) ^ (2x)) \ desno)) ^ ((prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ levo (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ desno)) ^ (\ prime)) \]

To pomeni, da ko najdemo izpeljanko $ ((e) ^ (2x)) $, dobimo naslednje:

\ [((e) ^ (2x)) \ do \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

Kot lahko vidite, smo dobili enak rezultat kot prej, vendar nismo uporabili formule za iskanje $ ((a) ^ (x)) $. Zdaj se to morda zdi neumno: zakaj bi komplicirali izračune, če obstaja standardna formula? Vendar pa boste v nekoliko bolj zapletenih izrazih ugotovili, da je ta tehnika zelo učinkovita, tj. z uporabo izvedenih finančnih instrumentov za iskanje anti -derivatov.

Kot ogrevanje poiščemo izpeljanko $ ((e) ^ (2x)) $ na podoben način:

\ [((\ levo (((e) ^ (- 2x)) \ desno)) ^ ^ (\ prime)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ levo (-2 \ desno) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ levo (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ desno)) ^ (\ prime)) \]

Pri izračunu bo naša konstrukcija zapisana tako:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ do- \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ ( - 2x)) \ do - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

Dobili smo popolnoma enak rezultat, a smo hkrati ubrali drugo pot. Prav ta pot, ki se nam zdaj zdi nekoliko bolj zapletena, se bo kasneje izkazala za učinkovitejšo pri izračunu kompleksnejših izpeljanih derivatov in uporabi tabel.

Opomba! To je zelo pomembna točka: tudi derivate, tako kot derivate, lahko štejemo na različne načine. Če pa so vsi izračuni in izračuni enaki, bo odgovor enak. To smo pravkar videli na primeru $ ((e) ^ ( - 2x)) $ - na eni strani smo ta izpeljani derivat šteli "naravnost" z uporabo definicije in ga izračunali s pomočjo transformacij, na drugi strani pa spomnili smo se, da lahko $ ((e) ^ (- 2x)) $ predstavimo kot $ ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ ^ (x)) $ in šele nato uporabili izpeljanka za funkcijo $ ((a) ^ (x)) $. Kljub temu je po vseh preobrazbah rezultat enak pričakovanemu.

Zdaj, ko smo vse to razumeli, je čas, da preidemo na nekaj bistvenejšega. Zdaj bomo analizirali dve preprosti konstrukciji, vendar je tehnika, ki bo uporabljena za njihovo reševanje, močnejše in uporabnejše orodje kot preprosto "tek" med sosednjimi izpeljanimi derivati ​​iz tabele.

Reševanje problemov: iskanje derivata funkcije

Primer št. 1

Razdelimo vsoto v števnikih na tri ločene ulomke:

To je dokaj naraven in razumljiv prehod - večina študentov s tem nima težav. Prepišemo svoj izraz na naslednji način:

Spomnimo se zdaj te formule:

V našem primeru dobimo naslednje:

Če se želite znebiti vseh teh treh zgodb, predlagam naslednje:

Primer št. 2

Za razliko od prejšnjega ulomka imenovalec ni zmnožek, ampak vsota. V tem primeru svojega ulomka ne moremo več razdeliti na vsoto več preprostih ulomkov, ampak se moramo nekako poskušati prepričati, da števec vsebuje približno enak izraz kot imenovalec. V tem primeru je to precej preprosto:

Ta zapis, ki se v jeziku matematike imenuje »dodajanje nič«, nam bo omogočil, da ulomek spet razdelimo na dva dela:

Zdaj pa poiščimo, kar smo iskali:

To so vsi izračuni. Kljub navidezno večji zapletenosti kot pri prejšnji nalogi se je količina računanja izkazala za še manjšo.

Odtenki rešitev

In tu je glavna težava pri delu s tabelarnimi izpeljanimi derivati, to je še posebej opazno pri drugi nalogi. Dejstvo je, da moramo za izbiro nekaterih elementov, ki jih je mogoče zlahka prešteti skozi tabelo, vedeti, kaj točno iščemo, prav v iskanju teh elementov pa je sestavljen celoten izračun provedenih derivatov.

Z drugimi besedami, ni dovolj le zapomniti tabelo s derivativi - treba je biti sposoben videti nekaj, kar še ne obstaja, ampak kaj sta avtor in sestavljalec tega problema mislila. Zato se mnogi matematiki, učitelji in profesorji nenehno prepirajo: "Kaj je to, da jemljemo izpeljane derivate ali integracijo - je to le orodje ali je prava umetnost?" Pravzaprav po mojem osebnem mnenju integracija sploh ni umetnost - v njej ni nič vzvišenega, je le praksa in še enkrat praksa. In za vadbo rešimo še tri resnejše primere.

Integracijo izvajamo v praksi

Problem številka 1

Zapišemo naslednje formule:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ do \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]

Zapišemo naslednje:

Problem številka 2

Prepišemo takole:

Skupni izpeljani derivat bo enak:

Problem številka 3

Kompleksnost tega problema je, da za razliko od prejšnjih funkcij od zgoraj sploh ni spremenljivke $ x $, tj. ni nam jasno, kaj dodati, odšteti, da dobimo vsaj nekaj podobnega temu, kar je spodaj. V resnici pa ta izraz velja za celo enostavnejšega od katerega koli izraza iz prejšnjih konstrukcij, ker je to funkcijo mogoče prepisati na naslednji način:

Morda se zdaj sprašujete: zakaj so te funkcije enake? Preverimo:

Prepisali bomo tudi:

Malo spremenimo svoj izraz:

In ko vse to razlagam svojim učencem, se skoraj vedno pojavi enaka težava: s prvo funkcijo je vse bolj ali manj jasno, z drugo tudi s srečo ali vajo lahko ugotovite, toda kakšen alternativno zavest, ki jo morate imeti, da rešite tretji primer? Pravzaprav naj vas ne skrbi. Tehnika, ki smo jo uporabili pri izračunu zadnjega izpeljanke, se imenuje "razgradnja funkcije na elementarne elemente" in to je zelo resna tehnika, ki ji bo namenjena ločena video vadnica.

Vmes predlagam, da se vrnemo k temu, kar smo pravkar preučili, in sicer k eksponentnim funkcijam ter naloge nekoliko zapletemo z njihovo vsebino.

Bolj zapleteni problemi za reševanje provedenih eksponentnih funkcij

Problem številka 1

Upoštevajte naslednje:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ levo (2 \ cdot 5 \ desno)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

Če želite poiskati izpeljavo tega izraza, preprosto uporabite standardno formulo - $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.

V našem primeru bo derivat takšen:

Seveda je v ozadju zasnove, ki smo jo pravkar rešili, videti enostavnejša.

Problem številka 2

Spet je enostavno videti, da je to funkcijo mogoče enostavno razdeliti na dva ločena izraza - dva ločena ulomka. Prepišemo:

Še vedno je treba poiskati anti -derivacijo vsakega od teh izrazov po zgornji formuli:

Kljub navidezno veliki zapletenosti eksponentnih funkcij v primerjavi s potencialnimi funkcijami se je skupna količina izračunov in izračunov izkazala za veliko enostavnejšo.

Seveda se lahko za dobro poučene študente zdi to, kar smo pravkar analizirali (zlasti v ozadju tega, kar smo analizirali prej), elementarni izrazi. Ko pa sem za današnjo video vadnico izbral ta dva problema, si nisem zastavil cilja, da vam povem še en zapleten in prefinjen trik - vse, kar sem vam želel pokazati, je, da se ne smete bati uporabe standardnih trikov v algebri za preoblikovanje prvotnih funkcij .

Z uporabo "skrivne" tehnike

Za zaključek bi rad analiziral še eno zanimivo tehniko, ki po eni strani presega tisto, kar smo v glavnem analizirali danes, po drugi strani pa sploh ni zapletena, tj. obvladajo ga lahko celo študentje začetniki, in drugič, precej pogosto ga najdemo pri vseh vrstah nadzora in samostojnega dela, t.j. vedeti, da bo poleg poznavanja tabele anti -derivatov zelo koristno.

Problem številka 1

Očitno imamo pred seboj nekaj zelo podobnega funkciji moči. Kaj naj storimo v tem primeru? Pomislimo: $ x -5 $ se ne razlikuje toliko od $ x $ -pravkar smo dodali -5 $. Zapišemo takole:

\ [((x) ^ (4)) \ do \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ levo (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Poskusimo najti izpeljanko $ ((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) $:

\ [((\ left (((\ left (x-5 \ right)) ^ ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \ cdot ((\ levo (x-5 \ desno)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ levo (x-5 \ desno)) ^ (4)) \]

To pomeni:

\ [((\ levo (x-5 \ desno)) ^ (4)) = ((\ levo (\ frac (((\ levo (x-5 \ desno)) ^ ^ (5))) (5) \ desno)) ^ (\ prime)) \]

V tabeli ni take vrednosti, zato smo to formulo zdaj izpeljali sami s standardno formulo za izpeljavo za funkcijo moči. Odgovor zapišemo takole:

Problem številka 2

Mnogim študentom, ki gledajo na prvo rešitev, se lahko zdi, da je vse zelo preprosto: samo zamenjajte $ x $ v funkciji power z linearnim izrazom in vse bo prišlo na svoje mesto. Na žalost ni vse tako preprosto in zdaj se bomo v to prepričali.

Po analogiji s prvim izrazom zapišemo naslednje:

\ [((x) ^ (9)) \ do \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ levo (((\ levo (4-3x \ desno)) ^ ((10)) \ desno)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (9)) \ cdot ((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (\ prime)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (9)) \ cdot \ levo (-3 \ desno) =-30 \ cdot ((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (9)) \]

Če se vrnemo na naš izpeljanko, lahko zapišemo:

\ [((\ levo (((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (10)) \ desno)) ^ (\ prime)) =-30 \ cdot ((\ levo (4-3x \ desno) ) ^ (9)) \]

\ [((\ levo (4-3x \ desno)) ^ (9)) = ((\ levo (\ frac (((\ levo (4-3x \ desno)) ^ ^ (10))) (-30) \ desno)) ^ (\ prime)) \]

Iz tega takoj sledi:

Odtenki rešitev

Prosimo, upoštevajte: če se zadnjič nič bistveno ni spremenilo, se je v drugem primeru namesto -10 $ pojavilo 30 USD. Kakšna je razlika med -10 $ in -30 $? Očitno s faktorjem -3 $. Vprašanje: od kod prihaja? Če natančno pogledate, lahko vidite, da je bila posneta kot rezultat izračuna izpeljanke kompleksne funkcije - koeficient, ki je stal pri $ x $, se v spodnjem izvodu pojavi v izvedenici. To je zelo pomembno pravilo, ki ga v današnji video vadnici sprva sploh nisem nameraval analizirati, a brez njega bi bila predstavitev tabelarnih derivatov nepopolna.

Pa pojdimo še enkrat. Naj bo naša glavna funkcija moči:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Namesto $ x $ nadomestimo izraz $ kx + b $. Kaj se potem zgodi? Najti moramo naslednje:

\ [((\ levo (kx + b \ desno)) ^ (n)) \ do \ frac (((\ levo (kx + b \ desno)) ^ (n + 1))) (\ levo (n + 1 \ desno) \ cdot k) \]

Na podlagi česa to trdimo? Zelo preprosto. Poiščimo izpeljanko zgornje konstrukcije:

\ [((\ levo (\ frac (((\ levo (kx + b \ desno)) ^ ^ (n + 1))) (\ levo (n + 1 \ desno) \ cdot k) \ desno)) ^ ( \ prime)) = \ frac (1) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ cdot \ left (n + 1 \ right) \ cdot ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ levo (kx + b \ desno)) ^ (n)) \]

To je isti izraz, ki je bil prvotno. Tako je tudi ta formula pravilna in jo je mogoče dopolniti s tabelo s derivativi ali pa se je bolje spomniti celotne tabele.

Zaključki iz "skrivne: tehnike:

• Obe funkciji, ki smo jo pravkar obravnavali, lahko v resnici z razširitvijo stopinj reduciramo na izvedene derivate, navedene v tabeli, če pa se še vedno bolj ali manj nekako spopadamo s četrto stopnjo, se z deveto sploh ne bi spopadel. upal razkriti.
• Če bi razkrili stopinje, bi dobili tako količino izračunov, da bi nam preprosta naloga vzela neustrezno veliko časa.
• Zato takšnih problemov, znotraj katerih so linearni izrazi, ni treba reševati "naravnost". Takoj, ko naletite na izpeljanko, ki se razlikuje od tiste v tabeli, le s prisotnostjo izraza $ kx + b $ v notranjosti, se takoj spomnite zgoraj zapisane formule, jo nadomestite s svojo protitelo tabele in vse se bo obrnilo vam bo veliko hitreje in lažje.

Seveda se bomo zaradi zapletenosti in resnosti te tehnike v prihodnjih video vadnicah večkrat vrnili k njeni obravnavi, a za danes imam vse. Upajmo, da bo ta vadnica resnično pomagala tistim študentom, ki želijo razumeti anti -derivate in integracijo.

Navajamo integrale osnovnih funkcij, ki jih včasih imenujemo tudi tabelarne:

Vsako od zgornjih formul je mogoče dokazati z izvedenko desne strani (posledično bo dobljen integrand).

Metode integracije

Razmislimo o nekaterih osnovnih metodah integracije. Tej vključujejo:

1. Metoda razgradnje(neposredno povezovanje).

Ta metoda temelji na neposredni uporabi tabelarnih integralov, pa tudi na uporabi lastnosti 4 in 5 nedoločenega integrala (tj. Z izključitvijo konstantnega faktorja iz oklepaja in / ali predstavljanjem integranta kot vsoto funkcij - razširitev integranda v izraze).

Primer 1.Če želite na primer najti (dx / x 4), lahko neposredno uporabite tabelarni integral za x n dx. Dejansko je  (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / ( -3) + C = -1 / 3x 3 + C.

Poglejmo še nekaj primerov.

Primer 2. Za iskanje uporabimo isti integral:

Primer 3.Če želite najti, morate vzeti

Primer 4.Če želimo najti, predstavljamo integrand v obliki in uporabite tabelarni integral za eksponentno funkcijo:

Razmislite o uporabi konstantnega faktorja zunaj oklepaja.

Primer 5.Najdemo na primer ... Glede na to dobimo

Primer 6. Bomo našli. V kolikor , uporabljamo integral tabele Dobimo

V naslednjih dveh primerih lahko uporabite tudi oklepaje in integrale tabel:

Primer 7.

(uporabljamo in );

Primer 8.

(uporaba in ).

Oglejmo si bolj zapletene primere z uporabo vsote integrala.

Primer 9. Na primer, poiščimo
... Za uporabo metode razširitve v števcu uporabimo formulo za kocko vsote , nato pa dobljeni polinom razdelimo na imenovalec.

=  ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1)/(x 3/2)) dx =  (8 + 12x -1/2 + 6/x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx/x + x -3/2 dx =

Treba je opozoriti, da je na koncu rešitve zapisana ena skupna konstanta C (in ne ločena pri integraciji vsakega izraza). V prihodnje se v postopku reševanja predlaga tudi opustitev konstant iz integracije posameznih izrazov, če izraz vsebuje vsaj en nedoločen integral (na koncu rešitve bomo zapisali eno konstanto).

Primer 10. Najti ... Za rešitev tega problema izštejemo števec (potem bomo lahko imenovalec zmanjšali).

Primer 11. Bomo našli. Tu lahko uporabimo trigonometrične identitete.

Včasih morate za razčlenitev izraza na izraze uporabiti bolj zapletene tehnike.

Primer 12. Najti ... V integrandu izberite celoštevilni del ulomka ... Potem

Primer 13. Najti

2. Spremenljiva metoda zamenjave (metoda zamenjave)

Metoda temelji na naslednji formuli: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, kjer je x =  (t) funkcija, ki se lahko razlikuje v obravnavanem intervalu.

Dokaz. Poiščimo derivate glede na spremenljivko t leve in desne strani formule.

Upoštevajte, da je na levi strani kompleksna funkcija, katere vmesni argument je x =  (t). Zato, da ga ločimo glede na t, najprej ločimo integral glede na x, nato pa vzamemo izpeljanko vmesnega argumenta glede na t.

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

Izhaja iz desne strani:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

Ker so ti derivati ​​enaki, se po posledici Lagrangejevega izreka leva in desna stran formule, ki se dokazuje, razlikujeta za neko konstanto. Ker so sami nedoločeni integrali določeni do nedoločenega konstantnega člena, se lahko navedena konstanta v končnem zapisu izpusti. Dokazano.

Uspešna sprememba spremenljivke omogoča poenostavitev izvirnega integrala in ga v najpreprostejših primerih zmanjša na tabelarnega. Pri uporabi te metode se razlikuje med linearnimi in nelinearnimi metodami substitucije.

a) Metoda linearne substitucije Poglejmo primer.

Primer 1.
... Naj bo t = 1 - 2x, potem

dx = d (½ - ½t) = - ½dt

Treba je opozoriti, da nove spremenljivke ni treba izrecno zapisati. V takih primerih se govori o preoblikovanju funkcije pod diferencialnim znakom ali uvajanju konstant in spremenljivk pod diferencialnim znakom, t.j. O implicitna zamenjava spremenljivk.

Primer 2. Na primer, poiščite cos (3x + 2) dx. Po lastnostih diferenciala dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), potem cos (3x + 2) dx =  (1/3) cos (3x + 2 ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.

V obeh obravnavanih primerih je bila za iskanje integralov uporabljena linearna zamenjava t = kx + b (k0).

V splošnem primeru velja naslednji izrek.

Izrek o linearni substituciji... Naj bo F (x) nek izpeljanka za funkcijo f (x). Potem je f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, kjer sta k in b nekaj konstant, k0.

Dokaz.

Po definiciji integrala je f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Vzemite konstantni faktor k za integralni znak: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Zdaj lahko levo in desno stran enakosti razdelimo na k in pridobimo trditev, ki se dokazuje do zapisa konstantnega člena.

Ta izrek trdi, da če izraz (kx + b) nadomestimo z definicijo integrala f (x) dx = F (x) + C namesto argumenta x, bo to povzročilo pojav dodatnega faktorja 1 / k pred izvedenico.

Z dokazanim izrekom rešimo naslednje primere.

Primer 3.

Najti ... Tu je kx + b = 3 –x, to je k = -1, b = 3. Potem

Primer 4.

Bomo našli. Tu je kx + b = 4x + 3, to je k = 4, b = 3. Potem

Primer 5.

Najti ... Tu je kx + b = -2x + 7, to je k = -2, b = 7. Potem

.

Primer 6. Najti
... Tukaj je kx + b = 2x + 0, to je k = 2, b = 0.

.

Primerjajmo ta rezultat s primerom 8, ki smo ga rešili z metodo razgradnje. Reševanje istega problema z drugo metodo smo dobili odgovor
... Primerjajmo dobljene rezultate: Tako se ti izrazi med seboj razlikujejo po stalnem izrazu , tj. prejeti odgovori si ne nasprotujejo.

Primer 7. Najti
... Izberemo celoten kvadrat v imenovalcu.

V nekaterih primerih sprememba spremenljivke ne zmanjša integrala neposredno na tabelarno, lahko pa poenostavi rešitev, kar omogoča uporabo metode razgradnje v naslednjem koraku.

Primer 8. Na primer, poiščimo ... Zamenjaj t = x + 2, nato dt = d (x + 2) = dx. Potem

,

kjer je S = С 1 - 6 (pri zamenjavi izraza (x + 2) namesto prvih dveh členov dobimo ½x 2 -2x– 6).

Primer 9. Najti
... Naj bo t = 2x + 1, potem je dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2.

Namesto t nadomestite izraz (2x + 1), razširite oklepaje in podajte podobne.

Upoštevajte, da smo v procesu transformacij prešli na drug stalen izraz, saj skupino konstantnih izrazov v procesu transformacij bi lahko izpustili.

b) Metoda nelinearne substitucije Poglejmo primer.

Primer 1.
... Naj bo t = -x 2. Nadalje bi lahko izrazili x skozi t, nato našli izraz za dx in izvedli spremembo spremenljivke v zahtevanem integralu. Toda v tem primeru je lažje narediti drugače. Poiščite dt = d (-x 2) = -2xdx. Upoštevajte, da je izraz xdx faktor integranda zahtevanega integrala. Izrazimo to iz dobljene enakosti xdx = - ½dt. Potem

Integracije se ni težko naučiti. Če želite to narediti, se morate le naučiti določenega, precej majhnega nabora pravil in razviti nekakšen čut. Seveda se je naučiti pravil in formul enostavno, vendar je precej težko razumeti, kje in kdaj uporabiti to ali ono pravilo povezovanja ali razlikovanja. To je pravzaprav sposobnost integracije.

1. Antideriva. Nedoločen integral.

Predvideva se, da ima bralec v času branja tega članka že nekaj spretnosti pri razlikovanju (tj. Iskanje izpeljank).

Opredelitev 1.1: Funkcija se imenuje anti -derivacija funkcije, če velja enakost:

Komentarji:> Poudarek v besedi »antiderivev« lahko postavimo na dva načina: prvi O brasny ali prvi a vedeti.

Lastnost 1:Če je funkcija anti -derivacija funkcije, je funkcija tudi anti -derivacija funkcije.

Dokaz: Dokažimo to iz opredelitve provedenega. Poiščimo izpeljanko funkcije:

Prvi mandat v Opredelitev 1.1 je enak, drugi člen pa je derivat konstante, ki je enaka 0.

.

Povzeti. Zapišemo začetek in konec verige enakosti:

Tako je izpeljanka funkcije enaka in je zato po definiciji njen izpeljanka. Lastnina je dokazana.

Opredelitev 1.2: Nedoločeni integral funkcije je celoten niz derivatov te funkcije. To je označeno na naslednji način:

.

Podrobneje razmislimo o imenih vsakega dela zapisa:

- splošni zapis za integral,

- integrand (integrand) izraz, integrabilna funkcija.

- diferencial, izraz po črki pa ga bomo v tem primeru poimenovali spremenljivka integracije.

Komentarji: Ključne besede v tej definiciji so "celoten sklop". Tisti. če v prihodnosti ta "plus C" ni zapisan v odgovoru, potem ima izpraševalec vso pravico, da te naloge ne šteje, ker treba je najti ves niz provedenih derivatov, in če je C odsoten, se najde le eden.

Izhod: Da bi preverili, ali je integral pravilno izračunan, je treba najti izpeljanko rezultata. Ujemati se mora z integrandom.
Primer:
Vaja: Izračunajte nedoločen integral in preverite.

Rešitev:

Kako je ta integral izračunan, v tem primeru ni pomembno. Recimo, da je to razodetje od zgoraj. Naša naloga je pokazati, da nas razodetje ni zavedlo, to pa lahko storimo s preverjanjem.

Izpit:

Pri razlikovanju rezultata je bil pridobljen integrand, kar pomeni, da je integral pravilno izračunan.

2. Začetek. Integralna miza.

Za integracijo se vam ni treba vsakič spomniti funkcije, katere izpeljanka je enaka danemu integrandu (to pomeni, da uporabite definicijo integrala neposredno). Vsaka zbirka nalog ali učbeniki o matematični analizi vsebuje seznam lastnosti integralov in tabelo najpreprostejših integralov.

Naštejmo lastnosti.

Lastnosti:
1.
Integral diferenciala je enak integracijski spremenljivki.
2., kjer je konstanta.
Konstantan faktor lahko vzamemo izven integralnega znaka.

3.
Integral vsote je enak vsoti integralov (če je število članov končno).
Integralna miza:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Najpogosteje je naloga zmanjšati preučeni integral na tabelarni z uporabo lastnosti in formul.

Primer:

[Uporabili bomo tretjo lastnost integralov in jo zapisali kot vsoto treh integralov.]

[Uporabimo drugo lastnost in premaknimo konstante izven integracijskega znaka.]

[V prvem integralu uporabljamo tabelarni integral # 1 (n = 2), v drugem - isto formulo, vendar n = 1, za tretji integral pa lahko uporabite isti tabelarni integral, vendar z n = 0 ali prva lastnost.]
.
Preverimo z razlikovanjem:

Izvirni integrand je bil pridobljen, zato je bila integracija izvedena brez napak (dodajanje poljubne konstante C pa niti ni bilo pozabljeno).

Tabelarne integrale se je treba naučiti na pamet iz enega preprostega razloga - da bi vedeli, čemu stremiti, t.j. spoznati namen preoblikovanja danega izraza.

Tu je še nekaj primerov:
1)
2)
3)

Naloge za neodvisno rešitev:

Vaja 1. Izračunajte nedoločen integral:

+ Pokaži / skrij namig # 1.

1) Uporabite tretjo lastnost in predstavite ta integral kot vsoto treh integralov.

+ Pokaži / skrij namig # 2.

+ Pokaži / skrij namig # 3.

3) Za prva dva izraza uporabite prvi tabelarni integral, za tretjega drugega tabelarnega integrala.

+ Pokaži / skrij rešitev in odgovor.

4) Rešitev:

Odgovor:

V prejšnjem članku je bilo obravnavano vprašanje iskanja izpeljanke in prikazane so njegove različne uporabe: izračun naklona tangente na graf, reševanje optimizacijskih problemov, preučevanje funkcij monotonosti in ekstremov. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arcctg)) \ nolimits) $

Slika 1.

Obravnavan je bil tudi problem iskanja trenutne hitrosti $ v (t) $ z izvedenico po prej znani prehojeni poti, izražene s funkcijo $ s (t) $.

Slika 2.

Zelo pogosto se pojavlja obratna težava, ko je treba najti pot $ s (t) $, prehojeno s časovno točko $ t $, ob upoštevanju hitrosti gibanja točke $ v (t) $. Če se spomnimo, se trenutna hitrost $ v (t) $ nahaja kot derivat funkcije poti $ s (t) $: $ v (t) = s ’(t) $. To pomeni, da morate za rešitev inverzne težave, to je za izračun poti, najti funkcijo, katere izpeljanka bo enaka funkciji hitrosti. Vemo pa, da je derivat poti hitrost, to je: $ s ’(t) = v (t) $. Hitrost je enaka produktu pospeška in časa: $ v = pri $. Preprosto je ugotoviti, da bo zahtevana funkcija poti imela obliko: $ s (t) = \ frac (pri ^ 2) (2) $. Toda to ni popolna rešitev. Celotna rešitev bo imela obliko: $ s (t) = \ frac (pri ^ 2) (2) + C $, kjer je $ C $ neka konstanta. Zakaj je temu tako, bomo razpravljali kasneje. Zaenkrat preverimo pravilnost najdene rešitve: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = pri = v (t) $.

Omeniti velja, da je iskanje poti s hitrostjo fizični pomen antiderive.

Nastala funkcija $ s (t) $ se imenuje derivat funkcije $ v (t) $. Precej zanimivo in nenavadno ime, kajne. Vsebuje veliko pomena, ki pojasnjuje bistvo tega pojma in vodi k njegovemu razumevanju. Vidite lahko, da vsebuje dve besedi "prva" in "slika". Govorijo zase. To pomeni, da je to funkcija, ki je začetna za izpeljanko, ki jo imamo. Iščemo ta izpeljanko za funkcijo, ki je bila na začetku, je bila "prva", "prva slika", torej antideriva. Včasih se imenuje tudi primitivna funkcija ali antideriva.

Kot že vemo, se postopek iskanja izpeljanke imenuje diferenciacija. In proces iskanja provedenega se imenuje integracija. Operacija integracije je obratna od operacije razlikovanja. Res je tudi obratno.

Opredelitev. Proizvod za funkcijo $ f (x) $ na nekem intervalu je funkcija $ F (x) $, katere izpeljanka je enaka tej funkciji $ f (x) $ za vse $ x $ iz podanega intervala: $ F '( x) = f (x) $.

Nekdo se lahko vpraša: od kod prihajata $ F (x) $ in $ f (x) $ v definiciji, če je na začetku šlo za $ s (t) $ in $ v (t) $. Dejstvo je, da sta $ s (t) $ in $ v (t) $ posebni primeri zapisov funkcij, ki imajo v tem primeru poseben pomen, se pravi, da so funkcija časa oziroma funkcija hitrosti. Enako je s spremenljivko $ t $ - pomeni čas. In $ f $ in $ x $ sta tradicionalni različici splošnega zapisa funkcije in spremenljivke. Posebno pozornost je treba posvetiti zapisu izpeljave $ F (x) $. Najprej se F F $ kapitalizira. Izpeljani derivati ​​so označeni z velikimi tiskanimi črkami. Drugič, črki se ujemata: $ F $ in $ f $. To pomeni, da bo za funkcijo $ g (x) $ provedeni derivat označen z $ G (x) $, za $ z (x) $ - $ Z (x) $. Ne glede na zapis so pravila za iskanje provedene funkcije vedno enaka.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1. Dokažite, da je funkcija $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ anti -derivacija funkcije $ f (x) = \ cos5x $.

Za dokaz uporabimo definicijo, oziroma dejstvo, da je $ F '(x) = f (x) $, in poiščemo izpeljanko funkcije $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. Torej je $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ anti -derivacija $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.

Primer 2. Ugotovite, katerim funkcijam ustrezajo naslednji izvedeni derivati: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (l) = \ sin l $.

Za iskanje zahtevanih funkcij izračunajmo njihove izpeljanke:
a) $ F ’(z) = (\ tg z)’ = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) ’= \ cos l $.

Primer 3. Kakšen je derivat za $ f (x) = 0 $?
Uporabimo definicijo. Pomislimo, katera funkcija ima izpeljanko, ki je enaka 0 $. Če se spomnimo tabele izvedenih finančnih instrumentov, dobimo, da bo vsaka konstanta imela tak izpeljanko. Dobimo, da iskalni derivat: $ F (x) = C $.

Nastalo rešitev je mogoče razložiti geometrijsko in fizično. Geometrijsko pomeni, da je tangenta na grafu $ y = F (x) $ vodoravna na vsaki točki tega grafa in zato sovpada z osjo $ Ox $. Fizično je to razloženo z dejstvom, da točka s hitrostjo, ki je enaka nič, ostane na svojem mestu, to pomeni, da pot, ki jo prevozi, ostane nespremenjena. Na podlagi tega lahko oblikujemo naslednji izrek.

Izrek. (Znak stalnosti funkcij). Če je na nekem intervalu $ F '(x) = 0 $, potem je funkcija $ F (x) $ konstantna na tem intervalu.

Primer 4. Ugotovite, katere funkcije so izpeljanke a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $, kjer je $ a $ neko število.
Z definicijo derivata sklepamo, da moramo za rešitev tega problema izračunati izpeljanke podatkov o izvedenih derivativih. Pri izračunu ne pozabite, da je derivat konstante, to je poljubnega števila, enak nič.
a) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ levo (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ desno) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) ’= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $.

Kaj vidimo? Več različnih funkcij je derivatov iste funkcije. To pomeni, da ima katera koli funkcija neskončno veliko derivatov in imajo obliko $ F (x) + C $, kjer je $ C $ poljubna konstanta. To pomeni, da je delovanje integracije večvredno, v nasprotju z operacijo diferenciacije. Na podlagi tega naj oblikujemo izrek, ki opisuje glavno lastnost provedenih derivatov.

Izrek. (Glavna lastnost derivatov). Naj bosta funkciji $ F_1 $ in $ F_2 $ v določenem intervalu antivodi derivata funkcije $ f (x) $. Nato za vse vrednosti iz tega intervala velja naslednja enakost: $ F_2 = F_1 + C $, kjer je $ C $ neka konstanta.

Dejstvo, da obstaja neskončno število derivatov, je mogoče razlagati geometrijsko. Z vzporednim prevajanjem vzdolž osi $ Oy $ lahko drug od drugega dobite grafe poljubnih dveh provedenih derivatov za $ f (x) $. To je geometrijski pomen derivata.

Zelo pomembno je biti pozoren na dejstvo, da je z izbiro konstante $ C $ mogoče doseči prehod antiderivativnega grafa skozi določeno točko.

Slika 3.

Primer 5. Poiščite derivat za funkcijo $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $, katere graf prehaja skozi točko $ (3; 1) $.
Najprej poiščite vse provedene derivate za $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
Nato najdemo število C, za katerega bo graf $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ prešel skozi točko $ (3; 1) $. To naredimo tako, da v enačbo grafa nadomestimo koordinate točke in jo rešimo glede na $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $.
Dobili smo graf $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, ki ustreza provedeni izvedbi $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.

Tabela s derivativi

Tabelo formul za iskanje anti -derivatov je mogoče sestaviti z uporabo derivatnih formul.

Primarna miza

Funkcije	Anti derivati
$0$	$ C $
$1$	$ x + C $
$ a \ in R $	$ ax + C $
$ x ^ n, n \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (x) $	$ \ ln | x | + C $
$ \ sin x $	$ - \ cos x + C $
$ \ cos x $	$ \ sin x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $	$ - \ ctg x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $	$ \ tg x + C $
$ e ^ x $	$ e ^ x + C $
$ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arcsin x + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (\ sqrt (1 -x ^ 2)) $	$ \ arccos x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctg x + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arcctg x + C $

Pravilnost tabele lahko preverite na naslednji način: za vsak niz izvedenih derivatov, ki se nahajajo v desnem stolpcu, poiščite izpeljanko, na podlagi katere bodo pridobljene ustrezne funkcije v levem stolpcu.

Nekaj ​​pravil za iskanje anti -derivatov

Kot veste, imajo številne funkcije bolj zapleteno obliko od tistih, ki so navedene v tabeli anti -derivatov, in so lahko poljubne kombinacije vsot in produktov funkcij iz te tabele. In potem se poraja vprašanje, kako izračunati izpeljanke takih funkcij. Na primer iz tabele vemo, kako izračunati provedene derivate $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ in $ 10 $. In kako na primer izračunati izpeljanko $ x ^ 3-10 \ sin x $? Če pogledamo naprej, je treba omeniti, da bo enak $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. Če je $ F (x) $ anti -derivat za $ f (x) $, je $ G (x) $ za $ g (x) $, potem je za $ f (x) + g (x) $ anti -derivat) bo enako $ F (x) + G (x) $.
2. Če je $ F (x) $ derivat za $ f (x) $ in je $ a $ konstanta, potem bo $ aF (x) $ anti -derivat za $ af (x) $.
3. Če je za $ f (x) $ provedeni derivat $ F (x) $, sta $ a $ in $ b $ konstanti, potem je $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ antiizvodni za $ f (ax + b) $.
S pridobljenimi pravili lahko razširimo tabelo derivatov.

Funkcije	Anti derivati
$ (ax + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ ln | sekira + b | + C $
$ e ^ (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) e ^ (ax + b) + C $
$ \ sin (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle - \ frac (1) (a) \ cos (ax + b) + C $
$ \ cos (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ sin (ax + b) + C $

Primer 5. Poiščite derivate za:

a) $ \ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;

b) $ \ displaystyle \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;

c) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;

d) $ \ displaystyle \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $.

a) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) (4) x ^ 8 + C $;

b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;

c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;

d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.