Kako izpeljati formulo za prostornino okrnjene piramide. Formule za prostornino polne in okrnjene piramide. Prostornina Keopsove piramide. Za pravilno piramido so formule pravilne

12.01.2017

HA13118 je ojačevalnik razreda AB, vsebuje minimalno število zunanjih elementov in ima veliko moč pri razmeroma nizki napajalni napetosti, ojačevalnik pa ima tudi velik dobiček 55 dB, kar odpravlja potrebo po predhodnem ojačanju signala. Glavne tehnične značilnosti: Izhodna moč 18 W (maksimalno) pri obremenitvi 4 Ohm 10 W ...

30.10.2014

Vsa našteta mikrovezja so izdelana v paketu SIP1 z 11 pini in so dvokanalni stereo NF ojačevalniki in imajo enako povezavo zunanjih elementov. * TDA2005 je posebej zasnovan za uporabo mostu. Parametri: TDA2004A (TDA2004S) Napajalna napetost 8 ... 18 V tok mirovanja 65 mA Frekvenčno območje 40 ... 20000Hz Rn -2 Ohm Izhodna moč 10 W K ...

05.10.2014

Digitalno regulirano napajalno vezje je sestavljeno iz pozitivnega regulatorja napetosti na KM317, KPOM desetletnega števca CD4017, časovnika NE555 in regulatorja negativne napetosti na LM7912. Napetost omrežja se s transformatorjem zmanjša na napetost +/- 12V pri toku 1A v sekundarnem navitju, nato se popravi. C1-C5 kapacitivni filter konstantne napetosti. LED1 LED signali ...

19.08.2018

Slika prikazuje diagram 8-kanalnega časovnega releja, časovni rele uporablja Arduino Nano, uro (modul) realnega časa DS3231, sedemsegmentni štirimestni indikator, ki temelji na gonilniku TM1637 (modul TM1637) in štirimi nadzorni gumbi. V vsakem kanalu lahko nastavite čas vklopa in izklopa releja, vse vrednosti časov vklopa in izklopa releja so shranjene v ...

20.09.2014

Trifazni asinhroni motor normalne zasnove lahko ustvari navor brez posebnih ukrepov, če se napaja iz enofaznega tokovnega omrežja. Recimo, da je vezje ene od žic delujočega motorja, priključenega na trifazno omrežje, odprto (na primer zaradi pregorele varovalke). Stroj se je znašel v enofaznem načinu s serijsko ali serijsko-vzporedno povezavo statorskih navitij ...

piramida se imenuje polieder, katerega ena od ploskov je mnogokotnik ( bazo ), vse druge ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranske ploskve ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran na središče osnove (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, v kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Stransko rebro piramida je stran stranske ploskve, ki ne pripada podnožju Višina piramida se imenuje razdalja od njenega vrha do ravnine osnove. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vsi stranski robovi so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjene z vrha, se imenuje apotem . Diagonalni odsek prerez piramide se imenuje ravnina, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata eni ploskvi.

Bočna površina piramida se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskov. Celotna površina imenujemo vsota površin vseh stranskih ploskov in osnove.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni k ravnini osnove, se vrh piramide projicira v središče kroga, opisanega okoli osnove.

2. Če imajo v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, se vrh piramide projicira v središče kroga, opisanega okoli osnove.

3. Če so v piramidi vse ploskve enako nagnjene k ravnini osnove, potem se vrh piramide projicira v središče kroga, vpisanega v osnovo.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna naslednja formula:

kje V- prostornina;

S glavni- osnovna površina;

H- višina piramide.

Za pravilno piramido so formule pravilne:

kje str- osnovni obod;

h a- apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S glavni- osnovna površina;

V- prostornina pravilne piramide.

Okrnjena piramida imenujemo del piramide, zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna okrnjena piramida se imenuje del pravilne piramide, zaprt med osnovo in sekantno ravnino, vzporedno z osnovo piramide.

Temelji okrnjene piramide - podobni poligoni. Stranski obrazi - trapez. Višina okrnjena piramida je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala okrnjena piramida se imenuje segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek odsek okrnjene piramide imenujemo ravnina, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata eni ploskvi.

Za okrnjeno piramido veljajo naslednje formule:

(4)

kje S 1 , S 2 - območja zgornje in spodnje podlage;

S poln- skupna površina;

S stran- stransko površino;

H- višina;

V- prostornina okrnjene piramide.

Za pravilno okrnjeno piramido je pravilna formula:

kje str 1 , str 2 - obodi baz;

h a- apotem pravilne okrnjene piramide.

Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je kot diedra pri dnu 60°. Poiščite tangento kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

Rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, zato je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino osnove. Linearni kot je kot a med dvema pravokotnicama: in t.j. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in vpisan krog v trikotniku ABC). Kot nagiba stranskega rebra (npr SB) Je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebra SB ta kot bo kot SBD... Če želite najti tangento, morate poznati noge TAKO in OB... Naj bo dolžina segmenta BD je enako 3 a... Dot O oddelek BD je razdeljen na dele: in Od najdemo TAKO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prirezane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov cm in cm, višina pa 4 cm.

Rešitev. Za določitev prostornine okrnjene piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino osnov, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Strani osnov sta 2 cm oziroma 8 cm. Torej površine osnov in Ko nadomestimo vse podatke v formuli, izračunamo prostornino okrnjene piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnov sta 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

Rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Za izračun površine trapeza morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane s pogojem, neznana ostane le višina. Od kod ga bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje osnove, A 1 D- pravokotno od A 1 na AS. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE naredimo dodatno risbo, ki bo upodobila pogled od zgoraj (slika 20). Dot O- projekcija središč zgornje in spodnje baze. saj (glej sliko 20) in Po drugi strani v redu Je polmer vpisanega kroga in OM- polmer vpisanega kroga:

MK = DE.

Po Pitagorejevem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove a in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot z osnovno ravnino piramide enak j... Poiščite skupno površino piramide.

Rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enako vsoti površin in površine trapeza ABCD.

Uporabimo trditev, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene k ravnini osnove, potem je vrh projiciran v središče kroga, vpisanega v osnovo. Dot O- projekcija vrhov S na dnu piramide. trikotnik SOD je ortogonalna projekcija trikotnika CSD na ravnini osnove. Po izreku o območju ortogonalne projekcije ravne figure dobimo:

Podobno pomeni Tako se je naloga zmanjšala na iskanje površine trapeza ABCD... Nariši trapez ABCD ločeno (slika 22). Dot O- središče kroga, vpisanega v trapez.

Ker je krog mogoče vpisati v trapez, bodisi Iz, po Pitagorovem izreku, imamo

Sposobnost izračunavanja prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših oblik je piramida. V tem članku bomo obravnavali tako polne kot okrnjene piramide.

Piramida kot tridimenzionalna figura

Vsi vedo za egipčanske piramide, zato imajo dobro predstavo, o kateri številki bo govora. Kljub temu so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.

Obravnavani geometrijski objekt v splošnem primeru je poligonalna osnova, katere vsako oglišče je povezano z neko točko v prostoru, ki ne pripada ravnini osnove. Ta definicija vodi do figure, sestavljene iz enega n-kotnika in n trikotnikov.

Vsaka piramida je sestavljena iz n + 1 ploskve, 2 * n robov in n + 1 oglišč. Ker je obravnavana figura popoln polieder, število označenih elementov ustreza Eulerjevi enakosti:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Poligon na dnu daje ime piramidi, na primer trikotna, peterokotna itd. Na spodnji fotografiji je prikazan niz piramid z različnimi osnovami.

Točka, na kateri sta povezana n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če z njega spustimo pravokotnico na osnovo in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna slika imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, se pojavi nagnjena piramida.

Ravna figura, katere osnovo tvori enakostranični (konformni) n-kotnik, se imenuje pravilna.

Formula za prostornino piramide

Za izračun prostornine piramide bomo uporabili integralni račun. Da bi to naredili, razdelimo sliko z rezalnimi ravninami, vzporednimi z osnovo, na neskončno število tankih plasti. Na spodnji sliki je prikazana štirikotna piramida z višino h in dolžino stranice L, v kateri je s štirikotnikom označena plast tankega preseka.

Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati s formulo:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Tukaj je A 0 osnovna površina, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z = 0, potem formula daje vrednost A 0.

Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Z zamenjavo odvisnosti A (z) in izračunom antiderivata pridemo do izraza:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, je dovolj, da višino figure pomnožite s površino osnove, nato pa rezultat delite s tri.

Upoštevajte, da je dobljeni izraz veljaven za izračun prostornine piramide poljubnega tipa. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.

in njen volumen

Splošno formulo za prostornino, pridobljeno v zgornjem odstavku, je mogoče pojasniti v primeru piramide z pravilno bazo. Površina takšne osnove se izračuna po naslednji formuli:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Tukaj je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je pi.

Če zamenjamo izraz za A 0 v splošno formulo, dobimo prostornino pravilne piramide:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Na primer, za trikotno piramido ta formula vodi do naslednjega izraza:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilno štirikotno piramido ima formula prostornine obliko:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.

Okrnjena piramida

Recimo, da smo vzeli poljubno piramido in od nje odrezali del stranske površine, ki vsebuje oglišče. Preostala oblika se imenuje okrnjena piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih baz in n trapeza, ki ju povezujeta. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z osnovo figure, se oblikuje okrnjena piramida z vzporednimi podobnimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani enega od njih dobimo tako, da pomnožimo dolžine drugega z nekim koeficientom k.

Zgornja slika prikazuje okrnjenega pravilnega. Vidi se, da njegovo zgornjo osnovo, tako kot spodnjo, tvori pravilen šesterokotnik.

Formula, ki jo lahko izpeljemo s podobnim integralnim izračunom, je:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Kjer sta A 0 in A 1 površini spodnje (velike) in zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h označuje višino okrnjene piramide.

Prostornina Keopsove piramide

Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo največja egipčanska piramida vsebuje v sebi.

Leta 1984 sta britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman ugotovila natančne dimenzije Cheopsove piramide. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno okoli 137 metrov). Povprečna dolžina vsake od štirih stranic konstrukcije je bila 230,363 metra. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.

Za določitev prostornine tega kamnitega velikana bomo uporabili zgornje številke. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:

Zamenjamo številke, dobimo:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Prostornina Cheopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m 3. Za primerjavo ugotavljamo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m 3. To pomeni, da bo za zapolnitev celotne Cheopsove piramide potrebnih več kot 1000 takšnih bazenov!

in rezalno ravnino, ki je vzporedna z njeno osnovo.

Ali z drugimi besedami: okrnjena piramida- to je tak polieder, ki ga tvori piramida in njen odsek, vzporeden z osnovo.

Odsek, ki je vzporeden z osnovo piramide, deli piramido na 2 dela. Del piramide med njeno osnovo in presekom je okrnjena piramida.

Ta odsek za okrnjeno piramido se izkaže za eno od osnov te piramide.

Razdalja med osnovami okrnjene piramide je višina okrnjene piramide.

Okrnjena piramida bo pravilno ko je bila pravilna tudi piramida, iz katere je bil pridobljen.

Višina trapeza stranske ploskve pravilne okrnjene piramide je apotem pravilno okrnjeno piramido.

Lastnosti okrnjene piramide.

1. Vsaka stranska ploskev pravilne okrnjene piramide je enakokraki trapez enake velikosti.

2. Osnove okrnjene piramide so podobni mnogokotniki.

3. Stranski robovi pravilne okrnjene piramide so enake velikosti, eden pa je nagnjen glede na osnovo piramide.

4. Stranske ploskve okrnjene piramide so trapezi.

5. Diedrski koti na stranskih robovih pravilne okrnjene piramide so enake velikosti.

6. Razmerje med površinami baz: S 2 / S 1 = k 2.

Formule okrnjenih piramid.

Za poljubno piramido:

Prostornina okrnjene piramide je enaka 1/3 produkta višine h (OS) za vsoto površin zgornje osnove S 1 (abcde), spodnja osnova okrnjene piramide S 2 (ABCDE) in povprečno sorazmerje med njimi.

Volumen piramide:

kje S 1, S 2- površina baz,

h- višina okrnjene piramide.

Bočna površina enak vsoti površin stranskih ploskev okrnjene piramide.

Za pravilno okrnjeno piramido:

Pravilna okrnjena piramida- polieder, ki ga tvorita pravilna piramida in njen presek, ki je vzporeden z osnovo.

Bočna površina pravilne okrnjene piramide je ½ zmnožka vsote obodov njenih osnov in apotema.

kje S 1, S 2- površina baz,

φ - diedrski kot na dnu piramide.

CH je višina okrnjene piramide, P 1 in P 2- obod baz, S 1 in S 2- površine baz, S stran- stransko površino, S poln- skupna površina:

Odsek piramide z ravnino, vzporedno z osnovo.

Presek piramide z ravnino, ki je vzporedna z njeno osnovo (pravokotno na višino), razdeli višino in stranske robove piramide na sorazmerne segmente.

Presek piramide z ravnino, ki je vzporedna z njeno osnovo (pravokotno na višino), je mnogokotnik, ki je podoben dnu piramide, medtem ko koeficient podobnosti teh poligonov ustreza razmerju med njihovimi razdaljami od vrh piramide.

Površine odsekov, ki so vzporedne z osnovo piramide, so povezane kot kvadrati njihovih razdalj od vrha piramide.

Okrnjena piramida se imenuje polieder, katerega oglišča so oglišča osnove in oglišča njegovega preseka z ravnino, vzporedno z osnovo.

Lastnosti okrnjene piramide:

Okrnjene piramidne osnove so podobni poligoni.
Stranske ploskve okrnjene piramide so trapezi.
Stranski robovi pravilne okrnjene piramide so enaki in enako nagnjeni proti dnu piramide.
Stranske ploskve pravilne okrnjene piramide so enake enakokrake trapeze in so enako nagnjene proti dnu piramide.
Diedrski koti na stranskih robovih pravilne okrnjene piramide so enaki.

Površina in prostornina okrnjene piramide

Naj - višina okrnjene piramide in - obodi osnov okrnjene piramide in - površina osnov okrnjene piramide, - površina stranske površine okrnjene piramide, - skupna površina okrnjene piramide, - prostornina okrnjene piramide. Potem veljajo naslednja razmerja: