Kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Uporaba derivata za iskanje največjih in najmanjših vrednosti neprekinjene funkcije na intervalu

Lekcija na temo "Uporaba izpeljane za iskanje največje in najmanjše vrednosti neprekinjene funkcije na intervalu" bo obravnavala razmeroma preproste težave pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije v danem intervalu z uporabo izpeljane .

Tema: Izpeljana

Lekcija: Uporaba izpeljane za iskanje največje in najmanjše vrednosti neprekinjene funkcije v intervalu

V tej lekciji bomo obravnavali enostavnejši problem, in sicer bo dan interval, na tem intervalu bo podana neprekinjena funkcija. Treba je ugotoviti največjo in najmanjšo vrednost danega funkcijo na dano interval.

32.1 (b) št. Glede na:,. Narišimo graf funkcije (glej sliko 1).

Riž. 1. Graf funkcije.

Znano je, da se ta funkcija v intervalu povečuje, kar pomeni, da se povečuje tudi v intervalu. Torej, če najdete vrednost funkcije na točkah in, potem bodo znane meje spremembe te funkcije, njena največja in najmanjša vrednost.

Ko se argument poveča z na 8, se funkcija poveča z na.

Odgovor: ; .

Št. 32.2 (a) Podano: poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu.

Zgradimo graf te funkcije (glej sliko 2).

Če se argument spremeni v intervalu, se funkcija poveča z -2 na 2. Če se argument poveča z, se funkcija zmanjša z 2 na 0.

Riž. 2. Funkcijski graf.

Poiščimo izpeljanko.

, ... Če, potem tudi ta vrednost pripada navedenemu segmentu. Če, potem. Preprosto je preveriti, ali ima druge vrednosti, ustrezne mirujoče točke presegajo določeni odsek. Primerjajmo vrednosti funkcije na koncih odseka in na izbranih točkah, pri katerih je izpeljanka enaka nič. Najti

;

Odgovor: ;.

Torej je odgovor prejet. V tem primeru lahko izpeljanko uporabite, ne morete je uporabiti, uporabiti lastnosti funkcije, ki so bile preučene prej. To ni vedno tako, včasih je uporaba izpeljanke edina metoda, ki vam omogoča, da rešite takšne težave.

Glede na:,. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Če je bilo v prejšnjem primeru mogoče brez izpeljane izvedbe - vedeli smo, kako se funkcija obnaša, je v tem primeru funkcija precej zapletena. Zato je tehnika, ki smo jo omenili v prejšnji nalogi, v celoti uporabna.

1. Poiščite izpeljanko. Poiščimo kritične točke, torej kritične točke. Med njimi izberemo tiste, ki pripadajo danemu segmentu :. Primerjajmo vrednost funkcije v točkah ,,. Za to najdemo

Ilustrirajmo rezultat na sliki (glej sliko 3).

Riž. 3. Meje spreminjanja vrednosti funkcij

Vidimo, da če se argument spremeni od 0 do 2, se funkcija spremeni od -3 do 4. Funkcija se ne spreminja monotono: bodisi se poveča ali zmanjša.

Odgovor: ;.

Torej, trije primeri so bili uporabljeni za prikaz splošne tehnike za iskanje največjih in najmanjših vrednosti funkcije na intervalu, v tem primeru na segmentu.

Algoritem za reševanje problema iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije:

1. Poiščite izpeljanko funkcije.

2. Poiščite kritične točke funkcije in izberite tiste točke, ki so na danem odseku.

3. Poiščite vrednosti funkcije na koncih odseka in na izbranih točkah.

4. Primerjajte te vrednosti in izberite največjo in najmanjšo.

Vzemimo še en primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije ,.

Prej je bil upoštevan graf te funkcije (glej sliko 4).

Riž. 4. Graf funkcij.

V intervalu je obseg te funkcije ... Točka je največja točka. At - funkcija se poveča, pri - funkcija se zmanjša. Iz risbe je razvidno, da, - ne obstaja.

Tako smo v lekciji obravnavali problem največje in najmanjše vrednosti funkcije, ko je določen interval odsek; oblikoval algoritem za reševanje takih problemov.

1. Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Učbenik za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence šol in razredov z naprednim študijem matematike).- M.: Izobraževanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M.: Razsvetljenstvo, 1997.

5. Zbirka nalog iz matematike za prosilce na visokošolske zavode (pod uredništvom MI Skanavija).- M .: Višja šola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky VB, Yakir M.S. Algebrski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra in začetek analize. 8-11 razredi: Priročnik za šole in razrede z naprednim študijem matematike (didaktična gradiva).- M.: Drofa, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Naloge iz algebre in načela analize (priročnik za učence od 10. do 11. razreda splošnih izobraževalnih ustanov).- M.: Izobraževanje, 2003.

9. Karp A.P. Zbirka problemov v algebri in načela analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede z poglabljanjem študij Matematika.-M.: Izobraževanje, 2006.

10. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. 9-10 razredov (priročnik za učitelje).- M.: Izobraževanje, 1983

Dodatni spletni viri

2. Portal naravoslovja ().

Naredite doma

Št. 46,16, 46,17 (c) (Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Problemska knjiga za izobraževalne ustanove (profilna raven), uredil A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007.)

S praktičnega vidika je najbolj zanimiva uporaba izpeljane za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. Kaj je razlog za to? Maksimiziranje dobička, zmanjšanje stroškov, določitev optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na mnogih področjih življenja je treba rešiti problem optimizacije vseh parametrov. In to so naloge iskanja največjih in najmanjših vrednosti funkcije.

Treba je opozoriti, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na nekem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene. Interval X je lahko odsek črte, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti izrecno podane funkcije ene spremenljivke y = f (x).

Krmarjenje po straneh.

Najvišja in najnižja vrednost funkcije - definicije, ilustracije.

Na kratko se osredotočimo na glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za vsakega neenakost je resnična.

Najmanjša vrednost funkcije y = f (x) na intervalu X imenujemo takšna vrednost to za vsakega neenakost je resnična.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost v obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke Ali so vrednosti argumenta, pri katerih izpeljanka funkcije izgine.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največje in najmanjše vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka izhaja, da če ima diferencibilna funkcija v nekem trenutku ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem ta točka miruje. Tako funkcija pogosto vzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X v eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto vzame največjo in najmanjšo vrednost na točkah, kjer prvi izpeljanka te funkcije ne obstaja in je definirana sama funkcija.

Odgovorimo takoj na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami področja opredelitve funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije na neskončnosti in na mejah področja definicije lahko imajo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih o največji in najmanjši vrednosti funkcije ni mogoče reči nič.

Zaradi jasnosti bomo podali grafično ponazoritev. Poglejte slike in marsikaj vam bo postalo jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija vzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na mirujočih točkah znotraj segmenta [-6; 6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenite segment v. V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v mirujoči točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki 3 so mejne točke segmenta [-3; 2] abscise točk, ki ustrezajo največjim in najmanjšim vrednostim funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija vzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na mirujočih točkah znotraj odprtega intervala (-6; 6).

V intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

Na neskončnost

V primeru, prikazanem na sedmi sliki, funkcija vzame največjo vrednost (max y) v mirujoči točki z absciso x = 1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y = 3.

Na intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko stremimo k x = 2 na desni, so vrednosti funkcije nagnjene k minus neskončnosti (ravna črta x = 2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotski pristop y = 3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti neprekinjene funkcije na segmentu.

Napišemo algoritem, ki nam omogoča, da na segmentu poiščemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije.

1. Poiščite domeno funkcije in preverite, ali vsebuje celoten segment.
2. Najdemo vse točke, na katerih prvi izpeljanka ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno take točke najdemo v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v funkcijah moči z delnim racionalnim eksponentom). Če takih točk ni, pojdite na naslednjo postavko.
3. Določite vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Če želite to narediti, ga izenačimo z ničlo, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni nobenih stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo postavko.
4. Izračunamo vrednosti funkcije na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi izpeljanka ne obstaja (če obstaja), pa tudi za x = a in x = b.
5. Iz pridobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bodo želene največje oziroma najmanjše vrednosti funkcije.

Analizirajmo algoritem pri reševanju primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4; -1].

Rešitev.

Domena funkcije je celoten niz realnih števil, razen nič. Oba segmenta spadata v definicijsko območje.

Poiščite izpeljanko funkcije glede na:

Očitno je, da derivat funkcije obstaja na vseh točkah segmentov in [-4; -1].

Stacionarne točke se določijo iz enačbe. Edini veljaven koren je x = 2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih odseka in v mirujoči točki, to je za x = 1, x = 2 in x = 4:

Zato je največja vrednost funkcije je dosežen pri x = 1 in najmanjši vrednosti - za x = 2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih odseka [-4; -1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

Postopek iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije na odseku je podoben fascinantnemu preletu predmeta (grafikona funkcij) v helikopterju s streljanjem iz topov na velike razdalje na določenih točkah in izbiranjem med temi točkami prav posebnih točk za nadzor posnetki. Točke se izberejo na določen način in v skladu z določenimi pravili. Kakšna so pravila? O tem bomo govorili še naprej.

Če funkcija y = f(x) je neprekinjeno na segmentu [ a, b], nato seže na ta segment najmanjši in najvišje vrednote ... To se lahko zgodi bodisi v skrajne točke ali na koncih odseka. Zato, da bi našli najmanjši in največje vrednosti funkcij neprekinjeno na segmentu [ a, b], morate vse njegove vrednosti izračunati kritične točke in na koncih odseka, nato pa izberite najmanjšega in največjega od njih.

Naj na primer določimo največjo vrednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Če želite to narediti, poiščite vse njegove kritične točke na [ a, b] .

Kritična točka se imenuje točka, na kateri definirana funkcija, in ona izpeljanka je nič ali ne obstaja. Nato morate izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah. In na koncu je treba primerjati vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih odseka ( f(a) in f(b)). Največja od teh številk bo največja vrednost funkcije na segmentu [a, b] .

Težave pri iskanju najmanjše vrednosti funkcije .

Iščemo najmanjše in največje vrednosti funkcije skupaj

Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Rešitev. Poiščite izpeljanko te funkcije. Izvod enačimo na nič () in dobimo dve kritični točki: in. Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, zadostuje, da izračunate njene vrednosti na koncih odseka in v točki, saj točka ne pripada segmentu [-1, 2]. Te vrednosti funkcij so naslednje: ,,. Sledi, da najmanjša vrednost funkcije(v spodnjem grafu je označeno z rdečo), enako -7, je doseženo na desnem koncu odseka - na točki in Največji(tudi rdeča na grafu), enaka 9, - na kritični točki.

Če je funkcija neprekinjena v nekem intervalu in ta interval ni segment (ampak je na primer interval; razlika med intervalom in segmentom: mejne točke intervala niso vključene v interval, meja pa točke odseka so vključene v segment), potem med vrednostmi funkcije morda ni najmanjša in največja. Tako je na primer funkcija, prikazana na spodnji sliki, neprekinjena pri] -∞, + ∞ [in nima največje vrednosti.

Za vsak interval (zaprt, odprt ali neskončen) pa velja naslednja lastnost neprekinjenih funkcij.

Primer 4. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Rešitev. Derivat te funkcije najdemo kot derivat količnika:

.

Izpeljanko enačimo z ničlo, kar nam daje eno kritično točko:. Spada v segment [-1, 3]. Če želimo najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih odseka in na najdeni kritični točki:

Primerjamo te vrednosti. Zaključek: enako -5/13, v točki in največja vrednost enako 1 na točki.

Še naprej skupaj iščemo najmanjše in največje vrednosti funkcije

Obstajajo učitelji, ki na temo iskanja najmanjših in največjih vrednosti funkcije učencem ne dajo reševati primerov, ki so bolj zapleteni od tistih, ki smo jih pravkar obravnavali, torej tistih, pri katerih je funkcija polinom ali ulomek, katerih števec in imenovalec sta polinoma. Ne bomo pa se omejili na take primere, saj so med učitelji takšni, ki učence radi prepričajo v polno razmišljanje (tabela izpeljank). Zato bosta uporabljena logaritem in trigonometrična funkcija.

Primer 6. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

Rešitev. Poiščite izpeljanko te funkcije kot izpeljano delo :

Izpeljanko enačimo z ničlo, kar daje eno kritično točko:. Spada v segment. Če želimo najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih odseka in na najdeni kritični točki:

Rezultat vseh dejanj: funkcija doseže najmanjšo vrednost enako 0 na točki in na točki in največja vrednost enako e², na točki.

Primer 7. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

Rešitev. Poiščite izpeljanko te funkcije:

Enačenje izpeljanega z ničlo:

Edina kritična točka pripada segmentu črte. Če želimo najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih odseka in na najdeni kritični točki:

Izhod: funkcija doseže najmanjšo vrednost enako v točki in največja vrednost, enako na točki.

Pri uporabljenih skrajnih težavah se iskanje najmanjših (največjih) vrednosti funkcije praviloma zmanjša na iskanje najmanjšega (največjega). Večji praktični interes pa niso sami minimumi ali maksimumi, temveč tiste vrednosti argumenta, pri katerih so dosežene. Pri reševanju uporabnih problemov nastane dodatna težava - kompilacija funkcij, ki opisujejo obravnavani pojav ali proces.

Primer 8. Rezervoar s prostornino 4, v obliki paralelepipeda s kvadratno podlago in odprtim na vrhu, je treba loviti s kositrom. Kako velik mora biti rezervoar, da pokrije najmanjšo količino materiala?

Rešitev. Naj bo x- stran podstavka, h- višina rezervoarja, S- njegova površina brez prevleke, V- njegova prostornina. Površina rezervoarja je izražena s formulo, tj. je funkcija dveh spremenljivk. Izraziti S kot funkcijo ene spremenljivke bomo uporabili kaj, od kod. Zamenjava najdenega izraza h v formulo za S:

Preverimo to funkcijo za ekstrem. Povsod je definirano in ločljivo v] 0, + ∞ [, in

.

Izpeljanko izenačite na nič () in poiščite kritično točko. Poleg tega pri izvedenici ne obstaja, vendar ta vrednost ni vključena v področje opredelitve in zato ne more biti ekstremna točka. Torej, to je edina kritična točka. Preverimo prisotnost ekstrema z uporabo drugega zadostnega merila. Poiščimo drugi izpeljanko. Ko je drugi izpeljanka večja od nič (). Torej, pri, funkcija doseže minimum ... Od tega minimum je edini ekstrem te funkcije, je tudi njegova najmanjša vrednost... Torej mora biti stran osnove rezervoarja 2 m in njegova višina.

Primer 9. Iz odstavka A ki se nahaja na železniški progi do točke Z na razdalji od nje l, tovor je treba prevažati. Stroški prevoza utežne enote na enoto razdalje po železnici so enaki, po cesti pa enaki. Do katere točke Mželezniško progo naj vleče avtocesta, tako da je prevoz blaga iz A v Z je bil najbolj ekonomičen (razdelek AB se predvideva, da je železnica ravna)?

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstrem funkcije se imenuje maksimum in minimum funkcije.

Nujni pogoj za največji in najnižji (ekstrem) funkcije je naslednji: če ima funkcija f (x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki derivat nič ali neskončen ali pa ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Izpeljanka v točki x = a lahko izgine do neskončnosti ali pa ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

Kaj je zadosten pogoj za ekstrem funkcije (največji ali najmanjši)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a izpeljani f? (X) pozitiven levo od a in negativen desno od a, potem ima funkcija f (x) v sami točki x = a največ

Če je v zadostni bližini točke x = a izpeljani f? (X) negativen levo od a in pozitiven desno od a, potem ima funkcija f (x) v sami točki x = a minimalno pod pogojem, da je funkcija f (x) tukaj neprekinjena.

Namesto tega lahko za ekstrem funkcije uporabite drugi zadosten pogoj:

Naj v točki x = a prvi derivat f? (X) izgine; če je v tem primeru druga izpeljanka f ?? (a) negativna, potem ima funkcija f (x) največ v točki x = a, če je pozitivna, potem minimum.

Kaj je prelomna točka funkcije in kako jo najdem?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. Maksimum ali minimum). Če ga želite najti, potrebujete poiščite izpeljanko funkcijo f? (x) in jo enačimo z ničlo, rešiti enačbo f? (x) = 0. Korenine te enačbe, pa tudi tiste točke, na katerih derivat te funkcije ne obstaja, so kritične točke, to je vrednosti argumenta, pri katerem lahko obstaja extremum. Z ogledom jih je mogoče zlahka prepoznati izpeljana ploskev: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije prečka os abscise (os Ox), in tiste, pri katerih se graf zlomi.

Na primer, poiščimo ekstremum parabole.

Funkcija y (x) = 3x2 + 2x - 50.

Izpeljanka funkcije: y? (X) = 6x + 2

Reševanje enačbe: y? (X) = 0

6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

V tem primeru je kritična točka x0 = -1 / 3. Za to vrednost argumenta ima funkcija extremum... Tako da to najti, nadomestite najdeno število v izrazu funkcije namesto "x":

y0 = 3 * ( - 1/3) 2 + 2 * ( - 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti največjo in najnižjo funkcijo, tj. njene najvišje in najnižje vrednosti?

Če se znak derivata pri prehodu skozi kritično točko x0 spremeni iz "plus" v "minus", potem je x0 največja točka; če se znak izvedene vrednosti spremeni iz minus v plus, potem je x0 minimalna točka; če se znak ne spremeni, potem v točki x0 ni maksimuma ali minimuma.

Za obravnavani primer:

Levo od kritične točke vzamemo poljubno vrednost argumenta: x = -1

Ko je x = -1, bo vrednost izpeljane vrednosti y? ( -1) = 6 * ( -1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. Znak je "minus").

Zdaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Ko je x = 1, bo vrednost izpeljane vrednosti y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. Znak je "plus").

Kot lahko vidite, je derivat pri prehodu skozi kritično točko spremenil znak iz minus v plus. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 minimalno točko.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu(na segmentu) najdemo po istem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda ne bodo vse kritične točke v določenem intervalu. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je v intervalu samo ena kritična točka, bo vsebovala največjo ali najmanjšo vrednost. V tem primeru za določitev največje in najmanjše vrednosti funkcije upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncih intervala.

Najdemo na primer največje in najmanjše vrednosti funkcije

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

v presledkih:

Izvedenka funkcije je torej

y? (x) = 3cos (x) - 0,5

Reševanje enačbe 3cos (x) - 0,5 = 0

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Poiščite kritične točke na intervalu [-9; devet]:

x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (ni vključeno v interval)

x = -arccos (0,16667) -2π * 1 = -7,687

x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403

x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88

x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 = 11,163 (ni vključeno v interval)

Vrednosti funkcije najdemo pri kritičnih vrednostih argumenta:

y (-7,687) = 3cos (-7,687)-0,5 = 0,885

y (-4,88) = 3cos (-4,88)-0,5 = 5,398

y (-1,403) = 3cos (-1,403) -0,5 = -2,256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398

y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se, da je na intervalu [-9; 9], ima funkcija največjo vrednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

najmanjša - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4.88 je enaka y = 5.398.

Poiščite vrednost funkcije na koncu intervala:

y (-6) = 3cos (-6)-0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3)-0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najvišjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost je

y = 1.077 pri x = -3

Kako najti pregibne točke grafa funkcije in določiti stranice konveksnosti in konkavnosti?

Če želite najti vse pregibne točke črte y = f (x), morate najti drugi izpeljanko, jo enačiti z ničlo (rešiti enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, pri katerih je drugi izpeljanka nič , neskončno ali ne obstaja. Če drugi izpeljani pri prehodu skozi eno od teh vrednosti spremeni znak, potem ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni pregiba.

Korenine enačbe f? (x) = 0, pa tudi možne točke prekinitve funkcije in drugega izpeljanke, razdelijo področje funkcije na več intervalov. Konveksnost v vsakem njihovem intervalu je določena z znakom drugega izpeljanke. Če je drugi izpeljanka v točki na raziskanem intervalu pozitivna, je črta y = f (x) navpično navzgor, če pa negativna, pa navzdol.

Kako najti skrajnosti funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti skrajnosti funkcije f (x, y), ki jih je mogoče razlikovati v območju njene dodelitve, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to rešite sistem enačb

fx? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0

2) za vsako kritično točko Р0 (a; b) raziskati, ali je znak razlike

za vse točke (x; y) dovolj blizu Po. Če razlika ohrani pozitiven predznak, potem imamo v točki P0 minimum, če je negativen, pa največ. Če razlika ne ohrani znaka, potem v točki P0 ni ekstrema.

Ekstremi funkcije so določeni na podoben način za večje število argumentov.

Naj funkcija y =f(NS) je neprekinjeno na segmentu [ a, b]. Kot veste, taka funkcija na tem segmentu doseže največje in najmanjše vrednosti. Funkcija lahko te vrednosti sprejme bodisi na notranji točki odseka [ a, b] ali na meji segmenta.

Če želite poiskati največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) poiščite kritične točke funkcije v intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije na najdenih kritičnih točkah;

3) izračunajte vrednosti funkcije na koncih odseka, to je za x=a in x = b;

4) izberite največjo in najmanjšo od vseh izračunanih vrednosti funkcije.

Primer. Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcij

na segmentu.

Poiščite kritične točke:

Te točke ležijo znotraj odseka črte; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

na točki x= 3 in na točki x= 0.

Preiskava funkcije konveksnosti in pregibne točke.

Funkcija y = f (x) poklical izbočeno navzgor vmes (a, b) če njegov graf leži pod tangento, narisano na kateri koli točki tega intervala, in je klican izbočeno navzdol (konkavno)če njen graf leži nad tangento.

Točka, pri prehodu skozi katero se konveksnost zamenja s konkavnostjo, ali obratno, se imenuje pregibna točka.

Študijski algoritem za konveksnost in upogibno točko:

1. Poiščite kritične točke druge vrste, to je točke, pri katerih je drugi izpeljan nič ali ne obstaja.

2. Narišite kritične točke na številski premici in jo razdelite na intervale. V vsakem intervalu poiščite znak drugega izpeljanke; če je funkcija konveksna navzgor; če je funkcija konveksna navzdol.

3. Če pri prehodu skozi drugo kritično točko spremeni predznak in je na tej točki drugi izpeljanka enaka nič, potem je ta točka abscissa pregibne točke. Poišči njeno ordinato.

Asimptote grafa funkcije. Preiskava funkcije za asimptote.

Opredelitev. Asimptota grafa funkcije se imenuje naravnost, ki ima lastnost, da se razdalja od katere koli točke grafa do te ravne črte nagiba k nič z neomejeno razdaljo od izhodišča grafične točke.

Obstajajo tri vrste asimptot: navpično, vodoravno in nagnjeno.

Opredelitev. Ravna črta se imenuje navpična asimptota grafike funkcij y = f (x)če je vsaj ena od enostranskih meja funkcije na tej točki enaka neskončnosti, tj

kjer je točka prekinitve funkcije, to pomeni, da ne spada v področje opredelitve.

Primer.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - prelomna točka.

Opredelitev. Naravnost y =A poklical vodoravna asimptota grafike funkcij y = f (x) ob, če

Primer.

x
y

Opredelitev. Naravnost y =kx +b (k≠ 0) se pokliče poševna asimptota grafike funkcij y = f (x) na, kje

Splošna shema za preučevanje funkcij in risanje.

Algoritem raziskovanja funkcijy = f (x) :

1. Poiščite domeno funkcije D (y).

2. Poiščite (če je mogoče) presečišča grafa s koordinatnimi osmi (pri x= 0 in za y = 0).

3. Raziščite enakomernost in nenavadnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteta; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nenavadnost).

4. Poiščite asimptote grafa funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti funkcije.

6. Poišči skrajnosti funkcije.

7. Poiščite intervale konveksnosti (konkavnosti) in pregibnih točk grafa funkcije.

8. Na podlagi izvedenih raziskav zgradite graf funkcije.

Primer. Preglejte funkcijo in jo narišite.

1) D (y) =

x= 4 - prelomna točka.

2) Kdaj x = 0,

(0; - 5) - presečišče s oj.

Ob y = 0,

3) y(‒ x)= splošna funkcija (niti parna niti liha).

4) Raziščite asimptote.

a) navpično

b) vodoravno

c) poiščite poševne asimptote kjer

- Poševna asimptotna enačba

5) V tej enačbi ni treba najti intervalov monotonosti funkcije.

6)

Te kritične točke razdelijo celotno področje funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) in (10; + ∞). Dobljene rezultate je primerno predstaviti v obliki naslednje tabele.