วิธีแก้ปัญหา B15 โดยไม่มีอนุพันธ์ การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง

ค่าสุดขีดของฟังก์ชันคืออะไร และเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขีดคืออะไร?

ปลายสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดและต่ำสุด (สุดขีด) ของฟังก์ชันมีดังต่อไปนี้: หากฟังก์ชัน f(x) มีจุดสุดขีดที่จุด x = a แล้ว ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเป็นศูนย์หรืออนันต์ หรือ ไม่มีอยู่จริง

เงื่อนไขนี้จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ อนุพันธ์ที่จุด x = a สามารถไปถึงศูนย์ อนันต์ หรือไม่มีอยู่ได้หากไม่มีฟังก์ชันสุดขั้ว ณ จุดนี้

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน (สูงสุดหรือต่ำสุด) คืออะไร?

เงื่อนไขแรก:

หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นบวกทางด้านซ้ายของ a และเป็นลบทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี ขีดสุด

หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นลบทางด้านซ้ายของ a และเป็นบวกทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี ขั้นต่ำโดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชัน f(x) ในที่นี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

คุณสามารถใช้เงื่อนไขที่สองที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันแทนได้:

ให้ ณ จุด x = a อนุพันธ์อันดับหนึ่ง f?(x) หายไป; ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง f??(a) เป็นลบ แสดงว่าฟังก์ชัน f(x) จะมีค่าสูงสุดที่จุด x = a หากเป็นบวก ก็จะมีค่าต่ำสุด

จุดวิกฤตของฟังก์ชันคืออะไร และจะค้นหาได้อย่างไร

นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ฟังก์ชันมีจุดสิ้นสุด (เช่น สูงสุดหรือต่ำสุด) เพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน f?(x) และเมื่อเท่ากับศูนย์ แก้สมการ f?(x) = 0 รากของสมการนี้รวมถึงจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ไม่มีอยู่เป็นจุดวิกฤตเช่นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สามารถมีจุดสุดยอดได้ พวกเขาสามารถระบุได้ง่ายโดยการดู กราฟอนุพันธ์: เราสนใจค่าของการโต้แย้งที่กราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน Abscissa (แกน Ox) และค่าที่กราฟประสบความไม่ต่อเนื่อง

เช่น เรามาค้นหากัน ส่วนปลายของพาราโบลา.

ฟังก์ชัน y(x) = 3x2 + 2x - 50

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y?(x) = 6x + 2

แก้สมการ: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ในกรณีนี้ จุดวิกฤตคือ x0=-1/3 มันขึ้นอยู่กับค่าอาร์กิวเมนต์นี้ที่ฟังก์ชันมี สุดขั้ว. ให้เขา หาให้แทนที่ตัวเลขที่พบในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันแทน "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

วิธีกำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน เช่น ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดคืออะไร?

หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เมื่อผ่านจุดวิกฤติ x0 เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" แล้ว x0 คือ จุดสูงสุด; ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้ว x0 คือ จุดต่ำสุด; หากเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อถึงจุด x0 จะไม่มีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา:

เราใช้ค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: x = -1

ที่ x = -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “ลบ”)

ตอนนี้เรารับค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: x = 1

ที่ x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “บวก”)

อย่างที่คุณเห็น อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดวิกฤติ ซึ่งหมายความว่าที่ค่าวิกฤต x0 เรามีจุดต่ำสุด

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา(บนเซ็กเมนต์) จะถูกพบโดยใช้ขั้นตอนเดียวกัน โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าบางทีจุดวิกฤติไม่ใช่ทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น จุดวิกฤตเหล่านั้นที่อยู่นอกช่วงเวลาจะต้องถูกแยกออกจากการพิจารณา หากมีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียวภายในช่วงเวลา จะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกรณีนี้ เพื่อกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน เรายังคำนึงถึงค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาด้วย

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

y(x) = 3ซิน(x) - 0.5x

เป็นระยะ:

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

เราแก้สมการ 3cos(x) - 0.5 = 0

คอส(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±อาร์คคอส(0.16667) + 2πk

เราพบจุดวิกฤตในช่วงเวลา [-9; 9]:

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*2 = -11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

x = -อาร์คคอส(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

เราค้นหาค่าฟังก์ชันที่ค่าวิกฤตของอาร์กิวเมนต์:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

จะเห็นได้ว่าในช่วง [-9; 9] ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดที่ x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

และเล็กที่สุด - ที่ x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว: x = -4.88 ค่าของฟังก์ชันที่ x = -4.88 เท่ากับ y = 5.398

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลา:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีค่ามากที่สุดของฟังก์ชัน

y = 5.398 ที่ x = -4.88

ค่าน้อยที่สุด -

y = 1.077 ที่ x = -3

จะค้นหาจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชันและกำหนดด้านนูนและด้านเว้าได้อย่างไร

ในการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมดของเส้น y = f(x) คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง จัดให้มันเป็นศูนย์ (แก้สมการ) และทดสอบค่าทั้งหมดของ x ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ อนันต์หรือไม่มีอยู่จริง เมื่อส่งผ่านค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ หากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนสัญญาณ กราฟของฟังก์ชันจะมีการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้ ถ้าไม่เปลี่ยนก็ไม่มีโค้งงอ

รากของสมการ f? (x) = 0 รวมถึงจุดที่เป็นไปได้ของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับสอง ให้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงจำนวนหนึ่ง ความนูนในแต่ละช่วงเวลาถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง หากอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดหนึ่งในช่วงเวลาที่กำลังศึกษาเป็นบวก เส้น y = f(x) จะเว้าขึ้น และหากเป็นลบ ก็จะเว้าลง

จะค้นหา extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้อย่างไร?

ในการค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน f(x,y) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในโดเมนของข้อกำหนดเฉพาะ คุณจะต้อง:

1) ค้นหาจุดวิกฤตและเพื่อสิ่งนี้ - แก้ระบบสมการ

ฉะ? (x,y) = 0, แล้ว? (x,y) = 0

2) สำหรับแต่ละจุดวิกฤต P0(a;b) ตรวจสอบว่าสัญญาณของความแตกต่างยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่

สำหรับทุกจุด (x;y) ใกล้กับ P0 เพียงพอ หากความแตกต่างยังคงเป็นบวก จากนั้นที่จุด P0 เรามีค่าต่ำสุด หากเป็นลบ เราก็จะมีค่าสูงสุด หากความแตกต่างไม่คงเครื่องหมายไว้ แสดงว่าไม่มีจุดสิ้นสุดที่จุด P0

ค่าสุดขีดของฟังก์ชันถูกกำหนดในทำนองเดียวกันสำหรับอาร์กิวเมนต์จำนวนมากขึ้น

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟของฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกอย่างมาก คะแนนพิเศษจากจุดเหล่านี้สำหรับการควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตามกฎเกณฑ์บางประการ ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] ก็มาถึงส่วนนี้ น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด . สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ก, ข] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข] . ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก, ข] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้, และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ฉ(ก) และ ฉ(ข)). ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] .

ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .

เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 2] .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้คือ: , , . มันเป็นไปตามนั้น ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(ระบุด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในภาพด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด

อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 3] .

สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

.

เราเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่งแก่เรา: มันอยู่ในส่วน [-1, 3] . ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:

จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น

ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดที่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากกว่า แต่เป็นคุณค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาบรรลุผล เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้จะเกิดปัญหาเพิ่มเติม - การเขียนฟังก์ชันที่อธิบายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 8ถังที่มีความจุ 4 ที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีฐานสี่เหลี่ยมเปิดด้านบนต้องบรรจุกระป๋อง ถังควรมีขนาดเท่าใดจึงจะใช้วัสดุปิดฝาน้อยที่สุด?

สารละลาย. อนุญาต x- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สในฐานะฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:

ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว . ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด. ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .

ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มควรสร้างทางรถไฟเป็นทางหลวงเพื่อให้สามารถขนส่งสินค้าไปได้ กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?

ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อนุพันธ์เพื่อคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน เราทำการดำเนินการนี้เมื่อเราทราบวิธีลดต้นทุน เพิ่มผลกำไร คำนวณภาระการผลิตที่เหมาะสมที่สุด ฯลฯ นั่นคือในกรณีที่เราต้องกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์ ในการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคืออะไร

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

โดยปกติแล้วเราจะกำหนดค่าเหล่านี้ภายในช่วงเวลา x ซึ่งอาจสอดคล้องกับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือบางส่วน มันอาจเป็นเหมือนส่วน [a; b ] และช่วงเวลาเปิด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) หรือช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

ในเนื้อหานี้ เราจะบอกวิธีคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) y = f (x) .

คำจำกัดความพื้นฐาน

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐานเช่นเคย

คำจำกัดความ 1

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วง x คือค่า m a x y = f (x 0) x ∈ X ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≤ ฉ (x) ถูกต้อง 0) .

คำจำกัดความ 2

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง x คือค่า m i n x ∈ X y = f (x 0) ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f(X f (x) ≥ ฉ (x 0) .

คำจำกัดความเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน ที่ง่ายกว่านั้น เราสามารถพูดได้ว่า: ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดในช่วงเวลาที่ทราบที่ abscissa x 0 และค่าที่น้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดที่ยอมรับในช่วงเวลาเดียวกันที่ x 0

คำจำกัดความ 3

จุดคงที่คือค่าเหล่านั้นของการโต้แย้งของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันกลายเป็น 0

ทำไมเราต้องรู้ว่าจุดคงที่คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากนั้นจุดที่อยู่นิ่งคือจุดที่ปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์อยู่ (เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดในพื้นที่) ดังนั้นฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดในช่วงเวลาหนึ่งอย่างแม่นยำที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่ง

ฟังก์ชันยังสามารถรับค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ณ จุดที่มีการกำหนดฟังก์ชันนั้นเอง และไม่มีอนุพันธ์ลำดับแรกอยู่

คำถามแรกที่เกิดขึ้นเมื่อศึกษาหัวข้อนี้: ในทุกกรณีเราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนดได้หรือไม่? ไม่ เราไม่สามารถทำเช่นนี้ได้เมื่อขอบเขตของช่วงที่กำหนดตรงกับขอบเขตของพื้นที่นิยาม หรือถ้าเรากำลังเผชิญกับช่วงอนันต์ นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดหรือที่อนันต์จะใช้ค่าที่น้อยหรือใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดได้

จุดเหล่านี้จะชัดเจนขึ้นหลังจากแสดงบนกราฟ:

รูปแรกแสดงให้เราเห็นฟังก์ชันที่รับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (m a x y และ m i n y) ที่จุดที่นิ่งซึ่งอยู่บนส่วน [ - 6 ; 6].

ให้เราตรวจสอบรายละเอียดกรณีที่ระบุไว้ในกราฟที่สอง มาเปลี่ยนค่าของเซ็กเมนต์เป็น [ 1 ; 6 ] และเราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะได้รับที่จุดโดยมี abscissa ที่ขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาและค่าต่ำสุด - ที่จุดที่นิ่ง

ในรูปที่สาม ฝีของจุดแสดงถึงจุดขอบเขตของส่วน [ - 3 ; 2]. สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูภาพที่สี่กัน ในนั้นฟังก์ชันจะใช้ m a x y (ค่าที่ใหญ่ที่สุด) และ m i n y (ค่าที่น้อยที่สุด) ที่จุดคงที่ในช่วงเวลาเปิด (- 6; 6)

หากเราใช้ช่วงเวลา [ 1 ; 6) จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนนั้นจะบรรลุที่จุดที่นิ่ง เราจะไม่รู้จักคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ฟังก์ชันสามารถรับค่าสูงสุดที่ x เท่ากับ 6 ถ้า x = 6 อยู่ในช่วงเวลา นี่เป็นกรณีที่แสดงในกราฟที่ 5

ในกราฟที่ 6 ฟังก์ชันนี้รับค่าที่น้อยที่สุดที่ขอบเขตด้านขวาของช่วง (- 3; 2 ] และเราไม่สามารถสรุปแน่ชัดเกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดได้

ในรูปที่ 7 เราจะเห็นว่าฟังก์ชันจะมีค่า m x y ที่จุดที่อยู่กับที่โดยมีจุด Abscissa เท่ากับ 1 ฟังก์ชันจะถึงค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของช่วงเวลาทางด้านขวา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ

หากเราใช้ช่วงเวลา x ∈ 2 ; + ∞ จากนั้นเราจะเห็นว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะไม่ใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด หาก x มีแนวโน้มเป็น 2 ค่าของฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์เนื่องจากเส้นตรง x = 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้า abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ นี่เป็นกรณีที่แสดงในรูปที่ 8

ในย่อหน้านี้ เราจะนำเสนอลำดับของการกระทำที่ต้องทำเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์หนึ่งๆ

1. ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน เรามาตรวจสอบว่ากลุ่มที่ระบุในเงื่อนไขรวมอยู่ในนั้นหรือไม่
2. ทีนี้ลองคำนวณคะแนนที่มีอยู่ในส่วนนี้ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ตัวแรกอยู่ ส่วนใหญ่มักพบได้ในฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์เขียนไว้ใต้เครื่องหมายโมดูลัส หรือในฟังก์ชันยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วน
3. ต่อไปเราจะค้นหาว่าจุดใดจะอยู่นิ่งในส่วนที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากนั้นจัดให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ จากนั้นเลือกรากที่เหมาะสม หากเราไม่ได้รับจุดคงที่เพียงจุดเดียวหรือไม่ตกอยู่ในส่วนที่กำหนด เราก็ไปยังขั้นตอนต่อไป
4. เรากำหนดว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าใด ณ จุดคงที่ที่กำหนด (ถ้ามี) หรือ ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) หรือเราคำนวณค่าสำหรับ x = a และ x = ข
5. 5. เรามีค่าฟังก์ชันจำนวนหนึ่ง ซึ่งตอนนี้เราต้องเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่เราต้องค้นหา

เรามาดูวิธีการใช้อัลกอริทึมนี้อย่างถูกต้องเมื่อแก้ไขปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ให้ฟังก์ชัน y = x 3 + 4 x 2 กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

สารละลาย:

เริ่มต้นด้วยการหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ มันจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . ทั้งสองส่วนที่ระบุในเงื่อนไขจะอยู่ภายในพื้นที่คำจำกัดความ

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามกฎการแยกเศษส่วน:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

เราได้เรียนรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชัน ลองทำโดยใช้สมการ x 3 - 8 x 3 = 0 มีรากจริงเพียงรากเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ 2 มันจะเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันและจะตกอยู่ในส่วนแรก [1; 4 ] .

ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนแรกและ ณ จุดนี้ นั่นคือ สำหรับ x = 1, x = 2 และ x = 4:

ปี (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 ปี (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 ปี (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

เราพบว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 จะได้ที่ x = 1 และค่า m i n y x ∈ ที่เล็กที่สุด [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ที่ x = 2

ส่วนที่สองไม่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนที่กำหนดเท่านั้น:

ปี (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

นี่หมายถึง m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

คำตอบ:สำหรับส่วน [ 1 ; 4 ] - ม x ย x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 สำหรับเซ็กเมนต์ [ - 4 ; - 1 ] - ม x ย x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

ดูภาพ:

ก่อนที่จะศึกษาวิธีนี้ เราแนะนำให้คุณทบทวนวิธีการคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวและขีดจำกัดที่อนันต์อย่างถูกต้อง รวมถึงเรียนรู้วิธีพื้นฐานในการค้นหา หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาเปิดหรืออนันต์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ตามลำดับ

1. ขั้นแรก คุณต้องตรวจสอบว่าช่วงที่กำหนดจะเป็นเซตย่อยของโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดหรือไม่
2. ให้เราพิจารณาจุดทั้งหมดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการและไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดยปกติจะเกิดขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์อยู่ในเครื่องหมายมอดุลัส และสำหรับฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะแบบเศษส่วน หากจุดเหล่านี้หายไป คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อไปได้
3. ตอนนี้เรามาดูกันว่าจุดใดที่อยู่นิ่งจะตกภายในช่วงเวลาที่กำหนด ขั้นแรก เราเทียบอนุพันธ์กับ 0 แก้สมการ และเลือกรากที่เหมาะสม ถ้าเราไม่มีจุดหยุดนิ่งจุดเดียวหรือไม่ตกในช่วงเวลาที่กำหนด เราจะดำเนินการต่อไปทันที ถูกกำหนดโดยประเภทของช่วงเวลา

• หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; b) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = a และลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) .
• หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ (a; b ] เราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = b และลิมิตด้านเดียว lim x → a + 0 f (x)
• หากช่วงเวลามีรูปแบบ (a; b) เราต้องคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียว lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x)
• หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; + ∞) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าที่จุด x = a และลิมิตที่บวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) .
• หากช่วงเวลาดูเหมือน (- ∞ ; b ] เราจะคำนวณค่าที่จุด x = b และลิมิตที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
• ถ้า - ∞ ; b จากนั้นเราจะพิจารณาลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) และลิมิตที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
• ถ้า - ∞; + ∞ จากนั้นเราจะพิจารณาขีด จำกัด ของลบและบวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. ในตอนท้ายคุณต้องสรุปตามค่าฟังก์ชันและขีดจำกัดที่ได้รับ มีตัวเลือกมากมายที่นี่ ดังนั้นหากขีด จำกัด ด้านเดียวเท่ากับลบอนันต์หรือบวกอนันต์ก็ชัดเจนทันทีว่าไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันได้ ด้านล่างนี้เราจะดูตัวอย่างทั่วไปหนึ่งตัวอย่าง คำอธิบายโดยละเอียดจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าอะไรคืออะไร หากจำเป็น คุณสามารถกลับไปที่รูปที่ 4 - 8 ในส่วนแรกของเนื้อหาได้

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข: ฟังก์ชันที่กำหนด y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . คำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในช่วงเวลา - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

สารละลาย

ก่อนอื่น เราจะหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วยกำลังสองซึ่งไม่ควรเปลี่ยนเป็น 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

เราได้รับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งช่วงเวลาทั้งหมดที่ระบุในเงื่อนไขเป็นสมาชิก

ตอนนี้เรามาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันและรับ:

y" = 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · จ 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีอยู่ตลอดขอบเขตคำจำกัดความของมัน

มาดูการหาจุดคงที่กันดีกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็น 0 ที่ x = - 1 2 . นี่คือจุดคงที่ซึ่งอยู่ในช่วงเวลา (- 3 ; 1 ] และ (- 3 ; 2) .

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x = - 4 สำหรับช่วงเวลา (- ∞ ; - 4 ] รวมถึงขีดจำกัดที่ลบอนันต์:

y (- 4) = 3 อี 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 อี 1 6 - 4 µ - 0 . 456 ลิม x → - ∞ 3 จ 1 x 2 + x - 6 = 3 จ 0 - 4 = - 1

เนื่องจาก 3 e 1 6 - 4 > - 1 หมายความว่า m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 ซึ่งไม่อนุญาตให้เราระบุค่าที่น้อยที่สุดของ ฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เพียงว่ามีข้อ จำกัด ด้านล่าง - 1 เนื่องจากเป็นค่านี้ที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เชิงเส้นกำกับที่ลบอนันต์

ลักษณะเฉพาะของช่วงที่สองคือไม่มีจุดคงที่จุดเดียวและไม่มีขอบเขตที่เข้มงวดเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันได้ เมื่อกำหนดขีดจำกัดที่ลบอนันต์และอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านซ้าย เราจะได้ค่าเพียงช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น:

ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 จ 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → - ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

ซึ่งหมายความว่าค่าฟังก์ชันจะอยู่ในช่วงเวลา - 1; +∞

ในการค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในช่วงที่สาม เราจะกำหนดค่าของมันที่จุดคงที่ x = - 1 2 ถ้า x = 1 นอกจากนี้เรายังจำเป็นต้องทราบขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่ข้อโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะ - 3 ทางด้านขวา:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี 4 25 - 4 data - 1 . 444 ปี (1) = 3 อี 1 1 2 + 1 - 6 - 4 data - 1 . 644 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 จ 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (- 0) - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

ปรากฎว่าฟังก์ชันจะรับค่าสูงสุดที่จุดคงที่ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ส่วนค่าที่น้อยที่สุดนั้นเราไม่สามารถระบุได้ ทุกสิ่งที่เรารู้ คือการมีอยู่ของขีดจำกัดล่างถึง - 4

สำหรับช่วงเวลา (- 3 ; 2) ให้นำผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้ามาคำนวณอีกครั้งว่าขีดจำกัดด้านเดียวเท่ากับเท่าใดเมื่อพุ่งไปที่ 2 ทางด้านซ้าย:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี - 4 25 - 4 µ - 1 . 444 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 ลิม x → 2 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 - 0 - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

ซึ่งหมายความว่า m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 และไม่สามารถกำหนดค่าที่น้อยที่สุดได้และค่าของฟังก์ชันจะถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข - 4 .

จากสิ่งที่เราได้จากการคำนวณสองครั้งก่อนหน้านี้ เราสามารถพูดได้ว่าในช่วงเวลา [ 1 ; 2) ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ x = 1 แต่ไม่สามารถหาค่าที่เล็กที่สุดได้

ในช่วงเวลา (2 ; + ∞) ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด เช่น จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - 1 ; + ∞ .

ลิม x → 2 + 0 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 อี 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → + ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

เมื่อคำนวณว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับเท่าใดที่ x = 4 เราจะพบว่า m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 และฟังก์ชันที่กำหนดที่บวกอนันต์จะเข้าใกล้เส้นตรงเชิงกำกับเชิงกำกับ y = - 1

ลองเปรียบเทียบสิ่งที่เราได้จากการคำนวณแต่ละครั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ในรูป เส้นกำกับจะแสดงด้วยเส้นประ

นั่นคือทั้งหมดที่เราต้องการบอกคุณเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ลำดับการกระทำที่เราให้ไว้จะช่วยให้คุณคำนวณที่จำเป็นได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายที่สุด แต่โปรดจำไว้ว่ามันมักจะมีประโยชน์ในการค้นหาก่อนว่าฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลาใดและจะเพิ่มขึ้นเมื่อใด หลังจากนั้นคุณสามารถสรุปเพิ่มเติมได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น และปรับผลลัพธ์ที่ได้รับให้เหมาะสม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

บางครั้งในปัญหา B15 มีฟังก์ชัน "ไม่ดี" ซึ่งทำให้หาอนุพันธ์ได้ยาก ก่อนหน้านี้สิ่งนี้เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบตัวอย่างเท่านั้น แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดามากจนไม่สามารถเพิกเฉยได้อีกต่อไปเมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State จริง

ในกรณีนี้ เทคนิคอื่นๆ ได้ผล หนึ่งในนั้นคือ โมโนโทน.

ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในส่วนนี้ หากจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้มีค่าดังต่อไปนี้:

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าลดลงอย่างซ้ำซากจำเจในส่วนนี้ หากจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้มีค่าดังต่อไปนี้:

x1< x 2 ⇒ f (x1) > ฉ ( x2).

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ยิ่ง x ยิ่งมากเท่าไร f(x ก็จะยิ่งมากขึ้น) สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: ยิ่ง x มากเท่าไรก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น น้อยฉ(x)

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนถ้าฐาน a > 1 และจะลดลงแบบโมโนโทนถ้า 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = บันทึก a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

รากกำลังสองทางคณิตศาสตร์ (และไม่เพียงแต่กำลังสองเท่านั้น) จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด:

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำงานคล้ายกับลอการิทึม โดยจะเพิ่มขึ้นเมื่อ > 1 และลดลงเมื่อ 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

ฉ (x) = ก x (ก > 0)

สุดท้าย องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ คุณสามารถเขียนมันเป็นเศษส่วนได้. พวกเขามีจุดพักที่ทำให้ความน่าเบื่อหายไป

ฟังก์ชั่นทั้งหมดนี้ไม่เคยพบในรูปแบบที่บริสุทธิ์ พวกเขาเพิ่มพหุนาม เศษส่วน และเรื่องไร้สาระอื่นๆ ซึ่งทำให้คำนวณอนุพันธ์ได้ยาก มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้

พิกัดจุดยอดพาราโบลา

ส่วนใหญ่แล้วอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วย ตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c กราฟของมันคือพาราโบลามาตรฐานที่เราสนใจ:

1. กิ่งก้านของพาราโบลาสามารถขึ้น (สำหรับ a > 0) หรือลง (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. จุดยอดของพาราโบลาคือจุดปลายสุดของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งฟังก์ชันนี้รับค่าต่ำสุด (สำหรับ a > 0) หรือค่าสูงสุด (a< 0) значение.

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ จุดยอดของพาราโบลา, abscissa ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ดังนั้นเราจึงพบจุดปลายสุดของฟังก์ชันกำลังสองแล้ว แต่ถ้าฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นแบบโมโนโทนิค จุด x 0 ก็จะเป็นจุดสุดขั้วเช่นกัน ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎสำคัญ:

จุดปลายสุดของตรีโกณมิติกำลังสองและฟังก์ชันเชิงซ้อนที่รวมจุดนั้นมาตรงกัน ดังนั้น คุณสามารถมองหา x 0 เพื่อหาตรีโกณมิติกำลังสอง และลืมฟังก์ชันไปได้เลย

จากเหตุผลข้างต้น ยังไม่ชัดเจนว่าเราได้จุดใด: สูงสุดหรือต่ำสุด อย่างไรก็ตาม งานต่างๆ ได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อให้เรื่องนี้ไม่สำคัญ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

1. ไม่มีส่วนใดในคำชี้แจงปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ f(a) และ f(b) ยังคงต้องพิจารณาเฉพาะจุดปลายสุดเท่านั้น
2. แต่มีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว - นี่คือจุดยอดของพาราโบลา x 0 ซึ่งพิกัดคำนวณตามตัวอักษรและไม่มีอนุพันธ์ใด ๆ

ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างมากและมีเพียงสองขั้นตอนเท่านั้น:

1. เขียนสมการของพาราโบลา y = ax 2 + bx + c แล้วหาจุดยอดโดยใช้สูตร: x 0 = −b /2a ;
2. ค้นหาค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้: f (x 0) หากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม นี่จะเป็นคำตอบ

เมื่อมองแวบแรก อัลกอริธึมนี้และเหตุผลอาจดูซับซ้อน ฉันจงใจไม่โพสต์ไดอะแกรมโซลูชัน "เปล่า" เนื่องจากการใช้กฎดังกล่าวโดยไม่ไตร่ตรองเต็มไปด้วยข้อผิดพลาด

ลองดูปัญหาจริงจากการทดสอบ Unified State Exam ในวิชาคณิตศาสตร์ - นี่คือจุดที่เทคนิคนี้พบบ่อยที่สุด ในเวลาเดียวกัน เราจะทำให้แน่ใจว่าด้วยวิธีนี้ปัญหาวิตามินบี 15 จำนวนมากจะกลายเป็นเรื่องที่เกิดขึ้นแทบจะในช่องปาก

ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสอง y = x 2 + 6x + 13 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่แตกแขนงออกไป เนื่องจากสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ณ จุด x 0 = −3 ฟังก์ชัน y = x 2 + 6x + 13 จะใช้ค่าต่ำสุด

ค่ารูทจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก ซึ่งหมายความว่า x 0 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันทั้งหมด เรามี:

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 2 (x 2 + 2x + 9)

ใต้ลอการิทึมจะมีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = x 2 + 2x + 9 กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจาก ก = 1 > 0

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

ดังนั้น ณ จุด x 0 = −1 ฟังก์ชันกำลังสองจะใช้ค่าต่ำสุด แต่ฟังก์ชัน y = log 2 x เป็นแบบโมโนโทนิก ดังนั้น:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

เลขชี้กำลังประกอบด้วยฟังก์ชันกำลังสอง y = 1 − 4x − x 2 ลองเขียนมันใหม่ในรูปแบบปกติ: y = −x 2 − 4x + 1

แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่แตกแขนงลงมา (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นแบบเอกซ์โปเนนเชียล และเป็นโมโนโทนิก ดังนั้นค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจะอยู่ที่จุดที่พบ x 0 = −2:

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้เขียนช่วงของค่าที่อนุญาตของรูทและลอการิทึม แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น: ภายในมีฟังก์ชันที่มีค่าเป็นบวกเสมอ

ข้อพิสูจน์จากโดเมนของฟังก์ชัน

บางครั้งการหาจุดยอดของพาราโบลาเพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหา B15 คุณค่าที่คุณกำลังมองหาอาจอยู่ ที่ส่วนท้ายของส่วนและไม่ได้อยู่ที่จุดสุดขั้วเลย หากปัญหาไม่ได้ระบุถึงส่วนใดส่วนหนึ่งเลยให้ดูที่ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ฟังก์ชั่นดั้งเดิม กล่าวคือ:

โปรดทราบอีกครั้ง: 0 อาจอยู่ใต้ราก แต่ไม่เคยอยู่ในลอการิทึมหรือตัวส่วนของเศษส่วน มาดูกันว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไรด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน:

ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = 3 − 2x − x 2 กราฟของมันคือพาราโบลา แต่จะแตกแขนงลงเพราะ a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

เราเขียนช่วงของค่าที่อนุญาต (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

ตอนนี้เรามาดูจุดยอดของพาราโบลากัน:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

จุด x 0 = −1 อยู่ในส่วน ODZ - และนี่ถือว่าดี ตอนนี้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 รวมถึงที่ส่วนท้ายของ ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลข 2 และ 0 เราถูกขอให้หาที่ใหญ่ที่สุด - นี่คือหมายเลข 2

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 0.5 (6x - x 2 − 5)

ภายในลอการิทึมจะมีฟังก์ชันกำลังสอง y = 6x − x 2 − 5 นี่คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา แต่ลอการิทึมจะต้องเป็นจำนวนลบไม่ได้ ดังนั้นเราจึงเขียน ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นจุดสิ้นสุดจึงไม่เป็นของ ODZ สิ่งนี้ทำให้ลอการิทึมแตกต่างจากราก ซึ่งจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์นั้นเหมาะกับเราค่อนข้างดี

เรากำลังมองหาจุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

จุดยอดของพาราโบลาพอดีตาม ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5) แต่เนื่องจากเราไม่สนใจส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ เราจึงคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่านั้น:

y นาที = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้ เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี:

1 . เราค้นหาฟังก์ชัน ODZ

2 . การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3 . การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

4 . เราค้นหาช่วงเวลาที่อนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้และจากนั้นเราจะกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังนั้นฟังก์ชัน ลดลงในช่วงเวลานี้

5 . เราพบ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

ใน ที่จุดสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-".

ใน จุดต่ำสุดของฟังก์ชันเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จาก "-" เป็น "+".

6 . เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

• จากนั้นเราจะเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด และ เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
• หรือเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดต่ำสุด และ เลือกค่าที่น้อยที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันทำงานบนเซ็กเมนต์อย่างไร อัลกอริธึมนี้สามารถลดลงได้อย่างมาก

พิจารณาฟังก์ชัน . กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะดังนี้:

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆ จาก Open Task Bank for

1. งาน B15 (หมายเลข 26695)

บนส่วน.

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ และอนุพันธ์เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ซึ่งก็คือที่ x=0

คำตอบ: 5.

2 . งาน B15 (หมายเลข 26702)

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

1. ฟังก์ชัน ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย:

ดังนั้น title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(คอส^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} เพิ่มและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ที่

เพื่อให้ชัดเจนว่าเหตุใดอนุพันธ์จึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เราจึงแปลงนิพจน์ของอนุพันธ์ดังนี้:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

คำตอบ: 5.

3. งาน B15 (หมายเลข 26708)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ฟังก์ชัน ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ลองวางรากของสมการนี้บนวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วงประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: และ

มาติดป้ายกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุด x=0: . เมื่อผ่านจุดและสัญญาณการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ให้เราพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนเส้นพิกัด:

แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุด (ซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+") และหากต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ คุณต้องเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ จุดต่ำสุดและที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์