คำแนะนำ

หากสมการแสดงในรูปแบบ: dy / dx = q (x) / n (y) ให้อ้างอิงถึงหมวดหมู่ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแบบแยกได้ สามารถแก้ไขได้โดยการเขียนเงื่อนไขในดิฟเฟอเรนเชียลดังนี้: n (y) dy = q (x) dx จากนั้นรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน ในบางกรณี การแก้ปัญหาถูกเขียนในรูปแบบของอินทิกรัลที่นำมาจากฟังก์ชันที่รู้จัก ตัวอย่างเช่น ในกรณี dy / dx = x / y คุณจะได้ q (x) = x, n (y) = y เขียนเป็น ydy = xdx และรวมเข้าด้วยกัน คุณควรได้ y ^ 2 = x ^ 2 + c

เชิงเส้น สมการเชื่อมโยงสมการ "ก่อน" ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักซึ่งมีอนุพันธ์รวมอยู่ในสมการดังกล่าวจนถึงระดับแรกเท่านั้น เส้นตรงมีรูปแบบ dy / dx + f (x) = j (x) โดยที่ f (x) และ g (x) เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ x การแก้ปัญหาเขียนโดยใช้อินทิกรัลที่นำมาจากฟังก์ชันที่รู้จัก

โปรดทราบว่าสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากเป็นสมการอันดับสอง (มีอนุพันธ์อันดับสอง) ตัวอย่างเช่น มีสมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่เขียนเป็นสมการทั่วไป: md 2x / dt 2 = –kx สมการดังกล่าวมีคำตอบเฉพาะ สมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นตัวอย่างของบางสิ่งที่สำคัญมาก: สมการอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

หากมีสมการเชิงเส้นเพียงสมการเดียวในเงื่อนไขของปัญหา คุณจะได้รับเงื่อนไขเพิ่มเติม ซึ่งจะทำให้คุณสามารถหาคำตอบได้ อ่านปัญหาอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเงื่อนไขเหล่านี้ ถ้า ตัวแปร x และ y ระบุระยะทาง ความเร็ว น้ำหนัก - อย่าลังเลที่จะตั้งค่าขีดจำกัด x≥0 และ y≥0 มีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่จำนวนแอปเปิ้ล ฯลฯ จะถูกซ่อนภายใต้ x หรือ y - จากนั้นสามารถเป็นได้เท่านั้น ถ้า x คืออายุของลูกชาย เป็นที่ชัดเจนว่าเขาไม่สามารถแก่กว่าพ่อได้ ดังนั้นให้ระบุสิ่งนี้ในเงื่อนไขของปัญหา

ที่มา:

• วิธีแก้สมการในตัวแปรเดียว

ปัญหาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นองค์ประกอบสำคัญของการรวมทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่ศึกษาในมหาวิทยาลัย ดิฟเฟอเรนเชียล สมการแก้ได้ด้วยวิธีการบูรณาการ

คำแนะนำ

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สำรวจคุณสมบัติ ในทางกลับกัน การรวมฟังก์ชันช่วยให้สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ เช่น อนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันหามันเอง นี่คือคำตอบของสมการอนุพันธ์

Any คือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลที่ไม่รู้จักและข้อมูลที่ทราบ ในกรณีของสมการอนุพันธ์ บทบาทของค่านิรนามจะเล่นโดยฟังก์ชัน และบทบาทของปริมาณที่ทราบจะเล่นโดยอนุพันธ์ นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ยังสามารถประกอบด้วยตัวแปรอิสระ: F (x, y (x), y '(x), y' '(x), ..., y ^ n (x)) = 0 โดยที่ x คือ ตัวแปรที่ไม่รู้จัก y (x) คือฟังก์ชันที่จะกำหนด ลำดับของสมการคือลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ (n)

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการอนุพันธ์สามัญ หากมีตัวแปรอิสระหลายตัวในความสัมพันธ์และอนุพันธ์ย่อย (ส่วนต่าง) ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรเหล่านี้ สมการจะเรียกว่าสมการอนุพันธ์ย่อยบางส่วนและมีรูปแบบดังนี้ x∂z / ∂y - ∂z / ∂ x = 0 โดยที่ z (x, y) เป็นฟังก์ชันที่ต้องการ

ดังนั้น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณต้องสามารถหาแอนติเดริเวทีฟได้ นั่นคือ แก้ปัญหาผกผันกับความแตกต่าง ตัวอย่างเช่น แก้สมการลำดับแรก y '= -y / x

วิธีแก้ไข แทนที่ y 'ด้วย dy / dx: dy / dx = -y / x

ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกต่อการบูรณาการ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้คูณทั้งสองข้างด้วย dx แล้วหารด้วย y: dy / y = -dx / x

รวม: ∫dy / y = - ∫dx / x + Сln | y | = - ln | x | + ค.

คำตอบนี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป C เป็นค่าคงที่ ชุดของค่าที่กำหนดชุดของคำตอบของสมการ สำหรับค่าเฉพาะใดๆ ของ C โซลูชันจะไม่ซ้ำกัน คำตอบนี้เป็นคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์

การแก้สมการที่สูงขึ้นส่วนใหญ่ องศาไม่มีสูตรชัดเจนเหมือนหารากของสี่เหลี่ยม สมการ... อย่างไรก็ตาม มีวิธีการลดจำนวนหลายวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนสมการของระดับสูงสุดให้อยู่ในรูปแบบที่มองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

คำแนะนำ

วิธีแก้สมการลำดับสูงที่พบบ่อยที่สุดคือการขยาย วิธีการนี้เป็นการผสมผสานระหว่างการเลือกรากจำนวนเต็ม ตัวหารของจุดตัด และการหารต่อมาของพหุนามทั่วไปตามรูปแบบ (x - x0)

ตัวอย่างเช่น แก้สมการ x ^ 4 + x³ + 2 · x² - x - 3 = 0 คำตอบ: พจน์ว่างของพหุนามนี้คือ -3 ดังนั้น ตัวหารจำนวนเต็มสามารถเป็น ± 1 และ ± 3 แทนที่พวกมันทีละตัวในสมการแล้วค้นหาว่าคุณได้เอกลักษณ์หรือไม่: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0

รากที่สองคือ x = -1 หารด้วยนิพจน์ (x + 1) เขียนสมการผลลัพธ์ (x - 1) · (x + 1) · (x² + x + 3) = 0 ดีกรีลดลงเป็นวินาที ดังนั้น สมการสามารถมีรากได้อีกสองราก ในการหา ให้แก้สมการกำลังสอง: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีรากที่แท้จริงอีกต่อไป หารากที่ซับซ้อนของสมการ: x = (-2 + i √11) / 2 and x = (-2 - i √11) / 2

อีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการที่มีดีกรีสูงสุดคือการเปลี่ยนตัวแปรเพื่อนำมาเป็นกำลังสอง วิธีนี้ใช้เมื่อกำลังทั้งหมดของสมการเป็นเลขคู่ เช่น x ^ 4 - 13 x² + 36 = 0

ตอนนี้หารากของสมการเดิม: x1 = √9 = ± 3; x2 = √4 = ± 2

เคล็ดลับ 10: วิธีการกำหนดสมการรีดอกซ์

ปฏิกิริยาเคมีเป็นกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงของสารที่เกิดขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงในองค์ประกอบของสาร สารที่เข้าสู่ปฏิกิริยาเรียกว่าสารตั้งต้นและสารที่เกิดขึ้นจากกระบวนการนี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์ มันเกิดขึ้นที่ในระหว่างปฏิกิริยาเคมี ธาตุที่ประกอบเป็นสารตั้งต้นจะเปลี่ยนสถานะออกซิเดชันของพวกมัน นั่นคือพวกเขาสามารถยอมรับอิเล็กตรอนของคนอื่นและละทิ้งอิเลคตรอนของตัวเองได้ และที่จริงแล้ว และในอีกกรณีหนึ่ง ค่าใช้จ่ายก็เปลี่ยนไป ปฏิกิริยาเหล่านี้เรียกว่าปฏิกิริยารีดอกซ์

ฉันคิดว่าเราควรเริ่มด้วยประวัติของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเช่นสมการอนุพันธ์ เช่นเดียวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ทั้งหมด สมการเหล่านี้ถูกคิดค้นโดยนิวตันในปลายศตวรรษที่ 17 เขาถือว่าการค้นพบของเขามีความสำคัญมากจนเขาเข้ารหัสข้อความที่ทุกวันนี้สามารถแปลได้ดังนี้: "กฎธรรมชาติทั้งหมดอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์" นี้อาจดูเหมือนพูดเกินจริง แต่ก็เป็น กฎฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยาใดๆ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเหล่านี้

นักคณิตศาสตร์ออยเลอร์และลากรองจ์มีส่วนอย่างมากในการพัฒนาและสร้างทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ ในศตวรรษที่ 18 พวกเขาค้นพบและพัฒนาสิ่งที่กำลังศึกษาอยู่ในมหาวิทยาลัยอาวุโส

เหตุการณ์สำคัญครั้งใหม่ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์เริ่มต้นขึ้นโดย Henri Poincaré เขาได้สร้าง "ทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์" ซึ่งเมื่อรวมกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน มีส่วนสำคัญต่อรากฐานของโทโพโลยี นั่นคือ ศาสตร์แห่งอวกาศและคุณสมบัติของมัน

สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

หลายคนกลัววลีเดียว อย่างไรก็ตาม ในบทความนี้ เราจะให้รายละเอียดแก่นแท้ทั้งหมดของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์มากนี้ ซึ่งจริงๆ แล้วไม่ซับซ้อนเท่าชื่อ ในการเริ่มพูดถึงสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง อันดับแรก คุณควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความนี้โดยเนื้อแท้ และเราจะเริ่มด้วยส่วนต่าง

ดิฟเฟอเรนเชียล

หลายคนรู้จักแนวคิดนี้จากโรงเรียน อย่างไรก็ตามเรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถขยายมันได้จนถึงขนาดที่ส่วนใดๆ ของมันอยู่ในรูปของเส้นตรง เราใช้สองจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่สิ้นสุด ความแตกต่างระหว่างพิกัด (x หรือ y) จะน้อยมาก มันถูกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลและแสดงโดยเครื่องหมาย dy (ส่วนต่างจาก y) และ dx (ส่วนต่างจาก x) สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าดิฟเฟอเรนเชียลไม่ใช่ค่าจำกัด และนี่คือความหมายและหน้าที่หลัก

และตอนนี้ก็จำเป็นต้องพิจารณาองค์ประกอบต่อไป ซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับเราในการอธิบายแนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์ นี่คืออนุพันธ์

อนุพันธ์

เราทุกคนคงเคยได้ยินแนวคิดนี้ที่โรงเรียน อนุพันธ์คืออัตราที่ฟังก์ชันขึ้นหรือลง อย่างไรก็ตาม จากคำจำกัดความนี้ มีหลายอย่างที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ลองอธิบายอนุพันธ์ในแง่ของดิฟเฟอเรนเชียลกัน ลองกลับไปที่ส่วนที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันที่มีจุดสองจุดที่อยู่ห่างจากกันน้อยที่สุด แต่ถึงแม้จะอยู่ไกลขนาดนี้ ฟังก์ชันก็มีเวลาเปลี่ยนบ้าง และเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้และได้อนุพันธ์ซึ่งเขียนเป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียลได้ดังนี้ f (x) "= df / dx.

ตอนนี้ควรพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของอนุพันธ์ มีเพียงสามคนเท่านั้น:

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่างสามารถแสดงเป็นผลรวมหรือผลต่างของอนุพันธ์: (a + b) "= a" + b "และ (a-b)" = a "-b"
2. คุณสมบัติที่สองเกี่ยวข้องกับการคูณ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันหนึ่งโดยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น: (a * b) "= a" * b + a * b "
3. อนุพันธ์ของผลต่างสามารถเขียนได้เป็นสมการต่อไปนี้: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b 2

คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นประโยชน์สำหรับเราในการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์บางส่วน สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน z ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x และ y ในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้ สมมติว่า เทียบกับ x เราต้องใช้ตัวแปร y เป็นค่าคงที่และแยกความแตกต่าง

ปริพันธ์

แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งคืออินทิกรัล อันที่จริง นี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอนุพันธ์ อินทิกรัลมีหลายประเภท แต่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบง่ายที่สุด เราจำเป็นต้องมีส่วนที่ไม่สำคัญที่สุด

สมมุติว่าเราพึ่งพา f บน x เราหาอินทิกรัลจากมันแล้วได้ฟังก์ชัน F (x) (มักเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้น F (x) "= f (x) นอกจากนี้ยังตามมาด้วยว่าอินทิกรัลของอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม

เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ จำเป็นต้องเข้าใจความหมายและหน้าที่ของอินทิกรัล เป็นสิ่งสำคัญมาก เนื่องจากคุณจะต้องใช้สมการเหล่านี้บ่อยมากในการหาคำตอบ

สมการจะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับธรรมชาติของสมการ ในส่วนถัดไป เราจะมาดูประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง จากนั้นเราจะเรียนรู้วิธีแก้สมการ

คลาสของสมการเชิงอนุพันธ์

"ความแตกต่าง" จะถูกแบ่งออกตามลำดับของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงมีลำดับที่หนึ่ง สอง สามและมากกว่านั้น พวกเขายังสามารถแบ่งออกเป็นหลายชั้น: อนุพันธ์สามัญและบางส่วน

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่หนึ่ง เราจะพูดถึงตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะ ODE เนื่องจากสมการเหล่านี้เป็นสมการที่พบบ่อยที่สุด สามัญแบ่งออกเป็นชนิดย่อย: ด้วยตัวแปรที่แยกได้, เป็นเนื้อเดียวกันและต่างกัน. ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้ว่าพวกมันแตกต่างกันอย่างไรและเรียนรู้วิธีแก้ไข

นอกจากนี้ สมการเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้ หลังจากที่เราได้ระบบสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง เราจะพิจารณาระบบดังกล่าวและเรียนรู้วิธีแก้ไขด้วย

เหตุใดเราจึงพิจารณาเฉพาะคำสั่งซื้อแรกเท่านั้น เนื่องจากคุณต้องเริ่มง่ายๆ และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะอธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ในบทความเดียว

สมการที่แยกได้

นี่อาจเป็นสมการอนุพันธ์อันดับแรกที่ง่ายที่สุด ซึ่งรวมถึงตัวอย่างที่สามารถเขียนได้ดังนี้: y "= f (x) * f (y) ในการแก้สมการนี้ เราจำเป็นต้องมีสูตรสำหรับแสดงอนุพันธ์เป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียล: y" = dy / dx เมื่อใช้มันเราจะได้สมการต่อไปนี้: dy / dx = f (x) * f (y) ตอนนี้ เราสามารถใช้วิธีแก้ตัวอย่างมาตรฐานได้: เราจะแบ่งตัวแปรออกเป็นส่วนๆ นั่นคือ เราจะถ่ายโอนทุกอย่างจากตัวแปร y ไปยังส่วนที่ dy ตั้งอยู่ และทำเช่นเดียวกันกับตัวแปร x เราได้สมการของรูปแบบ: dy / f (y) = f (x) dx ซึ่งแก้ได้โดยการหาอินทิกรัลจากทั้งสองส่วน อย่าลืมค่าคงที่ซึ่งต้องตั้งค่าหลังจากอินทิกรัลแล้ว

คำตอบของ "การแพร่กระจาย" ใดๆ เป็นฟังก์ชันของการพึ่งพา x บน y (ในกรณีของเรา) หรือหากมีเงื่อนไขที่เป็นตัวเลข คำตอบจะอยู่ในรูปของตัวเลข มาวิเคราะห์แนวทางการแก้ปัญหาทั้งหมดโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

เราถ่ายโอนตัวแปรไปในทิศทางต่างๆ:

ตอนนี้เราหาอินทิกรัล ทั้งหมดนี้มีอยู่ในตารางอินทิกรัลพิเศษ และเราได้รับ:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

ถ้าจำเป็น เราสามารถแสดง "game" เป็นฟังก์ชันของ "x" ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของเราได้รับการแก้ไขแล้วหากไม่ได้ระบุเงื่อนไขไว้ สามารถระบุเงื่อนไขได้ เช่น y (n / 2) = e จากนั้นเราก็แทนที่ค่าของตัวแปรเหล่านี้ลงในสารละลายแล้วหาค่าของค่าคงที่ ในตัวอย่างของเรา มันเท่ากับ 1

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่ยากขึ้นกันดีกว่า สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับแรกสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้: y "= z (x, y) ควรสังเกตว่าฟังก์ชันที่ถูกต้องของตัวแปรสองตัวนั้นเป็นเนื้อเดียวกันและไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองการพึ่งพาได้: z บน x และ z บน y ตรวจสอบว่าสมการเป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่ค่อนข้างง่าย: เราทำการแทนที่ x = k * x และ y = k * y ตอนนี้เรายกเลิกทั้งหมด k ถ้าตัวอักษรเหล่านี้ถูกยกเลิกทั้งหมด สมการเป็นเนื้อเดียวกันและเราสามารถดำเนินการแก้ไขได้อย่างปลอดภัย สมมติว่า: หลักการแก้ตัวอย่างเหล่านี้ก็ง่ายมากเช่นกัน

เราจำเป็นต้องทำการแทนที่: y = t (x) * x โดยที่ t คือฟังก์ชันบางอย่างที่ขึ้นอยู่กับ x ด้วย จากนั้นเราสามารถแสดงอนุพันธ์: y "= t" (x) * x + t แทนที่ทั้งหมดนี้ลงในสมการดั้งเดิมของเราและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ตัวอย่างด้วยตัวแปรที่แยกออกได้ t และ x เราแก้มันและรับการพึ่งพา t (x) เมื่อเราได้มันมา เราก็แทนที่ y = t (x) * x ในการแทนที่ครั้งก่อน แล้วเราก็ได้การพึ่งพา y บน x

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาดูตัวอย่าง: x * y "= y-x * e y / x

เมื่อตรวจสอบและเปลี่ยนทุกอย่างจะลดลง ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นเป็นเนื้อเดียวกันจริงๆ ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนใหม่ซึ่งเราพูดถึง: y = t (x) * x และ y "= t" (x) * x + t (x) หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราได้รับสมการต่อไปนี้: t "(x) * x = -et แก้ตัวอย่างผลลัพธ์ด้วยตัวแปรแยกและรับ: e -t = ln (C * x) เราต้องแทนที่ t ด้วย y / x (ถ้า y = t * x แล้ว t = y / x) และเราจะได้คำตอบ: e -y / x = ln (x * С)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของคำสั่งแรก

ถึงเวลาพิจารณาหัวข้อกว้างๆ อีกหัวข้อหนึ่งแล้ว เราจะวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันอันดับหนึ่ง พวกเขาแตกต่างจากสองก่อนหน้านี้อย่างไร? ลองคิดออก สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรกในรูปแบบทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้: y "+ g (x) * y = z (x) ควรชี้แจงว่า z (x) และ g (x) สามารถเป็นค่าคงที่ได้

และตอนนี้เป็นตัวอย่าง: y "- y * x = x 2

มีสองวิธีในการแก้ปัญหานี้ และเราจะพิจารณาทั้งสองอย่างตามลำดับ วิธีแรกคือวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ในการแก้สมการในลักษณะนี้ ก่อนอื่นคุณต้องหาค่าด้านขวาให้เป็นศูนย์ก่อน แล้วแก้สมการที่ได้ ซึ่งหลังจากโอนส่วนต่างๆ จะมีรูปแบบดังนี้

ln | y | = x 2/2 + C;

y = e x2 / 2 * y C = C 1 * e x2 / 2

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าคงที่ C 1 ด้วยฟังก์ชัน v (x) ซึ่งเราต้องหา

ลองแทนที่อนุพันธ์:

y "= v" * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2

และเราแทนที่นิพจน์เหล่านี้ลงในสมการดั้งเดิม:

v "* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2

คุณจะเห็นว่าข้อตกลงสองข้อถูกยกเลิกทางด้านซ้าย หากบางตัวอย่างสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น แสดงว่าคุณทำอะไรผิด ไปกันต่อ:

วี "* อี x2 / 2 = x 2

ตอนนี้เราแก้สมการปกติซึ่งเราต้องแยกตัวแปร:

dv / dx = x 2 / e x2 / 2;

dv = x 2 * e - x2 / 2 dx

ในการแยกอินทิกรัล เราต้องใช้อินทิกรัลโดยส่วนต่างๆ ที่นี่ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่หัวข้อของบทความของเรา หากคุณสนใจ คุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำสิ่งเหล่านี้ได้ด้วยตัวเอง ไม่ยากและด้วยทักษะและความเอาใจใส่ที่เพียงพอก็ใช้เวลาไม่นาน

ให้เรามาดูวิธีที่สองในการแก้สมการเอกพันธ์: วิธีเบอร์นูลลี วิธีใดที่เร็วกว่าและง่ายกว่านั้นขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้น เมื่อแก้สมการด้วยวิธีนี้ เราต้องทำการแทนที่: y = k * n โดยที่ k และ n เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ x จากนั้นอนุพันธ์จะมีลักษณะดังนี้: y "= k" * n + k * n "แทนที่การแทนที่ทั้งสองในสมการ:

k "* n + k * n" + x * k * n = x 2

เราจัดกลุ่ม:

k "* n + k * (n" + x * n) = x 2

ตอนนี้เราต้องเท่ากับศูนย์สิ่งที่อยู่ในวงเล็บ ตอนนี้ หากคุณรวมสมการผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน คุณจะได้ระบบสมการอนุพันธ์อันดับ 1 ที่ต้องแก้ไข:

เราแก้สมการแรกเป็นสมการธรรมดา ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแยกตัวแปร:

เราหาอินทิกรัลแล้วได้: ln (n) = x 2/2 แล้วถ้าเราแสดง n:

ตอนนี้เราแทนที่ความเท่าเทียมกันที่ได้ลงในสมการที่สองของระบบ:

k "* อี x2 / 2 = x 2

และเมื่อแปลงแล้ว เราจะได้ค่าเท่ากันกับวิธีแรก:

dk = x 2 / อี x2 / 2

เราจะไม่วิเคราะห์การดำเนินการเพิ่มเติม ควรจะกล่าวว่าในตอนแรกการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งทำให้เกิดปัญหาที่สำคัญ อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณเจาะลึกลงไปในหัวข้อนั้น ก็เริ่มดีขึ้นเรื่อยๆ

สมการเชิงอนุพันธ์ใช้ที่ไหน?

สมการเชิงอนุพันธ์ถูกใช้อย่างมากในวิชาฟิสิกส์ เนื่องจากกฎพื้นฐานเกือบทั้งหมดเขียนในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล และสูตรที่เราเห็นคือคำตอบของสมการเหล่านี้ ในวิชาเคมีพวกเขาใช้ด้วยเหตุผลเดียวกัน: กฎหมายพื้นฐานได้รับการอนุมานด้วยความช่วยเหลือ ในทางชีววิทยา ใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อจำลองพฤติกรรมของระบบ เช่น เหยื่อผู้ล่า นอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองการผสมพันธุ์สำหรับกลุ่มจุลินทรีย์ได้อีกด้วย

สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยคุณในชีวิตได้อย่างไร?

คำตอบสำหรับคำถามนี้ง่าย: ไม่มีอะไร หากคุณไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกร พวกเขาไม่น่าจะมีประโยชน์สำหรับคุณ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาทั่วไป การรู้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไรและแก้ได้อย่างไร แล้วคำถามของลูกชายหรือลูกสาว "สมการอนุพันธ์คืออะไร" จะไม่ทำให้คุณสับสน ถ้าคุณเป็นนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกร คุณเองก็เข้าใจถึงความสำคัญของหัวข้อนี้ในทุกศาสตร์ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือตอนนี้คำถาม "จะแก้สมการอนุพันธ์อันดับแรกได้อย่างไร" คุณสามารถให้คำตอบได้เสมอ เห็นด้วย เป็นเรื่องที่ดีเสมอเมื่อคุณเข้าใจในสิ่งที่คนอื่นกลัวที่จะเข้าใจ

ปัญหาหลักในการศึกษา

ปัญหาหลักในการทำความเข้าใจหัวข้อนี้คือทักษะที่ไม่ดีในการรวมและแยกแยะฟังก์ชัน หากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์และปริพันธ์ ก็อาจคุ้มค่าที่จะเรียนรู้เพิ่มเติม ฝึกฝนวิธีการต่าง ๆ ของการบูรณาการและการสร้างความแตกต่าง จากนั้นจึงเริ่มศึกษาเนื้อหาที่อธิบายไว้ในบทความ

บางคนแปลกใจเมื่อพบว่า dx สามารถดำเนินการได้ เนื่องจากก่อนหน้านี้ (ในโรงเรียน) มีการระบุว่าเศษส่วน dy / dx นั้นแบ่งไม่ได้ ที่นี่คุณต้องอ่านวรรณกรรมเกี่ยวกับอนุพันธ์และเข้าใจว่ามันเป็นอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากที่สามารถจัดการได้เมื่อแก้สมการ

หลายคนไม่ได้ตระหนักในทันทีว่าการแก้สมการอนุพันธ์อันดับแรกมักจะเป็นฟังก์ชันหรืออินทิกรัลที่ไม่สำคัญ และความเข้าใจผิดนี้ทำให้พวกเขามีปัญหามากมาย

คุณสามารถศึกษาอะไรอีกเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น?

เป็นการดีที่สุดที่จะเริ่มต้นดำดิ่งสู่โลกแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ด้วยหนังสือเรียนเฉพาะทาง เช่น ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนที่ไม่เชี่ยวชาญพิเศษทางคณิตศาสตร์ จากนั้นคุณสามารถไปยังวรรณกรรมเฉพาะทางเพิ่มเติมได้

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวว่า นอกจากสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว ยังมีสมการปริพันธ์ด้วย ดังนั้นคุณจะมีบางสิ่งที่ต้องพยายามและสิ่งที่ต้องศึกษาอยู่เสมอ

บทสรุป

เราหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้ คุณจะมีความคิดว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไรและจะแก้ไขอย่างไรให้ถูกต้อง

ไม่ว่าในกรณีใดคณิตศาสตร์จะเป็นประโยชน์กับเราในชีวิต มันพัฒนาตรรกะและความสนใจโดยที่ทุกคนไม่มีมือ

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE). สองคำนี้มักจะทำให้คนธรรมดาทั่วไปหวาดกลัว สมการเชิงอนุพันธ์ดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่อุกอาจและยากที่จะเรียนรู้สำหรับนักเรียนหลายคน Uuuuuuu ... สมการอนุพันธ์ ฉันจะรอดทั้งหมดนี้ได้อย่างไร!

ความคิดเห็นนี้และเจตคตินี้ผิดโดยพื้นฐานเพราะในความเป็นจริง สมการเชิงอนุพันธ์นั้นเรียบง่ายและสนุกอีกด้วย... คุณจำเป็นต้องรู้อะไรและสามารถเรียนรู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้อย่างไร หากต้องการศึกษา diffura ให้ประสบผลสำเร็จ คุณต้องเก่งเรื่องการบูรณาการและสร้างความแตกต่าง ยิ่งมีการศึกษาหัวข้อที่ดีขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและ ปริพันธ์ไม่แน่นอนยิ่งเข้าใจสมการอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น ฉันจะพูดให้มากขึ้นหากคุณมีทักษะในการบูรณาการที่ดีไม่มากก็น้อยหัวข้อนั้นก็จะเชี่ยวชาญ! ยิ่งคุณแก้ปริพันธ์ของประเภทต่าง ๆ ได้มากเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น ทำไม? เพราะต้องอินทิเกรตเยอะ และสร้างความแตกต่าง อีกด้วย ขอเเนะนำเรียนรู้ที่จะหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย.

ใน 95% ของกรณีในการทดสอบ สมการอนุพันธ์อันดับแรกมี 3 ประเภท ได้แก่ สมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ ซึ่งเราจะพิจารณาในบทเรียนนี้ สมการเอกพันธ์และ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น... สำหรับผู้เริ่มต้นในการแพร่ระบาด ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียนตามลำดับนี้ มีสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทที่หายากกว่า: สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด, สมการเบอร์นูลลีและอื่น ๆ สิ่งสำคัญที่สุดของสองประเภทสุดท้ายคือสมการในผลต่างทั้งหมด เนื่องจากนอกเหนือจาก DE นี้ ฉันกำลังพิจารณาวัสดุใหม่ - การรวมบางส่วน

มาจำสมการปกติกันก่อน ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด:. การแก้สมการธรรมดาหมายความว่าอย่างไร แปลว่า หา ตัวเลขมากมายที่เป็นไปตามสมการนี้ ง่ายที่จะเห็นว่าสมการของเด็กมีรากเดียว:. เพื่อความสนุก มาเช็คกัน แทนที่รูทที่พบลงในสมการของเรา:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

ความแตกต่างมีความคล้ายคลึงกัน!

สมการเชิงอนุพันธ์ คำสั่งแรก, ประกอบด้วย:
1) ตัวแปรอิสระ
2) ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน);
3) อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน:.

ในบางกรณี สมการอันดับแรกอาจไม่มี "x" หรือ (และ) "game" - สำคัญดังนั้นใน DU เคยเป็นอนุพันธ์อันดับแรกและ ไม่ได้มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น - ฯลฯ

แปลว่าอะไร ?การแก้สมการอนุพันธ์หมายถึงการหา ฟังก์ชั่นมากมายที่เป็นไปตามสมการนี้ ฟังก์ชันชุดนี้เรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์.

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

บรรจุกระสุนเต็ม. จะเริ่มแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 ได้ที่ไหน

ก่อนอื่น คุณต้องเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย เราจำสัญกรณ์ที่ยุ่งยากสำหรับอนุพันธ์: การกำหนดอนุพันธ์นี้อาจดูไร้สาระและไม่จำเป็นสำหรับพวกคุณหลายคน แต่มันเป็นกฎที่กระจายออกไป!

ดังนั้น ในระยะแรก เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่เราต้องการ:

ในระยะที่สอง เสมอดูว่ามันเป็นไปได้ แยกตัวแปร?การแยกตัวแปรหมายความว่าอย่างไร พูดประมาณว่า ทางด้านซ้ายเราต้องไปแล้ว เฉพาะ "เกมเมอร์", NS อยู่ทางขวาจัดระเบียบ เฉพาะ "x"... การแยกตัวแปรดำเนินการโดยใช้การปรับเปลี่ยน "โรงเรียน": วงเล็บ การโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การถ่ายโอนปัจจัยจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งตามกฎของสัดส่วน ฯลฯ

ความแตกต่างและเป็นตัวคูณที่เต็มเปี่ยมและมีส่วนร่วมในสงคราม ในตัวอย่างที่พิจารณา ตัวแปรสามารถแยกออกได้ง่ายโดยการโยนตัวคูณตามกฎของสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออก ทางด้านซ้ายมีเพียง "เกม" ทางด้านขวา - เฉพาะ "X"

ขั้นตอนต่อไป - การรวมสมการเชิงอนุพันธ์... ง่ายมาก เราแขวนอินทิกรัลไว้ทั้งสองข้าง:

แน่นอนว่าต้องมีอินทิกรัล ในกรณีนี้ จะเป็นแบบตาราง:

ดังที่เราจำได้ ค่าคงที่ถูกกำหนดให้กับแอนติเดริเวทีฟใดๆ มีอินทิกรัลสองตัวตรงนี้ แต่เขียนค่าคงที่ครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว มักจะเกิดจากด้านขวา

พูดโดยเคร่งครัด หลังจากที่หาปริพันธ์แล้ว ถือว่าสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไขแล้ว สิ่งเดียวคือ "เกม" ของเราไม่ได้แสดงผ่าน "x" นั่นคือวิธีแก้ปัญหาถูกนำเสนอ โดยปริยายรูปร่าง. คำตอบของสมการอนุพันธ์ในรูปแบบนัยเรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์... นั่นคือมันเป็นอินทิกรัลทั่วไป

ตอนนี้ คุณต้องพยายามหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป นั่นคือ พยายามแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน

โปรดจำไว้ว่าเทคนิคแรกเป็นเรื่องปกติและมักใช้ในการฝึกหัด เมื่อลอการิทึมปรากฏทางด้านขวามือหลังการรวม แนะนำให้เขียนค่าคงที่ใต้ลอการิทึมด้วยเช่นกัน

นั่นคือ, แทนรายการมักจะเขียน .

นี่คือค่าคงที่เต็มเปี่ยมเช่นเดียวกับ ทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็น? และเพื่อให้ง่ายต่อการแสดง "เกม" เราใช้คุณสมบัติโรงเรียนของลอการิทึม: ... ในกรณีนี้:

ตอนนี้สามารถลบลอการิทึมและโมดูลออกจากทั้งสองส่วนได้ด้วยจิตสำนึกที่ชัดเจน:

มีการนำเสนอฟังก์ชันอย่างชัดเจน นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ฟังก์ชั่นมากมาย เป็นคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์

โดยให้ค่าต่างๆ กันคงที่ คุณจะได้ค่ามากมายมหาศาล โซลูชั่นส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์. ฟังก์ชั่นใด ๆ ฯลฯ จะเป็นไปตามสมการอนุพันธ์

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปบางครั้งเรียกว่า ตระกูลของฟังก์ชัน... ในตัวอย่างนี้ คำตอบทั่วไปคือ เป็นแฟมิลีของฟังก์ชันเชิงเส้น หรือค่อนข้างจะเป็นแฟมิลีของสัดส่วนโดยตรง

สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากนั้นค่อนข้างง่ายในการทดสอบ ทำได้ง่ายมาก เราหาคำตอบที่พบและหาอนุพันธ์:

เราแทนที่คำตอบของเราและอนุพันธ์ที่ค้นพบลงในสมการดั้งเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบทั่วไปตรงตามสมการ

หลังจากเคี้ยวตัวอย่างแรกอย่างละเอียดแล้ว ควรตอบคำถามที่ไร้เดียงสาสองสามข้อเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์

1)ในตัวอย่างนี้ เราจัดการเพื่อแยกตัวแปร:. สามารถทำได้เสมอหรือไม่?ไม่เสมอไป และบ่อยครั้งที่ตัวแปรไม่สามารถแยกออกได้ ตัวอย่างเช่น ใน สมการอันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันคุณต้องเปลี่ยนก่อน ในสมการประเภทอื่น เช่น ในสมการลำดับแรกที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นคุณต้องใช้เทคนิคและวิธีการต่างๆ เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการที่แยกออกได้ที่เราพิจารณาในบทเรียนแรกคือสมการเชิงอนุพันธ์แบบที่ง่ายที่สุด

2) เป็นไปได้ไหมที่จะรวมสมการอนุพันธ์เข้าด้วยกัน?ไม่เสมอไป มันง่ายมากที่จะสร้างสมการ "แฟนซี" ที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ นอกจากนี้ยังมีอินทิกรัลที่ไม่สำคัญอีกด้วย แต่ DE ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยประมาณโดยใช้วิธีการพิเศษ รับประกัน D'Alembert และ Cauchy ... เอ่อ lurkmore.ru เพิ่งอ่านมาก

3) ในตัวอย่างนี้ เราได้รับคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป ... เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจากอินทิกรัลทั่วไป นั่นคือเพื่อแสดง "เกม" ในรูปแบบที่ชัดเจน?ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น: . ฉันจะแสดง "เกม" ได้อย่างไร! ในกรณีเช่นนี้ คำตอบควรเขียนในรูปของอินทิกรัลทั่วไป นอกจากนี้ บางครั้งอาจพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แต่เขียนไว้ยุ่งยากและงุ่มง่าม ปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของอินทิกรัลทั่วไปจะดีกว่า

อย่ารีบเร่ง อีกหนึ่งรีโมทคอนโทรลที่เรียบง่ายและอีกหนึ่งโซลูชันทั่วไป

ตัวอย่าง 2

หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น

ตามเงื่อนไข ต้องหา โซลูชันส่วนตัว DE เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น สูตรของคำถามนี้เรียกอีกอย่างว่า ปัญหา Cauchy.

อันดับแรก เราพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ไม่มีตัวแปร "x" ในสมการ แต่สิ่งนี้ไม่ควรทำให้สับสน สิ่งสำคัญคือมันมีอนุพันธ์อันดับแรก

เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่ต้องการ:

เห็นได้ชัดว่า ตัวแปรสามารถแยกออกได้ เด็กผู้ชายทางซ้าย ผู้หญิงทางขวา:

เรารวมสมการ:

ได้อินทิกรัลทั่วไปแล้ว ที่นี่ฉันวาดค่าคงที่ด้วยเครื่องหมายดอกจัน superscript ความจริงก็คือในไม่ช้ามันจะกลายเป็นค่าคงที่อื่น

ตอนนี้เรากำลังพยายามแปลงอินทิกรัลทั่วไปให้เป็นโซลูชันทั่วไป (แสดง "เกม" อย่างชัดเจน) เราจำโรงเรียนเก่าได้ดี: ... ในกรณีนี้:

ค่าคงที่ในตัวบ่งชี้ดูเหมือนไม่มีโคเชอร์ ดังนั้นจึงมักจะลดลงจากสวรรค์สู่โลก ในรายละเอียดมันเกิดขึ้นเช่นนี้ โดยใช้คุณสมบัติกำลัง เราเขียนฟังก์ชันใหม่ดังนี้:

ถ้า เป็นค่าคงที่ มันก็เป็นค่าคงที่ด้วย ซึ่งเราเขียนแทนด้วยตัวอักษร:

จำไว้ว่า "การลอย" ของค่าคงที่ นี่เป็นเทคนิคที่สองที่มักใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:. ครอบครัวที่ดีของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในขั้นตอนสุดท้าย คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด มันง่ายเกินไป

หน้าที่คืออะไร? ต้องไปรับ เช่นค่าคงที่เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุ

คุณสามารถออกแบบได้หลายวิธี แต่สิ่งที่เข้าใจได้ดีที่สุดก็น่าจะเป็นเช่นนั้น ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์และแทนที่ "game" สอง:



นั่นคือ,

รุ่นออกแบบมาตรฐาน:

เราแทนค่าคงที่ที่พบเป็นคำตอบทั่วไป:
- นี่คือโซลูชันเฉพาะที่เราต้องการ

มาเช็คกัน การตรวจสอบโซลูชันส่วนตัวประกอบด้วยสองขั้นตอน

อันดับแรก จำเป็นต้องตรวจสอบว่าโซลูชันที่พบนั้นตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้นจริงหรือไม่ แทนที่จะเป็น "x" เราจะแทนที่ศูนย์และดูว่าเกิดอะไรขึ้น:
- ใช่แล้ว ได้มาสองอัน ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขเริ่มต้นสำเร็จแล้ว

ขั้นตอนที่สองคุ้นเคยอยู่แล้ว เราใช้ผลลัพธ์เฉพาะที่เป็นผลลัพธ์และค้นหาอนุพันธ์:

แทนที่ในสมการเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

สรุป: พบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

ไปสู่ตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย:เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่เราต้องการ:

การประเมินว่าสามารถแยกตัวแปรได้หรือไม่? สามารถ. เราโอนเทอมที่สองไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราโยนตัวคูณตามกฎของสัดส่วน:

แยกตัวแปรแล้ว ให้รวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ฉันต้องเตือนคุณ วันพิพากษาจะมาถึง ถ้าเรียนไม่เก่ง ปริพันธ์ไม่แน่นอนได้แก้ไขตัวอย่างบางส่วนแล้วไม่มีที่ไหนให้ไป - คุณจะต้องเชี่ยวชาญในตอนนี้

อินทิกรัลของด้านซ้ายมือหาได้ง่าย เราสามารถจัดการกับอินทิกรัลของโคแทนเจนต์ได้โดยใช้เทคนิคมาตรฐานที่เราพิจารณาในบทเรียน การรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติในปีที่ผ่านมา:

ทางด้านขวา เราได้ลอการิทึม ตามคำแนะนำทางเทคนิคข้อแรกของฉัน ในกรณีนี้ ค่าคงที่ควรเขียนใต้ลอการิทึมด้วย

ตอนนี้เรากำลังพยายามทำให้อินทิกรัลทั่วไปง่ายขึ้น เนื่องจากเรามีลอการิทึมเดียวกัน จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมัน เราแพ็คลอการิทึมให้มากที่สุด บรรจุภัณฑ์ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติสามประการ:

โปรดเขียนสูตรทั้งสามนี้ใหม่ในสมุดงานของคุณ ซึ่งมักใช้บ่อยมากในการแก้ diffuses

ฉันจะเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด:

การบรรจุเสร็จสมบูรณ์ เราลบลอการิทึม:

คุณสามารถแสดง "เกม" ได้หรือไม่? สามารถ. ทั้งสองด้านจะต้องยกกำลังสอง แต่คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้

เคล็ดลับทางเทคนิคที่สาม:ถ้าเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราต้องยกกำลังหรือแยกราก ดังนั้น ในกรณีส่วนใหญ่เราควรละเว้นจากการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของปริพันธ์ทั่วไป ความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูเย่อหยิ่งและน่ากลัว - มีรากสัญญาณขนาดใหญ่

ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป ถือเป็นแนวทางปฏิบัติที่ดีในการนำเสนออินทิกรัลทั่วไปในรูปแบบ กล่าวคือ ให้เหลือเพียงค่าคงที่ทางด้านขวา หากเป็นไปได้ ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่เป็นประโยชน์เสมอที่จะทำให้อาจารย์พอใจ ;-)

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

บันทึก:อินทิกรัลทั่วไปของสมการใดๆ สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ก็ไม่ได้หมายความว่าคุณได้แก้สมการไม่ถูกต้อง

ตรวจสอบอินทิกรัลทั่วไปได้ค่อนข้างง่าย สิ่งสำคัญคือสามารถหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย... แยกความแตกต่างของคำตอบ:

เราคูณทั้งสองเทอมด้วย:

และเราหารด้วย:

ได้สมการอนุพันธ์แบบเดิมเป๊ะ ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น ตรวจสอบออก

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง ผมขอเตือนคุณว่าปัญหา Cauchy ประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาโซลูชันส่วนตัว

การตรวจสอบยังดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชันที่พบนั้นตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้นจริงๆ
2) ตรวจสอบว่าคำตอบนั้นโดยทั่วไปตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์

กรอกคำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ ตรงตามเงื่อนไขเบื้องต้น ตรวจสอบออก

สารละลาย:อันดับแรก เราหาคำตอบทั่วไป สมการนี้มีอนุพันธ์สำเร็จรูปอยู่แล้ว ดังนั้น คำตอบจึงถูกทำให้ง่ายขึ้น การแยกตัวแปร:

เรารวมสมการ:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายเป็นตาราง อินทิกรัลทางด้านขวาถูกนำมา โดยวิธีนำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงคำตอบทั่วไปได้สำเร็จ? สามารถ. เราแขวนลอการิทึม:

(หวังว่าทุกคนคงเข้าใจการเปลี่ยนแปลงนะ เรื่องแบบนี้น่าจะรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์ และแทนที่จะเป็น "game" ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่เป็นคำตอบทั่วไป

ตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

การตรวจสอบ: ก่อนอื่น ให้ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่:
- ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ดี.

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะที่พบนั้นตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่ ค้นหาอนุพันธ์:

เราดูสมการเดิม: - มันถูกนำเสนอในดิฟเฟอเรนเชียล มีสองวิธีในการตรวจสอบ เป็นไปได้ที่จะแสดงส่วนต่างจากอนุพันธ์ที่พบ:

เราแทนที่คำตอบเฉพาะที่พบและผลต่างเป็นสมการดั้งเดิม :

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

วิธีที่สองในการตรวจสอบคือมิเรอร์และคุ้นเคยมากขึ้น: จากสมการ เราแสดงอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ เราหารทุกส่วนด้วย:

และใน DE ที่แปลงแล้ว เราแทนที่สารละลายเฉพาะที่ได้รับและอนุพันธ์ที่ได้รับ การทำให้เข้าใจง่ายควรส่งผลให้เกิดความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการอนุพันธ์ คำตอบถูกนำเสนอในรูปแบบของอินทิกรัลทั่วไป

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบที่ส่วนท้ายของบทช่วยสอน

ความยากลำบากอะไรรออยู่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้?

1) ไม่ชัดเจนเสมอไป (โดยเฉพาะในกาน้ำชา) ที่สามารถใช้ตัวแปรร่วมกันได้ ลองพิจารณาตัวอย่างตามเงื่อนไข:. ที่นี่คุณต้องดำเนินการแฟคตอริ่งจากวงเล็บ: และแยกราก:. วิธีดำเนินการให้ชัดเจน

2) ความยากลำบากในการบูรณาการตัวเอง ปริพันธ์มักไม่ง่ายนัก และหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา ปริพันธ์ไม่แน่นอนแล้วการกระจัดกระจายหลายๆ อย่างก็จะเป็นเรื่องยาก นอกจากนี้ ในบรรดาคอมไพเลอร์ของคอลเลกชั่นและคู่มือ ตรรกะยังเป็นที่นิยม "เนื่องจากสมการอนุพันธ์นั้นง่าย ดังนั้นให้อินทิกรัลมีความซับซ้อนมากขึ้น"

3) การแปลงด้วยค่าคงที่ ตามที่ทุกคนสังเกตเห็น คุณสามารถทำเกือบทุกอย่างที่ต้องการด้วยค่าคงที่ในสมการอนุพันธ์ และการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ชัดเจนสำหรับผู้เริ่มต้นเสมอไป พิจารณาตัวอย่างเงื่อนไขอื่น: ... ในนั้นแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: ... ค่าคงที่ที่เป็นผลลัพธ์ก็คือค่าคงที่บางประเภทเช่นกัน ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย: ... ใช่ และเนื่องจากลอการิทึมอยู่ทางด้านขวา แนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่ในรูปแบบของค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักจะไม่สนใจดัชนี และใช้ตัวอักษรเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ บันทึกการตัดสินใจจึงมีรูปแบบดังนี้:

นี่มันอะไรกันเนี่ย? นอกจากนี้ยังมีข้อผิดพลาด อย่างเป็นทางการใช่ และอย่างไม่เป็นทางการ - ไม่มีข้อผิดพลาด เป็นที่เข้าใจว่าเมื่อทำการแปลงค่าคงที่ ค่าคงที่อื่นๆ จะยังได้รับ

หรือตัวอย่างดังกล่าว สมมติว่าในการแก้สมการ จะได้อินทิกรัลทั่วไป คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวคูณทั้งหมด: ... อย่างเป็นทางการ บนบันทึก มีข้อผิดพลาดอีกครั้ง มันควรจะเขียนลงไป แต่อย่างไม่เป็นทางการหมายความว่ามันยังคงเป็นค่าคงที่อื่น ๆ (ยิ่งสามารถรับค่าใดก็ได้) ดังนั้นการเปลี่ยนเครื่องหมายของค่าคงที่จึงไม่สมเหตุสมผลและคุณสามารถใช้ตัวอักษรเดียวกันได้

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงแนวทางที่เลอะเทอะ และยังคงกำหนดดัชนีต่างๆ ให้กับค่าคงที่เมื่อทำการแปลง

ตัวอย่าง 7

แก้สมการอนุพันธ์ ตรวจสอบออก

สารละลาย:สมการนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ การแยกตัวแปร:

เรารวม:

ค่าคงที่ในที่นี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดเป็นลอการิทึม เนื่องจากไม่มีผลดีอะไรเกิดขึ้น

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

การยืนยัน: แยกความแตกต่างของคำตอบ (ฟังก์ชันโดยนัย):

เรากำจัดเศษส่วน ในกรณีนี้ เราคูณทั้งสองเทอมด้วย:

ได้สมการอนุพันธ์ดั้งเดิมมา ซึ่งหมายความว่าหาอินทิกรัลทั่วไปถูกต้องแล้ว

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาโซลูชันส่วนตัวสำหรับการควบคุมระยะไกล
,

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง ความคิดเห็นเดียวคือที่นี่คุณจะได้อินทิกรัลทั่วไป และถูกต้องกว่านั้น คุณต้องหลอกลวงเพื่อค้นหาไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ แต่ ปริพันธ์บางส่วน... กรอกคำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน

ดังที่ระบุไว้แล้ว ปริพันธ์ที่ไม่ธรรมดามักปรากฏอยู่ในดิฟฟิวชันด้วยตัวแปรที่แยกออกได้ และต่อไปนี้คือตัวอย่างสองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ฉันแนะนำให้ทุกคนแก้ตัวอย่างหมายเลข 9-10 โดยไม่คำนึงถึงระดับการฝึกอบรม สิ่งนี้จะอัปเดตทักษะในการค้นหาอินทิกรัลหรือเติมช่องว่างในความรู้

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง 10

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

จำไว้ว่ามีมากกว่าหนึ่งวิธีในการเขียนอินทิกรัลทั่วไป และลักษณะของคำตอบของคุณอาจแตกต่างจากรูปลักษณ์ของคำตอบของฉัน แนวทางแก้ไขสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

โปรโมชั่นสำเร็จ!

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: มาหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปกัน การแยกตัวแปร:


เรารวม:



ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เรากำลังพยายามทำให้มันง่ายขึ้น เราแพ็คลอการิทึมและกำจัดพวกมัน:

แก้แล้วด้วยความเคารพอนุพันธ์หรือสามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพอนุพันธ์ .

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ของประเภทในช่วงเวลา NSซึ่งหาได้จากการหาอินทิกรัลของทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันนี้

เราได้รับ .

หากเราดูคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด เราจะพบคำตอบทั่วไปที่ต้องการ:

y = F (x) + C,

ที่ไหน เอฟ (x)- หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ (x)ในระหว่าง NS, NS กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ

โปรดทราบว่าสำหรับงานส่วนใหญ่ ช่วงเวลา NSไม่ได้ระบุ ซึ่งหมายความว่าทุกคนต้องพบวิธีแก้ปัญหา NSซึ่งฟังก์ชั่นที่จำเป็น yและสมการเดิมก็สมเหตุสมผล

หากคุณต้องการคำนวณคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y (x 0) = y 0จากนั้นหลังจากคำนวณอินทิกรัลทั่วไปแล้ว y = F (x) + Cนอกจากนี้ยังจำเป็นต้องกำหนดค่าของค่าคงที่ C = C 0โดยใช้เงื่อนไขเบื้องต้น นั่นคือค่าคงที่ C = C 0กำหนดจากสมการ F (x 0) + C = y 0และคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่แสวงหาจะมีรูปแบบดังนี้

y = F (x) + C 0.

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ลองหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์กัน ตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์กัน ให้เราหาคำตอบเฉพาะของสมการนี้ที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขตั้งต้น

สารละลาย:

หลังจากที่เรารวมสมการอนุพันธ์ที่กำหนดให้แล้ว เราจะได้:

.

ให้เราพิจารณาอินทิกรัลนี้โดยวิธีการรวมทีละส่วน:

ที่., เป็นคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์

เพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง มาตรวจสอบกัน ในการทำสิ่งนี้ เราแทนที่คำตอบที่เราพบในสมการที่กำหนด:

.

นั่นคือสำหรับ สมการเดิมกลายเป็นเอกลักษณ์:

ดังนั้นจึงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ถูกต้อง

คำตอบที่เราพบคือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับค่าจริงแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ NS.

ยังคงต้องคำนวณวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ ODE ที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวอีกนัยหนึ่งจำเป็นต้องคำนวณค่าคงที่ กับซึ่งความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

.

.

แล้วแทนค่า C = 2ในการแก้ปัญหาทั่วไปของ ODE เราได้รับคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

.

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ หาอนุพันธ์ได้โดยการหาร 2 ส่วนของความเท่าเทียมกันด้วย ฉ (x)... การแปลงนี้จะเทียบเท่าถ้า ฉ (x)ไม่หายไปเลย NSจากช่วงการรวมตัวของสมการเชิงอนุพันธ์ NS.

สถานการณ์มีแนวโน้มว่าเมื่อค่าบางอย่างของการโต้แย้ง NS ∈ NSฟังก์ชั่น ฉ (x)และ กรัม (x)หายไปพร้อมกัน สำหรับค่าที่คล้ายกัน NSคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์จะเป็นฟังก์ชันใดๆ yที่กำหนดไว้ในพวกเขาตั้งแต่ ...

ถ้าสำหรับค่าบางอย่างของอาร์กิวเมนต์ NS ∈ NSเป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ ODE ไม่มีวิธีแก้ไข

สำหรับคนอื่น ๆ ทั้งหมด NSจากช่วงเวลา NSคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์หาได้จากสมการที่แปลงแล้ว

ลองมาดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1

มาหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ ODE: .

สารละลาย.

เป็นที่ชัดเจนจากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานที่ฟังก์ชันของลอการิทึมธรรมชาติกำหนดไว้สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น โดเมนของนิพจน์ ln (x + 3)มีช่วงเวลา NS > -3 ... ดังนั้น สมการอนุพันธ์ที่กำหนดจึงสมเหตุสมผลสำหรับ NS > -3 ... สำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้นิพจน์ x + 3ไม่หายไปจึงสามารถแก้ ODE เกี่ยวกับอนุพันธ์ได้โดยการหาร 2 ส่วนด้วย x + 3.

เราได้รับ .

ต่อไป เรารวมผลลัพธ์ของสมการเชิงอนุพันธ์ แก้เทียบกับอนุพันธ์: ... ในการหาอินทิกรัลนี้ เราใช้วิธีการนำดิฟเฟอเรนเชียลมาไว้ใต้เครื่องหมาย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ช่วยให้คุณแก้สมการเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ได้ ป้อนสมการของคุณในฟิลด์ที่เหมาะสมโดยระบุ "อนุพันธ์ของฟังก์ชัน" ผ่านเครื่องหมายอะพอสทรอฟีและคลิกที่ปุ่ม "แก้สมการ" และระบบที่ใช้งานบนพื้นฐานของเว็บไซต์ WolframAlpha ยอดนิยมจะให้รายละเอียด แก้สมการเชิงอนุพันธ์ฟรีอย่างแน่นอน คุณยังสามารถตั้งค่าปัญหา Cauchy เพื่อเลือกผลหารที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดจากชุดโซลูชันที่เป็นไปได้ทั้งหมด ปัญหา Cauchy ถูกป้อนในฟิลด์แยกต่างหาก

สมการเชิงอนุพันธ์

ฟังก์ชันเริ่มต้นในสมการคือ yเป็นฟังก์ชันของตัวแปร NS... อย่างไรก็ตาม คุณสามารถตั้งค่าการกำหนดตัวแปรของคุณเองได้ ถ้าคุณเขียน ตัวอย่างเช่น y (t) ในสมการ เครื่องคิดเลขจะรับรู้โดยอัตโนมัติว่า yมีฟังก์ชันของตัวแปร NS... ด้วยเครื่องคิดเลขคุณสามารถ แก้สมการเชิงอนุพันธ์ของความซับซ้อนและประเภทใดๆ: เอกพันธ์และเอกพันธ์, เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น, ลำดับที่หนึ่งหรือสองและสูงกว่า, สมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้หรือแยกไม่ได้ ฯลฯ สารละลายดิฟเฟอเรนเชียล สมการจะได้รับในรูปแบบการวิเคราะห์มีคำอธิบายโดยละเอียด สมการเชิงอนุพันธ์เป็นเรื่องธรรมดามากในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ หากไม่มีการคำนวณ จะไม่สามารถแก้ปัญหาหลายอย่างได้ (โดยเฉพาะในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์)

ขั้นตอนหนึ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือการรวมฟังก์ชันเข้าด้วยกัน มีวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ จำเป็นต้องนำสมการมาอยู่ในรูปแบบด้วยตัวแปรที่แยกได้ y และ x และรวมฟังก์ชันที่แยกจากกันต่างหาก ในการทำเช่นนี้บางครั้งต้องทำการเปลี่ยนบางอย่าง