วิธีค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น การใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา

จากมุมมองที่ใช้งานได้จริงการใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นที่น่าสนใจที่สุด มันเชื่อมต่อกับอะไร? การเพิ่มผลกำไรสูงสุดการลดต้นทุนการกำหนดอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุดในการโหลด ... ในคำอื่น ๆ ในหลาย ๆ ด้านของชีวิตคุณต้องแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพพารามิเตอร์ใด ๆ และนี่คืองานของการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

มันควรจะสังเกตว่าค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นมักจะค้นหาในช่วงเวลาที่กำหนด x ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดของการกำหนดฟังก์ชั่นหรือส่วนของพื้นที่นิยาม ช่วงเวลา x ตัวเองสามารถเป็นเซ็กเมนต์ช่วงเวลาที่เปิด ช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในบทความนี้เราจะพูดคุยเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นที่ระบุอย่างชัดเจนของตัวแปรหนึ่งตัวแปร y \u003d f (x)

หน้าการนำทาง

ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นคือคำจำกัดความภาพประกอบ

มุ่งเน้นไปที่คำจำกัดความพื้นฐานสั้น ๆ

ค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อะไรก็ได้ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรม

ค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น y \u003d f (x) ในช่วงเวลาของการเรียก x ค่าดังกล่าว อะไรก็ได้ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรม

คำจำกัดความเหล่านี้ใช้งานง่าย: ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชั่นคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (ขนาดเล็ก) ในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในระหว่าง Abscissa

จุดนิ่ง - นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชั่นที่ได้รับมาถึงเป็นศูนย์

ทำไมเราถึงมีคะแนนนิ่งเมื่อค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ให้ทฤษฎีบทฟาร์ม จากทฤษฎีบทนี้มันเป็นไปตามที่ว่าฟังก์ชั่นที่แตกต่างมี oriemum (local ขั้นต่ำหรือสูงสุดในพื้นที่) ในบางจุดจากนั้นจุดนี้จะอยู่กับที่ ดังนั้นฟังก์ชั่นมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ที่ช่วงเวลา X ในหนึ่งในจุดที่อยู่กับที่อยู่กับช่องว่างนี้

นอกจากนี้บ่อยครั้งที่ฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดสามารถรับได้ที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์แรกของฟังก์ชั่นนี้และฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดเอง

ตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งในหัวข้อนี้: "คุณสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ได้เสมอหรือไม่? ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่องว่าง X ตรงกับขอบเขตของฟังก์ชั่นการกำหนดฟังก์ชั่นหรือช่วงเวลา X นั้นไม่มีที่สิ้นสุด และบางฟังก์ชั่นเกี่ยวกับอินฟินิตี้และขอบเขตของพื้นที่นิยามอาจใช้ค่าขนาดเล็กที่มีขนาดใหญ่และไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีเหล่านี้ไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

เพื่อความชัดเจนให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพวาด - และมากจะกลายเป็นชัดเจนยิ่งขึ้น

ตัด

ในรูปแบบแรกฟังก์ชั่นใช้ค่าใช้จ่ายที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด Y) และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ) ในจุดที่อยู่กับที่อยู่ภายในเซ็กเมนต์ [-6; 6]

พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปวาดที่สอง เปลี่ยนส่วนของ ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่นจะประสบความสำเร็จในจุดนิ่งและที่ใหญ่ที่สุด - ณ จุดที่มี abscissa สอดคล้องกับขอบเขตที่ถูกต้องของช่วงเวลา

รูปที่ 2 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3; 2] เป็นแผลที่จุดที่สอดคล้องกับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

เปิดช่วงเวลา

ในรูปแบบที่สี่ฟังก์ชั่นใช้ค่าใช้จ่ายที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด Y) และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ y) ในจุดที่อยู่กับที่อยู่ในช่วงเปิด (-6; 6)

ในช่วงเวลาคุณไม่สามารถสรุปได้เกี่ยวกับมูลค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

บนอินฟินิตี้

ในตัวอย่างที่นำเสนอในรูปแบบที่เจ็ดฟังก์ชั่นใช้ค่าสูงสุด (สูงสุด Y) ในจุดที่อยู่กับที่ abscissa x \u003d 1 และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ y) สามารถทำได้ในขอบเขตที่เหมาะสมของช่วงเวลา ในลบอนันต์ค่าของฟังก์ชั่นจะเข้าใกล้ asymptotically เพื่อ y \u003d 3

ในช่วงเวลาฟังก์ชั่นไม่ถึงค่าที่เล็กที่สุดหรือยิ่งใหญ่ที่สุด เมื่อ x \u003d 2 มีความพยายามด้านขวาค่าของฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (ตรง x \u003d 2 เป็น asymptota แนวตั้ง) และเมื่อ abscissa มุ่งมั่นที่จะบวกกับอินฟินิตี้ค่าของ ฟังก์ชั่น Asymptotically เข้าใกล้ Y \u003d 3 ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในส่วน

เราเขียนอัลกอริทึมที่ให้คุณค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วน

1. ค้นหาฟังก์ชั่นการกำหนดฟังก์ชั่นและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
2. เราพบทุกประเด็นที่ไม่มีอนุพันธ์ครั้งแรกและมีอยู่ในกลุ่ม (โดยปกติจุดดังกล่าวจะถูกใช้ในฟังก์ชั่นที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้สัญลักษณ์ของโมดูลและในฟังก์ชั่นพลังงานที่มีตัวบ่งชี้เหตุผลที่เป็นเศษส่วน) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปที่รายการถัดไป
3. เรากำหนดจุดนิ่งทั้งหมดที่ตกลงไปในกลุ่ม สำหรับสิ่งนี้เราถือเอาไปที่ศูนย์แก้สมการที่ได้รับและเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดนิ่งหรือไม่มีใครตกอยู่ในกลุ่มจากนั้นเราหันไปหารายการถัดไป
4. คำนวณค่าของฟังก์ชั่นในจุดที่เลือกไว้ (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ครั้งแรก (ถ้ามี) เช่นเดียวกับ x \u003d a และ x \u003d b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชั่นให้เลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - พวกเขาจะเป็นค่าที่มีชื่อเสียงที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นตามลำดับ

เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมเมื่อแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วน

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

• ในกลุ่ม;
• ในกลุ่ม [-4; -1]

การตัดสินใจ

พื้นที่นิยามของฟิลด์เป็นตัวเลขที่ถูกต้องทั้งหมดยกเว้นศูนย์นั่นคือ ทั้งสองส่วนตกลงไปในพื้นที่นิยาม

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์โดย:

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นอนุพันธ์มีอยู่ในทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4; -1]

จุดนิ่งที่เรากำหนดจากสมการ รากที่ถูกต้องเท่านั้นคือ x \u003d 2 จุดนิ่งนี้เข้าสู่เซ็กเมนต์แรก

สำหรับกรณีแรกให้คำนวณค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของกลุ่มและในจุดที่อยู่กับที่อยู่ที่ x \u003d 1, x \u003d 2 และ x \u003d 4:

ดังนั้นคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ทำได้ที่ x \u003d 1 และค่าที่เล็กที่สุด - ที่ x \u003d 2

สำหรับกรณีที่สองคำนวณค่าของฟังก์ชั่นเฉพาะที่ปลายของเซกเมนต์ [-4; -1] (เนื่องจากไม่มีจุดนิ่ง):

บางครั้งงาน B15 พบฟังก์ชั่น "ไม่ดี" ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะหาอนุพันธ์ ก่อนหน้านี้มันเป็นเพียงโพรบ แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดาที่พวกเขาไม่สามารถเพิกเฉยได้อีกต่อไปเมื่อเตรียมพร้อมสำหรับ EGE นี้

ในกรณีนี้เทคนิคอื่น ๆ ทำงานหนึ่งในนั้น - เสียงเดียว.

ฟังก์ชั่น f (x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างมากหากเป็นคะแนนใด ๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้ต่อไปนี้จะตามมา:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

ฟังก์ชั่น F (x) เรียกว่าการลดลงอย่างมากกับกลุ่มหากสำหรับคะแนนใด ๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้ต่อไปนี้ตาม:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).

ในคำอื่น ๆ สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น, x, f (x) มากขึ้น สำหรับฟังก์ชั่นที่ลดลงวิธีอื่นคือ: ยิ่ง x, น้อยลง f (x)

ตัวอย่างเช่นลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างมากหากฐานเป็น A\u003e 1 และลดลงอย่างมากหาก 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d เข้าสู่ระบบ x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

สแควร์เลขคณิต (และไม่เพียง แต่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รากเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อในพื้นที่นิยาม:

ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ทำงานคล้ายกับลอการิทึม: เติบโตที่ A\u003e 1 และลดลงที่ 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

ในที่สุดปริญญาที่มีตัวบ่งชี้เชิงลบ คุณสามารถบันทึกเป็นเศษส่วน มีจุดพักที่ความซ้ำซากจำเจที่ถูกทำลาย

ฟังก์ชั่นเหล่านี้ทั้งหมดไม่เคยอยู่ในรูปแบบบริสุทธิ์ พวกเขาเพิ่มพหุนามเศษส่วนและเรื่องไร้สาระอื่น ๆ เพราะมันยากที่จะพิจารณาอนุพันธ์ เกิดอะไรขึ้น - ตอนนี้เราจะตรวจสอบ

พิกัดของจุดสุดยอดพาราโบลา

ส่วนใหญ่มักจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชั่นจะถูกแทนที่ด้วย threechlen สแควร์ ดู Y \u003d AX 2 + BX + C. ตารางเวลาของเขาเป็นพาราโบลามาตรฐานที่เราสนใจ:

1. สาขาพาราโบลา - สามารถขึ้นไป (ที่ a\u003e 0) หรือลง (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. ด้านบนของพาราโบลาเป็นจุดสุดยอดของฟังก์ชั่นกำลังสองซึ่งฟังก์ชั่นนี้ใช้เวลาที่เล็กที่สุด (สำหรับ a\u003e 0) หรือยิ่งใหญ่ที่สุด (a< 0) значение.

ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือ พาราโบลาชั้นนำAbscissa ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ดังนั้นเราจึงพบจุดสุดยอดของฟังก์ชั่นกำลังสอง แต่ถ้าฟังก์ชั่นเริ่มต้นของ monotonne สำหรับมันจุด x 0 จะเป็นจุดสุดยอด ดังนั้นเรากำหนดกฎสำคัญ:

จุดของการทำงานของ Square Square สามหั่นย่อยที่ซับซ้อนซึ่งจะเข้าสู่ตรง ดังนั้นคุณสามารถมองหา X 0 สำหรับตารางสามช็อตและเพื่อให้คะแนนฟังก์ชั่น

จากการให้เหตุผลข้างต้นยังคงไม่สามารถเข้าใจได้ซึ่งเราได้รับ: สูงสุดหรือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตามงานที่รวบรวมเป็นพิเศษเพื่อให้ไม่สำคัญ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

1. กลุ่มหายไปในสภาพของปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ F (a) และ f (b) มันยังคงพิจารณาเพียงจุดสุดยอดเท่านั้น
2. แต่เพียงจุดเดียวคือด้านบนของพาราโบลา x 0 พิกัดที่คำนวณได้อย่างแท้จริงด้วยวาจาและไม่มีตราสารอนุพันธ์ใด ๆ

ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างรวดเร็วและลงไปถึงสองขั้นตอน:

1. ตัดสมการ Parabolla Y \u003d AX 2 + BX + C และค้นหาจุดสุดยอดตามสูตร: X 0 \u003d -B / 2A;
2. ค้นหาค่าของฟังก์ชันต้นฉบับที่จุดนี้: F (x 0) หากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมมันจะเป็นคำตอบ

ในตอนแรกอัลกอริทึมนี้และเหตุผลของเขาอาจดูซับซ้อน ฉันตั้งใจจะไม่โพสต์รูปแบบ "เปลือยกาย" ของการตัดสินใจเนื่องจากการประยุกต์ใช้กฎของกฎดังกล่าวนั้นเต็มไปด้วยข้อผิดพลาด

พิจารณาภารกิจจริงจากการสอบทดลองในวิชาคณิตศาสตร์ - มีเทคนิคนี้มักพบบ่อยที่สุด ในเวลาเดียวกันเราจะเห็นว่าในลักษณะนี้งานจำนวนมาก B15 กลายเป็นในช่องปากเกือบ

ภายใต้รูทมีฟังก์ชั่นกำลังสอง y \u003d x 2 + 6x + 13 กราฟของฟังก์ชั่นนี้คือกิ่งไม้พาราโบลาขึ้นเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ A \u003d 1\u003e 0

ด้านบนพาราโบลา:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาถูกส่งไปทางขึ้นที่จุด x 0 \u003d -3 ฟังก์ชั่น Y \u003d x 2 + 6x + 13 ใช้ค่าที่เล็กที่สุด

รากที่เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อซึ่งหมายถึง X 0 - จุดของฟังก์ชั่นขั้นต่ำทั้งหมด เรามี:

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น:

y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)

ภายใต้ลอการิทึมฟังก์ชั่นกำลังสอง: y \u003d x 2 + 2x + 9. แผนภูมิ - พาราโบลากิ่งไม้ขึ้นเพราะ A \u003d 1\u003e 0

ด้านบนพาราโบลา:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

ดังนั้นที่จุด x 0 \u003d -1 ฟังก์ชั่นกำลังสองใช้ค่าที่เล็กที่สุด แต่ฟังก์ชั่น Y \u003d LOG 2 X เป็นที่น่าเบื่อหน่ายดังนั้น:

y min \u003d y (-1) \u003d เข้าสู่ระบบ 2 (-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d เข้าสู่ระบบ 2 8 \u003d 3

ตัวบ่งชี้คือฟังก์ชั่นกำลังสอง Y \u003d 1 - 4X - x 2 เขียนใหม่ในรูปแบบปกติ: y \u003d -x 2 - 4x + 1

เห็นได้ชัดว่าตารางของฟังก์ชั่นนี้คือพาราโบลาสาขาลง (A \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

ฟังก์ชั่นแหล่งที่มาบ่งบอกว่ามันเป็น monotonne ดังนั้นค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ในจุดที่พบ x 0 \u003d -2:

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้ตัดพื้นที่ของค่าที่อนุญาตของรากและลอการิทึม แต่ไม่จำเป็นต้องใช้: ภายในฟังก์ชั่นที่เป็นบวกเสมอ

ผลที่ตามมาจากฟังก์ชั่นการกำหนดฟังก์ชั่น

บางครั้งการแก้ปัญหา B15 ไม่เพียงพอที่จะหาด้านบนของพาราโบลา ค่าที่ต้องการอาจโกหก ในตอนท้ายของการตัดและไม่เลยที่จุดสุดยอด หากงานไม่ได้ระบุเซ็กเมนต์เลยเราดูที่ พื้นที่ของค่าที่อนุญาต ฟังก์ชั่นแหล่งที่มา กล่าวคือ:

ให้ความสนใจอีกครั้ง: ศูนย์อาจอยู่ภายใต้ราก แต่ในลอการิทึมหรือเดนโมโตเซอร์ไม่เคย มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

งาน. ค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น:

ภายใต้รากฟังก์ชั่นกำลังสอง: Y \u003d 3 - 2x - x 2 กราฟ - พาราโบลา แต่กิ่งก้านลงเพราะ \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

เราเขียนพื้นที่ของค่าที่อนุญาต (OTZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; หนึ่ง]

ตอนนี้เราพบว่าส่วนบนของพาราโบลา:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

จุด x 0 \u003d -1 เป็นของส่วนของ OTZ - และนี่เป็นสิ่งที่ดี ตอนนี้เราพิจารณามูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุด x 0 เช่นเดียวกับที่ปลาย OTZ:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

ดังนั้นพวกเขาได้รับหมายเลข 2 และ 0 เราขอให้ค้นหาที่ใหญ่ที่สุด - นี่คือหมายเลข 2

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น:

y \u003d บันทึก 0.5 (6x - x 2 - 5)

ภายในลอการิทึมค่าใช้จ่ายฟังก์ชั่นกำลังสอง Y \u003d 6X - x 2 - 5. นี่คือกิ่งไม้พาราโบลาลง แต่อาจไม่มีตัวเลขลบในลอการิทึมดังนั้นเราจึงเขียนออกมา ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวดดังนั้นปลายไม่ได้เป็นของ OTZ ลอการิทึมนี้แตกต่างจากรูทซึ่งปลายส่วนของส่วนนั้นค่อนข้างเหมาะสม

เรากำลังมองหาด้านบนของพาราโบลา:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

ด้านบนของพาราโบลาเหมาะสำหรับ ODZ: X 0 \u003d 3 ∈ (1; 5) แต่เนื่องจากส่วนท้ายของส่วนไม่สนใจเราให้พิจารณามูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุด x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d เข้าสู่ระบบ 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d เข้าสู่ระบบ 0.5 4 \u003d -2

ฟังก์ชั่น extremum คืออะไรและเงื่อนไข ormorma ที่จำเป็นคืออะไร?

ฟังก์ชั่น Extreme เรียกว่าการทำงานสูงสุดและขั้นต่ำ

ข้อกำหนดเบื้องต้นของฟังก์ชั่นสูงสุดและขั้นต่ำ (extremum) มีดังนี้: หากฟังก์ชั่น F (x) มี extremum ที่จุด x \u003d a จากนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่

เงื่อนไขนี้เป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ อนุพันธ์ที่จุด x \u003d หรือสามารถติดต่อศูนย์ในแบบไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่โดยไม่มีฟังก์ชั่นที่จะมี extremum ณ จุดนี้

ฟังก์ชั่น Extremum เพียงพอ (สูงสุดหรือขั้นต่ำ) คืออะไร?

เงื่อนไขแรก:

หากอยู่ในความใกล้ชิดเพียงพอที่จะชี้ x \u003d อนุพันธ์ F? (x) เป็นบวกกับด้านซ้ายของ A และลบไปทางขวาของ A จากนั้นที่จุด X \u003d และฟังก์ชั่น F (x) มี ขีดสุด

หากอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด X \u003d และอนุพันธ์ F? (x) เป็นลบจากด้านซ้ายของ A และบวกไปทางขวาของ A จากนั้นที่จุดตัวเอง x \u003d และฟังก์ชั่น F (x) มี ขั้นต่ำ มีให้ฟังก์ชัน F (x) ต่อเนื่องที่นี่

แต่คุณสามารถใช้เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองสำหรับฟังก์ชั่น Extremum:

ให้ที่ Point X \u003d อนุพันธ์แรก F? (x) หมายถึงศูนย์; หากอนุพันธ์ที่สอง f ?? (a) เป็นลบจากนั้นฟังก์ชั่น F (x) มีที่จุด x \u003d สูงสุดหากเป็นบวกน้อยที่สุด

ฟังก์ชั่นจุดวิกฤติคืออะไรและวิธีการหามันคืออะไร?

นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชั่นที่ฟังก์ชั่นมี extremum (I.e. สูงสุดหรือขั้นต่ำ) เพื่อค้นหาคุณต้องการ หาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่น f? (x) และเท่ากับศูนย์ แก้สมการ f? (x) \u003d 0. รากของสมการนี้รวมถึงจุดที่ไม่มีการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็นจุดสำคัญเช่นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ oriemum อาจเป็น สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยดู กราฟอนุพันธ์: เรามีความสนใจในค่านิยมเหล่านั้นของการโต้แย้งซึ่งกราฟของฟังก์ชั่นข้าม Abscissa Axis (OH Axis) และที่ซึ่งกราฟทนต่อการหยุดพัก

ตัวอย่างเช่นค้นหา parabolla Extreme.

ฟังก์ชั่น y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50

ฟังก์ชั่นที่ได้รับ: y? (x) \u003d 6x + 2

เราแก้สมการ: y? (x) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

ในกรณีนี้จุดวิกฤติคือ x0 \u003d -1 / 3 มันอยู่กับความหมายของการโต้แย้งว่าฟังก์ชั่นมี สุดยอด. ดังนั้น การค้นหาเราแทนที่การแสดงออกสำหรับฟังก์ชั่นแทน "x" จำนวนที่พบ:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333

วิธีการกำหนดฟังก์ชันสูงสุดและขั้นต่ำของฟังก์ชั่น I.e. ความหมายที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของเธอ?

หากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านจุดวิกฤติ x0 กำลังเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จากนั้น x0 คือ จุดสูงสุด; หากสัญลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมายลบบนบวก X0 คือ จุดต่ำสุด; หากเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลงแล้วที่จุด x0 ไม่มีค่าสูงสุดไม่มีขั้นต่ำ

สำหรับตัวอย่างการพิจารณา:

เราใช้ค่าการโต้แย้งทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: X \u003d -1

ที่ x \u003d -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็นอย่างไร (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (นั่นคือเครื่องหมายคือ "ลบ")

ตอนนี้ใช้มูลค่าโดยพลการของการโต้แย้งทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: X \u003d 1

ที่ x \u003d 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (I.e. เครื่องหมายคือ "บวก")

อย่างที่เราเห็นอนุพันธ์ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านจุดวิกฤติเปลี่ยนเครื่องหมายด้วยลบในข้อดี ดังนั้นด้วยค่าวิกฤต X0 เรามีจุดต่ำสุด

ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น ที่ช่วงเวลา (ในกลุ่ม) พบได้ตามขั้นตอนเดียวกันเพียงคำนึงถึงความจริงที่ว่าบางทีอาจไม่ใช่จุดวิกฤติทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด จุดวิกฤติที่สำคัญสำหรับช่วงเวลาที่ต้องพิจารณาจากการพิจารณา หากเพียงหนึ่งจุดสำคัญอยู่ในช่วงเวลา - มันจะเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกรณีนี้เพื่อกำหนดค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดเรายังคำนึงถึงค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของช่วงเวลา

ตัวอย่างเช่นค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5x

ในช่วงเวลา:

ดังนั้นฟังก์ชั่นที่ได้รับมา -

y? (x) \u003d 3cos (x) - 0.5

เราแก้สมการ 3cos (x) - 0.5 \u003d 0

cos (x) \u003d 0.5 / 3 \u003d 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk

เราพบจุดสำคัญในช่วงเวลา [-9; เก้า]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา)

x \u003d -Craccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา)

เราพบค่าของฟังก์ชั่นในค่าที่สำคัญของอาร์กิวเมนต์:

y (-7,687) \u003d 3cos (-7,687) - 0.5 \u003d 0,885

y (-4.88) \u003d 3cos (-4,88) - 0.5 \u003d 5,398

y (-1,403) \u003d 3cos (-1.403) - 0.5 \u003d -2,256

y (1.403) \u003d 3cos (1.403) - 0.5 \u003d 2,256

y (4,88) \u003d 3cos (4,88) - 0.5 \u003d -5,398

y (7,687) \u003d 3cos (7,687) - 0.5 \u003d -0,885

มันสามารถเห็นได้ว่าในช่วงเวลา [-9; 9] ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นมีที่ x \u003d -4.88:

x \u003d -4.88, y \u003d 5,398

และเล็กที่สุด - ที่ x \u003d 4.88:

x \u003d 4.88, y \u003d -5,398

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีเพียงหนึ่งจุดสำคัญ: x \u003d -4.88 ค่าของฟังก์ชั่นที่ x \u003d -4.88 เท่ากับ y \u003d 5,398

เราค้นหาค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของช่วงเวลา:

y (-6) \u003d 3cos (-6) - 0.5 \u003d 3,838

y (-3) \u003d 3cos (-3) - 0.5 \u003d 1,077

ในช่วงเวลา [-6; -3] มีค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น

y \u003d 5,398 ที่ x \u003d -4.88

ค่าที่เล็กที่สุดคือ

y \u003d 1,077 ที่ x \u003d -3

วิธีการค้นหาฟังก์ชั่นกราฟิกการทำให้การทำให้การติดเชื้อและกำหนดคู่กรณีของกระพุ้งและเว้า?

ในการค้นหาจุดกะพริบทั้งหมดของบรรทัด y \u003d f (x) มีความจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ที่สองเพื่อเปรียบเสมือนเป็นศูนย์ (แก้สมการ) และสัมผัสกับค่าเหล่านั้นทั้งหมด x ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่สองเป็นศูนย์ ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่ หากในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านหนึ่งในค่าเหล่านี้อนุพันธ์ที่สองจะเปลี่ยนสัญญาณจากนั้นกราฟฟังก์ชั่นมีที่จุดนี้ ถ้ามันไม่เปลี่ยนแปลงแล้วการผันไม่ได้

สมการราก f? (x) \u003d 0 เช่นเดียวกับจุดที่เป็นไปได้ของการทำลายฟังก์ชั่นและอนุพันธ์อันดับสองแบ่งพื้นที่ของการกำหนดฟังก์ชั่นเป็นจำนวนช่วงเวลา กระพุ้งที่แต่ละช่วงเวลาของพวกเขาจะถูกกำหนดโดยสัญญาณของอนุพันธ์ที่สอง หากอนุพันธ์ที่สองที่จุดในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการศึกษาเป็นไปในเชิงบวกจากนั้นบรรทัด y \u003d f (x) กำลังเผชิญอยู่ที่นี่เว้าขึ้นไปและถ้าลบเป็นหนังสือ

วิธีการค้นหา Extremums ของสองตัวแปร?

ในการค้นหาฟังก์ชั่นสุดขีด F (x, y), แตกต่างในพื้นที่ของงานที่คุณต้องการ:

1) ค้นหาจุดสำคัญและสำหรับสิ่งนี้ - แก้ปัญหาระบบของสมการ

fx? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0

2) สำหรับแต่ละจุดวิกฤติ P0 (a; b) เพื่อสำรวจว่าเครื่องหมายแตกต่างยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่

สำหรับคะแนนทั้งหมด (x; y), ใกล้กับ P0 หากความแตกต่างยังคงเป็นเครื่องหมายบวกที่จุด P0 เรามีขั้นต่ำหากลบคือสูงสุด หากความแตกต่างไม่สามารถบันทึกสัญลักษณ์แล้วไม่มี oriemum ที่ P0

ในทำนองเดียวกัน Extremums ของฟังก์ชั่นที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์จำนวนมากขึ้น

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มมีลักษณะคล้ายกับการปรับใช้วัตถุที่น่าตื่นเต้นของวัตถุ (กราฟิกของฟังก์ชั่น) โดยเฮลิคอปเตอร์ที่มีการปอกเปลือกจากปืนใหญ่ระยะยาวของจุดหนึ่งและจุดเลือกของประเด็นเหล่านี้ คะแนนพิเศษทั้งหมดสำหรับการควบคุมภาพ คะแนนจะถูกเลือกในบางวิธีและตามกฎเฉพาะ โดยกฎอะไร เราจะยังคงพูดถึงมัน

ถ้าฟังก์ชั่น y. = f.(เอ็กซ์) ต่อเนื่องในส่วนของ [ ก., b.] จากนั้นเธอก็ถึงเซ็กเมนต์นี้ ที่เล็กที่สุด และ ความหมายที่ยิ่งใหญ่ที่สุด . มันสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดยอด หรือที่ปลายส่วน ดังนั้นเพื่อค้นหา ที่เล็กที่สุด และ ค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ต่อเนื่องในส่วนของ [ ก., b.] คุณต้องคำนวณค่าของมันในทั้งหมด ประเด็นสำคัญ และที่ปลายของส่วนแล้วเลือกจากพวกเขาที่เล็กที่สุดและมากที่สุด

ยกตัวอย่างเช่นจำเป็นต้องมีการกำหนดค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) ในส่วน [ ก., b.. ในการทำเช่นนี้ค้นหาจุดสำคัญทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก., b.] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นถูกกำหนด , และเธอ อนุพันธ์ เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชั่นที่จุดวิกฤติ และในที่สุดก็ควรเปรียบเทียบกับมูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุดวิกฤติและที่ปลายส่วนของส่วน ( f.(ก.) ผม. f.(b.). ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้จะ มูลค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่ม [ก., b.] .

ในทำนองเดียวกันงานได้รับการแก้ไข ค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น .

เรากำลังมองหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของการทำงานร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด [-1, 2] .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้ เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ () และเราได้รับสองจุดสำคัญ: และ ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วนที่กำหนดมันจะพอเพียงในการคำนวณค่าของมันในส่วนของส่วนและที่จุดเนื่องจากจุดไม่ได้เป็นของกลุ่ม [-1, 2 . ค่าฟังก์ชั่นเหล่านี้มีดังนี้: ,,, มันตามมาว่า ความหมายที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น (บนแผนภูมิด้านล่างที่กำหนดสีแดง) เท่ากับ -7 สามารถทำได้ทางด้านขวาของส่วน - ณ จุดและ มากที่สุด (ยังเป็นสีแดงในตาราง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

หากฟังก์ชั่นต่อเนื่องในบางช่วงเวลาและช่องว่างนี้ไม่ได้เป็นส่วน (A, ตัวอย่าง, ช่วงเวลา; ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและกลุ่ม: จุดขอบเขตของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาและจุดขอบเขต ส่วนของส่วนเป็นส่วนหนึ่งของส่วน) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชั่นอาจไม่น้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่ปรากฎในรูปด้านล่างต่อเนื่องบน] -∞, + ∞ [และไม่มีค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

อย่างไรก็ตามสำหรับช่วงเวลาใด ๆ (ปิดเปิดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชั่นต่อเนื่องนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4. ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด [-1, 3] .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็นอนุพันธ์ส่วนตัว:

.

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ซึ่งให้เราหนึ่งจุดวิกฤติ:. มันเป็นของส่วน [-1, 3] ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

เปรียบเทียบค่าเหล่านี้ สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับ 1 ณ จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของการทำงานร่วมกัน

มีครูที่อยู่ในหัวข้อของการค้นหาคุณค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นอย่าให้นักเรียนแก้ตัวอย่างยากกว่าที่พิจารณานั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชั่นที่เป็นพหุนามหรือเศษส่วนตัวเลข และตัวหารที่เป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด เพียงตัวอย่างดังกล่าวเพราะในหมู่ครูมีคู่รักที่จะบังคับให้นักเรียนคิดอย่างเต็มรูปแบบ (อนุพันธ์ของตาราง) ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติจะเข้าสู่หลักสูตร

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็น งานอนุพันธ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ของศูนย์ซึ่งให้จุดสำคัญหนึ่งจุด:. มันเป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชั่นถึงค่าที่เล็กที่สุดเท่ากับ 0 ณ จุดและ ณ จุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากัน e.² ณ จุด

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของคุณสมบัตินี้:

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์:

จุดสำคัญเพียงอย่างเดียวเป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

เอาท์พุท: ฟังก์ชั่นถึงค่าที่เล็กที่สุดเท่ากับจุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับจุด

ในการใช้งานที่รุนแรงการค้นหาค่าฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุด (ใหญ่ที่สุด) ตามกฎจะลดลงเพื่อค้นหาขั้นต่ำ (สูงสุด) แต่ความสนใจในทางปฏิบัติมากขึ้นไม่ใช่ Minima หรือ Maxima แต่ค่าเหล่านั้นของอาร์กิวเมนต์ที่พวกเขาประสบความสำเร็จ เมื่อแก้ไขงานที่ใช้ความยากลำบากเพิ่มเติมเกิดขึ้น - วาดฟังก์ชั่นที่อธิบายถึงปรากฏการณ์ภายใต้การพิจารณาหรือกระบวนการ

ตัวอย่างที่ 8ถังของความจุ 4 มีขนานกับฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปิดจากด้านบนต้องเกิดจากดีบุก ขนาดของอ่างเก็บน้ำมีขนาดเล็กที่สุดเท่าใดวัสดุที่เล็กที่สุดควรอยู่บนหน้าปก?

การตัดสินใจ อนุญาต เอ็กซ์ - ด้านข้างของรากฐาน เอช. - ความสูงของถัง S. - พื้นที่ของพื้นผิวที่ไม่มีฝาปิด V. - ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำแสดงโดยสูตร I.e. มันเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดง S. เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรหนึ่งเราใช้สิ่งที่อยู่ที่ไหน แทนที่รากฐานที่พบ เอช. ในสูตรสำหรับ S.:

เราสำรวจคุณสมบัตินี้ใน Extremum มันถูกกำหนดและแตกต่างทุกที่ใน] 0, + ∞ [และ

.

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้อนุพันธ์ไม่มีอยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในพื้นที่นิยามดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดยอด ดังนั้นจุดสำคัญเพียงอย่างเดียว ตรวจสอบการปรากฏตัวของ Extremum โดยใช้คุณสมบัติที่เพียงพอที่สอง ค้นหาอนุพันธ์ที่สอง ด้วยอนุพันธ์ที่สองเพิ่มเติมศูนย์ () หมายความว่าฟังก์ชั่นถึงขั้นต่ำ . ตั้งแต่นี้ ขั้นต่ำ - สุดยอดของฟังก์ชั่นนี้เขาเป็นความหมายที่เล็กที่สุด. ดังนั้นด้านข้างของฐานของอ่างเก็บน้ำจะต้องเป็น 2 เมตรและความสูง

ตัวอย่างที่ 9จากวรรค ก.บนเส้นทางรถไฟจุด จากชำระจากมันในระยะไกล l.ต้องจัดส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายของน้ำหนักของน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยรางเท่ากับและบนทางหลวงมันเท่ากัน ถึงจุดใด เอ็ม ควรดำเนินการทางรถไฟสายเพื่อขนส่งสินค้าจาก แต่ ใน จาก เป็นที่ประหยัดที่สุด (พล็อต ฿ รถไฟสันนิษฐานว่าตรงไปตรงมา)?

บางครั้งในภารกิจของ B14 มีฟังก์ชั่น "ไม่ดี" ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะหาอนุพันธ์ ก่อนหน้านี้มันเป็นเพียงโพรบ แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดาที่พวกเขาไม่สามารถเพิกเฉยได้อีกต่อไปเมื่อเตรียมพร้อมสำหรับ EGE นี้ ในกรณีนี้เทคนิคอื่น ๆ ทำงานหนึ่งในนั้นคือความน่าเบื่อ ฟังก์ชั่นคำนิยาม F (x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างมากหากสำหรับคะแนนใด ๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้ต่อไปนี้: x 1

นิยาม ฟังก์ชั่น F (x) เรียกว่าการลดลงอย่างมากกับส่วนต่าง ๆ หากสำหรับคะแนนใด ๆ x 1 และ x 2 ของเซ็กเมนต์นี้ต่อไปนี้เป็นที่พอใจ: x 1 f (x 2) ในคำอื่น ๆ สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น, x, f (x) มากขึ้น สำหรับฟังก์ชั่นที่ลดลงในทางกลับกันอื่น ๆ : X ยิ่งใหญ่ F (x)

ตัวอย่าง. ลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหากฐานคือ A\u003e 1 และลดลงอย่างมากถ้า 0 0. F (x) \u003d เข้าสู่ระบบ x (a\u003e 0; a 1; x\u003e 0) 1 และลดลงอย่างน่าเบื่อถ้า 0 0. f (x) \u003d ล็อกขวาน (a\u003e 0; a 1; x\u003e 0) "\u003e 1 และลดลงอย่างน่าเบื่อถ้า 0 0. f (x) \u003d ล็อกขวาน (a \u003e 0; a 1; x\u003e 0) "\u003e 1 และลดลงอย่างน่าเบื่อถ้า 0 0. f (x) \u003d ล็อกขวาน (a\u003e 0; a 1; x\u003e 0)" title \u003d "(! lang: ตัวอย่าง . ลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างมากหากฐาน A\u003e 1 และลดลงอย่างน่าเบื่อถ้า 0 0. F (x) \u003d ล็อกขวาน (A\u003e 0; a 1; x\u003e 0)"> title="ตัวอย่าง. ลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหากฐานคือ A\u003e 1 และลดลงอย่างมากถ้า 0 0. F (x) \u003d เข้าสู่ระบบ x (a\u003e 0; a 1; x\u003e 0)"> !}

ตัวอย่าง. ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ทำงานคล้ายกับลอการิทึม: มันเติบโตที่ A\u003e 1 และลดลงที่ 0 0: 1 และลดลงที่ 0 0: "\u003e 1 และลดลงที่ 0 0:"\u003e 1 และลดลงที่ 0 0: "ชื่อ \u003d" (! lang: ตัวอย่างฟังก์ชั่นบ่งชี้ทำงานเหมือนลอการิทึม: การเติบโตที่ a\u003e 1 และลดลง 0 0:"> title="ตัวอย่าง. ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ทำงานคล้ายกับลอการิทึม: มันเติบโตที่ A\u003e 1 และลดลงที่ 0 0:"> !}

0) หรือลง (a 0) หรือลง (a 9 พิกัดของ Parabola Vertices ส่วนใหญ่มักจะมีการโต้แย้งของฟังก์ชั่นที่ถูกแทนที่ด้วยสแควร์สามฉีกมุมมองของตารางมาตรฐานพาราโลาซึ่งเรามีความสนใจในสาขา: สาขาพาราโบลาสามารถขึ้นไป (ที่ a\u003e 0) หรือลง (a 0) หรือใหญ่ที่สุด (a 0) หรือลง (a 0) หรือลง (a 0) หรือที่ใหญ่ที่สุด (a 0) หรือลง (a 0) หรือลง (ชื่อ \u003d "(! lang: พิกัดของ Vertex Pearabol มักจะมีการโต้แย้งของฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะถูกแทนที่ด้วยมุมมองสามฉีกสแควร์ของตารางมาตรฐานพาราโบลาที่เรามีความสนใจในสาขา: สาขาพาราโบลาสามารถขึ้นไป (ที่ a\u003e 0) หรือลง (

กลุ่มหายไปในสภาพของปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ F (a) และ f (b) มันยังคงพิจารณาเพียงจุดสุดยอดเท่านั้น แต่มีจุดสุดยอดเพียงจุดเดียวของพาราโบลา x 0 พิกัดที่คำนวณอย่างแท้จริงด้วยวาจาและไม่มีตราสารอนุพันธ์ใด ๆ

ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างรวดเร็วและลงไปถึงสองขั้นตอน: เขียนสมการพาราโบลาและค้นหาจุดสุดยอดโดยสูตร: เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชั่นดั้งเดิม ณ จุดนี้: F (x 0) หากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมมันจะเป็นคำตอบ

0. parabola ด้านบน: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "title \u003d" (! lang: ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น: โซลูชัน: ภายใต้รากที่นั่น คุณสมบัติกำลังสองของคุณสมบัตินี้ Parabola Branchs ขึ้นเนื่องจากสัมประสิทธิ์ A \u003d 1\u003e 0. Parabola ด้านบน: x 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น: โซลูชัน: ภายใต้รูทมีฟังก์ชั่นกำลังสองของแผนภูมิของฟังก์ชั่นพาราโบลานี้โดยสาขาเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ A \u003d 1\u003e 0. Parabola ด้านบน: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 0. Top Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "\u003e 0. Topper Parabol: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "\u003e 0. Parabola ด้านบน: x 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3" ชื่อ \u003d "(! Lang: ค้นหาค่าน้อยที่สุดของฟังก์ชั่น : โซลูชัน: ภายใต้รูทมีฟังก์ชั่นกำลังสองของแผนภูมิของกิ่งไม้พาราโบลาขึ้นเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ A \u003d 1\u003e 0. การบำบัดพาราโบลา: x 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6 / 2 \u003d 3"> title="ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น: โซลูชัน: ภายใต้รูทมีฟังก์ชั่นกำลังสองของแผนภูมิของฟังก์ชั่นพาราโบลานี้โดยสาขาเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ A \u003d 1\u003e 0. Parabola ด้านบน: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> !}

ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น: การแก้ปัญหาภายใต้ระบบลอการิทึมเป็นฟังก์ชั่นกำลังสองอีกครั้งเมษายนพาราโบลากิ่งกิ่งไม้ขึ้นเพราะ A \u003d 1\u003e 0. Parabola ด้านบน: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 0. Parabola ด้านบน: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 "\u003e 0. Topper Parabol: x 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 "\u003e 0. ด้านบนของพาราโบลา: x 0 \u003d b / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1" ชื่อ \u003d "(! lang: ค้นหาค่าน้อยที่สุดของ ฟังก์ชั่น: โซลูชันภายใต้การลอการิทึมเป็นฟังก์ชั่นกำลังสองกิ่งไข้ของพาราโบลาเป็นเพราะ a \u003d 1\u003e 0. topper parabola: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1)"> title="ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น: การแก้ปัญหาภายใต้ระบบลอการิทึมเป็นฟังก์ชั่นกำลังสองอีกครั้งเมษายนพาราโบลากิ่งกิ่งไม้ขึ้นเพราะ A \u003d 1\u003e 0. Parabola ด้านบน: x 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> !}

ค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น: การแก้ปัญหา: ในตัวบ่งชี้มีฟังก์ชั่นกำลังสองเพื่อเขียนใหม่ในรูปแบบปกติ: เห็นได้ชัดว่าตารางงานของฟังก์ชั่นนี้ของพาราโบลากิ่งก้านย่อย (A \u003d 1

ผลที่ตามมาของการทำงานของการกำหนดฟังก์ชั่นบางครั้งเพื่อแก้ไขปัญหา B14 ไม่เพียงพอที่จะหาด้านบนของพาราโบลา ค่าที่ต้องการอาจอยู่ที่ส่วนท้ายของส่วนและไม่ได้อยู่ที่จุดสุดยอด หากงานไม่ได้ระบุเซ็กเมนต์เลยเรามองไปที่พื้นที่ของค่าที่อนุญาตของฟังก์ชั่นดั้งเดิม กล่าวคือ:

0 2. arithmetic สแควร์รูทมีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. บันทึกเศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์: "ชื่อ \u003d" (! lang: 1. อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมจะต้องเป็นบวก: y \u003d บันทึก AF (x) f ( x)\u003e 0 2. arithmetic สแควร์รูทมีอยู่เฉพาะตัวเลขที่ไม่ใช่ลบ: 3. หมายเหตุเศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์:" class="link_thumb"> 26 !} 1. อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมจะต้องเป็นบวก: Y \u003d บันทึก a f (x) f (x)\u003e 0 2. root arithmetic สแควร์มีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. สายพานลำเลียงของเศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์: 0 2. root เลขคณิตสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. มิเตอร์เศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์: "\u003e 0 2. รากสแควร์เลขคณิตมีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. Snaker of the Fraction ไม่ควร เป็นศูนย์: "\u003e 0 2. arithmetic สแควร์รูทมีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. เศษส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์:" ชื่อ \u003d "(! lang: 1. อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมจะต้องเป็นบวก: y \u003d บันทึก AF (x) f (x)\u003e 0 2. สแควร์เลขคณิต root มีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. หมายเหตุเศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์:"> title="1. อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมจะต้องเป็นบวก: Y \u003d บันทึก a f (x) f (x)\u003e 0 2. root arithmetic สแควร์มีอยู่จากตัวเลขที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น: 3. สายพานลำเลียงของเศษส่วนไม่ควรเป็นศูนย์:"> !}

การแก้ปัญหาภายใต้รูทเป็นฟังก์ชั่นกำลังสองอีกครั้ง แผนภูมิของเธอของพาราโบลา แต่กิ่งก้านถูกชี้นำลงมาตั้งแต่ A \u003d 1
ตอนนี้เราพบจุดสุดยอดของพาราโบลา: x 0 \u003d b / (2a) \u003d (2) / (2 · (1)) \u003d 2 / (2) \u003d 1 จุด x 0 \u003d 1 เป็นของเซกเมนต์ OTZ และนี่เป็นสิ่งที่ดี . ตอนนี้เราพิจารณามูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุด X 0 เช่นเดียวกับที่ปลาย OTZ: Y (3) \u003d y (1) \u003d 0 ดังนั้นพวกเขาได้รับหมายเลข 2 และ 0 เราขอให้ค้นหาหมายเลขที่ยิ่งใหญ่ที่สุด 2. คำตอบ: 2

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวดดังนั้นปลายไม่ได้เป็นของ OTZ ลอการิทึมนี้แตกต่างจากรูทซึ่งปลายส่วนของส่วนนั้นค่อนข้างเหมาะสม เรากำลังมองหา Parabola Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · (1)) \u003d 6 / (2) \u003d 3 Pearabol Vertex เหมาะสำหรับ OTZ: x 0 \u003d 3 (1; 5 . แต่เนื่องจากส่วนท้ายของส่วนไม่สนใจเราให้พิจารณามูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุด x 0:

y min \u003d y (3) \u003d เข้าสู่ระบบ 0.5 (6 ·) \u003d \u003d เข้าสู่ระบบ 0.5 (18 9 5) \u003d บันทึก 0.5 4 \u003d 2 คำตอบ: -2