พาราโบลาหมุนรอบแกน x จะคำนวณปริมาตรของตัวปฏิวัติได้อย่างไร? พื้นที่ของรูปทรงแบน

ปริมาตรของตัวการปฏิวัติสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ในสูตร ต้องมีตัวเลขอยู่ก่อนอินทิกรัล มันจึงเกิดขึ้น - ทุกสิ่งที่หมุนเวียนในชีวิตเชื่อมโยงกับค่าคงที่นี้

ฉันคิดว่ามันง่ายที่จะเดาวิธีกำหนดขีดจำกัดของการรวม "a" และ "be" จากภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์

ฟังก์ชัน... ฟังก์ชันนี้คืออะไร? มาดูภาพวาดกัน รูประนาบนั้นล้อมรอบด้วยกราฟของพาราโบลาที่อยู่ด้านบน นี่คือฟังก์ชันที่บอกเป็นนัยในสูตร

ในทางปฏิบัติ บางครั้งรูปทรงแบนอาจอยู่ใต้แกน สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย - ฟังก์ชันในสูตรจะเป็นกำลังสอง: ดังนั้น ปริมาณของเนื้อความแห่งการปฏิวัตินั้นไม่เป็นลบเสมอซึ่งสมเหตุสมผลมาก

ลองคำนวณปริมาตรของการหมุนโดยใช้สูตรนี้:

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วอินทิกรัลมักจะกลายเป็นเรื่องง่ายเสมอสิ่งสำคัญคือต้องระวัง

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ คุณต้องระบุมิติ - หน่วยลูกบาศก์ นั่นคือในร่างกายการหมุนของเรามี "ลูกบาศก์" ประมาณ 3.35 ทำไมต้องลูกบาศก์ หน่วย? เพราะเป็นสูตรสากลที่สุด อาจมีลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์เมตร ลูกบาศก์กิโลเมตร ฯลฯ นั่นคือจำนวนผู้ชายตัวเขียวที่คุณจินตนาการใส่ในจานบินได้กี่คน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ลองพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนอีกสองปัญหาซึ่งมักพบในทางปฏิบัติเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน abscissa ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และ

สารละลาย:ให้เราพรรณนาในการวาดภาพร่างแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , โดยไม่ลืมว่าสมการกำหนดแกน:

รูปที่ต้องการจะแรเงาด้วยสีน้ำเงิน เมื่อมันหมุนรอบแกน มันจะกลายเป็นโดนัทเหนือจริงที่มีสี่มุม

ให้เราคำนวณปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนดังนี้ ความแตกต่างในปริมาณของร่างกาย.

ก่อนอื่น มาดูรูปที่วงกลมสีแดงกันก่อน เมื่อมันหมุนรอบแกน จะได้กรวยที่ถูกตัดทอน ให้เราแสดงปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอนนี้ด้วย

พิจารณาร่างที่วงกลมด้วยสีเขียว หากคุณหมุนรูปนี้รอบแกน คุณจะได้กรวยที่ถูกตัดทอนด้วย ซึ่งเล็กกว่าเล็กน้อยเท่านั้น เรามาแสดงปริมาตรของมันด้วย

และเห็นได้ชัดว่าความแตกต่างในปริมาตรก็คือปริมาตรของ "โดนัท" ของเรานั่นเอง

เราใช้สูตรมาตรฐานเพื่อหาปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน:

1) รูปที่วงกลมสีแดงมีเส้นตรงล้อมรอบด้านบน ดังนั้น:

2) รูปที่วงกลมสีเขียวมีเส้นตรงล้อมรอบด้านบน ดังนั้น:

3) ปริมาตรของตัวการหมุนที่ต้องการ:

คำตอบ:

อยากรู้ว่าในกรณีนี้สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรของโรงเรียนในการคำนวณปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

การตัดสินใจมักจะเขียนให้สั้นลง บางอย่างเช่นนี้

ตอนนี้เรามาพักสักหน่อยแล้วเล่าให้คุณฟังเกี่ยวกับภาพลวงตาทางเรขาคณิต

ผู้คนมักจะมีภาพลวงตาที่เกี่ยวข้องกับหนังสือเล่มต่างๆ ซึ่ง Perelman (ไม่ใช่คนนั้น) สังเกตเห็นในหนังสือเล่มนี้ เรขาคณิตที่สนุกสนาน. ดูรูปร่างแบนในปัญหาที่แก้ไขแล้ว - ดูเหมือนว่าจะมีพื้นที่น้อย และปริมาตรของตัวการปฏิวัติมีมากกว่า 50 ลูกบาศก์หน่วย ซึ่งดูเหมือนใหญ่เกินไป อย่างไรก็ตาม คนทั่วไปดื่มของเหลวเท่ากับห้องที่มีพื้นที่ 18 ตารางเมตรตลอดชีวิต ซึ่งในทางกลับกันดูเหมือนว่าจะมีปริมาณน้อยเกินไป

โดยทั่วไปแล้วระบบการศึกษาในสหภาพโซเวียตนั้นดีที่สุดอย่างแท้จริง หนังสือเล่มเดียวกันของ Perelman ซึ่งเขียนโดยเขาย้อนกลับไปในปี 1950 ได้รับการพัฒนาเป็นอย่างดีดังที่นักอารมณ์ขันพูดโดยคิดและสอนให้มองหาวิธีแก้ไขปัญหาดั้งเดิมที่ไม่ได้มาตรฐาน ฉันเพิ่งอ่านบางบทซ้ำด้วยความสนใจอย่างมาก ฉันขอแนะนำ เรื่องนี้สามารถเข้าถึงได้แม้กระทั่งสำหรับนักมานุษยวิทยา ไม่ คุณไม่จำเป็นต้องยิ้มที่ฉันให้เวลาว่าง ความรอบรู้และขอบเขตอันกว้างไกลในการสื่อสารเป็นสิ่งที่ดี

หลังจากการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ก็เหมาะสมที่จะแก้ไขงานสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , โดยที่ .

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โปรดทราบว่าทุกสิ่งเกิดขึ้นในวงดนตรี กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีการจำกัดขอบเขตของการบูรณาการที่เตรียมไว้ในทางปฏิบัติแล้ว พยายามวาดกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างถูกต้องด้วย หากอาร์กิวเมนต์ถูกหารด้วยสอง: กราฟจะยืดออกสองครั้งตามแนวแกน พยายามหาให้ได้อย่างน้อย 3-4 จุด ตามตารางตรีโกณมิติและวาดภาพให้สมบูรณ์แม่นยำยิ่งขึ้น เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน อย่างไรก็ตามงานสามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมากนัก

การคำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุน
รูปร่างแบนรอบแกน

ย่อหน้าที่สองจะน่าสนใจยิ่งกว่าย่อหน้าแรก งานในการคำนวณปริมาตรของการหมุนรอบแกนกำหนดก็เป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในงานทดสอบ ระหว่างทางก็จะมีการพิจารณา ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปวิธีที่สองคือการบูรณาการตามแนวแกน ซึ่งจะช่วยให้คุณไม่เพียงแต่พัฒนาทักษะของคุณเท่านั้น แต่ยังสอนให้คุณค้นหาเส้นทางการแก้ปัญหาที่ทำกำไรได้มากที่สุดอีกด้วย นอกจากนี้ยังมีความหมายในชีวิตจริงในเรื่องนี้! ขณะที่ครูของฉันเกี่ยวกับวิธีการสอนคณิตศาสตร์เล่าด้วยรอยยิ้ม ผู้สำเร็จการศึกษาหลายคนขอบคุณเธอด้วยคำว่า: “วิชาของคุณช่วยเราได้มาก ตอนนี้เราเป็นผู้จัดการที่มีประสิทธิภาพและบริหารจัดการพนักงานได้อย่างเหมาะสมที่สุด” เมื่อใช้โอกาสนี้ ฉันขอแสดงความขอบคุณต่อเธอเป็นอย่างยิ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันใช้ความรู้ที่ได้รับตามวัตถุประสงค์ที่ตั้งไว้ =)

ตัวอย่างที่ 5

ให้เป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , .

1) หาพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้
2) ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้รอบแกน

ความสนใจ!แม้ว่าคุณต้องการอ่านเฉพาะประเด็นที่สองก่อนก็ตาม อย่างจำเป็นอ่านอันแรก!

สารละลาย:งานประกอบด้วยสองส่วน เริ่มจากจัตุรัสกันก่อน

1) มาวาดรูปกันเถอะ:

เห็นได้ง่ายว่าฟังก์ชันระบุกิ่งบนของพาราโบลา และฟังก์ชันระบุกิ่งล่างของพาราโบลา เบื้องหน้าเราคือพาราโบลาเล็กๆ น้อยๆ ที่ "อยู่ข้างๆ ตัวมัน"

ตัวเลขที่ต้องการซึ่งเป็นพื้นที่ที่จะพบนั้นมีสีน้ำเงิน

จะหาพื้นที่ของรูปได้อย่างไร? สามารถพบได้ในลักษณะ "ปกติ" ซึ่งมีการอภิปรายในชั้นเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป. นอกจากนี้ พื้นที่ของรูปยังพบเป็นผลรวมของพื้นที่:
– ในส่วน;
- ในส่วน

นั่นเป็นเหตุผล:

เหตุใดวิธีแก้ปัญหาปกติจึงไม่ดีในกรณีนี้ อย่างแรก เรามีอินทิกรัลสองตัว ประการที่สอง อินทิกรัลคือราก และรากในอินทิกรัลไม่ใช่ของขวัญ และนอกจากนี้ คุณอาจสับสนในการแทนที่ขีดจำกัดของอินทิกรัลได้ แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ใช่ตัวฆ่า แต่ในทางปฏิบัติทุกอย่างอาจเศร้ากว่านี้มาก ฉันแค่เลือกฟังก์ชันที่ "ดีกว่า" สำหรับปัญหา

มีวิธีแก้ไขที่มีเหตุผลมากกว่านี้: ประกอบด้วยการสลับไปใช้ฟังก์ชันผกผันและบูรณาการตามแกน

จะหาฟังก์ชันผกผันได้อย่างไร? พูดโดยคร่าวๆ คุณต้องแสดง "x" ถึง "y" ก่อนอื่น มาดูพาราโบลากันก่อน:

แค่นี้ก็เพียงพอแล้ว แต่มาตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันเดียวกันนี้สามารถได้รับมาจากสาขาด้านล่าง:

ง่ายกว่าด้วยเส้นตรง:

ตอนนี้ดูที่แกน: โปรดเอียงศีรษะไปทางขวา 90 องศาเป็นระยะๆ ขณะที่คุณอธิบาย (นี่ไม่ใช่เรื่องตลก!) รูปที่เราต้องการนั้นอยู่บนส่วนซึ่งระบุด้วยเส้นประสีแดง ในกรณีนี้ เส้นตรงจะอยู่เหนือพาราโบลา ซึ่งหมายความว่าควรหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้ว: มีการเปลี่ยนแปลงอะไรในสูตร? แค่จดหมายและไม่มีอะไรเพิ่มเติม

! หมายเหตุ: ควรตั้งค่าขีดจำกัดการรวมตามแกน จากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัด!

ค้นหาพื้นที่:

ในส่วนนี้:

โปรดทราบว่าฉันดำเนินการบูรณาการอย่างไร นี่เป็นวิธีที่สมเหตุสมผลที่สุด และในย่อหน้าถัดไปของงานจะชัดเจนว่าทำไม

สำหรับผู้อ่านที่สงสัยความถูกต้องของการรวม ฉันจะค้นหาอนุพันธ์:

ได้รับฟังก์ชันอินทิแกรนด์ดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าการอินทิเกรตดำเนินการอย่างถูกต้อง

คำตอบ:

2) ให้เราคำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของรูปนี้รอบแกน

ฉันจะวาดรูปใหม่โดยใช้ดีไซน์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:

ดังนั้น ภาพที่แรเงาด้วยสีน้ำเงินจะหมุนรอบแกน ผลที่ได้คือ “ผีเสื้อบินโฉบ” ที่หมุนรอบแกนของมัน

ในการหาปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน เราจะอินทิเกรตตามแนวแกน ก่อนอื่นเราต้องไปที่ฟังก์ชันผกผัน สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วและอธิบายโดยละเอียดในย่อหน้าก่อนหน้า

ตอนนี้เราเอียงศีรษะไปทางขวาอีกครั้งแล้วศึกษารูปร่างของเรา แน่นอนว่าปริมาตรของตัวการหมุนควรพบว่าเป็นผลต่างของปริมาตร

เราหมุนรูปที่วงกลมเป็นสีแดงรอบแกนส่งผลให้มีกรวยที่ถูกตัดทอน ให้เราแสดงปริมาตรนี้ด้วย

เราหมุนรูปที่วงกลมเป็นสีเขียวรอบแกนและแสดงด้วยปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนได้

ปริมาตรของผีเสื้อของเราเท่ากับปริมาตรที่แตกต่างกัน

เราใช้สูตรเพื่อหาปริมาตรของตัวปฏิวัติ:

ความแตกต่างจากสูตรในย่อหน้าก่อนหน้าคืออะไร? เฉพาะในจดหมายเท่านั้น

แต่ข้อดีของการอินทิเกรตที่ผมพูดถึงไปเมื่อเร็วๆ นี้นั้นหาได้ง่ายกว่าการยกอินทิเกรตครั้งแรกเป็นยกกำลังที่ 4 มาก

คำตอบ:

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ผีเสื้อขี้โรค

โปรดทราบว่าหากหมุนรูปร่างแบนๆ เดียวกันรอบๆ แกน คุณจะได้รูปร่างของการหมุนที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง โดยมีปริมาตรที่แตกต่างกันตามธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 6

ให้เป็นรูปแบนล้อมรอบด้วยเส้นและแกน

1) ไปที่ฟังก์ชันผกผันและค้นหาพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้โดยการรวมเข้ากับตัวแปร
2) คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้รอบแกน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ผู้ที่สนใจสามารถหาพื้นที่ของรูปได้ด้วยวิธี "ปกติ" ดังนั้นให้ตรวจสอบจุดที่ 1) แต่ถ้าฉันขอย้ำอีกครั้งว่าคุณหมุนร่างแบนรอบแกนคุณจะได้ร่างการหมุนที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงด้วยปริมาตรที่แตกต่างกันซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง (สำหรับผู้ที่ต้องการแก้ปัญหาด้วย)

วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับสองประเด็นที่เสนอของงานอยู่ที่ส่วนท้ายของบทเรียน

ใช่ และอย่าลืมเอียงศีรษะไปทางขวาเพื่อทำความเข้าใจเนื้อความของการหมุนเวียนและขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกัน!

ฉันกำลังจะจบบทความ แต่วันนี้พวกเขาได้นำตัวอย่างที่น่าสนใจมาใช้ในการหาปริมาตรของการหมุนรอบแกนพิกัด สด:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งและ สาขาด้านซ้ายที่ไม่ได้ใช้ของพาราโบลาสอดคล้องกับฟังก์ชันผกผัน - กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ที่ส่วนที่อยู่เหนือแกน

มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าปริมาตรของตัวการปฏิวัติควรหาเป็นผลรวมของปริมาตรของตัวการปฏิวัติ!

เราใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

คำตอบ:

ใน ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปมักใช้การรวมพื้นที่ แต่การรวมปริมาตรของวัตถุการหมุนนั้นหาได้ยากเนื่องจากความหลากหลายดังกล่าวเกือบจะหลุดออกจากขอบเขตการมองเห็นของฉัน อย่างไรก็ตาม ยังเป็นเรื่องดีที่ตัวอย่างที่เราพูดคุยกันนั้นปรากฏทันเวลา – เราสามารถดึงข้อมูลที่เป็นประโยชน์ได้มากมาย

โปรโมทฟิกเกอร์สำเร็จ!

ทรงกระบอกคือวัตถุทรงเรขาคณิตธรรมดาๆ ที่ได้มาจากการหมุนสี่เหลี่ยมรอบด้านใดด้านหนึ่ง คำจำกัดความอีกประการหนึ่ง: ทรงกระบอกคือวัตถุทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกและมีระนาบขนานสองอันที่ตัดกัน

สูตรปริมาตรกระบอกสูบ

หากคุณต้องการทราบวิธีคำนวณปริมาตรของทรงกระบอก สิ่งที่คุณต้องทำคือหาความสูง (h) และรัศมี (r) แล้วแทนค่าลงในสูตร:

หากคุณดูสูตรนี้อย่างละเอียด คุณจะสังเกตเห็นว่า (\pi r^2) คือสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม และในกรณีของเราคือพื้นที่ของฐาน

ดังนั้น สามารถเขียนสูตรปริมาตรของทรงกระบอกในรูปของพื้นที่ฐานและความสูงได้ดังนี้

เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราจะช่วยคุณคำนวณปริมาตรของทรงกระบอก เพียงป้อนพารามิเตอร์ที่ระบุของกระบอกสูบและรับปริมาตร

เครื่องหมายของคุณ

[เรตติ้ง: 168 เฉลี่ย: 3.4]

ปริมาตรของสูตรทรงกระบอก (ใช้รัศมีฐานและความสูง)

(V=\pi r^2 h) โดยที่

r คือรัศมีของฐานกระบอกสูบ

ชั่วโมง - ความสูงของกระบอกสูบ

ปริมาตรของสูตรทรงกระบอก (ผ่านพื้นที่ฐานและส่วนสูง)

S คือพื้นที่ของฐานกระบอกสูบ

ชั่วโมง - ความสูงของกระบอกสูบ

เครื่องคิดเลขปริมาตรกระบอกสูบออนไลน์

วิธีหาปริมาตรของตัวปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัล

การใช้อินทิกรัลจำกัดเขตทำให้คุณสามารถคำนวณได้ไม่เพียงแค่เท่านั้น พื้นที่ของหุ่นเครื่องบินแต่ยังรวมถึงปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขเหล่านี้รอบแกนพิกัดด้วย

ร่างกายที่เกิดจากการหมุนรอบแกน Ox ของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน y= f(x) มีปริมาตร

ในทำนองเดียวกัน ปริมาตร v ของวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกนกำหนด (Oy) ของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งจะแสดงโดยสูตร

เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ เราได้เรียนรู้ว่าพื้นที่ของรูปบางรูปสามารถหาได้ว่าเป็นผลต่างของปริพันธ์สองค่า โดยปริพันธ์เป็นฟังก์ชันที่จำกัดรูปจากด้านบนและด้านล่าง สิ่งนี้คล้ายกับสถานการณ์ที่มีวัตถุที่หมุนได้บางส่วน ซึ่งปริมาตรของวัตถุจะถูกคำนวณเป็นผลต่างระหว่างปริมาตรของวัตถุทั้งสอง กรณีดังกล่าวจะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 3, 4 และ 5

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนรอบแกนแอบซิสซา (Ox) ของรูปที่ล้อมรอบด้วยไฮเปอร์โบลา แกนแอบซิสซา และเส้นตรง

สารละลาย. เราค้นหาปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนโดยใช้สูตร (1) โดยที่ และขีดจำกัดของการรวม a = 1, b = 4:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี R

สารละลาย. ลองพิจารณาลูกบอลว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกนแอบซิสซาของรัศมีครึ่งวงกลม R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จากนั้นในสูตร (1) ฟังก์ชันจำนวนเต็มจะถูกเขียนในรูปแบบ และขีดจำกัดของการรวมคือ -R และ R ดังนั้น

ไม่มีเวลาเจาะลึกวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม?

สั่งงานได้เลย!

ตัวอย่างที่ 3จงหาปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกนแอบซิสซา (Ox) ของภาพที่อยู่ระหว่างพาราโบลากับ

ลองจินตนาการถึงปริมาตรที่ต้องการว่าเป็นค่าต่างในปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCDE และ ABFDE รอบแกน abscissa เราค้นหาปริมาตรของวัตถุเหล่านี้โดยใช้สูตร (1) ซึ่งขีดจำกัดของการอินทิเกรตเท่ากับและเป็นจุดหักเหของจุด B และ D ของจุดตัดของพาราโบลา ตอนนี้เราสามารถหาปริมาตรของร่างกายได้:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณปริมาตรของพรู (พรูคือวัตถุที่ได้จากการหมุนวงกลมรัศมี a รอบแกนที่อยู่ในระนาบที่ระยะห่าง b จากศูนย์กลางของวงกลม ()

เช่น พวงมาลัยมีรูปทรงพรู)

สารละลาย. ให้วงกลมหมุนรอบแกนวัว (รูปที่.

สูตรพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต

20) ปริมาตรของทอรัสสามารถแสดงเป็นผลต่างในปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงโค้ง ABCDE และ ABLDE รอบแกน Ox

สมการของวงกลม LBCD คือ

และสมการของเส้นโค้งบีซีดี

และสมการของเส้นโค้ง BLD

เมื่อใช้ความแตกต่างระหว่างปริมาตรของร่างกาย เราจะได้นิพจน์สำหรับปริมาตรของทอรัส v

ตัวอย่างที่ 5

จงหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนรอบแกนพิกัด (Oy) ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น และ

ลองจินตนาการถึงปริมาตรที่ต้องการว่าเป็นความแตกต่างระหว่างปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกนพิกัดของสามเหลี่ยม OBA และ OnBA ทรงสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

เราค้นหาปริมาตรของวัตถุเหล่านี้โดยใช้สูตร (2) ขีดจำกัดของการอินทิเกรตคือ และ - พิกัดของจุด O และ B ของจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

ดังนั้นเราจึงได้ปริมาตรของร่างกาย:

ด้านบนของหน้า

ทำการทดสอบในหัวข้ออินทิกรัล

จุดเริ่มต้นของหัวข้อ “บูรณาการ”

อินทิกรัลไม่จำกัด: แนวคิดพื้นฐาน คุณสมบัติ ตารางอินทิกรัลไม่จำกัด

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด: จุดเริ่มต้น, ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด

บูรณาการโดยการรวมเครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลเข้าด้วยกัน

วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ

การบูรณาการเศษส่วน

การบูรณาการฟังก์ชันตรรกยะและวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

การบูรณาการฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวบางประการ

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อินทิกรัลที่แน่นอน

พื้นที่ของรูประนาบโดยใช้อินทิกรัล

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

การคำนวณอินทิกรัลสองเท่า

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งโดยใช้อินทิกรัล

พื้นที่ผิวของการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัล

การกำหนดการทำงานของแรงโดยใช้อินทิกรัล

เปลที่ดีที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ เชิงคุณภาพ ไม่มีอะไรพิเศษ

ปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต- ลักษณะเชิงปริมาณของพื้นที่ที่ร่างกายหรือสารครอบครอง ปริมาตรของตัวเรือหรือภาชนะบรรจุถูกกำหนดโดยรูปร่างและขนาดเชิงเส้น

ปริมาตรของลูกบาศก์

ปริมาตรของลูกบาศก์เท่ากับลูกบาศก์ของความยาวของใบหน้าของเธอ

สูตรคิวบ์

ปริมาตรของลูกบาศก์อยู่ที่ไหน
- ความยาวของลูกบาศก์

พื้นที่ปริซึม

พื้นที่ปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นผิวด้านล่างของปริซึมและความสูง

สูตรปริมาตรปริซึม

ระดับของปริซึมอยู่ที่ไหน

- ฐานของปริซึม

- ความสูงของปริซึม

ปริมาตรของขนาน

ปริมาตรของขนานเท่ากับผลคูณของพื้นผิวฐานสัมพันธ์กับความสูง

ปริมาตรของสูตรขนาน

ปริมาตรของเส้นขนานอยู่ที่ไหน

- พื้นที่ฐาน

— ความสูง ความสูง.

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานก็เหมือนกับผลคูณของความยาว ความกว้าง และความสูง

สูตรหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

โดยที่ปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ
- ความยาว,

- ความกว้าง

- ความสูง.

ปริมาตรของปิรามิด

ปริมาตรของปิรามิดคิดเป็นหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ในพื้นที่ฐานตามความสูง

สูตรปริมาตรของปิรามิด

ปริมาตรของปิรามิดอยู่ที่ไหน

- ฐานของฐานปิรามิด

- ความยาวของปิรามิด

ปริมาตรของจัตุรมุขปกติ

สูตรปริมาตรของจัตุรมุขปกติ

ปล่อยให้เส้นมีจำกัด รูปเครื่องบินถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ตัวอย่าง: คำนวณเส้นรอบวง: x 2 +y 2 =R 2

คำนวณความยาวของส่วนที่ 4 ของวงกลมที่อยู่ในจตุภาคแรก (x≥0, y≥0):

หากมีการระบุสมการของเส้นโค้งในรูปแบบพารามิเตอร์:
ฟังก์ชัน x(t), y(t) ถูกกำหนดและต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ของพวกมันในช่วงเวลา [α,β] อนุพันธ์แล้วแทนลงในสูตร:
และให้สิ่งนั้น

เราได้รับ
เพิ่มตัวคูณ
ภายใต้สัญลักษณ์ของราก และในที่สุดเราก็ได้

หมายเหตุ: เมื่อพิจารณาจากเส้นโค้งระนาบ คุณยังสามารถพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดพารามิเตอร์ในปริภูมิ จากนั้นเพิ่มฟังก์ชัน z=z(t) และสูตร

ตัวอย่าง: คำนวณความยาวของแอสรอยด์ ซึ่งได้จากสมการ: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

คำนวณความยาวของส่วนที่ 4:

ตามสูตร

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบที่ระบุในระบบพิกัดเชิงขั้ว:

ให้สมการเส้นโค้งได้รับในระบบพิกัดเชิงขั้ว:
- ฟังก์ชันต่อเนื่อง พร้อมด้วยอนุพันธ์ของมันในช่วงเวลา [α,β]

สูตรการเปลี่ยนจากพิกัดเชิงขั้ว:

พิจารณาเป็นพารามิเตอร์:

ϕ - พารามิเตอร์ตาม f-le

เช่น คำนวณความยาวของเส้นโค้ง:
>0

แนวคิด: ลองคำนวณครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง:

ปริมาตรของร่างกายคำนวณจากพื้นที่หน้าตัดของร่างกาย

ปล่อยให้ร่างกายถูกล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิดและปล่อยให้พื้นที่ของส่วนใด ๆ ของร่างกายนี้เป็นที่รู้จักโดยระนาบตั้งฉากกับแกนวัว บริเวณนี้จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของระนาบการตัด

ให้แนบทั้งตัวอยู่ระหว่างระนาบ 2 ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนวัว ตัดกันที่จุด x=a, x=b (a

ในการกำหนดปริมาตรของวัตถุดังกล่าว เราแบ่งออกเป็นชั้นๆ โดยใช้ระนาบการตัดตั้งฉากกับแกน Ox แล้วตัดกันที่จุดต่างๆ ในทุกช่วงเวลาบางส่วน
. มาเลือกกัน

และสำหรับแต่ละค่า i=1,….,n เราจะสร้างตัวทรงกระบอก โดยมีเจเนราทริกซ์ขนานกับ Ox และตัวชี้นำคือรูปร่างของส่วนลำตัวโดยระนาบ x=C i ปริมาตรของ ทรงกระบอกเบื้องต้นที่มีพื้นที่ฐาน S=C i และความสูง ∆x i V ผม =S(C ผม)∆x ผม . ปริมาตรของกระบอกสูบพื้นฐานทั้งหมดจะเท่ากับ
. ขีดจำกัดของผลรวมนี้ หากมีอยู่และจำกัดที่ค่าสูงสุด ∆х  0 เรียกว่าปริมาตรของตัววัตถุที่กำหนด

. เนื่องจาก V n คือผลรวมอินทิกรัลสำหรับฟังก์ชัน S(x) ที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นขีดจำกัดที่ระบุจึงมีอยู่ (เงื่อนไขของการดำรงอยู่) และแสดงด้วย def บูรณาการ

- ปริมาตรของร่างกายคำนวณจากพื้นที่หน้าตัด

ปริมาณของร่างแห่งการปฏิวัติ:

ปล่อยให้ร่างกายเกิดขึ้นโดยการหมุนรอบแกน Ox ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) แกน Ox และเส้นตรง x=a, x=b

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์นั้นและไม่เป็นลบบนเซกเมนต์นั้น ดังนั้น ส่วนของลำตัวนี้โดยระนาบที่ตั้งฉากกับ Ox จะเป็นวงกลมที่มีรัศมี R=y(x)=f(x ). พื้นที่ของวงกลม S(x)=Пy 2 (x)=П 2. การแทนที่สูตร
เราได้รับสูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของการหมุนรอบแกน Ox:

หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องหมุนรอบแกน Oy ดังนั้นปริมาตรของวัตถุที่หมุนจะเป็น:

สามารถคำนวณปริมาตรเดียวกันได้โดยใช้สูตร:
. หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก:

โดยการแทนที่ตัวแปรที่เราได้รับ:

หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก:

y (α)= ค , y (β)= d . การแทนที่ y = y (t) เราได้รับ:

คำนวณเนื้อความของการปฏิวัติรอบแกนของพาราโบลา .

2) คำนวณ V ของวัตถุที่หมุนรอบแกน OX ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง y=0 ซึ่งเป็นส่วนโค้ง (โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (1;0) และรัศมี = 1) โดยมี .

พื้นที่ผิวของตัววัตถุที่หมุน

ปล่อยให้พื้นผิวที่กำหนดเกิดขึ้นโดยการหมุนเส้นโค้ง y =f(x) รอบแกน Ox จำเป็นต้องกำหนด S ของพื้นผิวนี้ที่

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y =f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกัน โดยมีจุดที่ไม่เป็นธรรมชาติและไม่ติดลบในทุกจุดของเซ็กเมนต์ [a;b]

ให้เราวาดคอร์ดที่มีความยาวซึ่งเราแสดงตามลำดับ (n-chords)

ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์:

พื้นที่ผิวของเส้นประที่อธิบายไว้ทั้งหมดจะเท่ากับ

คำจำกัดความ: ขีด จำกัด ของผลรวมนี้หากมีขอบเขตเมื่อจุดเชื่อมต่อที่ใหญ่ที่สุดของเส้นขาดสูงสุดเรียกว่าพื้นที่ของพื้นผิวการปฏิวัติที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

สามารถพิสูจน์ได้ว่าหนึ่งร้อยลิมิตของผลรวม เท่ากับลิมิตของผลบวกรวมของ p-th

สูตรสำหรับ S พื้นผิวของตัวการปฏิวัติ =

S ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนส่วนโค้งของเส้นโค้ง x=g(x) รอบแกน Oy ที่

ต่อเนื่องกับอนุพันธ์ของมัน

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดย ur-mix=x(ท) ,ย= ที(ที) ฉ-iix’(ที), ย’(ที), x(ที), ย(ที) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [ก; ข], x(ก)= ก, x(ข)= ขแล้วทำการทดแทนด้วยการเปลี่ยนแปลงx= x(ที)

หากกำหนดเส้นโค้งแบบพาราเมตริก ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสูตรที่เราได้รับ:

ถ้าสมการเส้นโค้งถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดเชิงขั้ว

สพื้นผิวการหมุนรอบแกนจะเท่ากับ

การใช้อินทิกรัลเพื่อหาปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน

ประโยชน์เชิงปฏิบัติของคณิตศาสตร์นั้นเกิดจากการที่ไม่มี

ความรู้ทางคณิตศาสตร์เฉพาะทำให้ยากต่อการเข้าใจหลักการของอุปกรณ์และการใช้เทคโนโลยีสมัยใหม่ ทุกคนในชีวิตต้องทำการคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ใช้อุปกรณ์ที่ใช้กันทั่วไป ค้นหาสูตรที่จำเป็นในหนังสืออ้างอิง และสร้างอัลกอริทึมง่ายๆ สำหรับการแก้ปัญหา ในสังคมสมัยใหม่ ความเชี่ยวชาญพิเศษที่ต้องมีการศึกษาระดับสูงมากขึ้นเรื่อยๆ เกี่ยวข้องกับการประยุกต์คณิตศาสตร์โดยตรง ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงกลายเป็นวิชาที่สำคัญทางวิชาชีพสำหรับนักเรียน บทบาทนำเป็นของคณิตศาสตร์ในการสร้างการคิดแบบอัลกอริทึมซึ่งพัฒนาความสามารถในการปฏิบัติตามอัลกอริทึมที่กำหนดและสร้างอัลกอริทึมใหม่

ในขณะที่ศึกษาหัวข้อการใช้อินทิกรัลในการคำนวณปริมาตรของตัวการปฏิวัติ ฉันแนะนำให้นักเรียนในชั้นเรียนวิชาเลือกพิจารณาหัวข้อ: "ปริมาตรของตัวการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัล" ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับการพิจารณาหัวข้อนี้:

1. พื้นที่ของรูปทรงแบน

จากหลักสูตรพีชคณิต เรารู้ว่าปัญหาเชิงปฏิบัตินำไปสู่แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดเขต หนึ่งในนั้นคือการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นต่อเนื่อง y=f(x) (โดยที่ f(x)DIV_ADBLOCK243">

ลองคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งโดยใช้สูตรถ้าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่บนแกน x หรือใช้สูตร https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width ="526" ความสูง="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

ในการค้นหาปริมาตรของตัวการหมุนที่เกิดจากการหมุนของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกน Ox ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นหัก y=f(x) แกน Ox เส้นตรง x=a และ x=b เราคำนวณ โดยใช้สูตร

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.ปริมาตรกระบอกสูบ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">จะได้กรวยโดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC (C = 90) รอบแกน Ox ที่ขา AC อยู่

ส่วน AB อยู่บนเส้นตรง y=kx+c โดยที่ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">

ให้ a=0, b=H (H คือความสูงของกรวย) จากนั้น Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

กรวยที่ถูกตัดทอนสามารถรับได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (CDOx) รอบแกน Ox

ส่วน AB อยู่บนเส้นตรง y=kx+c โดยที่ , ค=ร.

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด A (0;r)

ดังนั้น เส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้ https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

ให้ a=0, b=H (H คือความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน) จากนั้น https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. ปริมาตรของลูกบอล

สามารถรับลูกบอลได้โดยหมุนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (0;0) รอบแกนวัว ครึ่งวงกลมที่อยู่เหนือแกน Ox จะได้จากสมการ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

นอกจาก การหาพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน การประยุกต์ใช้หัวข้อที่สำคัญที่สุดคือ การคำนวณปริมาตรของตัวการปฏิวัติ. เนื้อหานั้นเรียบง่าย แต่ผู้อ่านต้องเตรียม: คุณต้องสามารถแก้ไขได้ อินทิกรัลไม่ จำกัด มีความซับซ้อนปานกลาง และใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซเข้า อินทิกรัลที่แน่นอน . เช่นเดียวกับปัญหาในการหาพื้นที่คุณต้องมีทักษะในการวาดภาพอย่างมั่นใจซึ่งเกือบจะเป็นสิ่งที่สำคัญที่สุด (เนื่องจากอินทิกรัลมักจะเป็นเรื่องง่าย) คุณสามารถเชี่ยวชาญเทคนิคการสร้างกราฟที่มีความสามารถและรวดเร็วด้วยความช่วยเหลือจากเนื้อหาด้านระเบียบวิธี . แต่อันที่จริงฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับความสำคัญของการวาดภาพหลายครั้งในชั้นเรียนแล้ว .

โดยทั่วไป มีการประยุกต์ที่น่าสนใจมากมายในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เมื่อใช้อินทิกรัลจำกัด คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูป ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุนได้ ความยาวของส่วนโค้ง พื้นที่ผิวของ ร่างกายและอีกมากมาย มันจะสนุกนะ ขอให้มองโลกในแง่ดี!

ลองนึกภาพรูปร่างแบนๆ บนระนาบพิกัด แนะนำ? ... สงสัยว่าใครนำเสนออะไร... =))) เราเจอพื้นที่แล้ว แต่นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ยังสามารถหมุนและหมุนได้สองวิธี:

– รอบแกน x; – รอบแกนพิกัด

บทความนี้จะตรวจสอบทั้งสองกรณี การหมุนวิธีที่สองนั้นน่าสนใจเป็นพิเศษ โดยทำให้เกิดความยากมากที่สุด แต่จริงๆ แล้ววิธีแก้ปัญหาก็เกือบจะเหมือนกับการหมุนรอบแกน x ทั่วไป เป็นโบนัสฉันจะกลับไป ปัญหาการหาพื้นที่ของรูป และฉันจะบอกวิธีหาพื้นที่ด้วยวิธีที่สอง - ตามแนวแกน มันไม่ได้ให้โบนัสมากนักเพราะเนื้อหาเข้ากับหัวข้อได้ดี

เริ่มจากประเภทการหมุนที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกันก่อน

การคำนวณปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรูปร่างแบนรอบแกน

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนรูปที่มีขอบเขตด้วยเส้นรอบแกน

สารละลาย:เช่นเดียวกับปัญหาการหาพื้นที่ วิธีแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการวาดรูปแบน. นั่นคือบนเครื่องบิน จำเป็นต้องสร้างรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น และอย่าลืมว่าสมการระบุแกน วิธีการวาดภาพให้เสร็จอย่างมีประสิทธิภาพและรวดเร็วยิ่งขึ้นสามารถพบได้ในหน้าต่างๆ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น และ อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป . นี่เป็นคำเตือนของจีน และ ณ จุดนี้ ฉันจะไม่อยู่อีกต่อไป

การวาดภาพที่นี่ค่อนข้างง่าย:

รูปทรงแบนที่ต้องการจะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงินซึ่งเป็นสิ่งที่หมุนรอบแกน จากผลของการหมุน ผลลัพธ์ที่ได้คือจานบินทรงรีเล็กน้อยซึ่งมีความสมมาตรรอบแกน ที่จริงแล้วร่างกายมีชื่อทางคณิตศาสตร์ แต่ฉันขี้เกียจเกินกว่าจะดูในหนังสืออ้างอิง ดังนั้นเราจึงเดินหน้าต่อไป

จะคำนวณปริมาตรของตัวปฏิวัติได้อย่างไร?

ปริมาตรของตัวการปฏิวัติสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ลองคำนวณปริมาตรของการหมุนโดยใช้สูตรนี้:

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ คุณต้องระบุมิติ - หน่วยลูกบาศก์ นั่นคือในร่างกายการหมุนของเรามี "ลูกบาศก์" ประมาณ 3.35 ทำไมต้องลูกบาศก์ หน่วย? เพราะเป็นสูตรสากลที่สุด อาจมีลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์เมตร ลูกบาศก์กิโลเมตร ฯลฯ นั่นคือจำนวนคนสีเขียวที่คุณจินตนาการใส่ในจานบินได้

ตัวอย่างที่ 2

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ลองพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนอีกสองปัญหาซึ่งมักพบในทางปฏิบัติเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

เราใช้สูตรมาตรฐานเพื่อหาปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน:

1) รูปที่วงกลมสีแดงมีเส้นตรงล้อมรอบด้านบน ดังนั้น:

2) รูปที่วงกลมสีเขียวมีเส้นตรงล้อมรอบด้านบน ดังนั้น:

3) ปริมาตรของตัวการหมุนที่ต้องการ:

คำตอบ:

การตัดสินใจมักจะเขียนให้สั้นลง บางอย่างเช่นนี้

หลังจากการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ก็เหมาะสมที่จะแก้ไขงานสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 4

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โปรดทราบว่าทุกสิ่งเกิดขึ้นในวงดนตรี กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีการจำกัดขอบเขตของการบูรณาการที่เตรียมไว้ในทางปฏิบัติแล้ว พยายามวาดกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างถูกต้องด้วย หากอาร์กิวเมนต์ถูกหารด้วยสอง: กราฟจะยืดออกสองครั้งตามแนวแกน พยายามหาให้ได้อย่างน้อย 3-4 จุด ตามตารางตรีโกณมิติ และวาดภาพให้สมบูรณ์แม่นยำยิ่งขึ้น เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน อย่างไรก็ตามงานสามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมากนัก