งาน 12.

แก้เป็นจำนวนเต็ม 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.

สารละลาย.

หากคุณพยายามแก้สมการนี้โดยการแยกตัวประกอบ นี่เป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลานาน ดังนั้นสมการนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการที่หรูหรากว่า พิจารณาสมการเป็น ญาติสี่เหลี่ยมเกี่ยวกับ x 5x² + (8y-2 .) )x+5y²+2y+2=0 , x1.2 \u003d (1 - 4y ± √ (1 - 4y) ² - 5 (5y² + 2y + 2)) / 5 \u003d (1 - 4y ± √ -9(y + 1)²)/5.

สมการนี้มีคำตอบเมื่อการจำแนกเป็นศูนย์ กล่าวคือ –9(y + 1) = 0, เพราะฉะนั้น y = -1. ถ้า y = -1, แล้ว x=1.

ตอบ.

ภารกิจที่ 13

แก้เป็นจำนวนเต็ม 3(x² + xy + y²) = x + 8y

สารละลาย.

พิจารณาสมการเป็นกำลังสองเทียบกับ x 3x ² + (3y - 1) x + 3y² - 8y \u003d 0มาหาความแตกต่างของสมการกัน D \u003d \u003d (3y - 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) \u003d 9y2 - 6y + 1 - 36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

ที่ให้ไว้ สมการความคิดมีรากเหง้า ถ้าD³0, เช่น. –27y² + 90y + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 - √2052)/ (-27)(4)

เพราะ н Z, แล้วเงื่อนไข (4) เป็นที่พอใจเท่านั้น 0, 1, 2, 3 . เมื่อผ่านค่าเหล่านี้ เราจะได้สมการที่เป็นจำนวนเต็มมีคำตอบ (0; 0) และ (1; 1) .

ตอบ.

(0; 0) , (1; 1) .

งาน 14.

แก้สมการ 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0

สารละลาย.

พิจารณาสมการนี้เป็นสมการกำลังสองเทียบกับ Xโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับ y, 5x² - 2(y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0

ค้นหาหนึ่งในสี่ของการเลือกปฏิบัติ D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

สมการมีคำตอบก็ต่อเมื่อ -(3y - 2)² = 0, นี่หมายความว่า y = ⅔,แล้วเราจะพบว่า x = ⅓

ตอบ.

(⅓; ⅔).

วิธีที่เหลือ

งาน 15.

แก้เป็นจำนวนเต็ม 3ª = 1 + y²

สารละลาย.

เป็นที่ชัดเจนว่า (0; 0) คือคำตอบของสมการนี้ ให้เราพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่น

พิจารณากรณี:

1) x О N, y О N(5)

ถ้า x โอ นู๋, แล้ว 3ªแบ่งโดย 3 ไร้ร่องรอยและ y² + 1เมื่อหารด้วย 3 ให้ส่วนที่เหลือด้วย 1 , หรือ 2 . ดังนั้น ความเสมอภาค (5) สำหรับคุณค่าธรรมชาติ Xและ ที่เป็นไปไม่ได้.

2) ถ้า Xเป็นจำนวนเต็มลบ y О Z,แล้ว 0<3ª<1, แต่ 1+y²³0และความเท่าเทียมกัน (5) ก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น (0; 0) จึงเป็นทางออกเดียว

ตอบ.

งาน 16 .

พิสูจน์ว่าระบบสมการ

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย.

สมมติว่าระบบเปิดใช้งานอยู่ จากสมการที่สอง z²=2y+1,เช่น. z²–เลขคี่และ z- คี่ มันหมายความว่า z=2m+1. แล้ว y²+2m²+2m ,วิธี, ปี² -เลขคู่ ที่- สม่ำเสมอ, y = 2n, n Î Z.

x²=8n³+7,เช่น. x² -เลขคี่และ เอ็กซ์ -เลขคี่ х=2k+1, k О Z.

แทนค่า Xและ ที่ในสมการแรก เราจะได้ 2(k² + k - 2n³) = 3,ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะด้านซ้ายหารด้วย 2 แต่อันที่ถูกต้องไม่ใช่

ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง กล่าวคือ ระบบไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

วิธีการสืบเชื้อสายอนันต์

การแก้สมการโดยวิธี infinite descent ดำเนินการตามรูปแบบต่อไปนี้: สมมติว่าสมการมีคำตอบ เราสร้างกระบวนการที่ไม่สิ้นสุดบางส่วน ในขณะที่ตามความหมายของปัญหา กระบวนการนี้จะต้องสิ้นสุดที่ใดที่หนึ่ง

มักจะใช้วิธีการโคตรไม่สิ้นสุดในรูปแบบที่ง่ายกว่า สมมติว่าเรามาถึงจุดสิ้นสุดตามธรรมชาติแล้ว เราจะเห็นว่าเราไม่สามารถ “หยุด” ได้

งาน 17.

แก้เป็นจำนวนเต็ม 29x + 13y + 56z = 17 (6)

เราแสดงค่าที่ไม่รู้จัก ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าน้อยที่สุด โดยผ่านค่าที่ไม่ทราบค่าที่เหลือ

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

หมายถึง (4-3x-4z)/13=t1(8)

จาก (7) เป็นไปตามนั้น t1รับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น จาก (8) เรามี 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

เราได้สมการไดโอแฟนไทน์ใหม่ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่าใน (6) เราใช้การพิจารณาเดียวกันกับ (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2- ทั้งหมด, 3t2+t1+z = 1(10)

ใน (10) สัมประสิทธิ์ ที่ z– ไม่ทราบสมการเดิมเท่ากับ 1 - นี่คือจุดสุดท้ายของ "โคตร" ตอนนี้เราแสดงอย่างต่อเนื่อง z, x, yข้าม t1และ t2.

ì z = -t1 - 3t2 + 1

í x = 1 - 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

ดังนั้น, ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 - 3t2 + 1

t1, t2- จำนวนเต็มใด ๆ - คำตอบจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ (6)

งาน 18.

แก้เป็นจำนวนเต็ม x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

สารละลาย.

จะเห็นได้ว่าด้านซ้ายของสมการ (11) ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ ดังนั้น การตรวจสอบลักษณะของจำนวนเต็ม x³=3(y³-z³).ตัวเลข x³หลายรายการ 3 , ดังนั้นจำนวน Xหลายรายการ 3 , เช่น. x = 3x1(12) ทดแทน (12) เป็น (11) 27x1³-3y³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³)แล้ว y³หลายรายการ 3 ซึ่งหมายถึงและ ที่หลายรายการ 3 , เช่น. y=3y1(สิบสี่). แทนที่ (14) เป็น (13) 9х1³ -27y1³ - 3z³=0. จากสมการนี้ จะได้ว่า z³หลายรายการ 3, และด้วยเหตุนี้ zหลายรายการ 3 , เช่น. z=3z1.

เลยกลายเป็นว่าจำนวนที่ตรงกับสมการ (11) นั้นคูณกันสาม และเราจะไม่หารมันด้วยกี่ครั้ง 3 เราได้รับตัวเลขที่เป็นทวีคูณของสาม จำนวนเต็มเดียวที่ตรงกับสาม จำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเป็นศูนย์ นั่นคือ คำตอบของสมการนี้ (0; 0; 0)

ไฮน์ริช จี.เอ็น. FMSh No. 146, Perm

54 ≡ 6 × 5 ≡ 2 (สมัย 7)

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(สมัย 7) 56 3× 5 ≡ 1(สมัย 7)

การเพิ่มกำลัง k เราจะได้ 56k ≡ 1(mod 7) สำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ ดังนั้น 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7)

(ในทางเรขาคณิต ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าเราหมุนรอบวงกลม เริ่มตั้งแต่ 5 รอบเก้าสิบสอง และอีกสามรอบ) ดังนั้นจำนวน 222555 ให้เศษ 6 เมื่อหารด้วย 7

แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า หนึ่งในหัวข้อที่น่าสนใจของคณิตศาสตร์คือการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ หัวข้อนี้มีการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 และชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 และ 11

สมการใดๆ ที่ต้องแก้เป็นจำนวนเต็มเรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์ ที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบ axe + โดย \u003d c โดยที่ a, b และ cÎ Z. เมื่อแก้สมการนี้ จะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ax+by=c โดยที่ a, b และ cÎ ​​Z มีคำตอบก็ต่อเมื่อ c หารด้วย gcd ของตัวเลข a และ b ลงตัว ถ้า d=gcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d และ (x0 , y0 ) เป็นคำตอบของสมการ ax+by=c ดังนั้นคำตอบทั้งหมดจะได้รับโดย x= x0 +b1 t, y=y0 –a1 t โดยที่ t เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ

1. แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม:

	3xy–6x2 = y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y–x–xy=2;
	2x2 + xy = x + 7;		3xy+2x+3y=0;
	х2 –xy–х+y=1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4

๒. พิจารณางานต่อไปนี้ร่วมกับบัณฑิตเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้

หนึ่ง). แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม: xy + 3y + 2x + 6 = 13 สารละลาย:

ให้เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ เราได้รับ:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

ตั้งแต่ x,yO Z เราได้รับชุดของระบบสมการ:

ไฮน์ริช จี.เอ็น.

	ม x +
	ม x +
	ม x +
ê x +

FMSh No. 146, Perm

		ม x =
		ม x =
		ม x =
	ê ì x =

คำตอบ: (-2; 11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)

2). แก้สมการในจำนวนธรรมชาติ: 3x + 4y \u003d 5z

เก้า). จงหาคู่ของจำนวนนับธรรมชาติ m และ n ที่ค่าเท่ากัน 3m +7=2n เป็นจริง

10). หาจำนวนเต็มสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ k, m และ n ที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1

สิบเอ็ด) สมาชิกทั้งหมดของลำดับจำกัดเป็นจำนวนธรรมชาติ สมาชิกแต่ละตัวในซีเควนซ์นี้ โดยเริ่มจากวินาทีนั้น ใหญ่กว่า 14 เท่าหรือเล็กกว่าอันก่อน 14 เท่า ผลรวมของพจน์ทั้งหมดในลำดับคือ 4321

ค) ลำดับสามารถมีพจน์ได้จำนวนมากที่สุดเท่าใด สารละลาย:

a) ให้ a1 = x จากนั้น a2 = 14x หรือ a1 = 14x จากนั้น a2 = x จากนั้นตามเงื่อนไข a1 + a2 = 4321 เราได้รับ: x + 14x = 4321, 15x = 4321 แต่ 4321 ไม่ใช่ผลคูณของ 15 ซึ่งหมายความว่าไม่มีสมาชิกสองคนในลำดับ

b) ให้ a1 =x จากนั้น a2 = 14x, a3 =x หรือ 14x+x+14x=4321 หรือ x+14x+x=4321 29x=4321 จากนั้น x=149, 14x=2086 ลำดับจึงสามารถมีสมาชิกได้สามคน ในกรณีที่สอง 16x=4321 แต่แล้ว x ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ

ไม่มีคำตอบ; B: ใช่; ค) 577

ไฮน์ริช จี.เอ็น.

FMSh No. 146, Perm

12). สมาชิกทั้งหมดของลำดับจำกัดเป็นจำนวนธรรมชาติ สมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้ เริ่มด้วยวินาทีหรือใน 10 มากกว่าเดิม หรือ 10 เท่า ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดในลำดับคือ 1860

ก) ลำดับสามารถมีเงื่อนไขสองคำได้หรือไม่? b) ลำดับสามารถมีสามเทอมได้หรือไม่?

ค) ลำดับสามารถมีพจน์ได้จำนวนมากที่สุดเท่าใด

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการหารลงตัวของจำนวนเต็มและพิจารณาปัญหาในหัวข้อนี้ได้อย่างไม่รู้จบ ฉันพยายามพิจารณาหัวข้อนี้ในลักษณะที่นักเรียนสนใจมากขึ้น เพื่อแสดงความสวยงามของคณิตศาสตร์จากมุมมองนี้

ไฮน์ริช จี.เอ็น.

FMSh No. 146, Perm

บรรณานุกรม:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. วิธีแก้ไขงานที่ไม่ได้มาตรฐาน Moscow MCNMO 2001

2. อ.วี. สปิวัก. ภาคผนวกของวารสาร Kvant No. 4/2000 วันหยุดทางคณิตศาสตร์, มอสโก 2000

3. อ.วี. สปิวัก. วงกลมคณิตศาสตร์ "การหว่าน" พ.ศ. 2546

4. เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กวังเมืองแห่งความคิดสร้างสรรค์ของเยาวชน วงกลมคณิตศาสตร์ หนังสือปัญหาปีแรกปีที่สองของการศึกษา เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. 2536

5. พีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนพร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก แก้ไขโดย N.Ya.Vilenkin. มอสโก, 1995

6. ม.ล.กาลิทสกี้, อ.เอ็ม.โกลด์แมน, ล.ไอ.ซวาวิช การรวบรวมปัญหาในพีชคณิตสำหรับ 8-9 เกรด หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนพร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก มอสโก, การตรัสรู้. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนพร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก มอสโก, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK คณิตศาสตร์พีชคณิต จุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ระดับโปรไฟล์ หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 มอสโก บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้ 2552

9. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev, T.A.Oleynik, T.V.Sokolova UMK คณิตศาสตร์พีชคณิต จุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมุดงานระดับโปรไฟล์สำหรับเกรด 11 มอสโก บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้ 2552

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Mathematics. รวบรวมการทดสอบตามแผน EGE 2010

11. USE-2010. "ลีเจียน-เอ็ม" Rostov-on-Don 2009

12. EGE EMC “คณิตศาสตร์ การเตรียมตัวสอบ. แก้ไขโดย F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov เตรียมความพร้อมใช้-2011. "ลีเจียน-เอ็ม" Rostov-on-Don 2010

13. UMK “คณิตศาสตร์ยูเอส-2010". แก้ไขโดย F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov การเตรียมคณิตศาสตร์สำหรับ USE-2010 การทดสอบการฝึกอบรม "ลีเจียน-เอ็ม" Rostov-on-Don 2009

14. FIPI ใช้ สื่อสากลสำหรับการเตรียมนักเรียน คณิตศาสตร์ 2010 Intellect Center 2010

15. A.Zh.Zhafarov. คณิตศาสตร์. USE-2010 ให้คำปรึกษาด่วน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยไซบีเรีย, 2010

ข้อความของงานถูกวางไว้โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มของงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

บทนำ.

วัตถุประสงค์ของการศึกษา

งานวิจัยนี้เกี่ยวข้องกับสาขาทฤษฎีจำนวนที่น่าสนใจที่สุดสาขาหนึ่ง นั่นคือ การแก้สมการในจำนวนเต็ม

หัวข้อการศึกษา.

การแก้ปัญหาในจำนวนเต็มของสมการพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในมากกว่าหนึ่งที่ไม่รู้จักเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดและเก่าแก่และไม่ได้แสดงอย่างลึกซึ้งเพียงพอในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ในงานของฉัน ฉันจะนำเสนอการวิเคราะห์สมการที่เป็นจำนวนเต็มอย่างเป็นธรรม การจำแนกประเภทของสมการเหล่านี้ตามวิธีการแก้ คำอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการ ตลอดจนตัวอย่างการใช้งานจริงของแต่ละวิธี การแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

เป้า.

เรียนรู้วิธีแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

งาน:

ศึกษาวรรณกรรมเพื่อการศึกษาและอ้างอิง

รวบรวมเนื้อหาทางทฤษฎีเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการ

วิเคราะห์อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้

อธิบายวิธีแก้ปัญหา

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการโดยใช้วิธีการเหล่านี้

สมมติฐาน:

ต้องเผชิญกับสมการเป็นจำนวนเต็มในงานโอลิมปิก ฉันคิดว่าความยากลำบากในการแก้ปัญหานั้นเกิดจากการที่ฉันไม่รู้จักวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

ความเกี่ยวข้อง:

เมื่อแก้ไขตัวแปรโดยประมาณของงาน USE ฉันสังเกตว่ามักจะมีงานสำหรับการแก้สมการของดีกรีหนึ่งและสองในจำนวนเต็ม นอกจากนี้ งานโอลิมปิกระดับต่างๆ ยังมีสมการเป็นจำนวนเต็มหรือปัญหาที่แก้ได้โดยใช้ทักษะในการแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม ความสำคัญของการรู้วิธีแก้สมการในจำนวนเต็มเป็นตัวกำหนดความเกี่ยวข้องของงานวิจัยของฉัน

วิธีการวิจัย

การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและการวางนัยทั่วไปของข้อมูลจากวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับสมการในจำนวนเต็ม

การจำแนกสมการเป็นจำนวนเต็มตามวิธีการแก้ปัญหา

การวิเคราะห์และการวางนัยทั่วไปของวิธีการแก้สมการในจำนวนเต็ม

ผลการวิจัย

บทความนี้จะอธิบายวิธีการแก้สมการ พิจารณาเนื้อหาทางทฤษฎีของทฤษฎีบทแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัลกอริธึมของยุคลิด นำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาและสมการระดับความซับซ้อนต่างๆ

2.ประวัติสมการเป็นจำนวนเต็ม

Diophantus - นักวิทยาศาสตร์ - นักพีชคณิตของกรีกโบราณตามแหล่งข้อมูลบางแห่งเขาอาศัยอยู่จนถึง 364 AD อี เขาเชี่ยวชาญในการแก้ปัญหาเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นชื่อสมการไดโอแฟนไทน์ ที่มีชื่อเสียงที่สุดซึ่งแก้ไขโดย Diophantus คือปัญหาของ "การย่อยสลายเป็นสองช่อง" เทียบเท่ากับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี ชีวิตและการทำงานของ Diophantus ดำเนินไปใน Alexandria เขารวบรวมและแก้ไขปัญหาที่รู้จักและคิดค้นใหม่ ต่อมาก็รวมเข้าด้วยกันเป็นงานใหญ่ที่เรียกว่าเลขคณิต จากหนังสือ 13 เล่มที่ประกอบเป็นเลขคณิต มีเพียง 6 เล่มเท่านั้นที่รอดชีวิตมาได้จนถึงยุคกลางและกลายเป็นที่มาของแรงบันดาลใจสำหรับนักคณิตศาสตร์ในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา เลขคณิตของ Diophantus คือชุดของปัญหาซึ่งแต่ละเล่มมีวิธีแก้ปัญหาและคำอธิบายที่จำเป็น คอลเล็กชันนี้รวมถึงปัญหาต่างๆ นานา และวิธีแก้ปัญหามักมีความเฉลียวฉลาดมาก ไดโอแฟนทัสสนใจเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกและตรรกยะเท่านั้น เขาเรียกวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ลงตัวว่า "เป็นไปไม่ได้" และเลือกสัมประสิทธิ์อย่างรอบคอบเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นบวกและมีเหตุผลที่ต้องการ

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ใช้เพื่อแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม ประวัติความเป็นมาของการพิสูจน์นั้นค่อนข้างน่าสนใจทีเดียว นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนทำงานเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่อย่างสมบูรณ์ และความพยายามเหล่านี้นำไปสู่ผลลัพธ์มากมายในทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ เป็นที่เชื่อกันว่าทฤษฎีบทเป็นอันดับแรกในแง่ของจำนวนการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้อง

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อปิแอร์ แฟร์มาต์ กล่าวว่าสมการสำหรับจำนวนเต็ม n ≥ 3 ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก x, y, z (xyz = 0 ถูกแยกออกจากค่าบวกของ x, y, z สำหรับกรณี n = 3 ทฤษฎีบทนี้ถูกทดลองในศตวรรษที่ X ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียกลาง al-Khojandi แต่ข้อพิสูจน์ของเขายังไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ ต่อมาภายหลังแฟร์มาต์เองก็ได้ตีพิมพ์หลักฐานของกรณีเฉพาะสำหรับ n = 4

ออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1770 ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณี n = 3, Dirichlet และ Legendre ในปี 1825 สำหรับ n = 5, Lame สำหรับ n = 7 Kummer แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมด n ที่น้อยกว่า 100 ยกเว้น 37 , 59, 67.

ในช่วงปี 1980 แนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาได้เกิดขึ้น จากการคาดเดาของ Mordell ซึ่งพิสูจน์โดย Faltings ในปี 1983 ได้สมการดังนี้

สำหรับ n > 3 สามารถมีโซลูชัน coprime ได้จำนวนจำกัด

ขั้นตอนสุดท้ายแต่สำคัญที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทถูกดำเนินการในเดือนกันยายน 1994 โดย Wiles หลักฐาน 130 หน้าของเขาถูกตีพิมพ์ใน Annals of Mathematics หลักฐานนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Gerhard Frey ว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat เป็นผลมาจากสมมติฐาน Taniyama-Shimura (สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Ken Ribet ด้วยการมีส่วนร่วมของ J.-P. Serra) Wiles ตีพิมพ์ครั้งแรก รุ่นของการพิสูจน์ของเขาในปี 1993 (หลังจาก 7 ปีของการทำงานหนัก) แต่ในไม่ช้าก็มีการค้นพบช่องว่างร้ายแรงในนั้น ด้วยความช่วยเหลือของ Richard Lawrence Taylor ช่องว่างถูกปิดอย่างรวดเร็ว รุ่นสุดท้ายเผยแพร่ในปี 2538 15 มีนาคม 2016 Andrew Wiles ได้รับรางวัล Abel Prize ปัจจุบันเบี้ยประกันภัยอยู่ที่ 6 ล้านโครนนอร์เวย์ นั่นคือประมาณ 50 ล้านรูเบิล ตามคำกล่าวของ Wiles รางวัลนี้เป็น "เซอร์ไพรส์ที่สมบูรณ์" สำหรับเขา

3.สมการเชิงเส้นในจำนวนเต็ม

สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่ง่ายที่สุดของสมการไดโอแฟนไทน์ทั้งหมด

สมการของรูปแบบ ax=b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว และ x เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบตัวเดียว จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการจำนวนเต็มเท่านั้น จะเห็นได้ว่าถ้า ≠ 0 สมการจะมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัวและคำตอบนี้คือ x = b / f ถ้า a=0 สมการจะมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเมื่อ b=0 และในกรณีนี้ x เป็นจำนวนใดๆ

เพราะ 12 หารด้วย 4 ลงตัวแล้ว

เพราะ a=o และ b=0 ดังนั้น x คือตัวเลขใดๆ

เพราะ 7 หารด้วย 10 ไม่ลงตัว จึงไม่มีคำตอบ.

4. วิธีการระบุตัวเลือก.

ในวิธีการแจงนับตัวเลือก จำเป็นต้องคำนึงถึงสัญญาณของการหารตัวเลขด้วย เพื่อพิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อความเท่าเทียมกันของการแจงนับขั้นสุดท้าย วิธีนี้สามารถใช้แก้ปัญหาเหล่านี้ได้:

№1 หาเซตของจำนวนธรรมชาติทุกคู่ที่เป็นคำตอบของสมการ 49x+69y=602

เราแสดงจากสมการ x =,

เพราะ x และ y เป็นตัวเลขธรรมชาติ จากนั้น x = ≥ 1 คูณสมการทั้งหมดด้วย 49 เพื่อกำจัดตัวส่วน:

ย้าย 602 ไปทางด้านซ้าย:

51y ≤ 553 แสดง y, y= 10

การแจงนับตัวเลือกที่สมบูรณ์แสดงให้เห็นว่าคำตอบตามธรรมชาติของสมการคือ x=5, y=7

คำตอบ: (5,7).-

№2 แก้ปัญหา

จากตัวเลข 2, 4, 7 ควรทำตัวเลขสามหลักโดยไม่สามารถทำซ้ำตัวเลขเดียวได้เกินสองครั้ง

มาหาเลขสามหลักที่ขึ้นต้นด้วยเลข 2 กัน (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) มีทั้งหมด 8 ตัว

ในทำนองเดียวกัน เราจะพบตัวเลขสามหลักทั้งหมดที่ขึ้นต้นด้วยตัวเลข 4 และ 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477)

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - แต่ละหมายเลขมี 8 หมายเลข มีเพียง 24 เบอร์เท่านั้น

คำตอบ: วันที่ 24

5. เศษส่วนต่อเนื่องและอัลกอริทึมของยุคลิด

เศษส่วนต่อเนื่องคือนิพจน์ของเศษส่วนธรรมดาในรูปแบบ

โดยที่ q 1 เป็นจำนวนเต็ม และ q 2 , … ,qn เป็นจำนวนธรรมชาติ นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่อง (ต่อเนื่องจำกัด) มีเศษส่วนต่อเนื่องที่มีจำกัดและไม่มีที่สิ้นสุด

สำหรับจำนวนตรรกยะ เศษส่วนต่อเนื่องมีรูปแบบจำกัด นอกจากนี้ ลำดับ a i คือลำดับของผลหารที่ได้มาจากการใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดกับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

การแก้สมการที่มีเศษส่วนต่อเนื่อง ฉันรวบรวมอัลกอริธึมการกระทำทั่วไปสำหรับวิธีการแก้สมการนี้เป็นจำนวนเต็ม

อัลกอริทึม

1) รวบรวมอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าไม่ทราบค่าในรูปของเศษส่วน

2) แปลงนิพจน์เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

3) เลือกส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

4) แทนที่เศษส่วนที่เหมาะสมด้วยเศษส่วนเท่ากัน

5) ทำ 3.4 ด้วยเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องที่ได้รับในตัวส่วน

6) ทำซ้ำ 5 จนได้ผลลัพธ์

7) ในนิพจน์ผลลัพธ์ ให้ทิ้งลิงก์สุดท้ายของเศษส่วนต่อเนื่อง เปลี่ยนเศษส่วนต่อเนื่องใหม่ที่เป็นผลลัพธ์เป็นเศษส่วนธรรมดา แล้วลบออกจากเศษส่วนเดิม

ตัวอย่าง#1 แก้สมการ 127x- 52y+ 1 = 0 เป็นจำนวนเต็ม

ให้เราแปลงอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ในส่วนที่ไม่รู้จัก

ก่อนอื่น เราเลือกส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม = 2 +

แทนที่เศษส่วนที่เหมาะสมด้วยเศษส่วนเท่ากัน

โดยที่ = 2+

ลองทำการแปลงแบบเดียวกันกับเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมที่ได้รับในตัวส่วนกัน

ตอนนี้เศษส่วนดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ: ทำซ้ำเหตุผลเดียวกันกับเศษส่วน เราจะได้

เราได้นิพจน์ที่เรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่องสุดท้ายหรือต่อเนื่อง หลังจากทิ้งลิงค์สุดท้ายของเศษส่วนต่อเนื่องนี้ - หนึ่งในห้า เราเปลี่ยนเศษส่วนต่อเนื่องใหม่ที่เป็นผลลัพธ์ให้กลายเป็นเศษส่วนธรรมดาแล้วลบออกจากเศษส่วนดั้งเดิม:

ให้เรานำนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไปยังตัวส่วนร่วมแล้วละทิ้ง

เหตุใด 127∙9-52∙22+1=0 เปรียบเทียบความเท่าเทียมกันที่ได้รับกับสมการ 127x- 52y+1 = 0 ตามด้วย x= 9, y= 22 เป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม และตามทฤษฎีบท คำตอบทั้งหมดจะอยู่ในลำดับขั้น x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , โดยที่ t=(0; ±1; ±2....). , ละทิ้งลิงค์สุดท้ายและทำการคำนวณคล้ายกับที่ให้ไว้ด้านบน

เพื่อพิสูจน์สมมติฐานนี้ เราจะต้องมีคุณสมบัติของเศษส่วนต่อเนื่อง

พิจารณาเศษส่วนที่ลดไม่ได้ แทนด้วย q 1 ผลหารและโดย r 2 เศษที่เหลือของการหาร a ด้วย b จากนั้นเราได้รับ:

จากนั้น b=q 2 r 2 +r 3 ,

คล้ายกัน

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

ปริมาณ q 1 , q 2 ,… เรียกว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ กระบวนการข้างต้นของการสร้างผลหารที่ไม่สมบูรณ์เรียกว่า อัลกอริทึมของยุคลิด. เศษที่เหลือจากการหาร r 2 , r 3 ,…สนองความไม่เท่าเทียมกัน

เหล่านั้น. สร้างชุดของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่ลดลง

ตัวอย่าง #2 แก้สมการ 170x+190y=3000 เป็นจำนวนเต็ม

หลังจากลดลง 10 สมการจะเป็นดังนี้

ในการหาคำตอบเฉพาะ เราใช้การขยายเศษส่วนเป็นเศษส่วนต่อเนื่อง

ได้ยุบเศษส่วนสุดท้ายที่เหมาะสมให้เป็นสามัญ

คำตอบเฉพาะของสมการนี้มีรูปแบบ

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

และทั่วไปถูกกำหนดโดยสูตร

x=2700-19k, y=-2400+17k.

ดังนั้นเราจึงได้รับเงื่อนไขในพารามิเตอร์ k

เหล่านั้น. k=142, x=2, y=14. .

6. วิธีการแฟคตอริ่ง

วิธีการแจงนับตัวเลือกเป็นวิธีที่ไม่สะดวก เนื่องจากมีบางกรณีที่ไม่สามารถหาคำตอบที่สมบูรณ์ได้โดยการแจงนับ เนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุด วิธีการแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคที่น่าสนใจมากและพบได้ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาและระดับอุดมศึกษา

สาระสำคัญประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน ความหมายของการแปลงที่เหมือนกันคือการเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่นโดยคงไว้ซึ่งสาระสำคัญ พิจารณาตัวอย่างการใช้วิธีนี้

№1 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม y 3 - x 3 = 91.

โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ เราแบ่งด้านขวาของสมการเป็นตัวประกอบ:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

เราเขียนตัวหารทั้งหมดของหมายเลข 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

โปรดทราบว่าสำหรับจำนวนเต็ม x และ y ใด ๆ ตัวเลข

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

ดังนั้นปัจจัยทั้งสองทางด้านซ้ายของสมการจึงต้องเป็นบวก จากนั้นสมการเดิมจะเท่ากับเซตของระบบสมการ:

เมื่อแก้ระบบแล้ว เราเลือกรากที่เป็นจำนวนเต็ม

เราได้คำตอบของสมการดั้งเดิม: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

คำตอบ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 หาคู่ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ตรงกับสมการ x 2 -y 2 = 69

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วเขียนสมการเป็น

เพราะ ตัวหารของหมายเลข 69 คือตัวเลข 1, 3, 23 และ 69 จากนั้น 69 หาได้สองวิธี: 69=1 69 และ 69=3 23 เมื่อพิจารณาว่า x-y > 0 เราจะได้สมการสองระบบ โดยการแก้สมการหาตัวเลขที่ต้องการได้:

เมื่อแสดงตัวแปรหนึ่งตัวและแทนที่ลงในสมการที่สอง เราจะพบ รากของสมการ ระบบแรกมีคำตอบ x=35;y=34 และระบบที่สองมีคำตอบ x=13, y=10

คำตอบ: (35; 34), (13; 10)

№3 แก้สมการ x + y \u003d xy เป็นจำนวนเต็ม:

เราเขียนสมการในรูป

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน รับ

ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนสามารถเท่ากับ 1 ในสองกรณีเท่านั้น: หากทั้งคู่มีค่าเท่ากับ 1 หรือ -1 เราได้รับสองระบบ:

ระบบแรกมีคำตอบ x=2, y=2 และระบบที่สองมีคำตอบ x=0, y=0 คำตอบ: (2; 2), (0; 0)

№4 พิสูจน์ว่าสมการ (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการและหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3 ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

ตัวหารของ 10 คือตัวเลข ±1, ±2, ±5, ±10 สังเกตว่าผลรวมของตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการเท่ากับ 0 ง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลรวมของตัวเลขสามตัวใดๆ จากเซตของตัวหารของเลข 10 ที่ให้ 10 ในผลคูณจะไม่ เท่ากับ 0 ดังนั้น สมการเดิมจึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

7. วิธีการตกค้าง

งานหลักของวิธีนี้คือการหาส่วนที่เหลือของการหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวนเต็ม โดยพิจารณาจากผลลัพธ์ที่ได้ บ่อยครั้งที่ข้อมูลที่ได้รับลดความเป็นไปได้ของชุดคำตอบของสมการ พิจารณาตัวอย่าง:

№1 พิสูจน์ว่าสมการ x 2 = 3y + 2 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

การพิสูจน์.

พิจารณากรณีที่ x, y ∈ N. พิจารณาเศษของทั้งสองข้างหารด้วย 3 ทางด้านขวาของสมการจะได้เศษ 2 เมื่อหารด้วย 3 สำหรับค่าใดๆ ของ y ด้านซ้ายซึ่งเป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ เมื่อหารด้วย 3 จะให้เศษเหลือ 0 หรือ 1 เสมอ จากข้อมูลนี้ เราสรุปได้ว่าไม่มีคำตอบสำหรับสมการนี้เป็นจำนวนธรรมชาติ

พิจารณากรณีที่ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 0 เห็นได้ชัดว่าไม่มีคำตอบในจำนวนเต็ม

กรณีที่ y เป็นจำนวนเต็มลบไม่มีคำตอบเพราะ ด้านขวาจะเป็นค่าลบและด้านซ้ายจะเป็นค่าบวก

กรณีที่ x เป็นจำนวนเต็มลบก็ไม่มีคำตอบเช่นกันเพราะ อยู่ภายใต้กรณีใดกรณีหนึ่งที่พิจารณาก่อนหน้านี้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า (-x) 2 = (x) 2 .

ปรากฎว่าสมการที่ระบุไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

№2 แก้เป็นจำนวนเต็ม 3 X = 1 + y 2 .

ไม่ยากที่จะเห็นว่า (0; 0) เป็นคำตอบของสมการนี้ มันยังคงพิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากจำนวนเต็มอื่น

พิจารณากรณี:

1) ถ้า x∈N, y∈N แล้ว Z หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ และ 1 + y 2 เมื่อหารด้วย 3 ให้

ส่วนที่เหลือจะเป็น 1 หรือ 2 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของจำนวนเต็มบวก

ค่าของ x, y เป็นไปไม่ได้

2) ถ้า x เป็นจำนวนเต็มลบ y∈Z แล้ว 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

ความเท่าเทียมกันยังเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น (0; 0) เท่านั้น

คำตอบ: (0; 0)

№3 แก้สมการ 2x 2 -2xy+9x+y=2 ในจำนวนเต็ม:

ให้เราแสดงจากสมการที่ไม่รู้จักที่ป้อนในระดับแรกเท่านั้นนั่นคือตัวแปร y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y ดังนั้น

เราเลือกส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนโดยใช้กฎสำหรับการหารพหุนามด้วย "มุม" ของพหุนาม เราได้รับ:

เห็นได้ชัดว่าความแตกต่าง 2x-1 สามารถใช้ได้กับค่า -3, -1, 1 และ 3 เท่านั้น

ยังคงต้องแจกแจงกรณีทั้งสี่นี้ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราได้รับการแก้ปัญหา: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

คำตอบ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. ตัวอย่างการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวเป็นจำนวนเต็มเป็นตัวยกกำลังสองเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง

№1 แก้สมการ 5x เป็นจำนวนเต็ม 2 +5ปี 2 + 8xy+2y-2x +2=0

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยวิธีแยกตัวประกอบ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ ที่ใช้กับสมการนี้ค่อนข้างลำบาก ลองพิจารณาวิธีที่มีเหตุผลมากขึ้น

เราเขียนสมการในรูปของกำลังสองเทียบกับตัวแปร x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

เราพบรากของมัน

สมการนี้มีคำตอบก็ต่อเมื่อผู้แยกแยะ

ของสมการนี้เท่ากับศูนย์ กล่าวคือ - 9(y+1) 2 =0, ดังนั้น y= - 1

ถ้า y=-1 แล้ว x=1

คำตอบ: (1; - 1).

9. ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สมการเป็นจำนวนเต็ม

№ 1. แก้สมการในจำนวนธรรมชาติ : โดยที่ n>m

มาแสดงตัวแปร n ในรูปของตัวแปร m กัน:

มาหาตัวหารของเลข 625 กัน: นี่คือ 1; ห้า; 25; 125; 625

1) ถ้า m-25 =1 แล้ว m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5 จากนั้น m=30, n=150

3) m-25 =25 จากนั้น m=50, n=50

4) m-25 = 125 จากนั้น m=150, n=30

5) m-25 =625 จากนั้น m=650, n=26

คำตอบ: m=150, n=30

№ 2. แก้สมการในจำนวนธรรมชาติ: mn +25 = 4m

วิธีแก้ปัญหา: mn +25 = 4m

1) แสดงตัวแปร 4m ในรูปของ n:

2) หาตัวหารธรรมชาติของจำนวน 25: นี่คือ 1; ห้า; 25

ถ้า 4-n=1 แล้ว n=3, m=25

4-n=5 จากนั้น n=-1, m=5; 4-n =25 จากนั้น n=-21, m=1 (รากต่างประเทศ)

คำตอบ: (25;3)

นอกจากงานแก้สมการเป็นจำนวนเต็มแล้ว ยังมีงานที่ต้องพิสูจน์ข้อเท็จจริงว่าสมการไม่มีรากของจำนวนเต็ม

เมื่อแก้ปัญหาดังกล่าว จำเป็นต้องจำคุณสมบัติการหารดังต่อไปนี้:

1) ถ้า n Z; n หารด้วย 2 ลงตัว, จากนั้น n = 2k, k ∈ Z.

2) ถ้า n ∈ Z; n หารด้วย 2 ไม่ลงตัว, จากนั้น n = 2k+1, k ∈ Z.

3) ถ้า n ∈ Z; n หารด้วย 3 ลงตัว, จากนั้น n = 3k, k ∈ Z.

4) ถ้า n ∈ Z; n หารด้วย 3 ไม่ลงตัว จากนั้น n = 3k±1, k ∈ Z

5) ถ้า n ∈ Z; n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว ดังนั้น n = 4k+1; n = 4k+2; น = 4k+3 k ∈ Z.

6) ถ้า n ∈ Z; n(n+1) หารด้วย 2 ลงตัว, จากนั้น n (n+1)(n+2) หารด้วย 2;3;6 ลงตัว

7) n; n+1 เป็นโคไพรม์

№3 พิสูจน์ว่าสมการ x 2 - 3y = 17 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม

การพิสูจน์:

ให้ x; y - คำตอบของสมการ

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z จากนั้น y+6 ∈ Z ดังนั้น 3(y+6) หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 3(y+6)-1 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้น x 2 ไม่หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น x จึงไม่ใช่ หารด้วย 3 ลงตัว, ดังนั้น x = 3k±1, k ∈ Z.

แทนค่านี้ลงในสมการเดิม

เรามีความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีคำตอบทั้งหมด ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

10.สูตรพีค

สูตรของ Pick ถูกค้นพบโดย Georg Pick นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียในปี 1899 สูตรนี้เกี่ยวข้องกับสมการในจำนวนเต็ม โดยมีเพียงโหนดจำนวนเต็มเท่านั้นที่นำมาจากรูปหลายเหลี่ยม เช่นเดียวกับจำนวนเต็มในสมการ

เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะพบพื้นที่ของรูปที่สร้างขึ้นบนแผ่นงานในเซลล์ (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม)

ในสูตรนี้ เราจะพบจุดจำนวนเต็มภายในรูปหลายเหลี่ยมและบนเส้นขอบ

ในงานที่จะอยู่ในการสอบ มีงานทั้งกลุ่มที่มีการสร้างรูปหลายเหลี่ยมบนแผ่นงานในเซลล์ และมีคำถามเกี่ยวกับการค้นหาพื้นที่นั้น มาตราส่วนเซลล์คือหนึ่งตารางเซนติเมตร

ตัวอย่าง #1

M - จำนวนโหนดบนเส้นขอบของสามเหลี่ยม (ที่ด้านข้างและจุดยอด)

N คือจำนวนโหนดภายในสามเหลี่ยม

*ภายใต้ "นอต" เราหมายถึงจุดตัดของเส้น ค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

หมายเหตุโหนด:

M = 15 (ระบุด้วยสีแดง)

N = 34 (ทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงิน)

ตัวอย่าง #2

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม: สังเกตโหนด:

M = 14 (ระบุด้วยสีแดง)

N = 43 (ทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงิน)

12.วิธีลงดิน

วิธีการหนึ่งในการแก้สมการในจำนวนเต็ม - วิธีโคตร - ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

วิธีโคตรเป็นวิธีการที่ประกอบด้วยการสร้างโซลูชันหนึ่งไปยังลำดับอนันต์ของการแก้ปัญหาด้วยค่าบวกที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

เราจะพิจารณาอัลกอริทึมของวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างการแก้สมการเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม 5x + 8y = 39

1) เราเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักที่มีค่าสัมประสิทธิ์น้อยที่สุด (ในกรณีของเราคือ x) และแสดงผ่านค่าอื่นที่ไม่รู้จัก:

2) เลือกส่วนจำนวนเต็ม: แน่นอน x จะเป็นจำนวนเต็มถ้านิพจน์กลายเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งในทางกลับกัน จะเกิดขึ้นเมื่อตัวเลข 4 - 3y หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

3) เรามาแนะนำตัวแปรจำนวนเต็มเพิ่มเติม z ดังนี้: 4 -3y = 5z เป็นผลให้เราได้สมการประเภทเดียวกับสมการเดิม แต่มีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่า

4) เราแก้ไขมันแล้วด้วยความเคารพต่อตัวแปร y โต้เถียงในลักษณะเดียวกับในย่อหน้าที่ 1, 2: การเลือกส่วนจำนวนเต็ม เราได้รับ:

5) การโต้เถียงแบบเดียวกับก่อนหน้านี้ เราแนะนำตัวแปรใหม่ u: 3u = 1 - 2z

6) แสดงค่าที่ไม่รู้จักด้วยสัมประสิทธิ์ที่น้อยที่สุด ในกรณีนี้คือตัวแปร z: โดยกำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้: 1 - u = 2v ดังนั้น u = 1 - 2v ไม่มีเศษส่วนอีกต่อไป การสืบเชื้อสายสิ้นสุดลง (เราดำเนินการต่อไปจนกว่าจะไม่มีเศษส่วนเหลือในนิพจน์สำหรับตัวแปรถัดไป)

7) ตอนนี้คุณต้อง "ขึ้นไป" แสดงผ่านตัวแปร v ก่อน z จากนั้น y แล้ว x :

8) สูตร x = 3+8v และ y = 3 - 5v โดยที่ v เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ แทนคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิมเป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น วิธีการโคตรเกี่ยวข้องกับการแสดงออกตามลำดับแรกของตัวแปรตัวหนึ่งผ่านตัวแปรอื่น จนกระทั่งไม่มีเศษส่วนเหลือในการเป็นตัวแทนของตัวแปร จากนั้นจึง "ขึ้น" ตามลำดับตามห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันเพื่อให้ได้คำตอบทั่วไปของสมการ

12.บทสรุป

จากผลการศึกษาสมมติฐานได้รับการยืนยันว่าความยากลำบากในการแก้สมการเป็นจำนวนเต็มเกิดจากการที่ฉันไม่รู้จักวิธีการแก้ทั้งหมด ในระหว่างการวิจัย ฉันสามารถค้นหาและอธิบายวิธีที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักในการแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม แสดงตัวอย่างด้วยตัวอย่าง ผลการวิจัยของฉันสามารถเป็นประโยชน์กับนักเรียนทุกคนที่สนใจในวิชาคณิตศาสตร์

13. บรรณานุกรม

แหล่งข้อมูลหนังสือ:

1. N. Ya. Vilenkin et al., พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / เกรด 10, เกรด 11 / / M. , “Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov et al., คณิตศาสตร์ สื่อการสอนและการฝึกอบรมเพื่อเตรียมสอบ // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A.O. Gel'fond, คณิตศาสตร์, ทฤษฎีจำนวน// การแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม// LIBROCOM Book House

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

4. รุ่นสาธิตของวัสดุการวัดการควบคุมของการสอบแบบรวมศูนย์ในวิชาคณิตศาสตร์ http://fipi.ru/

5. ตัวอย่างการแก้สมการในจำนวนเต็ม http://reshuege.ru

6. ตัวอย่างการแก้สมการในจำนวนเต็ม http://mat-ege.ru

7.ประวัติสมการไดโอแฟนไทน์ http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. ประวัติไดโอแฟนตัส http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.ประวัติสมการไดโอแฟนไทน์http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. ประวัติไดโอแฟนตัส http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 วิธีแก้สมการ

เมื่อแก้สมการด้วยจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติ วิธีการต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้ตามอัตภาพ:

1. วิธีการระบุตัวเลือก

2. อัลกอริธึมของ Euclid

3. เศษส่วนต่อ.

4. วิธีการแยกตัวประกอบ

5. การแก้สมการในจำนวนเต็มเป็นกำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว

6. วิธีการตกค้าง

7. วิธีการสืบเชื้อสายอนันต์

บทที่ 2

1. ตัวอย่างการแก้สมการ

2.1 อัลกอริทึมของยุคลิด

งาน 1 . แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม 407 X – 2816y = 33.

ลองใช้อัลกอริทึมที่คอมไพล์แล้ว

1. การใช้อัลกอริธึม Euclid เราพบตัวหารร่วมมากของตัวเลข 407 และ 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

ดังนั้น (407.2816) = 11 โดย 33 หารด้วย 11 . ลงตัว

2. หารสมการเดิมทั้งสองข้างด้วย 11 เพื่อให้ได้สมการ 37 X – 256y= 3 และ (37, 256) = 1

3. การใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิด เราจะพบการแทนค่าเชิงเส้นของตัวเลข 1 ถึงตัวเลข 37 และ 256

256 = 37 6 + 34;

ให้เราแสดง 1 จากความเท่าเทียมกันสุดท้ายจากนั้นเพิ่มความเท่าเทียมกันเราจะแสดง 3 ตามลำดับ 34 และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในนิพจน์สำหรับ 1

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

ดังนั้น 37 (- 83) - 256 (-12) = 1 ดังนั้นคู่ของตัวเลข x 0= – 83 และ ที่ 0= – 12 คือคำตอบของสมการ 37 X – 256y = 3.

4. เขียนสูตรทั่วไปเพื่อหาคำตอบของสมการเดิม

ที่ไหน t- จำนวนเต็มใดๆ

2.2 วิธีการระบุตัวเลือก

ภารกิจที่ 2 กระต่ายและไก่ฟ้านั่งอยู่ในกรง มีทั้งหมด 18 ขา ค้นหาจำนวนเหล่านั้นและอื่น ๆ ที่อยู่ในเซลล์?

สารละลาย:สมการถูกวาดขึ้นด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัว โดยที่ x คือจำนวนกระต่าย y คือจำนวนไก่ฟ้า:

4x + 2y = 18 หรือ 2x + y = 9

ด่วน ที่ ข้าม X : y \u003d 9 - 2x.

X	1	2	3	4
ที่	7	5	3	1

ดังนั้น ปัญหามีสี่วิธีแก้ไข

ตอบ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 วิธีการแฟคตอริ่ง

การแจงนับตัวเลือกเมื่อหาคำตอบตามธรรมชาติของสมการที่มีตัวแปรสองตัวนั้นลำบากมาก นอกจากนี้ ถ้าสมการมี ทั้งหมดการแก้ปัญหา มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแจกแจง เนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจำนวนอนันต์ ดังนั้นเราจะแสดงอีกหนึ่งเคล็ดลับ - วิธีการแยกตัวประกอบ

ภารกิจที่ 3 แก้สมการเป็นจำนวนเต็มy 3 - x 3 = 91.

สารละลาย. 1) การใช้สูตรคูณแบบย่อ เราแบ่งด้านขวาของสมการเป็นตัวประกอบ:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) เขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลข 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) เราทำการวิจัย โปรดทราบว่าสำหรับจำนวนเต็มใดๆ xและ yตัวเลข

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

ดังนั้นปัจจัยทั้งสองทางด้านซ้ายของสมการจึงต้องเป็นบวก จากนั้นสมการ (1) จะเทียบเท่ากับชุดของระบบสมการ:

; ; ;

4) เมื่อแก้ไขระบบแล้ว เราได้รับ: ระบบแรกมีวิธีแก้ปัญหา (5; 6), (-6; -5); ที่สาม (-3; 4),(-4; 3); ไม่มีคำตอบที่สองและสี่ในจำนวนเต็ม

ตอบ:สมการ (1) มีสี่คำตอบ (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

ภารกิจที่ 4 หาคู่ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ตรงกับสมการ

สารละลาย.เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วเขียนสมการเป็น

.

เพราะ ตัวหารของหมายเลข 69 คือตัวเลข 1, 3, 23 และ 69 จากนั้น 69 หาได้สองวิธี: 69=1 69 และ 69=3 23 ระบุว่า

เราได้รับสมการสองระบบ โดยการแก้ซึ่งเราสามารถหาตัวเลขที่ต้องการได้: หรือ .

ระบบแรกมีวิธีแก้ปัญหา

และระบบที่สองมีวิธีแก้ปัญหา

ตอบ:

.

งาน 5. แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม:

.

สารละลาย.เราเขียนสมการในรูป

.

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน รับ

.

ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนสามารถเท่ากับ 1 ในสองกรณีเท่านั้น: หากทั้งคู่มีค่าเท่ากับ 1 หรือ -1 เราได้รับสองระบบ:

หรือ .

ระบบแรกมีคำตอบ x=2, y=2 และระบบที่สองมีคำตอบ x=0, y=0

ตอบ:

.

ภารกิจที่ 6 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย. เราเขียนสมการนี้ในรูป

.

เราแบ่งด้านซ้ายของสมการเป็นตัวประกอบโดยวิธีจัดกลุ่ม เราจะได้

.

ผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวสามารถเท่ากับ 7 ในกรณีต่อไปนี้:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) ดังนั้นเราจึงได้สี่ระบบ:

หรือ , หรือ , หรือ .

คำตอบของระบบแรกคือคู่ของตัวเลข x = - 5, y = - 6. การแก้ระบบที่สอง เราได้ x = 13, y = 6 สำหรับระบบที่สาม คำตอบคือ ตัวเลข x = 5, y = 6. ระบบที่สี่มีคำตอบ x = - 13, y = - 6

.

ภารกิจที่ 7 พิสูจน์ว่าสมการ ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 ไม่

บทนำ

มีปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมายที่มีจำนวนเต็มตั้งแต่หนึ่งจำนวนขึ้นไปเป็นคำตอบ ตัวอย่างเช่น เราสามารถอ้างถึงปัญหาดั้งเดิมสี่ข้อที่แก้ไขด้วยจำนวนเต็ม ได้แก่ ปัญหาการชั่งน้ำหนัก ปัญหาการแยกตัวเลข ปัญหาการแลกเปลี่ยน และปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัส ควรสังเกตว่าแม้จะมีการกำหนดปัญหาเหล่านี้ค่อนข้างง่าย แต่ก็ยากที่จะแก้ไขโดยใช้เครื่องมือของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และ combinatorics แนวคิดในการแก้ปัญหาสองข้อแรกเป็นของนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–1783) อย่างไรก็ตาม ส่วนใหญ่แล้ว คุณจะพบปัญหาที่เสนอให้แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม (หรือในธรรมชาติ) สมการเหล่านี้บางสมการแก้ได้ง่ายมากโดยวิธีการคัดเลือก แต่สิ่งนี้ทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง - จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการนี้หมดโดยสมการที่เลือก (นั่นคือ ไม่มีคำตอบที่แตกต่างจาก ที่เลือกไว้) อาจต้องใช้เทคนิคที่หลากหลายทั้งแบบมาตรฐานและแบบเทียม การวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่างานดังกล่าวพบได้ทั่วไปในโอลิมปิกคณิตศาสตร์ในปีต่างๆ และระดับต่างๆ เช่นเดียวกับงานที่ 19 ของ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์) ในเวลาเดียวกัน หัวข้อนี้แทบไม่ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ดังนั้นเด็กนักเรียนที่เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกหรือการสอบโปรไฟล์ทางคณิตศาสตร์มักจะประสบปัญหาอย่างมากในการทำงานดังกล่าวให้สำเร็จ ในเรื่องนี้ ขอแนะนำให้เลือกระบบของวิธีการพื้นฐานสำหรับการแก้สมการในจำนวนเต็ม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากปัญหานี้ไม่ได้กล่าวถึงอย่างชัดเจนในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษา ปัญหาที่อธิบายไว้กำหนดวัตถุประสงค์ของงานนี้: เพื่อเน้นวิธีการหลักในการแก้สมการในจำนวนเต็ม เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องแก้ไขงานต่อไปนี้:

1) วิเคราะห์สื่อโอลิมปิกรวมถึงเอกสารการสอบโปรไฟล์ในวิชาคณิตศาสตร์

2) กำหนดวิธีการแก้สมการในจำนวนเต็มและเน้นวิธีที่มีอยู่

3) แสดงผลลัพธ์ที่ได้รับพร้อมตัวอย่าง

4) เขียนงานฝึกอบรมหลายอย่างในหัวข้อนี้

5) ใช้งานที่พัฒนาแล้วกำหนดระดับความพร้อมของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ของโรงเรียนมัธยม MBOU หมายเลข 59 เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวและหาข้อสรุปเชิงปฏิบัติ

ส่วนสำคัญ

การวิเคราะห์วรรณคดีทางคณิตศาสตร์ต่างๆ แสดงให้เห็นว่าในบรรดาวิธีการแก้สมการในจำนวนเต็ม มีวิธีการหลักดังต่อไปนี้ที่สามารถแยกแยะได้:

1. การแสดงสมการเป็นผลคูณของปัจจัยหลายตัวที่เท่ากับจำนวนเต็มบางจำนวน
2. การแสดงสมการเป็นผลรวมของกำลังสองของพจน์หลายพจน์ เท่ากับจำนวนเต็มบางจำนวน
3. โดยใช้คุณสมบัติของการหาร แฟกทอเรียล และกำลังสองที่แน่นอน
4. การใช้ทฤษฎีบทเล็กและใหญ่ของแฟร์มาต์
5. วิธีการโคตรไม่สิ้นสุด
6. การแสดงออกของสิ่งที่ไม่รู้จักผ่านอีกรูปแบบหนึ่ง
7. การแก้สมการเป็นสมการกำลังสองเทียบกับนิรนามตัวใดตัวหนึ่ง
8. พิจารณาเศษจากการหารสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนหนึ่ง

จำเป็นต้องระบุสิ่งที่เราหมายถึงโดยวิธีการหลักในการแก้สมการทันที เราจะเรียกวิธีการที่ใช้บ่อยที่สุดว่าวิธีการหลักซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ในการใช้วิธีการใหม่ที่ "ไม่คาดคิด" เป็นระยะ นอกจากนี้ในกรณีส่วนใหญ่มีการใช้ชุดค่าผสมต่าง ๆ นั่นคือหลายวิธีรวมกัน
ตัวอย่างของวิธีการผสมกัน ให้พิจารณาสมการที่เสนอใน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในปี 2013 (งาน C6)

งาน.แก้สมการในจำนวนธรรมชาติ น! + 5น + 13 = k 2 .

สารละลาย.สังเกตว่ามันลงท้ายด้วยศูนย์ที่ น> 4. นอกจากนี้ สำหรับ n ∈ N ใดๆ จะลงท้ายด้วยตัวเลข 0 หรือตัวเลข 5 ดังนั้นสำหรับ น> 4 ด้านซ้ายของสมการจะลงท้ายด้วยเลข 3 หรือเลข 8 แต่ก็เท่ากับกำลังสองที่แน่นอน ซึ่งไม่สามารถลงท้ายด้วยตัวเลขเหล่านี้ได้ ดังนั้นจึงมีเพียงสี่ตัวเลือกให้เลือก: น = 1, น = 2, น = 3, น = 4.

ดังนั้นสมการจึงมีคำตอบตามธรรมชาติที่ไม่เหมือนใคร น = 2, k = 5.

ปัญหานี้ใช้คุณสมบัติของกำลังสองที่แน่นอน คุณสมบัติของแฟกทอเรียล และเศษของการหารสมการทั้งสองข้างด้วย 10

ภารกิจที่ 1 น 2 - 4y! = 3.

สารละลาย. อันดับแรก เราเขียนสมการเดิมใหม่เป็น น 2 = 4y! + 3 ถ้าคุณดูความสัมพันธ์นี้จากมุมมองของทฤษฎีบทหารด้วยเศษ คุณจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงด้านซ้ายของสมการให้เศษ 3 เมื่อหารด้วย 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ . อันที่จริง จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสี่รูปแบบต่อไปนี้:

ดังนั้นกำลังสองที่แน่นอนเมื่อหารด้วย 4 ให้เศษเหลือเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีคำตอบ

แนวคิดหลัก– การใช้คุณสมบัติของกำลังสองที่แน่นอน

ภารกิจที่ 2 8z 2 = (t!) 2 + 2.

สารละลาย. การตรวจสอบโดยตรงแสดงให้เห็นว่า t= 0 และ t= 1 ไม่ใช่คำตอบของสมการ ถ้า t> 1 แล้ว t! เป็นจำนวนคู่ กล่าวคือ สามารถแสดงเป็น t! = 2ส. ในกรณีนี้ สมการสามารถแปลงเป็นรูปแบบ 4 z 2 = 2ส 2 + 1 อย่างไรก็ตาม สมการที่ได้นั้นไม่มีคำตอบ เพราะมีเลขคู่อยู่ทางด้านซ้าย และเลขคี่อยู่ทางขวา

แนวคิดหลัก– การประยุกต์คุณสมบัติของแฟกทอเรียล

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 เป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย. สมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ( x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

เป็นไปตามเงื่อนไขว่า ( x – 1), (y+ 3) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นสมการนี้จึงเท่ากับเซตต่อไปนี้:

ตอนนี้ เราสามารถเขียนคำตอบจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการได้

ภารกิจที่ 4 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม zt + t – 2z = 7.

สารละลาย. สมการเดิมสามารถแปลงเป็นรูปแบบ ( z + 1) (t– 2) = 5. ตัวเลข ( z + 1), (t– 2) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นตัวเลือกต่อไปนี้จึงเกิดขึ้น:

ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบจำนวนเต็มสี่ตัวพอดี

แนวคิดหลัก- การแสดงสมการในรูปของผลิตภัณฑ์เท่ากับจำนวนเต็ม

งาน 5. แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม น(น + 1) = (2k+1)‼

สารละลาย. จำนวน (2 k+ 1)‼ เป็นเลขคี่สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมด kตามคำจำกัดความ (มีเชิงลบ kไม่ได้กำหนดไว้เลย) ในทางกลับกันก็เท่ากับ น(น+ 1) ซึ่งเท่ากับค่าจำนวนเต็มทั้งหมด k. ความขัดแย้ง.

แนวคิดหลัก– การใช้ส่วนคู่/คี่ของสมการ

ภารกิจที่ 6 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม xy + x + 2y = 1.

สารละลาย. โดยการแปลงสมการสามารถลดลงได้ดังต่อไปนี้:

การแปลงนี้ไม่ได้เปลี่ยน ODZ ของค่านิรนามที่รวมอยู่ในสมการ เนื่องจากการแทนที่ y= -1 ในสมการเดิมนำไปสู่ความเท่าเทียมกันที่ไร้สาระ -2 = 1 ตามเงื่อนไข xเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือจำนวนเต็มด้วย แต่ตัวเลขนั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนลงตัว ตัวหารของตัวเลข 3: 1.3 -1, -3 ดังนั้นจึงมีสี่กรณีที่เป็นไปได้สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. ตอนนี้เราสามารถคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของสิ่งที่ไม่รู้จักได้ x. ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบจำนวนเต็มสี่ตัวพอดี: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4)

แนวคิดหลักเป็นการแสดงออกของสิ่งที่ไม่รู้จักในแง่ของอีกคนหนึ่ง

ภารกิจที่ 7 ม= น 2 + 2.

สารละลาย. ถ้า ม= 0 จากนั้นสมการจะใช้รูปแบบ น 2 = -1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด ถ้า ม < 0, то левая часть уравнения, а значит, и น, จะไม่เป็นจำนวนเต็ม วิธี, ม> 0 แล้วด้านขวาของสมการ (เช่นเดียวกับด้านซ้าย) จะเป็นผลคูณของ 5. แต่ในกรณีนี้ น 2 เมื่อหารด้วย 5 ควรให้เศษ 3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ (พิสูจน์โดยวิธีการแจงนับเศษที่เหลือ ซึ่งอธิบายไว้ในการแก้ปัญหาที่ 1) ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

แนวคิดหลัก– หาเศษจากการหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวนธรรมชาติ

ภารกิจที่ 8 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม ( x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

สารละลาย. โปรดทราบว่า เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ สมการจึงเท่ากับค่าต่อไปนี้: ( x!) 4 + |y – 1| 4 = |z+1| 4 . แล้ว x!, |y – 1|, |z+1| - จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ตัวเลขธรรมชาติเหล่านี้ไม่สามารถเป็นไปตามสมการดั้งเดิมได้ ดังนั้นสมการจึงแก้ไม่ได้ในจำนวนเต็ม

แนวคิดหลัก- การใช้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ภารกิจที่ 9 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม x 2 + 4y 2 = 16xy.

สารละลาย. มาจากสภาพของปัญหาที่ว่า x- เลขคู่. แล้ว x 2 = 4x 12 . สมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ x 1 2 + y 2 = 8x 1 y. จากนี้ไปตัวเลข x 1 , yมีความเท่าเทียมกัน ลองพิจารณาสองกรณี

1 กรณี. ปล่อยให้เป็น x 1 , y- เลขคี่. แล้ว x 1 = 2t + 1, y = 2ส+ 1. แทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ เราจะได้:

มาทำการแปลงที่เกี่ยวข้องกัน:

ลดทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 2 ได้?

ด้านซ้ายเป็นเลขคี่ และด้านขวาเป็นเลขคู่ ความขัดแย้ง. ดังนั้น 1 กรณีจึงเป็นไปไม่ได้

2 กรณี. ปล่อยให้เป็น x 1 , y- เลขคู่ แล้ว x 1 = 2x 2 + 1, y = 2yหนึ่ง . แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการเราจะได้:

ดังนั้นจึงได้สมการเหมือนกับในขั้นตอนก่อนหน้าทุกประการ มันถูกตรวจสอบในลักษณะเดียวกันดังนั้นในขั้นตอนต่อไปเราจะได้สมการ ฯลฯ อันที่จริง การดำเนินการแปลงเหล่านี้โดยยึดตามความเท่าเทียมกันของสิ่งที่ไม่รู้จัก เราได้รับส่วนขยายต่อไปนี้: แต่ปริมาณ นและ kไม่จำกัด เนื่องจากในขั้นตอนใดๆ (ด้วยจำนวนที่มากตามอำเภอใจ) เราจะได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้า นั่นคือกระบวนการนี้ไม่สามารถหยุดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือตัวเลข x, yหารด้วย 2 ลงตัวเป็นอนันต์ แต่นี่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขว่า x = y= 0 ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเพียงหนึ่งเดียว (0; 0)

แนวคิดหลัก– การใช้วิธีการโคตรไม่สิ้นสุด

งาน 10. แก้สมการ 5 ในจำนวนเต็ม x 2 – 3xy + y 2 = 4.

สารละลาย. ให้เราเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ 5 x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0 ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับสิ่งที่ไม่รู้จัก x. ลองคำนวณการเลือกปฏิบัติของสมการนี้:

เพื่อให้สมการมีคำตอบ จำเป็นและเพียงพอ นั่นคือจากนี้ไปเรามีความเป็นไปได้ดังต่อไปนี้ y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.

ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบจำนวนเต็ม 2 ตัวพอดี: (0;2), (0;–2)

แนวคิดหลัก– การพิจารณาสมการเป็นสมการกำลังสองเทียบกับสิ่งที่ไม่รู้ตัวใดตัวหนึ่ง

งานที่รวบรวมโดยผู้เขียนถูกนำมาใช้ในการทดลองซึ่งประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ทุกคนได้รับงานที่พัฒนาขึ้นเพื่อระบุระดับการเตรียมเด็กในหัวข้อนี้ นักเรียนแต่ละคนต้องเสนอวิธีการหาคำตอบของสมการจำนวนเต็ม นักเรียน 64 คนเข้าร่วมการทดลอง ผลลัพธ์ที่ได้แสดงไว้ในตารางที่ 1

ตารางที่ 1

หมายเลขงาน	จำนวนนักเรียนที่เสร็จสิ้นภารกิจ (ร้อยละ)

ตัวบ่งชี้เหล่านี้บ่งชี้ว่าระดับการเตรียมตัวของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในหัวข้อนี้ต่ำมาก ดังนั้นจึงควรจัดหลักสูตรพิเศษ "สมการในจำนวนเต็ม" ซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อปรับปรุงความรู้ของนักเรียนในด้านนี้ อย่างแรกเลย คนเหล่านี้คือนักเรียนที่เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์และโอลิมปิกอย่างเป็นระบบ และยังวางแผนที่จะสอบเฉพาะทางคณิตศาสตร์อีกด้วย

ข้อสรุป

ระหว่างงานนี้:

1) วิเคราะห์วัสดุโอลิมปิกรวมถึงวัสดุของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

2) วิธีการแก้สมการเป็นจำนวนเต็มถูกระบุและเน้นวิธีการทั่วไป

3) ผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงพร้อมตัวอย่าง

4) รวบรวมงานฝึกอบรมสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9;

5) การทดลองจัดทำขึ้นเพื่อระบุระดับการเตรียมตัวในหัวข้อของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 นี้

6) วิเคราะห์ผลการทดลองและสรุปผลความได้เปรียบของการศึกษาสมการเป็นจำนวนเต็มในรายวิชาพิเศษคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษานี้สามารถนำไปใช้ในการเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ตลอดจนในการดำเนินการชั้นเรียนในวงกลมคณิตศาสตร์

บรรณานุกรม

1. เกลฟองด์ เอ.โอ. แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม - ม.: เนาก้า, 2526 - 64 น.

2. Alfutova N.B. อุสตินอฟ เอ.วี. พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน การรวบรวมปัญหาสำหรับโรงเรียนคณิตศาสตร์ - M .: MTsNMO, 2009 - 336 p.

3. Galperin G.A. , Tolpygo A.K. มอสโกคณิตศาสตร์โอลิมปิก: หนังสือ สำหรับนักศึกษา / อ. หนึ่ง. โคลโมโกรอฟ - ม.: ตรัสรู้, 2529. - 303 น. ป่วย

4. Dalinger V.A. ปัญหาในจำนวนเต็ม - Omsk: Amphora, 2010 - 132 p.

5. Yu. A. Gastev และ M. L. Smolyanskii, “A Few Words on Fermat’s Last Theorem,” Kvant, สิงหาคม 1972

อภิธานศัพท์

วิธีการโคตรไม่สิ้นสุด- วิธีการที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส พี. แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601–ค.ศ. 1665) ซึ่งประกอบด้วยการได้มาซึ่งความขัดแย้งโดยการสร้างลำดับการลดลงอย่างไม่สิ้นสุดของจำนวนธรรมชาติ ชนิดของการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง

จตุรัส (เต็ม) ที่แน่นอนคือกำลังสองของจำนวนเต็ม

แฟกทอเรียลของจำนวนธรรมชาติ น เป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง นรวม