สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และจำนวน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ – ลำดับตัวเลข

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย ทั้งในความหมายและในสูตร แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ จากพื้นฐานไปจนถึงค่อนข้างแข็ง

ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจความหมายและสูตรของจำนวนกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ. เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของจำนวนเงินนั้นง่ายพอ ๆ กับหมู่ หากต้องการหาผลบวกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณเพียงแค่ต้องบวกเงื่อนไขทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากมีข้อกำหนดเหล่านี้น้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ แต่ถ้ามีเยอะหรือมาก...บวกน่ารำคาญครับ) กรณีนี้สูตรมาช่วยครับ

สูตรสำหรับจำนวนเงินนั้นง่าย:

เรามาดูกันว่าสูตรมีตัวอักษรประเภทใดบ้าง สิ่งนี้จะทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนขึ้นมาก

ส - ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ทุกคนสมาชิกด้วย อันดับแรกโดย ล่าสุด.มันเป็นสิ่งสำคัญ พวกเขารวมกันอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกติดต่อกันโดยไม่ข้ามหรือข้าม และแน่นอนว่าเริ่มจาก อันดับแรก.ในปัญหาเช่นการหาผลรวมของเทอมที่ 3 และ 8 หรือผลรวมของเทอมที่ 5 ถึง 20 การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)

1 - อันดับแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย อันดับแรกหมายเลขแถว

หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า เบอร์สุดท้ายของซีรีย์. ชื่อไม่คุ้นเท่าไหร่แต่พอประยุกต์เข้ากับปริมาณก็เหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง

n - หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนคำที่เพิ่มเข้ามา

เรามากำหนดแนวคิดกัน ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง. คำถามหากิน: สมาชิกคนไหนจะเป็น สุดท้ายถ้าได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?)

หากต้องการตอบอย่างมั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และ... อ่านภารกิจให้ละเอียด!)

ในงานค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ซึ่งควรจะจำกัดไว้มิฉะนั้นจะเป็นจำนวนเงินสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง ไม่มีอยู่จริงสำหรับการแก้ปัญหานั้นไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าหรือไม่: มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะให้อย่างไร: ชุดตัวเลขหรือสูตรสำหรับเทอมที่ n

สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรนี้ใช้ได้ตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข n.จริงๆ แล้ว ชื่อเต็มของสูตรจะเป็นดังนี้: ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนสมาชิกกลุ่มแรกเหล่านี้คือ nถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลอันมีค่าทั้งหมดนี้มักจะถูกเข้ารหัส ใช่แล้ว... แต่ไม่เป็นไร ในตัวอย่างด้านล่างเราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้)

ตัวอย่างงานเกี่ยวกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:

ปัญหาหลักในงานที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง

ผู้เขียนงานเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการอันไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่ไม่ต้องกลัว เมื่อเข้าใจถึงแก่นแท้ขององค์ประกอบต่างๆ ก็เพียงพอที่จะถอดรหัสองค์ประกอบเหล่านั้นได้ ลองดูตัวอย่างบางส่วนโดยละเอียด เริ่มจากงานตาม GIA จริงกันก่อน

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 ค้นหาผลรวมของ 10 เทอมแรก

งานดี. ง่ายๆ.) การจะกำหนดปริมาณโดยใช้สูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1, ระยะสุดท้าย หนึ่งใช่หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย n.

จะรับเบอร์สมาชิกคนสุดท้ายได้ที่ไหน? n? ใช่แล้ว ตามเงื่อนไข! มันบอกว่า: ค้นหาผลรวม สมาชิก 10 คนแรกแล้วมันจะเป็นเลขอะไรล่ะ? ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) คุณจะไม่เชื่อเลยหมายเลขของเขาคือสิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10และแทน n- สิบ ขอย้ำว่าจำนวนสมาชิกคนสุดท้ายตรงกับจำนวนสมาชิก

มันยังคงอยู่ที่จะกำหนด 1และ 10. คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ซึ่งระบุไว้ในข้อความแสดงปัญหา ไม่ทราบว่าต้องทำอย่างไร? เข้าร่วมบทเรียนก่อนหน้านี้ หากไม่มีสิ่งนี้จะไม่มีทางเกิดขึ้น

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

ส = ส 10.

เราได้ค้นพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทนและนับ:

แค่นั้นแหละ. คำตอบ: 75.

งานอื่นตาม GIA ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:

2. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ผลต่างคือ 3.7 ก 1 = 2.3 ค้นหาผลรวมของ 15 เทอมแรก

เราเขียนสูตรผลรวมทันที:

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของพจน์ใดๆ ตามจำนวนของมันได้ เรามองหาสิ่งทดแทนง่ายๆ:

15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

ยังคงต้องแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดลงในสูตรเพื่อผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:

คำตอบ: 423.

โดยวิธีการถ้าอยู่ในสูตรผลรวมแทน หนึ่งเราเพียงแทนที่สูตรสำหรับเทอมที่ n แล้วได้:

ให้เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันและรับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง. ในบางปัญหา สูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่... จำสูตรนี้ได้ หรือคุณสามารถแสดงในเวลาที่เหมาะสมเช่นที่นี่ ท้ายที่สุด คุณต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ไว้เสมอ)

ตอนนี้งานอยู่ในรูปแบบของการเข้ารหัสแบบสั้น):

3. ค้นหาผลรวมของจำนวนบวกสองหลักที่เป็นทวีคูณของสาม

ว้าว! ทั้งสมาชิกคนแรกของคุณ หรือคนสุดท้ายของคุณ หรือความก้าวหน้าเลย... จะมีชีวิตอยู่ได้อย่างไร!?

คุณจะต้องคิดด้วยหัวและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข เรารู้ว่าตัวเลขสองหลักคืออะไร ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) จะเป็นตัวเลขสองหลักอะไร อันดับแรก? 10 น่าจะเป็น) A สิ่งสุดท้ายเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! ตัวสามหลักจะตามเขาไป...

ผลคูณของสาม... อืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัว! สิบหารด้วยสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! จึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนซีรีส์ตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ซีรีส์นี้จะเป็นซีรีส์ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำจะแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยสามอย่างเคร่งครัด หากคุณบวก 2 หรือ 4 เข้ากับคำใดคำหนึ่ง ให้พูดว่าผลลัพธ์คือ จำนวนใหม่นี้ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวอีกต่อไป คุณสามารถกำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ทันที: ง = 3.มันจะมีประโยชน์!)

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:

จะเป็นเลขอะไรคะ? nสมาชิกคนสุดท้าย? ใครที่คิดว่า 99 ผิดมหันต์... ตัวเลขมันติดกันตลอดแต่สมาชิกเรากระโดดข้ามสามไปเลย พวกเขาไม่ตรงกัน

มีสองวิธีที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถจดความก้าวหน้า ชุดตัวเลขทั้งหมด และนับจำนวนสมาชิกด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สอง สำหรับผู้รอบคอบ คุณต้องจำสูตรของเทอมที่ n ให้ได้ หากเราใช้สูตรกับโจทย์ เราจะพบว่า 99 เป็นเทอมที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.

ลองดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามองและชื่นชมยินดี) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณจำนวนเงินออกจากข้อความปัญหา:

1= 12.

30= 99.

ส = ส30.

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น เราแทนที่ตัวเลขลงในสูตรแล้วคำนวณ:

คำตอบ: 1665

ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:

4. มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

จงหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ยี่สิบถึงสามสิบสี่

เราดูสูตรหาจำนวนเงินแล้ว...เราหงุดหงิด) สูตรขอเตือนไว้ก่อนว่าคำนวณจำนวนเงิน ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก. และในโจทย์คุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่วันที่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน

แน่นอนคุณสามารถเขียนความคืบหน้าทั้งหมดในซีรีส์ และเพิ่มคำศัพท์จาก 20 ถึง 34 ได้ แต่... มันโง่และใช้เวลานานใช่ไหม?)

มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านี้ มาแบ่งซีรี่ส์ของเราออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะเป็น ตั้งแต่ภาคการศึกษาที่หนึ่งจนถึงภาคการศึกษาที่สิบเก้าส่วนที่สอง - จากยี่สิบถึงสามสิบสี่จะเห็นได้ชัดว่าถ้าเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19ลองบวกมันด้วยผลรวมของเงื่อนไขของส่วนที่สอง ส20-34เราจะได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่ 34 ส 1-34. แบบนี้:

ส 1-19 + ส20-34 = ส 1-34

จากนี้เราจะเห็นว่าหาผลรวมได้ ส20-34สามารถทำได้โดยการลบแบบง่ายๆ

ส20-34 = ส 1-34 - ส 1-19

พิจารณาจำนวนเงินทั้งสองทางด้านขวา ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิกเช่น สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา มาเริ่มกันเลย?

เราแยกพารามิเตอร์ความก้าวหน้าออกจากคำชี้แจงปัญหา:

ง = 1.5

1= -21,5.

ในการคำนวณผลรวมของเทอม 19 และ 34 แรก เราจำเป็นต้องมีเทอมที่ 19 และ 34 เราคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n เช่นเดียวกับในปัญหาที่ 2:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

ไม่เหลืออะไรเลย จากผลรวมของ 34 เทอมลบผลรวมของ 19 เทอม:

ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

คำตอบ: 262.5

หมายเหตุสำคัญประการหนึ่ง! มีเคล็ดลับที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ สิ่งที่ดูเหมือนไม่จำเป็น - ส 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปจากผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ การ “หลอกหู” แบบนี้มักจะช่วยคุณให้พ้นจากปัญหาอันชั่วร้าย)

ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)

คำแนะนำการปฏิบัติ:

เมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที

สูตรสำหรับเทอมที่ n:

สูตรเหล่านี้จะบอกคุณทันทีว่าต้องค้นหาอะไรและคิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ไขปัญหา ช่วยได้.

และตอนนี้งานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ

5. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในบันทึกของปัญหา 4 ปัญหาที่ 3 จะช่วยได้

6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 ค้นหาผลรวมของ 24 เทอมแรก

ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าละเลยลิงค์ ปัญหาดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences

7. วาสยาเก็บเงินไว้สำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจที่จะมอบความสุขให้กับคนโปรด (ตัวฉันเอง) เป็นเวลาสองสามวัน) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ต้องปฏิเสธตัวเองอะไรเลย ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรกและในแต่ละวันถัดไปใช้จ่ายมากกว่าครั้งก่อน 50 รูเบิล! จนกว่าเงินจะหมด วาสยามีความสุขกี่วัน?

ยากมั้ย?) สูตรเพิ่มเติมจากโจทย์ข้อ 2 จะช่วยได้

คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 7, 3240, 6.

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (เงื่อนไขของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมต่อมาจะแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยเทอมใหม่ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ความแตกต่างของขั้นตอนหรือความก้าวหน้า.

ดังนั้น โดยการระบุขั้นตอนความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใด ๆ ของมันได้โดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขตัวที่สอง คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกรายก่อนหน้าและรายถัดไปของการก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมคี่ (คู่) ที่อยู่ติดกันของการก้าวหน้าเท่ากับเทอมที่อยู่ระหว่างเทอมเหล่านั้น ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้คำสั่งนี้ ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

วิธีนี้ง่ายต่อการตรวจสอบหากคุณเขียนพจน์ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยใช้สูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไว้ซึ่งเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและมักพบในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากเทอมที่ k สูตรผลรวมต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณ

4) สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติคือการหาผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเริ่มจากเลข k เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

นี่เป็นการสรุปเนื้อหาทางทฤษฎีและไปสู่การแก้ปัญหาทั่วไปในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

สารละลาย:

ตามเงื่อนไขที่เรามี

เรามากำหนดขั้นตอนความก้าวหน้ากันดีกว่า

ด้วยการใช้สูตรที่รู้จักกันดี เราจะพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่างที่ 2 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเทอมที่สามและเจ็ด ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

สารละลาย:

ให้เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าโดยใช้สูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ผลก็คือเราพบขั้นตอนการก้าวหน้า

เราแทนค่าที่พบลงในสมการใดๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขสิบข้อแรกของความก้าวหน้า

เราพบปริมาณที่ต้องการทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในเงื่อนไขของมัน ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมโดยเริ่มจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

สารละลาย:

มาเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้ากัน

และหาอันแรก

จากข้อแรก เราจะพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของส่วนของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 ตัวแรก

จำนวนความก้าวหน้าคือ 250

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจำนวนพจน์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาก:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111

สารละลาย:

เรามาเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนการก้าวหน้าแล้วพิจารณากัน

เราแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนคำศัพท์ในผลรวม

เราดำเนินการลดความซับซ้อน

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงหมายเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้น ผลรวมของแปดเทอมแรกของการก้าวหน้าคือ 111

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

วิธีแก้: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองเขียนเทอมแรกออกมาแล้วค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า)
สูตรการเกิดซ้ำ	สำหรับธรรมชาติใดๆ n n + 1 = n + d	สำหรับธรรมชาติใดๆ n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
คุณสมบัติลักษณะ
ผลรวมของพจน์ n แรก

ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น

แบบฝึกหัดที่ 1

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน

ตามเงื่อนไข:

1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 2

ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)

ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.

เพราะ ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)

เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : ข 5 = -48.

ภารกิจที่ 3

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ .

ดังนั้น:

ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

คำตอบ: 95.

ภารกิจที่ 4

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4. ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก

หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้

อันไหนสะดวกกว่าที่จะใช้ในกรณีนี้?

ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368.

ภารกิจที่ 5

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน

ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 6

มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าที่มีข้อความว่า x

เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณจะต้องนำเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:

คำตอบ : .

ภารกิจที่ 7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องเป็นไปตามระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:

คำตอบ: 4.

ภารกิจที่ 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดของ n ซึ่งมีอสมการอยู่ หนึ่ง > -6.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละตัวเลขจะมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะดูซับซ้อนและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษรระยะที่ n ของความก้าวหน้าความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดความสับสนใช่... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที)

แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจน คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? เปล่าประโยชน์) ดูเอาเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังเขียนไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณสามารถขยายซีรี่ส์นี้ได้หรือไม่? ต่อไปจะเลขอะไรหลังจากเลขห้า? ทุกคน...เอ่อ...พูดสั้นๆ ทุกคนจะรู้ว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะมาตามมา

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จแก่คุณ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณจะสามารถจับลาย ขยายซีรีส์ และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?

หากคุณรู้ว่าตัวเลขนี้คือ 20 ยินดีด้วย! ไม่เพียงแต่คุณรู้สึกเท่านั้น ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ยังนำไปใช้ในธุรกิจได้สำเร็จอีกด้วย! หากคุณยังไม่เข้าใจอ่านต่อ

ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กันดีกว่า)

จุดสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชุดตัวเลขนี่เป็นความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการ การวาดกราฟ และอื่นๆ... แต่ที่นี่เราขยายอนุกรม หาจำนวนอนุกรม...

ไม่เป็นไร. เพียงแต่ว่าความก้าวหน้าคือการได้รู้จักกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์สาขาใหม่เป็นครั้งแรก ส่วนนี้เรียกว่า "ซีรี่ส์" และใช้ได้กับชุดตัวเลขและสำนวนโดยเฉพาะ คุ้นเคยกันดี..)

จุดสำคัญที่สอง

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนใดๆ จะแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะเอาเลขอะไรก็ตาม มันมากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในช่วงที่สอง - สาม จำนวนใด ๆ ก็ตามจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าสามเท่า จริงๆ แล้วมันเป็นช่วงเวลานี้เองที่เปิดโอกาสให้เราเข้าใจรูปแบบและคำนวณตัวเลขที่ตามมา

จุดสำคัญประการที่สาม

ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่น ใช่... แต่มันสำคัญมากจริงๆ เขาอยู่ที่นี่: หมายเลขความก้าวหน้าแต่ละหมายเลขอยู่ในตำแหน่งของมันมีเลขตัวแรก มีเลขเจ็ด มีเลขสี่สิบห้า ฯลฯ หากคุณผสมพวกมันแบบสุ่ม รูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็จะหายไปเช่นกัน ที่เหลือก็แค่ชุดตัวเลข

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนว่าข้อกำหนดและการกำหนดใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ คุณจำเป็นต้องรู้จักพวกเขา ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณจะต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:

เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

สร้างแรงบันดาลใจใช่ไหม) จดหมาย ดัชนีบางส่วน... และงานนี้ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของคำศัพท์และการกำหนด ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับสู่ภารกิจอีกครั้ง

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดตัวเลขที่แต่ละหมายเลขมีความแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ปริมาณนี้เรียกว่า . ลองดูแนวคิดนี้โดยละเอียด

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินตามจำนวนความก้าวหน้าใดๆ มากกว่าก่อนหน้านี้.

จุดสำคัญประการหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำว่า "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าแต่ละหมายเลขความก้าวหน้าเป็น โดยการเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขก่อนหน้า

ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองคุณต้องมีหมายเลขซีรีส์ อันดับแรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคำนวณ ที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ที่สี่อืม ฯลฯ

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจจะ เชิงบวก,แล้วแต่ละตัวเลขในชุดก็จะกลายเป็นตัวเลขจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้น.ตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ที่นี่แต่ละหมายเลขจะได้รับ โดยการเพิ่มจำนวนบวก +5 จากจำนวนก่อนหน้า

ความแตกต่างอาจจะเป็น เชิงลบ,แล้วแต่ละหมายเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อมัน!) ลดลง.

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่แต่ละหมายเลขก็ได้รับเช่นกัน โดยการเพิ่มไปที่อันก่อนหน้าแต่เป็นเลขลบอยู่แล้ว -5

อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับความก้าวหน้า จะมีประโยชน์มากในการกำหนดธรรมชาติของมันทันที ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ตาม สิ่งนี้ช่วยได้มากในการตัดสินใจ มองเห็นข้อผิดพลาด และแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษร ง.

จะหาได้อย่างไร ง? ง่ายมาก. จำเป็นต้องลบออกจากตัวเลขใดๆ ในชุดข้อมูล ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")

ให้เรานิยาม เช่น งเพื่อเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เราเอาตัวเลขใดๆ ในชุดที่เราต้องการ เช่น 11 มาลบออก หมายเลขก่อนหน้าเหล่านั้น. 8:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ ความแตกต่างคือสาม

คุณสามารถเอามันไปได้ หมายเลขความก้าวหน้าใด ๆเพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ ด-เหมือนเดิมเสมออย่างน้อยก็ที่ต้นแถว อย่างน้อยก็ตรงกลาง อย่างน้อยก็ที่ไหนก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะหมายเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะเลขตัวแรกสุด ไม่มีอันก่อนหน้า)

อีกอย่างก็รู้แบบนั้น. ง=3การค้นหาเลขลำดับที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ทำได้ง่ายมาก ลองบวก 3 เข้ากับเลขห้า - เราได้เลขหก มันจะเป็น 17 ลองบวกสามเข้ากับเลขหก เราจะได้เลขเจ็ด - ยี่สิบ

เรามากำหนดกัน งสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากมากไปหาน้อย:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าต้องพิจารณาโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณ งต้องการจากหมายเลขใด ๆ เอาอันก่อนหน้าออกไปเลือกหมายเลขความก้าวหน้า เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:

ง = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้: จำนวนเต็ม เศษส่วน จำนวนอตรรกยะ หรือจำนวนใดก็ได้

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในชุดเรียกว่า สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนก้าวหน้า มีหมายเลขของตัวเองตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีลูกเล่นใดๆ ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ฯลฯ เช่น ในขั้นที่ 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือเทอมแรก ห้าคือเทอมสอง สิบเอ็ดคือเทอมสี่ เข้าใจไหม...) โปรดเข้าใจให้ชัดเจน - ตัวเลขนั้นเองสามารถเป็นอะไรก็ได้ ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ได้ แต่ การนับตัวเลข- อย่างเคร่งครัด!

จะเขียนความก้าวหน้าในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! แต่ละตัวเลขในชุดจะเขียนเป็นตัวอักษร โดยปกติจะใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก. หมายเลขสมาชิกจะแสดงด้วยดัชนีที่มุมขวาล่าง เราเขียนคำศัพท์โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรืออัฒภาค) เช่นนี้

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- นี่คือหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรแฟนซี ชุดนี้สามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้: (หนึ่ง).

ความก้าวหน้าเกิดขึ้น มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด

สุดยอดความก้าวหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่มันเป็นจำนวนจำกัด

อนันต์ความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุด อย่างที่คุณอาจเดาได้)

คุณสามารถเขียนความคืบหน้าขั้นสุดท้ายผ่านชุดข้อมูลลักษณะนี้ โดยมีทุกพจน์และมีจุดต่อท้าย:

1, 2, 3, 4, 5.

หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกเยอะ:

1, 2, ... 14, 15

ในรายการสั้น ๆ คุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิกยี่สิบคน) ดังนี้:

(น) n = 20

ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดสามารถรับรู้ได้ด้วยจุดไข่ปลาที่ท้ายแถว ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขงานได้ งานนั้นเรียบง่าย เพียงเพื่อทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ตัวอย่างงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาดูรายละเอียดงานที่ให้ไว้ข้างต้นโดยละเอียด:

1. เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ มีการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่สิ้นสุด ทราบความก้าวหน้าหมายเลขที่สอง: ก 2 = 5ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า: ง = -2.5เราจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหา หกเทอมแรก โดยเทอมที่สองคือห้า:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

3 = 2 + ง

ทดแทนในการแสดงออก ก 2 = 5และ ง = -2.5. อย่าลืมเกี่ยวกับลบ!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามมีขนาดเล็กกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากจำนวนมากกว่าครั้งก่อน เชิงลบค่าซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะน้อยกว่าตัวเลขก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะ มาพิจารณากัน) เรานับเทอมที่สี่ของซีรีส์ของเรา:

4 = 3 + ง

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + ง

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + ง

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้นจึงมีการคำนวณเงื่อนไขตั้งแต่ที่สามถึงหก ผลลัพธ์ที่ได้คือซีรีส์ต่อไปนี้:

1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

มันยังคงค้นหาเทอมแรก 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี นี่คือก้าวไปอีกทางหนึ่ง ไปทางซ้าย) ดังนั้น ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ งไม่ควรเพิ่มเข้าไป 2, ก เอาไป:

1 = 2 - ง

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

แค่นั้นแหละ. คำตอบที่ได้รับมอบหมาย:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ฉันต้องการทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงเพียงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าเท่านั้น ตามหมายเลขก่อนหน้า(ติดกัน)เราจะดูวิธีอื่นๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าด้านล่าง

ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่ายๆ นี้

จดจำ:

ถ้าเรารู้อย่างน้อยหนึ่งเทอมและผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราจะสามารถหาเทอมใดๆ ของการก้าวหน้านี้ได้

คุณจำได้ไหม? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์หลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทั้งหมด.

แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก) ความไม่เท่าเทียมกัน สมการ และสิ่งอื่นๆ ติดอยู่กับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้านั่นเอง- ทุกอย่างหมุนรอบพารามิเตอร์สามตัว

เป็นตัวอย่าง ลองดูงานยอดนิยมบางงานในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อันจำกัดเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d = 0.4 และ a 1 = 3.6

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างได้รับไปแล้ว คุณต้องจำไว้ว่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกนับอย่างไร นับและจดบันทึกไว้ ขอแนะนำอย่าพลาดคำศัพท์ในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนหน้าซีดหมด) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความก้าวหน้านี้:

2 = 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

3 = 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

4 = 3 + ง = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + ง = 4.8 + 0.4 = 5.2

ยังคงต้องเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. พิจารณาว่าหมายเลข 7 จะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หรือไม่หาก ก 1 = 4.1; ง = 1.2

อืม... ใครรู้บ้าง? จะตรวจสอบบางสิ่งได้อย่างไร?

ฮาวทู... เขียนความคืบหน้าเป็นซีรีส์แล้วดูว่าจะมีเซเว่นอยู่หรือเปล่า! เรานับ:

ก 2 = ก 1 + ง = 4.1 + 1.2 = 5.3

3 = 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

4 = 3 + ง = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ตอนนี้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าเราอายุแค่เจ็ดขวบ ลื่นไถลผ่านระหว่าง 6.5 ถึง 7.7! เจ็ดไม่รวมอยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบ: ไม่.

และนี่คือปัญหาตาม GIA เวอร์ชันจริง:

4. มีการเขียนคำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

...; 15; เอ็กซ์; 9; 6; ...

นี่คือซีรีส์ที่เขียนโดยไม่มีที่สิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิก ไม่มีความแตกต่าง ง. ไม่เป็นไร. เพื่อแก้ปัญหา แค่เข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มาดูกันว่าอะไรเป็นไปได้ ที่จะรู้ว่าจากซีรีย์นี้เหรอ? พารามิเตอร์หลักสามประการคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขเดียวที่นี่

แต่มีตัวเลขสามตัวและ - โปรดทราบ! - คำ "สม่ำเสมอ"อยู่ในสภาพ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง แถวนี้มีสองคนเหรอ? ใกล้เคียงรู้จักตัวเลขเหรอ? ใช่ฉันมี! เหล่านี้คือ 9 และ 6 ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้! ลบออกจากหก ก่อนหน้าหมายเลขเช่น เก้า:

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น เลขอะไรจะเป็นเลขก่อนหน้าของ X? สิบห้า. ซึ่งหมายความว่า X สามารถหาได้ง่ายโดยการบวกง่ายๆ เพิ่มส่วนต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็น 15:

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบ: x=12

เราแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเราเอง หมายเหตุ: ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตร เพื่อเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง) เราแค่เขียนชุดตัวเลขและตัวอักษร ดูและคิดออก

5. ค้นหาพจน์บวกแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้า 5 = -3; ง = 1.1

6. เป็นที่รู้กันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 = 1.6; ง = 1.3 กำหนดหมายเลข n ของเทอมนี้

7. เป็นที่ทราบกันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 4; 5 = 15.1 หา 3.

8. มีการเขียนคำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

...; 15.6; เอ็กซ์; 3.4; ...

ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนตัวจากสถานีโดยเพิ่มความเร็วสม่ำเสมอ 30 เมตรต่อนาที รถไฟในห้านาทีจะมีความเร็วเท่าไร? ให้คำตอบเป็น กม./ชม.

10. เป็นที่รู้กันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 5; 6 = -5 หา 1.

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ทุกอย่างได้ผลใช่ไหม? อัศจรรย์! คุณสามารถเชี่ยวชาญความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผลเหรอ? ไม่มีปัญหา. ในตอนพิเศษ 555 ปัญหาทั้งหมดนี้จะถูกแยกออกทีละส่วน) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการปฏิบัติง่ายๆ ที่เน้นวิธีแก้ปัญหาของงานดังกล่าวอย่างชัดเจนในทันที!

อย่างไรก็ตาม ในเกมไขปริศนารถไฟ มีปัญหาสองประการที่ผู้คนมักจะสะดุดล้ม เรื่องหนึ่งเป็นเรื่องของความก้าวหน้าล้วนๆ และเรื่องที่สองเป็นเรื่องทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง มันแสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ควรได้รับการแก้ไขอย่างไร

ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวแปรหลัก นี่ก็เพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม งเป็นตัวเลข เขียนเป็นชุด ทุกอย่างจะได้รับการแก้ไข

การใช้นิ้วใช้ได้ผลดีกับส่วนที่สั้นมากในแถว ดังตัวอย่างในบทช่วยสอนนี้ หากอนุกรมยาวกว่านี้ การคำนวณก็จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากอยู่ในปัญหา 9 ในคำถาม เราจะแทนที่ "ห้านาที"บน "สามสิบห้านาที"ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)

และยังมีงานที่มีเนื้อหาเรียบง่าย แต่ไร้สาระในแง่ของการคำนวณเช่น:

มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ค้นหา 121 ถ้า 1 =3 และ d=1/6

แล้วเราจะบวก 1/6 หลายๆ ครั้งล่ะ?! ฆ่าตัวตายได้!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่ายๆ ที่คุณสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานี้ได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกคนที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ) ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).

ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้

บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้

ตัวอย่างเช่น,

สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้

หนึ่ง= 2ไม่มี 1,

และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร

ข n = (-1)n +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับของจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าซึ่งมีการเพิ่มจำนวนเดียวกันเข้าไป

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่างของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n

หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

หนึ่ง = 2n- 7,

n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค

หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,

หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก นะเค +ก ไม่มี+เค
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ

ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + . .+ หนึ่ง,

อันดับแรก n เงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:

จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์

เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,

ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณเหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ โดยที่:

ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
ถ้า ง < 0 แล้วมันก็ลดลง;
ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .

คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,

บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ หนึ่งในตัวเลขนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

บีเอ็น= -3 2 n,

บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,

บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .

เพราะฉะนั้น,

บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร

บีเอ็น = ข · qn - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

บีเอ็น = ข · qn - เค,

บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค

กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

ข ม· บีเอ็น= ข· ข,

ม+ n= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น

อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ ถาม = 1 - ตามสูตร

ส= ไม่มี 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด

ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,

จากนั้นจึงใช้สูตร:

ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข ·	1 - qn - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :

ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

พีเอ็น= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n . จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร