ความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและเศษส่วนคืออะไร? เศษส่วนร่วม ทั้งแบบปกติและแบบไม่เหมาะสม แบบผสมและแบบประกอบ การบวกทศนิยม

เศษส่วนของหน่วยและแสดงเป็น \frac(ก)(ข).

ตัวเศษของเศษส่วน (a)- ตัวเลขที่อยู่เหนือเส้นเศษส่วนและแสดงจำนวนหุ้นที่แบ่งหน่วย

ตัวส่วนเศษส่วน (b)- ตัวเลขที่อยู่ใต้เส้นเศษส่วนและแสดงจำนวนหน่วยที่แบ่งออกเป็น

ซ่อนแสดง

คุณสมบัติหลักของเศษส่วน

ถ้า ad=bc ก็จะมีเศษส่วน 2 ตัว \frac(ก)(ข)และ \frac(ค)(ง)ถือว่าเท่าเทียมกัน เช่น เศษส่วนจะเท่ากัน \frac35และ \frac(9)(15)เนื่องจาก 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 \frac(12)(7)และ \frac(24)(14)เนื่องจาก 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24

จากนิยามความเท่ากันของเศษส่วน จะได้ว่าเศษส่วนจะเท่ากัน \frac(ก)(ข)และ \frac(น)(ขม)เนื่องจาก a(bm)=b(am) เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของการใช้สมบัติการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยนของการคูณจำนวนธรรมชาติในทางปฏิบัติ

วิธี \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- หน้าตาเป็นแบบนี้ คุณสมบัติหลักของเศษส่วน.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้เศษส่วนเท่ากับค่าที่กำหนดโดยการคูณหรือหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเดิมด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากัน

การลดเศษส่วนคือ กระบวนการแทนที่เศษส่วนโดยให้เศษส่วนใหม่เท่ากับเศษส่วนเดิมแต่มีเศษและส่วนน้อยกว่า

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องลดเศษส่วนตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(ตัวเศษและส่วนหารด้วยเลข 3) เศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้อีกครั้งด้วยการหารด้วย 5 นั่นคือ \frac(15)(20)=\frac 34.

เศษส่วนที่ลดไม่ได้เป็นเศษส่วนของแบบฟอร์ม \frac 34โดยที่ทั้งเศษและส่วนเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน วัตถุประสงค์หลักของการลดเศษส่วนคือทำให้เศษส่วนไม่สามารถลดได้

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

ลองใช้เศษส่วนสองตัวเป็นตัวอย่าง: \frac(2)(3)และ \frac(5)(8)โดยมีตัวส่วนต่างกัน 3 และ 8 เพื่อที่จะนำเศษส่วนเหล่านี้มาเป็นตัวส่วนร่วม ขั้นแรกให้คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วน \frac(2)(3)ภายใน 8 เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). จากนั้นเราก็คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วน \frac(5)(8)โดย 3 เป็นผลให้เราได้รับ: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). ดังนั้นเศษส่วนเดิมจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม 24

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของเศษส่วนสามัญ

การบวกเศษส่วนสามัญ

ก) ถ้าตัวส่วนเท่ากัน ตัวเศษของเศษส่วนแรกจะถูกบวกเข้ากับตัวเศษของเศษส่วนที่สอง โดยปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ดังที่คุณเห็นในตัวอย่าง:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) สำหรับตัวส่วนที่แตกต่างกัน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นจึงบวกตัวเศษตามกฎ a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

การลบเศษส่วน

ก) ถ้าตัวส่วนเท่ากัน ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก โดยปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) หากตัวส่วนของเศษส่วนต่างกัน ให้นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นให้ทำซ้ำเหมือนข้อ ก)

การคูณเศษส่วนร่วม

การคูณเศษส่วนเป็นไปตามกฎต่อไปนี้:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

นั่นคือพวกมันคูณตัวเศษและตัวส่วนแยกจากกัน

ตัวอย่างเช่น:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

การหารเศษส่วน

เศษส่วนจะถูกแบ่งดังนี้:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

นั่นคือเศษส่วน \frac(ก)(ข)คูณด้วยเศษส่วน \frac(ง)(ค).

ตัวอย่าง: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

ตัวเลขซึ่งกันและกัน

ถ้า ab=1 แล้วเลข b จะเป็น หมายเลขซึ่งกันและกันสำหรับหมายเลข a

ตัวอย่าง: สำหรับหมายเลข 9 ส่วนกลับคือ \frac(1)(9), เพราะ 9\cdot\frac(1)(9)=1สำหรับหมายเลข 5 - \frac(1)(5), เพราะ 5\cdot\frac(1)(5)=1.

ทศนิยม

ทศนิยมเรียกว่าเศษส่วนแท้ซึ่งมีตัวส่วนเป็น 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n

ตัวอย่างเช่น: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

จำนวนที่ไม่ปกติซึ่งมีตัวส่วนเป็น 10^n หรือจำนวนคละจะเขียนในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

เศษส่วนสามัญใดๆ ที่มีตัวส่วนเป็นตัวหารของกำลัง 10 จะถูกแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยม

ตัวอย่าง: 5 เป็นตัวหารของ 100 ดังนั้นจึงเป็นเศษส่วน \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทศนิยม

การบวกทศนิยม

ในการบวกเศษส่วนทศนิยมสองตัว คุณต้องจัดเรียงให้มีจำนวนหลักที่เหมือนกันอยู่ข้างใต้และมีลูกน้ำอยู่ใต้เครื่องหมายจุลภาค จากนั้นจึงบวกเศษส่วนเหมือนตัวเลขธรรมดา

การลบทศนิยม

ดำเนินการในลักษณะเดียวกับการบวก

การคูณทศนิยม

เมื่อคูณเลขทศนิยมก็เพียงพอที่จะคูณตัวเลขที่กำหนดโดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค (เช่น ตัวเลขธรรมชาติ) และในคำตอบที่ได้จะมีลูกน้ำทางขวาเพื่อแยกตัวเลขให้มากเท่าที่มีหลังจุดทศนิยมในทั้งสองปัจจัย เบ็ดเสร็จ.

ลองคูณ 2.7 ด้วย 1.3 กัน เรามี 27 \cdot 13=351 เราคั่นตัวเลขสองตัวทางขวาด้วยลูกน้ำ (ตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองจะมีหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม; 1+1=2) ผลลัพธ์ที่ได้คือ 2.7 \cdot 1.3=3.51

หากผลลัพธ์ที่ได้มีตัวเลขน้อยกว่าที่ต้องคั่นด้วยลูกน้ำ เลขศูนย์ที่หายไปจะถูกเขียนไว้ข้างหน้า เช่น:

หากต้องการคูณด้วย 10, 100, 1,000 คุณจะต้องเลื่อนจุดทศนิยม 1, 2, 3 หลักไปทางขวา (หากจำเป็น จะมีการกำหนดเลขศูนย์จำนวนหนึ่งไปทางขวาหากจำเป็น)

ตัวอย่างเช่น: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700

การหารทศนิยม

การหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติจะทำในลักษณะเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยจำนวนธรรมชาติ เครื่องหมายจุลภาคในผลหารจะถูกวางไว้หลังจากการหารส่วนทั้งหมดเสร็จสิ้น

หากส่วนของจำนวนเต็มของเงินปันผลน้อยกว่าตัวหาร คำตอบจะเป็นจำนวนเต็มศูนย์ เช่น

ลองดูการหารทศนิยมด้วยทศนิยม สมมุติว่าเราต้องหาร 2.576 ด้วย 1.12 ก่อนอื่น ลองคูณเงินปันผลและตัวหารของเศษส่วนด้วย 100 นั่นคือย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาในเงินปันผลและตัวหารด้วยหลักเท่าที่มีในตัวหารหลังจุดทศนิยม (ในตัวอย่างนี้ สอง). จากนั้นคุณต้องหารเศษส่วน 257.6 ด้วยจำนวนธรรมชาติ 112 นั่นคือปัญหาจะลดลงตามกรณีที่พิจารณาแล้ว:

มันเกิดขึ้นว่าไม่ได้รับเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายเสมอไปเมื่อหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ในกรณีเช่นนี้ เราจะไปยังเศษส่วนสามัญ

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ เศษส่วนทั่วไป. ในที่นี้เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนของจำนวนเต็ม ซึ่งจะนำเราไปสู่คำจำกัดความของเศษส่วนร่วม ต่อไป เราจะพูดถึงสัญกรณ์ที่เป็นที่ยอมรับสำหรับเศษส่วนสามัญและยกตัวอย่างเศษส่วน สมมติว่าเกี่ยวกับตัวเศษและส่วนของเศษส่วน หลังจากนี้ เราจะให้คำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม บวกและลบ และพิจารณาตำแหน่งของตัวเลขเศษส่วนบนรังสีพิกัดด้วย โดยสรุป เราจะแสดงรายการการดำเนินการหลักด้วยเศษส่วน

การนำทางหน้า

หุ้นทั้งหมด

ก่อนอื่นเราขอแนะนำ แนวคิดเรื่องการแบ่งปัน.

สมมติว่าเรามีวัตถุบางอย่างที่ประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันทุกประการหลายส่วน (นั่นคือ เท่ากัน) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการได้ เช่น แอปเปิ้ลหั่นเป็นชิ้นเท่าๆ กัน หรือส้มที่มีชิ้นเท่าๆ กันหลายชิ้น แต่ละส่วนที่เท่ากันเหล่านี้ซึ่งประกอบเป็นวัตถุทั้งหมดเรียกว่า บางส่วนของทั้งหมดหรือเพียงแค่ หุ้น.

โปรดทราบว่าหุ้นมีความแตกต่างกัน มาอธิบายเรื่องนี้กัน ขอให้เรามีแอปเปิ้ลสองลูก ตัดแอปเปิ้ลลูกแรกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และลูกที่สองออกเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กัน เห็นได้ชัดว่าส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลลูกแรกจะแตกต่างจากส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลลูกที่สอง

ขึ้นอยู่กับจำนวนหุ้นที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุทั้งหมด การแชร์เหล่านี้มีชื่อของตัวเอง มาจัดเรียงกัน ชื่อของจังหวะ. ถ้าวัตถุประกอบด้วยสองส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าส่วนที่สองของวัตถุทั้งหมด ถ้าวัตถุประกอบด้วยสามส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าหนึ่งในสามส่วน และต่อๆ ไป

การแบ่งปันครั้งที่สองมีชื่อพิเศษ - ครึ่ง. หนึ่งในสามเรียกว่า ที่สามและหนึ่งในสี่ส่วน - หนึ่งในสี่.

เพื่อความกระชับจึงได้แนะนำสิ่งต่อไปนี้: เอาชนะสัญลักษณ์. หุ้นหนึ่งหุ้นที่สองถูกกำหนดเป็นหรือ 1/2 หุ้นหนึ่งในสามถูกกำหนดเป็นหรือ 1/3 หนึ่งในสี่แชร์ - ไลค์หรือ 1/4 และอื่นๆ โปรดทราบว่ามีการใช้สัญลักษณ์ที่มีแถบแนวนอนบ่อยกว่า เพื่อเสริมกำลังวัสดุ ให้เรายกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่ง: รายการหมายถึงส่วนที่หนึ่งร้อยหกสิบเจ็ดของทั้งหมด

แนวคิดเรื่องการแบ่งปันขยายจากวัตถุไปสู่ปริมาณโดยธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในการวัดความยาวคือเมตร หากต้องการวัดความยาวที่สั้นกว่าหนึ่งเมตร ให้ใช้เศษส่วนของเมตรได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ครึ่งเมตรหรือหนึ่งในสิบหรือหนึ่งในพันของเมตรได้ ส่วนแบ่งของปริมาณอื่น ๆ ก็ใช้เช่นเดียวกัน

เศษส่วนสามัญ ความหมาย และตัวอย่างเศษส่วน

เพื่ออธิบายจำนวนหุ้นที่เราใช้ เศษส่วนทั่วไป. ขอให้เรายกตัวอย่างที่จะช่วยให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญได้

ให้ส้มประกอบด้วย 12 ส่วน แต่ละส่วนแบ่งในกรณีนี้แสดงถึงหนึ่งในสิบสองของส้มทั้งหมด ซึ่งก็คือ เราแสดงว่าสองจังหวะเป็น , สามจังหวะเป็น และอื่น ๆ 12 จังหวะที่เราแสดงว่าเป็น แต่ละรายการที่ระบุเรียกว่าเศษส่วนสามัญ

ตอนนี้ให้ทั่วไป คำจำกัดความของเศษส่วนร่วม.

คำจำกัดความที่เปล่งออกมาของเศษส่วนสามัญช่วยให้เราสามารถให้ได้ ตัวอย่างของเศษส่วนร่วม: 5/10, , 21/1, 9/4, . และนี่คือบันทึก ไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่ระบุไว้ กล่าวคือ เศษส่วนเหล่านี้ไม่ใช่เศษส่วนธรรมดา

ตัวเศษและตัวส่วน

เพื่อความสะดวก เศษส่วนธรรมดาจะถูกแยกออก ตัวเศษและตัวส่วน.

คำนิยาม.

เศษเศษส่วนสามัญ (m/n) เป็นจำนวนธรรมชาติ m

คำนิยาม.

ตัวส่วนเศษส่วนร่วม (m/n) คือจำนวนธรรมชาติ n

ดังนั้น ตัวเศษจะอยู่เหนือเส้นเศษส่วน (ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายทับ) และตัวส่วนจะอยู่ใต้เส้นเศษส่วน (ทางด้านขวาของเครื่องหมายทับ) ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนร่วม 17/29 ตัวเศษของเศษส่วนนี้คือเลข 17 และตัวส่วนคือเลข 29

ยังคงต้องหารือถึงความหมายที่มีอยู่ในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามัญ ตัวส่วนของเศษส่วนจะแสดงจำนวนส่วนของวัตถุหนึ่งชิ้น และตัวเศษก็ระบุถึงจำนวนของส่วนดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ตัวส่วน 5 ของเศษส่วน 12/5 หมายความว่าวัตถุหนึ่งชิ้นประกอบด้วยห้าส่วน และตัวเศษ 12 หมายความว่ามีการแบ่ง 12 ส่วนดังกล่าว

จำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 1

ตัวส่วนของเศษส่วนร่วมสามารถเท่ากับหนึ่งได้ ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาว่าวัตถุนั้นแบ่งแยกไม่ได้ กล่าวคือ มันแสดงถึงบางสิ่งทั้งหมด ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวจะระบุจำนวนวัตถุที่ถูกหยิบไปทั้งหมด ดังนั้น เศษส่วนธรรมดาที่อยู่ในรูป m/1 จึงมีความหมายเป็นจำนวนธรรมชาติ m นี่คือวิธีที่เรายืนยันความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน m/1=m

ลองเขียนความเสมอภาคสุดท้ายใหม่ดังนี้: m=m/1 ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เราสามารถแทนจำนวนธรรมชาติ m ใดๆ ให้เป็นเศษส่วนสามัญได้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 4 คือเศษส่วน 4/1 และตัวเลข 103,498 เท่ากับเศษส่วน 103,498/1

ดังนั้น, เลขธรรมชาติใดๆ m สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาโดยมีส่วนเป็น 1 เป็น m/1 และเศษส่วนสามัญใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ m/1 สามารถแทนที่ด้วยเลขธรรมชาติ m.

แถบเศษส่วนเป็นเครื่องหมายหาร

การแสดงวัตถุดั้งเดิมในรูปแบบของการแบ่งใช้ n ครั้งนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน หลังจากที่รายการหนึ่งถูกแบ่งออกเป็น n หุ้น เราสามารถแบ่งให้คน n คนเท่าๆ กัน โดยแต่ละคนจะได้รับหนึ่งหุ้น

หากเริ่มแรกเรามีวัตถุที่เหมือนกัน m ชิ้น ซึ่งแต่ละชิ้นถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เราก็จะสามารถแบ่งวัตถุ m เหล่านี้ให้กับคน n คนเท่าๆ กัน โดยให้แต่ละคนได้ 1 ส่วนแบ่งจากวัตถุ m แต่ละตัว ในกรณีนี้ แต่ละคนจะมี m หุ้นของ 1/n และ m หุ้นของ 1/n ให้เศษส่วนร่วม m/n ดังนั้น เศษส่วนร่วม m/n สามารถใช้แทนการแบ่งรายการ m ระหว่าง n คนได้

นี่คือวิธีที่เราเชื่อมโยงอย่างชัดเจนระหว่างเศษส่วนสามัญและการหาร (ดูแนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนธรรมชาติ) การเชื่อมต่อนี้แสดงดังต่อไปนี้: เส้นเศษส่วนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเครื่องหมายการหาร นั่นคือ m/n=m:n.

เมื่อใช้เศษส่วนธรรมดา คุณสามารถเขียนผลลัพธ์ของการหารจำนวนธรรมชาติสองตัวซึ่งไม่สามารถหารทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการหารแอปเปิ้ล 5 ผลด้วย 8 คนสามารถเขียนเป็น 5/8 กล่าวคือ ทุกคนจะได้แอปเปิ้ลห้าในแปด: 5:8 = 5/8

เศษส่วนที่เท่ากันและไม่เท่ากัน การเปรียบเทียบเศษส่วน

การกระทำที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติก็คือ การเปรียบเทียบเศษส่วนเพราะเห็นได้ชัดว่า 1/12 ของส้มแตกต่างจาก 5/12 และ 1/6 ของแอปเปิ้ลก็เหมือนกับอีก 1/6 ของแอปเปิ้ลนี้

จากการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาสองตัวจะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง: เศษส่วนนั้นเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ในกรณีแรกที่เรามี เศษส่วนร่วมที่เท่ากันและในวินาที- เศษส่วนสามัญที่ไม่เท่ากัน. ให้เราให้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่เท่ากันและไม่เท่ากัน

คำนิยาม.

เท่ากันถ้าความเท่าเทียมกัน a·d=b·c เป็นจริง

คำนิยาม.

เศษส่วนร่วมสองตัว a/b และ c/d ไม่เท่ากับถ้าความเท่าเทียมกัน a·d=b·c ไม่เป็นที่พอใจ

นี่คือตัวอย่างเศษส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนร่วม 1/2 เท่ากับเศษส่วน 2/4 เนื่องจาก 1·4=2·2 (หากจำเป็น โปรดดูกฎและตัวอย่างการคูณจำนวนธรรมชาติ) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการถึงแอปเปิ้ลที่เหมือนกันสองตัว อันแรกถูกตัดครึ่ง และอันที่สองถูกตัดออกเป็น 4 ส่วน เห็นได้ชัดว่าแอปเปิ้ลสองในสี่เท่ากับ 1/2 ส่วนแบ่ง ตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนร่วมที่เท่ากันคือ เศษส่วน 4/7 และ 36/63 และเศษส่วนคู่ 81/50 และ 1,620/1,000

แต่เศษส่วนสามัญ 4/13 และ 5/14 นั้นไม่เท่ากัน เนื่องจาก 4·14=56 และ 13·5=65 นั่นคือ 4·14≠13·5 ตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนร่วมที่ไม่เท่ากันคือเศษส่วน 17/7 และ 6/4

หากเมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนทั่วไปสองตัวแล้วปรากฏว่าพวกมันไม่เท่ากัน คุณอาจต้องค้นหาเศษส่วนทั่วไปตัวใด น้อยแตกต่างและอันไหน - มากกว่า. หากต้องการทราบว่ามีการใช้กฎสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญซึ่งสาระสำคัญคือการนำเศษส่วนที่เปรียบเทียบมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเปรียบเทียบตัวเศษ ข้อมูลโดยละเอียดในหัวข้อนี้รวบรวมไว้ในบทความการเปรียบเทียบเศษส่วน: กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

ตัวเลขเศษส่วน

แต่ละเศษส่วนเป็นสัญกรณ์ จำนวนเศษส่วน. นั่นคือเศษส่วนเป็นเพียง "เปลือก" ของจำนวนเศษส่วนลักษณะที่ปรากฏและโหลดความหมายทั้งหมดมีอยู่ในจำนวนเศษส่วน อย่างไรก็ตาม เพื่อความกระชับและสะดวก จึงนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนและจำนวนเศษส่วนมารวมกันและเรียกง่ายๆ ว่าเศษส่วน เป็นการเหมาะสมที่จะถอดความคำพูดที่รู้จักกันดี: เราพูดว่าเศษส่วน - เราหมายถึงจำนวนเศษส่วน, เราพูดว่าจำนวนเศษส่วน - เราหมายถึงเศษส่วน

เศษส่วนบนรังสีพิกัด

ตัวเลขเศษส่วนทั้งหมดที่สอดคล้องกับเศษส่วนธรรมดาจะมีตำแหน่งเฉพาะของตัวเอง นั่นคือมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเศษส่วนกับจุดของรังสีพิกัด

เพื่อที่จะไปยังจุดบนรังสีพิกัดที่สัมพันธ์กับเศษส่วน m/n คุณต้องแยกส่วน m ออกจากจุดกำเนิดในทิศทางบวก ซึ่งมีความยาวเท่ากับ 1/n เศษส่วนของส่วนของหน่วย ส่วนดังกล่าวสามารถหาได้โดยการแบ่งส่วนของหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด

ตัวอย่างเช่น ลองแสดงจุด M บนรังสีพิกัดซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน 14/10 ความยาวของส่วนที่ปลายอยู่ที่จุด O และจุดที่ใกล้เคียงที่สุด โดยมีเครื่องหมายขีดเล็กๆ กำกับไว้ คือ 1/10 ของส่วนของหน่วย จุดที่มีพิกัด 14/10 จะถูกลบออกจากจุดกำเนิดที่ระยะห่าง 14 ส่วนดังกล่าว

เศษส่วนที่เท่ากันสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนเดียวกัน กล่าวคือ เศษส่วนที่เท่ากันคือพิกัดของจุดเดียวกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่นพิกัด 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 สอดคล้องกับจุดหนึ่งบนรังสีพิกัดเนื่องจากเศษส่วนที่เขียนทั้งหมดเท่ากัน (อยู่ที่ระยะครึ่งส่วนของหน่วยที่วางไว้ จากจุดกำเนิดไปในทิศทางบวก)

บนรังสีพิกัดแนวนอนและทิศทางขวา จุดที่มีพิกัดเป็นเศษส่วนมากกว่าจะอยู่ทางด้านขวาของจุดซึ่งมีพิกัดเป็นเศษส่วนน้อยกว่า ในทำนองเดียวกัน จุดที่มีพิกัดเล็กกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่มีพิกัดใหญ่กว่า

เศษส่วน คำจำกัดความ และตัวอย่างที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม

ในบรรดาเศษส่วนธรรมดาก็มี เศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน. การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน

ให้เรานิยามเศษส่วนสามัญที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม

คำนิยาม.

เศษส่วนแท้เป็นเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน กล่าวคือ ถ้า m

คำนิยาม.

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมคือเศษส่วนสามัญที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน กล่าวคือ ถ้า m≥n แสดงว่าเศษส่วนสามัญนั้นไม่เหมาะสม

นี่คือตัวอย่างเศษส่วนแท้: 1/4, , 32,765/909,003 อันที่จริงเศษส่วนสามัญที่เขียนไว้แต่ละตัวจะมีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน (หากจำเป็น โปรดดูบทความเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นจึงถูกต้องตามคำจำกัดความ

นี่คือตัวอย่างเศษส่วนเกิน: 9/9, 23/4, . อันที่จริง ตัวเศษของเศษส่วนสามัญตัวแรกที่เขียนมีค่าเท่ากับตัวส่วน และในเศษส่วนที่เหลือตัวเศษจะมากกว่าตัวส่วน

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความของเศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน โดยอาศัยการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วนอย่างใดอย่างหนึ่ง

คำนิยาม.

ถูกต้องถ้ามันน้อยกว่าหนึ่ง

คำนิยาม.

เศษส่วนสามัญเรียกว่า ผิดถ้ามันเท่ากับหนึ่งหรือมากกว่า 1

ดังนั้นเศษส่วนร่วม 7/11 จึงถูกต้อง เนื่องจาก 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 และ 27/27=1

ลองคิดดูว่าเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนสมควรได้รับชื่อเช่นนี้ - "ไม่เหมาะสม"

ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนเกิน 9/9 กัน เศษส่วนนี้หมายความว่านำเก้าส่วนมาจากวัตถุที่ประกอบด้วยเก้าส่วน นั่นคือจากเก้าส่วนที่มีอยู่เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ นั่นคือเศษส่วนเกิน 9/9 จะให้วัตถุทั้งหมด นั่นคือ 9/9 = 1 โดยทั่วไป เศษส่วนเกินที่มีตัวเศษเท่ากับตัวส่วนจะหมายถึงวัตถุทั้งหมดชิ้นเดียว และเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ 1 ได้

ตอนนี้ให้พิจารณาเศษส่วนเกิน 7/3 และ 12/4 เห็นได้ชัดว่าจากเจ็ดส่วนที่สามนี้เราสามารถประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้นได้ (วัตถุหนึ่งชิ้นทั้งหมดประกอบด้วย 3 ส่วน จากนั้นเราจะต้องใช้ 3 + 3 = 6 ส่วนเพื่อประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้น) และจะยังเหลืออีกส่วนหนึ่งในสาม . นั่นคือเศษส่วนเกิน 7/3 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงวัตถุ 2 ชิ้นและ 1/3 ของวัตถุนั้นด้วย และจากสิบสองส่วนในสี่ส่วน เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้สามชิ้น (วัตถุสามชิ้น แต่ละชิ้นมีสี่ส่วน) นั่นคือเศษส่วน 12/4 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงวัตถุทั้งหมด 3 ชิ้น

ตัวอย่างที่พิจารณาแล้วนำเราไปสู่ข้อสรุปต่อไปนี้: เศษส่วนเกินสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติก็ได้ เมื่อตัวเศษถูกหารด้วยตัวส่วนเท่าๆ กัน (เช่น 9/9=1 และ 12/4=3) หรือด้วยผลรวม ของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ เมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่เท่ากัน (เช่น 7/3=2+1/3) บางทีนี่อาจเป็นสิ่งที่ทำให้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมทำให้ชื่อ "ไม่สม่ำเสมอ"

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแทนเศษส่วนเกินเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ (7/3=2+1/3) กระบวนการนี้เรียกว่าการแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน และสมควรได้รับการพิจารณาแยกจากกันและรอบคอบมากขึ้น

นอกจากนี้ ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกันมากระหว่างเศษส่วนเกินกับจำนวนคละ

เศษส่วนบวกและลบ

เศษส่วนร่วมแต่ละเศษส่วนสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนที่เป็นบวก (ดูบทความเกี่ยวกับจำนวนบวกและลบ) นั่นก็คือเศษส่วนธรรมดานั่นเอง เศษส่วนบวก. เช่น เศษส่วนสามัญ 1/5, 56/18, 35/144 เป็นเศษส่วนบวก เมื่อคุณต้องการเน้นด้านบวกของเศษส่วน จะมีการวางเครื่องหมายบวกไว้ข้างหน้า เช่น +3/4, +72/34

หากคุณใส่เครื่องหมายลบหน้าเศษส่วนร่วม ค่านี้จะสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนที่เป็นลบ ในกรณีนี้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ เศษส่วนติดลบ. นี่คือตัวอย่างเศษส่วนติดลบ: −6/10, −65/13, −1/18

เศษส่วนบวกและลบ m/n และ −m/n เป็นตัวเลขที่ตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5/7 และ −5/7 เป็นเศษส่วนตรงข้าม

เศษส่วนที่เป็นบวก เช่นเดียวกับจำนวนบวกโดยทั่วไป แสดงถึงการบวก รายได้ การเปลี่ยนแปลงที่เพิ่มขึ้นในค่าใดๆ เป็นต้น เศษส่วนติดลบสอดคล้องกับค่าใช้จ่าย หนี้สิน หรือปริมาณที่ลดลง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนติดลบ −3/4 สามารถตีความได้ว่าเป็นหนี้ซึ่งมีมูลค่าเท่ากับ 3/4

ในทิศทางแนวนอนและทางขวา เศษส่วนติดลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด จุดบนเส้นพิกัด ซึ่งพิกัดเป็นเศษส่วนบวก m/n และเศษส่วนลบ −m/n อยู่ในระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน แต่อยู่ด้านตรงข้ามของจุด O

ต่อไปนี้เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญถึงเศษส่วนในรูปแบบ 0/n เศษส่วนเหล่านี้เท่ากับเลขศูนย์ นั่นคือ 0/n=0

เศษส่วนบวก เศษส่วนลบ และเศษส่วน 0/n รวมกันเป็นจำนวนตรรกยะ

การดำเนินการกับเศษส่วน

เราได้กล่าวถึงการกระทำหนึ่งกับเศษส่วนสามัญแล้ว - เปรียบเทียบเศษส่วน - ข้างต้น มีการกำหนดฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมอีกสี่ฟังก์ชัน การดำเนินการกับเศษส่วน– การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วน มาดูกันทีละอัน

สาระสำคัญทั่วไปของการดำเนินการที่มีเศษส่วนนั้นคล้ายคลึงกับสาระสำคัญของการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ มาทำการเปรียบเทียบกัน

การคูณเศษส่วนสามารถมองได้ว่าเป็นการกระทำในการหาเศษส่วนจากเศษส่วน เพื่อชี้แจงเราขอยกตัวอย่าง ให้เรามีแอปเปิ้ล 1/6 ผล และเราต้องเอา 2/3 ของมัน. ส่วนที่เราต้องการคือผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วน 1/6 และ 2/3 ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนสามัญสองตัวจะได้เศษส่วนสามัญ (ซึ่งในกรณีพิเศษจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติ) ต่อไป เราขอแนะนำให้คุณศึกษาข้อมูลในบทความการคูณเศษส่วน - กฎ ตัวอย่าง และวิธีแก้ไข

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 สถาบันการศึกษา.
• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่นๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

เราใช้เศษส่วนตลอดเวลาในชีวิต เช่น เมื่อเรากินเค้กกับเพื่อน เค้กสามารถแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่า ๆ กันหรือ 8 ส่วน หุ้น. แบ่งปัน- นี่คือส่วนที่เท่ากันของบางสิ่งทั้งหมด เพื่อนสี่คนกินเค้กชิ้นหนึ่ง สี่ที่นำมาจากแปดชิ้นสามารถเขียนในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ เศษส่วนทั่วไป\(\frac(4)(8)\) อ่านเศษส่วน “สี่ในแปด” หรือ “สี่หารด้วยแปด” เศษส่วนร่วมเรียกอีกอย่างว่า เศษส่วนอย่างง่าย.

แถบเศษส่วนจะแทนที่การหาร:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
เราเขียนหุ้นเป็นเศษส่วน ในรูปแบบตัวอักษรมันจะเป็นดังนี้:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – เศษหรือเงินปันผลจะอยู่เหนือเส้นเศษส่วนและแสดงจำนวนหุ้นหรือหุ้นที่ถูกพรากไปจากทั้งหมด
8 – ตัวส่วนหรือตัวหาร จะอยู่ต่ำกว่าเส้นเศษส่วนและแสดงจำนวนส่วนหรือหุ้นทั้งหมด

ถ้าเรามองใกล้ ๆ เราจะเห็นว่าเพื่อน ๆ กินเค้กไปครึ่งหนึ่งหรือหนึ่งในสองชิ้น ลองเขียนมันเป็นเศษส่วนธรรมดา \(\frac(1)(2)\) อ่านว่า “หนึ่งวินาที”

ลองดูตัวอย่างอื่น:
มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส จัตุรัสถูกแบ่งออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน ทั้งสองส่วนถูกทาสีทับ เขียนเศษส่วนของส่วนที่แรเงาไว้ใช่ไหม? เขียนเศษส่วนของส่วนที่ไม่มีเงาลงไปใช่ไหม?

มีการทาสีทับสองส่วน และมีทั้งหมดห้าส่วน ดังนั้นเศษส่วนจะมีลักษณะดังนี้ \(\frac(2)(5)\) อ่านว่า "สองในห้า"
ไม่ได้ทาสีสามส่วนทับ มีทั้งหมดห้าส่วน ดังนั้นเราจึงเขียนเศษส่วนเป็น \(\frac(3)(5)\) เศษส่วนอ่านว่า "สามในห้า"

ลองแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ แล้วจดเศษส่วนของส่วนที่แรเงาและส่วนที่ไม่มีแรเงาลงไป

มีชิ้นส่วนทาสี 6 ชิ้นและมีทั้งหมด 25 ชิ้น เราได้เศษส่วน \(\frac(6)(25)\) เศษส่วนอ่านว่า "หกยี่สิบห้า"
มี 19 ส่วนที่ไม่ได้ทาสี แต่มีทั้งหมด 25 ส่วน เราได้เศษส่วน \(\frac(19)(25)\) เศษส่วนอ่านว่า "สิบเก้ายี่สิบห้า"

มี 4 ส่วนทาสีทับ และมีทั้งหมด 25 ส่วน เราได้เศษส่วน \(\frac(4)(25)\) เศษส่วนอ่านว่า "สี่ยี่สิบห้า"
มี 21 ส่วนที่ไม่ได้ทาสีทับ แต่มีเพียง 25 ส่วนเท่านั้น เราได้เศษส่วน \(\frac(21)(25)\) เศษส่วนอ่านว่า "ยี่สิบเอ็ดยี่สิบห้า"

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้. ตัวอย่างเช่น:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

จำนวนใดๆ ก็ตามหารด้วย 1 ลงตัว ดังนั้นจำนวนนี้จึงสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

คำถามในหัวข้อ “เศษส่วนร่วม”:
หุ้นคืออะไร?
คำตอบ: แบ่งปัน- นี่คือส่วนที่เท่ากันของบางสิ่งทั้งหมด

ตัวส่วนแสดงอะไร?
คำตอบ: ตัวส่วนแสดงจำนวนหุ้นหรือจำนวนหุ้นทั้งหมดที่ถูกแบ่งออกเป็น

ตัวเศษแสดงอะไร?
ตอบ : ตัวเศษแสดงจำนวนหุ้นหรือหุ้นที่รับไป

ถนนยาว 100 ม. มิชาเดิน 31ม. เขียนนิพจน์เป็นเศษส่วน: Misha เดินไปไกลแค่ไหน?
คำตอบ:\(\frac(31)(100)\)

เศษส่วนร่วมคืออะไร?
คำตอบ: เศษส่วนร่วมคืออัตราส่วนของตัวเศษต่อตัวส่วน โดยที่ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วน ตัวอย่าง เศษส่วนสามัญ \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

วิธีแปลงจำนวนธรรมชาติให้เป็นเศษส่วนร่วม?
คำตอบ: จำนวนใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เช่น \(5 = \frac(5)(1)\)

งาน #1:
เราซื้อแตงโม 2กก. 700ก. พวกเขาตัดแตง \(\frac(2)(9)\) ให้กับมิชา มวลของชิ้นงานที่ตัดเป็นเท่าใด? เมล่อนเหลือกี่กรัมคะ?

สารละลาย:
ลองแปลงกิโลกรัมเป็นกรัม
2กก. = 2000ก
2,000 กรัม + 700 กรัม = น้ำหนักรวม 2,700 กรัมของแตงหนึ่งลูก

พวกเขาตัดแตง \(\frac(2)(9)\) ให้กับมิชา ตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 ซึ่งหมายความว่าแตงแบ่งออกเป็น 9 ส่วน
2700: 9 =น้ำหนัก 300 กรัมต่อชิ้น
ตัวเศษมีหมายเลข 2 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องให้ Misha สองชิ้น
300 + 300 = 600g หรือ 300 ⋅ 2 = 600g คือปริมาณแตงโมที่ Misha กิน

หากต้องการค้นหามวลของแตงที่เหลืออยู่ คุณต้องลบมวลที่กินไปออกจากมวลรวมของแตง
2,700 - 600 = เหลือแตง 2,100 กรัม

เราจะเริ่มพิจารณาหัวข้อนี้ด้วยการศึกษาแนวคิดเรื่องเศษส่วนโดยรวม ซึ่งจะทำให้เรามีความเข้าใจความหมายของเศษส่วนร่วมได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น ให้คำศัพท์พื้นฐานและคำจำกัดความศึกษาหัวข้อในการตีความทางเรขาคณิตเช่น บนเส้นพิกัดและยังกำหนดรายการการดำเนินการพื้นฐานด้วยเศษส่วนอีกด้วย

หุ้นทั้งหมด

ลองจินตนาการถึงวัตถุที่ประกอบด้วยหลายส่วนเท่าๆ กันโดยสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น อาจเป็นสีส้มที่ประกอบด้วยชิ้นที่เหมือนกันหลายชิ้น

คำจำกัดความ 1

เศษส่วนของทั้งหมดหรือส่วนแบ่ง- นี่คือแต่ละส่วนที่เท่ากันซึ่งประกอบกันเป็นวัตถุทั้งหมด

แน่นอนว่าหุ้นอาจแตกต่างกัน เพื่ออธิบายข้อความนี้ให้ชัดเจน ลองจินตนาการถึงแอปเปิ้ล 2 ลูก โดยลูกหนึ่งถูกตัดออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน และลูกที่สองออกเป็นสี่ลูก เป็นที่ชัดเจนว่าขนาดของกลีบที่ได้จะแตกต่างกันไปในแต่ละแอปเปิ้ล

หุ้นมีชื่อของตัวเองซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนหุ้นที่ประกอบเป็นวัตถุทั้งหมด หากออบเจ็กต์มีสองการแบ่งใช้ แต่ละการแบ่งปันจะถูกกำหนดให้เป็นการแบ่งใช้หนึ่งวินาทีของออบเจ็กต์นี้ เมื่อวัตถุประกอบด้วยสามส่วน แต่ละส่วนก็จะเป็นหนึ่งในสามและต่อๆ ไป

คำจำกัดความ 2

ครึ่ง- ส่วนแบ่งหนึ่งวินาทีของวัตถุ

ที่สาม– หนึ่งในสามส่วนแบ่งของวัตถุ

หนึ่งในสี่- หนึ่งในสี่ของวัตถุ

เพื่อย่อสัญลักษณ์ให้สั้นลง จึงมีการใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับเศษส่วน: ครึ่ง - 1 2 หรือ 1/2; ที่สาม - 1 3 หรือ 1/3; หนึ่งในสี่หุ้น - 1 4 หรือ 1/4 และอื่นๆ รายการที่มีแถบแนวนอนจะถูกใช้บ่อยกว่า

แนวคิดเรื่องการแบ่งปันขยายจากวัตถุไปสู่ปริมาณโดยธรรมชาติ ดังนั้น ในการวัดวัตถุขนาดเล็ก เศษส่วนของเมตร (หนึ่งในสามหรือหนึ่งในร้อย) จึงสามารถใช้เป็นหน่วยวัดความยาวได้ สัดส่วนของปริมาณอื่นๆ ก็ใช้ในลักษณะเดียวกันได้

เศษส่วนสามัญ ความหมาย และตัวอย่าง

เศษส่วนทั่วไปใช้เพื่ออธิบายจำนวนหุ้น เรามาดูตัวอย่างง่ายๆ ที่จะทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของเศษส่วนร่วมมากขึ้น

ลองจินตนาการถึงสีส้มที่ประกอบด้วย 12 ส่วน แต่ละครั้งจะเท่ากับหนึ่งในสิบสองหรือ 1/12 สองจังหวะ – 2/12; สามจังหวะ - 3/12 เป็นต้น ทั้ง 12 จังหวะหรือจำนวนเต็มจะมีลักษณะดังนี้: 12/12 สัญกรณ์แต่ละตัวที่ใช้ในตัวอย่างเป็นตัวอย่างของเศษส่วนร่วม

คำจำกัดความ 3

เศษส่วนสามัญเป็นการบันทึกแบบฟอร์ม m n หรือ m/n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตามคำจำกัดความนี้ ตัวอย่างของเศษส่วนสามัญประกอบด้วยรายการต่อไปนี้: 4 / 9, 11 34, 917 54. และรายการเหล่านี้: 11 5, 1, 9 4, 3 ไม่ใช่เศษส่วนธรรมดา

ตัวเศษและตัวส่วน

คำจำกัดความที่ 4

เศษเศษส่วนทั่วไป mn หรือ m/n คือจำนวนธรรมชาติ m

ตัวส่วนเศษส่วนทั่วไป mn หรือ m/n คือจำนวนธรรมชาติ n

เหล่านั้น. ตัวเศษคือตัวเลขที่อยู่เหนือเส้นของเศษส่วนร่วม (หรือทางด้านซ้ายของเครื่องหมายทับ) และตัวส่วนคือตัวเลขที่อยู่ใต้เส้น (ทางด้านขวาของเครื่องหมายทับ)

ตัวเศษและส่วนหมายถึงอะไร? ตัวหารของเศษส่วนสามัญจะระบุจำนวนหุ้นที่วัตถุหนึ่งประกอบด้วย และตัวเศษจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนหุ้นที่เป็นปัญหา ตัวอย่างเช่น เศษส่วนร่วม 7 54 แสดงให้เราเห็นว่าวัตถุบางอย่างประกอบด้วย 54 หุ้น และเราได้นำ 7 หุ้นดังกล่าวมาพิจารณา

จำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 1

ตัวส่วนของเศษส่วนร่วมสามารถเท่ากับหนึ่งได้ ในกรณีนี้ อาจกล่าวได้ว่าวัตถุ (ปริมาณ) ที่เป็นคำถามนั้นแบ่งแยกไม่ได้และแสดงถึงบางสิ่งทั้งหมด ตัวเศษในเศษส่วนดังกล่าวจะระบุจำนวนรายการดังกล่าวที่ถูกหยิบยกไป เช่น เศษส่วนธรรมดาของรูปแบบ m 1 มีความหมายเป็นจำนวนธรรมชาติ m ข้อความนี้ทำหน้าที่เป็นเหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกัน m 1 = m

ลองเขียนความเท่าเทียมกันสุดท้ายดังนี้: m = m 1 . มันจะทำให้เรามีโอกาสใช้จำนวนธรรมชาติใดๆ เป็นเศษส่วนสามัญได้ เช่น เลข 74 เป็นเศษส่วนธรรมดาที่อยู่ในรูป 74 1

คำจำกัดความที่ 5

จำนวนธรรมชาติ m สามารถเขียนเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ โดยที่ตัวส่วนคือ 1: m 1

ในทางกลับกัน เศษส่วนสามัญใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ m 1 สามารถแสดงด้วยจำนวนธรรมชาติ m ได้

แถบเศษส่วนเป็นเครื่องหมายหาร

การแทนวัตถุที่กำหนดเป็น n หุ้นที่ใช้ข้างต้นนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน เมื่อสิ่งของถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เรามีโอกาสที่จะแบ่งสิ่งของนั้นให้คน n คนเท่าๆ กัน - ทุกคนจะได้รับส่วนแบ่ง

ในกรณีที่เรามีวัตถุที่เหมือนกัน m ในตอนแรก (แต่ละชิ้นแบ่งออกเป็น n ส่วน) วัตถุ m เหล่านี้ก็สามารถแบ่งให้คน n คนเท่าๆ กัน โดยให้แต่ละวัตถุแบ่งหนึ่งส่วนจากวัตถุ m แต่ละตัว ในกรณีนี้ แต่ละคนจะมี m หุ้นของ 1 n และ m หุ้นของ 1 n จะให้เศษส่วนสามัญ m n ดังนั้นเศษส่วน mn จึงสามารถใช้เพื่อแทนการหารของ m รายการระหว่าง n คนได้

ข้อความผลลัพธ์ที่ได้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างเศษส่วนสามัญและการหาร และความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้ : เส้นเศษส่วนสามารถหมายถึงเครื่องหมายหารได้เช่น ม/น = ม:น

การใช้เศษส่วนธรรมดาสามารถเขียนผลลัพธ์ของการหารจำนวนธรรมชาติสองตัวได้ ตัวอย่างเช่น เราเขียนการหารแอปเปิ้ล 7 ผลโดย 10 คนเป็น 7 10: แต่ละคนจะได้เจ็ดในสิบ

เศษส่วนสามัญที่เท่ากันและไม่เท่ากัน

การกระทำเชิงตรรกะคือการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดา เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า เช่น 1 8 ของแอปเปิ้ลแตกต่างจาก 7 8

ผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญอาจเป็นได้: เท่ากันหรือไม่เท่ากัน

คำนิยาม 6

เศษส่วนร่วมที่เท่ากัน– เศษส่วนสามัญ a b และ c d ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน: a · d = b · c

เศษส่วนร่วมไม่เท่ากัน- เศษส่วนสามัญ a b และ c d ซึ่งความเท่าเทียมกัน: a · d = b · c ไม่เป็นจริง

ตัวอย่างเศษส่วนที่เท่ากัน: 1 3 และ 4 12 – เนื่องจากความเท่าเทียมกัน 1 · 12 = 3 · 4 ยังคงอยู่

ในกรณีที่ปรากฎว่าเศษส่วนไม่เท่ากัน ก็มักจะจำเป็นต้องค้นหาว่าเศษส่วนใดที่กำหนดให้น้อยกว่าและสิ่งใดมากกว่า เพื่อตอบคำถามเหล่านี้ เศษส่วนร่วมจะถูกเปรียบเทียบโดยการลดให้เหลือตัวส่วนร่วมแล้วจึงเปรียบเทียบตัวเศษ

ตัวเลขเศษส่วน

เศษส่วนแต่ละส่วนเป็นการบันทึกจำนวนเศษส่วน ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นเพียง "เปลือก" ซึ่งเป็นการแสดงภาพโหลดความหมาย แต่เพื่อความสะดวก เราได้รวมแนวคิดเรื่องเศษส่วนและจำนวนเศษส่วนเข้าด้วยกัน พูดง่ายๆ ก็คือเศษส่วน

ตัวเลขเศษส่วนทั้งหมด เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ มีตำแหน่งเฉพาะของตัวเองบนรังสีพิกัด: มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเศษส่วนและจุดบนรังสีพิกัด

ในการค้นหาจุดบนรังสีพิกัดซึ่งแสดงถึงเศษส่วน m n จำเป็นต้องพล็อตส่วน m จากจุดกำเนิดของพิกัดในทิศทางบวก ความยาวของแต่ละส่วนจะเป็นเศษส่วน 1 n ของส่วนของหน่วย สามารถรับเซ็กเมนต์ได้โดยการแบ่งเซ็กเมนต์ของหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน

ตามตัวอย่าง เราจะกำหนดจุด M บนรังสีพิกัด ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน 14 10 ความยาวของส่วนที่ปลายเป็นจุด O และจุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งมีเส้นประเล็กๆ มีค่าเท่ากับ 1 10 ส่วนของส่วนของหน่วย จุดที่สอดคล้องกับเศษส่วน 14 10 อยู่ที่ระยะห่าง 14 ส่วนดังกล่าวจากจุดกำเนิด

หากเศษส่วนเท่ากันนั่นคือ พวกมันสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนเดียวกัน จากนั้นเศษส่วนเหล่านี้จะทำหน้าที่เป็นพิกัดของจุดเดียวกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่น พิกัดในรูปแบบของเศษส่วนเท่ากัน 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 สอดคล้องกับจุดเดียวกันบนรังสีพิกัด ซึ่งอยู่ที่ระยะห่างหนึ่งในสามของส่วนของหน่วยที่วางจากจุดกำเนิด ไปในทิศทางบวก

หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้ผลเช่นเดียวกับจำนวนเต็ม: บนรังสีพิกัดแนวนอนที่ชี้ไปทางขวา จุดที่เศษส่วนที่มากกว่าสอดคล้องกันจะอยู่ทางด้านขวาของจุดที่เศษส่วนที่น้อยกว่านั้นสอดคล้องกัน และในทางกลับกัน: จุดที่พิกัดเป็นเศษส่วนน้อยกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่พิกัดที่ใหญ่กว่าสอดคล้องกัน

เศษส่วน คำจำกัดความ และตัวอย่างที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม

พื้นฐานของการแบ่งเศษส่วนให้ถูกต้องและไม่เหมาะสมคือการเปรียบเทียบตัวเศษและส่วนภายในเศษส่วนเดียวกัน

คำนิยาม 7

เศษส่วนแท้คือเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน นั่นคือถ้าความไม่เท่าเทียมกันม< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมคือเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน นั่นคือหากสมการที่ไม่ได้กำหนดไว้เป็นที่พอใจ เศษส่วนสามัญ m n ก็ไม่เหมาะสม

นี่คือตัวอย่างบางส่วน: - เศษส่วนแท้:

ตัวอย่างที่ 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

เศษส่วนเกิน:

ตัวอย่างที่ 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดเศษส่วนที่เหมาะสมและเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมโดยอาศัยการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วนได้

คำจำกัดความ 8

เศษส่วนแท้– เศษส่วนธรรมดาที่น้อยกว่าหนึ่ง

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม– เศษส่วนสามัญเท่ากับหรือมากกว่าหนึ่ง

เช่น เศษส่วน 8 12 นั้นถูกต้อง เพราะว่า 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 และ 14 14 = 1

เรามาเจาะลึกกันอีกหน่อยว่าเหตุใดเศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนจึงถูกเรียกว่า "ไม่เหมาะสม"

พิจารณาเศษส่วนเกิน 8 8: มันบอกเราว่า 8 ส่วนมาจากวัตถุที่ประกอบด้วย 8 ส่วน ดังนั้นจากแปดหุ้นที่มีอยู่ เราจึงสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ เช่น เศษส่วนที่กำหนด 8 8 แทนวัตถุทั้งหมด: 8 8 = 1 เศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนเท่ากันจะแทนที่จำนวนธรรมชาติ 1

ลองพิจารณาเศษส่วนที่ตัวเศษเกินตัวส่วนด้วย: 11 5 และ 36 3 เห็นได้ชัดว่าเศษส่วน 11 5 บ่งบอกว่าจากนั้นเราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้สองชิ้นและยังเหลืออีกหนึ่งในห้า เหล่านั้น. เศษส่วน 11 5 คือวัตถุ 2 ชิ้นและอีก 1 5 จากนั้น ในทางกลับกัน 36 3 ก็คือเศษส่วนที่หมายถึงวัตถุทั้งหมด 12 ชิ้น

ตัวอย่างเหล่านี้ทำให้สามารถสรุปได้ว่าเศษส่วนเกินสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติได้ (หากตัวเศษหารด้วยตัวส่วนโดยไม่มีเศษลงตัว: 8 8 = 1; 36 3 = 12) หรือผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ (ถ้าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่ลงตัว: 11 5 = 2 + 1 5) นี่อาจเป็นสาเหตุที่เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่า "ไม่สม่ำเสมอ"

นี่คือจุดที่เราพบหนึ่งในทักษะด้านตัวเลขที่สำคัญที่สุด

คำนิยาม 9

แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน- เป็นการบันทึกเศษส่วนเกินเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้

โปรดทราบว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างเศษส่วนเกินกับจำนวนคละ

เศษส่วนบวกและลบ

ข้างต้นเราบอกว่าเศษส่วนสามัญแต่ละส่วนสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนบวก เหล่านั้น. เศษส่วนร่วมคือเศษส่วนบวก ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5 17, 6 98, 64 79 เป็นบวก และเมื่อจำเป็นต้องเน้นย้ำถึง "ค่าบวก" ของเศษส่วนเป็นพิเศษ ก็จะเขียนด้วยเครื่องหมายบวก: + 5 17, + 6 98, + 64 79.

หากเรากำหนดเครื่องหมายลบให้กับเศษส่วนธรรมดา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นบันทึกของจำนวนเศษส่วนที่เป็นลบ และในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงเศษส่วนติดลบ ตัวอย่างเช่น - 8 17, - 78 14 เป็นต้น

เศษส่วนบวกและลบ m n และ - m n เป็นตัวเลขที่ตรงกันข้าม เช่น เศษส่วน 7 8 และ - 7 8 อยู่ตรงข้ามกัน

เศษส่วนที่เป็นบวก เช่นเดียวกับจำนวนบวกทั่วไป หมายถึงการบวกหรือการเปลี่ยนแปลงที่สูงขึ้น ในทางกลับกัน เศษส่วนที่เป็นลบจะสอดคล้องกับการบริโภค ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงในทิศทางที่ลดลง

หากเราดูที่เส้นพิกัด เราจะเห็นว่าเศษส่วนติดลบอยู่ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด จุดที่เศษส่วนตรงข้ามสอดคล้องกัน (m n และ - m n) อยู่ที่ระยะทางเท่ากันจากจุดกำเนิดของพิกัด O แต่อยู่ด้านตรงข้ามของมัน

ที่นี่เราจะพูดแยกกันเกี่ยวกับเศษส่วนที่เขียนในรูปแบบ 0 n เศษส่วนดังกล่าวเท่ากับศูนย์เช่น 0 น = 0 .

เมื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น เราก็มาถึงแนวคิดที่สำคัญที่สุดของจำนวนตรรกยะ

คำนิยาม 10

สรุปตัวเลขคือเซตของเศษส่วนบวก เศษส่วนลบ และเศษส่วนในรูปแบบ 0 n

การดำเนินการกับเศษส่วน

เรามาแสดงรายการการดำเนินการพื้นฐานด้วยเศษส่วนกัน โดยทั่วไป สาระสำคัญจะเหมือนกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ

1. การเปรียบเทียบเศษส่วน - เราได้กล่าวถึงการกระทำนี้ข้างต้น
2. การบวกเศษส่วน - ผลลัพธ์ของการบวกเศษส่วนสามัญคือเศษส่วนสามัญ (ในบางกรณีลดลงเป็นจำนวนธรรมชาติ)
3. การลบเศษส่วนคือการย้อนกลับของการบวก เมื่อใช้เศษส่วนที่ทราบหนึ่งตัวและผลรวมของเศษส่วนที่กำหนดเพื่อกำหนดเศษส่วนที่ไม่ทราบค่า
4. การคูณเศษส่วน - การกระทำนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการค้นหาเศษส่วนจากเศษส่วน ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนสามัญสองตัวจะได้เศษส่วนสามัญ (ในบางกรณีจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติ)
5. การหารเศษส่วนเป็นการกระทำผกผันของการคูณ เมื่อเราหาเศษส่วนที่ต้องคูณเศษส่วนที่กำหนดเพื่อให้ได้ผลคูณที่ทราบของเศษส่วนทั้งสอง

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เศษส่วนในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงตัวเลขที่ประกอบด้วยหนึ่งหรือหลายส่วน (เศษส่วน) ของหน่วย เศษส่วนเป็นส่วนหนึ่งของฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ขึ้นอยู่กับวิธีการเขียน เศษส่วนจะแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบ: สามัญประเภทและ ทศนิยม .

ตัวเศษของเศษส่วน- ตัวเลขแสดงจำนวนหุ้นที่ได้รับ (อยู่ที่ด้านบนของเศษส่วน - เหนือเส้น) ตัวส่วนเศษส่วน- ตัวเลขแสดงจำนวนหุ้นที่หน่วยแบ่งออกเป็น (อยู่ล่างเส้น - อยู่ล่างสุด) ในทางกลับกันจะแบ่งออกเป็น: ถูกต้องและ ไม่ถูกต้อง, ผสมและ คอมโพสิตมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับหน่วยวัด 1 เมตร มี 100 ซม. ซึ่งหมายความว่า 1 เมตร แบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน ดังนั้น 1 ซม. = 1/100 ม. (1 เซนติเมตร เท่ากับ 100 เมตร)

หรือ 3/5 (สามในห้า) โดยที่ 3 เป็นตัวเศษ 5 เป็นตัวส่วน ถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เศษส่วนจะน้อยกว่าหนึ่งจึงเรียกว่า ถูกต้อง:

ถ้าตัวเศษเท่ากับตัวส่วน เศษส่วนก็จะเท่ากับหนึ่ง ถ้าตัวเศษมากกว่าตัวส่วน เศษส่วนก็จะมากกว่าหนึ่ง ในทั้งสองกรณีสุดท้ายจะเรียกว่าเศษส่วน ผิด:

หากต้องการแยกจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่อยู่ในเศษส่วนเกิน คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ถ้าทำการหารโดยไม่มีเศษ เศษส่วนเกินที่นำมาจะเท่ากับผลหาร:

ถ้าทำการหารด้วยเศษ ผลหาร (ที่ไม่สมบูรณ์) จะให้จำนวนเต็มที่ต้องการ และเศษที่เหลือจะกลายเป็นเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนยังคงเท่าเดิม

เรียกตัวเลขที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วน ผสม. เศษส่วน หมายเลขผสมอาจจะ เศษส่วนเกิน. จากนั้นคุณสามารถเลือกจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดจากเศษส่วนและแทนจำนวนคละในลักษณะที่เศษส่วนกลายเป็นเศษส่วนแท้ (หรือหายไปทั้งหมด)