วิธีแก้สมการตรรกยะเศษส่วน การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

สมการที่มีเศษส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องยากและน่าสนใจมาก มาดูประเภทของสมการเศษส่วนและวิธีแก้ปัญหากัน

วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วน - x ในตัวเศษ

ถ้าให้สมการเศษส่วนโดยที่ไม่ทราบค่าอยู่ในตัวเศษ โจทย์ไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม และจะได้รับการแก้ไขโดยไม่ต้องยุ่งยากโดยไม่จำเป็น รูปแบบทั่วไปของสมการนี้คือ x/a + b = c โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก a, b และ c คือจำนวนสามัญ

หา x: x/5 + 10 = 70

ในการแก้สมการ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก คูณแต่ละพจน์ในสมการด้วย 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 5x และ 5 ถูกยกเลิก 10 และ 70 คูณด้วย 5 และเราได้รับ: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300

หา x: x/5 + x/10 = 90

ตัวอย่างนี้เป็นเวอร์ชันแรกที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สองวิธีที่นี่

• ตัวเลือกที่ 1: เรากำจัดเศษส่วนโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยตัวส่วนที่มากกว่า นั่นคือด้วย 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• ตัวเลือกที่ 2: เพิ่มด้านซ้ายของสมการ x/5 + x/10 = 90 ตัวส่วนร่วมคือ 10 หาร 10 ด้วย 5 คูณด้วย x เราจะได้ 2x หาร 10 ด้วย 10 คูณด้วย x เราจะได้ x: 2x+x/10 = 90 ดังนั้น 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300

เรามักจะพบสมการเศษส่วนโดยที่ x อยู่ด้านตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ ในสถานการณ์เช่นนี้ จำเป็นต้องย้ายเศษส่วนทั้งหมดที่มีเครื่องหมาย X ไปไว้ด้านหนึ่งและย้ายตัวเลขไปอีกด้านหนึ่ง

• หา x: 3x/5 = 130 – 2x/5
• เลื่อน 2x/5 ไปทางขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130
• เราลด 5x/5 แล้วได้: x = 130

วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วน - x ในตัวส่วน

สมการเศษส่วนประเภทนี้จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขเพิ่มเติม การระบุเงื่อนไขเหล่านี้เป็นส่วนบังคับและเป็นส่วนสำคัญของการตัดสินใจที่ถูกต้อง การไม่เพิ่มจะถือว่าคุณเสี่ยง เนื่องจากคำตอบ (แม้ว่าจะถูกต้องก็ตาม) อาจไม่นับรวม

รูปแบบทั่วไปของสมการเศษส่วน โดยที่ x อยู่ในตัวส่วน คือ a/x + b = c โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก a, b, c เป็นจำนวนสามัญ โปรดทราบว่า x อาจไม่ใช่ตัวเลขใดๆ ตัวอย่างเช่น x ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ นี่เป็นเงื่อนไขเพิ่มเติมที่เราต้องระบุอย่างชัดเจน ซึ่งเรียกว่าช่วงของค่าที่อนุญาต เรียกย่อว่า VA

หา x: 15/x + 18 = 21

เราเขียน ODZ สำหรับ x: x ≠ 0 ทันที เมื่อระบุ ODZ แล้ว เราจะแก้สมการตามรูปแบบมาตรฐานโดยกำจัดเศษส่วน คูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วย x 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5

มักจะมีสมการที่ตัวส่วนไม่เพียงประกอบด้วย x เท่านั้น แต่ยังมีการดำเนินการอื่นๆ ด้วย เช่น การบวกหรือการลบ

หา x: 15/(x-3) + 18 = 21

เรารู้อยู่แล้วว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ซึ่งหมายความว่า x-3 ≠ 0 เราย้าย -3 ไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย "-" เป็น "+" แล้วเราจะได้ x ≠ 3 ดังกล่าว ODZ คือ ระบุไว้

เราแก้สมการ โดยคูณทุกอย่างด้วย x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63

เลื่อน X ไปทางขวา ตัวเลขไปทางซ้าย: 24 = 3x => x = 8

เราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแล้ว ทีนี้มาขยายวิธีการศึกษาไปสู่สมการตรรกยะกัน

การแสดงออกที่มีเหตุผลคืออะไร? เราเจอแนวคิดนี้แล้ว การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลัง และสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น สมการตรรกยะจึงเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ: , โดยที่ - การแสดงออกอย่างมีเหตุผล

ก่อนหน้านี้เราพิจารณาเฉพาะสมการตรรกยะที่สามารถลดทอนให้เป็นเชิงเส้นได้ ทีนี้ลองดูสมการตรรกยะที่สามารถลดเป็นสมการกำลังสองได้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: .

สารละลาย:

เศษส่วนจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 และตัวส่วนไม่เท่ากับ 0

เราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง ก่อนที่จะแก้มัน เรามาหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 3 กันก่อน เราได้:

เราได้สองราก: ; .

เนื่องจาก 2 ไม่เคยเท่ากับ 0 จึงต้องตรงตามเงื่อนไขสองข้อ: . เนื่องจากไม่มีรากของสมการที่ได้รับข้างต้นตรงกับค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรที่ได้รับเมื่อแก้ไขอสมการที่สอง ทั้งสองจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. เลื่อนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ด้านขวาลงท้ายด้วย 0

2. แปลงและลดรูปทางด้านซ้าย นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม

3. เท่ากับเศษส่วนผลลัพธ์เป็น 0 โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: .

4. เขียนรากที่ได้มาจากสมการแรกและตอบอสมการที่สองในคำตอบ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: .

สารละลาย

ในตอนแรก เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา เราได้รับ:

ทีนี้ลองนำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้: . เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

เราได้สองราก: ; .

ทีนี้มาแก้อสมการที่สองกัน: ผลคูณของปัจจัยไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อไม่มีปัจจัยใดเท่ากับ 0

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: . เราพบว่ารากทั้งสองของสมการแรก มีเพียงรากเดียวเท่านั้นที่เหมาะสม - 3

คำตอบ:.

ในบทเรียนนี้ เราจำได้ว่านิพจน์ตรรกยะคืออะไร และยังได้เรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะซึ่งลดเหลือเป็นสมการกำลังสองด้วย

ในบทต่อไป เราจะดูสมการตรรกยะเป็นแบบจำลองของสถานการณ์จริง และยังดูปัญหาการเคลื่อนที่ด้วย

บรรณานุกรม

1. บาชมาคอฟ M.I. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2547.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่นๆ พีชคณิต 8. 5th ed. - อ.: การศึกษา, 2553.
3. Nikolsky S.M. , Potapov M.A. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป - อ.: การศึกษา, 2549.

1. เทศกาลแนวคิดการสอน "เปิดบทเรียน" ()
2. School.xvatit.com ()
3. Rudocs.exdat.com ()

การบ้าน

เราแนะนำสมการข้างต้นใน § 7 ขั้นแรก ให้เราระลึกว่านิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผลคืออะไร นี่คือนิพจน์พีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปร x โดยใช้การดำเนินการของการบวก ลบ การคูณ การหาร และการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ถ้า r(x) เป็นนิพจน์ตรรกยะ สมการ r(x) = 0 จะเรียกว่าสมการตรรกยะ

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าถ้าใช้การตีความคำว่า "สมการตรรกยะ" ให้กว้างขึ้นเล็กน้อย: นี่คือสมการในรูปแบบ h(x) = q(x) โดยที่ h(x) และ q(x) การแสดงออกที่มีเหตุผล

จนถึงขณะนี้เราไม่สามารถแก้สมการตรรกยะใดๆ ได้ แต่มีเพียงสมการเดียวเท่านั้นที่เป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงและการให้เหตุผลต่างๆ สมการเชิงเส้น. ตอนนี้ความสามารถของเรายิ่งใหญ่ขึ้นมาก: เราจะสามารถแก้สมการตรรกยะที่ไม่เพียงลดเป็นเชิงเส้นเท่านั้น
mu แต่ยังรวมถึงสมการกำลังสองด้วย

ให้เรานึกถึงวิธีที่เราแก้สมการตรรกยะก่อนหน้านี้และพยายามกำหนดอัลกอริทึมการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ

สารละลาย. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

ในกรณีนี้ ตามปกติ เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าความเท่าเทียมกัน A = B และ A - B = 0 แสดงความสัมพันธ์เดียวกันระหว่าง A และ B ซึ่งทำให้เราสามารถย้ายคำไปทางด้านซ้ายของสมการโดยมี เครื่องหมายตรงข้าม

ลองแปลงด้านซ้ายของสมการกัน เรามี

ให้เราระลึกถึงเงื่อนไขของความเท่าเทียมกัน เศษส่วนศูนย์: ถ้าหากความสัมพันธ์สองรายการได้รับความพึงพอใจพร้อมกัน:

1) ตัวเศษของเศษส่วนเป็นศูนย์ (a = 0) 2) ตัวส่วนของเศษส่วนแตกต่างจากศูนย์)
เราได้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการ (1) ถึงศูนย์

ยังคงต้องตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สองที่ระบุไว้ข้างต้น ความสัมพันธ์หมายถึงสมการ (1) ว่า ค่า x 1 = 2 และ x 2 = 0.6 เป็นไปตามความสัมพันธ์ที่ระบุดังนั้นจึงทำหน้าที่เป็นรากของสมการ (1) และในขณะเดียวกันก็เป็นรากของสมการที่กำหนด

1) ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ

2) ให้เราแปลงด้านซ้ายของสมการนี้:

(เปลี่ยนเครื่องหมายในตัวเศษและ
เศษส่วน)
ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงอยู่ในรูปแบบ

3) แก้สมการ x 2 - 6x + 8 = 0 ค้นหา

4) สำหรับค่าที่พบ ให้ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข . หมายเลข 4 เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ แต่หมายเลข 2 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่า 4 คือรากของสมการที่กำหนด และ 2 คือรากที่ไม่เกี่ยวข้อง
คำตอบ: 4.

2. การแก้สมการตรรกยะโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

คุณคุ้นเคยกับวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่แล้ว เราใช้มันมากกว่าหนึ่งครั้ง ให้เราแสดงตัวอย่างวิธีการใช้ในการแก้สมการตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ x 4 + x 2 - 20 = 0

สารละลาย. ขอแนะนำตัวแปรใหม่ y = x 2 กัน เนื่องจาก x 4 = (x 2) 2 = y 2 ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

y 2 + y - 20 = 0

นี่คือสมการกำลังสองซึ่งสามารถหารากได้โดยใช้ที่รู้ สูตร; เราได้ y 1 = 4, y 2 = - 5
แต่ y = x 2 ซึ่งหมายความว่าปัญหาลดลงจนเหลือเพียงการแก้สมการสองสมการ:
x 2 =4; x 2 = -5.

จากสมการแรกเราพบว่าสมการที่สองไม่มีราก
คำตอบ: .
สมการที่มีรูปแบบ ax 4 + bx 2 +c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสอง (“bi” คือสอง กล่าวคือ สมการ "กำลังสอง" ชนิดหนึ่ง) สมการที่เพิ่งแก้ไปนั้นเป็นสมการกำลังสองอย่างแม่นยำ สมการกำลังสองใดๆ จะถูกแก้ในลักษณะเดียวกับสมการจากตัวอย่างที่ 3: ใส่ตัวแปรใหม่ y = x 2 แก้สมการกำลังสองที่ได้เทียบกับตัวแปร y แล้วกลับคืนสู่ตัวแปร x

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ

สารละลาย. โปรดทราบว่านิพจน์เดียวกัน x 2 + 3x ปรากฏสองครั้งที่นี่ ซึ่งหมายความว่า เหมาะสมที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ y = x 2 + 3x ซึ่งจะทำให้เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ในรูปแบบที่เรียบง่ายและน่าพอใจมากขึ้น (ซึ่งจริงๆ แล้วคือจุดประสงค์ของการแนะนำสมการใหม่ ตัวแปร- และทำให้การบันทึกง่ายขึ้น
ชัดเจนขึ้น และโครงสร้างของสมการก็ชัดเจนขึ้น):

ตอนนี้เรามาใช้อัลกอริธึมในการแก้สมการตรรกยะกัน

1) ลองย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปเป็นส่วนเดียว:

= 0
2) แปลงด้านซ้ายของสมการ

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนสมการที่ให้มาเป็นรูปแบบ

3) จากสมการ - 7y 2 + 29y -4 = 0 เราพบ (คุณและฉันได้แก้สมการกำลังสองได้ค่อนข้างมากแล้ว ดังนั้นจึงไม่คุ้มที่จะให้การคำนวณโดยละเอียดในตำราเรียนเสมอไป)

4) ตรวจสอบรากที่พบโดยใช้เงื่อนไข 5 (y - 3) (y + 1) รากทั้งสองเป็นไปตามเงื่อนไขนี้
ดังนั้นสมการกำลังสองสำหรับตัวแปร y ใหม่จึงได้รับการแก้ไข:
เนื่องจาก y = x 2 + 3x และ y ตามที่เราได้กำหนดไว้ ต้องใช้ค่าสองค่า: 4 และ เรายังคงต้องแก้สมการสองสมการ: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . รากของสมการแรกคือตัวเลข 1 และ - 4 รากของสมการที่สองคือตัวเลข

ในตัวอย่างที่พิจารณา วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่นั้น ตามที่นักคณิตศาสตร์ชอบบอกว่า เพียงพอกับสถานการณ์ กล่าวคือ มันสอดคล้องกับตัวแปรนั้นเป็นอย่างดี ทำไม ใช่ เนื่องจากนิพจน์เดียวกันนี้ปรากฏอย่างชัดเจนในสมการหลายครั้ง และมีเหตุผลในการกำหนดนิพจน์นี้ด้วยตัวอักษรใหม่ แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป บางครั้งตัวแปรใหม่ "ปรากฏขึ้น" ในระหว่างกระบวนการเปลี่ยนแปลงเท่านั้น นี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้นในตัวอย่างนี้อย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
สารละลาย. เรามี
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2

ซึ่งหมายความว่าสมการที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

ตอนนี้ตัวแปรใหม่ "ปรากฏขึ้น" แล้ว: y = x 2 - 3x

ด้วยความช่วยเหลือนี้ สมการสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ y (y + 2) = 24 จากนั้น y 2 + 2y - 24 = 0 รากของสมการนี้คือตัวเลข 4 และ -6

เมื่อกลับไปที่ตัวแปรดั้งเดิม x เราจะได้สมการสองสมการ x 2 - 3x = 4 และ x 2 - 3x = - 6 จากสมการแรกเราพบ x 1 = 4, x 2 = - 1; สมการที่สองไม่มีราก

คำตอบ: 4, - 1.

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธี โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

เราขอเชิญคุณเข้าสู่บทเรียนเกี่ยวกับการแก้สมการด้วยเศษส่วน เป็นไปได้มากว่า คุณเคยเจอสมการดังกล่าวมาก่อน ดังนั้นในบทนี้ เราจะทำซ้ำและสรุปข้อมูลที่คุณรู้

บทเรียนเพิ่มเติมบนเว็บไซต์

สมการเศษส่วน-ตรรกยะคือสมการที่มีเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งก็คือตัวแปรในตัวส่วน คุณน่าจะเคยเจอสมการแบบนี้มาก่อน ดังนั้นในบทเรียนนี้ เราจะทบทวนและสรุปสิ่งที่คุณรู้

ก่อนอื่น ฉันแนะนำให้เปิดดูบทเรียนก่อนหน้าในหัวข้อนี้ - บทเรียน "การแก้สมการกำลังสอง" ในบทเรียนนั้น ได้พิจารณาตัวอย่างการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ลองพิจารณาดูครับ

การแก้สมการนี้ดำเนินการในหลายขั้นตอน:

• การแปลงสมการที่มีเศษส่วนตรรกยะ
• ไปที่สมการทั้งหมดและทำให้ง่ายขึ้น
• การแก้สมการกำลังสอง

จำเป็นต้องผ่าน 2 ขั้นตอนแรกเมื่อต้องแก้สมการตรรกยะเศษส่วนใดๆ ขั้นตอนที่สามเป็นทางเลือกเนื่องจากสมการที่ได้รับจากการลดความซับซ้อนอาจไม่ใช่กำลังสอง แต่เป็นเชิงเส้น การแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายกว่ามาก มีขั้นตอนที่สำคัญอีกขั้นตอนหนึ่งในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน จะมองเห็นได้เมื่อแก้สมการต่อไป

คุณควรทำอะไรก่อน? – แน่นอน นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม. และมันสำคัญมากที่จะต้องค้นหาให้แน่ชัด น้อยที่สุดตัวหารร่วม มิฉะนั้น ในกระบวนการแก้ปัญหา สมการจะมีความซับซ้อน ตรงนี้เราสังเกตว่าตัวส่วนของเศษส่วนหลังสามารถแยกตัวประกอบได้ ที่และ ย+2. ผลคูณนี้จะเป็นตัวหารร่วมในสมการนี้ ตอนนี้เราจำเป็นต้องหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแต่ละตัว แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับเศษส่วนสุดท้ายนั้นไม่จำเป็นต้องใช้ตัวคูณเนื่องจากตัวส่วนของมันเท่ากับตัวร่วม ตอนนี้เศษส่วนทั้งหมดมีตัวส่วนเท่ากัน เราก็ไปยังสมการทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยตัวเศษเดียวกันได้ แต่จำเป็นต้องตั้งข้อสังเกตไว้อย่างหนึ่งว่า ค่าที่ค้นพบของค่าที่ไม่รู้จักไม่สามารถลดตัวส่วนใดๆ ให้เป็นศูนย์ได้. นี่คือ ODZ: ย≠0, ย≠2. นี่เป็นการเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้และเราไปยังขั้นตอนที่สอง - เราทำให้สมการทั้งหมดที่เป็นผลลัพธ์ง่ายขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปิดวงเล็บ ย้ายพจน์ทั้งหมดไปไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน ทำเองและตรวจสอบว่าการคำนวณของฉันซึ่งให้สมการนั้นถูกต้องหรือไม่ 3ป 2 – 12ป = 0สมการนี้เป็นสมการกำลังสอง เขียนในรูปแบบมาตรฐาน และสัมประสิทธิ์หนึ่งของมันคือศูนย์

นิพจน์จำนวนเต็มเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรตามตัวอักษรโดยใช้การดำเนินการบวก การลบ และการคูณ จำนวนเต็มยังรวมถึงนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์

แนวคิดของนิพจน์เชิงตรรกยะแบบเศษส่วน

นิพจน์เศษส่วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่นอกเหนือจากการดำเนินการบวก การลบ และการคูณด้วยตัวแปรตัวเลขและตัวอักษร รวมถึงการหารด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์แล้ว ยังมีการหารเป็นนิพจน์ด้วยตัวแปรตัวอักษรด้วย

นิพจน์เหตุผลเป็นนิพจน์ทั้งหมดและเศษส่วน สมการตรรกยะคือสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ ถ้าในสมการตรรกยะด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์จำนวนเต็ม สมการตรรกยะดังกล่าวจะเรียกว่าจำนวนเต็ม

หากในสมการตรรกยะด้านซ้ายหรือด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วน สมการดังกล่าวจะเรียกว่าเศษส่วน

ตัวอย่างของนิพจน์เศษส่วน

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

โครงการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ

2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม

3. แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด

4. ตรวจสอบรากและไม่รวมรากที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไป

เนื่องจากเรากำลังแก้สมการตรรกยะเศษส่วน จึงจะมีตัวแปรในตัวส่วนของเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะเป็นตัวส่วนร่วม. และในจุดที่สองของอัลกอริทึมเราคูณด้วยตัวส่วนร่วมจากนั้นรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น โดยที่ตัวส่วนร่วมจะเท่ากับศูนย์ซึ่งหมายความว่าการคูณจะไม่มีความหมาย ดังนั้นในตอนท้ายจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่ได้รับ

ลองดูตัวอย่าง:

แก้สมการเศษส่วน: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

เราจะยึดตามรูปแบบทั่วไป: ขั้นแรกให้ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมด เราได้ x*(x-5)

คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมแล้วเขียนสมการทั้งหมดที่ได้

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

ให้เราลดความซับซ้อนของสมการผลลัพธ์ เราได้รับ:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

เราได้สมการกำลังสองลดลงอย่างง่าย เราแก้มันด้วยวิธีใดๆ ที่รู้จัก เราได้ราก x=-2 และ x=5

ตอนนี้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ:

แทนตัวเลข -2 และ 5 ลงในตัวส่วนร่วม. ที่ x=-2 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะไม่หายไป -2*(-2-5)=14 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข -2 จะเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

ที่ x=5 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะกลายเป็นศูนย์ ดังนั้น จำนวนนี้จึงไม่ใช่รากของสมการเศษส่วนดั้งเดิม เนื่องจากจะมีการหารด้วยศูนย์