วิธีหาปริมาตรของสูตรพีระมิดหกเหลี่ยม สูตรปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยม: ตัวอย่างการแก้ปัญหา ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ

วันที่: 2015-01-19

หากคุณต้องการคำแนะนำทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีสร้างรูปแบบพีระมิดแบบเรียบ โปรดดูบทเรียนของเรา ขั้นตอนแรกคือการประเมินว่าปิรามิดของคุณถูกปรับใช้ในลักษณะเดียวกับในรูปที่ 1 หรือไม่

หากคุณหมุนมันที่ 90 องศา ขอบที่ทำเครื่องหมายในรูปว่าเป็น "ค่าจริงที่ทราบ" ในกรณีของคุณจะอยู่บนโครงโปรไฟล์ ซึ่งคุณจะต้องสร้าง ในกรณีของฉัน ไม่จำเป็น เรามีค่าทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสร้างอยู่แล้ว สิ่งสำคัญคือต้องไม่ลืมว่าในภาพวาดนี้ เฉพาะขอบ SA และ SD ในการฉายภาพด้านหน้าเท่านั้นที่แสดงในขนาดเต็ม ส่วนอื่นๆ ทั้งหมดถูกฉายด้วยความผิดเพี้ยนของความยาว นอกจากนี้ ในมุมมองด้านบน ยังฉายทุกด้านของรูปหกเหลี่ยมในขนาดเต็มด้วย ตามนี้เรามาเริ่มกันเลย

1. เพื่อความสวยงามยิ่งขึ้น ให้ลากเส้นแรกในแนวนอน (ภาพที่ 1) จากนั้นวาดส่วนโค้งกว้างที่มีรัศมี R = a เช่น รัศมีเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างของปิรามิด เราได้จุด A จากนั้นเราทำรอยบากบนส่วนโค้งโดยใช้เข็มทิศโดยมีรัศมี r = b (ความยาวของด้านข้างของฐานของปิรามิด) เราได้จุด B เรามีใบหน้าแรกของปิรามิดแล้ว!

2. จากจุด B เราสร้างรอยอีกอันด้วยรัศมีเดียวกัน - เราได้จุด C และเชื่อมต่อกับจุด B และ S เราได้หน้าด้านที่สองของปิรามิด (รูปที่ 2)

3. ทำซ้ำขั้นตอนเหล่านี้ตามจำนวนครั้งที่ต้องการ (ทั้งหมดขึ้นอยู่กับจำนวนใบหน้าที่ปิรามิดของคุณมี) เราจะได้รับพัดลมดังกล่าว (รูปที่ 3) ด้วยโครงสร้างที่ถูกต้อง คุณควรได้คะแนนทั้งหมดของฐาน และจุดสุดโต่งควรทำซ้ำ

4. ไม่จำเป็นเสมอไป แต่ก็มีความจำเป็น: เพิ่มฐานของปิรามิดไปที่พื้นผิวด้านข้างที่กางออก ในการวาดรูปห้าเหลี่ยม ทุกคนที่อ่านมาไกลขนาดนี้ ผมเชื่อว่าทำได้ (วิธีวาดรูปห้าเหลี่ยมมีอธิบายโดยละเอียดในบทเรียน) ความยากอยู่ที่การวาดรูปต้องถูกที่ และในมุมฉาก วาดแกนตรงกลางใบหน้าใดก็ได้ จากจุดตัดกับเส้นตรงของฐาน เราเลื่อนระยะ m ดังแสดงในรูปที่ 4


การวาดเส้นตั้งฉากผ่านจุดนี้ เราได้แกนของรูปหกเหลี่ยมในอนาคต จากจุดศูนย์กลางที่ได้ ให้วาดวงกลมเหมือนที่คุณทำเมื่อสร้างมุมมองด้านบน โปรดทราบว่าวงกลมจะต้องผ่านจุดสองจุดของใบหน้าด้านข้าง (ในกรณีของฉันคือ F และ A)

5. รูปที่ 5 แสดงมุมมองสุดท้ายของการกวาดล้างของปริซึมหกเหลี่ยม


เสร็จสิ้นการสร้างการแฉของปิรามิด สร้างการกวาดล้างของคุณ เรียนรู้ที่จะหาวิธีแก้ไข กัดกร่อนและไม่ยอมแพ้ ขอบคุณที่แวะมา อย่าลืมแนะนำเราให้เพื่อนของคุณ :) ขอให้โชคดี!

หรือจดหมายเลขโทรศัพท์ของเราและบอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเรา - อาจมีใครบางคนกำลังมองหาวิธีในการวาดภาพให้เสร็จ

หรือสร้างบันทึกเกี่ยวกับบทเรียนของเราบนหน้าหรือบล็อกของคุณ - และคนอื่นจะเชี่ยวชาญในการวาดภาพ

คำแนะนำ

ด้วยฐานสี่เหลี่ยมของปิรามิดที่มีความยาวด้านที่ทราบ (a) และปริมาตรที่กำหนด (V) ให้แทนที่พื้นที่ในสูตรการคำนวณจากขั้นตอนก่อนหน้าด้วยความยาวด้านกำลังสอง: H = 3 * V / a²

จากขั้นตอนแรกสามารถเปลี่ยนสูตรเพื่อคำนวณความสูง (H) ของพีระมิดปกติที่มีฐานของรูปร่างใดๆ ข้อมูลเบื้องต้นที่ควรเกี่ยวข้องคือปริมาตร (V) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม ความยาวของขอบที่ฐาน (a) และจำนวนจุดยอดที่ฐาน (n) พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติถูกกำหนดโดยหนึ่งในสี่ของผลิตภัณฑ์ของจำนวนจุดยอดโดยกำลังสองของความยาวด้านและโคแทนเจนต์ของมุมเท่ากับอัตราส่วน 180 °ต่อจำนวนจุดยอด: ¼ ​​* n * a² * ctg (180 ° / n) แทนที่นิพจน์นี้ในสูตรจากขั้นตอนแรก: H = 3 * V / (¼ * n * a² * ctg (180 ° / n)) = 12 * V / (n * a² * ctg (180 ° / n)) .

หากไม่ทราบพื้นที่ของฐานจากเงื่อนไขของปัญหาและให้เฉพาะปริมาตร (V) และความยาวของขอบ (a) ตัวแปรที่หายไปในสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้าจะถูกแทนที่ เทียบเท่ากับความยาวของขอบ พื้นที่ (ตามที่คุณจำได้อยู่ที่ฐานของปิรามิดของประเภทที่เป็นปัญหา) เท่ากับหนึ่งในสี่ของผลิตภัณฑ์ของรากที่สองของสามด้วยความยาวด้านกำลังสอง แทนที่นิพจน์นี้สำหรับพื้นที่ของฐานในสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้า และคุณจะได้ผลลัพธ์นี้: H = 3 * V * 4 / (a² * √3) = 12 * V / (a² * √3) .

เนื่องจากปริมาตรของจัตุรมุขสามารถแสดงเป็นความยาวของขอบได้ ตัวแปรทั้งหมดจะถูกลบออกจากสูตรสำหรับคำนวณความสูงของรูป โดยเหลือเพียงด้านข้างของใบหน้า ปริมาตรของพีระมิดนี้คำนวณโดยการหารด้วย 12 ผลคูณของสแควร์รูทของสองด้วยความยาวลูกบาศก์ของใบหน้า แทนที่นิพจน์นี้ลงในสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้า แล้วคุณจะได้ผลลัพธ์: H = 12 * (a³ * √2 / 12) / (a² * √3) = (a³ * √2) / (a² * √3 ) = a * √⅔ = ⅓ * a * √6.

ปริซึมที่ถูกต้องสามารถเขียนลงในทรงกลมได้ และเมื่อทราบรัศมีของมันเท่านั้น (R) ก็สามารถคำนวณจัตุรมุขได้ ความยาวของซี่โครงเท่ากับอัตราส่วนสี่เท่าของรัศมีต่อสแควร์รูทของหก แทนที่ตัวแปร a ในสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้าด้วยนิพจน์นี้และรับความเท่าเทียมกัน: H = ⅓ * √6 * 4 * R / √6 = 4 * r / 3

สามารถหาสูตรที่คล้ายกันได้โดยรู้รัศมี (r) ของวงกลมที่จารึกไว้ในจัตุรมุข ในกรณีนี้ ความยาวของขอบจะเท่ากับอัตราส่วนสิบสองระหว่างรัศมีและกำลังสองของหก แทนที่นิพจน์นี้ในสูตรจากขั้นตอนที่สาม: H = ⅓ * a * √6 = ⅓ * √6 * 12 * R / √6 = 4 * R

ปิรามิดเป็นหนึ่งในบุคคลลึกลับที่สุดในเรขาคณิต กระแสพลังงานจักรวาลมีส่วนเกี่ยวข้องกับมัน คนโบราณจำนวนมากเลือกรูปแบบนี้สำหรับการก่อสร้างอาคารทางศาสนาของพวกเขา อย่างไรก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์ ปิรามิดเป็นเพียงรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน และใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน พิจารณาวิธีการค้นหา สี่เหลี่ยม แง่มุมวี ปิรามิด.

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ปิรามิดประเภท: ปกติ (ที่ฐาน - รูปหลายเหลี่ยมปกติและจุดยอดบน - ศูนย์กลาง) โดยพลการ (รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ อยู่ที่ฐานและการฉายของจุดยอดไม่จำเป็นต้องตรงกับจุดศูนย์กลาง) สี่เหลี่ยม (หนึ่ง ของขอบด้านข้างทำมุมฉากกับฐาน) และ ... ขึ้นอยู่กับว่าด้านข้างมีรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิดหรือไม่ เรียกว่า สาม สี่ ห้า หรือ ตัวอย่างเช่น ทศนิยม

สำหรับปิรามิดทุกประเภท ยกเว้นปิรามิดที่ถูกตัด: คูณความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยมและความสูงที่ตกลงมาจากด้านบนของปิรามิด หารผลลัพธ์ด้วย 2 - นี่จะเป็นที่ต้องการ สี่เหลี่ยมด้านข้าง แง่มุมปิรามิด

Truncated Pyramid พับฐานทั้งสองของสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นใบหน้าของปิรามิด แบ่งจำนวนเงินที่ได้รับเป็นสอง คูณค่าผลลัพธ์ด้วยความสูง แง่มุม-ราวสำหรับออกกำลังกาย ค่าผลลัพธ์คือ - สี่เหลี่ยมด้านข้าง แง่มุมปิรามิดประเภทนี้

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน, ปริมณฑลของฐานของปิรามิดและปริมาตรเชื่อมโยงกันด้วยสูตรบางอย่าง บางครั้งทำให้สามารถคำนวณค่าข้อมูลที่ขาดหายไปซึ่งจำเป็นต่อการกำหนดพื้นที่ใบหน้าในปิรามิด

ปริมาตรของปิรามิดที่ไม่ถูกตัดทอนจะเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของความสูงของปิรามิดและพื้นที่ฐาน สำหรับปิรามิดปกติ พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมณฑลฐานคูณด้วยความสูงของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง เมื่อคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน แทนที่จะเป็นพื้นที่ของฐาน ค่าจะถูกแทนที่ซึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของฐานบน ฐานล่าง และรากที่สองของผลิตภัณฑ์

ที่มา:

• Stereometry
• วิธีหาหน้าด้านข้างของปิรามิด

ปิรามิดเรียกว่าสี่เหลี่ยมซึ่งขอบด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐานนั่นคือมันยืนอยู่ที่มุม90˚ ขอบนี้เป็นความสูงของปิรามิดสี่เหลี่ยมเช่นกัน สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดนั้นมาจากอาร์คิมิดีสเป็นครั้งแรก

คุณจะต้องการ

• - ปากกา;
• - กระดาษ;
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ความสูงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเป็นขอบ ซึ่งทำมุม 90 องศากับฐาน เนื่องจากพื้นที่ฐานสี่เหลี่ยมแสดงเป็น S และความสูงซึ่งในเวลาเดียวกัน ปิรามิด, - ชม. แล้วหาปริมาตรของสิ่งนี้ ปิรามิดจำเป็นต้องคูณพื้นที่ฐานด้วยความสูงและหารด้วย 3 ดังนั้นปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปิรามิดคำนวณโดยใช้สูตร: V = (S * h) / 3

สร้างตามพารามิเตอร์ที่กำหนด กำหนดฐานด้วยอักษรละติน ABCDE และด้านบน ปิรามิด- S. เนื่องจากภาพวาดจะปรากฏบนระนาบในการฉายเพื่อไม่ให้สับสนให้ระบุข้อมูลที่คุณรู้แล้ว: SE = 30cm; S (ABCDE) = 45 ซม.²

คำนวณปริมาตรของสี่เหลี่ยม ปิรามิดโดยใช้สูตร แทนข้อมูลแล้วคำนวณ ปรากฎว่า ปริมาตรเป็นสี่เหลี่ยม ปิรามิดจะเท่ากับ: V = (45 * 30) / 3 = cm³

หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับความสูงและความสูงในคำสั่งปัญหา ปิรามิดจำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติมเพื่อให้ได้ค่าเหล่านี้ พื้นที่ฐานจะคำนวณโดยพิจารณาว่ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ฐานหรือไม่

ส่วนสูง ปิรามิดคุณจะรู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของ EDS หรือ EAS รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ และมุมที่ด้านข้างของ SD หรือ SA เอียงไปที่ฐานหรือไม่ คำนวณ SE ขาโดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ มันจะเป็นความสูงของสี่เหลี่ยม ปิรามิด.

บันทึก

เมื่อคำนวณปริมาณเช่นความสูง ปริมาตร พื้นที่ ควรจำไว้ว่าแต่ละปริมาณมีหน่วยวัดของตัวเอง ดังนั้น พื้นที่มีหน่วยเป็น cm² ส่วนสูง - cm และปริมาตร - cm³
ลูกบาศก์เซนติเมตรเป็นหน่วยของปริมาตรที่เท่ากับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบยาว 1 ซม. ถ้าเราแทนข้อมูลลงในสูตร เราจะได้ cm³ = (cm² * cm) / 3

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ตามกฎแล้วหากจำเป็นต้องค้นหาปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมในปัญหา ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดจะทราบ - อย่างน้อยก็เพื่อหาพื้นที่ฐานและความสูงของรูป

การวาดภาพเป็นขั้นตอนแรกและสำคัญมากในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต สิ่งที่ควรเป็นภาพวาดของปิรามิดที่ถูกต้อง?

ให้จำไว้ก่อน คุณสมบัติการออกแบบพร้อมกัน:

- ส่วนคู่ขนานของรูปแสดงเป็นส่วนคู่ขนาน

- รักษาอัตราส่วนของความยาวของส่วนของเส้นตรงคู่ขนานและส่วนของเส้นตรงหนึ่งเส้น

การวาดพีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดา

ก่อนอื่นเราวาดฐาน เนื่องจากมุมและอัตราส่วนความยาวของส่วนที่ไม่ขนานกันไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ในรูปแบบขนาน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมธรรมดาที่ฐานของปิรามิดจึงถูกวาดด้วยรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมปกติคือจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม เนื่องจากค่ามัธยฐานที่จุดตัดแบ่งในอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบนเราจึงเชื่อมต่อด้านบนของฐานกับตรงกลางของด้านตรงข้ามประมาณ 3 ส่วนและวางจุดไว้ที่ ระยะห่างจากด้านบน 2 ส่วน จากจุดนี้ ให้วาดเส้นตั้งฉากขึ้น นี่คือความสูงของปิรามิด วาดเส้นตั้งฉากให้ยาวจนขอบด้านข้างไม่บังภาพความสูง

การวาดพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ

เรายังเริ่มวาดพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติจากฐาน เนื่องจากความเท่าเทียมของส่วนต่างๆ ยังคงอยู่ แต่มุมไม่เท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ฐานจึงแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขอแนะนำให้ทำให้มุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เล็กลง จากนั้นขอบด้านข้างก็จะใหญ่ขึ้น จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม วาดเส้นทแยงมุม คืนค่าเส้นตั้งฉากจากจุดตัด ตั้งฉากนี้คือความสูงของปิรามิด เราเลือกความยาวของฉากตั้งฉากเพื่อไม่ให้ขอบด้านข้างรวมกัน

การวาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ

เนื่องจากในการออกแบบคู่ขนาน ความเท่าเทียมของเซกเมนต์ถูกรักษาไว้ ฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ - รูปหกเหลี่ยมปกติ - ถูกวาดเป็นรูปหกเหลี่ยม ซึ่งด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน จุดศูนย์กลางของรูปหกเหลี่ยมปกติคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม เพื่อไม่ให้ภาพวาดยุ่งเหยิง เราจะไม่วาดเส้นทแยงมุม แต่ให้หาจุดนี้โดยประมาณ จากนั้นเราคืนค่าแนวตั้งฉาก - ความสูงของปิรามิด - เพื่อไม่ให้ขอบด้านข้างรวมกัน

ปัญหาเกี่ยวกับปิรามิด ในบทความนี้ เราจะพิจารณาปัญหาของปิรามิดต่อไป ไม่สามารถนำมาประกอบกับงานประเภทหรือประเภทใด ๆ และไม่สามารถให้คำแนะนำทั่วไป (อัลกอริทึม) สำหรับการแก้ปัญหาได้ เป็นเพียงงานที่เหลือซึ่งไม่ได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้เท่านั้นที่รวบรวมไว้ที่นี่

ฉันจะแสดงรายการทฤษฎีที่ต้องรีเฟรชในหน่วยความจำก่อนแก้: ปิรามิด, คุณสมบัติของความคล้ายคลึงของตัวเลขและร่างกาย, คุณสมบัติของปิรามิดปกติ, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส, สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (ในส่วนที่สอง) . พิจารณางาน:

จากปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งมีปริมาตร 80 ปิรามิดสามเหลี่ยมถูกตัดออกโดยระนาบที่ผ่านส่วนบนของปิรามิดและเส้นกึ่งกลางของฐาน หาปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมตัด.

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ฐานและความสูง:

ปิรามิดเหล่านี้ (ของเดิมและส่วนที่ถูกตัดออก) มีความสูงเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของปิรามิดจึงสัมพันธ์กับพื้นที่ฐาน เส้นกลางจากสามเหลี่ยมเดิมตัดสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่น้อยกว่าสี่เท่า นั่นคือ:

สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่นี่

ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดออกจะน้อยกว่าสี่เท่า

ดังนั้น มันจะเท่ากับ 20

คำตอบ: 20

* ปัญหาที่คล้ายกันคือใช้สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ปริมาตรของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือ 15 เครื่องบินเคลื่อนผ่านด้านข้างของฐานของปิรามิดนี้ และตัดขอบด้านข้างด้านตรงข้ามที่จุดที่หารด้วยอัตราส่วน 1: 2 นับจากยอดปิรามิด ค้นหาปริมาตรที่ใหญ่ที่สุดของปิรามิดที่ระนาบแยกพีระมิดดั้งเดิม

มายืนปิรามิดและทำเครื่องหมายยอดกันเถอะเราทำเครื่องหมายจุด E บนขอบ AS เพื่อให้ AE มีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของ ES (เงื่อนไขระบุว่า ES อ้างถึง AE เป็น 1 ถึง 2) และสร้างระนาบที่ระบุผ่านขอบ AC และจุด E:

ลองวิเคราะห์ปริมาตรของพีระมิดที่จะใหญ่กว่า: EABC หรือ SEBC?

* ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง:

หากเราพิจารณาปิรามิดที่ได้รับทั้งสองอัน และทั้งสองใช้ใบหน้า EBC เป็นฐาน จะเห็นได้ชัดว่าปริมาตรของปิรามิด AEBC จะมากกว่าปริมาตรของพีระมิด SEBC ทำไม?

ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ EBC นั้นมากกว่าระยะทางจากจุด S และระยะทางนี้มีส่วนสูงสำหรับเรา

ลองหาปริมาตรของพีระมิด EABS กัน

ปริมาตรของปิรามิดดั้งเดิมนั้นมอบให้เรา ฐานของปิรามิด SABS และ EABS นั้นเป็นเรื่องธรรมดา ถ้าเรากำหนดอัตราส่วนของความสูง เราก็สามารถกำหนดปริมาตรได้อย่างง่ายดาย

จากอัตราส่วนของเซ็กเมนต์ ES และ AE ตามมาว่า AE เท่ากับสองในสามของ ES ความสูงของปิรามิด SABS และ EABS อยู่ในความสัมพันธ์เดียวกัน -ความสูงของปิรามิด EABS จะเท่ากับ 2/3 ของความสูงของปิรามิด SABS

ดังนั้นถ้า

ที่

คำตอบ: 10

ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือ 6 ด้านของฐานคือ 1 หาขอบด้านข้าง

ในปิรามิดปกติ ส่วนบนจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐานมาดำเนินการก่อสร้างเพิ่มเติมกัน:

เราสามารถหาขอบด้านข้างได้จาก SOC สามเหลี่ยมมุมฉาก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องรู้ SO และ OS

SO คือความสูงของปิรามิด เราสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรปริมาตร:

มาคำนวณพื้นที่ฐานกัน นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีด้านเท่ากับ 1 พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าหกรูปที่มีด้านเดียวกัน เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ (ข้อ 6) ดังนั้น:

วิธี

OS = BC = 1 เนื่องจากในรูปหกเหลี่ยมปกติ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดจะเท่ากับด้านข้างของรูปหกเหลี่ยมนี้

ดังนั้นโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คำตอบ: 7

ปริมาณจัตุรมุขนี้มีค่าเท่ากับ 200 จงหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็นจุดกึ่งกลางของขอบของจัตุรมุขนี้

ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ระบุมีค่าเท่ากับความแตกต่างระหว่างปริมาตรของจัตุรมุขเริ่มต้น V 0 และสี่จตุรัสที่เท่ากัน ซึ่งแต่ละอันได้มาโดยระนาบที่ตัดผ่านจุดกึ่งกลางของขอบที่มีจุดยอดร่วมกัน:

มากำหนดปริมาตรของจัตุรมุขที่ถูกตัดออก

โปรดทราบว่าจัตุรมุขดั้งเดิมและจัตุรมุข "ที่ถูกตัดออก" มีรูปร่างคล้ายคลึงกัน เป็นที่ทราบกันว่าอัตราส่วนของปริมาตรของวัตถุดังกล่าวเท่ากับ k 3 โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้ จะเท่ากับ 2 (เนื่องจากขนาดเชิงเส้นทั้งหมดของจัตุรมุขดั้งเดิมมีมิติเท่ากันของการตัด 2 เท่า):

ลองคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขที่ถูกตัดทอน:

ดังนั้นปริมาณที่ต้องการจะเท่ากับ:

คำตอบ: 100

พื้นที่ผิวของจัตุรมุขคือ 120 ค้นหาพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็นจุดกึ่งกลางของขอบของจัตุรมุขนี้

วิธีแรก:

พื้นผิวที่ต้องการประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป โดยด้านหนึ่งมีขนาดครึ่งหนึ่งของขอบของจัตุรมุขดั้งเดิม พื้นผิวของจัตุรมุขดั้งเดิมประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม 16 รูป (ในแต่ละด้านของ 4 หน้าของจัตุรมุขมี 4 รูปสามเหลี่ยม) ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ผิวของจัตุรมุขนี้และเท่ากับ 60

วิธีที่สอง:

เนื่องจากทราบพื้นที่ผิวของจัตุรมุข เราสามารถหาขอบของมัน จากนั้นกำหนดความยาวของขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม แล้วคำนวณพื้นที่ผิวของมัน

การคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่เป็นหนึ่งในงานที่สำคัญของ stereometry ในบทความนี้เราจะพิจารณาคำถามในการกำหนดปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นปิรามิดและให้รูปหกเหลี่ยมปกติ

พีระมิดหกเหลี่ยม

ในการเริ่มต้น ให้พิจารณาว่าตัวเลขนี้เกี่ยวกับอะไร ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความ

สมมติว่าเรามีรูปหกเหลี่ยมโดยพลการ ซึ่งด้านไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สมมติว่าเราได้เลือกจุดในอวกาศที่ไม่อยู่ในระนาบของรูปหกเหลี่ยม โดยการเชื่อมต่อทุกมุมของส่วนหลังกับจุดที่เลือกเราจะได้ปิรามิด ปิรามิดที่แตกต่างกันสองอันที่มีฐานหกเหลี่ยมแสดงอยู่ในรูปด้านล่าง

จะเห็นได้ว่านอกเหนือจากรูปหกเหลี่ยมแล้ว รูปประกอบด้วยสามเหลี่ยมหกรูป ซึ่งจุดเชื่อมต่อเรียกว่าจุดยอด ความแตกต่างระหว่างปิรามิดที่แสดงคือความสูง h ของด้านขวาไม่ตัดกับฐานหกเหลี่ยมที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต แต่ความสูงของรูปด้านซ้ายตกอยู่ที่ศูนย์กลางนี้พอดี ด้วยเกณฑ์นี้พีระมิดด้านซ้ายจึงถูกเรียกว่าตรงและปิรามิดด้านขวาเอียง

เนื่องจากฐานของรูปด้านซ้ายในรูปเป็นรูปหกเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากันจึงเรียกว่าปกติ เพิ่มเติมในบทความเราจะพูดถึงพีระมิดนี้เท่านั้น

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ h คือความยาวของความสูงของรูป S o คือพื้นที่ฐาน ลองใช้นิพจน์นี้เพื่อกำหนดปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติ

เนื่องจากรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐานของรูปที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จึงสามารถใช้นิพจน์ทั่วไปต่อไปนี้สำหรับ n-gon เพื่อคำนวณพื้นที่ได้:

S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มเท่ากับจำนวนด้าน (มุม) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือความยาวของด้านนั้น ฟังก์ชันโคแทนเจนต์คำนวณโดยใช้ตารางที่เกี่ยวข้อง

การใช้นิพจน์สำหรับ n = 6 เราได้รับ:

S 6 = 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) = √3 / 2 * a 2

ตอนนี้ยังคงแทนที่นิพจน์นี้เป็นสูตรทั่วไปสำหรับปริมาตร V:

V 6 = S 6 * h = √3 / 2 * h * a 2

ดังนั้น ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่กำลังพิจารณา จำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์เชิงเส้นตรงสองพารามิเตอร์: ความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ให้เราแสดงให้เห็นว่านิพจน์ที่ได้รับสำหรับ V 6 สามารถใช้แก้ปัญหาต่อไปนี้ได้อย่างไร

ปริมาตรที่ถูกต้องเรียกว่า 100 ซม. 3 จำเป็นต้องกำหนดด้านข้างของฐานและความสูงของร่างหากทราบว่ามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เนื่องจากสูตรสำหรับปริมาตรมีเพียง a และ h จึงเป็นไปได้ที่จะแทนที่พารามิเตอร์ใด ๆ เหล่านี้ซึ่งแสดงในรูปของตัวแปรอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น แทนที่ a เราจะได้:

V 6 = √3 / 2 * h * (2 * h) 2 =>

ชั่วโมง = ∛ (V 6 / (2 * √3))

ในการหาค่าความสูงของรูป จำเป็นต้องหารากที่สามของปริมาตร ซึ่งสอดคล้องกับขนาดของความยาว เราแทนที่ค่าของปริมาตร V 6 ของปิรามิดจากเงื่อนไขของปัญหา เราได้ความสูง:

ชั่วโมง = ∛ (100 / (2 * √3)) ≈ 3.0676 cm

เนื่องจากด้านข้างของฐาน ตามเงื่อนไขของปัญหา มีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของค่าที่พบ เราจึงได้ค่าของมัน:

a = 2 * h = 2 * 3.0676 = 6.1352 cm

ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมสามารถพบได้ไม่เพียงแค่ความสูงของร่างและค่าของด้านข้างของฐานเท่านั้น การรู้พารามิเตอร์เชิงเส้นตรงสองแบบที่แตกต่างกันของพีระมิดเพื่อคำนวณก็เพียงพอแล้ว เช่น อะโพเทมาและความยาวของซี่โครงด้านข้าง