คุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลขเป็นวิธีการลบอย่างมีเหตุผล การบวกและการลบของจำนวนตรรกยะ

จากนั้น a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c

การบวกศูนย์จะไม่เปลี่ยนตัวเลข และผลรวมของตัวเลขตรงข้ามจะเป็นศูนย์

ดังนั้น สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ เรามี a + 0 = a, a + (- a) = 0

การคูณจำนวนตรรกยะยังมีคุณสมบัติทรานสโพสได้และผสมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ แล้ว ab - ba, a (bc) - (ab) c

การคูณด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนจำนวนตรรกยะ และผลคูณของจำนวนที่ผกผันคือ 1

ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ เรามี:

ก) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8 + m;
b) -x-a + 12 + a -12; ง) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p

1190. เมื่อเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1191. กำหนดคุณสมบัติการย้ายตำแหน่งของการคูณ ab = ba และตรวจสอบได้ที่:

1192. กำหนดคุณสมบัติการรวมกันของการคูณ a (bc) = (ab) c เป็นคำ แล้วตรวจสอบหา:

1193. เลือกลำดับการคำนวณที่สะดวก ค้นหาค่าของนิพจน์:

1194. ตัวเลขจะเป็นอย่างไร (บวกหรือลบ) หากคุณคูณ:

ก) หนึ่งจำนวนลบและสองจำนวนบวก;
b) สองจำนวนลบและหนึ่งบวก;
c) 7 ตัวเลขติดลบและบวกหลายตัว;
d) 20 ลบและบวกบ้าง? ทำการสรุป

1195. กำหนดสัญลักษณ์ของงาน:

ก) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
ข) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

ก) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha และ Maxim รวมตัวกันในโรงยิม (รูปที่ 91, a) ปรากฎว่าเด็กชายแต่ละคนรู้จักเพียงสองคนเท่านั้น ใครรู้จักบ้าง? (ขอบของกราฟหมายถึง "เรารู้จักกัน")

ข) พี่น้องในครอบครัวเดียวกันกำลังเดินอยู่ในสนาม เด็กคนไหนในเหล่านี้เป็นเด็กผู้ชาย และใครเป็นเด็กผู้หญิง (รูปที่ 91, b)? (ขอบเส้นประของกราฟหมายถึง "ฉันเป็นพี่สาว" และขอบทึบหมายถึง "ฉันเป็นพี่น้องกัน")

1205. คำนวณ:

1206. เปรียบเทียบ:

ก) 2 3 และ 3 2; b) (-2) 3 และ (-3) 2; ค) 1 3 และ 1 2; ง) (-1) 3 และ (-1) 2

1207. รอบ 5.2853 ถึงหลักพัน; ก่อน ร้อย; มากถึงสิบ; ไปยังหน่วย

1208. แก้ปัญหา:

1) ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์ไล่ตามคนขี่จักรยาน ขณะนี้มี 23.4 กม. ระหว่างพวกเขา ความเร็วของผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์คือ 3.6 เท่าของผู้ขับขี่ หาความเร็วของนักปั่นจักรยานและคนขี่มอเตอร์ไซค์หากรู้ว่าผู้ขับขี่มอเตอร์ไซค์จะตามทันคนขี่ในไม่กี่ชั่วโมง
2) รถยนต์นั่งทับรถโดยสารประจำทาง ขณะนี้มีระยะทางระหว่างพวกเขา 18 กม. ความเร็วของรถโดยสารเท่ากับความเร็วของรถโดยสาร ค้นหาความเร็วของรถบัสและรถยนต์หากรู้ว่ารถจะทันกับรถบัสในหนึ่งชั่วโมง

1209. ค้นหาค่าของนิพจน์:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

ตรวจสอบการคำนวณของคุณด้วย ไมโครเครื่องคิดเลข.
1210. เมื่อเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1211. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

1212. ค้นหาค่าของนิพจน์:

1213. ทำดังต่อไปนี้:

1214. ให้นักเรียนเก็บเศษเหล็ก 2.5 ตัน พวกเขารวบรวมเศษโลหะ 3.2 ตัน นักเรียนทำงานเสร็จลุล่วงไปมากน้อยเพียงใดและเกินงานมอบหมายมากน้อยเพียงใด

1215. รถวิ่งได้ 240 กม. ในจำนวนนี้ เธอเดินไปตามถนนในชนบทเป็นระยะทาง 180 กม. และตลอดทางที่เหลือตามทางหลวง ปริมาณการใช้น้ำมันเบนซินทุกๆ 10 กม. ของถนนในชนบทคือ 1.6 ลิตร และบนทางหลวงลดลง 25% มีการใช้น้ำมันเบนซินโดยเฉลี่ยกี่ลิตรต่อ 10 กิโลเมตร?

1216 เมื่อออกจากหมู่บ้าน นักปั่นจักรยานสังเกตเห็นคนเดินถนนบนสะพานเดินไปทางเดียวกันและตามทันเขาใน 12 นาที ค้นหาความเร็วของคนเดินเท้าหากความเร็วของนักปั่นจักรยานคือ 15 กม. / ชม. และระยะทางจากหมู่บ้านถึงสะพานคือ 1 กม. 800 ม.?

1217. ทำดังต่อไปนี้:

ก) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
ข) -14.31: 5.3 - 27.81: 2.7 + 2.565: 3.42 + 4.1 0.8;
ค) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5)

อย่างที่คุณรู้ ผู้คนค่อยๆ รู้จำนวนตรรกยะ เริ่มแรกเมื่อนับวัตถุจำนวนธรรมชาติก็เกิดขึ้น ตอนแรกมีไม่มากนัก ดังนั้น จนกระทั่งเมื่อไม่นานนี้ ชาวพื้นเมืองของเกาะต่างๆ ในช่องแคบทอร์เรส (แยกนิวกินีออกจากออสเตรเลีย) จึงมีชื่อในภาษาของพวกเขาเพียงสองชื่อ: "อุราพัน" (หนึ่ง) และ "โอกาซา" (สอง) ชาวเกาะคิดอย่างนั้น "โอกาสะอุระปุน" (สาม) "โอกาสะอุระปุน" (สี่) เป็นต้น ชาวพื้นเมืองเรียกเลขทั้งหมดตั้งแต่เจ็ดคำซึ่งมีความหมายว่า "มาก"

นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าคำว่าร้อยปรากฏขึ้นเมื่อกว่า 7000 ปีที่แล้ว เป็นเวลากว่าพันปี - 6000 ปีที่แล้ว และเมื่อ 5,000 ปีก่อนในอียิปต์โบราณและบาบิโลนโบราณมีชื่อสำหรับตัวเลขจำนวนมาก - มากถึงหนึ่งล้าน แต่เป็นเวลานานแล้วที่ชุดของตัวเลขตามธรรมชาติถือว่าจำกัด ผู้คนคิดว่ามีจำนวนมากที่สุด

นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวกรีกโบราณที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ได้คิดค้นวิธีอธิบายจำนวนมหาศาล จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่อาร์คิมิดีสสามารถเรียกได้นั้นมากจนต้องใช้เทปที่ยาวกว่าระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองพันเท่าในการบันทึกแบบดิจิทัล

แต่พวกเขาก็ยังไม่รู้ว่าจะเขียนตัวเลขมหาศาลดังกล่าวอย่างไร สิ่งนี้เกิดขึ้นได้หลังจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่หกเท่านั้น ตัวเลขศูนย์ถูกประดิษฐ์ขึ้นและเริ่มแสดงว่าไม่มีหน่วยในตัวเลขของสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข

เมื่อแบ่งการผลิตและในอนาคตเมื่อวัดปริมาณและในกรณีอื่นที่คล้ายคลึงกันผู้คนพบกับความจำเป็นในการป้อน "ตัวเลขที่หัก" - เศษส่วนธรรมดา การดำเนินการกับเศษส่วนถือเป็นส่วนที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์ในยุคกลาง จนถึงขณะนี้ ชาวเยอรมันพูดถึงบุคคลที่อยู่ในสถานการณ์ที่ยากลำบากว่าเขา "ได้เศษส่วน"

เพื่อให้ง่ายต่อการจัดการกับเศษส่วน ทศนิยมถูกคิดค้น เศษส่วน... ในยุโรป เปิดตัวใน X585 โดย Simon Stevin นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวดัตช์

ตัวเลขติดลบปรากฏช้ากว่าเศษส่วน เป็นเวลานานตัวเลขดังกล่าวได้รับการพิจารณาว่า "ไม่มีอยู่จริง", "เท็จ" เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าการตีความที่ยอมรับสำหรับตัวเลขบวกและลบ "ทรัพย์สิน - หนี้" ทำให้เกิดความสับสน: คุณสามารถเพิ่มหรือลบ "ทรัพย์สิน" หรือ “หนี้” แต่จะเข้าใจงานหรือ “ทรัพย์สิน” และ “หนี้” ส่วนตัวอย่างไร?

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีความสงสัยและความสับสนดังกล่าว กฎสำหรับการคูณและหารจำนวนบวกและลบถูกเสนอในศตวรรษที่ 3 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus (ในรูปแบบ: "ลบคูณด้วยการเพิ่มให้ลบ; กฎในแง่ของ "ทรัพย์สิน", "หนี้" ("ผลิตภัณฑ์ของสินทรัพย์สองรายการหรือหนี้สองรายการคือทรัพย์สิน ผลิตภัณฑ์ของทรัพย์สินและหนี้สิน คือหนี้” กฎเดียวกันกับการแบ่ง)

พบว่าคุณสมบัติของการกระทำกับจำนวนลบเหมือนกับจำนวนบวก (เช่น การบวกและการคูณมีคุณสมบัติการกระจัด) และในที่สุด ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ผ่านมา ตัวเลขติดลบก็เท่ากับจำนวนบวก

ต่อมา ตัวเลขใหม่ปรากฏในคณิตศาสตร์ - ไม่ลงตัว ซับซ้อนและอื่น ๆ คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาในโรงเรียนมัธยม

N. ยา Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, คณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6, ตำราเรียนสำหรับโรงเรียนมัธยม

หนังสือเรียนตามแผนปฏิทิน

เนื้อหาบทเรียน โครงร่างบทเรียนสนับสนุนการนำเสนอบทเรียนกรอบวิธีการเร่งความเร็วเทคโนโลยีโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด แบบทดสอบตนเอง เวิร์กช็อป การฝึกอบรม เคส เควส การบ้าน การบ้าน คำถามการสนทนา คำถามเชิงโวหารจากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย, รูปภาพ, ชาร์ต, ตาราง, เรื่องตลก, เรื่องตลก, เรื่องตลก, อุปมาการ์ตูน, คำพูด, ปริศนาอักษรไขว้, คำพูด อาหารเสริม บทคัดย่อบทความ เกร็ดความรู้ แผ่นโกง หนังสือเรียน คำศัพท์พื้นฐานและคำศัพท์อื่นๆ เพิ่มเติม การปรับปรุงตำราและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในบทช่วยสอนการปรับปรุงชิ้นส่วนในตำราองค์ประกอบนวัตกรรมในบทเรียนแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี ข้อเสนอแนะเชิงระเบียบวิธีของโปรแกรมสนทนา บทเรียนแบบบูรณาการ

แนวคิดของตัวเลขหมายถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมซึ่งกำหนดลักษณะของวัตถุจากมุมมองเชิงปริมาณ แม้แต่ในสังคมดึกดำบรรพ์ ผู้คนก็ยังต้องการการนับวัตถุ ดังนั้นการกำหนดตัวเลขจึงปรากฏขึ้น ต่อมาได้กลายเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์

ในการทำงานกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ อันดับแรก จำเป็นต้องจินตนาการว่าตัวเลขคืออะไร ตัวเลขหลักมีหลายประเภท มัน:

1. ธรรมชาติ - สิ่งที่เราได้รับเมื่อนับวัตถุ (นับตามธรรมชาติ) ชุดของพวกเขาแสดงโดย N.

2. Wholes (ชุดของพวกเขาแสดงด้วยตัวอักษร Z) ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มลบตรงข้าม และศูนย์

3. จำนวนตรรกยะ (ตัวอักษร Q) เหล่านี้คือสิ่งที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษซึ่งเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนเป็นจำนวนธรรมชาติ ทั้งหมดทั้งหมดและมีเหตุผล

4. ถูกต้อง (แสดงด้วยตัวอักษร R) ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ อตรรกยะคือตัวเลขที่ได้จากจำนวนตรรกยะจากการดำเนินการต่างๆ (การคำนวณลอการิทึม การแยกราก) ที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลในตัวเอง

ดังนั้น ชุดใดชุดหนึ่งที่อยู่ในรายการจึงเป็นชุดย่อยของรายการต่อไปนี้ ภาพประกอบของวิทยานิพนธ์นี้คือแผนภาพในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า วงกลมของออยเลอร์ ภาพวาดแสดงถึงวงรีที่มีศูนย์กลางหลายวง ซึ่งแต่ละวงตั้งอยู่ภายในวงรีอีกวงหนึ่ง วงรีขนาดภายในที่เล็กที่สุด (พื้นที่) หมายถึงชุดของตัวเลขธรรมชาติ มันครอบคลุมและรวมถึงพื้นที่ที่เป็นสัญลักษณ์ของเซตของจำนวนเต็มซึ่งในที่สุดก็ถูกล้อมรอบด้วยพื้นที่ของจำนวนตรรกยะ. วงรีด้านนอกที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งรวมถึงวงรีอื่นๆ ทั้งหมด แสดงถึงอาร์เรย์

ในบทความนี้เราจะพิจารณาชุดของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติและคุณลักษณะของจำนวนตรรกยะ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวเลขที่มีอยู่ทั้งหมด (บวก ลบ และศูนย์) เป็นของพวกมัน จำนวนตรรกยะประกอบเป็นอนุกรมอนันต์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ชุดนี้ถูกเรียงลำดับ นั่นคือ นำคู่ของตัวเลขใดๆ จากแถวนี้ เราสามารถหาได้เสมอว่าตัวใดมีค่ามากกว่า

การหาคู่ของจำนวนดังกล่าว เราสามารถใส่อย่างน้อยหนึ่งคู่ระหว่างตัวเลขเหล่านี้ได้เสมอ ดังนั้น ชุดทั้งหมดของจำนวนดังกล่าว - ดังนั้น จำนวนตรรกยะจึงเป็นอนุกรมอนันต์

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่ของตัวเลขดังกล่าวเป็นไปได้ ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขที่แน่นอนเสมอ การหารด้วย 0 (ศูนย์) เป็นข้อยกเว้น - มันเป็นไปไม่ได้

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ เศษส่วนเหล่านี้สามารถเป็นคาบจำกัดหรืออนันต์ก็ได้

ในการเปรียบเทียบตัวเลขสองจำนวนที่เกี่ยวข้องกับเซตตรรกยะ คุณต้องจำไว้ว่า:

จำนวนบวกใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์

จำนวนลบใด ๆ จะน้อยกว่าศูนย์เสมอ

เมื่อเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะลบสองจำนวน ค่าที่มากกว่าคือจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) น้อยกว่า

การดำเนินการกับจำนวนตรรกยะเป็นอย่างไร?

ในการเพิ่มตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมบูรณ์และใส่เครื่องหมายร่วมไว้หน้าผลรวม ในการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้ลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า และใส่เครื่องหมายของค่าที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

หากต้องการลบจำนวนตรรกยะตัวหนึ่งออกจากอีกจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกค่าตรงข้ามของจำนวนที่สองกับจำนวนแรก ในการคูณตัวเลขสองตัว คุณต้องคูณค่าของค่าสัมบูรณ์ของพวกมัน ผลลัพธ์จะเป็นบวกหากปัจจัยมีเครื่องหมายเหมือนกันและเป็นลบหากต่างกัน

การหารจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน นั่นคือ พบผลหารของค่าสัมบูรณ์ และผลลัพธ์นำหน้าด้วยเครื่องหมาย "+" หากสัญญาณของเงินปันผลและตัวหารตรงกัน และเครื่องหมาย "-" ลงชื่อถ้าไม่ตรงกัน

ยกกำลังของจำนวนตรรกยะดูเหมือนผลคูณของปัจจัยหลายตัวที่เท่ากัน

) คือตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) และศูนย์ แนวคิดของจำนวนตรรกยะที่แม่นยำยิ่งขึ้นมีลักษณะดังนี้:

จำนวนตรรกยะ- ตัวเลขที่แสดงด้วยเศษส่วนปกติ ม. / นที่ตัวเศษ NSเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วน NS- จำนวนเต็ม เช่น 2/3.

เศษส่วนไม่เป็นระยะอนันต์ไม่รวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ

ก / ข, ที่ไหน NS∈ Z (NSเป็นของจำนวนเต็ม) NS∈ NS (NSเป็นของจำนวนธรรมชาติ)

การใช้จำนวนตรรกยะในชีวิตจริง

ในชีวิตจริง ชุดของจำนวนตรรกยะใช้เพื่อนับส่วนของวัตถุที่หารจำนวนเต็มบางตัว ตัวอย่างเช่นเค้กหรือผลิตภัณฑ์อื่นๆ ที่หั่นเป็นชิ้นๆ ก่อนใช้งาน หรือสำหรับการประมาณความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของวัตถุที่ขยายออกคร่าวๆ

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ

1. ความเป็นระเบียบ NSและ NSมีกฎที่อนุญาตให้ระบุความสัมพันธ์ 1-แต่และเพียงหนึ่งใน 3 อย่างชัดเจน: “<», «>"หรือ" = ". กฎนี้คือ - กฎการสั่งซื้อและกำหนดแบบนี้:

2 ตัวเลขบวก a = m a / n aและ b = m b / n bสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็ม 2 ตัว ม⋅ n bและ m b⋅ น อะ;
2 ตัวเลขติดลบ NSและ NSสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์แบบเดียวกับเลขบวก 2 ตัว | ข |และ | ก |;
เมื่อไร NSในเชิงบวกและ NS- เชิงลบ แล้ว a> b.

∀ ก, ข∈ ถาม (a ∨ a> b∨ ก = ข)

2. การดำเนินการเพิ่มเติม... สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด NSและ NSมี กฎการบวกซึ่งทำให้พวกเขาติดต่อกับจำนวนตรรกยะบางอย่าง ค... ยิ่งกว่านั้นตัวเลขนั้นเอง ค- นี่คือ ผลรวมตัวเลข NSและ NSและแสดงเป็น (ก + ข) ผลรวม.

กฎการรวมดูเหมือนว่า:

ม/น + ม ข/n ข = (ม. a⋅ น ข + ม ข⋅ น)/(น อะ⋅ น ข).

∀ ก, ข∈ NS∃ ! (a + b)∈ NS

3. การดำเนินการคูณ... สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด NSและ NSมี กฎการคูณ, มันเชื่อมโยงพวกเขาด้วยจำนวนตรรกยะบางอย่าง ค... เรียกเลข c ว่า ผลิตภัณฑ์ตัวเลข NSและ NSและแสดงว่า (a⋅b)และกระบวนการหาเลขนี้เรียกว่า การคูณ.

กฎการคูณดูเหมือนว่า: m n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a, b∈Q ∃ (a⋅b) ∈Q

4. Transitivity ของความสัมพันธ์ของคำสั่งสำหรับจำนวนตรรกยะสามตัวใดๆ NS, NSและ คถ้า NSเล็กกว่า NSและ NSเล็กกว่า ค, แล้ว NSเล็กกว่า คเกิดอะไรขึ้นถ้า NSเท่ากับ NSและ NSเท่ากับ ค, แล้ว NSเท่ากับ ค.

∀ ก, ข, ค∈ ถาม (a ∧ NS ⇒ NS ∧ (a = b∧ ข = ค⇒ ก = ค)

5. การเปลี่ยนแปลงของการบวก... ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นเหตุเป็นผล

∀ ก, ข∈ Q a + b = b + a

6. การเชื่อมโยงเพิ่มเติม... ลำดับการบวกจำนวนตรรกยะ 3 ตัวไม่มีผลกับผลลัพธ์

∀ ก, ข, ค∈ Q (a + b) + c = a + (b + c)

7. การมีอยู่ของศูนย์... มีจำนวนตรรกยะ 0 ซึ่งจะรักษาจำนวนตรรกยะอื่นๆ ไว้เมื่อบวกเข้าไป

∃ 0 ∈ NS∀ NS∈ Q a + 0 = a

8. มีเลขตรงข้าม... จำนวนตรรกยะใดๆ มีจำนวนตรรกยะตรงข้าม เมื่อบวกแล้ว จะกลายเป็น 0

∀ NS∈ NS∃ (−ก)∈ Q a + (- a) = 0

9. การเปลี่ยนแปลงของการคูณ... ผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของปัจจัยที่มีเหตุผล

∀ ก, ข∈ คิวอะ⋅ ข = ข⋅ NS

10. ความสัมพันธ์ของการคูณ... ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะ 3 ตัวไม่มีผลกับผลรวม

∀ ก, ข, ค∈ ถาม (a⋅ NS)⋅ ค = เป็⋅ (NS⋅ NS)

11. ห้องว่าง... มีจำนวนตรรกยะ 1 มันเก็บจำนวนตรรกยะอื่น ๆ ไว้ในกระบวนการคูณ

∃ 1 ∈ NS∀ NS∈ คิวอะ⋅ 1 = เป็

12. ย้อนกลับตัวเลข... จำนวนตรรกยะใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน คูณด้วย 1 .

∀ NS∈ NS∃ ก − 1∈ คิวอะ⋅ ก − 1 = 1

13. การกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก... การดำเนินการของการคูณเกี่ยวข้องกับการบวกโดยใช้กฎหมายการจำหน่าย:

∀ ก, ข, ค∈ ถาม (a + b)⋅ ค = เป็⋅ ค + ข⋅ ค

14. ความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อกับการดำเนินการเพิ่มเติม... จำนวนตรรกยะเดียวกันจะเพิ่มที่ด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตรรกยะ

∀ ก, ข, ค∈ คิวอะ ⇒ a + c

15. ความสัมพันธ์ของลำดับกับการดำเนินการของการคูณ... ด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นลบเดียวกันได้

∀ ก, ข, ค∈ คค> 0∧ NS ⇒ NS⋅ ค ⋅ ค

16. สัจพจน์ของอาร์คิมิดีส... ไม่ว่าจำนวนตรรกยะจะเป็นเช่นไร NS, มันง่ายที่จะนำหน่วยจำนวนมากที่ผลรวมของพวกเขาจะมากขึ้น NS.

ในบทนี้ เราจะจำคุณสมบัติพื้นฐานของการกระทำกับตัวเลข เราจะไม่เพียงแต่ทำซ้ำคุณสมบัติพื้นฐาน แต่ยังเรียนรู้วิธีนำไปใช้กับจำนวนตรรกยะ เราจะรวบรวมความรู้ทั้งหมดที่ได้รับจากการแก้ตัวอย่าง

คุณสมบัติพื้นฐานของการกระทำกับตัวเลข:

สองคุณสมบัติแรกคือคุณสมบัติการบวก สองคุณสมบัติถัดไปคือคุณสมบัติการคูณ คุณสมบัติที่ห้าใช้กับทั้งสองการดำเนินการ

ไม่มีอะไรใหม่ในคุณสมบัติเหล่านี้ พวกมันเป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม พวกเขายังเป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะและจะเป็นจริงสำหรับตัวเลขที่เราจะศึกษาต่อไป (เช่น อตรรกยะ)

คุณสมบัติการเรียงสับเปลี่ยน:

การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขหรือปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์

คุณสมบัติผสมผสาน:, .

การบวกหรือคูณตัวเลขหลายๆ ตัวสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

คุณสมบัติการกระจาย:.

คุณสมบัติเชื่อมต่อทั้งการดำเนินการ - การบวกและการคูณ นอกจากนี้ หากคุณอ่านจากซ้ายไปขวา จะเรียกว่ากฎการขยายวงเล็บ และหากอ่านจากซ้ายไปขวา จะเรียกว่ากฎสำหรับใส่ปัจจัยร่วมนอกวงเล็บ

สองคุณสมบัติต่อไปนี้อธิบาย องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ: การบวกศูนย์และการคูณด้วยหนึ่งจะไม่เปลี่ยนจำนวนเดิม

คุณสมบัติอีกสองประการที่อธิบาย องค์ประกอบสมมาตรสำหรับการบวกและการคูณ ผลรวมของจำนวนตรงข้ามจะเป็นศูนย์ ผลคูณของจำนวนส่วนกลับเท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติดังต่อไปนี้:. ถ้าคูณด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ

ทรัพย์สินสุดท้ายที่เราจะพิจารณา:.

คูณจำนวนด้วย, เราได้จำนวนตรงข้าม. คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะ ไม่สามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่น ๆ ที่พิจารณาได้โดยใช้คุณสมบัติอื่น คุณสมบัติเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า

คูณด้วย

ให้เราพิสูจน์ว่าถ้าเราคูณจำนวนนั้นด้วย เราจะได้จำนวนตรงข้าม เราใช้คุณสมบัติการกระจายสำหรับสิ่งนี้:.

เป็นจริงสำหรับตัวเลขใดๆ แทนที่ตัวเลขและ:

ทางซ้ายในวงเล็บคือผลรวมของจำนวนที่ตรงข้ามกัน ผลรวมของพวกเขาเท่ากับศูนย์ (เรามีคุณสมบัติดังกล่าว) ออกไปแล้ว ทางด้านขวาเราได้รับ: .

ตอนนี้เรามีศูนย์ทางด้านซ้าย และผลรวมของตัวเลขสองตัวทางด้านขวา แต่ถ้าผลรวมของตัวเลขสองตัวเป็นศูนย์ ตัวเลขเหล่านี้จะตรงข้ามกัน แต่ตัวเลขนั้นมีเลขตรงข้ามเพียงตัวเดียว:. ซึ่งหมายความว่านี่คือ:

คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมบัติดังกล่าวที่พิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติเดิมเรียกว่า ทฤษฎีบท

เหตุใดจึงไม่มีคุณสมบัติการลบและการหารที่นี่ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียนคุณสมบัติการแจกจ่ายเพื่อลบ:

แต่ตั้งแต่:

การลบจำนวนใด ๆ สามารถเขียนได้เทียบเท่ากับการบวกโดยแทนที่ตัวเลขด้วยสิ่งที่ตรงกันข้าม:

การหารสามารถเขียนเป็นการคูณโดยส่วนกลับ:

ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติของการบวกและการคูณสามารถใช้สำหรับการลบและการหาร ส่งผลให้รายการคุณสมบัติที่ต้องจำสั้นลง

คุณสมบัติทั้งหมดที่เราพิจารณาไม่ใช่คุณสมบัติเฉพาะของจำนวนตรรกยะ กฎเหล่านี้ทั้งหมดขึ้นอยู่กับตัวเลขอื่นๆ เช่น ตัวเลขที่ไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น ผลรวมของและจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์:

ตอนนี้เราจะไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง เราจะแก้ตัวอย่างบางส่วน

ตัวเลขที่มีเหตุผลในชีวิต

คุณสมบัติของวัตถุที่เราสามารถอธิบายเชิงปริมาณ กำหนดจำนวนบางส่วนได้ เรียกว่า ปริมาณ: ความยาว น้ำหนัก อุณหภูมิ ปริมาณ

ค่าหนึ่งและค่าเดียวกันสามารถแสดงด้วยทั้งจำนวนเต็มและจำนวนเศษส่วน บวกหรือลบ

ตัวอย่างเช่น ความสูงของคุณ m เป็นจำนวนเศษส่วน แต่เราสามารถพูดได้ว่ามันเท่ากับ cm - นี่เป็นจำนวนเต็มแล้ว (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบเช่น

อีกหนึ่งตัวอย่าง อุณหภูมิติดลบในระดับเซลเซียสจะเป็นค่าบวกในระดับเคลวิน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ภาพประกอบเช่น

เมื่อสร้างกำแพงบ้าน คนหนึ่งสามารถวัดความกว้างและความสูงเป็นเมตรได้ เขาได้รับค่าเศษส่วน เขาจะดำเนินการคำนวณทั้งหมดเพิ่มเติมด้วยตัวเลขที่เป็นเศษส่วน (ตรรกยะ) บุคคลอื่นสามารถวัดทุกอย่างได้ตามจำนวนอิฐที่มีความกว้างและความสูง เมื่อได้รับเฉพาะค่าจำนวนเต็ม เขาจะทำการคำนวณด้วยจำนวนเต็ม

ปริมาณเองนั้นไม่ใช่ทั้งหมดหรือเศษส่วน หรือค่าลบ หรือค่าบวก แต่จำนวนที่เราอธิบายมูลค่าของปริมาณนั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจงอยู่แล้ว (เช่น ค่าลบและเศษส่วน) ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนการวัด และเมื่อเราย้ายจากค่าจริงไปเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราก็ทำงานกับตัวเลขเฉพาะประเภท

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม สามารถจัดเรียงข้อกำหนดใหม่ได้ตามสะดวกสำหรับเรา และสามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ หากเงื่อนไขของสัญญาณต่าง ๆ ลงท้ายด้วยตัวเลขเดียวก็จะสะดวกที่จะดำเนินการกับพวกเขาก่อน ในการทำเช่นนี้ เราจะสลับเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น:

เศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนเท่ากันจะรวมกันได้ง่าย

ตัวเลขตรงข้ามรวมกันเป็นศูนย์ ตัวเลขที่มี "ก้อย" ทศนิยมเหมือนกันสามารถลบออกได้ง่าย การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เช่นเดียวกับกฎการกระจัดของการบวก ทำให้คุณสามารถคำนวณค่าได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้:

ตัวเลขที่มี "หาง" ทศนิยมเสริมนั้นง่ายต่อการเพิ่ม สะดวกในการทำงานกับส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของจำนวนคละแบบแยกกัน เราใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการคำนวณค่าของนิพจน์ต่อไปนี้:

มาดูการคูณกัน มีคู่ของตัวเลขที่ง่ายต่อการคูณ การใช้คุณสมบัติการกระจัด คุณสามารถจัดเรียงปัจจัยใหม่เพื่อให้อยู่เคียงข้างกันได้ จำนวน minuses ในผลิตภัณฑ์สามารถคำนวณได้ทันทีและสามารถสรุปเกี่ยวกับเครื่องหมายของผลลัพธ์ได้

พิจารณาตัวอย่างนี้:

หากตัวประกอบเป็นศูนย์ ผลคูณจะเป็นศูนย์ เช่น

ผลคูณของจำนวนส่วนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่ง และการคูณด้วยหนึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของผลิตภัณฑ์ พิจารณาตัวอย่างนี้:

ลองดูตัวอย่างโดยใช้คุณสมบัติการกระจาย หากคุณขยายวงเล็บ การคูณแต่ละครั้งก็ง่าย