ตัวอย่างปริพันธ์ วิธีการอินทิเกรตโดยตรง เทคนิคบูรณาการ: บูรณาการโดยตรง
อุปกรณ์การเรียน: บันทึกการบรรยาย.
เกณฑ์การประเมิน
สั่งงาน
แบบฝึกหัดที่ 1
อ่านบรรยายครั้งที่ 9
ภารกิจที่ 2
การบรรยายครั้งที่ 9
อินทิกรัลไม่ จำกัด จากฟังก์ชันนี้:
10 .
( dx)" = ง ( dx) =ฉ(x) dx
20. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับฟังก์ชันนี้บวกค่าคงที่ตามอำเภอใจ:
30. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด ได้
40. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอินทิกรัลไม่ จำกัด ของเงื่อนไขของฟังก์ชัน:
50. ถ้า a เป็นค่าคงที่ แสดงว่าสูตรนั้นใช้ได้
ดูเนื้อหาเอกสาร
“เทคนิคบูรณาการโดยตรง”
การปฏิบัติงาน№ 7
หัวข้อ: เทคนิคบูรณาการ บูรณาการโดยตรง
เป้าหมาย:
ศึกษาสูตรและกฎเกณฑ์ในการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด
เรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างโดยใช้การรวมโดยตรง
อุปกรณ์การเรียน: บันทึกการบรรยาย.
เกณฑ์การประเมิน
จะมีการให้คะแนน "5" สำหรับการทำงานให้เสร็จสิ้นอย่างถูกต้องทั้งหมด
จะมีการให้คะแนน "4" สำหรับการทำงานให้สำเร็จในภารกิจที่ 1 และแก้ไขตัวอย่างทั้ง 10 ตัวอย่างจากภารกิจที่ 2 ได้อย่างถูกต้อง
จะมีการให้คะแนน "3" สำหรับการทำภารกิจที่ 1 ให้สำเร็จ และแก้ไขตัวอย่างทั้ง 7 ตัวอย่างจากภารกิจที่ 2 ได้อย่างถูกต้อง
สั่งงาน
แบบฝึกหัดที่ 1
อ่านบรรยายครั้งที่ 9
ใช้การบรรยาย ตอบคำถาม และจดคำตอบลงในสมุดบันทึก:
1. คุณรู้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด อะไรบ้าง?
2. เขียนลงในสูตรอินทิเกรตพื้นฐาน
3. กรณีใดบ้างที่สามารถบูรณาการโดยตรงได้?
ภารกิจที่ 2
แก้ตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ
การบรรยายครั้งที่ 9
หัวข้อ: “อินทิกรัลไม่ จำกัด บูรณาการโดยตรง"
ฟังก์ชัน F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) ถ้า F "(x) = f(x)
ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ f(x) มีจำนวนแอนติเดริเวทีฟเป็นจำนวนอนันต์ ซึ่งแตกต่างจากกันด้วยเทอมคงที่
นิพจน์ทั่วไป F(x) +C ของเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า อินทิกรัลไม่ จำกัด จากฟังก์ชันนี้:
dx = F(x) +С, ถ้า d(F(x) +С) = dx
คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด
1 0 .อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์และส่วนต่างของมันเท่ากับปริพันธ์:
( dx)" = ง ( dx) =ฉ(x) dx
2 0 . อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันจะเท่ากับฟังก์ชันนี้บวกค่าคงที่ตามอำเภอใจ:
3 0 . ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด ได้
4 0 อินทิกรัลไม่ จำกัด ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของปริพันธ์ไม่แน่นอนของเงื่อนไขของฟังก์ชัน:
+dx
5 0 . ถ้า a เป็นค่าคงที่ แสดงว่าสูตรนั้นใช้ได้
สูตรอินทิกรัลพื้นฐาน (อินทิกรัลแบบตาราง)
4. 
5. 
7. 
9. = - ctgx + C
12. = อาร์คซิน + C
เมื่อใช้สูตร (3), (10) (11) เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์จะถูกเขียนเฉพาะในกรณีที่นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถมีค่าเป็นลบได้
แต่ละสูตรสามารถตรวจสอบได้ง่าย อันเป็นผลมาจากการแยกความแตกต่างทางด้านขวาจะได้ปริพันธ์
บูรณาการโดยตรง
การรวมโดยตรงขึ้นอยู่กับการใช้ตารางปริพันธ์โดยตรง กรณีต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นที่นี่:
1) อินทิกรัลนี้สามารถพบได้โดยตรงจากอินทิกรัลของตารางที่เกี่ยวข้อง
2) อินทิกรัลนี้ หลังจากใช้คุณสมบัติ 3 0 และ 4 0 แล้ว จะลดลงเหลืออินทิกรัลแบบตารางหนึ่งรายการขึ้นไป
3) อินทิกรัลนี้ หลังจากการแปลงเอกลักษณ์เบื้องต้นเหนืออินทิกรัลและการประยุกต์คุณสมบัติ 3 0 และ 4 0 แล้ว จะลดลงเหลืออินทิกรัลแบบตารางตั้งแต่หนึ่งอันขึ้นไป
ตัวอย่าง.
จากคุณสมบัติ 3 0 เราจะนำค่าคงที่ 5 ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลและโดยใช้สูตร 1 เราจะได้
สารละลาย. เราได้โดยใช้คุณสมบัติ 3 0 และสูตร 2
6 
สารละลาย. เรามีโดยใช้คุณสมบัติ 3 0 และ 4 0 และสูตร 1 และ 2
X + 3) = 4 
+ 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C
ค่าคงที่การอินทิเกรต C เท่ากับผลรวมพีชคณิตของค่าคงที่อินทิกรัล 3 ค่า เนื่องจากอินทิกรัลแต่ละตัวมีค่าคงที่ของตัวเอง (C 1 – C 2 + C 3 = C)
สารละลาย. เรามีกำลังสองและอินทิเกรตแต่ละเทอม
ใช้สูตรตรีโกณมิติ 1 + cot 2 x =
= = - ctgx – x + C
สารละลาย. เราได้ลบและบวกเลข 9 เข้ากับตัวเศษของปริพันธ์แล้ว
= = + = - =
X + 9 + C = - x +
ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยตนเอง
ประเมินอินทิกรัลโดยใช้อินทิกรัลโดยตรง:
การติดตามความรู้ของนักเรียน:
ตรวจสอบการปฏิบัติงาน
ข้อกำหนดสำหรับการทำงานจริงให้สำเร็จ:
งานจะต้องทำให้เสร็จในสมุดบันทึกเพื่อการปฏิบัติงาน
ส่งงานหลังเลิกเรียน
ในหัวข้อนี้ เราจะพูดถึงรายละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด และการค้นหาอินทิกรัลด้วยคุณสมบัติดังกล่าว เราจะทำงานร่วมกับ ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน. เนื้อหาที่นำเสนอที่นี่คือความต่อเนื่องของหัวข้อ “อินทิกรัลไม่สิ้นสุด จุดเริ่มต้น”. พูดตามตรง เอกสารทดสอบไม่ค่อยมีอินทิกรัลที่สามารถทำได้โดยใช้ตารางทั่วไปและ/หรือคุณสมบัติอย่างง่าย คุณสมบัติเหล่านี้เปรียบได้กับตัวอักษร ความรู้ และความเข้าใจที่จำเป็นในการทำความเข้าใจกลไกการแก้ปริพันธ์ในหัวข้ออื่นๆ บ่อยครั้งที่มีการเรียกการรวมโดยใช้ตารางปริพันธ์และคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด บูรณาการโดยตรง.
สิ่งที่ฉันได้รับ: ฟังก์ชันเปลี่ยนไป แต่สูตรในการค้นหาอนุพันธ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ไม่เหมือนอินทิกรัล ซึ่งเราต้องแสดงรายการสองวิธีอยู่แล้ว
ไปต่อกันดีกว่า ในการหาอนุพันธ์ $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ ทั้งหมด เช่นเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกัน $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ ซึ่งคุณจะต้องแทนที่ $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ แต่การหาอินทิกรัล $\int x^(-\frac(1)( 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ จะต้องใช้วิธีการใหม่ - การทดแทน Chebyshev
และสุดท้าย: เมื่อต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ สูตร $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ สามารถใช้ได้อีกครั้ง โดยแทนที่ $u$ และ $v$ เราจะแทนที่ $\sin x$ และ $\frac(1)(x)$ ตามลำดับ แต่ $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ ไม่ได้ถูกนำไปใช้ หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนจำกัด
สรุป: ในกรณีที่ต้องใช้สูตรเดียวในการค้นหาอนุพันธ์ ต้องใช้สูตรสี่สูตรสำหรับอินทิกรัล (และนี่ไม่ใช่ขีดจำกัด) และในกรณีหลัง อินทิกรัลปฏิเสธที่จะพบเลย ฟังก์ชั่นมีการเปลี่ยนแปลง - จำเป็นต้องมีวิธีการบูรณาการใหม่ นี่คือที่ที่เรามีตารางหลายหน้าในหนังสืออ้างอิง การขาดวิธีการทั่วไป (เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาแบบ "ด้วยตนเอง") นำไปสู่วิธีการส่วนตัวมากมายที่ใช้ได้กับการรวมฟังก์ชันคลาสของตัวเองที่จำกัดอย่างยิ่งเท่านั้น (ในหัวข้อเพิ่มเติม เราจะจัดการกับวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด) แม้ว่าฉันจะอดไม่ได้ที่จะสังเกตการมีอยู่ของอัลกอริธึม Risch (ฉันแนะนำให้คุณอ่านคำอธิบายใน Wikipedia) แต่ก็เหมาะสำหรับการประมวลผลโปรแกรมอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่านั้น
คำถาม #3
แต่ถ้ามีคุณสมบัติเหล่านี้มากมาย ฉันจะเรียนอินทิกรัลได้อย่างไร? มันง่ายกว่าด้วยอนุพันธ์!
จนถึงตอนนี้ สำหรับคนๆ หนึ่ง มีทางเดียวเท่านั้นคือแก้ตัวอย่างให้ได้มากที่สุดโดยใช้วิธีการอินทิเกรตต่างๆ เพื่อว่าเมื่ออินทิกรัลไม่จำกัดใหม่ปรากฏขึ้น คุณสามารถเลือกวิธีการแก้ตามประสบการณ์ของคุณได้ เข้าใจว่าคำตอบไม่ค่อยมั่นใจแต่ไม่มีทางอื่นแล้ว
คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด
คุณสมบัติหมายเลข 1
อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์คือ $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.
คุณสมบัตินี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากอินทิกรัลและอนุพันธ์มีการดำเนินการผกผันซึ่งกันและกัน ตัวอย่างเช่น $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ และอื่นๆ
คุณสมบัติหมายเลข 2
อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางฟังก์ชันจะเท่ากับฟังก์ชันนี้ กล่าวคือ $\int \คณิตศาสตร์ d F(x) =F(x)+C$
โดยปกติแล้วคุณสมบัตินี้จะถูกมองว่าค่อนข้างยากเนื่องจากดูเหมือนว่าไม่มี "สิ่งใด" อยู่ใต้อินทิกรัล เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ คุณสามารถเขียนคุณสมบัติที่ระบุได้ดังนี้: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$ ตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ หรือถ้าคุณต้องการ ในรูปแบบนี้: $\int 1\; \คณิตศาสตร์ d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$
คุณสมบัติหมายเลข 3
ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้เช่น $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (เราถือว่า $a\neq 0$)
สถานที่ให้บริการค่อนข้างเรียบง่ายและอาจไม่ต้องการความคิดเห็น ตัวอย่าง: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$)
คุณสมบัติหมายเลข 4
อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:
$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$
ตัวอย่าง: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$
ในการทดสอบมาตรฐานมักจะใช้คุณสมบัติหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ดังนั้นเราจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติม
ตัวอย่างหมายเลข 3
หา $\int 3 e^x dx$
ลองใช้คุณสมบัติหมายเลข 3 แล้วลบค่าคงที่นั่นคือ หมายเลข $3$ สำหรับเครื่องหมายอินทิกรัล: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$ ตอนนี้เรามาเปิดตารางอินทิกรัลแล้วแทนที่ $u=x$ ลงในสูตรหมายเลข 4 เราจะได้: $\int e^x dx=e^x+C$ ตามนั้น $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ ฉันคิดว่าผู้อ่านจะมีคำถามทันที ดังนั้นฉันจะแยกคำถามนี้ออกจากกัน:
คำถาม #4
ถ้า $\int e^x dx=e^x+C$ แล้ว $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! ทำไมพวกเขาถึงเขียนแค่ $3e^x+C$ แทนที่จะเป็น $3e^x+3C$?
คำถามนี้สมเหตุสมผลอย่างยิ่ง ประเด็นก็คือ ค่าคงที่อินทิกรัล (เช่น จำนวน $C$ เดียวกันนั้น) สามารถแสดงในรูปแบบของนิพจน์ใดก็ได้ สิ่งสำคัญคือนิพจน์นี้ "วิ่งผ่าน" ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด กล่าวคือ แปรผันจาก $-\infty$ ถึง $+\infty$ ตัวอย่างเช่น ถ้า $-\infty≤ C ≤ +\infty$ แล้ว $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$ ดังนั้นค่าคงที่ $C$ จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบ $\ frac(C)( 3)$. เราสามารถเขียนได้ว่า $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ แล้ว $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$ อย่างที่คุณเห็น ไม่มีความขัดแย้งใดๆ ในที่นี้ แต่คุณต้องระมัดระวังเมื่อเปลี่ยนรูปแบบของค่าคงที่อินทิกรัล ตัวอย่างเช่น การแสดงค่าคงที่ $C$ เป็น $C^2$ จะเป็นข้อผิดพลาด ประเด็นก็คือ $C^2 ≥ 0$ เช่น $C^2$ จะไม่เปลี่ยนจาก $-\infty$ เป็น $+\infty$ และไม่ "วิ่งผ่าน" จำนวนจริงทั้งหมด ในทำนองเดียวกัน อาจเป็นความผิดพลาดที่จะแทนค่าคงที่เป็น $\sin C$ เพราะ $-1≤ \sin C ≤ 1$ กล่าวคือ $\sin C$ ไม่ "รัน" ผ่านค่าทั้งหมดของแกนจริง ต่อไปนี้ เราจะไม่พูดถึงปัญหานี้โดยละเอียด แต่จะเขียนค่าคงที่ $C$ สำหรับอินทิกรัลไม่จำกัดแต่ละตัว
ตัวอย่างหมายเลข 4
หา $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$
ลองใช้คุณสมบัติหมายเลข 4:
$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$
ทีนี้ลองหาค่าคงที่ (ตัวเลข) นอกเครื่องหมายอินทิกรัล:
$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$
ต่อไป เราจะทำงานกับอินทิกรัลที่ได้รับแต่ละรายการแยกกัน อินทิกรัลแรกคือ $\int \sin x dx$ สามารถพบได้ง่ายในตารางปริพันธ์ภายใต้หมายเลข 5 แทนที่ $u=x$ ลงในสูตรหมายเลข 5 เราจะได้: $\int \sin x dx=-\cos x+C$
ในการค้นหาอินทิกรัลตัวที่สอง $\int\frac(dx)(x^2+9)$ คุณต้องใช้สูตรหมายเลข 11 จากตารางอินทิกรัล แทนที่ $u=x$ และ $a=3$ ลงไป เราจะได้: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) ( 3)+ซี$.
และสุดท้าย เพื่อค้นหา $\int x^3dx$ เราใช้สูตรหมายเลข 1 จากตาราง โดยแทนที่ $u=x$ และ $\alpha=3$ ลงไป: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$
พบอินทิกรัลทั้งหมดที่รวมอยู่ในนิพจน์ $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ ถูกพบแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทน:
$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว คำตอบคือ: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$ ฉันจะเพิ่มบันทึกย่อเล็ก ๆ หนึ่งข้อสำหรับปัญหานี้:
เป็นเพียงบันทึกเล็กๆ
บางทีอาจจะไม่มีใครต้องการส่วนแทรกนี้ แต่ฉันยังคงพูดถึงว่า $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$ เหล่านั้น. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.
ลองดูตัวอย่างที่เราใช้สูตรหมายเลข 1 จากตารางอินทิกรัลเพื่อแทรกความไม่ลงตัว (หรืออีกนัยหนึ่งก็คือราก)
ตัวอย่างหมายเลข 5
หา $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$
ขั้นแรก เราจะดำเนินการแบบเดียวกับตัวอย่างที่ 3 กล่าวคือ เราจะแยกอินทิกรัลออกเป็นสองส่วนและย้ายค่าคงที่ไปไกลกว่าเครื่องหมายของอินทิกรัล:
$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$
เนื่องจาก $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ ดังนั้น $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$ ในการค้นหาอินทิกรัลนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 1 โดยแทนที่ $u=x$ และ $\alpha=\frac(4)(7)$ ลงไป: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$ หากคุณต้องการ คุณสามารถแสดง $\sqrt(x^(11))$ เป็น $x\cdot\sqrt(x^(4))$ ได้ แต่ไม่จำเป็น
ตอนนี้เรามาดูอินทิกรัลตัวที่สองกัน นั่นคือ $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. เนื่องจาก $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $ ดังนั้นอินทิกรัลที่กำลังพิจารณาสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . ในการค้นหาอินทิกรัลผลลัพธ์ เราใช้สูตรหมายเลข 1 จากตารางอินทิกรัล โดยแทนที่ $u=x$ และ $\alpha=-\frac(6)(11)$ ลงไป: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$
แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้เราจะได้คำตอบ:
$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C $$
คำตอบ: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11 )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$
สุดท้ายนี้ ลองหาอินทิกรัลที่อยู่ภายใต้สูตรหมายเลข 9 ของตารางอินทิกรัลกัน ตัวอย่างที่ 6 ซึ่งเราจะพูดถึงต่อไปสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น แต่จะกล่าวถึงในหัวข้อต่อๆ ไป สำหรับตอนนี้เราจะยังคงอยู่ในกรอบของการใช้ตาราง
ตัวอย่างหมายเลข 6
หา $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$
ขั้นแรก เรามาดำเนินการแบบเดิมกันก่อน: ย้ายค่าคงที่ (ตัวเลข $12$) ออกไปนอกเครื่องหมายอินทิกรัล:
$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$
อินทิกรัลผลลัพธ์ $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ อยู่ใกล้กับตาราง $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) แล้ว )$ (ตารางอินทิกรัลสูตรหมายเลข 9) ความแตกต่างในอินทิกรัลของเราคือก่อน $x^2$ ใต้รูทจะมีสัมประสิทธิ์ $7$ ซึ่งอินทิกรัลตารางไม่อนุญาต ดังนั้นเราจึงต้องกำจัดเจ็ดนี้โดยย้ายมันไปไกลกว่าเครื่องหมายรูต:
$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$
ถ้าเราเปรียบเทียบอินทิกรัลตาราง $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ และ $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ เห็นได้ชัดว่ามีโครงสร้างเดียวกัน เฉพาะในปริพันธ์ $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ แทนที่จะเป็น $u$ จะมี $x$ และแทนที่จะเป็น $a^2$ มี $\frac (15)(7)$ ถ้า $a^2=\frac(15)(7)$ แล้ว $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ การแทนที่ $u=x$ และ $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ ลงในสูตร $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$
หากเราคำนึงว่า $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ ผลลัพธ์สามารถเขียนใหม่ได้โดยไม่ต้องมี “three-story” ” เศษส่วน:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7 ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วได้รับคำตอบ
คำตอบ: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$
ตัวอย่างหมายเลข 7
หา $\int\tg^2xdx$
มีวิธีอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติหลายวิธี อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ คุณสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติอย่างง่ายได้ เนื่องจาก $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ ดังนั้น $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ ขวา)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$ เมื่อพิจารณา $\sin^2x=1-\cos^2x$ เราจะได้:
$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$
ดังนั้น $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$ การขยายอินทิกรัลผลลัพธ์เป็นผลรวมของอินทิกรัลและใช้สูตรตารางเราจะได้:
$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$
คำตอบ: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.
วิธีการอินทิกรัลโดยตรงขึ้นอยู่กับการแปลงฟังก์ชันอินทิแกรนด์ การใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด และลดนิพจน์อินทิแกรนด์ให้อยู่ในรูปแบบตาราง
ตัวอย่างเช่น:
การตรวจสอบ
การตรวจสอบ
2. วิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร)
วิธีการนี้มีพื้นฐานมาจากการแนะนำตัวแปรใหม่ มาทดแทนอินทิกรัลกันเถอะ:
;
ดังนั้นเราจึงได้รับ:
ตัวอย่างเช่น:
1)
การตรวจสอบ:
2)
การตรวจสอบ(ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหมายเลข 2 ของอินทิกรัลไม่จำกัด):
บูรณาการทีละชิ้น
อนุญาต ยู และ โวลต์ - ฟังก์ชั่นที่หาอนุพันธ์ได้ ให้เราเปิดเผยส่วนต่างของผลคูณของฟังก์ชันเหล่านี้:
,
ที่ไหน 
มารวมนิพจน์ผลลัพธ์เข้าด้วยกัน:
ตัวอย่างเช่น:
การตรวจสอบ(ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหมายเลข 1 ของอินทิกรัลไม่ จำกัด ):
2)
มาตัดสินใจกัน 
การตรวจสอบ(ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหมายเลข 1 ของอินทิกรัลไม่ จำกัด ):
ส่วนปฏิบัติ
ปัญหาที่ต้องแก้ไขที่บ้าน
ค้นหาอินทิกรัล:
ก) 
; จ) 
;
วี) 
; ชม) 
ช) 
; และ) 
ง) ; ถึง) 
ก) ; จ) 
;
วี) ; ชม) 
;
ง) ; ถึง) 
.
ก) ; วี) ; ง)
ข) ; ช) ; จ)
ปัญหาที่ต้องแก้ไขระหว่างเรียนภาคปฏิบัติ:
I. วิธีการบูรณาการโดยตรง
ก) 
; และ) ;
ข) 
; ชม) ;
วี) 
; และ)
ช) 
; ถึง)
จ) 
; ม) 
ครั้งที่สอง วิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร)
ช) ; ถึง) 
;
ง) 
; ลิตร) ;
สาม. วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ
หัวข้อที่ 4
ปริพันธ์แน่นอน
ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ มักจำเป็นต้องค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต้านอนุพันธ์เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงภายในขีดจำกัดที่ระบุ ปัญหานี้จะต้องได้รับการแก้ไขเมื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขต่างๆ เมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน เมื่อคำนวณการทำงานของแรงแปรผัน ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตที่สอดคล้องกัน
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
1. เรียนรู้การคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ
2. สามารถประยุกต์แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดขอบเขตในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์ได้
ส่วนทางทฤษฎี
แนวคิดของปริพันธ์ที่กำหนดและความหมายทางเรขาคณิต
พิจารณาปัญหาในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง
ให้ฟังก์ชั่นบางอย่างได้รับ y=ฉ(x) กราฟที่แสดงในรูป
รูปที่ 1 ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดจำนวน
บนแกน 0x เลือกจุด “ก" และ "วี" และคืนตั้งฉากจากพวกมันจนกระทั่งมันตัดกับเส้นโค้ง รูปทรงที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ตั้งฉาก และแกน 0x เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ลองแบ่งช่วงเวลาออกเป็นส่วนเล็กๆ หลายๆ ส่วน มาเลือกส่วนที่ต้องการกัน มาสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกับส่วนนี้ให้เป็นสี่เหลี่ยมกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวถูกกำหนดเป็น:
จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เสร็จสมบูรณ์ทั้งหมดในช่วงเวลาจะเท่ากับ:
;
หากแต่ละส่วนมีขนาดเล็กเพียงพอและมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ พื้นที่รวมของสี่เหลี่ยมจะมีแนวโน้มไปที่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:
;
ดังนั้นปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจึงลงมาเพื่อกำหนดขีดจำกัดของผลรวม
ผลรวมอินทิกรัลคือผลรวมของผลคูณของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชัน ฉ(x) ถ่าย ณ จุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลาภายในขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหาในการหาขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลหากการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นำไปสู่แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดเขต
การทำงาน ฉ(x ) ในช่วงเวลาหนึ่งจาก x=ก ก่อน x=ข ปริพันธ์ได้ถ้ามีจำนวนที่ผลรวมอินทิกรัลมีแนวโน้มเป็น Dх®0 . ในกรณีนี้คือหมายเลข เจ เรียกว่า อินทิกรัลที่แน่นอน ฟังก์ชั่น ฉ(x) ในช่วงเวลา:
;
ที่ไหน ] ก, ค[ – พื้นที่บูรณาการ
ก–ขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ
วี–ขีดจำกัดบนของการบูรณาการ
ดังนั้นจากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือพื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง] ก, ค [ และแกน x
เนื่องจากตอนนี้เราจะพูดถึงอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่านั้น เพื่อความกระชับเราจะละคำว่า "ไม่แน่นอน" ไว้
หากต้องการเรียนรู้วิธีคำนวณอินทิกรัล (หรือที่กล่าวกันว่าอินทิกรัลฟังก์ชัน) คุณต้องเรียนรู้ตารางอินทิกรัลก่อน:
ตารางที่ 1. ตารางปริพันธ์
|
2.
2ก. 2b. 2ค. 3.
3ก. 4.
5.
5ก) 6ก. 7.
7ก. |
8.
9.
10.
10ก. 11.
11ก. 12.
13.
13ก. |
(
),ยู>0.
(α=0);
(α=1);
(α= 
).
นอกจากนี้ คุณจะต้องมีความสามารถในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าคุณต้องจำกฎการหาอนุพันธ์และตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน:
ตารางที่ 2. ตารางอนุพันธ์และกฎความแตกต่าง:
 6.ก .
|
(บาป และ) = คอส และ และ (เพราะ ยู) = – บาป และ และ |
|
เรายังต้องการความสามารถในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้วย จำได้ว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 
หาตามสูตร 
, เช่น. ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และดิฟเฟอเรนเชียลของอาร์กิวเมนต์. จะเป็นประโยชน์ที่จะคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่ทราบต่อไปนี้:
ตารางที่ 3. ตารางส่วนต่าง
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(ข=
คอนสตรัคชั่น)
(
)
(ข=
คอนสตรัคชั่น)
นอกจากนี้ สามารถใช้สูตรเหล่านี้ได้โดยการอ่านจากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้าย
ให้เราพิจารณาวิธีการหลักสามวิธีในการคำนวณอินทิกรัลตามลำดับ คนแรกเรียกว่า โดยวิธีการบูรณาการโดยตรงขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด และมีเทคนิคหลักสองประการ: การขยายตัวของอินทิกรัลให้เป็นผลรวมพีชคณิตง่ายกว่าและ สมัครรับเครื่องหมายส่วนต่างและเทคนิคเหล่านี้สามารถใช้ได้ทั้งแบบอิสระและแบบผสมผสาน
ก)ลองพิจารณาดู การขยายผลรวมพีชคณิต– เทคนิคนี้เกี่ยวข้องกับการใช้การแปลงที่เหมือนกันของจำนวนเต็มและคุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด : 
และ.
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
;
ข)
;
วี)
ช)
ง) 
.
สารละลาย.
ก)ลองแปลงจำนวนเต็มโดยการหารเทอมตัวเศษตามเทอม:
ทรัพย์สินของอำนาจถูกใช้ที่นี่: 
.
b) ขั้นแรก เราแปลงตัวเศษของเศษส่วน จากนั้นหารเทอมของเศษตามเทอมด้วยตัวส่วน:
คุณสมบัติขององศายังใช้ที่นี่: 
.
คุณสมบัติที่ใช้ในที่นี้คือ: 
,
.
.
ใช้สูตร 2 และ 5 ของตารางที่ 1 ที่นี่
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
;
ข)
;
วี)
ช)
ง) 
.
สารละลาย.
ก)มาแปลงปริพันธ์โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติกัน:
.
ที่นี่เราใช้การหารตัวเศษแบบเทอมต่อเทอมอีกครั้งด้วยตัวส่วนและสูตร 8 และ 9 ของตารางที่ 1
b) เราเปลี่ยนแปลงในทำนองเดียวกัน โดยใช้อัตลักษณ์ 
:
.
c) ขั้นแรก หารเทอมของตัวเศษด้วยตัวส่วนและนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล จากนั้นใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ 
:
d) ใช้สูตรลดระดับ:
,
จ) การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ เราแปลง:
ข)ลองพิจารณาเทคนิคการรวมซึ่งเรียกว่า n โดยวางไว้ใต้เครื่องหมายส่วนต่าง. เทคนิคนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของอินทิกรัลไม่ จำกัด :
ถ้า 
แล้วสำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ใดๆ และ=และ(เอ็กซ์) เกิดขึ้น: 
.
คุณสมบัตินี้ช่วยให้เราขยายตารางอินทิกรัลอย่างง่ายได้อย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากเนื่องจากคุณสมบัตินี้ สูตรในตารางที่ 1 จึงใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับตัวแปรอิสระเท่านั้น และแต่ยังรวมถึงในกรณีที่เมื่อใด และเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอื่นๆ
ตัวอย่างเช่น, 
แต่ยัง 
, และ 
, และ 
.
หรือ 
และ 
, และ 
.
สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแยกค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างในปริพันธ์ที่กำหนด เพื่อให้ดิฟเฟอเรนเชียลแบบแยกนี้ร่วมกับนิพจน์ที่เหลือ กลายเป็นสูตรตารางสำหรับฟังก์ชันนี้ หากจำเป็น ในระหว่างการแปลงดังกล่าว คุณสามารถเพิ่มค่าคงที่ได้ตามนั้น ตัวอย่างเช่น:
(ในตัวอย่างสุดท้ายที่เขียน ln(3 + x 2) แทน ln|3 + x 2 | เนื่องจากนิพจน์คือ 3 + x 2 เป็นบวกเสมอ)
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
;
ข)
; วี)
;
ช)
; ง)
; จ)
;
และ)
; ชม)
.
สารละลาย.
ก).
มีการใช้สูตร 2a, 5a และ 7a ของตารางที่ 1 ที่นี่ โดยสูตร 2 สูตรสุดท้ายได้มาอย่างแม่นยำโดยการรวมเครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลเข้าด้วยกัน:
รวมฟังก์ชั่นมุมมอง 
เกิดขึ้นบ่อยมากภายในกรอบการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้น เพื่อไม่ให้ทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นในแต่ละครั้ง เราขอแนะนำให้คุณจำสูตรที่เกี่ยวข้องที่ให้ไว้ในตารางที่ 1
.
ใช้สูตร 3 ของตารางที่ 1 ที่นี่
c) ในทำนองเดียวกัน โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น เราเปลี่ยนแปลง:
.
ใช้สูตร 2c ในตารางที่ 1 ที่นี่
ช)
.
ง) ;
จ)
.
และ) ;
ชม)
.
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
ข)
วี) 
.
สารละลาย.
ก) มาแปลงร่างกัน:
สูตร 3 ของตารางที่ 1 ก็ใช้ที่นี่เช่นกัน
b) เราใช้สูตรลดระดับ 
:
ใช้สูตร 2a และ 7a ของตารางที่ 1 ที่นี่
ที่นี่ นอกจากสูตร 2 และ 8 ของตารางที่ 1 แล้ว ยังใช้สูตรของตารางที่ 3 ด้วย: 
,
.
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอินทิกรัล:
ก) 
;
ข) 
วี) 
; ช) 
.
สารละลาย.
งาน 
สามารถเสริมได้ (ดูสูตร 4 และ 5 ของตารางที่ 3) เข้ากับค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 
, ที่ไหน กและ ข– ค่าคงที่ใดๆ 
. แท้จริงจากที่ไหน 
.
แล้วเราก็มี:
.
b) เรามีสูตร 6 ของตารางที่ 3 
, และ 
ซึ่งหมายถึงการมีอยู่ในตัวผลิตภัณฑ์ 
หมายถึงคำใบ้: คุณต้องป้อนนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายส่วนต่าง 
. ดังนั้นเราจึงได้
c) เช่นเดียวกับในข้อ b) ผลิตภัณฑ์ 
สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลได้ 
. จากนั้นเราจะได้รับ:
.
d) ก่อนอื่นเราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัล:
ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
;
ข)
;
วี)
; ช)
.
สารละลาย.
ก)เมื่อพิจารณาแล้วว่า
(สูตร 9 ของตารางที่ 3) เราแปลง:
b) เราได้รับโดยใช้สูตร 12 ของตารางที่ 3
c) เราเปลี่ยนแปลงโดยคำนึงถึงสูตร 11 ของตารางที่ 3
d) เราได้รับ: โดยใช้สูตร 16 ของตารางที่ 3:
.
ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล:
ก)
;
ข)
;
วี)
;
ช)
.
สารละลาย.
ก)อินทิกรัลทั้งหมดที่แสดงในตัวอย่างนี้มีคุณลักษณะทั่วไป: อินทิแกรนด์ประกอบด้วยตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้น วิธีการคำนวณอินทิกรัลเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับการแปลงแบบเดียวกัน นั่นคือการแยกกำลังสองทั้งหมดในตรีโกณมิติกำลังสองนี้
.
ข)
.
วี)
ช)
วิธีการแทนที่เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลเป็นการนำวิธีการคำนวณอินทิกรัลทั่วไปมาใช้ในช่องปาก เรียกว่าวิธีการทดแทนหรือการเปลี่ยนแปลงตัวแปร แท้จริงแล้ว ในแต่ละครั้ง การเลือกสูตรที่เหมาะสมในตารางที่ 1 สำหรับสูตรที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการรวมเครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลเข้าด้วยกัน เราได้แทนที่ตัวอักษรทางจิตใจ และฟังก์ชั่นที่แนะนำภายใต้เครื่องหมายส่วนต่าง ดังนั้น หากการอินทิเกรตโดยการรวมเครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลเข้าด้วยกันไม่ได้ผลดีนัก คุณสามารถเปลี่ยนตัวแปรได้โดยตรง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในย่อหน้าถัดไป
กำลังโหลด...