ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้คุณสามารถทำได้ แก้สมการกำลังสอง.

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี:
- การใช้วิจารณญาณ
- ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta (ถ้าเป็นไปได้)

นอกจากนี้คำตอบจะแสดงเป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่การประมาณ
ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ \(81x^2-16x-1=0\) คำตอบจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ และไม่ใช่เช่นนี้: \(x_1 = 0.247; \ควอด x_2 = -0.05\)

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนการศึกษาทั่วไปในการเตรียมตัวสอบ การทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนพหุนามกำลังสอง

ตัวอักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่ในรูปของทศนิยมเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถแยกออกจากส่วนทั้งหมดด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนเศษส่วนทศนิยมได้ดังนี้: 2.5x - 3.5x^2

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ส่วนทั้งหมดถูกแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บได้. ในกรณีนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสอง นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

ตัดสินใจ

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการกำลังสองและรากของมัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

แต่ละสมการ
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ดูเหมือน
\(ขวาน^2+bx+c=0, \)
โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลข
ในสมการแรก a = -1, b = 6 และ c = 1.4 ในสมการที่สอง a = 8, b = -7 และ c = 0 ในสมการที่สาม a = 1, b = 0 และ c = 4/9 สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการกำลังสอง.

คำนิยาม.
สมการกำลังสองเรียกว่าสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \)

ตัวเลข a, b และ c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวเลข a เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวแรก ตัวเลข b คือสัมประสิทธิ์ตัวที่สอง และตัวเลข c คือพจน์อิสระ

ในแต่ละสมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c=0 โดยที่ \(a\neq 0\) กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส จึงเป็นที่มาของชื่อ: สมการกำลังสอง

โปรดทราบว่าสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการระดับ 2 เนื่องจากด้านซ้ายเป็นพหุนามของระดับ 2

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 1 เรียกว่า ให้สมการกำลังสอง. ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่ให้มาคือสมการ
\(x^2-11x+30=0, \ควอด x^2-6x=0, \ควอด x^2-8=0 \)

หากในสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 สัมประสิทธิ์ b หรือ c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์ สมการดังกล่าวจะเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์. ดังนั้น สมการ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 จึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ในตอนแรก b=0 ในส่วนที่สอง c=0 ในส่วนที่สาม b=0 และ c=0

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีสามประเภท:
1) ขวาน 2 +c=0 โดยที่ \(c \neq 0 \);
2) ขวาน 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \);
3) ขวาน 2 =0

ลองพิจารณาแก้สมการของแต่ละประเภทเหล่านี้กัน

ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +c=0 สำหรับ \(c \neq 0 \) ให้เลื่อนเทอมอิสระไปทางด้านขวาแล้วหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \ลูกศรขวา x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

เนื่องจาก \(c \neq 0 \) ดังนั้น \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ถ้า \(-\frac(c)(a)>0\) สมการจะมีรากที่สอง

ถ้า \(-\frac(c)(a) ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 +bx=0 โดยที่ \(b \neq 0 \) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายแล้วได้สมการ
\(x(ax+b)=0 \ลูกศรขวา \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \ลูกศรขวา \left\( \begin (อาร์เรย์)(ล.) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(อาร์เรย์) \right. \)

ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 +bx=0 สำหรับ \(b \neq 0 \) มีสองรากเสมอ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ดังนั้นจึงมีรากเดียวคือ 0

สูตรหารากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้สมการกำลังสองซึ่งทั้งสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบและเทอมอิสระไม่เป็นศูนย์

ให้เราแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป และผลที่ได้คือสูตรสำหรับราก สูตรนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองใดๆ ได้

แก้สมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0

เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการกำลังสองรีดิวซ์ที่เท่ากัน
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ลองแปลงสมการนี้โดยเลือกกำลังสองของทวินาม:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ลูกศรขวา \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \ลูกศรขวา \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \ลูกศรขวา \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \ลูกศรขวา \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \ลูกศรขวา x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \ลูกศรขวา \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” ในภาษาละติน - discriminator) มันถูกกำหนดด้วยตัวอักษร D นั่นคือ
\(D = ข^2-4ac\)

ตอนนี้ เมื่อใช้สัญลักษณ์แบ่งแยก เราจะเขียนสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองใหม่:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \) โดยที่ \(D= b^2-4ac \)

เห็นได้ชัดว่า:
1) ถ้า D>0 แสดงว่าสมการกำลังสองมีสองราก
2) ถ้า D=0 แล้วสมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก \(x=-\frac(b)(2a)\)
3) ถ้า D ดังนั้น ขึ้นอยู่กับค่าของการแบ่งแยก สมการกำลังสองสามารถมีรากสองอัน (สำหรับ D > 0) หนึ่งราก (สำหรับ D = 0) หรือไม่มีราก (สำหรับ D เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สิ่งนี้ ตามสูตรแนะนำให้ทำดังนี้
1) คำนวณจำแนกและเปรียบเทียบกับศูนย์
2) ถ้าตัวจำแนกเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้ใช้สูตรราก ถ้าตัวจำแนกเป็นลบ ให้เขียนว่าไม่มีราก

ทฤษฎีบทของเวียตตา

สมการกำลังสองที่กำหนด ax 2 -7x+10=0 มีราก 2 และ 5 ผลรวมของรากคือ 7 และผลคูณคือ 10 เราจะเห็นว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมากับค่าตรงข้าม เครื่องหมาย และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ สมการกำลังสองลดรูปใดๆ ที่มีรากจะมีคุณสมบัตินี้

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ

เหล่านั้น. ทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่าราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสองลดลง x 2 +px+q=0 มีคุณสมบัติ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

ก่อนที่จะพูดถึงทฤษฎีบทของ Vieta เราจะแนะนำคำจำกัดความก่อน สมการกำลังสองของแบบฟอร์ม x² + พิกเซล + ถาม= 0 เรียกว่าลดลง ในสมการนี้ ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่นสมการ x² - 3 x- 4 = 0 ลดลง สมการกำลังสองใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ ขวาน² + ข x + ค= 0 สามารถลดได้โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย ก≠ 0 ตัวอย่างเช่น สมการ 4 x² + 4 x— 3 = 0 หารด้วย 4 จะได้รูปดังนี้ x² + x— 3/4 = 0 เราจะได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่ลดลง ในกรณีนี้ เราใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองทั่วไป: ขวาน² + บีเอ็กซ์ + ค = 0

สมการที่ลดลง x² + พิกเซล + ถาม= 0 เกิดขึ้นพร้อมกับสมการทั่วไปซึ่ง ก = 1, ข = พี, ค = ถามดังนั้น สำหรับสมการกำลังสองที่กำหนด สูตรจะอยู่ในรูปแบบ:

นิพจน์สุดท้ายเรียกว่าสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองลดลงสะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้สูตรนี้เมื่อใด ร- เลขคู่. ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกัน x² — 14 x — 15 = 0

ในการตอบสนอง เราเขียนสมการที่มีรากสองอัน

สำหรับสมการกำลังสองที่ลดลงด้วยค่าบวก ทฤษฎีบทต่อไปนี้ยังคงอยู่

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ถ้า x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 ดังนั้นสูตรจึงถูกต้อง:

x 1 + x 2 = — ร

x 1 * x 2 = คิวนั่นคือ ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ

จากสูตรรากของสมการกำลังสองข้างต้น เราได้:

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมเหล่านี้ เราจะได้: x 1 + x 2 = —ร.

การคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสองที่เราได้รับ:

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทของเวียตต้ายังใช้ได้เมื่อตัวแยกแยะมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าเราสมมุติว่าในกรณีนี้ สมการกำลังสองมีรากที่เหมือนกันสองราก: x 1 = x 2 = — ร/2.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² — 13 x+ 30 = 0 ค้นหาผลรวมและผลคูณของรากของมัน x 1 และ x 2. สมการนี้ ดี= 169 – 120 = 49 > 0 ดังนั้นทฤษฎีบทของเวียตต้าจึงสามารถนำไปใช้ได้: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน รากหนึ่งของสมการ x² — พิกเซล- 12 = 0 เท่ากัน x 1 = 4. ค้นหาสัมประสิทธิ์ รและรากที่สอง x 2 ของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทของเวียตตา x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — ร.เพราะ x 1 = 4 จากนั้น 4 x 2 = - 12 ดังนั้น x 2 = — 3, ร = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. ในคำตอบเราเขียนรากที่สอง x 2 = - 3, สัมประสิทธิ์ พี = — 1.

โดยไม่ต้องแก้สมการ x² + 2 x- 4 = 0 ลองหาผลบวกของกำลังสองของรากของมัน อนุญาต x 1 และ x 2 - รากของสมการ โดยทฤษฎีบทของเวียตตา x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. เพราะ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 แล้ว x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12

ลองหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการ 3 กัน x² + 4 x- 5 = 0 สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันสองราก เนื่องจากเป็นการแบ่งแยก ดี= 16 + 4*3*5 > 0 ในการแก้สมการ เราใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับสมการกำลังสองที่กำหนด ลองหารสมการนี้ด้วย 3 กัน

ดังนั้น ผลรวมของรากจึงเท่ากับ -4/3 และผลิตภัณฑ์ของพวกมันเท่ากับ -5/3

โดยทั่วไปแล้วรากของสมการ ขวาน² + ข x + ค= 0 มีความสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้ ก็เพียงพอที่จะหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองนี้ด้วย ก ≠ 0 และใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้ากับผลลัพธ์ของสมการกำลังสองที่ลดลง ลองพิจารณาตัวอย่าง: คุณต้องสร้างสมการกำลังสองลดลงซึ่งมีราก x 1 = 3, x 2 = 4. เพราะ x 1 = 3, x 2 = 4 - รากของสมการกำลังสอง x² + พิกเซล + ถาม= 0 จากนั้นตามทฤษฎีบทของเวียตนาม ร = — (x 1 + x 2) = — 7, ถาม = x 1 x 2 = 12 เราเขียนคำตอบเป็น x² - 7 x+ 12 = 0 เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทของเวียตนาม

ถ้าเป็นตัวเลข ร, ถาม, x 1 , x 2 อย่างนั้น x 1 + x 2 = — พี, x 1 * x 2 = คิว, ที่ x1และ x2- รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 แทนเข้าไปทางด้านซ้าย x² + พิกเซล + ถามแทน รการแสดงออก - ( x 1 + x 2) และแทน ถาม- งาน x 1 * x 2 .เราได้รับ: x² + พิกเซล + ถาม = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2)ดังนั้นหากเป็นตัวเลข ร, ถาม, x 1 และ x 2 เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์เหล่านี้ และเพื่อทุกคน เอ็กซ์ความเท่าเทียมกันถือ x² + พิกเซล + ถาม = (x - x 1) (x - x 2)ซึ่งเป็นไปตามนั้น x 1 และ x 2 - รากของสมการ x² + พิกเซล + ถาม= 0 การใช้ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา บางครั้งคุณสามารถค้นหารากของสมการกำลังสองได้โดยการเลือก ลองดูตัวอย่าง x² — 5 x+ 6 = 0 ตรงนี้ ร = — 5, ถาม= 6. ลองเลือกตัวเลขสองตัวกัน x 1 และ x 2 อย่างนั้น x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. เมื่อสังเกตว่า 6 = 2 * 3 และ 2 + 3 = 5 โดยทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา เราจะได้ว่า x 1 = 2, x 2 = 3 - รากของสมการ x² — 5 x + 6 = 0.

วิธีหนึ่งในการแก้สมการกำลังสองก็คือการใช้ สูตรเวียดนามซึ่งตั้งชื่อตามฟรังซัวส์ เวียตเต

เขาเป็นทนายความที่มีชื่อเสียงซึ่งรับใช้กษัตริย์ฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 ในเวลาว่างเขาเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ เขาสร้างการเชื่อมโยงระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ข้อดีของสูตร:

1 . เมื่อนำสูตรนี้ไปใช้ คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใส่สัมประสิทธิ์ตัวที่สองลงในกำลังสอง แล้วลบ 4ac ออก หาค่าแยกแยะ และแทนค่าลงในสูตรเพื่อหาค่าราก

2 . หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาคุณสามารถกำหนดสัญญาณของรากและเลือกค่าของรากได้

3 . เมื่อแก้ไขระบบสองระเบียนแล้ว การค้นหารากด้วยตนเองไม่ใช่เรื่องยาก ในสมการกำลังสองข้างต้น ผลรวมของรากจะเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ผลคูณของรากในสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับค่าของสัมประสิทธิ์ที่สาม

4 . ใช้รากเหล่านี้เขียนสมการกำลังสองซึ่งก็คือแก้ปัญหาผกผัน ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ใช้ในการแก้ปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

5 . สะดวกในการใช้สูตรเมื่อค่าสัมประสิทธิ์นำเท่ากับหนึ่ง

ข้อบกพร่อง:

1 . สูตรไม่เป็นสากล

ทฤษฎีบทของ Vieta ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

สูตร
ถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลดลง x 2 + px + q = 0 ดังนั้น:

ตัวอย่าง
x 1 = -1; x 2 = 3 - รากของสมการ x 2 - 2x - 3 = 0

พี = -2, คิว = -3

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = คิว

ทฤษฎีบทสนทนา

สูตร
หากตัวเลข x 1, x 2, p, q สัมพันธ์กันตามเงื่อนไข:

จากนั้น x 1 และ x 2 คือรากของสมการ x 2 + px + q = 0

ตัวอย่าง
มาสร้างสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันกัน:

X 1 = 2 - ? 3 และ x 2 = 2 + ? 3.

ป = x 1 + x 2 = 4; พี = -4; คิว = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1

สมการที่ต้องการมีรูปแบบ: x ​​2 - 4x + 1 = 0

ทฤษฎีบทของเวียตา (หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือ ทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา) ช่วยให้คุณลดเวลาในการแก้สมการกำลังสองได้ คุณเพียงแค่ต้องรู้วิธีการใช้งาน วิธีการเรียนรู้การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ไม่ใช่เรื่องยากหากคิดสักนิด

ตอนนี้เราจะพูดถึงเฉพาะเรื่องการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น สมการกำลังสองที่ลดลงคือสมการที่ a ซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ของ x² เท่ากับ 1 นอกจากนี้ยังสามารถแก้สมการกำลังสองที่ไม่ได้กำหนดไว้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาได้ แต่รากอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ใช่จำนวนเต็ม คาดเดาได้ยากกว่า

ทฤษฎีบทผกผันของทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่า: หากตัวเลข x1 และ x2 เป็นเช่นนั้น

จากนั้น x1 และ x2 คือรากของสมการกำลังสอง

เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม มีเพียง 4 ตัวเลือกเท่านั้นที่สามารถทำได้ หากคุณจำแนวการให้เหตุผลได้ คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหารากทั้งหมดได้อย่างรวดเร็ว

I. ถ้า q เป็นจำนวนบวก

ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 เป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน (เนื่องจากการคูณตัวเลขด้วยเครื่องหมายเดียวกันเท่านั้นจึงจะได้จำนวนบวก)

ไอเอ ถ้า -p เป็นจำนวนบวก (ตามลำดับ หน้า<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ฉันข ถ้า -p เป็นจำนวนลบ (ตามลำดับ p>0) จากนั้นรากทั้งสองเป็นจำนวนลบ (เราบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันแล้วได้จำนวนลบ)

ครั้งที่สอง ถ้า q เป็นจำนวนลบ

ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 มีเครื่องหมายต่างกัน (เมื่อคูณตัวเลข จะได้จำนวนลบเฉพาะเมื่อสัญญาณของปัจจัยต่างกัน) ในกรณีนี้ x1 + x2 ไม่ใช่ผลรวมอีกต่อไป แต่มีความแตกต่าง (ท้ายที่สุด เมื่อบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราจะลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า) ดังนั้น x1+x2 แสดงว่าราก x1 และ x2 แตกต่างกันมากน้อยเพียงใด นั่นคือ รากหนึ่งมากกว่าอีกรากเท่าใด (ในค่าสัมบูรณ์)

II.ก. ถ้า -p เป็นจำนวนบวก (นั่นคือหน้า<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.ข. ถ้า -p เป็นจำนวนลบ (p>0) ดังนั้นรากที่ใหญ่กว่า (โมดูโล) จะเป็นจำนวนลบ

ลองพิจารณาแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta โดยใช้ตัวอย่าง

แก้สมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ในที่นี้ q=12>0 ดังนั้นราก x1 และ x2 จึงเป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ผลรวมของพวกเขาคือ -p=7>0 ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นจำนวนบวก เราเลือกจำนวนเต็มซึ่งมีผลคูณเท่ากับ 12 ได้แก่ 1 และ 12, 2 และ 6, 3 และ 4 ผลรวมคือ 7 สำหรับคู่ที่ 3 และ 4 ซึ่งหมายความว่า 3 และ 4 เป็นรากของสมการ

ในตัวอย่างนี้ q=16>0 ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 เป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ผลรวมของพวกเขาคือ -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

ที่นี่ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 แล้วจำนวนที่มากกว่าจะเป็นค่าบวก รากคือ 5 กับ -3

ค=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ขั้นแรก เรามากำหนดทฤษฎีบทกันก่อน: ขอให้เรามีสมการกำลังสองลดลงในรูปแบบ x^2+b*x + c = 0 สมมติว่าสมการนี้มีราก x1 และ x2 จากนั้น ตามทฤษฎีบท ข้อความต่อไปนี้จะใช้ได้:

1) ผลรวมของราก x1 และ x2 จะเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ b

2) ผลคูณของรากเหล่านี้จะให้ค่าสัมประสิทธิ์ c แก่เรา

แต่สมการที่ให้มาคืออะไร?

สมการกำลังสองที่ลดลงคือสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของระดับสูงสุดเท่ากับหนึ่ง กล่าวคือ นี่คือสมการในรูปแบบ x^2 + b*x + c = 0 (และสมการ a*x^2 + b*x + c = 0 จะไม่ลดลง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อนำสมการมาสู่รูปแบบที่กำหนด เราต้องหารสมการนี้ด้วยสัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุด (a) ภารกิจคือการนำสมการนี้มาสู่รูปแบบต่อไปนี้:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0

เมื่อหารแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดเราจะได้:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง แม้แต่สมการที่มีเศษส่วนก็สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่กำหนดได้

โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

เราได้ราก: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

เป็นผลให้เราได้ราก: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

เราได้ราก: x1 = −1; x2 = −4

ความหมายของทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของเวียตาช่วยให้เราสามารถแก้สมการกำลังสองใดๆ ที่ลดลงได้ในเวลาเกือบวินาที ดูเผินๆ ดูเหมือนจะเป็นงานที่ค่อนข้างยาก แต่หลังจากสมการ 5 10 ไปแล้ว คุณสามารถเรียนรู้ที่จะเห็นรากได้ทันที

จากตัวอย่างที่ให้ไว้และการใช้ทฤษฎีบท เป็นที่ชัดเจนว่าคุณสามารถทำให้การแก้สมการกำลังสองง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญได้อย่างไร เนื่องจากการใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองได้ในทางปฏิบัติโดยไม่ต้องคำนวณที่ซับซ้อนและคำนวณตัวจำแนก และดังที่คุณทราบ การคำนวณน้อยลง การทำผิดพลาดก็จะยิ่งยากขึ้นซึ่งเป็นสิ่งสำคัญ

ในตัวอย่างทั้งหมด เราใช้กฎนี้โดยอิงตามสมมติฐานที่สำคัญสองประการ:

สมการที่กำหนดคือ ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดเท่ากับ 1 (เงื่อนไขนี้หลีกเลี่ยงได้ง่าย คุณสามารถใช้สมการแบบไม่ลดขนาดได้ จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะใช้ได้ x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ ก แต่โดยปกติแล้วจะแก้ไขได้ยากกว่า :))

เมื่อสมการมีรากที่แตกต่างกันสองอัน เราถือว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงและผู้จำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

อัลกอริธึมการแก้ปัญหาทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

เราลดสมการกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบรีดิวซ์หากให้สมการมาในรูปแบบที่ไม่ลดขนาด เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ในสมการกำลังสองซึ่งเรานำเสนอก่อนหน้านี้ตามที่กำหนด กลายเป็นเศษส่วน (ไม่ใช่ทศนิยม) ในกรณีนี้สมการของเราควรได้รับการแก้ไขโดยใช้การแบ่งแยก

นอกจากนี้ยังมีกรณีที่การกลับไปสู่สมการเริ่มต้นช่วยให้เราทำงานกับตัวเลขที่ "สะดวก" ได้