Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü

Denklemi çözmek için gerekli olmasına izin verin

Nerede
- Doğrusal olmayan sürekli fonksiyon.

Denklemleri çözme yöntemleri doğrudan ve yinelemeye ayrılır. Doğrudan yöntemler, çözeltiyi formül (örneğin, kare denklemin köklerini bulmak için) hesaplamak için yöntemlerdir. Yinelemeli yöntemler, bazı ilk yaklaşımın verildiği ve tam çözeltiye yaklaşma yaklaşımlarının bir yakınlaştırılmasının oluşturulduğu yöntemlerdir ve sonraki her bir yaklaşımın önceki kullanılması hesaplanır.

Görevin tam çözümü 3 aşamaya ayrılmıştır:

Denklem köklerinin sayısını, doğasını ve yerini ayarlayın (1).

Köklerin yaklaşık değerlerini bulun, yani. Köklerin çağrıldığı (kökleri ayıran) boşlukları belirtin.

Kök değerini istenen doğrulukla bulun (kökleri netleştirin).

İlk iki görevi çözmek için çeşitli grafik ve analitik yöntemler vardır.

Denklem köklerini (1) ayırmanın en görsel yöntemi, fonksiyonun işlevinin kesişme noktalarının koordinatlarını belirlemektir.
Abscissa ekseni ile. Abscissa grafiklerin kesiştiği noktaları
eksen ile
kök denklemidir (1)

Denklem köklerinin köklerinin kökleri (1), segmentte sürekli fonksiyonların özellikleri üzerindeki teoremlere analitik olarak temel alınabilir.

Örneğin, bir işlev
sürekli kesilmiş
ve
, Bolzano - Cauchy Theorem'e göre, segmentte
en az bir denklem kökü (1) (tuhaf kök sayısı) vardır.

Eğer işlev
bolzano-Cauchy ve Monotonne teorisinin bu segmentte, ardından
sadece bir denklem kökü (1) var. Aslında, denklem (1)
koşulların yerine getirildiğinde tek kök:

Belirtilen bir aralıktaki fonksiyon sürekli farklıysa, rulo teoreminin sonucunu kullanabilirsiniz, birlikte köklerin kökleri arasında her zaman en az bir sabit nokta bulunur. Bu durumda problem çözme algoritması aşağıdakiler olacaktır:

Kök ayırma için faydalı bir araç aynı zamanda saldırı teoreminin kullanımıdır.

Üçüncü problemin çözümü, çeşitli yinelemeli (sayısal) yöntemlerle gerçekleştirilir: ikilik yöntemi, basit yineleme yöntemi, Newton yöntemi, akor yöntemi, vb.

Misal Denklemi Çözme
yöntem basit yineleme. Kurulum
. Bir fonksiyon grafiği oluşturun.

Grafik, denklemimizin kökünün segment'e ait olduğunu göstermektedir.
.
- Denklemimizin kökünün izolasyonunu kesin. Analitik olarak kontrol edin, yani Koşullar (2):

Basit yineleme yönteminde ilk denklemin (1) forma dönüştürüldüğünü hatırlayın.
ve yinelemeler formül tarafından yapılır:

(3)

Formül (3) 'e göre hesaplamaların yürütülmesi bir yineleme denir. Bir durumun tatmin olduğunda yinelemeler durur
nerede - Kökün yerinin mutlak hatası veya
nerede - Soğutucu akışkan hatası.

Koşul tatmin olduğunda basit yineleme yöntemi birleşir
için
. İşlevi seçin
Formül (3) 'de, yöntemin yakınsamasını etkilemek mümkündür. En basit durumda
bir işaret artı veya eksi ile.

Uygulamada, sık sık ifade eder.
Doğrudan denklemden (1). Yakınsama durumu gerçekleştirilmezse, forma (3) dönüştürülür ve seçilir. Formdaki denklemimizi hayal edin
(X denkleminden x ifade eder). Yöntemin yakınsamanının durumunu kontrol edin:

için
. Yakınsama durumunun gerçekleştirilmediğini unutmayın.
, bu yüzden kök izolasyonun segmentini alırız
. Yol boyunca, denklemimizi formda sunarken
Yöntemin yakınsamanının durumu memnun değil:
kesim
. Grafik bunu gösterir
fonksiyondan daha hızlı artıyor
(| Tg | eğim açısı
Kesim
)

Seç
. Formül tarafından yinelemeleri düzenliyoruz:

Belirli bir doğrulukla yineleme işlemini programlı olarak düzenleyin:

> fV: \u003d Proc (F1, X0, EPS)

> k: \u003d 0:

x: \u003d x1 + 1:

aBS (x1x)\u003e EPS yaparken

x1: \u003d F1 (x):

yazdır (evalf (x1.8)):

baskı (ABS (x1-x)):

: Printf ("iter. \u003d% D", k):

son.:

19 yineleme için, denklemimizin kökenini aldık.

mutlak hata ile

Denklemimize izin ver newtona tarafından. Newton'un yöntemindeki yinelemeler formül tarafından yapılır:

Newton yöntemi, bir fonksiyonla basit bir yineleme yöntemi olarak kabul edilebilir, daha sonra Newton yönteminin yakınsamanının durumu şöyle kaydedilir:

.

Bizim tanımımızda
ve yakınsama durumu bir segmentte yapılır
Grafikte neler görülebilir:

Newton yönteminin ikinci dereceden bir hızla birleştiğini ve ilk yaklaşımın kök için yeterince yaklaşması gerektiğini hatırlayın. Hesaplamalar üretme:
, ilk yaklaşım, Formül tarafından yinelemeleri düzenliyoruz:

Belirli bir doğrulukla yineleme işlemini programlı olarak düzenleyin. 4 yineleme denklemin kökenini alır

dan
Doğal olarak kübik denklemler örneğinde doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerini gözden geçirdik, bu yöntemler çeşitli doğrusal olmayan denklem türlerini çözer. Örneğin, denklemi çözme

newton S.
, Denklemin kökenini [-1.5; -1] üzerine buluruz:

Görev: Doğrusal olmayan denklemleri doğrulukla çözün

0.

bölümleri yarıya indir (ikili)

basit yineleme.

Newton (teğet)

sequer - Akor.

Görevler için seçenekler aşağıdaki gibi hesaplanır: Listenin listesi 5'e bölünür (
), Bütün kısım, denklemin sayısına, tortu sayısına karşılık gelir - yöntemin sayısı.

Laboratuvar işleri 3-4.

Seçenek Numarası 5.

İşin amacı: Doğrusal olmayan denklem sistemlerini (SNA), basit yineleme yöntemiyle (MPI) ve Newton'u bir bilgisayar kullanarak çözmeyi öğrenin.

1. Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için MPI ve Newton yöntemini incelemek.

2. Belirli bir örnekte, bir bilgisayarı kullanarak doğrusal olmayan MPI denklemlerinin ve Newton sistemlerini çözme prosedürünü astarlayın.

3. Bir program yapın ve doğrulukla denklem sistemini çözmek için.

Performans örneği

Görev.

1. Analitik Uyku Çözme:

2. İlk yaklaşımda sistemin sayısal bir çözeltisi için çalışma formülleri MPI ve Newton'un yöntemini oluşturun :.

3. Yapılan yinelenen işlemi uygulayan herhangi bir programlama dilinde bir program yapın.

Karar.

Analitik metod.

Uyumak için analitik çözüm puandır ve.

Basit yineleme yöntemi (MPI).

İşçiler kurmak için, sistemin sayısal bir çözümü için MPI formülleri önce aklınıza yönlendirmelidir:

Bunu yapmak için, sistemin ilk denklemini bilinmeyen bir sabit, ikincisi, sonra ekler, ardından ekler ve bunları denklemin her iki bölümüne ekleyin. Dönüştürülmüş sistemin ilk denklemini elde ediyoruz:

Bilinmeyen kişiler, yinelemeli sürecin yakınsama için yeterli koşullardan belirlenir:

Bu koşulları daha ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Modülün işareti kapsamında sıfır ifadelere inanan, 4 bilinmeyen 4 ile bir lineer cebirsel denklem sistemi (Slava) bir sistem elde ediyoruz:

Sistemi çözmek için, özel türevleri hesaplamak gerekir:

Sonra Slava böyle kaydedilecek:

Özel türevlerin ilk yaklaşımın mahallesinde çok az değiştiğini unutmayın, o zaman:

Sonra Slava böyle kaydedilecek:

Bu sistemin çözeltisi ile nokta ,,, Sonra MPI'nin SNU'yu çözmesi için çalışma formülleri bir göz atacak:

Bilgisayarda uygulamak için, çalışma formülleri tekrar yazılabilir:

İteratif işlem, X 0 \u003d -2, Y 0 \u003d -4'ün ilk yaklaşımını ayarlayarak başlatılabilir. İşlem aynı anda iki koşul yaparken sona erer: ve. Bu durumda, değerler, SNU çözümlerinden birinin yaklaşık değeridir.

Newton yöntemi.

Formda Newton yönteminin çalışma formüllerinin yapımı için

nerede, ihtiyacın var:

1. Özel türevlerin matrisini bulun:

2. Bu matrisin belirleyicisini bulun:

3. İade matrisini belirleyin:

Dönüştürdükten sonra:

Bir bilgisayarı uygulamak için Newton'un yöntem formülünü elde ediyoruz:

Blok diyagramı MPE ve Newton'un sinyal çözümü için yöntem, Şekil 1'de gösterilmiştir.

MPI ve Newton yönteminin Şekil 1.

Program metinleri:

P3_4 programı; (Yinelemeler)

cRT'yi kullanır;

var n: tamsayı;

Clrscr;

xn: \u003d x- (x-y + 2) + (1/2) * (x * y-3);

YN: \u003d Y + (2/3) * (x - y + 2) + (1/6) * (x * y-3);

Writeln (N: 3, X: 9: 5, XN: 9: 5, (XN-X): 9: 5, Y: 9: 5, YN: 9: 5, (YN-Y): 9: 5) ;

n: \u003d n + 1;

Kadar (abs (x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

2) Newton yöntemi:

P3_4 programı; (Nyuton)

cRT'yi kullanır;

var n: tamsayı;

X0, x, xn, y0, y, yn, eps, zx, zy: gerçek;

Clrscr;

n: \u003d 0; x0: \u003d - 2; x: \u003d x0; Y0: \u003d - 4; y: \u003d y0; EPS: \u003d 0.001;

writeln ("n x (i) x (i + 1) x (i + 1) -x (i) y (i) y (i + 1) y (i + 1) -y (i)");

xn: \u003d x- (1 / (x + y)) * (x * x - x * y + 2 * x + x-y + 2);

yn: \u003d y- (1 / (x + y)) * (x * y * (- y) -3 * (- y) + x * y-3);

Writeln (N: 3, X: 9: 5, XN: 9: 5, ABS (XN-X): 9: 5, Y: 9: 5, YN: 9: 5, ABS (YN-Y): 9: beş);

n: \u003d n + 1;

kadar (abs (x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

Program testi sonuçları:

· İNCİ2 - Sıradan yineleme yöntemine göre çalışan programlar;

· Fig.3 - Newton'un program programı.

Fig.2 Cevap: X (16) ≈ -300023, (16) ≈ -100001

Şekil 3 Yanıt: x (8) ≈-3.00000, Y (8) ≈ - / 100000

Doğadan gelen tüm insanlar bilmek istiyor. (Aristoteles. Metafizik)

Sayısal yöntemler: Doğrusal olmayan denklemlerin çözülmesi

Denklemlerin çözme görevleri, örneğin ekonomideki, bir işletme geliştirmek, kârın belirli bir değere ulaştığını bilmek, ilaçların eylemi çalışmasında tıpta, ne zaman bilmek önemlidir. Maddenin konsantrasyonu belirtilen seviyeye, vb.

Optimizasyon görevlerinde, türetilmiş fonksiyonun 0'a atıfta bulunduğu noktaları belirlemek genellikle gereklidir, bu da bir önkoşul yerel Extremum.

En az kareler veya maksimum olasılık yöntemiyle tahminlerin yapımında istatistiklerde, doğrusal olmayan denklemler ve denklem sistemleri çözülmelidir.

Böylece, çözüm bulma çözümleri ile ilgili bir bütün görev sınıfı var. doğrusal olmayan Örneğin denklemler, denklemler veya denklemler vb.

En basit durumda, segmentte belirtilen bir fonksiyonumuz var ( a., b) ve belirli değerleri almak.

Her değer x. bu segmentten, sayıyı karşılaştırabiliriz, bu fonksiyonel Bağımlılık, matematiğin kilit kavramı.

Kök fonksiyonu olarak adlandırılan böyle bir değer bulmamız gerekiyor.

Görsel olarak, fonksiyonun işlevini belirlememiz gerekir. Abscissa ekseni ile.

YARIM YÜRÜTME YÖNTEMİ

Denklemin köklerini bulmanın en basit yöntemi, bölünme yöntemidir veya dektomi.

Bu yöntem sezgiseldir ve herkes problemi benzer şekilde çözmede hareket ederdi.

Algoritma aşağıdaki gibidir.

Diyelim ki iki nokta bulduk ve böyle olduğu gibi farklı İşaretler, o zaman bu noktalar arasında fonksiyonun en az bir kökü vardır.

Segment'i ikiye böldük ve tanıtıyoruz orta Nokta.

O zaman ya ya .

Sonuçtaki değerlerin farklı işaretlere sahip olduğu segmentin yarısını bırakalım. Şimdi bu segment yine yarıya bölündü ve bunun yerini, fonksiyonun farklı işaretlere sahip olduğu sınırları üzerine, gerekli doğruluğa ulaşması.

Açıkçası, kademeli olarak, fonksiyonun kökünün bulunduğu alanı Suzim ve bu nedenle, belirli bir doğruluk derecesine sahip, bunu tanımlıyoruz.

Herhangi bir sürekli fonksiyon için geçerli olan açıklanan algoritmaya dikkat edin.

Bölünme yönteminin yarısında avantajları, yüksek güvenilirliğini ve sadeliğini içermelidir.

Yöntemin dezavantajı, başvurusuna başlamadan önce, farklı işaretler olan işlevlerin değerleri, iki nokta bulmanız gerekir. Açıkçası, yöntem, multiplising'in kökleri için geçerli değildir ve karmaşık köklerde ve denklem sisteminde de genelleştirilemez.

Doğrusal yöntemin yakınsama prosedürü, her adımda doğruluk iki kez artar, daha fazla yineleme yapılır, kök daha doğru bir şekilde belirlenir.

Newton Yöntemi: Teorik Temel Bilgiler

Klasik Newton yöntemi veya teğet Eğer - eğer - kök denklemine bazı yaklaşımlar Aşağıdaki yaklaşım, noktada harcanan fonksiyona kök teğet olarak tanımlanır.

Mesele göre denklem teğet:

Teğet denkleminde, biz de koyacağız.

Sonra, Newton'un yöntemindeki ardışık algoritma aşağıdaki gibidir:

Teğet ikinci dereceden yönteminin yakınsama, yakınsama sırası 2'dir.

Böylece, Tangent Newton yönteminin yakınsama çok hızlı.

Bu harika gerçeği hatırla!

Herhangi bir değişiklik olmadan, yöntem kapsamlı bir davaya genelleştirilir.

Kök, ikinci çokluğun ve yukarıdaki kökü ise, yakınsama sırası düşer ve doğrusal hale gelir.

1. Egzersiz. Segmentte (0, 2) teğetsel çözüm denklemi yöntemini kullanarak bulun.

Egzersiz 2. Segmentteki denklemin teğetsel çözeltisi yöntemini (1, 3) kullanarak bulun.

Newton yönteminin dezavantajları, bölgesini içermelidir, çünkü sadece bir durum her yerde yerine getirilirse, keyfi bir başlangıç \u200b\u200byaklaşımında birleşmeyi garanti etmelidir. Karışıklıkta, sadece kökünün bir mahallesinde yakınsama var.

Newton'un yönteminin dezavantajı, her adımda türevleri hesaplama ihtiyacıdır.

Newton'un yöntemin görselleştirilmesi

Denklem, Newton yöntemi (teğet yöntemi) kullanılırsa kullanılır f.(x.) = 0 Kök var ve koşullar yerine getirildi:

1) fonksiyon y.= f.(x.) tanımlanmış ve sürekli olarak;

2) f.(a.)· f.(b.) < 0 (İşlev, segmentin uçlarındaki farklı işaretlerin değerlerini alır [ a.; b.]);

3) Türevler f "(x.) ve f ""(x.) Segmentte bir işaret tutun [ a.; b.] (yani fonksiyon f.(x.) segmentte artırır veya azalır [ a.; b.], dışbükeylik yönünü korurken);

Yöntemin ana fikri aşağıdaki gibidir: segmentte [ a.; b.] Böyle bir sayı seçildi x. 0 , hangi f.(x. 0 ) aynı işarete sahip f."" (x. 0 ), yani durum yapıldı f.(x. 0 )· f."" (x.) > 0 . Böylece abscissa ile olan nokta seçildi x. 0 içinde bir eğri teğet y.= f.(x.) Segmentte [ a.; b.] Ekseni geçerken ÖKÜZ.. Nokta için x. 0 İlk önce, segmentin uçlarından birini seçmek uygundur.

Newton yöntemini belirli bir örnekte düşünün.

Artan bir işlev verelim y \u003d f (x) \u003d x 2 -2, segmentte sürekli (0; 2) ve sahip olmak f "(x) \u003d 2 x. > 0 ve f. "" (x) \u003d 2 > 0 .

Resim1 . f (x) \u003d x 2 -2

Genel olarak teğetçilerin denklemi mevcuttur:

y-y 0 \u003d f" (x 0) · (x - x 0).

Bizim durumumuzda: y-y 0 \u003d 2x 0 · (x - x 0).Bir nokta x 0 olarak, bir nokta seçin B1 (B; F (B)) \u003d (2.2). İşlevin avantajını taşıyoruz y \u003d f (x) B 1 noktasında ve teğet ve eksenlerin kesiştiği noktasını belirtiriz. ÖKÜZ. Nokta x 1. İlk teğet denklemini elde ediyoruz: y-2 \u003d 2 · 2 (x-2), Y \u003d 4x-6.

Öküz: x 1 \u003d

Resim2. İlk yineleme sonucu

y \u003d f (x) ÖKÜZ. Noktadan x 1, bir nokta al 2 \u003d (1.5; 0.25). Tekrar işlemek için teğet geçiriyoruz y \u003d f (x) 2. noktada ve teğet ve eksenlerin kesişme noktasına bakın. ÖKÜZ. Nokta x 2.

İkinci Tangenecy denklemi: y.-0.25=2*1.5(x.-1.5), y. = 3 x. - 4.25.

Teğet ve eksen kesişme noktası Öküz: x 2 \u003d.

Resim3. Newton'un yönteminin ikinci yinelemesi

Sonra fonksiyonun kesişme noktasını bulun y \u003d f (x) ve eksende harcanan dikey ÖKÜZ. X 2 noktasında, 3 ve benzeri bir noktaya geldik.

Resim4. Teğet yönteminin üçüncü basamağı

Kökünün ilk yaklaşımı formül tarafından belirlenir:

= 1.5.

Kökün ikinci yaklaşımı formül tarafından belirlenir:

=

Kökünün üçüncü yaklaşımı formül tarafından belirlenir:

Böylece , bEN.- Kök yaklaşımı, formülle belirlenir:

Hesaplamalar, yanıt olarak ihtiyaç duyulan ondalık işaretlerin tesadüfine veya belirli bir doğruluk E - eşitsizliğin uygulanmasından önce | xi- xi-1 | < e..

Bizim durumumuzda, üçüncü adımda elde edilen yaklaşımını, hesap makinesinde hesaplanarak gerçek bir cevapla karşılaştırıyoruz:

Şekil 5. 2 üzerinden kök, hesap makinesinde hesaplama

Görüldüğü gibi, üçüncü adımda 0.000002'den daha az hatayı aldık.

Böylece, "2 kare kökü" büyüklüğünün değerini herhangi bir doğruluk derecesi ile hesaplayabilirsiniz. Bu harika yöntem Newton tarafından icat edildi ve çok karmaşık denklemlerin köklerine izin verdi.

Newton Yöntemi: C ++ üzerindeki uygulama

Bu yazıda, C ++ 'da bir konsol uygulaması yazarak denklemlerin köklerini hesaplama işlemini otomatikleştiririz. Bunu Visual C ++ 2010 Express'te geliştireceğiz, bu ücretsiz ve çok uygun bir C ++ geliştirme ortamıdır.

Başlamak için Visual C ++ 2010 Express'i başlatın. Başlangıç \u200b\u200bpenceresi görünecektir. Sol köşede "Proje Oluştur" i tıklayın.

İncir. 1. İlk sayfa Visual C ++ 2010 Express

Görünen menüde, "Win32 Konsolu Uygulamasını" seçin, "Yöntem" Yöntemi "adını girin.

İncir. 2. Proje oluşturma

// yöntemi: CPP: Konsol uygulamasının giriş noktasını belirtir #İnclude "stdafx.h" #Dahil etmek. ad alanını kullanma std; float f (çift x) // f (x) \u003d x ^ 2-2 fonksiyonunun değerini döndürür Şamandıra df (float x) // türevin değerini döndürür Şamandıra D2F (şamandıra x) // ikinci türevin değeri İnt _tmain (int argc, _tchar * argv) int çıkış \u003d 0, i \u003d 0; // çıktı ve döngü için değişkenler Çift x0, xn; // kök için hesaplanan yaklaşımlar Çift A, B, EPS; // Kenarlıkları Kesim ve Gerekli Doğruluk cout<<"Please input \n=>"; cIN \u003e\u003e a \u003e\u003e b; // Kök arayacağımız segmentin sınırlarını girin cout<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cIN \u003e\u003e EPS; // İstediğiniz hesaplama doğruluğunu girin eğer (a\u003e b) // kullanıcı segmentin sınırını karıştırırsa, onları yerlerde değiştirin. eğer (f (a) * f (b)\u003e 0) // segmentin kenarlarındaki işlevlerin belirtileri aynı ise, o zaman kök yoktur cout<<"\nError! No roots in this interval\n"; eğer (f (a) * d2f (a)\u003e 0) x0 \u003d a; // başlangıç \u200b\u200bnoktasını seçmek için F (x0) * d2f (x0)\u003e 0? xn \u003d x0-f (x0) / df (x0); // İlk yaklaşımı düşünüyoruz cout<<++i<<"-th iteration = "< (Fabs (x0-xn)\u003e eps) // gerekli doğruluğa ulaşana kadar, hesaplamaya devam edecek xn \u003d x0-f (x0) / df (x0); // doğrudan Newton'un formülü cout<<++i<<"-th iteration = "< cout<<"\nRoot = "< cout<<"\nExit?=>"; ) İken (çık! \u003d 1); // Kullanıcı çıkışa girmediğinde \u003d 1

Nasıl çalıştığını görelim. Ekranın sol üst köşesindeki yeşil üçgeni veya F5 tuşuna tıklayın.

Derleme hatası "Hata LNK1123: COFF'a dönüştürülürken başarısızlık: Dosya geçersiz veya hasar görürse," Bu, birinci Service Pack 1'i yükleyerek veya Özellikler Proje Ayarları -\u003e Yükleyici Artımlı Düzeni kapatın.

İncir. 4. Proje Derleme Hatası Çözme

İşlevten kökleri arayacağız f (x) \u003d.x2-2.

İlk önce, uygulamanın "yanlış" giriş verilerine uygulanmasını kontrol edin. Segmentte kök yok, programımız bir hata mesajı vermelidir.

Bir uygulama penceremiz var:

İncir. 5. Giriş verilerini girme

Segment 3 ve 5 sınırlarını tanıtıyoruz ve 0.05 doğruluk. Program, olması gerektiği gibi, bu segmentte kök olmadığı bir hata mesajı verdi.

İncir. 6. "Bu bölümlerin bu bölümünde değil!"

Henüz dışarı çıkmayacağız, bu yüzden "çıkış mı?" Mesajında "0" giriyoruz.

Şimdi uygulamanın doğru giriş verilerinde uygulamasını kontrol edin. Bir segment ve doğruluk 0.0001 tanıtıyoruz.

İncir. 7. Kökünün gerekli doğruluğuyla hesaplanması

Gördüğümüz gibi, 4. yinelemede gerekli doğruluk elde edildi.

Uygulamadan çıkmak için "Çıkış?" \u003d\u003e 1.

Sıralama Yöntemi

Türevini hesaplamaktan kaçınmak için, Newton yöntemi basitleştirilebilir, bu tür iki nokta tarafından hesaplanan yaklaşık değerde türevini değiştirebilir:

Yinelemeli işlem:

Bu, iki aşamalı bir yinelemeli süreçtir, çünkü sonraki yaklaşımı bulmak için daha önce iki tane kullanır.

Sıralama yönteminin yakınsama prosedürü, teğet yönteminden daha düşüktür ve tek bir kök durumunda eşittir.

Bu harika değerin altın bir kesit denir:

Buna ikna olacağım, kolaylık sağlamak için.

Böylece, sonsuz küçük daha yüksek derecenin doğruluğu ile

Artık elemanı atarak, çözeltisinin aranması doğal olan tekrarlayan bir oran elde ediyoruz.

Değişiklikten sonra, biz var: ve

Yakınsama için, bu nedenle pozitif olması gerekir.

Türev bilgisi gerekli olmadığından, daha sonra lacant bölümündeki aynı hesaplamalarla (daha az yakınsama sırasına rağmen), teğet yönteminden daha fazla doğruluk elde etmek mümkündür.

Kökün yakınında küçük bir sayıya bölmek zorunda olduğunuzu unutmayın ve bu, doğruluk kaybına neden olur (özellikle çoklu köklerde), bu nedenle nispeten küçük birini seçmek, yürütmeden önce hesaplamalar gerçekleştirir. Ve komşu yaklaşımlardaki farkın farkını azaltmaya devam ediyorlar.

Büyüme başlar başlamaz, hesaplamalar durur ve son yineleme kullanılmaz.

Yinelemelerin sonunun zamanını belirlemek için böyle bir prosedür alım denir Garvika.

Parabola yöntemi

Yaklaşımın önceki üç puanla belirlendiği üç aşamalı bir yöntemi ve.

Bunu yapmak için, sekantin bölümüne benzer şekilde, noktaları geçen enterpolasyon parabol fonksiyonuna benzer şekilde değiştirin ve.

Newton şeklinde, formu var:

Nokta, bu polinomun köklerinden biri olarak tanımlanır, bu da modüle yaklaşır.

Parabola yönteminin yakınsama prosedürü, bölüm yönteminden daha yüksektir, ancak Newton yönteminden daha düşüktür.

Önceden dikkate alınan yöntemlerden önemli bir fark, gerçek ve başlangıç \u200b\u200byaklaşımları ile gerçek olsa bile gerçek olsa bile, Parabola yöntemi, ilk görevin entegre bir kökünlüğüne yol açabilir.

Bu yöntem, yüksek derecede polinom köklerini aramak için çok uygundur.

Basit yineleme yöntemi

Denklemlerin çözümlerini bulma görevi, kökleri bulma görevi olarak formüle edilebilir: veya sabit bir nokta bulma görevi olarak.

İzin vermek Ve - sıkıştırma: (özellikle, sıkıştırılması, kolayca nasıl görüleceği, bunun anlamıdır).

Banach teoreminde eşsiz bir nokta var

Basit bir yinelemeli prosedürün sınırı olarak bulunabilir.

İlk yaklaşımın boşluğun keyfi bir noktası olduğu yer.

Diferansiyel fonksiyon ise, uygun sıkıştırma kriteri numarasıdır. Aslında, Lagrange teoreminde

Böylece, bir türev birden azsa, sıkıştırma.

Durum Temel olarak, örneğin, türev sıfır olmasına rağmen, sabit bir nokta yoktur. Yakınsama hızı değere bağlıdır. Daha az, yakınsama daha hızlı.

Fizhemia Yufu Bölümü (RSU)
Sayısal yöntemler ve programlama
Anlatım kursu için malzemeler
Öğretim Görevlisi - Sanat. Hazırlık. Scherbakov i.n.

Doğrusal olmayan denklem sistemleri

Kimyasal sistemlerin modelleme davranışını çözerken, değişkenlere göre doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek genellikle gereklidir. Sistemler N. N bilinmeyen x 1, x 2, ..., x n ile doğrusal denklemler genellikle aşağıdaki gibi kabul edilir:

buradaki F1, F2, ..., F N, bilinmeyene göre doğrusal olmayan bağımsız değişkenlerin herhangi bir işlevidir.

Doğrusal denklemlerde olduğu gibi, sistem çözeltisi, ikame sırasında, yalnızca kimliklerdeki tüm sistem denklemlerinin aynı anda olduğu gibi bir vektör (veya vektörler) (X *).

Denklem sistemi, çözümleri yok, tek bir çözüme sahip, sonlu veya sonsuz sayıda çözeltiye sahip olabilir. Her bir belirli görev için çözüm sayısının sorunu ayrı ayrı çözülmelidir.

Doğrusal olmayan denklemlerin sistemlerini çözmek için çeşitli basit yinelemeli yöntemler, yani basit yineleme yöntemi, zeidel metodu ve Newton yöntemi.

Basit yineleme yöntemi

Bu yöntemi uygulamak için, çözünür denklem sistemi, bir değişken üzerindeki her denklemden aşağıdaki şekilde ifade ederek aşağıdaki forma yol açmak için cebirsel dönüşümlerle gereklidir:

İlk yaklaşım vektörünü seçme

dönüştürülmüş denklem sistemine değiştirin. İlk denklemden, birinci değişkene yeni bir yaklaşım, ikinci saniyelik, vb. Sonuç olarak, değişkenlerin ortaya çıkan belirtilen değeri, bu denklemlere vb. Diftex, (i + 1) -mage Sahip olduğumuz yinelemeli prosedür

Zeidel yöntemi

Basit yineleme zeidel algoritmasının modifikasyonu, mevcut yineleme adımında zaten değişkenlerin rafine değerlerini kullanmaktır. Öyleyse, ilk değişkenin değerlerini netleştirmek için, yalnızca önceki adımın değerleri kullanılır, ikinci değişken için - mevcut adımın x 1 değeri ve diğerlerinden - öncekinden vb. :

Newton Rafson yöntemi

Yöntemin matematiksel temeli fonksiyonların doğrusallaştırılmasıdır F. 1 , F. 2 , F N. (denklemlerin sol kısımları), ilkel yaklaşımın mahallesinde bir dizi Taylor'da ayrışma yoluyla çözme ve saydamın tüm üyeleri tarafından lineer üyelerin yanı sıra artış değişkenler.

İki bilinmeyen iki denklem sisteminin örneğinde yöntemi göz önünde bulundurun:

Linearize fonksiyonları F. 1 , F. 2 Bir dizi Taylor'da bir dizi (ilk yaklaşım) yakınında ayrışarak (ilk yaklaşım) ve dizi tüm üyelerinin değişkenlerin artışlarına göre doğrusal yanı sıra dikkate almayın.

Bir değişkenin işlevi için, belirli bir noktadaki bir dizi Taylor'daki ayrışma, X 0 çevresindeki bir dizi aşağıdaki forma sahip olduğunu hatırlayın:

tüm üyeleri göz ardı ettikten sonra doğrusal hariç:

Birkaç değişkenin işlevi için, ayrışma benzer şekilde gerçekleştirilir.

Denklem sisteminin çözümlerini aramak için bazı ilk yaklaşım

Bir işlev için yazıyoruz F. 1 2 Değişkenler Seçilen nokta çevresinde bir dizi taylor dizide ayrışmanın doğrusal kısmı

İkinci denklem için benzer şekilde

Değişken değerlerse x. 1 ve x. 2 onlar bir çözümdür, sistemin her iki denkleminin de sıfıra hitap etmelidir, bu nedenle ortaya çıkan ayrışmalar sıfır eşittir.

Kısa kayıt için, aşağıdaki gösterimi tanıtıyoruz:

Bir değişkenin artışı

İlk özel türetilmiş fonksiyonun değeri F. j, değişken x ben değişken değerleri ile

- J'nin değeri, değişkenlerin karşılık gelen değerlerinde bir fonksiyondur, yani benzersizlik j-denklemi.

Değişkenlerin artışıyla ilgili olarak 2 x 2 lineer denklem sistemleri elde ediyoruz

Veya, matris formunda,

Özel türevlerin değerlerinin matrisinin Jacobi matrisi (veya jacobian). Bu sistemin çözümü, ilk yaklaşım için bir vektör değişikliği verir.

İlk yaklaşım vektörüyle birlikte, yeni değişken değerleri verir.

Böylece, çözüm prosedürü aşağıdaki gibidir:

1. İlk yaklaşım seçilir, sistem normale indirilir, analitik biçimde, tüm alternatiflerde sistem denklemlerinin doğru parçalarının özel türevleri vardır.

2. İlk yaklaşımdaki özel türevlerin Jacobi değerlerinin matrisi hesaplanır.

3. Değişkenlerin artışlarına göre doğrusal denklemlerin sistemi çözülür.

4. İstihdam vektörü, temel yaklaşım vektörüne eklenir.

5. Yaklaşımın durumu kontrol edilir ve elde edilmezse, prosedür 2 paragrafı ile tekrarlanır.

Yöntem, herhangi bir boyuttaki denklem sisteminde kolayca genelleştirilir.

F 1 n işlevi için Nokta mahallesinde bir dizi Taylor'da ayrışmanın doğrusal kısmını doğrusal bir parçası değişkenleri yazılmış

Sistemin tüm denklemlerinin ayrışmasından ve daha önce girilen atamaları kullanarak, dönüşümden sonra, değişkenlerin artışına göre n sipariş nin bir lineer denklem sistemi elde ediyoruz.

Veya, matris formunda,

Kısaltılmış formda, öyle yazılabilir - (f ") (δ x) \u003d - (f), özel türevlerin değerlerinin matrisinin - (f") - Matrix Jacobi. veya jacobian Denklem sistemleri.

Bu sistemin çözümü, ilk yaklaşım için bir vektör değişikliği verir. İlk yaklaşım vektörü ile eklenmesi, yeni, belirtilen değişken değerleri verir.

Hesaplama için gerekli özel türevler jacobi Matrisleri, Analitik olarak hesaplamak veya elde edilmesi mümkün değilse, örneğin yaklaşık farklılaşmanın formüllerine göre, örneğin argümanı arttırma işlevinin artışının oranı olarak

nerede epsilon- Yeterince az sayıda.

Yinelemeli yöntemlerin yakınsamasını izleme yöntemleri
Sistem Çözümleri

Doğrusal olmayan denklem sistemini çözme sürecinin bir yakınsamı, örneğin, aşağıdaki şekilde izlenebilir, örneğin:

1. Normal (Euklidov veya -Maksimum) Çürük Vektör

2. Euclideova Değişkenlerin göreceli varyasyonlarının normu

3. Göreceli sapmaların maksimum vektör vektörü

Denklem sistemini çözmek için Newton yöntemini uygulayın

Özel türevlerin matrisi (analitik biçimde)

Doğrusal Denklemler Sistemi

Analitik olarak veya matrisin dolaşımının uzaktan kumandası veya metodu ile çözülebilir. İlk yaklaşımını alın X \u003d 0.15, Y \u003d 0.17

İlk Yineleme:

Jacobi Matrix - vektör fonksiyon değerleri hesaplanan vektör değişiklikleri Yeni yaklaşım x \u003d 0.15 + 0.028704 \u003d 0.178704, Y \u003d 0.17 + 0.090926 \u003d 0,090926 \u003d 0,260926 İkinci Yineleme: Hesaplanan Vektör Değişiklikleri Yeni Yaklaşım X \u003d 0.196656, Y \u003d 0,293359 Üçüncü Yineleme: Hesaplanan Vektör Değişiklikleri Yeni Yaklaşım X \u003d 0,199867, Y \u003d 0,299739 Zaten Euclidova'nın 6. yinelemesinde, net olmayan vektörün normu 2,8 ∙ 10 -13, değişkenlerin maksimum göreceli değişimi 1,6 ∙ 10 -12'dir ve Çözelti, 5 ∙ 10 -7'den az olan mutlak bir hatayla x \u003d 0.2, y \u003d 0.3'e birleşir. Aynı başlangıç \u200b\u200bkoşulları altında basit yineleme yöntemi, 33. adımda, 33. adımda, Zeidel'in modifikasyonu bu gibi doğrulukla birleşir. Aşağıdaki şekil, değerlendirilen sistemi MS Excel programında çözerken hesaplamaların organizasyonunun bir örneğini göstermektedir.
Açıklamalar: B3 ve B4 hücrelerinde, sistemin çözeltisine ilk yaklaşımlar yerleştirilir (sırasıyla X 0 ve Y 0 değerleri). D3: E4 hücreleri aralığında, X'ün B3 hücresinde olması şartıyla, YAKOBI matrisini hesaplamak için formüller yerleştirilir ve B4 hücresindeki Y (formüller aşağıda gösterilmiştir). G3: G4 hücrelerinde, Venüs vektörünün değerini negatif bir işaret ile hesaplar.
H3 hücresinde, Euclideova sıradışı vektörün normuyla hesaplanır. Hücrelerde I3: I4 - Doğrusal denklemlerin sistemi çözülür ve çözeltideki değişikliklerin vektörü hesaplanır. Bunun için, sistem katsayılarının matrisi (Jacobi matrisi), ücretsiz üyelerin vektör sütununda (artıkların olumsuz vektörü) çizilir ve çarpılır. Bu hücre aralığındaki formül bir dizi formülü olarak girilir. Yakınlar - J3 hücresinde, yakınsaması kontrol eden değişikliklerin vektörünün normu hesaplanır (aşağıdaki şekilde formüllere bakınız).
Hücrelerde elde edilen değerler I3: I4, ilk yaklaşımına eklenir (B6: B7 hücrelerinde) ve ardından hesaplamalar birinci döngüye benzer şekilde tekrarlanır. Satır 6 ve 7'de kaydedilen formüller, gerekli doğruluk elde edilinceye kadar kopyalanabilir.

Görevler doğrusal olmayan denklem sisteminin çözümüne düşürüldü

Doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözeltisinin kullanıldığı bir problemin örneği, matematiksel modellerle belirtilen fonksiyonun, parametrelere göre doğrusal olmayan bir tablonun yaklaşması olabilir. Daha önce ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Yaklaşıklaştırma işlevi ve tanımlayan parametreler varsa bir I. aşağıdaki gibi tasarlamak fonksiyonun programını tüm tablolardan geçme durumu, aşağıdaki sistem formunda yazılabilir: Diğer bir örnek, ekstremum koşulunun çeşitli değişkenlerinin fonksiyonunun ekstremum (minimum veya maksimum) aranmasıdır, tüm özel türevlerin eşzamanlı eşitliği sıfırdır. Böylece, genel durumda doğrusal olmayan bir sonraki türün denklem sistemini çözmek gerekir.

Ardışık bir yaklaşım yöntemi olarak da adlandırılan basit yineleme yöntemi, yavaş yavaş açıklama ile bilinmeyen bir değerin değerini bulmak için matematiksel bir algoritmadır. Bu yöntemin özü, adından görülebileceği gibi, yavaş yavaş aşağıdaki yaklaşımdan aşağıdakileri ifade eden, daha fazla rafine sonuç elde etmektir. Bu yöntem, değişkenin değerini belirli bir fonksiyonda, hem doğrusal hem de doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için kullanılır.

Bir eğimi çözerken bu yöntemin nasıl uygulandığını düşünün. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:

1. Kaynak matrisinde yakınsama durumunun uygulanmasının kontrol edilmesi. Convergence teoremi: Sistemin kaynak matrisi, diyagonal bir prevalansa sahipse (yani her satırda, ana çaprazın elemanları, modüldeki diyagonalların elemanlarının toplamından daha modül olmalıdır), ardından yöntem basit yineleme hareket ediyor.

2. Kaynak sistemin matrisi her zaman diyagonal bir baskınlık yoktur. Bu gibi durumlarda, sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu tatmin eden denklemler bozulmadan bırakılır ve tatmin edici olmayan doğrusal kombinasyonlarla, yani. Makine, kesinti, istenen sonuç elde edilinceye kadar kendileri arasındaki denklemleri katlayın.

Eğer uygunsuz katsayılar ana çapraz köşegende ana çaprazda bulunursa, bileşenleri, diyagonal elemanların işaretleriyle çakışması gereken bir denklemin her iki bölümüne de eklenir.

3. Elde edilen sistemin normal forma dönüşümü:

x - \u003d β - + α * x -

Bu, örneğin birçok şekilde yapılabilir, örneğin: X 1'i, ikinci 2'den, üçüncü 3, vb. Bu durumda, formülleri kullanıyoruz:

α ij \u003d - (bir IJ / A II)

i \u003d B I / A II
Elde edilen normal tür sisteminin yakınsama durumuna karşılık geldiğinden emin olmak gerekir:

Σ (J \u003d 1) | α ij | ≤ 1, i \u003d 1,2, ... n

4. Aslında, ardışık yaklaşımların kendisinin yöntemi uygulanmaya başladık.

x (0) - İlk yaklaşım, X (1), ayrıca x (1) ekspres x (2) ile eksprese edin. Genel formül ve matris şöyle görünür:

x (n) \u003d β - + α * x (n-1)

Gerekli doğruluğa ulaşana kadar hesaplayın:

mAX | X I (K) -X I (K + 1) ≤ ε

Yani, pratikte basit yineleme yöntemini anlayalım. Misal:
Slaya Çözme:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 \u003d 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 \u003d 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4 doğruluk ile ε \u003d 10 -3

Bakalım, diyagonal elemanların modülün hakim olup olmadığını görelim.

Yakınsama durumunun sadece üçüncü denklemi tattığını görüyoruz. Birinci ve ikinci saniyeyi eklemek için ilk denklemi değiştiriyoruz:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 \u003d 3

Üçüncüsü ilk önce erteleyecek:

2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2

Orijinal sistemi bir eşdeğerine dönüştürdük:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 \u003d 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4

Şimdi sistemi normal formda veriyoruz:

x1 \u003d 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 \u003d 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 \u003d 0.8511-0.383x1-0.5319x2.

Yineleme işleminin yakınsamasını kontrol edin:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 \u003d 0.9149 ≤ 1, yani Durum yapılır.

0,3947
İlk yaklaşım x (0) \u003d 0.4762
0,8511

Bu değerleri normal form denklemine değiştiriyoruz, aşağıdaki değerleri elde ediyoruz:

0,08835
x (1) \u003d 0,486793
0,446639

Yeni değerleri değiştiriyoruz:

0,215243
x (2) \u003d 0.405396
0,558336

Belirtilen koşul yaklaşımını karşılayan değerlere kadar olana kadar hesaplamaya devam ediyoruz.

x (7) \u003d 0,441091

Elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol edin:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1 * 0,1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 \u003d 0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Bulunan değerlerin başlangıç \u200b\u200bdenklemlerine ikame edilmesi sırasında elde edilen sonuçlar denklemin koşullarını tam olarak karşılamaktadır.

Gördüğümüz gibi, basit bir yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar verir, ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve hacimli hesaplamalar yapmak zorunda kaldık.