في القسم السابق مخصص لتحليل المعنى الهندسي لمتكامل معين، تلقينا عددا من الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف Curvilinear:

Yandex.rtb R-A-339285-1

s (g) \u003d ∫ a b f (x) d x for وظائف مستمرة وغير سلبية y \u003d f (x) على القطاع [أ؛ ب]

s (g) \u003d - ∫ a b f (x) d x for وظيفة مستمرة وغير إيجابية y \u003d f (x) على القطاع [أ؛ ب].

هذه الصيغ تنطبق على حل المهام البسيطة نسبيا. في الواقع، سنضطر في كثير من الأحيان إلى العمل مع أرقام أكثر تعقيدا. في هذا الصدد، هذا القسم نكرسه لتحليل الخوارزميات لحساب مجال الأرقام، التي تقتصر على الوظائف بشكل صريح، كما y \u003d f (x) أو x \u003d g (y).

نظرية

دع الوظائف y \u003d f 1 (x) و y \u003d f 2 (x) يتم تحديدها ومستمرة على الواجهة [ ب]، مع f 1 (x) f 2 (x) لأي قيمة X من [A؛ ب]. ثم الصيغة لحساب مساحة الشكل G، يحدها الأسطر x \u003d a، x \u003d b، y \u003d f 1 (x) و y \u003d f 2 (x) سيتم عرض s (g) \u003d ∫ ABF 2 (x) - f 1 (x) dx.

ستكون صيغة مماثلة قابلة للتطبيق على مجال الرقم، والتي تقتصر بواسطة Lines Y \u003d C، Y \u003d D، X \u003d G 1 (Y) و X \u003d G 2 (Y): S (G) \u003d ∫ CD (G 2 (Y) - G 1 (Y) DY.

شهادة

سنقوم بتحليل الحالات الثلاث التي ستكون الصيغة عادلة.

في الحالة الأولى، نظرا لملكية الإضافة في المنطقة، فإن مجموع منطقة الشكل الأصلي G و Curvilinear Treadezium G 1 يساوي مساحة الشكل G 2. هذا يعني انه

لذلك، S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d ∫ ABF 2 (x) DX - ∫ ABF 1 (x) DX \u003d ∫ AB (F 2 (x) - F 1 (x)) DX.

قم بإجراء الانتقال الأخير، يمكننا استخدام الخاصية الثالثة من تكامل محدد.

في الحالة الثانية، المساواة صحيحة: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d ∫ ABF 2 (x) DX + - ∫ ABF 1 (x) DX \u003d ∫ AB (F 2 (X) ) - f 1 (x)) dx

التوضيح الرسمي سوف ننظر:

إذا كانت كلا الوظيفتين غير إيجابية، نحصل على: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ ABF 2 (X) DX - - ∫ ABF 1 (X) DX \u003d ∫ AB (F 2 (x) - f 1 (x)) dx. التوضيح الرسمي سوف ننظر:

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة عند y \u003d f 1 (x) و y \u003d f 2 (x) يعبر محور o x.

نقاط التقاطع التي نشير إليها ك X I، I \u003d 1، 2،. وبعد وبعد ، ن - 1. هذه النقاط كسر الجزء [أ؛ ب] على أجزاء N X I - 1؛ س الأول، أنا \u003d 1، 2،. وبعد وبعد ، ن، حيث α \u003d × 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

لذلك،

s (g) \u003d σ i \u003d 1 n s (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f (x) )) DX \u003d ∫ ABF 2 (x) - f 1 (x) dx

يمكننا تنفيذ آخر انتقال باستخدام الخصائص الخامسة لا يتجزأ محددة.

نوضح في الرسم البياني لحالة عامة.

يمكن اعتبار الصيغة S (G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ثبت.

والآن ننتقل إلى تحليل أمثلة حساب منطقة الأرقام، والتي تقتصر على الخطوط y \u003d f (x) و x \u003d g (y).

النظر في أي من الأمثلة سنبدأ ببناء الجدول الزمني. ستتيح لنا الصورة تمثيل أرقام معقدة كجمع بين الأرقام الأكثر بساطة. إذا كان بناء الرسوم البيانية والأرقام يجعلها صعبة بالنسبة لهم، فيمكنك استكشاف القسم الخاص بالوظائف الأولية الأساسية، وتحويل الرسوم البيانية الهندسية، وكذلك بناء الرسوم البيانية أثناء البحث في الوظائف.

مثال 1.

من الضروري تحديد مساحة الشكل، والتي تقتصر على parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 والخطوط المستقيمة Y \u003d - 1 3 × - 1 2، x \u003d 1، x \u003d 4 وبعد

قرار

إظهار الخطوط على الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية.

في الجزء [1؛ 4] مخطط Parabola Y \u003d - X 2 + 6 X - 5 يقع فوق مستقيم Y \u003d - 1 3 × - 1 2. في هذا الصدد، للحصول على إجابة، نستخدم الصيغة في وقت سابق، وكذلك طريقة لحساب جزء لا يتجزأ محددة وفقا لصيغة Newton-Leibnitsa:

s (g) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 × - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 × - 9 2 DX \u003d - 1 3 × 3 + 19 6 × 2 - 9 2 × 1 4 \u003d \u003d - - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

الجواب: S (G) \u003d 13

النظر في مثال أكثر تعقيدا.

مثال 2.

من الضروري حساب مجال الرقم، الذي يقتصر على الخطوط Y \u003d X + 2، Y \u003d X، X \u003d 7.

قرار

في هذه الحالة، لدينا خط مستقيم واحد فقط يقع موازية محور ABSCISSA. هذا هو x \u003d 7. يتطلب منا العثور على حد التكامل الثاني لوحدك.

نحن نبني جدول وجدول جلب على الخطوط على ذلك، بيانات عن حالة المهمة.

وجود مخطط أمام العينين، يمكننا بسهولة تحديد أن الحد الأدنى للتكامل سيكون abscissa لنقطة تقاطع الجدول Y \u003d X وأرضية parabola y \u003d x + 2. للعثور على ABSCASSA، استخدم المساواة:

y \u003d x + 2 o d z: x ≥ - 2 × 2 \u003d x + 2 2 × 2 - x - 2 \u003d 0 d \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 × 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ ∈ dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ odz

اتضح أن ABSCISSA من نقطة التقاطع هو X \u003d 2.

نلفت انتباهكم إلى حقيقة أنه في المثال العام في رسم الخط Y \u003d X + 2، Y \u003d X تتقاطع في النقطة (2؛ 2)، لذلك قد تبدو الحسابات التفصيلية هذه غير ضرورية. لقد قادنا هذا القرار المفصل هنا فقط لأنه في حالات أكثر تعقيدا، قد لا يكون القرار واضحا للغاية. هذا يعني أن إحداثيات تقاطع الخطوط من الأفضل دائما حساب التحليلي.

على الفاصل الزمني [2؛ 7] يقع الرسم البياني لهذه الوظيفة y \u003d x أعلى من الرسم البياني لهذه الوظيفة y \u003d x + 2. تطبيق الصيغة لحساب المربع:

s (g) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 7 \u003d 7 2 - 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

الجواب: S (G) \u003d 59 6

مثال 3.

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الرسوم البيانية للوظائف Y \u003d 1 × و Y \u003d - x 2 + 4 × - 2.

قرار

تطبيق الأسطر في الجدول.

تحديد مع حدود التكامل. للقيام بذلك، نحدد إحداثيات نقاط التقاطع في الخطوط، التعبيرات المعادلة 1 × و - X 2 + 4 × - 2. شريطة أن x ليس صفر، فإن المساواة 1 × \u003d x 2 + 4 × - 2 تصبح معادلة مكافئة للدرجة الثالثة - x 3 + 4 × 2 - 2 × - 1 \u003d 0 مع معاملات عدد صحيح. لتحديث الخوارزمية في الذاكرة عن طريق حل هذه المعادلات، يمكننا، والاتصال بالقسم "محلول المعادلات المكعبة".

جذر هذه المعادلة هو x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

تقسيم التعبير - x 3 + 4 × 2 - 2 × - 1 لكل ترتد X - 1، نحصل على: - × 3 + 4 × 2 - 2 × - 1 ⇔ - (x - 1) (× 2 - 3 × - 1) \u003d 0.

الجذور المتبقية يمكننا أن نجد من المعادلة × 2 - 3 × - 1 \u003d 0:

× 2 - 3 × - 1 \u003d 0 d \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 × 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3 × 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.

وجدنا الفاصل الزمني X ∈ 1؛ 3 + 13 2، والتي يتم الانتهاء منها الشكل G أعلى من اللون الأزرق وتحت الخط الأحمر. إنها تساعدنا على تحديد مساحة الشكل:

S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - × 2 + 4 × - 2 - 1 XDX \u003d - x 3 3 + 2 × 2 - 2 x - LN X 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - LN 3 + 13 2 - - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - LN 1 \u003d 7 + 13 3 - LN 3 + 13 2 وبعد

الجواب: S (G) \u003d 7 + 13 3 - LN 3 + 13 2

مثال 4.

من الضروري حساب منطقة الشكل، الذي يقتصر على المنحنيات Y \u003d X 3، Y \u003d - سجل 2 X + 1 ومحور ABSCISSA.

قرار

سنقوم بتطبيق جميع الخطوط في الجدول الزمني. يمكننا الحصول على وظيفة من وظيفة Y \u003d - Log 2 X + 1 من الرسم البياني Y \u003d Log 2 X، إذا وضعناها نسبيا بشكل متناظر إلى محور ABSCISSA ورفع وحدة واحدة للأعلى. معادلة محور abscissa y \u003d 0.

تشير إلى نقاط تقاطع الخطوط.

كما يتضح من الشكل، الرسوم البيانية للوظائف Y \u003d X 3 و Y \u003d 0 تتقاطع عند النقطة (0؛ 0). يتم الحصول على ذلك لأن X \u003d 0 هو الجذر الوحيد الصالح للمعادلة X 3 \u003d 0.

x \u003d 2 هو الجذر الوحيد للمعادلة - سجل 2 X + 1 \u003d 0، وبالتالي فإن الرسوم البيانية للوظائف Y \u003d - Log 2 X + 1 و Y \u003d 0 تتقاطع عند النقطة (2؛ 0).

x \u003d 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة x 3 \u003d - سجل 2 x + 1. في هذا الصدد، الرسوم البيانية للوظائف Y \u003d X 3 و Y \u003d - Log 2 X + 1 تتقاطع عند النقطة (1؛ 1). قد يكون البيان الأخير غير واضح، لكن المعادلة × 3 \u003d - Log 2 X + 1 لا يمكن أن يكون أكثر من جذر واحد، لأن الوظيفة Y \u003d × 3 تتزايد بشكل صارم، ودالة Y \u003d - Log 2 X + 1 تنخفض منعا باتا وبعد

هناك حل آخر ينطوي على العديد من الخيارات.

الخيار رقم 1.

الشكل G يمكننا أن نتخيل كمجموع اثنين من المراجع المنحلي الواقع فوق محور الأبقيسا، وهو الأول الذي يقع تحت خط الوسط على الجزء x ∈ 0؛ 1، والثاني أدناه الخط الأحمر على الجزء x ∈ 1؛ 2. هذا يعني أن المنطقة ستكون مساوية ل S (g) \u003d ∫ 0 1 × 3 d x + ∫ 1 2 (- سجل 2 x + 1) d x.

الخيار رقم 2.

يمكن تمثيل الشكل G كفرق في شخصين، وهو الأول الذي يقع فوق محور ABSCISSA وتحت الخط الأزرق على الجزء X ∈ 0؛ 2، والثاني بين الخطوط الحمراء والزرقاء على الجزء x ∈ 1؛ 2. هذا يسمح لنا بإيجاد المنطقة على النحو التالي:

s (g) \u003d ∫ 0 2 × 3 d x - ∫ 1 2 × 3 - (- سجل 2 x + 1) d x

في هذه الحالة، للعثور على المنطقة ستضطر إلى استخدام صيغة النموذج S (G) \u003d ∫ C D (G 2 (Y) - G 1 (Y)) D Y. في الواقع، يمكن تمثيل الخطوط التي تحد من الرقم كوظائف من الحجة ذ.

سمح لمعادلات Y \u003d X 3 و - سجل 2 X + 1 بالنسبة إلى x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

نحصل على المنطقة المطلوبة:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - Y - Y 3) DY \u003d - 2 1 - Y LN 2 - Y 4 4 0 1 \u003d - 2 1 - 1 LN 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 LN 2 - 0 4 4 \u003d 1 LN 2 - 1 4 + 2 LN 2 \u003d 1 LN 2 - 1 4

الجواب: S (G) \u003d 1 LN 2 - 1 4

مثال 5.

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الخطوط Y \u003d X، Y \u003d 2 3 × - 3، Y \u003d - 1 2 X + 4.

قرار

مع خط أحمر، سنطبق خطا على الرسم البياني المحدد بواسطة وظيفة Y \u003d X. أزرق مع خط Y \u003d - 1 2 X + 4، باللون الأسود، ونحن ندلح الخط Y \u003d 2 3 × - 3.

لاحظ نقاط التقاطع.

ابحث عن نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y \u003d x و y \u003d - 1 2 × + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 o d z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 × 2 - 4 x + 16 ⇔ ⇔ × 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 × 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16؛ × 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 p r o in e p k a: x 1 \u003d 16 \u003d 4، - 1 2 × 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n أنا في لي أكل XP وفي N و IX 2 \u003d 4 \u003d 2، - 1 2 × 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ ⇒ × 2 \u003d 4 أنا في Lietsirenemura في N و NI ⇒ (4؛ 2) Tohkaperesen وأنا y \u003d x و y \u003d - 1 2 x + 4

سنجد نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y \u003d x و y \u003d 2 3 × - 3:

x \u003d 2 3 × - 3 × - 3 o z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 × - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 × 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 × 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 × 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9، X 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 Р Р О Р Р K A: X 1 \u003d 9 \u003d 3، 2 3 × 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 أنا في Liemiraneni ⇒ (9؛ 3) TOH إلى Aperecechiy \u003d x و y \u003d 2 3 × - 3 × 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2، 2 3 × 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ × 2 \u003d 9 4 n e i l i e t with i r e n e m u r a in n e n i i

سنجد نقطة تقاطع الخطوط Y \u003d - 1 2 X + 4 و Y \u003d 2 3 × - 3:

1 2 × + 4 \u003d 2 3 × - 3 ⇔ - 3 × + 24 \u003d 4 × - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ؛ 1) ر حول hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 و y \u003d 2 3 × - 3

الطريقة رقم 1.

تخيل مساحة الشكل المرغوب كمجموع من مجالات الشخصيات الفردية.

ثم رقم الرقم يساوي:

S (G) \u003d ∫ 4 6 X - - 1 2 X + 4 DX + ∫ 6 9 X - 2 3 × - 3 DX \u003d 2 3 × 3 2 + X 2 4 - 4 × 4 6 + 2 3 × 3 - x 2 3 + 3 × 6 9 \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

الطريقة رقم 2.

يمكن تمثيل مساحة الشكل الأصلي كمجموع الشخصتين الأخريين.

ثم نحل معادلة الخط بالنسبة إلى x، وفقط بعد ذلك نطبق الصيغة لحساب شخصية الرقم.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 إلى r ومع n و i l و i y \u003d 2 3 × - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l and i y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 S و nil و ni

وبالتالي، فإن المنطقة متساوية:

s (g) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d 7 4 Y 2 - 7 4 Y 1 + - Y 3 3 + 3 Y 2 4 + 9 2 Y 2 3 \u003d 7 4 · 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3.

كما ترون، تتزامن القيم.

الإجابة: S (G) \u003d 11 3

النتائج

للعثور على مجال الرقم، يقتصر على الأسطر المحددة، نحتاج إلى بناء خطوط على الطائرة، والعثور على نقاط تقاطعها، وتطبيق الصيغة لإيجاد المنطقة. في هذا القسم، اعتبرنا خيارات المهام الأكثر شيوعا.

إذا لاحظت خطأ في النص، فيرجى تحديدها واضغط على CTRL + ENTER

من هذه المقالة، سوف تتعلم كيفية العثور على منطقة من الأرقام المحدودة حسب الخطوط باستخدام الحسابات باستخدام التكاملات. لأول مرة، نواجه هذه المهمة في المدرسة الثانوية، عندما مررنا للتو في دراسة تكامل معينة، حان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة العملية.

لذلك، ما سيطلب منك حل مشكلة البحث بنجاح عن مساحة من الرقم بمساعدة التكاملات:

• مهارة بناء الرسومات بكفاءة؛
• القدرة على حل جزء متكامل محدد بمساعدة صيغة Newton-Libnic المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - I.E. فهم كيف سيكون في مثل هذه الحالة أكثر ملاءمة لتنفيذ التكامل؟ على طول المحور X (الثور) أو محور اللعبة (OY)؟
• حسنا، حيث بدون الحوسبة الصحيحة؟) يتضمن ذلك فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات العددية الصحيحة.

خوارزمية حل مهمة حساب مساحة الشكل، خطوط محدودة:

1. بناء رسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة في قفص، مع نطاق واسع. نحن اشترك في قلم رصاص على كل رسم خريطة هذه الوظيفة. يتم توقيع الرسوم البيانية حصريا لراحة الحوسبة الإضافية. بعد تلقي رسم بياني الشكل المرغوب فيه، سيتم رؤية معظم الحالات فورا سيتم استخدام حدود التكامل. وبالتالي، نحل المهمة مع طريقة الرسومية. ومع ذلك، يحدث ذلك أن قيم الحدود كسور أو غير عقلاني. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل واضح، نجد نقاط التقاطع في الرسوم البيانية مع بعضنا البعض، ونحن ننظر إلى ما إذا كان حل الرسومات لدينا مع تحليلي تزامن.

3. بعد ذلك، من الضروري تحليل الرسم. اعتمادا على كيفية وجود رسومات الوظائف، هناك طرق مختلفة لإيجاد مساحة الشكل. النظر في أمثلة مختلفة للعثور على مجال الرقم بمساعدة التكاملات.

3.1. خيار المهمة الأكثر كلاسيكية وبسيطة هو عندما تحتاج إلى العثور على منطقة شبه منحرف curvilinear. ما هو أرجوحة curvilinear؟ هذا هو الشكل المسطح يقتصر على المحور x (ذ \u003d 0)مستقيم x \u003d A، X \u003d B وأي منحنى مستمر على الفاصل الزمني من أ. قبل ب.وبعد في الوقت نفسه، هذا الرقم غير سلبي وليس أقل من محور ABSCISSA. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه منحرفية curvilinear تساوي عدديا متكامل محسوب بواسطة صيغة Newton Labender:

مثال 1. y \u003d x2 - 3x + 3، x \u003d 1، x \u003d 3، y \u003d 0.

ما هي الخطوط هو الشكل المحدود؟ لدينا parabola. y \u003d X2 - 3x + 3الذي يقع فوق المحور أوه، إنه غير سلبي، ل كل نقاط هذا parabola إيجابية. التالي، المباشر س \u003d 1. و x \u003d 3.الذي يدير بالتوازي إلى المحور واوهي الخطوط التقييدية للشخصية على اليسار واليمين. نحن سوف y \u003d 0.هي محور X الذي يحد من الشكل أدناه. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الرسم على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك أن تبدأ على الفور في حل المشكلة. لدينا مثال بسيط لجزيرة شبه منحنية Curvilinear، والتي يتم حلها مع مساعدة Newton-Libnic Formula.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، يتم تفكيك القضية عند وجود شبه منحرف Curvilinear فوق المحور X. الآن فكر في الحالة عندما تكون شروط المهمة هي نفسها، إلا أن الوظيفة تعمل تحت المحور X. تتم إضافة صيغة Newton-Labender القياسية ناقص. كيفية حل هذه المهمة تنظر كذلك.

مثال 2. وبعد احسب مساحة الشكل، خطوط محدودة y \u003d x2 + 6x + 2، x \u003d -4، x \u003d -1، y \u003d 0.

في هذا المثال، لدينا parabola y \u003d X2 + 6X + 2الذي ينشأ من المحور أوه، مستقيم x \u003d -4، x \u003d -1، y \u003d 0وبعد هنا y \u003d 0. يحد الرقم المرغوب من أعلاه. مستقيم x \u003d -4. و x \u003d -1. هذه هي الحدود التي سيتم فيها حساب جزء متكامل محدد. مبدأ حل مشكلة العثور على مساحة من الشكل يتزامن بالكامل تقريبا مع رقم المثال 1. الفرق الوحيد هو أن الوظيفة المحددة ليست إيجابية، وكل شيء مستمر أيضا على الفاصل الزمني [-4; -1] وبعد ما لا يعني إيجابي؟ كما يمكن أن ينظر إليه من الرقم، فإن الرقم، الذي يكمن في ICS المحدد، لديه إحداثيات "سلبية" حصرية، والتي نحتاجها لرؤيتها وتذكرها عند حل المشكلة. تبحث مجال الرقم في صيغة Newton Labitsa، فقط مع علامة الطرح في البداية.

لم تكتمل المقالة.

من هذه المقالة، سوف تتعلم كيفية العثور على منطقة من الأرقام المحدودة حسب الخطوط باستخدام الحسابات باستخدام التكاملات. لأول مرة، نواجه هذه المهمة في المدرسة الثانوية، عندما مررنا للتو في دراسة تكامل معينة، حان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة العملية.

لذلك، ما سيطلب منك حل مشكلة البحث بنجاح عن مساحة من الرقم بمساعدة التكاملات:

• مهارة بناء الرسومات بكفاءة؛
• القدرة على حل جزء متكامل محدد بمساعدة صيغة Newton-Libnic المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - I.E. فهم كيف سيكون في مثل هذه الحالة أكثر ملاءمة لتنفيذ التكامل؟ على طول المحور X (الثور) أو محور اللعبة (OY)؟
• حسنا، حيث بدون الحوسبة الصحيحة؟) يتضمن ذلك فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات العددية الصحيحة.

خوارزمية حل مهمة حساب مساحة الشكل، خطوط محدودة:

1. بناء رسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة في قفص، مع نطاق واسع. نحن اشترك في قلم رصاص على كل رسم خريطة هذه الوظيفة. يتم توقيع الرسوم البيانية حصريا لراحة الحوسبة الإضافية. بعد تلقي رسم بياني الشكل المرغوب فيه، سيتم رؤية معظم الحالات فورا سيتم استخدام حدود التكامل. وبالتالي، نحل المهمة مع طريقة الرسومية. ومع ذلك، يحدث ذلك أن قيم الحدود كسور أو غير عقلاني. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل واضح، نجد نقاط التقاطع في الرسوم البيانية مع بعضنا البعض، ونحن ننظر إلى ما إذا كان حل الرسومات لدينا مع تحليلي تزامن.

3. بعد ذلك، من الضروري تحليل الرسم. اعتمادا على كيفية وجود رسومات الوظائف، هناك طرق مختلفة لإيجاد مساحة الشكل. النظر في أمثلة مختلفة للعثور على مجال الرقم بمساعدة التكاملات.

3.1. خيار المهمة الأكثر كلاسيكية وبسيطة هو عندما تحتاج إلى العثور على منطقة شبه منحرف curvilinear. ما هو أرجوحة curvilinear؟ هذا هو الشكل المسطح يقتصر على المحور x (ذ \u003d 0)مستقيم x \u003d A، X \u003d B وأي منحنى مستمر على الفاصل الزمني من أ. قبل ب.وبعد في الوقت نفسه، هذا الرقم غير سلبي وليس أقل من محور ABSCISSA. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه منحرفية curvilinear تساوي عدديا متكامل محسوب بواسطة صيغة Newton Labender:

مثال 1. y \u003d x2 - 3x + 3، x \u003d 1، x \u003d 3، y \u003d 0.

ما هي الخطوط هو الشكل المحدود؟ لدينا parabola. y \u003d X2 - 3x + 3الذي يقع فوق المحور أوه، إنه غير سلبي، ل كل نقاط هذا parabola إيجابية. التالي، المباشر س \u003d 1. و x \u003d 3.الذي يدير بالتوازي إلى المحور واوهي الخطوط التقييدية للشخصية على اليسار واليمين. نحن سوف y \u003d 0.هي محور X الذي يحد من الشكل أدناه. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الرسم على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك أن تبدأ على الفور في حل المشكلة. لدينا مثال بسيط لجزيرة شبه منحنية Curvilinear، والتي يتم حلها مع مساعدة Newton-Libnic Formula.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، يتم تفكيك القضية عند وجود شبه منحرف Curvilinear فوق المحور X. الآن فكر في الحالة عندما تكون شروط المهمة هي نفسها، إلا أن الوظيفة تعمل تحت المحور X. تتم إضافة صيغة Newton-Labender القياسية ناقص. كيفية حل هذه المهمة تنظر كذلك.

مثال 2. وبعد احسب مساحة الشكل، خطوط محدودة y \u003d x2 + 6x + 2، x \u003d -4، x \u003d -1، y \u003d 0.

في هذا المثال، لدينا parabola y \u003d X2 + 6X + 2الذي ينشأ من المحور أوه، مستقيم x \u003d -4، x \u003d -1، y \u003d 0وبعد هنا y \u003d 0. يحد الرقم المرغوب من أعلاه. مستقيم x \u003d -4. و x \u003d -1. هذه هي الحدود التي سيتم فيها حساب جزء متكامل محدد. مبدأ حل مشكلة العثور على مساحة من الشكل يتزامن بالكامل تقريبا مع رقم المثال 1. الفرق الوحيد هو أن الوظيفة المحددة ليست إيجابية، وكل شيء مستمر أيضا على الفاصل الزمني [-4; -1] وبعد ما لا يعني إيجابي؟ كما يمكن أن ينظر إليه من الرقم، فإن الرقم، الذي يكمن في ICS المحدد، لديه إحداثيات "سلبية" حصرية، والتي نحتاجها لرؤيتها وتذكرها عند حل المشكلة. تبحث مجال الرقم في صيغة Newton Labitsa، فقط مع علامة الطرح في البداية.

لم تكتمل المقالة.

بعض لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

انتقل إلى النظر في تطبيقات التطبيقات المتكاملة. في هذا الدرس، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعا. - كيفية حساب شكل الطائرة مع جزء لا يتجزأ محددةوبعد أخيرا، رؤية معنى في الرياضيات العليا - سوف تجد ذلك. القليل. سيتعين علينا إحضار منطقة البلد في الحياة مع الوظائف الابتدائية والعثور على منطقتها باستخدام متكاملة محددة.

لتنمية المواد الناجحة، فمن الضروري:

1) لفهم جزء لا يتجزأ إلى غير مسمى على الأقل مستوى متوسط. وبالتالي، يجب أن تكون إيباد الشايهات على دراية بالدرس لا.

2) لتكون قادرة على تطبيق صيغة newton labnic وحساب جزء لا يتجزأ معين. لإقامة صداقات دافئة مع بعض الأكاديات على الصفحة بعض لا يتجزأ. أمثلة الحلول.

في الواقع، من أجل العثور على مجال الرقم، لا توجد معرفة مثل هذه غير مؤكدة وغير المعرفة. المهمة "تحسب المنطقة بمساعدة متكاملة محددة" تنطوي دائما على بناء الرسملذلك، ستكون القضية الأكثر أهمية معرفة ومهاراتك في بناء الرسومات. في هذا الصدد، من المفيد التحديث في ذكرى الرسومات للوظائف الأولية الرئيسية، وعلى الأقل، تكون قادرة على بناء مستقيم، بارابولا وقطاطا Hyperbola. يمكن القيام بذلك (العديد من الحاجة) باستخدام مواد منهجية ومقالات عن تحويلات المخطط الهندسي.

في الواقع، مع مهمة العثور على المنطقة بمساعدة متكاملة محددة، الجميع على دراية بالمدرسة، وسوف نأكل الكثير إلى الأمام من البرنامج المدرسي. لا يمكن أن تكون هذه المقالة حتى، لكن الحقيقة هي أن المهمة موجودة في 99 حالة من أصل 100، عندما يعاني الطالب من برج البغيض مع الحماس الذي يغادر مسارا للرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد ورشة العمل هذه ببساطة، بالتفصيل ومع الحد الأدنى من النظرية.

دعنا نبدأ مع منحرف منحرف.

curvilinear شبه منحرف يسمى شخصية مسطحة محور محدود، مستقيم، وجدول زمني مستمر في شريحة من وظيفة لا يغير علامة على هذا الفاصل الزمني. دع هذا الرقم ليس أقل محور abscissa:

ثم مساحة شبه منحرف Curvilinear تساوي عدديا متكاملوبعد أي جزء لا يتجزأ خاص (أي موجود) لديه معنى هندسي جيد للغاية. في الدرس بعض لا يتجزأ. أمثلة الحلول قلت أن لا يتجزأ بعض الشيء هو رقم. والآن حان الوقت لنقل حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، لا يتجزأ بعض المنطقة.

بمعنى آخر، تداول محدد (إذا كان موجودا) هندسي يتوافق مع مساحة بعض الشكلوبعد على سبيل المثال، النظر في تكامل محدد. تقوم الدالة Integrand بتعيين منحنى على الطائرة، الموجود أعلى المحور (الذي يمكن أن يرسم الرسم)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديا مساحة شبه منحرف المنحدرين المقابل.

مثال 1.

هذه صياغة مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار - بناء رسموبعد ويجب أن يتم بناء الرسم حق.

عند بناء رسم، أوصي بالترتيب التالي: أول من الأفضل بناء كل مستقيم (إذا كانت) وفقط الى وقت لاحق - بارابولا، فراببولاس، جداول وظائف أخرى. الرسوم البيانية وظيفة أكثر ربحية للبناء potochoe.مع تقنية تسجيل الوصول يمكن العثور عليها في المواد المرجعية. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةوبعد هناك يمكنك أيضا العثور على مواد مفيدة للغاية فيما يتعلق بالدرس لدينا المواد - كيفية بناء Parabola بسرعة.

في هذه المهمة، قد يبدو القرار هكذا.
قم بإجراء الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أضع أرجوحة منحرف، من الواضح هنا عن المنطقة التي يوجد بها خطاب. يستمر القرار مثل هذا:

في جدول القطاع، توجد وظيفة فوق المحور، وبالتالي:

إجابه:

الذي يمتلك صعوبات في حساب تكامل معين واستخدام صيغة نيوتن ليبنيا ، الرجوع إلى المحاضرة بعض لا يتجزأ. أمثلة الحلول.

بعد الانتهاء من المهمة، من المفيد دائما أن ننظر إلى الرسم والتقدير، تحول المرء الحقيقي. في هذه الحالة، "على العينين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنا، سيتم نقل حوالي 9، ويبدو أن الحقيقة. من الواضح تماما أنه إذا كان علينا، فقل، الإجابة: 20 وحدة مربعة، من الواضح أن هناك خطأ في مكان ما - في الشكل 20 خلايا، من الواضح أنه غير مزود، من قوة عشرات. إذا تحولت الإجابة سلبية، تتم تحديد المهمة أيضا بشكل غير صحيح.

مثال 2.

حساب مساحة الشكل، خطوط محدودة، ومحور

هذا مثال على حل مستقل. حل كامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما يجب القيام به إذا كان منحرفة curvilinear تقع تحت المحور؟

مثال 3.

احسب مساحة الشكل، وخطوط محدودة، ومحاور الإحداثيات.

قرار: أداء الرسم:

إذا كان منحرفة منحرف curvilinear تحت المحور (أو على الأقل ليس أعلى هذا المحور)، ثم يمكن العثور على منطقتها من قبل الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعين من المهام:

1) إذا تمت دعوتك لحل جزءا لا يتجزأ بسيطة دون أي معنى هندسي، فقد يكون الأمر سلبيا.

2) إذا تمت دعوتك للعثور على رقم الرقم باستخدام جزء لا يتجزأ محددة، فإن المنطقة موجبة دائما! هذا هو السبب في أن الصيغة المرتفعة فقط تظهر ناقص.

في الممارسة العملية، يوجد الشكل في أغلب الأحيان في الطائرة العليا والنصف المنخفضة، وبالتالي، من أبسط المخططات المدرسية، انتقل إلى أمثلة أكثر معنى.

مثال 4.

العثور على مساحة شخصية مسطحة، خطوط محدودة،.

قرار: تحتاج أولا إلى رسم رسم. بشكل عام، عند بناء رسم في المهام إلى المنطقة، نحن مهتمون بأكثر نقاط تقاطع الخطوط. العثور على نقاط تقاطع البارابولا مباشرة. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

لذلك، الحد الأدنى للتكامل، والحد العلوي للتكامل.
بهذه الطريقة أفضل، إن أمكن، لا تستخدم.

إنه أكثر ربحية وأكثر سرعة لبناء خطوط الخط، في حين يتم توضيح حدود التكامل كما لو كانت "بنفسها". تعتبر تقنية التوقف عن الرسوم البيانية المختلفة بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية وبعد ومع ذلك، هناك طريقة تحليلية للعثور على الحدود بعد كل شيء، من الضروري في بعض الأحيان أن تنطبق إذا، على سبيل المثال، الجدول الزمني كبير بما فيه الكفاية، أو لم يكشف البناء المدربين عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسورا أو غير عقلاني). ومثال مثل هذا المثال، ونحن نعتبر أيضا.

نعود إلى مهمتنا: أكثر عقلانية أول بناء خط مستقيم وفقط بعد ذلك بارابولا. أداء الرسم:

أكرر ذلك في البناء الحالي، وغالبا ما يتم العثور على حدود التكامل من قبل "التلقائي".

والآن صيغة العمل: إذا كان في القطاع بعض الوظائف المستمرة أكثر أو متساوية يمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة، ومنطقة الشكل، والتي تقتصر بواسطة الرسوم البيانية لهذه الوظائف مباشرة، من خلال الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في المكان الذي يوجد فيه الرقم - على المحور أو تحت المحور، و، التحدث تقريبا، هام ما هو الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى جدول آخر) وما - أدناه.

في هذا المثال، من الواضح أنه على شريحة Parabola يقع فوق مباشرة، وبالتالي فمن الضروري طرح

قد يبدو الانتهاء من الحل هكذا:

يقتصر الشكل المرغوب على بارابولا من أسفل وأعلى مباشرة.
على القطاع، وفقا لصيغة المقابلة:

إجابه:

في الواقع، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف المنحرف في النصف السفلي المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) - حالة خاصة من الصيغة وبعد نظرا لأنه يتم تعريف المحور بالمعادلة، ويقع الرسم البياني الوظيفة ليس أعلى المحور، ر.

والآن بضعة أمثلة لقرار مستقل

مثال 5.

مثال 6.

العثور على منطقة خطوط الشكل المحدودة،.

في سياق حل المهام لحساب المنطقة مع جزء لا يتجزأ محددة، تحدث حالة مضحكة في بعض الأحيان. يتم الانتهاء من الرسم بشكل صحيح، وحسابات - اليمين، ولكن كثفت ... وجدت المنطقة ليست هي الرقمأن هذا هو كيف كان خادمك المتواضع معبأة. هنا حالة حقيقية من الحياة:

مثال 7.

احسب مساحة الشكل، خطوط محدودة ،،،.

قرار: أولا القيام الرسم:

... أوه، خرج رسم خمنوفينسكي، ولكن يبدو أن كل شيء يلتقط.

الشكل الذي نحتاج إلى العثور عليه هو مظلل باللون الأزرق (انظر بعناية في حالة - من الشكل محدود!). ولكن في الممارسة العملية، غالبا ما تنشأ "خلل" في الذهن، والذي تحتاج إلى العثور على مساحة من الشكل، وهو مظلل مع الأخضر!

لا يزال هذا المثال مفيدا وحقيقة أنه في مجال تعتبر مساحة الرقم باستخدام تكاملين محددين. حقا:

1) يقع جدول مستقيم على القطاع على المحور؛

2) على القطاع على المحور هناك رسم بياني لغير النعقات.

من الواضح أن المربع يمكن (وتحتاج) إلى التحلل، لذلك:

إجابه:

انتقل إلى مهمة موضوعية أخرى.

مثال 8.

حساب مساحة الشكل، خطوط محدودة،
تخيل المعادلة في شكل "المدرسة"، وأداء الرسم الحالي:

من الرسم، من الواضح أن الحد العلوي لدينا "جيد" :.
ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ماذا؟ يمكن ؟ ولكن أين هو ضمان أن الرسم مصنوع بدقة مثالية، قد يكون ذلك. أو الجذر. وإذا كان لدينا عموما بنيت بشكل غير صحيح جدول زمني؟

في مثل هذه الحالات، عليك أن تقضي وقتا إضافيا وتحديد حدود التكامل تحليليا.

العثور على نقاط تقاطع المباشرة والبظرية.
للقيام بذلك، حل المعادلة:


,

في الواقع.

الحل الآخر هو تافهة، الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بينه في البدائل والعلامات، الحسابات هنا ليست أبسط.

على قطع وفقا لصيغة المقابلة:

إجابه:

حسنا، وفي ختام الدرس، ضع في اعتبارك المهام أكثر صعوبة.

مثال 9.

حساب مساحة الشكل، خطوط محدودة،

قرار: عرض هذا الشكل في الرسم.

لعنة، نسيت الجدول الزمني للتوقيع، ولكن لإعادة الصورة، آسف، وليس hotz. غير موروثة، أقصر، يوم اليوم \u003d)

بالنسبة للبناء الحالي، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية (ومن المفيد بشكل عام أن تعرف الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية)، وكذلك بعض القيم الجيوب الأنفية، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثيوبعد في بعض الحالات (كما في هذا)، يسمح ببناء رسم تخطيطي يجب على الرسوم البيانية وحدود الرسوم البيانية والتكامل من حيث المبدأ.

مع حدود التكامل، لا توجد مشاكل هنا، فهي تتبعها مباشرة من الحالة: - "X" تختلف من الصفر إلى "PI". نضع حلا إضافيا:

في الجزء، يوجد الرسم البياني الوظيفة فوق المحور، لذلك:

كيفية إدراج الصيغ الرياضية على الموقع؟

إذا كنت بحاجة إلى إضافة صيغة رياضية واحدة أو اثنين من أي وقت مضى على صفحة ويب، فمن الأسهل القيام بذلك، كما هو موضح في المقالة: يتم إدخال الصيغ الرياضية بسهولة في الموقع في شكل صور يولد تلقائيا ألفا التنجستن. بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين وضوح الموقع في محركات البحث. يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أن أعمل إلى الأبد)، ولكن عفا عليها الزمن الأخلاقي.

إذا كنت تستخدم باستمرار الصيغ الرياضية على موقعك، فأنا أوصي باستخدام MathJax - مكتبة JavaScript الخاصة التي تعرض التسميات الرياضية في متصفحات الويب باستخدام MathML أو Match أو ASCIIMATHML.

هناك طريقتان للبدء في استخدام MathJax: (1) بمساعدة رمز بسيط، يمكنك تشغيل البرنامج النصي MathJax بسرعة إلى موقعك، والذي سيتم تحميله تلقائيا من الخادم البعيد عند المرغوب فيه؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك والاتصال بكل صفحات موقعك. الطريقة الثانية هي أكثر تعقيدا وطويلة - ستسرع في تنزيل صفحات صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم الوالد Mathjax لسبب ما غير متاح مؤقتا، فلن يؤثر على موقع الويب الخاص بك. على الرغم من هذه المزايا، اخترت الطريقة الأولى باعتبارها أبسط وسريعة ولا تتطلب مهارات تقنية. اتبع مثالي، وبعد 5 دقائق، يمكنك استخدام جميع ميزات MathJax على موقع الويب الخاص بك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارات التعليمات البرمجية المتخذة على موقع MathJax الرئيسي أو في صفحة الوثائق:

يجب نسخ واحدة من خيارات التعليمات البرمجية هذه وإدخالها في رمز صفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن تكون بين العلامات و أو مباشرة بعد العلامة وبعد وفقا للإصدار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبلاط الصفحة. ولكن الخيار الثاني يتتبع تلقائيا وتحميل أحدث إصدارات mathjax. إذا قمت بإدراج التعليمات البرمجية الأولى، فسوف تحتاج إلى تحديث دوري. إذا قمت بإدراج الرمز الثاني، فسيتم تحميل الصفحات أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

Connect Mathjax هو أسهل طريقة للمدون أو WordPress: إضافة عنصر واجهة مستخدم لإدخال رمز JavaScript لجهة خارجية لإدراج الإصدار الأول أو الثاني من رمز التنزيل المقدم أعلاه ووضع القطعة أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة ، ليس من الضروري على الإطلاق منذ أن يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. يمكنك الآن قراءة بناء جملة Mathml و Match and Asciimathml Markup، وأنت على استعداد لإدراج الصيغ الرياضية على صفحات الويب الخاصة بموقعك.

يعتمد أي كسورية على قاعدة محددة يتم تطبيقها باستمرار على عدد غير محدود من المرات. الجميع يسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء الإسفنج المنزلي بسيط للغاية: يتم تقسيم مكعب المصدر مع جانب 1 من قبل الطائرات الموازية لوجوهها، على 27 مكعبا متساوية. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة منه. يتم الحصول على مجموعة تتكون من 20 مكعب أصغر متبق. من خلال القيام بنفس الشيء مع كل من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة، تتكون بالفعل من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية بلا حدود، نحصل على اسفنجة من الزجاج.