Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

"Многопрофильный лицей" городского поселения "Рабочий поселок Чегдомын" Верхнебуреинского муниципального

района Хабаровского края.

Реферативно-исследовательская работа по математике:

Тема: "Метод математической индукции"

Выполнила: Антонова Светлана

ученица 11"Б" класса

Руководитель: Терентьева О. А.

учитель математики

пгт Чегдомын

1.Введение 3

2.История возникновения

метода математической индукции 4-5

3.Основные результаты исследования 6-14

4.Предпологаемые задания на ЕГЭ 15-18

5.Заключение 19 6.Список литературы 20

Введение:

В начале 10 класса мы приступили к изучению метода математической индукции, еще тогда меня очень заинтересовала эта тема, но только для изучения. Когда же мы начали интенсивную подготовку к сдаче ЕГЭ по математике, задания по этой теме мне довались очень легко и меня заинтересовали возможности данного методы при решении более сложных заданий. Вместе с преподавателем мы решили более подробно и тщательно изучить данный метод и его возможности при работе над проектом по этой теме.

Цель моей работы:

Познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить данный метод при решении математических задач и доказательстве теорем.

Задачи работы:

1. Актуализация практической значимости математических знаний.

2.Развитие нравственных представлений о природе математике, сущности и происхождении математической абстракции.

3. Освоение разных методов и методик работы.

4.Обобщение и систематизация знаний по данной теме.

5. Применение полученных знаний при решении заданий ЕГЭ.

Проблема:

Показать практическую значимость метода математической индукции.

Из истории возникновения метода математической индукции:

Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX веке усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических примеров, употребляемых при этих доказательствах.

Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.

Современная математическая логика дала на этот вопрос, определенный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство

Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за…» тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Э й л е р а: « У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов… И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».

Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки.

К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623 - 1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654-1705).

Основные результаты исследовательского этапа.

В процессе работы я выяснила, что все утверждения можно разделить на общие и частные. Примером общего утверждения является, например, утверждение:«В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны». Частным является, например, утверждение: «Число 136 делится на 2».

Переход от общих утверждений кчастным называется дедук­ цией. В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.

Но наряду с этим в математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим, т.е. использовать метод, противоположный дедуктивному, который называется индукцией .

Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения, данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Результат, полученный индукцией, вообще говоря, не является логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные индукцией, были неверными. Т. е. индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.

Рассмотрим пример . Подставляя в квадратный трехчлен P (х)= х 2 + х+ 41 вместо х натуральные числа 1,2,3,4,5, найдем: Р(1)= 43; Р(2)=47; Р(3)= 53; Р(4)= 61; Р(5)= 71. Все значения данного трехчлена являются простыми числами. Подставляя вместо х числа 0, -1, -2, -3, -4, получим: Р(0)=41; Р(-1)=41; Р(-2)=43; Р(-3)=47; Р(-4) =53. Значения данного трехчлена при указанных значениях переменной х также являются простыми числами. Возникает гипотеза , что значение трехчлена Р(х) является простым числом при любом целом значении х . Но высказанная гипотеза ошибочна , так как, например, Р(41)= 41 2 +41+41=41∙43.

Так как при этом методе вывод делается после разбора нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то этот метод называется неполной или несовершенной индукцией.

Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезен тем, что позволяет сформулировать гипотезу , которую потом можно доказать точным математическим рассуждением или опровергнуть. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин .

Если же вывод делается на основании разбора всех случаев, то такой метод рассуждений называют полной индукцией.

Вот пример подобного рассуждения. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число п в пределах 10п этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7 . Эти шесть равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких част­ных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции .В основе данного метода лежит принцип математической индукции .

Если предположение, зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение истинно для любого натурального числа n .

Метод математической индукции - есть эффективный метод доказательства гипотез (утверждений), основанный на использовании принципа математической индукции, поэтому он приводит только к верным выводам.

Методом математической индукции можно решать не все задачи , а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.

Метод математической индукции имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел.

Пример 1 . Найти сумму S п =

Сначала найдем суммы одного, двух и трех слагаемых. Имеем:

S 1 = ; S 2 = ; S 3 = .

В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе - число, на единицу большее числа слагаемых. Это позволяет высказывать гипотезу ( предположение), что при любом натуральном п Sп = .

Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом матема­тической индукции.

1) При п = 1 гипотеза верна, так как S 1 = .

2) Предположим, что гипотеза верна при п = k, то есть

S k = .

Докажем, что тогда гипотеза должна бытьверной и при п = k + 1, то есть

S k +1 = .

Действительно, S k +1 = S k

S k +1 =

Таким образом, исходя из предположения, что гипотезаS п =

верна при п = k , мы доказали, что она верна и при п = k + 1.

Поэтому формула S п = верна при любом натуральном п .

Пример 2. Доказать, что для любого натурального числа п и любого действительного числа а -1 имеет место неравенство, называемое неравенством Бернулли (названо в честь швейцарского математика XVII в. Якова Бернулли): (1+ a ) п ≥ 1 + ап.

1) Если п=1 , то очевидно, что неравенство верно: (1+а) 1 ≥ 1+а.

2) Предположим, что неравенство верно при n = k : (1+ a ) k ≥ 1 + ak .

Умножим обе части последнего неравенства на положительное число 1+ а, в результате чего получим (1+ a ) k +1 ≥ 1+ ak + a + a 2 k .

Отбрасывая последнее слагаемое в правой части неравенства, мы уменьшаем правую часть этого неравенства, а поэтому (1+ a ) k +1 ≥ a (k +1).

Полученный результат показывает, что неравенство верно и при n = k +1.

Обе части доказательства методом математической индукции проведены, и, следовательно, неравенство справедливо при любом натуральном п.

Заметим, что всё решение было разбито на четыре этапа :

1.база (показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (п = 1);

2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев; 3 .шаг (в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1 ); 4.вывод (у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .

Второй вариант метода математической индукции.

Некоторые утверждения справедливы не для всех натураль­ных п, а лишь для натуральных п, начиная с некоторого числа р. Такие утверждения иногда удается доказать методом, несколько отличным от того, который описан выше, но вполне аналогич­ным ему. Состоит он в следующем.

Утверждение верно при всех натуральных значениях п ≥ р, если: 1)оно верно при п =р (а не при п = 1, как было сказано выше);

2)из справедливости этого утверждения при п = k , где k ≥ р (а не k ≥ 1, как сказано выше), вытекает, что оно вер­но и при п = k + 1.

Пример 1 . Докажите, что для любого справедливо равенство

Обозначим произведение в левой части равенства через , т.е.

мы должны доказать, что .

Для n=1 формула не верна (1- 1) = 1(неверно).

1) Проверим, что эта формула верна для n = 2. , - верно.

2) Пусть формула верна для n = k, т.е.

3) Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.

По принципу математической индукции равенство справедливо для любого натурального .

Пример 2. Докажите, что 22n + 1 при любом натуральном n3.

1) При n = 3 неравенство верно. 223 + 1.

2) Предположим, что 22k + 1 (k3).

3) Докажем, что 2 2(k + 1) + 1.

В самом деле, 2 = 222(2k + 1) =(2k + 3)(2k - 1) 2k + 3, так как 2k – 10 при любом натуральном значении k. Следовательно, 22n + 1 при всех n3.

Замечание к методу математической индукции.

Доказательство методом математической индукции состоит из двух этапов.

l -й этап. Проверяем, верно ли утверждениепри п = 1 (или прип = р , если речь идет о методе, описанном выше).

2-й э т а п. Допускаем, что утверждение верно прип = k , и,исходя из этого, доказываем, что оно верно и при п = k +1.

Каждый из этих этапов по-своему важен, рассмат­ривая пример P (х)= х 2 + х+41 , мы убедились, что утверждение может быть верным в целом ряде частных случаев, ноневерным вообще. Этот пример убеждает нас в том, насколько важен 2-йэтап доказательства методом математическойиндукции. Опус­тив его, можно прийти кневерному выводу.

Не следует, однако, думать, что 1-й этап менее важен, чем 2-й. Сейчас я приведу пример, показывающий,к какому нелепому выводу можно прийти, если опустить 1-й этап дока­зательства.

«Теорем а». При любом натуральном п число 2п +1 четное.

Доказат ел ьств о. Пусть эта теорема верна при п = k , то есть число 2 k + 1 четное. Докажем, что тогда число 2(k +1)+ 1 также четно.

Действительно, 2(k +1)+1 = (2 k +1 )+2.

По предположению число 2 k +1 четно, а поэтому его сумма с четным числом 2 также четна. Теорема «доказана».

Если бы мы не забыли проверить, верна ли наша «теорема» при п = 1, мы не пришли бы к такому «результату».

Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n1

.

Обозначим левую часть неравенства через .

Следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем , .

Сравнивая и , имеем , т.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .

Доказательство.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано.

Пример 4:

Доказать неравенство

Где x 1 , x 2 ,…., x 3 – произвольные положительные числа.

Это важное неравенство между средним арифметическим и средним гео­метрическим n чисел является простым следствием соотношения, доказанного в предыдущем примере. В самом деле, пусть х 1 , х 2 , ..., х n - произвольные положительные числа. Рассмотрим n чисел

Очевидно, что все эти числа положительны и произведение их равно единице. Следовательно, по доказанному в предыдущем примере их сумма больше или равна n, т.е.

≥ n

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = ... = х n .

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим n чисел часто оказывается полезным при доказательстве других неравенств, при отыскании наименьших и наибольших значений функций.

Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

Пример 5. Доказать формулу

, n – натуральное число.

При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

.

Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

Пример 6. Доказать, что .

Метод математической индукции в решении задач на делимость.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.

Пример 7 . Если n – натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение истинно: - четное число. Предположим, что - четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.

Пример 8. Доказать истинность предложения

A(n)={число 5 кратно 19}, n – натуральное число.

Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)={число кратно 19} истинно. Тогда, так как

Очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.

Доказательство тождеств

Пример 9 . Доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство

Что и требовалось доказать.

Пример 10 . Докажите тождество

1) Проверим, что это тождество верно при n = 1.

2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е.

3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.

М – сумма 2) и 3).

Метод математической индукции в решении задач на геометрическую прогрессию

Пример 11. Докажем, что общий член геометрической прогрессии равен

а п = а 1 ∙ q п-1 , методом математической индукции.

п=1:

a 1 = a 1 ∙q 0

a 1 = a 1 ∙1

левая часть = правой части.

п= k :

a k = a 1 ∙q k -1

п = k +1:

a k +1 = a 1 ∙q k

Доказательство:

a k +1 = a k ∙q = a 1 ∙q k -1 ∙ q = a 1 ∙q k ,

что и требовалось доказать.

Оба условия принципа математической индукции выполняются и поэтому формула a n = a 1 ∙ q n -1 верна для любого натурального числа п.

Задачи реальной действительности

Пример 12:

Докажем, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π(n-2).

1. Минимальное число углов - три. Поэтому начнем
доказательство с n = 3. Получаем, что для треугольника
формула дает π (3~2) = π Утверждение для n = 3

справедливо.

2. Допустим, что формула
верна при n=k. Докажем, что
она верна для любого выпуклого
(к +1) -угольника. Разобьем

(к +1) -угольник диагональю

так, что получим k-угольник и треугольник (см. рисунок).

Так как формула верна для треугольника и k-угольника, получаем π (к - 2) + π = π (к -1).

То же мы получим, если в исходную формулу под­ставить п = к + 1: π (к +1 - 2) = π (к -1).

Предлагаемые задания на ЕГЭ.

Пример 1.

Докажите, что при любом натуральном числе п 9 п+1 - 8п – 9 кратно 16.

1) Проверим, что данное утверждение верно при п=1:

9 2 - 8 – 9 = 81- 8 – 9 = 64, 64 16.

При п=1 утверждение верно.

2) Предположим, что данное утверждение верно, при п = k :

(9 k +1 - 8 k - 9) 16.

3) И, докажем, что данное утверждение верно при п = k +1 :

(9 k +2 – 8 (k +1) - 9) 16.

Доказательство:

9 k +2 - 8(k +1) – 9 =9 k +1 ∙ 9 1 - 8 k – 8 – 9 = 9 k + 1 ∙ 9 - 8 k – 17 =

= 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64 k + 64 = 9(9 k +1 - 8 k - 9) +64(k +1)=

= 9(9 k +1 – 8 k - 9)+ 64(k +1).

Следовательно: (9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64(k -1)) 16.

Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и поэтому 9 k +1 - 8п-9 кратно 16 при любом натуральном п.

Пример 2.

п выполняется условие:

1 3 +2 3 +3 3 +… n 3 =.

S n = .

Проверим, что данная формула верна при п=1:

Левая часть = 1 3 =1

Правая часть =

Формула верна при п=1.

n = k :

1 3 +2 3 +3 3 +… k 3 =.

S k =.

п= k +1:

1 3 +2 3 +3 3 +…+(k +1) 3 =.

S k +1 = .

Доказательство:

S k +1 = S k +(k +1) 3

Итак, данная формула верна в двух случаях и доказали, что верна при n = k +1 следовательно она верна при любом натуральном числе п.

Пример 3.

Доказать, что при любом натуральном числе п выполняется условие:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.

.

1) Проверим, что данная формула верна при п=1:

Левая часть = 1∙2∙3=6.

Правая часть = .

6 = 6; условие верно при п=1.

2) Предположим, что данная формула верна при n = k :

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ k (k +1)(k +2)=.

S k =.

3) И, докажем, что данная формула верна при n = k +1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k +1)(k +2)(k +3)=.

S k +1 =.

Доказательство:

Итак, данное условие верно в двух случаях и доказали, что верно при n = k +1, следовательно она верно при любом натуральном числе п.

Пример 4.

Доказать, что любом натуральном п справедливо равенство

1) При п=1 мы получаем верное равенство

2) Сделав предположение индукции, рассмотрим сумму, стоящую в левой части равенства, при n = k +1;

3) Для завершения доказательства заметим, что

Следовательно, равенство справедливо.

Пример 5.

В плоскости проведено п прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через точку. Определить, на сколько частей разбивают плоскость эти прямые.

Нарисовав необходимые чертежи, мы можем записать следующее соответствие между числом п прямых, удовлетворяющих условию задачи, и числом а п частей, на которые разбивают плоскость эти прямые:

Судя по первым членам, последовательность, а п такова, что разности а 2 -а 1 , а 3 -а 2 , а 4 -а 3 ,… составляют арифметическую прогрессию. Если воспользоваться уже разобранным примером, то можно высказать гипотезу, что п прямых, удовлетворяющих условию задачи, разбивают плоскость на

частей. Эта формула легко проверяется для нескольких первых значений п , однако, конечно, из этого не следует еще, что она дает ответ на предложенную задачу. Это утверждение требует дополнительного доказательства методом математической индукции.

Отвлекаясь от проведенного только что «подбора», докажем, что п прямых (из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку) разбивают плоскость на а п частей, где а п вычисляется по формуле.

Очевидно, что при п=1 формула справедлива. Сделав предположение индукции, рассмотрим k +1 прямых, удовлетворяющих условию задачи. Выделив из них произвольным образом k прямых, мы можем сказать, что они делят плоскость на

частей. Присоединим теперь (k +1) -ю прямую. Так как она не параллельна ни одной из предыдущих прямых, то она пересечет все k прямых. Так как она не пройдет ни через одну из точек пересечения предыдущих прямых, то она пройдет по k +1 куску, на которые плоскость уже была разбита, и каждый из этих кусков разделит на две части, т.е. добавится еще k +1 кусков. Следовательно, общее число кусков, на которые плоскость разбивается k +1 прямыми, есть

Доказательство этим завершается.

Заключение

Итак, индукция (от лат. inductio - наведение, по­буждение) - одна из форм умозаключения, приём ис­следования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки истинности частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Применяя полную индукцию, мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда убедились в её истинности для каждого без исключения значения n. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.

Знакомясь с методом математической индукции, я изучала специальную литературу, консультировалась с педагогом, анализировала данные и решения задач, пользовалась ресурсами Интернета, выполняла необходимые вычисления.

Вывод:

В ходе работы я узнала, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции.

Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи. Недостатком неполной индукции является то, что порой она приводит к ошибочным выводам.

Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедилась в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке.

Так же в ходе работы приобрела навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.

Список литературы.

1.Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс.-М.: Просвещение, 1979г.

2.Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1996г.

3.Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.

4.Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П., Шварцбурд С.И. М.: Просвещение, 1990г.

5.Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя М.: Просвещение, 1987г.

6.Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение,1989г.

Введение. 3

1.Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла» 4

2. Математические суждения и умозаключения. 6

3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке. 11

4.Неестественная логика в основаниях математики. 12

Заключение. 17

Список литературы… 18

Расширение области логических интересов связано с общими тенденциями развития научного знания. Так, возникновение математической логики в середине XIX века явилось итогом многовековых чаяний математиков и логиков о построении универсального символического языка, свободного от «недостатков» естественного языка (прежде всего его многозначности, т.е. полисемии).

Дальнейшее развитие логики связано с совокупным использованием классической и математической логики в прикладных областях. Неклассические логики (деонтическая, релевантная, логика права, логика принятия решений и др.) часто имеют дело с неопределенностью и нечеткостью исследуемых объектов, с нелинейным характером их развития. Так, при анализе достаточно сложных задач в системах искусственного интеллекта возникает проблема синергизма различных типов рассуждения при решении одной и той же задачи. Перспективы развития логики в русле сближения с информатикой связаны с созданием определенной иерархии возможных моделей рассуждения, включающих рассуждения на естественном языке, правдоподобные рассуждения и формализованные дедуктивные выводы. Это решается средствами классической, математической и неклассической логик. Таким образом, речь идет не о разных «логиках», а о разной степени формализации мышления и «размерности» логических значений (двузначная, многозначная и др. логика).

Выделение основных направлений современной логики:

1. общей, или классической логики;

2. символической, или математической логики;

3. неклассической логики.

Математическая логика понятие достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?

Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна.

Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки.

(Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно). Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об"екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики...

Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой - разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться… Это для избранных.

Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике – это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(!) в значительной степени автоматическими...

Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!

Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!

Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ.

2. Математические суждения и умозаключения

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение «всякий ромб является параллелограммом» - истинное суждение; суждение «всякий параллелограмм является ромбом» - ложное суждение.

Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.

Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение «всякий квадрат есть ромб» указывает, что понятие «квадрат» включается в понятие «ромб»; суждение «пересекающиеся прямые не являются параллельными» указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение «треугольник АВС равнобедренный» выражает некоторое суждение; предложение «Будет ли АВС равнобедренным?» не выражает суждения.

Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.

Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например «эта фигура -т- круг». Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность».

В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения вывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).

Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).

Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).

Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Он" расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.

Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.

Например, из суждений «сумма внутренних углов треугольника равна 2d» и «2*2=4» нельзя сделать вывод.

Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.

Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: «Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: „Если все растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные“.

Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие „здравого смысла“ в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для. понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопроса.)

Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.

3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке.

Логика - не только сугубо математическая, но также и философская наука. В XX веке эти две взаимосвязанные ипостаси логики оказались разведенными в разные стороны. С одной стороны логика понимается как наука о законах правильного мышления, а с другой - она преподносится как совокупность слабо связанных друг с другом искусственных языков, которые называются формальными логическими системами.

Для многих очевидно, что мышление - это некий сложный процесс, с помощью которого решаются житейские, научные или философские проблемы и рождаются гениальные идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается многими просто как средство, с помощью которого результаты мышления можно передать современникам или оставить потомкам. Но, связав в своем сознании мышление с понятием „процесс“, а язык с понятием „средство“, мы по сути перестаем замечать тот непреложный факт, что в данном случае „средство“ не подчинено полностью „процессу“, а в зависимости от нашего целенаправленного или неосознанного выбора тех или словесных штампов оказывает сильнейшее влияние на ход и результат самого „процесса“. Причем известно немало случаев, когда такое „обратное влияние“ оказывается не только тормозом для правильного мышления, но порою даже его разрушителем.

С философской точки зрения задача, поставленная в рамках логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних исследованиях один из основоположников этого направления Людвиг Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать в соответствии с разработанной позитивистами программой. Даже язык математики в целом устоял перед мощным напором „логицизма“, хотя многие термины и структуры предлагаемого позитивистами языка вошли в некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их. Популярность логического позитивизма как философского направления во второй половине XX столетия заметно упала - многие философы пришли к выводу, что отказ от многих „нелогичностей“ естественного языка, попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического позитивизма влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе с этим и дегуманизацию человеческой культуры в целом.

Многие методы рассуждений, которые используются в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на языке математической логики. В некоторых случаях такое отображение приводит к существенному искажению сути естественного рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием исходной методологической установки аналитической философии и позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости его коренного реформирования. Сама исходная методологическая установка позитивизма также не выдерживает критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологическими или риторическими приемами воздействия на публику, либо в своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества не определяются знанием или незнанием основ математической логики.

В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям формального языка математической логики, нередко обнаруживается своеобразная „слепота“ по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре .

Одним из примеров такого нелогичного подхода к рассуждениям является формулировка знаменитого парадокса Рассела, в котором необоснованно смешиваются два сугубо разнородных понятия „элемент“ и „множество“. Во многих современных работах по логике и математике, в которых заметно влияние программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые с точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между „элементом“ и „множеством“ является простейшим примером такого рода. Во многих работах этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем его A) может быть элементом другого множества (назовем его B).

Например, в широко известном руководстве по математической логике мы встретим такую фразу: „Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества“. Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве „скрытой“ аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик К. Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем . Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входят формальная теория множеств и формальная арифметика), логическая структура которых явно не соответствует логической структуре естественных рассуждений и обоснований.

Однако уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной? Чтобы понять двусмысленность утверждения „множество A есть элемент множества B“, достаточно задать простой вопрос: „Из каких элементов в этом случае сформировано множество B?“. С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения. Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества. Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных. Но тогда получается, что в обоих случаях выражение „множество A является элементом множества B“ не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию „множество“, основан на этой нелепости - в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.

Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к „необъяснимым“ парадоксам.

Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности.

Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие „самоприменимость“, которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех „несамоприменимых“ множеств, то окажется, что оно является одновременно „самоприменимым“ и „несамоприменимым.

Математическая логика немало способствовала бурному развитию информационных технологий в XX веке, но из ее поля зрения выпало понятие “суждение», которое появилось в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным математическим структурам с многоместными отношениями и рекурсивными функциями, которые применяются в математической логике. Оказывается, для понимания и анализа этих нелепостей вполне достаточно применить намного более простую математическую структуру суждения, которая не только не противоречит математическим основам современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.

Список литературы

1. Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука. 1989; - стр. 94-123.

2. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 1996, No 3, с. 7-92.

3. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / Под редакцией Д.А. Поспелова. - СПб, Политехника, 1997. 131 с.

4. Кулик Б.А. Логика здравого смысла. - Здравый смысл, 1997, No 1(5), с. 44 - 48.

5. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967.

6. Соловьев А. Дискретная математика без формул. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Досчатинская средняя школа

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Решение логических задач.

Физико-математическое отделение

Секция математическая

Работу выполнил:

ученица 5 класса

Папотина Елена Сергеевна

научный руководитель:

учитель МБОУ Досчатинская СШ

Рощина Людмила Валерьевна

Нижегородская область

р/п Досчатое

2016г.

Аннотация

Цель данной работы выявить умения рассуждать и делать правильные выводы, при решении логических задач. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику. В работе поставлены следующие задачи:

1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»;

2) изучение основных методов решения логических задач;

3) изучение умения решать логические задачи учащимися 5-7 класса.

Методами исследования данной работы являются:

Сбор и изучение информации.

Обобщение экспериментального и теоретического материала.

Гипотеза : учащиеся нашей школы умеют решать логические задачи.

В ходе написания работы были исследованы типы и способы решения логических задач. Была проведена практическая работа с учениками среднего звена, на то, как они умеют решать логические задачи. Результаты работы показали, что не все учащиеся могут справиться с логическими задачами. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.

2.3 Метод кругов Эйлера

Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи . Разберем пример применения данного метода.

Решим задачу 6:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера

На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.

Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.

Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).

Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.

Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.

2.4 Метод блок- схем

Задача 7. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

Ответ: 18 вариантов.

2.5 Истинностные задачи

Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.

Задача 7 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.

Задача 8. Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

а) Петя - второе, Витя - третье;

б) Сергей - второе, Петя - первое;

в) Юра - второе, Витя - четвертое.

Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.

Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.

2.6 Задачи, решаемые с конца.

Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.

Задача 9. Вася задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое чило задумал Вася.

Решение: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Ответ: Вася задумал число 10.

Глава 3. Изучение умения решать логические задачи.

В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: задачи, решаемые с конца; кто есть кто?; текстовые задачи.

Задачи соответствовали уровню знаний 5-го, 6-го и 7-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты (рис. 1). Рассмотрим полученные результаты более подробно.

*Для 5-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое число я задумала?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Катя, Соня и Лиза имеют фамилию Васнецова, Ермолаева и Кузнецова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Соня, Лиза и Ермолаева - члены математического кружка, а Лиза и Кузнецова занимаются музыкой?

Задача №3. Текстовая задача.

В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и девочек участвовало в олимпиаде.

С задачей типа: «решаемая с конца», справились большинство учащиеся пятых классов. Такие задачи встречаются в учебниках 5-6 классов. С типом тектовых задач, эта задачи более сложные, над ней надо было порассуждать, с ней справились лишь 5 человек. (рис.2)

*Для 6-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.

Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.

Кто чем занимается?

Задача №3. Текстовая задача. На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?

Среди учащихся 6-х классов, в количестве 18 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «решаемая с конца» справились все учащиеся 6-ого класса. С задачей №2 , типа «Кто есть кто?» справились 4 человека. С текстовой задачей справился лишь один человек (рис.3).

*Для 7-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии начинающееся на буквы В, П, С, и К. Известно, что 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинаются фамилии каждого?

Задача №3. Метод рассуждений.

Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще 4-х маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?

Среди учащихся 7-х классов, в количестве 20 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «рещаемая с конца» справились 13 учащиеся. С текстовой задачей справился один ученик (рис.4).

Заключение

В ходе исследовательской работы по изучению методов решения логических задач. Поставленные мной цель и задачи считаю выполненными. В первой главе я ознакомилась с понятием логики, как науки, основными этапами её развития и учеными, которые являются её основоположниками. Во-второй главе я изучила различные методы решения логических задач и разобрала их на конкретных примерах. Мной были рассмотрены следующие методы: м етод рассуждений, метод таблиц, метод графов, метод блок-схем, метод кругов Эйлера, истинностные задачи, метод решения задачи с конца. В третьей главе провела практическое исследование среди учеников 5-7 классов, проверив их умения решать логические задачи. Проведенные мною исследования показали следующее. С задачами которые справились большинство учеников, это задачи, решаемые с конца. С задачей «Кто есть кто?» (метод таблиц) справились половина учащихся. Текстовую задачу (метод рассуждений) решили лишь наименьшее количество человек. Я считаю, что моя гипотеза подтвердилась частично, так как половина учащимся тяжело далось решение логических задач.

Логические задачи помогают развивать логическое и образное мышление. У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению. Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.

Литература

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 45 стр.

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 211 стр.

Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //

Математика. -1999. № 26. - С. 27-29.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук –Москва,: 1948г.

Интернет-ресурсы:

http:// wiki . iteach .

Рис. 3 Анализ работ 6-ого класса.

Рис. 4 Анализ работ 7-го класса

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема дипломной работы

«Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах»

математический логика начальный

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

1.2 Изучение логики как раздела математики

1.3 Логические рассуждения

Выводы по 1 главе

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математике

2.2 Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики по УМК «Перспективная начальная школа»

2.3 Система заданий, нацеленная на формирование понятия «элементы математической логики» у учащихся по окончанию начальной школы

Выводы по 2 главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования. На основании Федерального Государственного образовательного Стандарта Нового Общего Образования учащиеся начальной школы должны придерживаться требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования по предмету математика:

1) использовать начальные математические знания для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

2) овладеть основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

3) уметь выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные .

На сегодняшний день, математическое образование является частью системы среднего образования и в то же время своеобразной самостоятельной ступенью обучения. Новое содержание математического образования ориентировано главным образом на формирование культуры и самостоятельности мышления младших школьников, элементов учебной деятельности средствами и методами математики. В ходе обучения дети должны научиться общим способам действия, осуществляя пошаговый контроль и самооценку выполненной деятельности, чтобы установить соответствие своих действий намеченному плану.

Именно поэтому, не случайно в программах по математике особое внимание уделяется формированию алгоритмической, логической и комбинаторной линии, которые получают свое развитие в процессе изучения арифметических, алгебраических и геометрических разделов программы .

В работах математиков А.Н. Колмогорова , А.И. Маркушевича А.С. Столяра , A.M. Пышкало , П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.

В последнее десятилетие, когда школа вступила в процесс модернизации, в практику внедряются новые стандарты, технологии, методики, разные учебные пособия, вопрос о преемственности в обучении между начальной и основной ступенями становится наиболее важным. Наличие комплекта учебников - важная составляющая преемственности между этими ступенями. По словам А.А. Столяра «необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы» .

Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Л.В.Занкова , В.В. Давыдова , Н.М.Скаткина и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня знаний, умений и навыков, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения .

На наш взгляд, в психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах.

Таким образом, числовое множество, начиная с первых же классов общеобразовательной школы, представляет ту лабораторию, где можно более отчетливо формировать у учащихся навыки рассуждений, являющихся основой выяснения истинности или ложности того или иного подхода, той или иной постановки задачи. Возникает вопрос: "Является ли такая задача главной целью процесса обучения математике в школе и какая доля этой проблемы приходится на начальную школу"? Ответ на этот вопрос может быть получен только после тщательного анализа программы и учебников по математике для I - IV классов .

Актуальность проблемы является совершенствование содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.

Целью исследования рассмотреть изучение элементов математической логики в рамках курса математики при обучении математики в 1-4 классах и разработать учебно-методические средства для ее реализации.

Объект исследования - процесс изучения элементов математической логики при обучении на уроках математики в начальной школе.

Предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует возможность организации процесса обучения математике, которые наряду с подготовкой математических знаний и умений сознательно и систематически мы будем развивать логические навыки.

Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были определены следующие задачи исследования :

1. Дать понятие логической структуры математических понятий и предложений;

2. Изучить логику как науку и раздел математики;

3. Выяснить что такое логические рассуждения и дать их определения;

4. Проанализировать стандарты образования, учебные программы и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логического развития учащихся;

5. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах;

6. Провести экспериментальное исследование по проверке эффективности разработанных методик в условиях начальной школы.

Теоретико-методологическую основу исследования составили: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С.Выготский , А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин , Н.В.Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М. Пышкало, П.М.Эрдниев).

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

Изучая математику в школе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно понять каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.

Такие знания нужны учителю начальных классов потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и т.д. Во ворую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и т.п. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и др. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением .

Чтобы изучать такое обилие самых разных понятий, необходимо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Чтобы сделать мысль о предмете означает иметь возможность отличить его от других аналогичных объектов. Математические понятия имеют ряд особенностей. Главным является то, что математические объекты, в отношении которых формируются концепции, на самом деле не существует. Все математические объекты создаются умом человека. Идеально подходит объектов, что отражает реальные предметы или явления.

Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введённых понятий.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина или замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но формулируя определения, придерживаются ряда правил:

· Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы, определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы;

· В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия. А их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений;

· Определение должно быть ясным. Это не первый взгляд очевидное правило, но оно означает многое. Прежде всего, требуется, чтобы значение терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия. К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Понятий в начальном курсе математики очень много.

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации. Описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения.

Остенсивные определения - определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Например, таким путем можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства.

Изучение реальных процессов, математические описания, использут как естественный вербальный язык и символическое значение. Описания построены с помощью предложений. Но, что математическое знание будет точное, адекватное отражение реальности, которая нас окружает, эти предложения должны быть правдой. Каждый математический тезис характеризуется содержанием и логической форме (структуре) и содержание неразрывно связано с формой, и невозможно понять первое, не понимать второго.

1) Число 12 - четное;

Мы видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. О предложениях 1,4,5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а о предложении 2 - ложную. Относительно предложения х +5 = 8 вообще нельзя сказать истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции - истинно или ложь привел к понятию высказывания.

1.2 Изучение логики как раздела математики

Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Как указывает Ивин А.А. , отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в индии, в конце II тысячелетия до н.э. однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V - IV веках до н.э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Платона и Сократа были заложены основы этой науки. Родоначальником же, «отцом» логики, по праву считается величайший мыслитель древности. Ученик Платона - Аристотель (384-322 гг. до н.э.). именно он в своих трудах, объединенных общим названием «Органон» (орудие познания), впервые обстоятельно проанализировал и описал основные логические формы и правила рассуждений, а именно: формы выводов из так называемых категорических суждений - категорический силлогизм («Первая аналитика»), сформулировал основные принципы научных доказательств («Вторая аналитика»), дал анализ смысла некоторых видов высказываний («Об истолковании»), наметил основные подходы к разработке учения о понятии («Категории»). Серьезное внимание Аристотель уделял также разоблачению различного рода логических ошибок и софистических приемов в спорах («О софистических опровержениях»).

Логика имеет долгую и богатую историю, неразрывно связанную с историей развития общества в целом.

Возникновению логики как теории предшествовала уходящая в глубь тысячелетий практика мышления. С развитием трудовой, материально-производственной деятельности людей шло постепенное совершенствование и развитие их мыслительных способностей, прежде всего способности к абстракции и умозаключению. А это рано или поздно, но неизбежно должно было привести к тому, что объектом исследования стало само мышление с его формами и законами.

Как указывает Ивин А.А. , история свидетельствует, что отдельные логические проблемы возникают перед мыслительным взором человека уже свыше2,5 тыс. лет назад - сначала в Древней Индии и древнем Китае. Затем они получают более полную разработку в Древней Греции и Риме. Лишь постепенно складывается более или менее стройная система логических знаний, оформляется самостоятельная наука.

Каковы причины возникновения логики? Ивин А.А. считает, что основными являются две. Одна из них - зарождение и первоначальное развитие наук, прежде всего математики. Этот процесс относится к VI в. До н.э. и получает наиболее полное развитие в Древней Греции. Рождаясь в борьбе с мифологией и религией, наука основывалась на теоретическом мышлении, предполагающем умозаключения и доказательства. Отсюда - необходимость исследования природы самого мышления как средства познания.

По мнению Курбатова В.И. , логика и возникла, прежде всего, как попытка выявить и обосновать те требования, которым должно удовлетворять научное мышление, чтобы его результаты соответствовали - действительности.

Другая, пожалуй, еще более важная причина - это развитие ораторского искусства, в том числе судебного, которое расцвело в условиях древнегреческой демократии. Величайший римский оратор и ученый Цицерон (106-43 гг. до н.э.), говоря о могуществе оратора, обладателя «божественного дара» - красноречия, подчеркивал: «Он может безопасно пребывать даже среди вооруженных врагов, огражденный не столько своим жезлом, сколько своим званием оратора; он может своим словом вызвать негодование сограждан и низвергнуть кару на виноватого в преступлении и обмане, а невинного силою своего дарования спасти от суда и наказания; он способен побудить робкий и нерешительный народ к подвигу, способен вывести его из заблуждения, способен воспламенить против негодяев и унять ропот против достойных мужей; он умеет, наконец, одним своим словом и взволновать и успокоить любые людские страсти, когда это требует обстоятельства дела» .

По словам Ивина А.А., основателем логики - или, как иногда говорят «отцом логики» - принято считать крупнейшего древнегреческого философа и ученого-энциклопедиста Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Следует, однако, учитывать, что первое довольно развернутое и систематическое изложение логических проблем фактически дал более ранний древнегреческий философ и естествоиспытатель Демокрит (460- примерно 370 г. До н.э.). Среди его многочисленных трудов был и обширный трактат в трех книгах «О логическом, или О канонах». Здесь не только были раскрыты сущность познания, его основные формы и критерии истины, но и показана огромная роль логических рассуждений в познании, дана классификация суждений. Подвергнуты решительной критике некоторые виды выводного знания и предпринята попытка разработать индуктивную логику - логику опытного знания. К сожалению, этот трактат Демокрита, как и все остальные, до нас не дошел.

Новый, более высокий этап в развитии логики начинается с XVII в. Этот этап органически связан с созданием в ее рамках наряду с дедуктивной логикой логики индуктивной. В ней нашли отражение многообразные процессы получения общих знаний на основе все более накапливавшегося эмпирического материала. Потребность в получении таких знаний наиболее полно осознал и выразил в своих трудах выдающийся английский философ и естествоиспытатель Ф.Бэкон (1561-1626). Он и стал родоначальником индуктивной логики. «…логика, которая теперь имеется, бесполезна для открытия знаний», - вынес он свой суровый приговор . Поэтому как бы в противовес старому «Органону» Аристотеля Бэкон написал «Новый Органон…», где изложил индуктивную логику. Главное внимание в ней он обратил на разработку индуктивных методов определения причинной зависимости явлений. В этом огромная заслуга Бэкона. Однако созданное им учение об индукции по иронии судьбы оказалось не отрицанием предшествующей логики. А ее дальнейшим обогащением и развитие. Оно способствовало созданию обобщенной теории умозаключений. И это естественно, ибо, как будет показано ниже, индукция и дедукция не исключает, а предполагают друг друга и находятся в органическом единстве.

Известный вклад в развитие традиционной формальной логики внесли русские ученые. Так, уже в первых трактатах по логике начиная приблизительно с X в. предпринимались попытки самостоятельного комментирования трудов Аристотеля и других ученых. Оригинальные логические концепции в России разрабатывались в XVIII в. и связаны прежде всего с именами М.Ломоносова (1711-1765) и А.Радищева (1749-1802). Расцвет логических исследований в нашей стране относится к концу XIXв.

Грандиозную попытку выработать целостную систему новой, диалектической логики предпринял немецкий философ - Г.Гегель (1770-1831). В своем основополагающем труде «Наука логики» он, прежде всего, раскрыл фундаментальное противоречие между наличными логическими теориями и действительной практикой мышления, которое к тому времени достигло значительных высот.

Как указывает Курбатов В.И., Гегель заново подверг исследованию природу мышления, его законы и формы. В этой связи он пришел к выводу, что «диалектика составляет природу самого мышления, что в, качестве рассудка оно должно впадать в отрицание самого себя, в противоречие». Свою задачу мыслитель видел в том, чтобы найти способ разрешения этих противоречий. Гегель подверг жесточайшей критике прежнюю, обычную логику за ее связь с метафизическим методом познания. Но в этой своей критике зашел так далеко, что отверг ее принципы, основанные на законе тождества и законе противоречия.

Ивин А.А. говорит, что проблемы диалектической логики, ее соотношения с формальной нашли дальнейшую конкретизацию и развитие в трудах философов и ученых Германии К.Маркса)1818-1883) и Ф.Энгельса (1820-1895). Используя богатейший мыслительный материал, накопленный философией, естественными и общественными науками, они создали качественную новую, диалектико-материалистическую систему, которая нашла воплощение в таких произведениях, как «Капитал» К.Маркса, «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы» Ф.Энгельса. с этих общефилософских позиций Маркс и Энгельс и оценивали специальное «учение о мышлении и его законах» - логику и диалектику. Они не отрицали значение формальной логики, не считали ее «бессмыслицей», но подчеркивали ее исторический характер. Так, Энгельс отмечал, что теоретическое мышление каждой эпохи - это исторический продукт, принимающий в различные времена очень различные формы и вместе с тем очень различное содержание. «Следовательно, наука о мышлении, как и всякая другая наука, есть историческая наука, наука об историческом развитии человеческого мышления» .

В последние десятилетия в нашей стране предпринято не мало плодотворных попыток систематического изложения диалектической логики. Разработки идут в двух магистральных направлениях. С одной стороны, это раскрытие закономерностей отражения в человеческом мышлении развивающейся действительности, ее объективных противоречий, а с другой - раскрытие закономерностей развития самого мышления, его собственной диалектики.

В условиях научно-технической революции, когда науки переходят на новые, более глубокие уровни познания и когда возрастает роль диалектического мышления, потребность в диалектической логике все более усиливается. Она получает новые стимулы для своего дальнейшего развития.

Подлинную революцию в логических исследованиях вызвало создание во второй половине 19 века математической логики, которая получила еще название символической и обозначила новый, современный этап в развитии логики.

Зачатки этой логики прослеживаются уже у Аристотеля, а так же у его последователей, стоиков в виде элементов логики предикатов и теории модальных выводов, а также логики высказываний. Однако систематическая разработка ее проблем относится к гораздо более позднему времени.

Как указывает Ивин А.А., растущие успехи в развитии математики и проникновение математических методов в другие науки уже во второй половине 17 века настоятельно выдвигали две фундаментальные проблемы. С одной стороны, это применение логики для разработки теоретических оснований математики, а с другой - математизация самой логики как науки. Наиболее глубокую и плодотворную попытку решить вставшие проблемы предпринял крупнейший немецкий философ и математик Г.Лейбниц (1646-1416). Тем самым он стал, по существу, зачинателем математической логики. Лейбниц мечтал о том времени, когда ученые будут заниматься не эмпирическими исследованиями, а исчислениями с карандашом в руках. Он стремился изобрести для этого универсальный символический язык, посредством которого можно было бы рационализировать любую эмпирическую науку. Новое знание, по его мнению, будет результатом логической калькуляции - исчисления.

По мнению Курбатова В.И., идеи Лейбница получили некоторое развитие в 18 веке и первой половине 19 века. Однако наиболее благоприятные условия для мощного развития символической логики сложились лишь со второй половины 19 века. К этому времени математизация наук достигла особенно значительного прогресса, а в самой математике возникли новые фундаментальные проблемы ее обоснования. Английский ученый, математик и логик Жд. Буль (1815-1864) в своих работах, прежде всего, применял математику к логике. Он дал математический анализ теории умозаключений, выработал логическое исчисление («Булева алгебра»). Немецкий логик и математик Г.Фреге (1848-1925) применил логику для исследования математики. Посредством расширенного исчисления предикатов он построил формализованную систему арифметики.

Так открылся новый, современный этап в развитии логических исследований. Пожалуй, наиболее важная отличительная особенность этого этапа состоит в разработке и использовании новых методов решения традиционных логических проблем. Это разработка и применение искусственного, так называемого формализованного языка - языка символов, т.е. буквенных и других знаков (отсюда и наиболее общее наименование современной логики - «символическая»).

Как указывает Ивин А.А. , различают два вида логических исчислений: исчисление высказываний и исчисление предикатов. При первом допускается отвлечение от внутренней, понятийной структуры суждений, а при втором эта структура учитывается и соответственно символический язык обогащается, дополняется новыми знаками.

Значение символических языков в логике трудно переоценить. Г.Фреге сравнивал его со значением телескопа и микроскопа. А немецкий философ Г.Клаус (1912-1974) считал, что создание формализованного языка имело для техники логического вывода такое же значение, какое в сфере производства имел переход от ручного труда к машинному. Возникая на основе традиционной формальной логики, символическая логика, с одной стороны, уточняет, углубляет и обобщает прежние представления о логических законах и формах, особенно в теории выводов, а с другой - все более значительно расширяет и обогащает логическую проблематику. Современная логика - сложнейшая и высокоразвитая система знаний. Она включает в себя множество направлений, отдельных, относительно самостоятельных «логик», все более полно выражающих запросы практики и в конечном счете отражающих многообразие сложность окружающего мира, единство и многообразие самого мышления об этом мире.

Символическая логика находит все более широкое применение в других науках - не только в математике, но и в физике, биологии, кибернетике, экономике, лингвистике. Она приводит к возникновению новых отраслей знаний (математика). Особенно впечатляюща и наглядна роль логики в сфере производства. Открывая возможность как бы автоматизировать процесс рассуждений, она позволяет передать некоторые функции мышления техническим устройствам. Ее результаты находят все более широкое применение в технике: при создании релейно-контактных схем, вычислительных машин, информационно-логических систем и т.д. По образному выражению одного из ученых, современная логика - это не только «инструмент» точной мысли, но и «мысль» точного инструмента, электронного автомата. Достижения современной логики используется и в правовой сфере. Так, в криминалистике на разных этапах исследования производится логико-математическая обработка собранной информации.

Растущие потребности научно-технического прогресса обуславливают дальнейшее интенсивное развитие современной логики.

Остается сказать, что в разработку систем символической логики внесли важный вклад русские ученые. Среди них особенно выделяется П.Порецкий (1846-1907). Он первым в России начал чтение лекций по математической логике. Математическая логика продолжается развиваться и сейчас.

По мнению Курбатова В.И., изучение математической логики дисциплинирует ум. Вспоминая известное изречение М.В.Ломоносова о математике, можно сказать, что математическая логика более чем какая-либо другая математическая наука «ум в порядок приводит».

Язык любой алгебры состоит из множества знаков, называемого алфавитом этого языка.

Знаки алфавита по аналогии со знаками алфавита естественного языка называют буквами.

Естественно возникает вопрос: какие буквы должны содержаться в алфавите языка числовой алгебры?

Прежде всего, очевидно, мы должны иметь буквы для обозначения элементов множества -- носителя алгебры, в данном случае для обозначения чисел, и переменные для элементов этого множества.

Применяя для обозначения чисел десятичную систему счисления, мы должны включить в алфавит числовой алгебры десять букв, называемых цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по определенным правилам конструируются названия любых чисел.

В качестве числовых переменных (переменных для чисел любого из множеств N, N0, Z, Q или R) применяются буквы латинского алфавита а, Ъ, с, х, у, z или одна какая-нибудь из этих букв с индексом, например Х1, X2, Xn.

Иногда буквы латинского алфавита применяются и в качестве числовых постоянных, т. е. в качестве названий чисел (когда речь идет об определенном, но не важно, каком именно, конкретном числе). В таком случае начальные буквы латинского алфавита а, b, с обычно применяются в качестве постоянных, а последние буквы х, у, z -- в качестве переменных.

Нам нужны также буквы для обозначения операций. Для сложения и умножения применяются известные знаки (буквы) + и * соответственно.

Кроме того, роль знаков препинания в языке алгебры играют скобки (левая и правая).

Таким образом, алфавит языка, на котором описывается какая-нибудь числовая алгебра, должен включать множество, состоящее из четырех классов букв: I -- цифры, из которых конструируются названия чисел; II -- буквы латинского алфавита -- числовые переменные или постоянные; III -- знаки операций; IV -- скобки.

Знаки вычитания (--) и деления (:) могут быть введены определениями соответствующих операций.

Постепенно алфавит числовой алгебры дополняется и другими «буквами», в частности, вводятся знаки бинарных отношений «равно», «меньше», «больше».

Все перечисленные знаки входят в алфавит математического языка, языка искусственного, возникшего в связи с необходимостью в точных, сжатых и однозначно понимаемых формулировках математических законов, правил, доказательств.

Исторически символика математики создавалась веками при участии многих выдающихся ученых. Так, считают, что обозначение неизвестных величин буквами использовал еще Диофант (III в.), широкое применение прописных букв латинского алфавита в алгебре началось с Виета (XVI в.). строчные буквы этого алфавита ввел для обозначения Р.Декарт (XVII в.). знак равенства (=) впервые появился в работах английского ученого Р.Рекорда (XVI в.), но стал он общеупотребительным только в XVIII веке. Знаки неравенства (< , >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки «=», «>», «<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Высказывание в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например. В начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) Число 12 - четное;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Мы видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. О предложениях 1,4,5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а о предложении 2 - ложную. Относительно предложения х +5 = 8 вообще нельзя сказать истинное оно или ложное.

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если … , то …», «либо … , либо …», «в том и только в том случае, если», а так же частицу «не». Пусть, например, А означает высказывание «Сейчас солнечно», а В - высказывание «Сейчас ветрено». Тогда высказывание «А и В» означает: «Сейчас солнечно и ветрено», высказывание «Если не А, то и не В» - «Если сейчас не солнечно, то и не ветрено».

Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания А и В - элементарными высказываниями. Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны и одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А=В.

Уже с первого урока математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными. Они знакомятся с такими высказываниями: 2 > 1, 1 < 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Если А - некоторое высказывание, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказывание, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом В.

Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. Этот вывод можно записать при помощи таблицы, в которой «И» означает истинное высказывание, а «Л» - ложное. Таблицы подобного вида называют таблицами истинности (см. прил.2 рис.1) .

Пусть А и В - два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказывание, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обозначается А? В. Запись А? В читают: «А и В».

По определению, конъюнкция двух высказываний истина в том и только в том случае, когда истины оба высказывания. Если же хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция ложна (см. прил.2 рис.2) .

Рассмотрим высказывание «7 - 4 = 3 и 4 - четное число». Оно является конъюнкцией двух высказываний: «7 - 4 = 3» и «4 - четное число». Так как оба высказывания истинны, то и их конъюнкция является истинной.

Если в конъюнкции А? В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В? А. Из таблицы истинности видно, что формулы А? В и В? А при различных значениях высказываний А и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Следовательно, они равносильны, и для любых высказываний А и В имеем: А? В = В? А

Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами члены конъюнкции.

Составив таблицы истинности для (А? В) ? С и А? (В? С), получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В, С значения истинности высказываний (А? В) ? С и А? (В? С) совпадают.

Таким образом, (А? В) ? С = А? (В? С).

Это равенство выражает свойство ассоциативности конъюнкции. Такая конъюнкция истина тогда и только тогда, когда все входящие в нее высказывания истины.

Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, называемое дизъюнкцией данных высказываний . Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают А?В и читают «А или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция истинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид (см. прил.2 рис.3) .

Для дизъюнкции, так же как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей. Для любых А,В, и С имеем:

А? В = В? А (коммутативность дизъюнкции);

(А? В) ? С = А? (В? С) (ассоциативность дизъюнкции).

Свойство ассоциативности дизъюнкции позволяет опускать скобки и писать А? В? С вместо (А? В) ? С.

При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что

(А? В) ? С = (А? С) ? (В? С)

(А? В) ? С = (А? С) ? (В?С)

Первое равенство выражает дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе - дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими отношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности:

Эти отношения называют формулами де Моргана.

Рассмотрим составное высказывание, которое образовано из двух элементарных при помощи слов «если … , то …».

Пусть, например, даны высказывания А: «Вчера было воскресенье» и В: «Я не был на работе». Тогда составное высказывание «Если вчера было воскресенье, то я не был на работе» имеет формулу «Если А, то В».

Высказывание «Если А, то В» называют импликацией высказываний А, В и при помощи символов записывают так: А => B. Высказывание А, входящее в импликацию А=>В, называют условием импликации, а высказывание В - ее заключением.

Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то В» имеет вид (см. прил.2 рис.4) .

Из двух высказываний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А В. Считают, что высказывание А В истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба высказывания А и В ложны. В остальных случаях (т.е. если одно высказывание истинно, а другое высказывание ложно) эквиваленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид (см. прил.2 рис.5) .

1.3 Логические рассуждения

Любое рассуждение состоит из цепочки высказываний, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Умение рассуждать, правильно обосновывать свои выводы необходимо людям любой профессии. Рассуждать человек учится с того момента, когда начинает говорить, но целенаправленное обучение логике рассуждений начинается в школе. Уже начальный курс математики предполагает развитие у учащихся навыков проведения сравнения, классификации объектов, анализа фактов, доказательства простейших утверждений. Логичность рассуждений требуется не только для решения математических задач, но и для грамматического анализа, усвоения начал природоведения и т.д. Поэтому учитель начальных классов должен быть знаком с логикой, т.е. с наукой о законах и формах мышления, об общих схемах рассуждений.

Основные типы суждений и умозаключений рассматриваются в классической логике, созданной древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н.э.) .

В логике рассуждения делятся на:

1. правильные;

2. неправильные.

Правильное рассуждение - это рассуждение, в котором соблюдаются все правила и законы логики. Неправильное соображения - это рассуждение, в котором допускаются логических ошибок вследствие нарушения правил или законов логики.

Логические ошибки бывают двух видов:

1. паралогизмы;

2. софизмы.

Паралогизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения неумышленно (по незнанию).

Софизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения намеренно с целью введения в заблуждение оппонента, обоснование ложного утверждения, какой вздор т.д.

Софизмы известны еще с давних времен. Такими соображениями широко пользовались в своей практике софисты. Именно от них и происходит название «софизм» До нашего времени дошли многочисленные примеры рассуждений, которые применяли софисты в различных спорах. Приведем некоторые из них.

Самый известный античный софизм - это рассуждение, получившее название «Рогатый».

Представьте себе ситуацию: один человек хочет убедить другую в том, что та имеет рога. Для этого приводится такое обоснование: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Итак, у тебя есть рога ».

Это размышления на первый взгляд кажется правильным. Но в нем допущено логическую ошибку, которую человек, не разбирается в логике, вряд ли сможет сразу найти.

Приведем еще один пример. В Протагора (основателя школы софистов) был ученик Еватл. Учитель и ученик заключили соглашение, согласно которому Еватл заплатить за обучение лишь после того, как выиграет свой первый судебный процесс. Но, окончив учебу, Еватл не спешил выступать в суде. Терпение у учителя лопнуло, и он подал на своего ученика в суд «Еватл в любом случае должен будет мне заплатить, - размышлял Протагор. - Он либо выиграет этот процесс, или проигрывает его. Если выиграет - заплатить по договоренности; если проиграет - заплатит по приговору суда ». «Ничего подобного, - возражал Еватл. - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его.

Если выиграю - решение суда освободит меня от платы, если же проиграю - не буду платить по нашей договоренности *.

В этом примере также допускается логическая ошибка. А какая именно - выясним далее.

Основной задачей логики является анализ правильных соображений. Специалисты из логики стремятся выявить и исследовать схемы таких соображений, определить их различные типы и т.д. Неправильные рассуждения в логике анализируются лишь с точки зрения тех ошибок, которые в них допущено.

Следует отметить, что правильность рассуждения еще не означает истинности его посылок и заключения. Вообще логика не занимается определением истинности или ложности посылок и выводов соображений. Но в логике существует такое правило: если соображения построено правильно (в соответствии с правилами и законами логики) и при этом оно опирается на истинные предпосылки, то вывод такого рассуждения всегда будет безусловно истинным. В других случаях истинность вывода не может быть гарантирована.

Так, если соображения построено неправильно, то, даже, несмотря на то, что его предпосылки - истинные, заключение такого рассуждения может быть в одном случае - истинным, а во втором - ложным.

Рассмотрим для примера такие два соображения, которые построены по одной неправильной схеме:

(1) Логика - наука.

Алхимия - не логика.

Алхимия - не наука.

(2) Логика - наука.

Право - не логика.

Право - не наука.

Очевидно, что в первом рассуждении заключение является истинным, но во втором - он неправильный, хотя предпосылки в обоих случаях - истинные утверждения.

Так же нельзя гарантировать истинности выводу соображения, когда хотя бы один из его посылок будет неверным, даже если это рассуждение - правильное.

Правильное рассуждение - рассуждение, в котором одни мысли (выводы) с необходимостью вытекающих из других мнений (посылок).

Примером правильного рассуждения может быть такое умозаключение: «Каждый гражданин Украины должен признать ее Конституцию. Все народные депутаты Украины - граждане Украины. Итак, каждый из них должен признать Конституцию своего государства», а примером истинной мысли - суждение: «Есть граждане Украины, которые не признают крайней мере некоторых статей Конституции своего государства».

Неправильным надо считать такое рассуждение: «Поскольку экономический кризис в Украине явно дает о себе знать после провозглашения ее самостоятельности, то последнее и является причиной этого кризиса». Логическую ошибку такого типа называют «после этого - вследствие этого». Она заключается в том, что временную последовательность событий в подобных случаях отождествляют с причинно. Примером неистинным мнения может быть любое положение, которое не соответствует действительности, скажем, утверждение, будто украинской нации вообще не существует.

Целью познания является получение истинных знаний. Для того чтобы получить такие знания с помощью рассуждений, нужно, во-первых, иметь истинные предпосылки, а во-вторых, правильно их сочетать, рассуждать по законам логики. При использовании ложных посылок допускают фактических ошибок, а при нарушении законов логики, правил построения соображений делают логические ошибки. Фактических ошибок, конечно, надо избегать, что не всегда удается. Что касается логических, то человек высокой интеллектуальной культуры может избежать этих ошибок, поскольку давно уже сформулированы основные законы логически правильного мышления, правила построения рассуждений и даже осмысленно типичные ошибки в рассуждениях.

Логика учит правильно рассуждать, не допускать логических ошибок, отличать правильные рассуждения от неправильных. Она классифицирует правильные соображения с целью их системного осмысления. В этом контексте может возникнуть вопрос: поскольку соображений множество, то можно, выражаясь словами Козьмы Пруткова, охватить безграничное? Да, можно, поскольку логика учит рассуждать, ориентируясь не на конкретное содержание мыслей, которые входят в состав рассуждения, а на схему, структуру рассуждения, форму сочетания этих мыслей. Скажем, форма рассуждения типа «Каждый х у, а данный г является х; следовательно, данный г у» правильная, и знание ее правильности включает в себя значительно более богатую информацию, чем знание правильности отдельного содержательного рассуждения аналогичной формы. А форма рассуждения по схеме «Каждый х у, а г тоже есть у; следовательно, г является х» относится к неправильным. Как грамматика изучает формы слов и их сочетаний в предложении, абстрагируясь от конкретного содержания языковых выражений, так и логика исследует формы мнений и их сочетаний, отвлекаясь от конкретного содержания этих мыслей.

Чтобы выявить форму мысли или соображения, их необходимо формализовать.

Выводы по 1 главе

Исходя из вышесказанного, можно сделать следующие выводы:

1. Логика возникла как раздел философского знания. Основными причинами возникновения являются развитие наук и ораторского искусства. Так как наука основывается на теоретическом мышлении, предполагающем построение умозаключений и доказательств, то возникает необходимость исследования самого мышления как формы познания.

2. В современной науке значение символической логики очень велико. Она находит приложение в кибернетике, нейрофизиологии, лингвистике. Символическая логика является современным этапом в развитии формальной логики. Она изучает процессы рассуждения и доказательства посредством его отображения в логических системах. Таким образом, по своему предмету эта наука является логикой, а по методу - математикой.

Изучив материалы, мы уточнили свои представления о математических понятиях:

Это понятия об идеальных объектах;

Каждое математическое понятие имеет термин, объем и содержание;

Понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными. К неявным относят контекстуальные и остенсивные определения;

Изучения понятий происходит из класса в класс с расширенным изучением темы.

При изучении материала, мы познакомились с понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия:

Высказывание;

Элементарные высказывания;

Логические связки;

Составные высказывания;

Конъюнкция высказываний;

Дизъюнкция высказываний;

Отрицание высказываний.

Рассмотрели правила:

Определения значения истинности составного высказывания;

Построения отрицания предложений различной структуры.

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математики

Математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы развития логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Баракина В.Т. выделяет следующие требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при изучении элементов логики в начальной школе:

1. Элементы теории множеств:

Познакомиться со множествами различной природы на конкретных примерах и способами их записи (перечислением);

Научиться выделять элементы множества;

Познакомиться с основными типами отношений между множествами и способом их изображения с помощью кругов Эйлера-Венна;

Научиться выполнять некоторые операции над множествами (объединение, пересечение).

2. Элементы теории высказываний:

Познакомиться с высказыванием на уровне представлений;

Научиться отличать высказывания от других предложений;

Познакомиться с основными видами высказываний;

Научится выполнять некоторые операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция).

3. Элементы комбинаторики:

Познакомиться с данным понятием на уровне представлений;

Учиться различать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики;

Научиться решать задачи на определение числа размещений изn элементов по m элементов.

Элементы логики в начальной школе рассматриваются на уроках как математики, так и информатики. При этом уровень требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся, а также содержание обучения по данному разделу несколько отличается в различных программах. Это связанно, прежде всего с тем, что в настоящее время Федеральный Государственный Образовательный Стандарт Начального Общего Образования не предполагает обязательного рассмотрения данной темы в 1-4 классах .

В настоящее время все курсы математики нацелены на развитие учащихся. Так, например, курс Истоминой Н.Б. своей главной целью имеет развитие приемов умственной деятельности учащихся, мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения.

...

Подобные документы

Изучение курса математической логики. Основа логики – осознание структуры математической науки, ее фундаментальных понятий. Исторический очерк. Равносильность предложений. Отрицание высказываний. Логическое следование.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Внеклассная деятельность как одна из форм работы. Педагогические основы изучения математической логики в средней школе в рамках внеучебной деятельности. Анализ существующих методик по формированию у школьников общелогических и логических умений.

курсовая работа , добавлен 19.11.2012


Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Лингвистические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Психолого-педагогические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Методика работы над именем прилагательным по системе развивающего обучения Л.В. Занкова.

дипломная работа , добавлен 03.04.2007


Теоретические основы подготовки детей к обучению математике в школе. Вопросы подготовки детей к школе в психолого-педагогической и методической литературе. Понятие, сущность, значение математической готовности к обучению в школе. Программа исследования.

курсовая работа , добавлен 23.10.2008


Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

курсовая работа , добавлен 29.09.2016


Психолого-педагогические основы развития логического мышления младших школьников. Разработка методики решения проблемы формирования логической грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе, примеры решения нестандартных арифметических задач.

дипломная работа , добавлен 31.03.2012


Теоретико-методические основы тестовых заданий и его видов. Психолого-педагогические основы. Тесты на уроках математики. Анализ опыта учителей по применению тестовых заданий. Краткая характеристика преимуществ использования тестовой формы контроля.

курсовая работа , добавлен 17.04.2017


Психологические особенности младшего школьника. Приемы и методы использования элементов этимологического анализа на уроках в начальной школе. Особенности обучения грамотному письму младших школьников. Анализ УМК "Русский язык" в начальных классах.

дипломная работа , добавлен 24.03.2015


Развитие речи учащихся на уроках математики. Приемы развития математической речи. Связи между речью, мышлением и языком. Развитие логичности, выразительности, доказательности и точности математической речи. Повышение уровня речевой культуры ученика.

Вниманию студентов! Курсовая работа выполняется самостоятельно в строгом соответствии с выбранной темой. Дублирование тем не допускается! О выбранной теме убедительная просьба сообщить преподавателю любым удобным способом либо индивидуально, либо списком с указанием ФИО, номера группы и названия курсовой работы .

Примерные темы курсовых работ по дисциплине
«Математическая логика»

1. Метод резолюций и его применение в алгебре высказываний и алгебре предикатов.

2. Аксиоматические системы.

3. Минимальные и кратчайшие КНФ и ДНФ.

4. Применение методов математической логики в теории формальных языков.

5. Формальные грамматики как логические исчисления.

6. Методы решения текстовых логических задач.

7. Системы логического программирования.

8. Логическая игра.

9. Неразрешимость логики первого порядка.

10. Нестандартные модели арифметики.

11. Метод диагонализации в математической логике.

12. Машины Тьюринга и тезис Чёрча.

13. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.

14. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.

15. Разрешимость арифметики сложения.

16. Логика второго порядка и определимость в арифметике.

17. Метод ультрапроизведений в теории моделей.

18. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.

19. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.

20. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.

21. Простейшие преобразователи информации.

22. Переключательные схемы.

24. Контактные структуры.

25. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.

26. Применение булевых функций в теории распознавания образов.

27. Математическая логика и системы искусственного интеллекта.

Курсовая работа должна состоять из 2 частей: теоретического содержания темы и набора задач по теме (не менее 10) с решениями. Также допускается написание курсовой работы научно-исследовательского типа с заменой второй части (решения задач) на самостоятельную разработку (например, рабочий алгоритм, программу, образец и т. п.), созданную на основе теоретического материала, рассмотренного в первой части работы.

1) Барвайс Дж. (ред.) Справочная книга по математической логике. - М.: Наука, 1982.

2) Братчиков языков программирования. - М.: Наука, 1975.

3) Булос Дж., ычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.

4) Гиндикин логики в задачах. - М., 1972.

5) , Палютин логика. - М.: Наука, 1979.

6) Ершов разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука, 1980.

7) , Тайцлин теории // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.

8) Игошин -практикум по математической логике. - М.: Просвещение, 1986.

9) Игошин логика и теория алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

10) Ин Ц., спользование Турбо-Пролога. - М.: Мир, 1993.

11) ведение в метаматематику. - М., 1957.

12) атематическая логика. - М.: Мир, 1973.

13) огика в решении проблем. - М.: Наука, 1990.

14) Колмогоров логика: учебное пособие для вузов мат. специальностей / , - М.: Изд-во УРСС, 2004. - 238 с.

15) стория с узелками/ Пер. с англ. - М., 1973.

16) огическая игра/ Пер. с англ. - М., 1991.

17) , Максимова по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 4-е изд. - М., 2001.

18) , Сукачева логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения: Учебное пособие. 3-е изд., испр. - СПб.

19) Издательство «Лань», 2008. - 288 с.

20) Лыскова в информатике/ , . - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 160 с.

21) Математическая логика / Под общей редакцией и др. - Минск: Высшая школа, 1991.

22) ведение в математическую логику. - М.: Наука, 1984.

23) Мощенский по математической логике. - Минск, 1973.

24) Никольская с математической логикой. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 128 с.

25) Никольская логика. - М., 1981.

26) Новиков математической логики. - М.: Наука, 1973.

27) Рабин теории. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч.3. Теория рекурсии. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.

28) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 1. - М.: Мир, 1990.

29) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 2. - М.: Мир, 1998.

30) Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983.

31) ведение в математическую логику. - М.: Мир, 1960.

32) Шабунин логика. Логика высказываний и логика предикатов: учебное пособие / , отв. ред. ; Чуваш гос. ун-т им. . - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. - 56 с.