Parabola se vrti oko osi apscisa. Kako izračunati volumen karoserije rotacije? Plaza ravna figura

Glasnoća tijela rotacije može se izračunati formulom:

U formuli se integralno nužno prisutno. Bilo je to tako neophodno - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantama.

Kako dogovoriti granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crtež izrađene.

Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na grafikon parabole odozgo. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura ponekad može biti locirana ispod osi. Ne mijenja ništa - funkcija u formuli postavlja se na kvadrat: samim tim količina rotacijskog tijela uvijek nije negativnaTo je vrlo logično.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već napomenuo, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovor:

Kao odgovor, morate definirati dimenziju - kubične jedinice. To je, u našem tijelu vrtnje oko 3,35 "kockica". Zašto je kubičan jedinice? Jer najviše univerzalnije formulacija. Kubični centimetri mogu biti kubični brojila, mogu biti kubičnih kilometara itd., Ovo je koliko zelenih muškaraca vaša mašta biće postavljena u leteću ploču.

Primer 2.

Pronađite volumen tijela formiran rotacijom oko liniji osobnih liniji oblika ,,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite dva složenija zadatka koja su također uobičajena u praksi.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog prilikom rotiranja oko osi apscisa na liniju ograničenih slika i

Odluka:Prikazivanje ravne figure, ograničene linijema, ,,, ne zaboravljajući da jednadžba postavlja osovinu:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se okreće oko osi, dobija se takva nadrealna bagela sa četiri ugla.

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini.

Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Sa svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz.

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju svoj obim putem.

I očigledno je razlika u količini upravo količina naše "bagel".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovor:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Sada malo odmori i pričaj o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane sa volumenom, koji su primijetili Perelman (ne) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u isprobanom zadatku - čini se da je u tom području mali u području, a obim tijela rotacije je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini previše. Usput, prosječna osoba u cijelom svom životu pije tekućinu sa sobom sa površinom od 18 četvornih metara, koji, naprotiv, čini se premali.

Općenito, obrazovni sistem u SSSR-u bio je zaista najbolji. Ista knjiga Perelmana, napisana 1950. godine, razvija se vrlo dobro, kao što je Humorist rekao, pretvorio i podučava da traže originalna nestandardna rješenja za probleme. Nedavno, neka poglavlja čitaju s velikom interesom, preporučuju se, pristupačno čak i za humanitarne. Ne, ne trebate se nasmiješiti da sam ponudio provod na utjecaj, erudiciju i širok spektar komunikacije - sjajnu stvar.

Nakon liričkog povlačenja relevantno je za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte jačinu tijela formiranog rotacijom u odnosu na osovinu ravne figure, ograničene linijama, gdje.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Imajte na umu da se sva pitanja pojavljuju u traci, drugim riječima, date su gotovo gotove granice integracije. Također pokušajte pravilno crpiti grafikone trigonometrijskih funkcija, ako je argument podijeljen na dva: tada se grafovi dvaput ispružeju duž osi. Pokušajte pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama I preciznije izvesti crtež. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i nije baš racionalan.

Izračunavanje volumena tijela formiranog rotacijom
Ravni oblik oko osi

Drugi odlomak će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja količine tijela vrtnje oko osi ordinacije također je prilično čest gost u testovima. Uz to će se razmatrati zadatak pronalaženja područja figure Na drugom putu - integrirajući se na osovinu, ovo će vam omogućiti da ne samo poboljšavate svoje vještine, već i podučavajte najpovoljniji način za rješavanje. U njemu postoji praktičan život! Kao osmijeh, moj učitelj se sjećao na metodi podučavanja matematike, mnogi diplomirani su se zahvalili njenim riječima: "Mi smo zaista pomogli vašem temu, sada smo efikasni menadžeri i optimalno vodio osoblje." Uzimanje ove prilika, izražavam i svoju veliku zahvalnost, posebno jer koristim znanje stečeno u direktnoj svrsi \u003d).

Primjer 5.

Dana ravna figura ograničena linijama ,,

1) Pronađite područje ravne slike ograničene ovim linijama.
2) Pronađite volumen tijela dobivenog rotacijom ravne slike ograničene ovim linijama oko osi.

Pažnja! Čak i ako se želite upoznati sa drugom stavkom, prvo prije Pročitajte prvo!

Odluka: Zadatak se sastoji od dva dijela. Krenimo sa trgom.

1) Izvođenje crteža:

Lako je vidjeti da funkcija postavlja gornju granu parabole, a funkcija je donja grana parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na strani".

Željena figura, čiji se područje nalazi, zasjenjeno plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se naći "običan" način, koji se razmatrao na lekciji Određeni integralni. Kako izračunati područje figure. Štaviše, područje figure je poput količine područja:
- na segmentu;
- Na segmentu.

Stoga:

Šta je u ovom slučaju uobičajeni način rješavanja? Prvo, ispostavilo je dva integrala. Drugo, pod integrali korijena, a korijenje u integralima nisu dar, osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubistva, ali u praksi je sve što je sve tužno, upravo sam pokupio za zadatak "bolje" funkcije.

Postoji racionalniji put rješenja: Sastoji se u prijelazu na obrnute funkcije i integraciju duž osi.

Kako ići na obrnute funkcije? Grubo gledano, morate izraziti "X" kroz "IREK". Prvo ćemo se pozabaviti parabolom:

To je dovoljno, ali provjerite da li se ista funkcija može ukloniti iz donje grane:

S ravnim, sve je lakše:

Sada gledamo na osovinu: molim vas, povremeno nagnite glavu udesno od 90 stepeni tokom objašnjenja (ovo nije šala!). Slika koja nam trebaju nalazi se na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. Istovremeno, ravna linija nalazi se iznad parabole, a samim tim i područje slike treba naći na formuli koja vam je već poznata:. Šta se promijenilo u formuli? Samo slovo i ništa više.

! Napomena: Trebalo bi dogovoriti granice integracije osi. strogo odozdo gore!

Pronađi područje:

Na segmentu, pa:

Imajte na umu kako sam implementiran integracija najracionalniji način, a u sljedećoj tački zadatka bit će jasno - zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobit će se početni integrant, to znači da se integracija pravilno postavlja.

Odgovor:

2) Izračunajte jačinu tijela formirane rotacijom ove slike oko osi.

Crtanje crteža malo u drugom dizajnu:

Dakle, figura, zasjenjena u plavom, rotira se oko osi. Kao rezultat toga, ispada "obješeni leptir" koji se vrti oko svoje osi.

Da bismo pronašli količinu karoserije rotacije, integrirat ćemo se uz osovinu. Prvo morate ići na obrnute funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom stavku.

Sada opet krećemo s desne strane i proučavamo našu figuru. Očito, količina tijela rotacije treba pronaći kao razlika u količini.

Zakrenite figuru, zaokružuju se crvenom bojom, oko osi, što rezultira skraćenim konusom. Označite ovaj obim.

Zakrenite figuru, zaokružuju zelenom, oko osi i označite jačinu karoserije rotacije.

Količina našeg leptira jednaka je razlici u količini.

Koristimo formulu za pronalaženje količine karoserije rotacije:

Koja je razlika iz formule prethodnog stava? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, koju sam nedavno govorila mnogo je lakše pronaći nego pre-izgraditi funkciju ponovnog ugradnje u četvrtoj mjeri.

Odgovor:

Međutim, stabilan leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura zakreta oko osi, tada će ispasti potpuno različito tijelo rotacije, drugih, prirodno, jačinu zvuka.

Primjer 6.

DANA ravna figura ograničene linije i osi.

1) Idite na obrnute funkcije i pronađite površinu ravne slike ograničene ovim linijama, integrirajući se putem varijable.
2) Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotiranjem ravne slike ograničene ovim linijama oko osi.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Oni koji žele također mogu pronaći cifru slike "običnog" načina, na taj način obavljajući ček od stava 1). Ali ako, ponavljam, rotit ćete ravnu figuru oko osi, a zatim ćete dobiti potpuno drugačije tijelo rotacije s drugom jačinom, usput, tačan odgovor (također za ljubavnike za miješanje).

Potpuno rješenje dva predložena stavka zadataka na kraju lekcije.

Da, i ne zaboravite nagnite glavu udesno da biste shvatili tijela rotacije i unutar integracije!

Hteo sam, već je bilo završiti članak, ali danas su donijeli zanimljiv primjer samo kako bi pronašli obim tijela vrtnje oko ordinate osovine. Ispiranje:

Primjer 7.

Izračunajte volumen tijela formiran rotacijom oko osi figure, ograničene krivuljama i. Lijeva neiskorištena grana parabole odgovara obrnutoj funkciji - na segmentu iznad osi nalazi se raspored funkcionalnog rada;

Logično je pretpostaviti da treba pretražiti količinu karoserije rotacije kao količina glasnoće tijela rotacija!

Koristimo formulu:

U ovom slučaju:

Odgovor:

U zadatak pronalaženja područja figure Summiranje Trga često se koristi, a sazivost volumena tijela rotacije očito je rijedak, nekad takva vrsta lagano nije ispala iz mog polja. Ipak, dobro je da se primjer u pravovremenom vremenu razmotrio - uspio je izvući puno korisnog.

Uspješna promocija oblika!

Cilindar je jednostavno geometrijsko tijelo dobiveno okretanjem pravokutnika oko jedne strane. Druga definicija: cilindar je geometrijsko tijelo koje se ograničava cilindričnom površinom i dva paralelna aviona koja ga presijecaju.

zapremina cilindra formule

Ako želite znati kako izračunati jačinu cilindra, tada sve što trebate učiniti je pronaći visinu (H) i radijus (R) i zamijeniti ih u formuli:

Ako pažljivo pogledate ovu formulu, možemo vidjeti da je (\\ pi r ^ 2) formula kružnog područja, a u našem slučaju - osnovno područje.

Stoga, zapremina formule cilindra može se napisati kroz osnovni prostor i visinu:

Naš kalkulator Online pomoći će vam da izračunate jačinu cilindra. Samo unesite navedene parametre cilindra i dobijte ga za jačinu zvuka.

vaš znak

[Procjene: 168 prosjek: 3.4]

Zapremina cilindra formule (kroz radijus baze i visine)

(V \u003d \\ pi r ^ 2 h), gdje

r je polumjer baze cilindra,

h - visina cilindra

Zapremina cilindra formule (kroz osnovni prostor i visinu)

S - osnovno područje cilindra,

h - visina cilindra

Kalkulator zapremine cilindra na mreži

Kako pronaći opseg rotacije pomoću integralnog

Sa specifičnim integralnim, možete izračunati ne samo trg ravnih figura, ali i količine tijela formiranih rotacijom tih podataka oko osi koordinata.

Tijelo koje se formira rotacijom oko osi vola zakrivljenog trapeza, ograničeno odozgo, funkcija funkcije y \u003d f (x) ima jačinu zvuka

Slično kao i količinu V tijela dobivenog rotacijom oko osi ordinacije (OY) krivolinearne trapezije izražava se formulom

Prilikom izračunavanja ravne figure saznali smo da se područje nekih podataka može naći kao razlika između dva integrala u kojima su integralne funkcije one funkcije koje ograničavaju lik odozgo i dolje. Izgleda da sa nekim od tijela rotacije, od kojih se količina izračunavaju kao razlika između volumena dva tijela, takvi se slučajevi rastavljaju u primjerima 3, 4 i 5.

Primjer 1.

Pronađite jačinu tijela formirane rotacijom oko osi apscisa (vola) slike ograničene hiperbolom, osi apsissa i ravno.

Odluka. Naći ćemo volumen tijela po formuli (1) u kojoj i granicama integracije A \u003d 1, b \u003d 4:

Primer 2.

Pronađite jačinu zvuka polumjera R.

Odluka. Razmotrite loptu kao tijelo koje se okreće oko osi polumjera radijusa radijusa r sa sredinom na početku koordinata. Zatim u formuli (1), Integrand funkcija se bilježi u obliku, a ograničenja integracije su -r i R. Shodno tome,

Nema vremena za razvlačenje u rešenje?

Možete naručiti posao!

Primjer 3.Pronađite obim tijela formiran rotacijom oko oblika osi apscisa (OX) sklopljenih između parabolamija i.

Zamislite željenu količinu kao razliku u količini tijela dobivenih rotacijom oko ABCDE i ABFDE i ABFDE apscipne apscistanske osi. Količine ovih tijela naći će se po formuli (1) u kojoj su granice integracije jednaka apscisu tačaka B i D raskrižja parabole. Sada možemo pronaći jačinu tijela:

Primjer 4.

Izračunajte jačinu torusa (Torus se naziva telo, što rezultira rotacijom polumjera krug a oko osi koja leži u ravnini na udaljenosti B iz središta kruga ().

Oblik Torusa ima, na primjer, RAM-a).

Odluka. Neka se krug rotira oko osi Ox (Sl.

Formule područja i količine geometrijskih oblika

dvadeset). Glasnoća Torusa može se zastupati kao razlika između količine tijela izvedenih iz rotacije ABCDE i Ablde Curvilinear Trapezoida oko osi Ox.

Jednadžba LBCD kruga ima pogled

i BCD krivulja jednadžba

i BLD krivulja jednadžba

Upotreba razlike u količini tijela, dobivamo za količinu izraza Torah V

Primjer 5.

Pronađite jačinu tijela formiranog rotacijom oko ordinate osovine (OY) ograničenih linija figure i.

Zamislite željenu količinu kao razliku između količine tijela dobivenih rotacijom oko osi ordinate OBA trokuta i na onba curvilinear trapeziju.

Količine ovih tijela naći će se po formuli (2). Ograničenja integracije su pravila točaka o i b prelaska parabole i direktna.

Dakle, dobivamo jačinu tijela:

Vrh stranice

Uzmite test na temu integral

Pokrenite temu "Integral"

Nedefinirani integral: osnovni pojmovi, nekretnine, tabela nesigurnih integrala

Pronađite neodređeni integral: Počinje počevši, primjeri rješenja

Metoda za zamjenu varijable u neodređenom integralu

Integracija uštede diferencijala

Metoda integracije u dijelovima

Integracija frakcija

Integriranje racionalnih funkcija i metoda neodređenih koeficijenata

Integriranje nekih neracionalnih funkcija

Integriranje trigonometrijskih funkcija

Određeni integralni

Plaza ravna figura sa integralnom

Nevažeći integrali

Izračun dvostrukih integrala

Dužina lučne krivulje pomoću integralnog

Istraživanje površine rotacije pomoću integralnog

Određivanje snage pomoću integralnog

Najbolji krevet u matematici. Kvalitativni. Ništa dodatno.

Zapremina geometrijskog oblika - Kvantitativna karakteristika prostora zauzet prema tijelu ili supstanci. Glasnoća tijela ili kapaciteta plovila određuje se njenim oblikom i linearnim dimenzijama.

KUBA VOLUME

KUBA VOLUME jednaka duljini Kube njezinog lica.

Formula Cube

gde - jačinu kocke,
- Dužina kocke.

Regija prizma

Regija prizma To je jednak proizvodu dna prizma na visinu.

Volumena formula Prizma

gde je stepen prizme

- osnova prizme,

- Visina prizme.

Jačinu paralleppedesa

Jačinu paralleppedesa To je jednak proizvodu baze baza u odnosu na visinu.

Jačinu paramelepiped formule

gde - jačinu paralelepipeda,

- Osnovno područje,

- Visina visine.

Količina pravougaone paralelepipeda To je isto kao i proizvod njegove dužine, širina i visina.

Formula za volumen pravokutnog paralelepipeda

gdje je volumen pravokutne paralelepipeda,
- dužina,

- Širina

- Visina.

Zapremina piramide

Zapremina piramide Ovo je trećina proizvoda u osnovnoj regiji u visini.

Formula za jačinu piramide

gde - jačinu piramide,

- osnova baze piramide,

- Dužina piramide.

Zapremina ispravnog tetraedrona

Formula za količinu ispravnog tetraedrona

Neka linijski rektoriji. Ravna figura postavljena je u polarnom koordinatnom sustavu.

Primer: Izračunajte dužinu obima: x 2 + y 2 \u003d r 2

Izračunajte dužinu četvrtog dijela kruga koji se nalazi u I kvadrantu (X≥0, y≥0):

Ako je jednadžba krivulje postavljena u obliku parametara - OH:
Funkcije X (t), y (t) su određene i kontinuirane zajedno sa svojim derivatima na segmentu [α, β]. Derivat, a zatim napravite zamjenu u formuli:
I s obzirom na to

primiti
Predajemo multiplikator
pod znakom korijena i napokon

Napomena: Data je ravna krivulja, možete razmotriti i funkciju naveden parametar-ki u prostoru, tada će se dodavati funkcija z \u003d z (t) i formula i formula

Primjer: Izračunajte dužinu astride, koja postavlja jednadžba: x \u003d a * cos 3 (t), y \u003d a * sin 3 (t), a\u003e 0

Izračunajte dužinu četvrtog dijela:

prema formuli

Dužina luka je ravna krivulja navedena u Polarnom koordinatnom sustavu:

Pretpostavimo u Polarnom koordinatnom sustavu, jednadžba krivulje je postavljena:
- Kontinuirana funkcija, zajedno sa svojim derivatom na segmentu [α, β].

Formule za prijelaz iz polarnih koordinata:

razmislite kao parametrični:

φ - parametar, prema F-LE

PR: Izračunajte duljinu krivulje:
>0

Visok: Izračunajte polovinu dužine kruga:

Zapremina tijela izračunato po presječenom dijelu tijela.

Neka se tijelo ograničeno zatvorenom površinom i pusti područje bilo kojeg dijela ovog tijela okomito na osovinu oh. Ovo područje ovisit će o položaju osiguranja.

neka se cijelo tijelo zaključi između 2 okomito na osovinu aviona koji su ga prekrižili na tačkima x \u003d a, x \u003d b (a

Da bismo odredili količinu takvog tijela, prekršimo ga na slojeve uz pomoć sekvencijalnih aviona okomito na osovinu o oh i prelazeći ga na bodovima. U svakom djelomičnom intervalu
. Izabrati

i za svaku vrijednost I \u003d 1, ..., n izgrađujemo cilindrično tijelo koje formira paralelno u OH, a vodič predstavlja krug presjeka tijela s ravninom x \u003d c i, zapremina takvog elementarnog cilindra sa an Područje baze S \u003d CI i visina Δh i. V I \u003d s (c i) Δx i. Zapremina svih takvih elementarnih cilindara bit će
. Ograničenje ovog iznosa, ako postoji i konačan je u max δh  0, naziva se jačinom ovog tijela.

. Budući da je V N Integralna svota za kontinuirani na segmentu funkcije S (x), postoji navedena ograničenja (T-MA postojanje) i Odama je izražena. Integral.

- Volumen karoserije izračunato presjek prostorom.

Opseg rotacije:

Neka se tijelo formira rotacijom oko osi kovrčanog trapeza, ograničenom grafikonom funkcije y \u003d f (x), osovina oh i ravna x \u003d a, x \u003d b.

Pretpostavimo da je funkcija y \u003d f (x) definirana i kontinuirana na segmentu i nenegativnom na njemu, tada je presjek ovog tijela ravni, okomit Oh postoji krug, radijus r \u003d y (x) \u003d f \u003d y (x) \u003d f \u003d y (x) \u003d f (x) \u003d f (x) \u003d ). Područje kruga s (x) \u003d PY 2 (x) \u003d n 2. Izlaganjem formulu
Dobijamo formulu za izračunavanje količine tijela rotacije oko osi OH:

Ako se zakretački trapezij zakreće oko osi OU, ograničen kontinuiranim rasporedom na funkciji, a zatim zapreminu takvog tijela rotacije:

Isti svezak može se izračunati formulom:
. Ako je linija postavljena parametrijskim jednadžbima:

Zamjenom varijable, dobivamo:

Ako je linija postavljena parametrijskim jednadžbima:

y (α) \u003d c, y (β) \u003d d. Izrada zamjene y \u003d y (t) Dobili smo:

Izračunajte tijela rotacije oko osi OU parabole, .

2) Izračunajte V tijela rotacije oko osi Curvilinear Trapeziona, ograničen direktan y \u003d 0, luk (sa centrom u točki (1; 0) i radijusu \u003d 1), sa.

Površina površine tijela rotacije

Neka se površina formira rotacijom krivulje y \u003d f (x) oko osi oh. Potrebno je odrediti s ove površine na.

Neka funkcija Y \u003d F (x) definira i kontinuira, ima ne-nom. I ne-negativni u svim točkama segmenta [a; v]

Vodit ćemo akorde dužine od kojih označavamo, respektivno (n-akord)

autor Lagrange Theorem:

Površina cjelokupnog opisanog slomljenja bit će jednaka

Definicija: Ograničenje ovog iznosa, ako je konačan, kada se najveća rublja max naziva područje na površini rotacije koja se razmatra.

Možete se pokazati, stotinu granica iznosa jednaka je napadu integriranog iznosa za P-Xi

Formula za površinu tijela rotacije \u003d

S površine formirane rotacijom lučne krivulje x \u003d g (x) oko osi OSA-e kada

Kontinuirano sa svojim derivatom

Ako je krivulja postavljena na parametrično urx.\u003d x (t),y.= t.(t.) F-i.x.’(t.), y.’(t.), x.(t.), y.(t.) Definirano na segmentu [sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:; b.], x.(sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:)= sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, x.(b.)= b. Zatim se promene promenex.= x.(t.)

Ako je krivulja postavljena da paramilno postavlja zamjenu u formuli, dobivamo:

Ako je jednadžba krivulje navedena u polarnom koordinatnom sustavu

S. Površina rotacije oko osi bit će jednaka

Upotreba integrala za pronalaženje količine tijela rotacije

Praktična korisnost matematike nastaje zbog činjenice da bez

specifično matematičko znanje ometa se razumijevanjem principa uređaja i korištenju moderne tehnologije. Svaka osoba u njegovom životu mora izvršiti prilično složene izračune, kako bi se koristila zajednička tehnika, kako bi se pronašla u referentnim knjigama za primjenu potrebnih formula, kako bi se omogućile jednostavne algoritme za rješavanje problema. U modernom društvu sve više i više specijaliteta koji zahtijevaju visok nivo obrazovanja povezane su s izravnom upotrebom matematike. Dakle, za školsku matematiku postaje profesionalni smisleni predmet. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog razmišljanja, donosi sposobnost da djeluje po datom algoritmu i dizajniranju novih algoritama.

Proučavanje teme primjene integralnog za izračunavanje količine tijela rotacije, nudim studentima na fakultativnim klasama da razmotri temu: "Količine rotacijskih tijela sa korištenjem integrala." U nastavku dajemo metodičke preporuke za razmatranje ove teme:

1. Lokacija ravnog oblika.

Od toka algebre znamo da je koncept određenog integrala doveo do praktičnog zadatka. Jedan od njih je izračun površine ravnog cifra obnovljenog kontinuiranom linijom y \u003d f (x) (gdje f (x) div_adblock243 "\u003e\u003e

Izračunajte područje krivine trapezije prema formuli, ako je osnova trapezaziona laži na osi apscis ili po formuli https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg "širina \u003d "526" visina \u003d "262 src \u003d"\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "width \u003d" 127 "visina \u003d" 25 src \u003d "\u003e.

Da biste pronašli količinu karoserije oblikovanog rotacijom kovrčanog trapeza oko osi Ox otačan prekidanom linijom Y \u003d F (x), ox osi, direktno x \u003d a i x \u003d b izračunata formulom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "width \u003d" 352 "visina \u003d" 283 src \u003d "\u003e y

3. Zapremina cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "width \u003d" 85 "visina \u003d" 51 "\u003e .. gif" width \u003d "13" visina \u003d "25"\u003e .. jpg " Width \u003d "401" Visina \u003d "355"\u003e Konus se dobiva rotiranjem pravokutnog trokuta ABC (C \u003d 90) oko osi Ox na kojoj zvučnik laže.

Cut AV leži na ravnoj liniji y \u003d kx + c, gdje https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "width \u003d" 59 "visina \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Neka je a \u003d 0, b \u003d h (visina konusa), zatim vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "width \u003d" 13 "visina \u003d" 23 src \u003d "\u003e .

5. Punkcija skraćenog konusa.

Skraćeni konus može se dobiti okretanjem pravokutnog trapeza AVD (CDOX) oko osi Ox.

CUT AB nalazi se na ravnoj liniji y \u003d KX + C, gdje , C \u003d R.

Budući da ravna linija prolazi kroz točku A (0; R).

Dakle, linija ima izgled https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width \u003d" 303 "visine \u003d" 291 src \u003d "\u003e

Neka je a \u003d 0, b \u003d h (n- visina skraćenog konusa), zatim https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "width \u003d" 36 "visina \u003d" 17 src \u003d "\u003e \u003d. .

6. posuda.

Lopta se može dobiti okretanjem kruga sa sredinom (0; 0) oko osi Ox. Polukrug koji se nalazi iznad osi Ox dat je jednadžbama

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "Width \u003d" 13 "visina \u003d" 16 src \u003d "\u003e x r.

Pored toga pronalaženje ravne figure sa specifičnim integralnim najvažnija tema teme je izračun zapremine rotacije. Materijal je jednostavan, ali čitač mora biti pripremljen: morate se moći riješiti neizvjesni integrali Srednja složenost i primenite formulu Newton-Leiborni određeni integralni . Što se tiče zadatka pronalaska područja, potrebne su vam samouvjerene vještine za izgradnju crteža - to je gotovo najvažnije (jer će sami integrali biti lako lagano). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku \u200b\u200bza izgradnju grafova pomoću metodičkog materijala. . Ali, u stvari, o važnosti crteža, više puta sam govorio na lekciji .

Općenito, u integralnom računu, ima puno zanimljivih aplikacija, uz pomoć određenog integralnog, površine cifre, količine tijela, dužinu luka, površine tijela i još mnogo toga mogući su. Stoga će biti zabavno, molimo postavite na optimističan način!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnom ravninu. Predstavljeno? ... Pitam se ko sam predstavio ... \u003d))) već smo ga pronašli. Ali, pored toga, ova se broj može biti rotirati i zakretati na dva načina:

– oko osi apscisa; - oko ordinate osi.

Ovaj članak će rastaviti oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, uzrokuje najveće poteškoće, ali u stvari je odluka gotovo ista kao u češćim rotaciji oko osi apscisa. Kao bonus, vratit ću se zadatak pronalaženja područja figure I reći ću vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Ni toliko bonusa, koliko materijala uspješno uklapa u temu.

Započnimo s najpopularnijom raznolikošću rotacije.

Proračun zapremine tijela formiran rotacijom ravnog oblika oko osi

Primjer 1.

Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotacijom oblika, ograničenim linijama, oko osi.

Odluka: Kao u zadatku pronalaska područja, odluka počinje crtežom ravnog lične figure. To je, u ravnini, potrebno je izgraditi liniju ograničenu linijama, a ne zaboraviti da jednadžba postavlja osovinu. Koliko racionalno i brže izvršite crtež, možete naučiti na stranicama Grafikoni i svojstva elementarnih funkcija i Određeni integralni. Kako izračunati područje figure . Ovo je kineski podsjetnik, a u ovom trenutku više ne prestajem.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura zasjenjena je u plavom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije, takva lagana leteća ploča u obliku jaja, koja je simetrična u odnosu na osovinu. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali u referentnoj knjizi nešto previše lijeno za gledanje, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen karoserije rotacije?

Glasnoća tijela rotacije može se izračunati formulom:

U formuli se integralno nužno prisutno. Bilo je to tako neophodno - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantama.

Kako dogovoriti granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crtež izrađene.

Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na grafikon parabole odozgo. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već napomenuo, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovor:

Primjer 2.

Pronađite volumen tijela formiran rotacijom oko liniji osobnih liniji oblika ,,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite dva složenija zadatka koja su također uobičajena u praksi.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog prilikom rotiranja oko osi apscisa na liniju ograničenih slika i

Odluka:Prikazivanje ravne figure, ograničene linijema, ,,, ne zaboravljajući da jednadžba postavlja osovinu:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se okreće oko osi, dobija se takva nadrealna bagela sa četiri ugla.

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini.

Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Sa svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz.

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju svoj obim putem.

I očigledno je razlika u količini upravo količina naše "bagel".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovor:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Sada malo odmori i pričaj o geometrijskim iluzijama.

Nakon liričkog povlačenja relevantno je za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte jačinu tijela formiranog rotacijom u odnosu na osovinu ravne figure, ograničene linijama, gdje.