Trg Trapezaya ako je srednja linija poznata. Kvadratni trapezijum

Moligiozni trapezij ... Može biti proizvoljna, jednaka ili pravokutna. I u svakom slučaju morate znati kako pronaći područje trapeza. Naravno, najlakše zapamtiti osnovne formule. Ali ponekad je lakše koristiti onaj koji je izveden s obzirom na sve karakteristike određenog geometrijskog oblika.

Nekoliko riječi o trapezu i njenim elementima

Svaki četverokut, na koji su dvije strane paralelne, mogu se nazvati trapezom. Općenito, oni nisu jednaki i nazivani su razlozi. Veći od njih - dno, a drugi je vrh.

Druge dvije stranke su strane. U proizvoljnom trapezu imaju različite dužine. Ako su jednaki, brojka postaje izolirana.

Ako iznenada ugao između bilo koje strane i baze bit će jednak 90 stepeni, trapezij je pravougaonog.

Sve ove karakteristike mogu pomoći u rješavanju problema o tome kako pronaći područje trapeza.

Među elementima broja, koji mogu biti neophodni u rješavanju zadataka, možete dodijeliti takav:

visina, odnosno segment, okomit na oba baza;
srednja linija, koja ima svoju srednju stranu.

Koja je formula za izračunavanje područja, ako su poznate baze i visinu?

Ovaj izraz daje se glavnom, jer najčešće možete naučiti ove količine, čak i kada nisu izričito date. Dakle, da biste shvatili kako pronaći područje trapesa, morat ćete savijati oba razloga i podijeliti ih na dva. Rezultirajuća vrijednost kasnije se pomnože sa značenjem visine.

Ako odredite osnovna slova A 1 i A 2, visine - H, tada će se ovako formula za područje izgledati:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula za koju se područje izračunava ako su njena visina i srednja linija date.

Ako pažljivo pogledate u prethodnoj formuli, lako je primijetiti da je to jasno prisutna u srednjoj liniji. Naime, količina osnova podijeljena sa dva. Neka se prosječna linija označava slovom L, tada će formula za trg biti takav:

S \u003d l * n.

Mogućnost pronalaska područja dijagonale

Ova metoda će pomoći ako je poznat ugao koji je formirao. Pretpostavimo da se dijagonale označavaju slovima D 1 i D 2, a uglovi između njih su α i β. Tada će se formula za pronalaženje područja trapeza biti zabilježena na sljedeći način:

S \u003d (d 1 * d 2) / 2) * sin α.

U ovom izrazu moguće je lako zamijeniti α na β. Rezultat se neće promijeniti.

Kako saznati područje ako su poznate sve strane figure?

Postoje takve situacije u kojima su strane poznate na ovoj slici. Ova je formula glomazna i teško se sjetiti. Ali verovatno. Neka bočne strane imaju oznaku: u 1 i u 2, baza je 1 više od i 2. Tada će formula polja uzeti ovu vrstu:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (u 1 2 - [(A 1 - A 2) 2 + u 1 2 - u 2 2) / (2 * (A 1 - A 2)) ] 2).

Metode za izračunavanje podjednakog područja trapeza

Prvi je povezan sa činjenicom da se može umetnuti u njega. I, znajući njegov radijus (označava se slovom R), kao i ugao u bazi - γ, možete koristiti ovu formulu:

S \u003d (4 * r 2) / sin γ.

Posljednja opća formula koja se zasniva na saznanju svih strana cifle, značajno će se uskrsnuti zbog činjenice da su strane iste:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (u 2 - [(A 1 - A 2) 2 / (2 * (A 1 - A 2))] 2).

Metode za izračunavanje područja pravokutnog trapeza

Jasno je da bilo koja od navedenih figura navedenih za proizvoljnu figuru. Ali ponekad je korisno znati o jednoj osobini takvog trapeza. Leži u činjenici da je razlika u kvadratima duljina dijagonala jednaka razlikovanju od kvadratnih kvadrata.

Često se formula za trapez zaboravlja, dok se izrazi za područje pravokutnika i trokuta sjećaju. Tada možete primijeniti jednostavan način. Podijelite trapez na dvije figure ako je pravougaoni, ili tri. Tačno će biti pravokutnik, a drugi ili dva preostala trougla. Nakon izračuna područja ovih podataka, samo će se saviti.

Ovo je prilično jednostavan način pronalaska pravokutnog područja.

Što ako znate koordinate vrhova trapeza?

U ovom slučaju bit će potrebno koristiti izraz koji vam omogućava da odredite udaljenost između točaka. Može se primijeniti tri puta: kako bi se naučili obje osnove i jednu visinu. A zatim jednostavno primijenite prvu formulu koja je opisana malo viša.

Da biste ilustrirali ovu metodu, možete navesti takav primjer. Vrhovi sa koordinatama A (5; 7), u (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Morate saznati područje figure.

Prije pronalaska područja trapeza, koordinate trebaju izračunati dužine osnovne dužine. Ova će formula biti potrebna:

cUTL Duljina \u003d √ ((razlika prvih koordinata bodova) 2 + (razlika drugog koordinata bodova) 2).

Gornja baza označava AV, to znači da će njegova dužina biti jednaka √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) \u003d √9 \u003d 3. Donja - SD \u003d √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) \u003d √81 \u003d 9.

Sada morate potrošiti visinu vrha u bazu. Pretpostavimo da će njegov početak biti u točki A. Kraj segmenta bit će u donjoj bazi u točki koordinata (5; 1), neka bude tačka N. Dužina segmenta bit će jednaka √ ( (5-5) 2 + (7-1) 2) \u003d √36 \u003d 6.

Ostaje samo za zamjenu dobivenih vrijednosti u formuli proljetnog trga:

S \u003d ((3 + 9) / 2) * 6 \u003d 36.

Zadatak se rješava bez jedinica mjere, jer mjerila koordinatne mreže nije navedena. Može biti i milimetar i metar.

Primjeri zadataka

Br. 1. Stanje. Poznat je ugao između dijagonala proizvoljnog trapeza, jednak je 30 stepeni. Manja dijagonala je 3 dm, a druga je 2 puta više. Potrebno je izračunati kvadrat trapeza.

Odluka. Prvo morate znati dužinu druge dijagonale, jer bez toga neće moći računati odgovor. Lako ga je izračunati, 3 * 2 \u003d 6 (DM).

Sada morate koristiti odgovarajuću formulu za kvadrat:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (DM 2). Zadatak je riješen.

Odgovor: Područje trapezazije je 4,5 dm 2.

# 2. Stanje.U trapezijum Absst baza su segmenti krvnog pritiska i sunca. Point E - srednja strana SD-a. Iz njega je izvršio okomito na ravni AB, kraj ovog segmenta označen je slovom N. Poznato je da su dužine AV i EN jednaka 5 i 4 cm. Potrebno je izračunati područje od Trapez.

Odluka. Prvo trebate napraviti crtež. Budući da je okomita vrijednost manja od strane na koju se troši, trapezij će biti malo ispružen. Dakle, to će biti unutar slike.

Da biste jasno vidjeli problem rješavanja problema, morat ćete obavljati dodatnu izgradnju. Naime, provedite ravnu liniju koja će biti paralelna sa strane Av. Točke raskrižju ovog izravna sa pakla - P, i nastavak sunca - H. Rezultirajuća lik Vohre - paralelograma. Štaviše, željeno je njegovo područje. To je zbog činjenice da su trouglovi koji se ispostavilo sa dodatnim konstrukcijama jednaki. To slijedi iz ravnoteže strane i dva ugla pored nje, jedan - vertikalni, drugi - lažov.

Područje paralelograma možete pronaći po formuli koja sadrži rad na strani i visini, spušteni na njega.

Dakle, područje trapeza je jednako 5 * 4 \u003d 20 cm 2.

Odgovor: S \u003d 20 cm 2.

# 3. Stanje. Elementi izoliranog trapeza imaju takve vrijednosti: Donja podloga je 14 cm, gornji dio je 4 cm, oštri ugao je 45º. Potrebno je izračunati svoje područje.

Odluka. Neka manja baza bude oznaka aviona. Visina koja se provodi iz točke B bit će nazvana vn. Budući da je ugao 45º, trokut AVN-a uspjet će u pravougaonom i izoziranju. Dakle, AN \u003d V. A EN je vrlo lako pronaći. To je jednako pola razlike u bazi. To je (14 - 4) / 2 \u003d 10/2 \u003d 5 (cm).

Osnove su poznate, visina se izračunava. Možete koristiti prvu formulu koja je ovdje smatrana proizvoljnim trapezom.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Odgovor: Želje područje je 45 cm 2.

Br. 4. Stanje. Postoji proizvoljni trapezijum ABSD. Na njenim bočnim stranama se uzimaju i e, pa je oe paralelno s temeljem pakla. AOED TRAPEZIUM Trg je pet puta više nego u Oveu. Izračunajte vrijednost OE, ako je poznata dužina osnovne dužine.

Odluka. Bit će potrebno potrošiti dva paralelna AV direktna: prva kroz tačku C, njegova raskrižja sa OE - točka t; Drugi kroz e i mjesto raskrižja sa pakla bit će M.

Neka nepoznato oe \u003d x. Visina manjih trapezara Ova - H 1, veći aoed - H 2.

Budući da se područje ova dva trapezija korelirala kao 1 do 5, tada se može zabilježiti takva jednakost:

(X + a 2) * h 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * h 2

h 1 / h 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Visine i strana trouglova proporcionalna su izgradnji. Stoga možete napisati drugu ravnopravnost:

h 1 / h 2 \u003d (x - a 2) / (A 1 - X).

U posljednja dva zapisa na lijevom dijelu postoje jednake vrijednosti, to znači da se može napisati da je (x + a 1) / (5 (x + a 2) jednako (x - a 2) / (i 1 - X).

Zahtijeva brojne transformacije ovdje. Prvo umnožavajte pređite križ. Pojaviće se nosači, što će ukazivati \u200b\u200bna razliku kvadrata, nakon upotrebe ove formule, dobit će se kratka jednadžba.

Treba otkriti zagrade i prenijeti sve uvjete s nepoznatom "X" na lijevu stranu, a zatim uklonite kvadratni korijen.

Odgovoriti: X \u003d √ ((A 1 2 + 5 A 2 2) / 6).

I. Sada možete početi razmatrati kako pronaći kvadrat trapeza. Ovaj zadatak u svakodnevnom životu javlja se vrlo rijetko, ali ponekad se ispostavilo da je potrebno, na primjer, pronaći sobu u obliku trapeza, koji se sve više koriste u izgradnji modernih apartmana ili u dizajnerskom projektu.

Trapezijum je geometrijska figura koja je formirana sa četiri segmenta presijecavanja, od kojih su dvije paralelne između sebe i nazivaju se bazama trapeza. Dva druga segmenta nazivaju se strankama u trapezu. Pored toga, ubuduće koristimo drugu definiciju. Ovo je srednja linija trapeza, koja je segment koji povezuje sredinu strane i visine trapeza, koji je jednak udaljenosti između baza.
Kao i u trouglovima, Trapezij ima privatne vrste u obliku ravnoteže (ravnoteže) trapeza, u kojem je dužina bočne strane iste i pravokutnog trapeza, koji stvara pravni ugao s bazama.

Trapezi posjeduju neke zanimljive nekretnine:

Srednja linija trapeza je jednaka sredini baze i paralelno s njima.
U izoliranom trapezu, bočne strane i uglovi koji se formiraju jednaki su bazama.
Sredina dijagonala trapeza i tačke raskrižje njenih dijagonala nalaze se na jednoj ravnijoj liniji.
Ako je zbir strane trapeza jednaka zbroj baze, tada možete ući u krug
Ako su zbroj uglova formiranim stranama trapeza u bilo kojem od njegove baze 90, tada je dužina segmenta koja povezuje sredinu baze jednaka njihovoj prehranu.
TRAPEZIJ U TRAPEZIJU MOŽE OPISATI KRUG. I obrnuto. Ako se trapezij uklapa u krug, to znači da je izolirana.
Segment koji prolazi kroz sredinu baza ravnoteže ravnoteže bit će okomit će na njegove baze i osovina je snijem.

Kako pronaći područje Trapeza.

Prizor trapeza bit će jednak polovini baza svojih temelja pomnoženih po visini. U obliku formule to je napisano kao izraz:

ako je područje trapeza u trapeziju, a, b-dužine svake baze trapeza, H-visina trapeza.

Moguće je razumjeti i zapamtiti ovu formulu na sljedeći način. Kako slijedi s cifre ispod trapeza, pomoću srednje linije može se pretvoriti u pravokutnik, čija će dužina biti jednaka baznoj polovici.

Također možete raspastiti bilo koji trapez na jednostavnijim oblicima: pravokutnik i jedan ili dva trougla i ako je tako jednostavniji, a zatim pronađite područje trapeza, kao zbroj područja komponenti njegovih oblika.

Postoji još jedna jednostavna formula za brojanje svog područja. Prema njemu, površina trapeza je jednaka proizvodu srednjeg reda do visine trapeza i piše se u obliku: S \u003d m * h, gdje je područje S-a srednja linija, H-visina trapeza. Ova je formula pogodnija za probleme iz matematike nego za domaćinstva, jer u stvarnim uvjetima neće biti poznati dužinu srednje linije bez preliminarnih proračuna. A vi ćete biti poznati samo za dužine baza i bočnih strana.

U ovom slučaju, područje trapeza može pronaći formula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

tamo gdje S-područje, A, B-baza, C, D-strana strana trapeza.

Postoji još nekoliko načina da pronađete područje trapeza. Ali, otprilike su nezgodne kao posljednja formula, što znači da nema smisla prestati na njima. Stoga preporučujemo da koristite prvu formulu iz članka i uvijek želimo dobiti tačne rezultate.

Postoji mnogo načina za pronalaženje područja Trapezija. Obično, Tutor u matematici posjeduje nekoliko tehnika za njegove izračune, na njih ćemo se više fokusirati:
1) gde je osnova oglasa i bc i visina bh trapeza. Dokaz: Izvršit ćemo dijagonalu BD-a i izražavamo područje Trouglova ABD-a i CDB-a kroz polukolute njihovih baza na visinu:

gdje je DP vanjska visina u

Pomicanje obroka ove jednakosti i s obzirom na to da su Visine BH i DP jednake, dobivamo:

Izvest ću za nosač

Q.e.d.

Posljedica formule proljetnog trga:
Budući da je sredina baze jednaka MN - srednja linija trapeza, zatim

2) Primjena opće formule Trga kvadrata.
Trg kvadrata jednak je polovini dijagonale pomnožene sa sinom ugla između njih
Da bi se dokazalo, dovoljno je razbiti trapez na 4 trougla, izraziti područje svakog puta "pola rada dijagonala na uglu ugla između njih" (uzima kao ugao, preuzeo je rezultirajući izrazi, uzmi iz nosača i izložite ovaj nosač na množenje grupiranjem kako biste dobili njegovu jednakost. Otuda

3) Metoda dijagonalne promjene
Ovo je moje ime. U školskim udžbenicima nastavnik iz matematike neće ispuniti takvo zaglavlje. Opis prijema može se naći samo u dodatnim udžbenicima kao primjer rješavanja bilo kojeg zadatka. Primjećuje da je većina zanimljivih i korisnih činjenica učitelja planutrijstva u matematici otvarati studente u procesu obavljanja praktičnog rada. Izuzetno je ne-optimalan, jer školnik treba dodijeliti pojedinim teoremima i nazvati "glasna imena". Jedna od njih je "dijagonalna pomak". O čemu se radi? Izvodimo putem vertex B izravne paralele sa AC do raskrsnice s donjem bazom u točki E. U ovom slučaju, EBCA četverokut će biti paralelogram (po definiciji) i zato bc \u003d ea i eb \u003d ac. Sada smo važni prvu ravnopravnost. Imamo:

Imajte na umu da je trougao krevet, od kojih je površina jednaka području Trapezija, ima još nekoliko predivnih nekretnina:
1) Njegovo područje je jednako kvadratu Trapez
2) njegova jednakost nastaje istovremeno s jednakošću samog trapeza
3) gornji ugao na vrhu B jednak je uglu između trapeznih dijagonala (koji se vrlo često koristi u zadacima)
4) Njegov srednji BK jednak je daljini QS između sredine baze trapeza. S ovom nekretninom nedavno sam se suočio sa pripremom učenika na MEHMAT MSU-u na udžbeniku udžbenika, opciju 1973. (zadatak je na dnu stranice).

Tutor za brzinu iz matematike.

Ponekad predlažem zadatke za vrlo lukav način na koji sam trapezni prostor. Smatram ga posebnim uslugama za u praksi koje učiteljica koristi izuzetno rijetko. Ako trebate pripremiti za ispit u matematici samo u dijelu B, ne možete pročitati o njima. Za ostalo kažem dalje. Ispada da je mjesto trapezije dvostruko više od tri zvezdice s vrhovima na krajevima jedne strane i sredine drugog, odnosno ABS trokut na slici:
Dokaz: Izvodimo visine SM i SN u BCS-u i oglašava trouglovima i izražavaju količinu područja ovih trouglova:

Budući da je točka s sredina CD-a (dokažite za sebe). Svidja nam je Summa Trga trouglova:

Budući da se taj iznos pokazao jednak polovici Trga trapeza, a zatim drugu polovicu toga. Ch.t.d.

U Piggy banci učitelja posebno bih uzeo oblik izračunavanja područja ravnopravnog trapeza na njenim strankama: gdje je p pola razdoblja trapeza. Dokaz da neću dati. U suprotnom, vaš učitelj iz matematike ostat će bez posla :). Dođite na časove!

Zadaci na trgu trapeza:

Matematički učitelj: Na spisku dolje nije metodološka pratnja temi, to je samo mali izbor zanimljivih zadataka za gore navedene tehnike.

1) Donja baza nepristupačnog trapeza je 13, a vrh 5. Pronađite područje trapezazima ako je njegova dijagonala okomita na stranu.
2) Pronađite površinu trapeza ako su njegove baze jednake 2 cm i 5cm, a stranice 2cm i 3 cm.
3) U ravnoteži trapezijskog trapesa, veća je baza 11, bočna strana je 5, a dijagonala je jednaka pronalaženju trapezijskog prostora.
4) Dijagonala jednakih trapezanja jednaka je 5, a srednja linija 4. nalazi se područje.
5) U ravnotežnom trapezu, baza je jednaka 12 i 20, a dijagonale su međusobno okomito. Izračunajte kvadrat trapeza
6) dijagonala jednako trapezij je sa svojim donjim osnovnim uglom. Pronađite područje trapesa ako je njegova visina jednaka 6cm.
7) Područje trapeza je jednako 20, a jedna od njegovih bočnih strana je 4 cm. Pronađite udaljenost od njega od sredine suprotne strane.
8) dijagonala jednako trapezij dijeli ga na trouglove sa površinama 6 i 14. Pronađite visinu, ako je bočna strana 4.
9) U trapezu je dijagonalno jednak 3 i 5, a segment koji povezuje sredinu baze je 2. Pronađite kvadrat trapeza (Mehmat MSU, 1970).

Izabrao sam da nisu najteži zadaci (ne treba se bojati Mehmat-a!) Uz mogućnost njihove neovisne odluke. Odlučite o zdravlju! Ako vam treba pripremiti za ispit u matematici, tada bez sudjelovanja u ovom procesu, formula područja trapeza može nastati ozbiljnim problemima čak i sa zadatkom B6, a posebno sa C4. Ne pokrećete temu i u slučaju bilo kakvih poteškoća, obratite se. Tutor u matematici je uvijek rado pomoći.

Kolpakov A.n.
Tutor u matematici u Moskvi, priprema za ispit u Stroginu.

Praksa prošlogodišnjeg Egea i GiA pokazuje da zadaci geometrije uzrokuju poteškoće u mnogim školarcima. Možete ih lako nositi ako pamtite sve potrebne formule i praksu u rješavanju problema.

U ovom ćemo članku vidjeti formule za pronalaženje trapezoidnog područja, kao i primjere zadataka sa rješenjima. Isto se može uhvatiti u Kima na ateznim ispitima ili na Olimpijskim igrama. Stoga se pažljivo brinemo o njima.

Šta trebate znati o trapezu?

Za početak sa čim se sećam toga trapezijum Četverokut se zove, koji ima dvije suprotne strane, nazivaju se i tereni, paraleli, a druga dva nisu.

U trapezu se može spustiti i visina (okomita na bazu). Provedena je srednja linija - ovo je ravna linija, koja je paralelna sa osnovama i jednaka je polovini njihove sume. A također dijagonalno, koji se može presijecati, formirati oštre i glupe uglove. Ili u nekim slučajevima, pod pravim uglom. Pored toga, ako je trapez besplatan, može se ubaciti u nju. I opišite krug u blizini.

Formulas Trg Trapezia

Za početak, smatramo standardne formule za lokaciju trapeza. Načini za izračunavanje područja ravnoteže i Curvilinear Trapez, razmotrite dolje.

Dakle, zamislite da imate trapez s bazama A i B u kojoj se visina H spušta u veću bazu. Izračunajte lik slike u ovom slučaju jednostavan je jednostavan. Potrebno je samo podijeliti dvije količine osnovnih duljina i umnožiti što se događa, visina: S \u003d 1/2 (A + B) * H.

Uzmite još jedan slučaj: Pretpostavimo, u trapezu, osim visine, izvedena je srednja linija M. Znamo formulu za pronalaženje dužine srednje linije: m \u003d 1/2 (A + B). Stoga, uz potpuno pravo možemo pojednostaviti formulu područja trapeza u sljedeću vrstu: S \u003d m * h. Drugim riječima, pronaći područje trapezazima, potrebno je umnožiti prosječnu liniju do visine.

Razmotrite drugu opciju: u trapezijumu, D 1 i D 2 bili su dijagonalni, koji se presijecaju ne pod pravim uglom α. Da biste izračunali područje takvog trapeza, morate se podijeliti na dva djela dijagonala i množite se što se događa za grijeh ugao između njih: S \u003d 1 / 2D 1 D 2 * Sinα.

Sada razmotrite formulu za pronalazak kvadrata trapezije, ako se ništa ne zna o tome, osim dužina svih njegovih strana: A, B, C i D. Ovo je glomazna i složena formula, ali biće vam korisno da se sjetite za slučaj. S \u003d 1/2 (A + B) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + C 2 - D 2)) 2.

Usput, primjeri gore su tačni i za slučaj kada vam je potrebna pravokutna formula područja. Ovaj trapezij, strana koja se pri pravim uglom pri pravim uglom.

Jednak trapezijum

Trapezijum, čija su strane jednake, nazivaju se izolirano. Razmotrit ćemo nekoliko opcija za formulu neselektivnog trapeza.

Prva opcija: Za slučaj kada je krug s radijusom r, a bočna strana i veća osnovna obrazac akutni ugao α nalazi se unutar prema unutra jednako trapez. Krug se može upisati u trapezu, pod uslovom da je zbroj njegovih baza jednaka zbroj duljine strane.

Ravnotežna trapezijska površina izračunava se na sljedeći način: Pomnožite kvadrat radijusa upisanog kruga na četiri i podijelite sve to na Sinα: S \u003d 4R 2 / Sinα. Drugo područje područja je poseban slučaj za opciju kada je ugao između velike baze i bočne strane jednak 30 0: S \u003d 8R 2.

Druga opcija: Ovaj put uzmite podjednako izvedivu trapeku, u kojoj su izvedeni dijagonali D 1 i D 2, kao i visina H. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomito, visina je pola količine baze: h \u003d 1/2 (A + B). Znajući, lako je pretvoriti kvadrat formule koja vam je već poznata u ovoj vrsti: S \u003d h 2.

Formula površine kovrčanog trapeza

Započnimo s onim što ćemo razumjeti: šta je krivolorni trapezij. Zamislite koordinatnu osovinu i grafikon kontinuirane i ne-negativne funkcije f koja ne mijenja znak unutar određenog segmenta na osi X. Curvilinear Trapezium formira grafikon funkcije y \u003d f (x) - na vrhu, osi x - na dnu (segment), a na stranama - direktno, izvedeno između točaka A i B i grafikon.

Izračunajte područje takve nestandardne slike ne može se prikazati gore. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton Labitsa Formula - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d f (x) │ b a \u003d f (b) - f (a). U ovoj je formuli f primarna funkcija na odabranom segmentu. A područje kovrčanog trapeza od kovrča odgovara povećanju primitivnog na datom segmentu.

Primjeri zadataka

Da bi sve ove formule lako legle u glavu, imate nekoliko primjera zadataka kako biste pronašli mjesto trapeza. Bit će vam najbolje ako prvo pokušate riješiti zadatke, a tek tada rezultirajuće odgovorite uzmite gotovim rješenjem.

Broj zadatka 1: Dana Trapezijum. Njegova veća baza je 11 cm, manja od 4 cm. U trapezu su provedeni dijagonali, jedan 12 cm, drugi - 9 cm.

Rješenje: Izgradite AMRS trapeze. Provedite direktan RH kroz Vertex broj kako bi se ispostavilo da je paralelno s MS dijagonalom i prešao direktne zvučnike na tački X. Isključuje trokut ur.

Pogledat ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut arha i paralelogram CRYM-a.

Zahvaljujući paralelogramu, saznajemo da PX \u003d MS \u003d 12 cm i C \u003d MP \u003d 4cm. Odakle možemo izračunati bočni ah trokut arh: ah \u003d AC + C \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Također možemo dokazati da je trougao u Arh pravougaonim (za to primjenjuju teoremu Pythagore - AH 2 \u003d AR 2 + PC 2). I izračunati njeno područje: s apx \u003d 1/2 (AP * px) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Nadalje ćete trebati dokazati da su trouglovi AMR-a i RCC-a jednaki. Osnova će služiti ravnopravnosti stranaka za g. I CX (već dokazano gore). A također i visine koje nižete na ovim strankama jednake su nadmorske visine AMRS trapezoida.

Sve će vam to omogućiti da tvrdite da je s AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Broj zadatka 2: Dana trapezing krrs. Na njenim bočnim stranama su bodovi o i e, dok su OE i policajac paralelni. Poznato je i da se područje trapezoida orma i vola nalazi u omjeru 1: 5. Pm \u003d a i kc \u003d b. Potrebno je pronaći OE.

Rješenje: Provedite ravnu liniju, paralelno RK kroz točku, a tačka njegovog raskrižja sa OE oznakom T. A - mjesto raskrižja Direktno, provedeno kroz točku i paralelno s RK-om, s bazom policajca.

Uvodimo još jednu oznaku - O \u003d x. Kao i visina H 1 za trokut TME-a i visine H 2 za AES trokut (možete samostalno dokazati sličnost ovih trouglova).

Pretpostavljamo da je b\u003e a. Područje alkohola i vox trapezari su kao 1: 5, što nam daje pravo da napravimo takvu jednadžbu: (x + a) * H 1 \u003d 1/5 (B + X) * H 2. Pretvaramo i dobijamo: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Jednom kada su trouglovi TME-a i AES-a slični, imamo H 1 / h 2 \u003d (x - a) / (B - x). Kombinujemo oba zapisa i dobijamo: (x - a) / (B - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) \u003d (x + a) \u003d (x + a) \u003d ( B + X) (B - X) ↔ 5 (x 2 - A 2) \u003d (B 2 - X 2) ↔ 6x 2 \u003d B 2 + 5A 2 ↔ X \u003d √ (5A 2 + B 2) / 6.

Dakle, OH \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Zaključak

Geometrija nije najlakša nauka, ali vjerovatno ćete se nositi sa zadacima ispitivanja. Dovoljno je pokazati savršenstvo prilikom pripreme. I, naravno, sjetite se svih potrebnih formula.

Pokušali smo prikupiti na jednom mjestu sve formule za izračunavanje područja trapeza, tako da biste ih mogli koristiti kada se pripremite za ispite i ponovite materijal.

Obavezno ispričajte o ovom članku razrednicima i prijateljima u društvenim mrežama. Neka dobre procjene za ispit i GIA će biti više!

potrebno je web mjesto, sa punim ili djelomičnim kopiranjem materijalne reference na izvorni izvor.

U matematici postoji nekoliko vrsta kvadratnih metara: kvadratni, pravokutnik, romb, paralelogram. Među njima i trapezij je oblik konveksnog četverostranosti, koji ima dvije strane paralelno, a još dvije osobe. Paralelne suprotne strane nazivaju se baze, a dvije druge - stranice trapeza. Segment koji povezuje srednje strane naziva se srednja linija. Postoji nekoliko vrsta trapezaja: inalirani, pravokutni, krivine. Za svaku vrstu trapeza nalaze se formule za pronalaženje područja.

Kvadratni trapezijum

Da biste pronašli kvadrat trapeza, morate znati dužinu njegovih temelja i visine. Visina trapeze je segment, okomit na temelje. Neka gornja baza bude a, donja baza - b, a visina - h. Tada je moguće izračunati SEM u formuli:

S \u003d ½ * (a + b) * h

oni. Uzmi pola terena pomnoženo po visini.

Također će biti moguće izračunati scenu trapeza, ako je poznata vrijednost visine i srednje linije. Označavaju srednju liniju - m. Onda

Zajednije je zadatak: duljina četiri strane trapeza je poznata - A, B, C, D. Tada će se područje oporaviti formulom:

Ako su poznate duljine dijagonala i ugao između njih, tada se pretraže područje na sljedeći način:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

gdje su d indeksi 1 i 2 dijagonale. U ovoj formuli, ugao sinusa daje se u proračunu.

Sa poznatim duljinama baza A i B i dva ugla u donjoj bazi, površina se izračunava kao:

S \u003d ½ * (B2 - A2) * (sin α * sin β / grijeh (α + β))

Kvadrat EQUWOW-a trapeza

Jednako trapezijum je privatni trapezni slučaj. Njegova je razlika u tome da je takav trapez konveksna četverostrana sa osi simetrije koja prolazi kroz sredinu dvije suprotne strane. Njene strane su jednake.

Moguće je pronaći jednako besplatnu površinu trapeza na nekoliko načina.

Kroz dužinu tri strane. U ovom slučaju, duljina strane strana podudara se, dakle, naznačena je jednom vrijednošću - C, A i B - dužine razloga:

Ako je duljina gornje baze, boka i vrijednost ugla u donjoj bazi, tada se područje izračunava na sljedeći način:

S \u003d c * sin α * (A + C * cos α)

gdje je gornja baza, c je strana.

Ako je, umjesto gornje baze, duljina donje - B poznata, područje se izračunava formulom:

S \u003d c * sin α * (b - c * cos α)

Ako su dvije baze i ugao poznate u donjoj osnovi, područje se izračunava kroz tangent ugao:

S \u003d ½ * (B2 - A2) * TG α

Takođe, područje se izračunava dijagonalom i ugao između njih. U tom je slučaju dijagonalna dužina jednaka, pa svaki naznači slovo d bez indeksa:

S \u003d ½ * d2 * sin α

Izračunajte područje trapezazima, znajući duljinu bočne, srednje linije i veličinu ugla u donjoj bazi.

Neka bočna strana - C, srednja linija - M, ugao - A, a zatim:

S \u003d m * c * sin α

Ponekad u ravnotežnom trapezu možete unijeti krug čiji će polumjer biti R.

Poznato je da u bilo kojem trapezu možete unijeti krug ako je zbroj baznih duljina jednaka zbroj dužine njegove strane. Tada će se područje naći kroz radijus upisanog kruga i ugao u donjoj bazi:

S \u003d 4R2 / sin α

Isti izračun provodi se kroz promjeru upisanog kruga D (usput, poklapa se s visinom trapeza):

Poznavanje osnova i ugao, područje ravnoteže trapeza izračunava se kao:

S \u003d A * b / sin α

(Ovo i naredne formule su tačne samo za trapeze sa upisanim krugom).

Kroz baze i radijus površine kruga je sljedeći:

Ako su poznati samo razlozi, područje se razmatra formulom:

Kroz baze i bočnu liniju, površinu trapeza sa uključenim krugom i kroz baze i prosječnu liniju - m izračunava se na sljedeći način:

Trg pravougaonog trapeza

Pravokutna se naziva trapezom, u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na temelje. U ovom slučaju, bočna strana se podudara sa visinom trapeza.

Pravokutni trapezij je kvadrat i trougao. Nakon što je pronašao područje svake brojke, preklopite dobijene rezultate i dobijete ukupnu površinu oblika.

Takođe, zajedničke formule za izračunavanje područja trapeza pogodni su i za izračunavanje pravokutnog trapeza.

Ako su poznate dužine baza i visine (ili okomiče), tada se područje izračunava formulom:

S \u003d (a + b) * h / 2

Kao h (visina), bočna strana sa. Tada Formula izgleda ovako:

S \u003d (a + b) * c / 2

Drugi način za izračunavanje područja je umnožavanje dužine srednje linije do visine:

ili na dužini bočne perspektivne strane:

Sljedeća metoda izračuna - nakon polovine djela dijagonala i sinus ugla između njih:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

Ako je dijagonala okomita, formula je pojednostavljena na:

S \u003d ½ * d1 * d2

Druga metoda izračuna je kroz polu-versiverser (zbroj dužine dvije suprotne strane) i radijusu upisanog kruga.

Ova formula vrijedi za temelje. Ako uzmemo dužine strana, onda će jedan od njih biti jednak dvostrukom radijusu. Formula će izgledati ovako:

S \u003d (2r + c) * r

Ako je krug upisan u trapeziju, tada se područje izračunava na isti način:

gdje je m dužina srednje linije.

Kvadrat zakrivljenih trapeza

Curvilinear Trapezium je ravna figura, ograničena grafikom nenegativne kontinuirane funkcije y \u003d f (x), određeno na segmentu, osi apscisa i ravna linija x \u003d a, x \u003d b. U suštini su joj dvije strane paralelne jedni drugima (baze), treća strana je okomito na temelji, a četvrta je krivulja koja odgovara funkciji funkcije.

Područje krivolinearnog trapeza traži integral Formule Newton-Leibornika:

Dakle, izračunavaju se područja različitih vrsta trapesa. Ali, pored svojstava stranaka, trapezoidi posjeduju ista svojstva uglova. Kao i svi postojeći četveronožni, zbroj unutrašnjih uglova trapeza je 360 \u200b\u200bstepeni. A zbroj uglova pored sporedne strane je 180 stepeni.