Sve visine trougla seku se u dve tačke. Osnovni elementi trougla abc. Problem primjene Pitagorine teoreme

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog ispita iz matematike. Ako želite da položite ispit za 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na ispitu, a bez njih ne može ni student ni student humanističkih nauka.

Sva teorija koja ti treba. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Rastavljeni svi relevantni zadaci 1. dijela iz Banke zadataka FIPI-ja. Kurs u potpunosti ispunjava uslove ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavna i jasna.

Stotine ispitnih zadataka. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvijanje prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, stepeni i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Prilikom rješavanja geometrijskih problema korisno je slijediti ovaj algoritam. Kada čitate izjavu o problemu, morate

Napravite crtež. Crtež treba što je više moguće odgovarati stanju problema, tako da je njegov glavni zadatak pomoći u pronalaženju rješenja
Primijenite sve podatke iz iskaza problema na crtež
Napišite sve geometrijske koncepte koji se javljaju u zadatku
Prisjetite se svih teorema koje se odnose na ovaj koncept
Nacrtajte na crtežu sve odnose između elemenata geometrijske figure koji proizlaze iz ovih teorema

Na primjer, ako se u problemu pojavljuje riječ simetrala ugla trokuta, potrebno je da se prisjetite definicije i svojstava simetrale i označite jednake ili proporcionalne segmente i uglove na crtežu.

U ovom članku ćete pronaći osnovna svojstva trokuta koja trebate znati da biste uspješno rješavali probleme.

TROUGAO.

Površina trougla.

1. ,

ovdje je proizvoljna stranica trougla, je visina spuštena na ovu stranu.

2. ,

ovdje i su proizvoljne strane trokuta, je ugao između ovih stranica:

3. Heronova formula:

Ovdje su dužine stranica trokuta, je poluperimetar trokuta,

4. ,

ovdje je poluperimetar trougla, poluprečnik upisane kružnice.

Neka su dužine segmenata tangenti.

Tada se Heronova formula može napisati na sljedeći način:

6. ,

ovdje - dužine stranica trougla, - polumjer opisane kružnice.

Ako se na strani trokuta uzme tačka koja dijeli ovu stranu u omjeru m: n, tada segment koji povezuje ovu tačku sa vrhom suprotnog ugla dijeli trokut na dva trokuta čije su površine povezane kao m : n:

Omjer površina sličnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.

Medijan trougla

Ovo je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane.

Medijani trougla sijeku se u jednoj tački i dijele se sa presječnom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha.

Tačka presjeka medijana pravilnog trougla dijeli medijanu na dva segmenta, od kojih je manji jednak poluprečniku upisane kružnice, a veći poluprečniku upisane kružnice.

Poluprečnik upisane kružnice je dvostruko veći od poluprečnika upisane kružnice: R = 2r

Srednja dužina proizvoljan trougao

ovdje - medijana povučena u stranu, - dužine stranica trougla.

Simetrala trougla

Ovo je segment simetrale bilo kojeg ugla trokuta, koji povezuje vrh ovog ugla sa suprotnom stranom.

Simetrala trougla dijeli stranu na segmente proporcionalne susjednim stranicama:

Simetrale trougla seku u jednoj tački, koja je centar upisane kružnice.

Sve tačke simetrale ugla jednako su udaljene od stranica ugla.

Visina trougla

Ovo je segment okomice spušten sa vrha trougla na suprotnu stranu, ili njegov nastavak. U tupouglu, visina povučena iz vrha oštrog ugla leži izvan trougla.

Visine trougla seku se u jednoj tački, koja se zove ortocentar trougla.

Da pronađemo visinu trougla povučeno u stranu, potrebno je pronaći njegovu površinu na bilo koji raspoloživi način, a zatim koristiti formulu:

Centar kružnice opisane oko trougla, leži u točki presjeka okomita na stranice trokuta.

Polumjer opisane kružnice trougla može se naći po sljedećim formulama:

Ovdje su dužine stranica trokuta, je površina trokuta.

gdje je dužina stranice trougla, je suprotni ugao. (Ova formula slijedi iz teoreme sinusa).

Nejednakost trougla

Svaka strana trougla je manja od zbira i veća od razlike druge dvije.

Zbir dužina bilo koje dvije strane uvijek je veći od dužine treće strane:

Nasuprot veće strane je veći ugao; naspram većeg ugla nalazi se veća strana:

Ako, onda obrnuto.

Teorema sinusa:

stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

Kosinus teorema:

Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostrukog umnoška ovih stranica kosinusom ugla između njih:

Pravokutni trokut

- to je trokut čiji je jedan od uglova 90°.

Oštri uglovi pravouglog trougla su zbir do 90°.

Hipotenuza je strana koja leži nasuprot ugla od 90°. Hipotenuza je najveća strana.

Pitagorina teorema:

kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:

Polumjer kružnice upisane u pravokutni trokut je

evo polumjera upisane kružnice, - kateta, - hipotenuze:

Centar kružnice opisane oko pravouglog trougla leži u sredini hipotenuze:

Medijan pravokutnog trokuta povučen hipotenuzom, jednako je polovini hipotenuze.

Određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa pravokutnog trokuta pogledajte

Omjer elemenata u pravokutnom trokutu:

Kvadrat visine pravokutnog trokuta, povučen iz vrha pravog ugla, jednak je proizvodu projekcija kateta i hipotenuze:

Kvadrat kateta jednak je umnošku hipotenuze i projekcije kateta na hipotenuzu:

Noga leži nasuprot uglu jednaka polovini hipotenuze:

Jednakokraki trougao.

Simetrala jednakokračnog trougla povučena do osnove je medijana i visina.

U jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki.

Apex angle.

I - strane,

I - uglovi u osnovi.

Visina, simetrala i medijana.

Pažnja! Visina, simetrala i medijan povučeni u stranu se ne poklapaju.

Pravilan trougao

(ili jednakostranični trougao ) je trokut čije su sve stranice i uglovi međusobno jednaki.

Površina pravilnog trougla je jednako sa

gdje je dužina stranice trougla.

Centar kruga upisanog u pravilan trokut, poklapa se sa središtem kružnice opisane oko pravilnog trougla i leži u tački presjeka medijana.

Točka preseka medijana pravilnog trougla deli medijanu na dva segmenta, od kojih je manji jednak poluprečniku upisane kružnice, a veći je jednak poluprečniku upisane kružnice.

Ako je jedan od uglova jednakokračnog trougla 60°, onda je ovaj trokut pravilan.

Srednja linija trougla

Ovo je segment linije koji povezuje sredine dvije strane.

Na slici, DE je srednja linija trougla ABC.

Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka je njegovoj polovini: DE || AC, AC = 2DE

Vanjski ugao trougla

Ovo je ugao uz bilo koji ugao trougla.

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva ugla koji nisu susjedni njemu.

Trigonometrijske funkcije vanjskog ugla:

Znakovi jednakosti trokuta:

1 ... Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trokuta, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

2 ... Ako su stranica i dva susedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla, onda su takvi trouglovi jednaki.

3 Ako su tri strane jednog trougla, respektivno, jednake trima stranicama drugog trougla, onda su ti trokuti jednaki.

Bitan: pošto su dva ugla u pravouglom trouglu sigurno jednaka, onda za jednakost dva pravougla trougla zahtijeva jednakost samo dva elementa: dvije stranice, ili strane i oštrog ugla.

Znakovi sličnosti trokuta:

1 ... Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta, a uglovi između ovih stranica jednaki, onda su ti trokuti slični.

2 ... Ako su tri strane jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog trokuta, onda su ti trokuti slični.

3 ... Ako su dva ugla jednog trougla jednaka dvama ugla drugog trokuta, onda su ti trokuti slični.

Bitan: u sličnim trouglovima, slične stranice leže nasuprot jednakih uglova.

Menelajeva teorema

Neka ravna linija siječe trokut, i - tačka njenog preseka sa stranicom, - tačka njenog preseka sa stranicom, i - tačka njenog preseka sa produžetkom stranice. Onda

Trouglovi.

Osnovni koncepti.

Trougao je figura koja se sastoji od tri segmenta i tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.

Segmenti se zovu stranke, i bodova - vrhovi.

Zbir uglova trougao je jednak 180 º.

Visina trougla.

Visina trougla je okomica povučena od vrha prema suprotnoj strani.

U trouglu sa oštrim uglom, visina se nalazi unutar trougla (slika 1).

U pravouglom trouglu, katete su visine trougla (slika 2).

Kod tupouglog trougla visina je izvan trougla (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trougla.

Simetrala trougla je segment koji dijeli ugao temena na pola i povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trougla.

Medijan trougla je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Dužina medijane može se izračunati pomoću formule:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

gdje m a je medijan povučen u stranu a.

U pravokutnom trokutu, medijana povučena do hipotenuze je polovina hipotenuze:

c
m c = —
2

gdje m c- medijan povučen prema hipotenuzi c(Slika 9c)

Medijani trougla se sijeku u jednoj tački (u centru mase trougla) i dijele se ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do centra je dvostruko veći od segmenta od centra do stranice trougla (slika 9c).

Tri medijane trougla dijele ga na šest jednakih trouglova.

Srednja linija trougla.

Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine njegove dvije strane (slika 10).

Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka je njenoj polovini

Vanjski ugao trougla.

Vanjski ugao trougao jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla (slika 11).

Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg nesusjednog ugla.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trougao sa pravim uglom (sl. 12).

Strana pravouglog trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Pozivaju se druge dvije strane noge.

Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu.

1) U pravouglom trouglu visina povučena iz pravog ugla formira tri slična trougla: ABC, ACH i HCB (sl. 14a). Prema tome, uglovi formirani visinom jednaki su uglovima A i B.

Fig.14a

Jednakokraki trougao.

Jednakokraki trougao je trougao sa dve strane jednake (slika 13).

Ove jednake strane se nazivaju bočne strane a treća je osnovu trougao.

U jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki. (U našem trouglu, ugao A je jednak uglu C).

U jednakokračnom trokutu, medijana povučena do osnove je i simetrala i visina trougla.

Jednakostranični trougao.

Jednakostranični trougao je trougao u kome su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trougla:

Divna svojstva trouglova.

Trokuti imaju originalna svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme s ovim oblicima. Neka od ovih svojstava su navedena iznad. Ali ponavljamo ih još jednom, dodajući im još nekoliko sjajnih karakteristika:

1) U pravouglom trouglu sa kracima od 90º, 30º i 60º b, koji leži nasuprot ugla od 30º, jednak je polovina hipotenuze. I nogua više nogub√3 puta (slika 15 a). Na primjer, ako je krak b 5, onda je hipotenuza c nužno jednako 10, a krak a je jednako 5√3.

2) U pravouglom jednakokrakom trouglu sa uglovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta krak (sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, onda je hipotenuza 5√2.

3) Srednja linija trougla jednaka je polovini paralelne stranice (slika 15 With). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, onda je paralelna srednja linija 5.

4) U pravokutnom trokutu, medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze (slika 9c): m c= s / 2.

5) Medijani trougla, koji se sijeku u jednoj tački, podijeljeni su ovom tačkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do tačke preseka medijana je dvostruko veći od segmenta od tačke preseka medijana do stranice trougla (slika 9c)

6) U pravokutnom trokutu sredina hipotenuze je središte opisane kružnice (Sl. 15 d).

Testovi jednakosti za trouglove.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i uglovi uz nju jednog trougla jednaki strani i uglovi susedni njoj drugog trougla, onda su takvi trouglovi jednaki.

Treći znak jednakosti: ako su tri strane jednog trougla jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi jednaki.

Nejednakost trougla.

U bilo kojem trouglu svaka strana je manja od zbira druge dvije strane.

Pitagorina teorema.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trougla.

1) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice visinom povučenom na ovu stranicu:

ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovini umnoška bilo koje dvije njegove stranice na sinus ugla između njih:

1
S = — AB AC · grijeh A
2

Trougao opisan oko kružnice.

Krug se naziva upisanim u trokut ako dodiruje sve njegove strane (slika 16.). a).

Trougao upisan u krug.

Trokut se naziva upisanim u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (Sl. 17 a).

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta (slika 18).

Sinus oštar ugao x suprotstavljanje krak na hipotenuzu.
Označava se ovako: grijehx.

Kosinus oštar ugao x pravougli trokut je omjer susjedni krak na hipotenuzu.
Označava se ovako: cos x.

Tangenta oštar ugao x je omjer suprotne noge i susjedne noge.
Označava se ovako: tgx.

Kotangens oštar ugao x- Ovo je odnos susedne noge i suprotne noge.
Označava se ovako: ctgx.

pravila:

Noga nasuprot uglu x, jednako je umnošku hipotenuze i grijeha x:

b = c Sin x

Noga uz ugao x, jednak je proizvodu hipotenuze i cos x:

a = c Cos x

Noga nasuprot uglu x, jednako je umnošku druge noge i tg x:

b = a Tg x

Noga uz ugao x, jednak je proizvodu druge noge i ctg x:

a = b Ctg x.

Za bilo koji oštar ugao x:

greh (90° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = grijeh x

Trougao) ili proći izvan trougla kod tupougla.

Collegiate YouTube

1 / 5

✪ VISINA BISEKTRIKE SREDNJE trougla, ocena 7

✪ simetrala, medijana, visina trougla. Geometrija 7 razred

✪ 7. razred, 17. lekcija, medijane, simetrale i visine trougla

✪ Medijan, simetrala, visina trokuta | Geometrija

✪ Kako pronaći dužinu simetrale, medijanu i visine? | Botai sa mnom # 031 | Boris Trushin

Titlovi

Svojstva presečne tačke tri visine trokuta (ortocentar)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ strelica preko desno (CA)) + (\ preko desnoj strelice (EC)) \ cdot (\ nadstrelica (AB)) = 0)

(Da bi se dokazao identitet, treba koristiti formule

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (EC)))

Za tačku E treba da uzmete presek dve visine trougla.)

Orthocenter izogonalno konjugiran sa centrom opisan krug .
Orthocenter leži na jednoj pravoj liniji sa težištem, centrom opisan krug i centar kruga od devet tačaka (vidi Ojlerovu liniju).
Orthocenter trougao sa oštrim uglom je centar kružnice upisane u njegov pravougao.
Središte trougla opisanog ortocentrom sa vrhovima u sredinama stranica ovog trougla. Posljednji trokut se zove komplementarni trokut u odnosu na prvi trokut.
Posljednje svojstvo se može formulirati na sljedeći način: Središte kružnice opisane oko trokuta služi ortocentar dodatni trougao.
Tačke simetrične ortocentar trougla u odnosu na njegove stranice, leže na opisanoj kružnici.
Tačke simetrične ortocentar trougla u odnosu na sredine stranica, također leže na opisanoj kružnici i poklapaju se s tačkama dijametralno suprotnim od odgovarajućih vrhova.
Ako je O centar opisane kružnice ΔABC, onda O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
Udaljenost od vrha trokuta do ortocentra dvostruko je veća od centra opisane kružnice do suprotne strane.
Bilo koji segment izvučen iz ortocentar prije nego što pređe opisanu kružnicu, uvijek se prepolovi Ojlerovom kružnicom. Orthocenter je centar homotetije ova dva kruga.
Hamiltonova teorema... Tri segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima trougla sa oštrim uglom dele ga na tri trougla koji imaju isti Ojlerov krug (krug od devet tačaka) kao originalni trougao sa oštrim uglom.
Posljedice Hamiltonove teoreme:
- Tri segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima trougla sa oštrim uglom dijele ga na tri Hamiltonov trougao imaju jednake polumjere opisanih kružnica.
- Radijusi opisanih krugova od tri Hamiltonovi trouglovi jednaki su poluprečniku kružnice opisane oko originalnog trougla sa oštrim uglom.
U trouglu sa oštrim uglom, ortocentar leži unutar trougla; u tupom - izvan trougla; u pravougaonom - na vrhu pravog ugla.

Osobine elevacije jednakokračnog trougla

Ako su dvije visine u trokutu jednake, onda je trokut jednakokračan (Steinerova - Lemusova teorema), a treća visina je istovremeno medijana i simetrala ugla iz kojeg izlazi.
Vrijedi i obrnuto: u jednakokračnom trouglu dvije su visine jednake, a treća visina je i medijana i simetrala.
U jednakostraničnom trouglu sve tri visine su jednake.

Osobine elevacije osnove trougla

Temelji visine čine takozvani ortotrougao, koji ima svoja svojstva.
Krug opisan oko pravougaonog trougla je Ojlerov krug. Ovaj krug također sadrži tri sredine stranica trougla i tri sredine tri segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima trougla.
Još jedna formulacija posljednjeg svojstva:
- Ojlerova teorema za krug od devet tačaka. Temelji tri visine proizvoljan trokut, sredina njegove tri strane ( osnove njenog unutrašnjeg medijane) i sredine tri segmenta koji povezuju svoje vrhove sa ortocentrom, svi leže na istoj kružnici (na krug od devet tačaka).
Teorema... U bilo kojem trokutu, segment koji povezuje temeljima dva visine trougao, odsijeca trougao poput ovog.
Teorema... U trouglu, segment koji povezuje temeljima dva visine trokuti koji leže na dvije strane, antiparalelno treća strana sa kojom nema zajedničkih tačaka. Kroz njegova dva kraja, kao i kroz dva vrha treće navedene strane, uvijek možete nacrtati krug.

Ostala svojstva elevacije trougla

Ako je trougao svestran (scalene), onda je interni simetrala povučena iz bilo kojeg vrha leži između interni medijana i visina izvučeni iz istog vrha.
Visina trokuta je izogonalno konjugirana sa prečnikom (radijusom) opisan krug izvučeno iz istog vrha.
U trouglu sa oštrim uglom, njegova dva visine odrežite takve trouglove od njega.
U pravouglu visina povučen iz vrha pravog ugla deli ga na dva trougla slična originalnom.

Svojstva minimuma visina trougla

Najmanja visina trougla ima mnoga ekstremna svojstva. Na primjer:

Minimalna ortogonalna projekcija trougla na prave linije koje leže u ravni trokuta ima dužinu jednaku najmanjoj od njegovih visina.
Minimalni ravni presjek u ravni kroz koji se može provući nesavitljiva trokutna ploča mora imati dužinu jednaku najmanjoj visini ove ploče.
Uz kontinuirano kretanje dvije tačke duž perimetra trokuta jedna prema drugoj, maksimalna udaljenost između njih za vrijeme kretanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od dužine najmanje visine trougla.
Minimalna visina u trouglu uvijek leži unutar tog trougla.

Osnovni odnosi

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) gdje S (\ displaystyle S)- površina trougla, a (\ displaystyle a)- dužina stranice trougla na koju se visina spušta.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) gdje b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- proizvod stranica, R - (\ displaystyle R-) poluprečnik opisane kružnice
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), gdje r (\ displaystyle r) je poluprečnik upisane kružnice.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), gdje S (\ displaystyle S)- površina trougla.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), a (\ displaystyle a)- strana trougla na koju visina pada h a (\ displaystyle h_ (a)).
Visina jednakokračnog trokuta, spuštenog na osnovu: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ))

gdje c (\ displaystyle c)- baza, a (\ displaystyle a)- strana.

Teorema o visini za pravougli trokut

Ako je visina u pravokutnom trouglu ABC sa dužinom h (\ displaystyle h) povučen iz vrha pravog ugla dijeli hipotenuzu dužinom c (\ displaystyle c) za segmente m (\ displaystyle m) i n (\ displaystyle n) odgovara nogama b (\ displaystyle b) i a (\ displaystyle a), tada su sljedeće jednakosti tačne.