Alle Höhen des Dreiecks schneiden sich in zwei Punkten. Grundelemente des Dreiecks abc. Das Problem der Anwendung des Satzes des Pythagoras
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Bei der Lösung geometrischer Probleme ist es sinnvoll, diesem Algorithmus zu folgen. Beim Lesen der Problembeschreibung müssen Sie
- Fertige eine Zeichnung an. Die Zeichnung sollte möglichst dem Zustand des Problems entsprechen, daher besteht ihre Hauptaufgabe darin, bei der Lösungsfindung zu helfen
- Übernehmen Sie alle Daten aus der Problemstellung auf die Zeichnung
- Schreiben Sie alle geometrischen Konzepte auf, die in der Aufgabe vorkommen
- Erinnern Sie sich an alle Sätze, die sich auf dieses Konzept beziehen
- Zeichnen Sie in die Zeichnung alle Beziehungen zwischen den Elementen einer geometrischen Figur ein, die sich aus diesen Sätzen ergeben
Wenn in der Aufgabe beispielsweise das Wort Winkelhalbierende eines Dreiecks vorkommt, müssen Sie sich an die Definition und die Eigenschaften der Winkelhalbierenden erinnern und in der Zeichnung gleiche oder proportionale Segmente und Winkel bezeichnen.
In diesem Artikel finden Sie die grundlegenden Eigenschaften eines Dreiecks, die Sie kennen müssen, um Probleme erfolgreich zu lösen.
DREIECK.
Fläche eines Dreiecks.
1. ,
hier ist eine beliebige Seite des Dreiecks, ist die Höhe auf diese Seite abgesenkt.
2.
,
hier und sind beliebige Seiten des Dreiecks, ist der Winkel zwischen diesen Seiten:
3. Reiherformel:
Hier sind die Längen der Seiten des Dreiecks, ist der Halbumfang des Dreiecks,
4. ,
hier ist der Halbumfang des Dreiecks, ist der Radius des eingeschriebenen Kreises.
Seien die Längen der Tangentensegmente.
Dann kann die Formel von Heron wie folgt geschrieben werden:
5.
6. ,
hier - die Längen der Seiten des Dreiecks, - der Radius des umschriebenen Kreises.
Wird ein Punkt auf einer Seite eines Dreiecks genommen, das diese Seite im Verhältnis m: n teilt, dann teilt das Segment, das diesen Punkt mit dem Scheitel des gegenüberliegenden Winkels verbindet, das Dreieck in zwei Dreiecke, deren Flächen sich zu m : n:
Das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.
Median eines Dreiecks
Dies ist das Liniensegment, das die Spitze des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Dreiecksmediane an einem Punkt schneiden und durch den Schnittpunkt im Verhältnis 2 : 1 geteilt werden, gerechnet vom Scheitelpunkt aus.
Der Schnittpunkt der Mediane eines regelmäßigen Dreiecks teilt den Median in zwei Segmente, von denen das kleinere gleich dem Radius des einbeschriebenen Kreises und das größere gleich dem Radius des einbeschriebenen Kreises ist.
Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist doppelt so groß wie der Radius des eingeschriebenen Kreises: R = 2r
Mittlere Länge beliebiges Dreieck
,
hier - der zur Seite gezogene Median, - die Längen der Seiten des Dreiecks.
Halbierende eines Dreiecks
Dies ist ein Segment der Winkelhalbierenden einer beliebigen Ecke des Dreiecks, das den Scheitelpunkt dieses Winkels mit der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Halbierende eines Dreiecks teilt die Seite in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten:
Halbierende eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, der der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist.
Alle Punkte der Winkelhalbierenden eines Winkels sind von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.
Dreieckshöhe
Dies ist ein Segment der Senkrechten, das von der Spitze des Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite fällt, oder seine Fortsetzung. Bei einem stumpfen Dreieck liegt die vom Scheitelpunkt des spitzen Winkels gezogene Höhe außerhalb des Dreiecks.
Die Höhen des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der genannt wird das Orthozentrum des Dreiecks.
Um die Höhe eines Dreiecks zu finden zur Seite gezogen, müssen Sie den Bereich auf jede verfügbare Weise finden und dann die Formel verwenden:
Mittelpunkt eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises, liegt im Schnittpunkt der Senkrechten zu den Seiten des Dreiecks.
Der Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks lässt sich mit den folgenden Formeln ermitteln:
Hier sind die Längen der Seiten des Dreiecks, die Fläche des Dreiecks.
,
Wo ist die Länge der Seite des Dreiecks, ist der entgegengesetzte Winkel. (Diese Formel folgt aus dem Sinussatz).
Dreiecksungleichung
Jede Seite des Dreiecks ist kleiner als die Summe und größer als die Differenz der anderen beiden.
Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten ist immer größer als die Länge der dritten Seite:
Gegenüber der größeren Seite ist der größere Winkel; gegenüber der größeren Ecke liegt die größere Seite:
Wenn, dann umgekehrt.
Sinussatz:
die Seiten des Dreiecks sind proportional zu den Sinus der gegenüberliegenden Winkel:
Kosinussatz:
das Seitenquadrat eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ohne das doppelte Produkt dieser Seiten durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:
Rechtwinkliges Dreieck
- es ist ein Dreieck, dessen einer der Winkel 90 ° beträgt.
Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks addieren sich zu 90°.
Die Hypotenuse ist die Seite, die einem 90°-Winkel gegenüberliegt. Die Hypotenuse ist die größte Seite.
Satz des Pythagoras:
das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine: 
Der Radius eines in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschriebenen Kreises ist
,
hier ist der Radius des eingeschriebenen Kreises, - Beine, - Hypotenuse:
Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt in der Mitte der Hypotenuse:
Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, gleich der Hälfte der Hypotenuse.
Bestimmung von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens eines rechtwinkligen Dreiecks suchen
Verhältnis der Elemente in einem rechtwinkligen Dreieck:
Das Quadrat der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitel des rechten Winkels gezogen wird, ist gleich dem Produkt der Projektionen der Beine und der Hypotenuse:
Das Quadrat des Beins ist gleich dem Produkt der Hypotenuse und der Projektion des Beins auf die Hypotenuse:
Bein liegt gegenüber der Ecke gleich der halben Hypotenuse:
Gleichschenkligen Dreiecks.
Die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks zur Basis ist der Median und die Höhe.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.
Spitzenwinkel.
Und - die Seiten,
Und - Winkel an der Basis.
Höhe, Winkelhalbierende und Median.
Aufmerksamkeit! Höhe, Winkelhalbierende und zur Seite gezogener Median stimmen nicht überein.
Regelmäßiges Dreieck
(oder gleichseitiges Dreieck ) ist ein Dreieck, dessen Seiten und Winkel gleich sind.
Fläche eines regelmäßigen Dreiecks ist gleich
wo ist die Seitenlänge des Dreiecks.
Mittelpunkt eines Kreises, der in ein regelmäßiges Dreieck eingeschrieben ist, fällt mit dem Mittelpunkt eines um ein regelmäßiges Dreieck umschriebenen Kreises zusammen und liegt im Schnittpunkt der Mediane.
Schnittpunkt der Mediane eines regelmäßigen Dreiecks teilt den Median in zwei Segmente, von denen das kleinere gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises und das größere gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises ist.
Wenn einer der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks 60 ° beträgt, ist dieses Dreieck regelmäßig.
Mittellinie eines Dreiecks
Dies ist das Liniensegment, das die Mittelpunkte der beiden Seiten verbindet.
In der Abbildung ist DE die Mittellinie des Dreiecks ABC.
Die Mittellinie des Dreiecks ist parallel zur dritten Seite und gleich der Hälfte davon: DE || AC, AC = 2DE
Außenecke eines Dreiecks
Dies ist die Ecke neben einer beliebigen Ecke des Dreiecks.
Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier Winkel, die nicht benachbart sind.
Trigonometrische Funktionen des Außenwinkels:
Zeichen der Gleichheit von Dreiecken:
1 ... Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich den beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich.
2 ... Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich.
3 Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich.
Wichtig: da zwei Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sicher gleich sind, dann gilt für Gleichheit von zwei rechtwinkligen Dreiecken erfordert die Gleichheit von nur zwei Elementen: zwei Seiten oder einer Seite und einem spitzen Winkel.
Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken:
1 ... Wenn die beiden Seiten eines Dreiecks proportional zu den beiden Seiten des anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.
2 ... Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.
3 ... Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.
Wichtig: in ähnlichen Dreiecken liegen ähnliche Seiten gleichen Winkeln gegenüber.
Satz von Menelaos
Eine Gerade schneidet ein Dreieck und - ihren Schnittpunkt mit der Seite, - ihren Schnittpunkt mit der Seite und - ihren Schnittpunkt mit der Verlängerung der Seite. Dann
Dreiecke.
Grundlegendes Konzept.
Dreieck ist eine Figur, die aus drei Liniensegmenten und drei Punkten besteht, die nicht auf einer Geraden liegen.
Die Segmente heißen Parteien, und Punkte - Gipfel.
Summe der Winkel ein Dreieck ist gleich 180 º.
Die Höhe des Dreiecks.
Dreieckshöhe ist eine Senkrechte, die von oben zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird.
Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist die Höhe innerhalb des Dreiecks enthalten (Abb. 1).
Bei einem rechtwinkligen Dreieck entsprechen die Schenkel der Höhe des Dreiecks (Abb. 2).
Bei einem stumpfen Dreieck liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks (Abbildung 3).
Eigenschaften der Dreieckshöhe:
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks.
Halbierende eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das die Ecke des Scheitelpunkts in zwei Hälften teilt und den Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet (Abb. 5).
Halbierende Eigenschaften:
Median des Dreiecks.
Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das den Scheitelpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet (Abb. 9a).
| Die Länge des Medians lässt sich nach folgender Formel berechnen: 2B 2 + 2C 2 - ein 2 wo ich bin ist der Median zur Seite gezogen ein. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median die halbe Hypotenuse: C wo m c- der Median, der zur Hypotenuse gezogen wird C(Abbildung 9c) Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (im Massenmittelpunkt des Dreiecks) und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt, gerechnet vom Scheitelpunkt aus. Das heißt, das Segment vom Scheitelpunkt zum Mittelpunkt ist doppelt so groß wie das Segment vom Mittelpunkt zur Seite des Dreiecks (Abbildung 9c). Drei Mediane eines Dreiecks teilen es in sechs gleiche Dreiecke. |
Die Mittellinie des Dreiecks.
Mittellinie eines Dreiecks ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet (Abb. 10).
Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur dritten Seite und entspricht der Hälfte davon
Die äußere Ecke des Dreiecks.
Außenecke Dreieck ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel (Abb. 11).
Die äußere Ecke eines Dreiecks ist größer als jeder nicht benachbarte Winkel.
Rechtwinkliges Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel (Abb. 12).
Die einem rechten Winkel gegenüberliegende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse.
Die anderen beiden Parteien heißen Beine.
Proportionale Liniensegmente in einem rechtwinkligen Dreieck.
1) In einem rechtwinkligen Dreieck bildet die aus einem rechten Winkel gezogene Höhe drei ähnliche Dreiecke: ABC, ACH und HCB (Abb. 14a). Dementsprechend sind die durch die Höhe gebildeten Winkel gleich den Winkeln A und B.
Abb.14a
Gleichschenkligen Dreiecks.
Gleichschenkligen Dreiecks ist ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten (Abb. 13).
Diese gleichen Seiten heißen seitliche Seiten und der dritte ist Basis Dreieck.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. (In unserem Dreieck ist der Winkel A gleich dem Winkel C).
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der zur Basis gezogene Median sowohl die Winkelhalbierende als auch die Höhe des Dreiecks.
Gleichseitiges Dreieck.
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind (Abb. 14).
Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks:
Wunderbare Eigenschaften von Dreiecken.
Dreiecke haben originelle Eigenschaften, die Ihnen helfen, Probleme mit diesen Formen erfolgreich zu lösen. Einige dieser Eigenschaften sind oben beschrieben. Aber wir wiederholen sie noch einmal und fügen ihnen einige andere großartige Funktionen hinzu:
| 1) In einem rechtwinkligen Dreieck mit Winkeln 90º, 30º und 60º Schenkel B, die einem Winkel von 30° gegenüberliegt, ist gleich Hälfte der Hypotenuse. Und das Beinein mehr BeinB√3-mal (Abb. 15 .) ein). Wenn zum Beispiel Bein b 5 ist, dann ist die Hypotenuse C notwendigerweise gleich 10, und das Bein ein ist gleich 5√3. 2) In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck mit Winkeln von 90º, 45º und 45º ist die Hypotenuse √2 mal so groß wie das Bein (Abb. 15 B). Wenn die Beine beispielsweise 5 sind, beträgt die Hypotenuse 5√2. 3) Die Mittellinie des Dreiecks entspricht der Hälfte der parallelen Seite (Abb. 15 Mit). Wenn die Seite eines Dreiecks beispielsweise 10 ist, ist die parallele Mittellinie 5. 4) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse (Abbildung 9c): m c= s / 2. 5) Die Mediane eines Dreiecks, das sich in einem Punkt schneidet, werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt. Das heißt, das Segment vom Scheitelpunkt bis zum Schnittpunkt der Mediane ist doppelt so groß wie das Segment vom Schnittpunkt der Mediane bis zur Seite des Dreiecks (Abbildung 9c) 6) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Mitte der Hypotenuse der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises (Abb. 15 D). |
Gleichheitstests für Dreiecke.
Das erste Zeichen der Gleichberechtigung: Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich.
Das zweite Zeichen der Gleichheit: Wenn die Seite und die angrenzenden Winkel des einen Dreiecks gleich der Seite und die angrenzenden Winkel des anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke gleich.
Das dritte Zeichen der Gleichheit: Wenn drei Seiten eines Dreiecks gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke gleich.
Dreiecksungleichung.
In jedem Dreieck ist jede Seite kleiner als die Summe der anderen beiden Seiten.
Satz des Pythagoras.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine:
C 2 = ein 2 + B 2 .
Fläche eines Dreiecks.
1) Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Seite mal der zu dieser Seite gezogenen Höhe:
Ah
S = ——
2
2) Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt von zwei beliebigen seiner Seiten durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen:
1
S = —
AB
AC ·
Sünde EIN
2
Ein um einen Kreis umschriebenes Dreieck.
Ein Kreis heißt in ein Dreieck eingeschrieben, wenn er alle seine Seiten berührt (Abb. 16 ein).
Ein in einen Kreis eingeschriebenes Dreieck.
Ein Dreieck heißt in einen Kreis eingeschrieben, wenn es ihn mit allen seinen Ecken berührt (Abb. 17 ein).
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks (Abb. 18).
Sinus spitzer Winkel x gegensätzlich Bein zur Hypotenuse.
Es wird so bezeichnet: Sündex.
Kosinus spitzer Winkel x rechtwinkliges Dreieck ist das Verhältnis benachbart Bein zur Hypotenuse.
Es wird so bezeichnet: cos x.
Tangente spitzer Winkel x ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.
Es wird so bezeichnet: tgx.
Kotangens spitzer Winkel x- Dies ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden.
Es wird so bezeichnet: ctgx.
Regeln:
Bein gegenüber der Ecke x, ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und sin x:
b = c Sünde x
Bein neben der Ecke x, ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und cos x:
a = c Cos x
Bein gegenüber der Ecke x, ist gleich dem Produkt des zweiten Schenkels und tg x:
b = a Tg x
Bein neben der Ecke x, ist gleich dem Produkt des zweiten Schenkels und ctg x:
a = b Ctg x.
Für jeden spitzen Winkel x:
Sünde (90 ° - x) = cos x
cos (90 ° - x) = Sünde x
Dreieck) oder außerhalb des Dreiecks an einem stumpfen Dreieck vorbeifahren.
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✪ Median, Halbierende, Dreieckshöhe | Geometrie
✪ Wie finde ich die Länge der Winkelhalbierenden, den Median und die Höhen? | Botai mit mir # 031 | Boris Truschin
Untertitel
Eigenschaften des Schnittpunktes der drei Höhen des Dreiecks (Orthozentrum)
EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)
(Um die Identität zu beweisen, sollte man die Formeln verwenden
AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (EG)))Für Punkt E sollten Sie den Schnittpunkt der beiden Höhen des Dreiecks nehmen.)
- Orthozentrum isogonal konjugiert zu center umschriebener Kreis .
- Orthozentrum liegt auf einer Geraden mit dem Schwerpunkt, center umschriebener Kreis und der Mittelpunkt eines Kreises aus neun Punkten (siehe Eulersche Linie).
- Orthozentrum ein spitzwinkliges Dreieck ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in sein ortho-Dreieck einbeschrieben ist.
- Der Mittelpunkt eines Dreiecks, das vom Orthozentrum umschrieben wird, mit Scheitelpunkten in den Mittelpunkten der Seiten dieses Dreiecks. Das letzte Dreieck wird in Bezug auf das erste Dreieck als komplementäres Dreieck bezeichnet.
- Die letzte Eigenschaft lässt sich wie folgt formulieren: Der Mittelpunkt eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises dient Orthozentrum zusätzliches Dreieck.
- Punkte symmetrisch Orthozentrum eines Dreiecks in Bezug auf seine Seiten auf dem umschriebenen Kreis liegen.
- Punkte symmetrisch Orthozentrum eines Dreiecks in Bezug auf die Mittelpunkte der Seiten, liegen ebenfalls auf dem Umkreis und fallen mit Punkten zusammen, die den entsprechenden Scheitelpunkten diametral gegenüberliegen.
- Ist O der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ΔABC, dann O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
- Der Abstand von der Spitze des Dreiecks zum Orthozentrum ist doppelt so groß wie der Abstand vom Mittelpunkt des Umkreises zur gegenüberliegenden Seite.
- Beliebiges Segment aus Orthozentrum vor dem Überqueren des Umkreises wird er immer durch den Eulerschen Kreis halbiert. Orthozentrum ist der Mittelpunkt der Homothetie dieser beiden Kreise.
- Satz von Hamilton... Drei Liniensegmente, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten eines spitzwinkligen Dreiecks verbinden, teilen es in drei Dreiecke mit demselben Eulerkreis (einem Kreis aus neun Punkten) wie das ursprüngliche spitzwinklige Dreieck.
- Konsequenzen des Satzes von Hamilton:
- Drei Liniensegmente, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten eines spitzwinkligen Dreiecks verbinden, teilen es in drei Hamiltons Dreieck mit gleichen Radien der umschriebenen Kreise.
- Die Radien der umschriebenen Kreise von drei Hamiltons Dreiecke gleich dem Radius des um das ursprüngliche spitzwinklige Dreieck umschriebenen Kreises sind.
- In einem spitzwinkligen Dreieck liegt das Orthozentrum innerhalb des Dreiecks; stumpf - außerhalb des Dreiecks; in einem rechteckigen - an der Spitze eines rechten Winkels.
Höheneigenschaften gleichschenkliger Dreiecke
- Wenn zwei Höhen in einem Dreieck gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig (Steiner-Lemus-Theorem), und die dritte Höhe ist gleichzeitig Mittel- und Winkelhalbierende des Winkels, aus dem es herauskommt.
- Das Umgekehrte gilt auch: In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Höhen gleich und die dritte Höhe ist sowohl der Median als auch die Winkelhalbierende.
- In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Höhen gleich.
Grundhöheneigenschaften eines Dreiecks
- Fundamente Höhen bilden das sogenannte Ortodreieck, das seine eigenen Eigenschaften hat.
- Der um das Orthodreieck umschriebene Kreis ist der Eulersche Kreis. Dieser Kreis enthält auch drei Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und drei Mittelpunkte von drei Segmenten, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten des Dreiecks verbinden.
- Eine andere Formulierung der letzten Eigenschaft:
- Satz von Euler für einen Kreis von neun Punkten. Fundamente drei Höhen ein beliebiges Dreieck, die Mitte seiner drei Seiten ( Grundlagen seiner internen Mediane) und die Mittelpunkte von drei Segmenten, die ihre Scheitelpunkte mit dem Orthozentrum verbinden, liegen alle auf demselben Kreis (auf Kreis aus neun Punkten).
- Satz... In jedem Dreieck ein Segment, das Fundamente zwei Höhen Dreieck, schneidet ein Dreieck wie dieses ab.
- Satz... In einem Dreieck, ein Segment, das Fundamente zwei Höhen auf zwei Seiten liegende Dreiecke, antiparallel einen Dritten, mit dem sie keine Gemeinsamkeiten hat. Durch seine beiden Enden sowie durch zwei Eckpunkte der drittgenannten Seite kann man immer einen Kreis zeichnen.
Andere Dreieckshöheneigenschaften
- Wenn das Dreieck vielseitig (Scalen), dann ist es intern die Winkelhalbierende von jedem Scheitelpunkt liegt zwischen intern Median und Höhe vom gleichen Peak.
- Die Höhe des Dreiecks ist isogonal konjugiert zum Durchmesser (Radius) umschriebener Kreis vom gleichen Scheitelpunkt gezeichnet.
- In einem spitzwinkligen Dreieck sind seine zwei Höhen schneiden Sie solche Dreiecke davon ab.
- In einem rechtwinkligen Dreieck Höhe vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels gezeichnet, teilt es in zwei Dreiecke, die dem ursprünglichen ähnlich sind.
Eigenschaften des Minimums der Dreieckshöhen
Die kleinste der Dreieckshöhen hat viele extreme Eigenschaften. Zum Beispiel:
- Die minimale orthogonale Projektion eines Dreiecks auf in der Ebene des Dreiecks liegende Geraden hat eine Länge gleich seiner kleinsten Höhe.
- Der minimale gerade Abschnitt in der Ebene, durch den eine unbiegsame dreieckige Platte gezogen werden kann, muss eine Länge haben, die der kleinsten der Höhen dieser Platte entspricht.
- Bei der kontinuierlichen Bewegung zweier Punkte entlang des Umfangs des Dreiecks aufeinander zu, darf der maximale Abstand zwischen ihnen während der Bewegung vom ersten Auftreffen zum zweiten nicht kleiner sein als die Länge der kleinsten der Dreieckshöhen.
- Die minimale Höhe in einem Dreieck liegt immer innerhalb dieses Dreiecks.
Grundlegende Beziehungen
- h a = b ⋅ sin γ = c ⋅ sin β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
- h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) wo S (\ Anzeigestil S)- Fläche eines Dreiecks, a (\ Anzeigestil a)- die Länge der Seite des Dreiecks, auf die die Höhe abgesenkt wird.
- h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) wo b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- das Produkt der Seiten, R - (\ Anzeigestil R-) Radius des umschriebenen Kreises
- h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
- 1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), wo r (\ Anzeigestil r) ist der Radius des eingeschriebenen Kreises.
- S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), wo S (\ Anzeigestil S)- Fläche eines Dreiecks.
- a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1 ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (ein))))))))), a (\ Anzeigestil a)- die Seite des Dreiecks, auf die die Höhe fällt h a (\ displaystyle h_ (a)).
- Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, auf die Basis abgesenkt: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ),)
Höhensatz für ein rechtwinkliges Dreieck
Ist die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit einer Länge h (\ Anzeigestil h) vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen teilt die Hypotenuse mit der Länge c (\ Anzeigestil c) für Segmente m (\ Anzeigestil m) und n (\ Anzeigestil n) entsprechend den Beinen b (\ Anzeigestil b) und a (\ Anzeigestil a), dann sind die folgenden Gleichungen wahr.
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