Cómo encontrar el valor más pequeño de la función. El uso del derivado para encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función continua en el intervalo.

En la lección sobre el tema "Aplicación de la derivada para encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función continua en el intervalo", se considerará que las tareas relativamente simples encuentren los valores de función más grandes y más pequeños en una brecha dada utilizando un derivado.

TEMA: Derivado

Lección: aplicar un derivado para encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función continua en el intervalo

En esta lección, consideramos una tarea más sencilla, a saber, el intervalo se establecerá, la función continua se establecerá en este intervalo. Es necesario saber más y el valor más pequeño de los especificados. funciones En especificado brecha.

№ 32.1 (b). Dano: ,. Dibuja un gráfico de función (ver Fig. 1).

Higo. 1. Gráfico de función.

Se sabe que esta función aumenta en el intervalo, significa que aumenta el segmento. Por lo tanto, si encuentra el valor de la función en los puntos y, entonces se conocerán los límites de cambiar esta función, se conocerá su mayor y más pequeño valor.

Cuando el argumento aumenta de 8 a 8, la función aumenta desde antes.

Respuesta: ; .

No. 32.2 (a) Se da: encuentre los valores más grandes y más pequeños de la función en un intervalo dado.

Construimos una gráfica de esta función (ver Fig. 2).

Si el argumento varía según el intervalo, la función aumenta de -2 a 2. Si aumenta el argumento, entonces la función disminuye de 2 a 0.

Higo. 2. Programa de función.

Encuentra un derivado.

, . Si, entonces este valor pertenece al segmento especificado. Si, entonces. Es fácil verificar si toma otros valores, los puntos estacionarios correspondientes van más allá del segmento especificado. Compare los valores de la función en los extremos del segmento y en los puntos seleccionados en los que la derivada es cero. Encontrar

;

Respuesta: ;.

Entonces, la respuesta se recibe. Se puede usar el derivado en este caso, no puede usarlo, aplicar las propiedades de la función que se han estudiado anteriormente. No siempre sucede, a veces el uso del derivado es el único método que le permite resolver tales tareas.

Dano: ,. Encuentre el mayor y más pequeño valor de la función en este segmento.

Si en el caso anterior fue posible hacer sin un derivado, sabíamos cómo se comporta la función, entonces, en este caso, la función es bastante complicada. Por lo tanto, esa metodología que mencionamos en la tarea anterior está llena.

1. Encuentra un derivado. Encontramos puntos críticos, desde aquí, - puntos críticos. Eligen aquellos que pertenecen a este segmento :. Compara el valor de la función en los puntos ,, Para hacer esto, encuentra

Ilustramos el resultado en la figura (ver Fig. 3).

Higo. 3. Límites para cambiar los valores de la función.

Vemos que si el argumento varía de 0 a 2, la función varía de -3 a 4. La función cambia no monótonamente: aumenta ni disminuye.

Respuesta: ;.

Entonces, en tres ejemplos, se demostró un método general para encontrar la función más grande y más pequeña de la función en el intervalo, en este caso, en el segmento.

El algoritmo para resolver la tarea de encontrar los valores de función más grandes y más pequeños:

1. Encuentra una función derivada.

2. Encuentre los puntos críticos de la función y seleccione los puntos que se encuentran en un segmento dado.

3. Encuentre los valores de la función en los extremos del segmento y en los puntos seleccionados.

4. Compare estos valores y elija el más grande y más pequeño.

Considera otro ejemplo.

Encuentra la función más grande y más pequeña de la función.

Anteriormente, se consideró un gráfico de esta función (ver Fig.4).

Higo. 4. Gráfico de función.

En el rango del valor de esta función. . El punto es un punto máximo. Cuando, la función aumenta, cuando, la función disminuye. Desde el dibujo se puede ver que, no existe.

Entonces, en la lección, la tarea del mayor y más pequeño valor de la función se consideró cuando el intervalo especificado es el segmento; Algoritmo formulado para resolver tales tareas.

1. Álgebra y análisis de inicio, 10º grado (en dos partes). Libro de texto para instituciones de educación general (nivel de perfil) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2009.

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Recursos web adicionales

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Hacer hogar

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Desde un punto de vista práctico, el uso del derivado para encontrar la función más grande y más pequeña de la función es mayor interés. ¿Con qué está conectado? Maximización de ganancias, minimización de costos, determinando la carga de equipos óptimos ... en otras palabras, en muchas áreas de la vida, debe resolver problemas para optimizar cualquier parámetros. Y estas son las tareas de encontrar la función más grande y más pequeña de la función.

Cabe señalar que el mayor y más pequeño valor de la función generalmente se busca en un cierto intervalo X, que es toda la función de determinar la función o parte del área de definición. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto. , infinito brecha.

En este artículo, hablaremos sobre encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función explícitamente específica de una variable y \u003d f (x).

Navegando.

El mayor y más pequeño valor de la función son las definiciones, ilustración.

Centrarse brevemente en las definiciones básicas.

El mayor valor de la función que para cualquier Desigualdad justa.

El valor más pequeño de la función. y \u003d f (x) en el intervalo de x Llame tal valor que para cualquier Desigualdad justa.

Estas definiciones son intuitivas: el mayor valor (más pequeño) de la función es el mayor valor (pequeño) en el intervalo en consideración durante la abscisa.

Puntos estacionarios - Estos son los valores del argumento en el que se dibuja la función derivada a cero.

¿Por qué tenemos puntos estacionarios al encontrar los valores más grandes y más pequeños? La respuesta a esta pregunta le da al teorema de la granja. A partir de este teorema, se deduce que si la función diferencial tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún momento, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su mayor valor más grande (el más pequeño) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de esta brecha.

También a menudo la función más grande y más pequeña puede tomar en los puntos en los que no hay primer derivado de esta función, y la función en sí está definida.

Inmediatamente responda una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Puede siempre determinar la función más grande (más pequeña)"? No, no siempre. A veces, los límites de la brecha X coinciden con los límites de la función de determinar la función o el intervalo X son infinitos. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del área de definición pueden tomar valores infinitamente grandes e infinitos. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor de función más grande y más pequeño.

Para mayor claridad, dale una ilustración gráfica. Mira los dibujos, y mucho se volverá más claro.

En corte

En el primer dibujo, la función toma el mayor (max y) y los valores más pequeños (min y) en puntos estacionarios dentro del segmento [-6; 6].

Considere el caso representado en el segundo dibujo. Cambiar el segmento encendido. En este ejemplo, la función más pequeña de la función se logra en un punto estacionario, y el más grande, en un punto con una abscisa correspondiente al límite derecho del intervalo.

Figura 2, los puntos de límite del segmento [-3; 2] son \u200b\u200blas absclaciones de los puntos correspondientes al mayor y más pequeño valor de la función.

Intervalo abierto

En el cuarto dibujo, la función toma los valores más grandes (máx. Y) y los más pequeños (MIN Y) en los puntos estacionarios dentro del intervalo abierto (-6; 6).

En el intervalo, no puede hacer conclusiones sobre el mayor valor.

En el infinito

En el ejemplo presentado en el séptimo patrón, la función toma el valor más alto (MAX Y) en el punto estacionario con la abscisa X \u003d 1, y el valor más pequeño (MIN Y) se logra en el límite derecho del intervalo. En el infinito menos, los valores de la función se acercan asintóticamente a Y \u003d 3.

En el intervalo, la función no alcanza el valor más pequeño o el mayor. Cuando el X \u003d 2 se esfuerza hacia la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (recta X \u003d 2 son asintotra vertical), y cuando la abscisa se esfuerza por el más del infinito, los valores de la Función APROXIMACIÓN ASYMPTÓMICO Y \u003d 3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura No. 8.

El algoritmo para encontrar la función continua más grande y más pequeña en el segmento.

Escribimos el algoritmo que le permite encontrar el mayor y más pequeño valor de la función en el segmento.

1. Encuentre una función de determinar la función y verifique si contiene todo el segmento.
2. Encontramos todos los puntos en los que no existe el primer derivado y que están contenidos en el segmento (generalmente se usan dichos puntos se utilizan en las funciones con el argumento bajo el signo del módulo y en las funciones de potencia con un indicador racional fraccionario). Si no hay tales puntos, vaya al siguiente artículo.
3. Definimos todos los puntos estacionarios que caen en un segmento. Para esto, lo igualamos a cero, resuelva la ecuación obtenida y elija las raíces correctas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, nos dirigimos al siguiente artículo.
4. Calcule los valores de la función en los puntos estacionarios seleccionados (si corresponde), en los puntos en los que no hay primer derivado (si corresponde), así como con x \u003d a y x \u003d b.
5. A partir de los valores obtenidos de la función, seleccione los más grandes y más pequeños, que serán los valores más famosos y más pequeños de la función, respectivamente.

Analizaremos el algoritmo al resolver un ejemplo para encontrar la función más grande y más pequeña de la función en el segmento.

Ejemplo.

Encuentra la función más grande y más pequeña.

• en el segmento;
• en el segmento [-4; -1].

Decisión.

El área de definición de campo es de muchos números válidos, excepto cero, es decir. Ambos segmentos caen en el área de definición.

Encuentra una función derivada por:

Obviamente, la función derivada existe en todos los puntos de los segmentos y [-4; -1].

Puntos estacionarios que definimos de la ecuación. La única raíz válida es x \u003d 2. Este punto estacionario entra en el primer segmento.

Para el primer caso, calcule los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, en x \u003d 1, x \u003d 2 y x \u003d 4:

Por lo tanto, el mayor valor de la función. logrado en x \u003d 1, y el valor más pequeño - en x \u003d 2.

Para un segundo caso, calcule los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4; -1] (ya que no contiene un solo punto estacionario):

El proceso de encontrar el mayor y mayor valor de la función en el segmento se asemeja a una implementación emocionante de un objeto (gráficos de la función) por un helicóptero con un cáscara de un cañón de largo alcance de ciertos puntos y una opción de estos puntos de Todos los puntos especiales para disparos de control. Los puntos se seleccionan de cierta manera y de acuerdo con las reglas específicas. ¿Por qué reglas? Seguiremos hablando de ello.

Si la función y = f.(x.) Continuo en el segmento [ uNA., b.], luego ella llega a este segmento el mas pequeño y los mejores significados . Puede suceder ya sea en puntos de extremo O en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar el mas pequeño y los mayores valores de la función. Continuo en el segmento [ uNA., b.], necesitas calcular sus valores en todos puntos críticos Y en los extremos del segmento, y luego elige de ellos lo más pequeño y más.

Deje que, por ejemplo, se requiere que determine el mayor valor de la función. f.(x.) en el segmento [ uNA., b.]. Para hacer esto, encuentre todos sus puntos críticos en [ uNA., b.] .

Punto crítico Llamado un punto en el que la función se define , y ella derivado Ya sea igual a cero, o no existe. Luego debe calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y, finalmente, debe compararse entre sí el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( f.(uNA.) I. f.(b.)). El mayor de estos números lo hará. el mayor valor de la función en el segmento. [uNA., b.] .

Del mismo modo, las tareas están resueltas. los valores más pequeños de la función. .

Estamos buscando los valores más pequeños y mayores de la función juntos.

Ejemplo 1. Encuentre los valores más pequeños y mayores de la función. en corte [-1, 2] .

Decisión. Encontramos el derivado de esta función. Equipamos el cero derivado () y obtenemos dos puntos críticos: y. Para encontrar los valores más pequeños y mayores de la función en una sección determinada, basta con calcular sus valores en las secciones del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2 ]. Estos valores de función son los siguientes :,,, Resulta que el significado más pequeño de la función. (en la tabla a continuación designada roja), igual a -7, se logra en el extremo derecho del segmento, en el punto, y la mayoría (También rojo a tiempo), igual a 9, - en un punto crítico.

Si la función es continua en algún intervalo y este espacio no es un segmento (a, por ejemplo, el intervalo; la diferencia entre el intervalo y el segmento: los puntos límite del intervalo no están incluidos en el intervalo, y los puntos de límite. del segmento forma parte del segmento), entonces, entre los valores de la función, pueden no ser los más pequeños y los más grandes. Por ejemplo, la función representada en la siguiente figura es continua en] -∞, + ∞ [y no tiene el mayor valor.

Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), la siguiente propiedad de las funciones continuas es válida.

Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeños y más de la función. en corte [-1, 3] .

Decisión. Encontramos un derivado de esta función como derivado privado:

.

Equipamos el cero derivado, lo que nos da un punto crítico :. Pertenece al segmento [-1, 3]. Para encontrar los valores más pequeños y mayores de la función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Comparar estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y el mayor valorigual a 1, en el punto.

Seguimos buscando los más pequeños y los mayores valores de la función juntos.

Hay maestros que, sobre el tema de encontrar los valores más pequeños y mayores de la función, no dan a los estudiantes a resolver ejemplos más difíciles que los considerados, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o fracción, el numerador. y denominador de los cuales son polinomios. Pero no estaremos limitados a tales ejemplos, porque entre los maestros hay amantes para obligar a los estudiantes a pensar en el total (derivados de tabla). Por lo tanto, un logaritmo y una función trigonométrica entrarán en el curso.

Ejemplo 6. Encuentre los valores más pequeños y más de la función. en corte .

Decisión. Encontramos la derivada de esta función como obra derivada :

Equipamos el derivado de cero, lo que da un punto crítico :. Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y mayores de la función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

El resultado de todas las acciones: la función alcanza el valor más pequeño.igual a 0, en el punto y en el punto y el mayor valorigual mI.², en el punto.

Ejemplo 7. Encuentre los valores más pequeños y mayores de la función. en corte .

Decisión. Encontramos la derivada de esta característica:

Equipamos el derivado cero:

El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y mayores de la función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Producción: la función alcanza el valor más pequeño.igual al punto y el mayor valorigual al punto.

En las tareas extremas aplicadas, encontrar los valores de función más pequeños (más grandes), por regla general, se reduce a encontrar un mínimo (máximo). Pero el interés más práctico no es el mínimo o maxima, sino a los valores del argumento bajo el cual se logran. Al resolver tareas aplicadas, surge dificultad adicional: la elaboración de las funciones que describen el fenómeno en consideración o proceso.

Ejemplo 8.El tanque de una capacidad de 4, que tiene un paralelepípedo con una base cuadrada y se abre desde arriba, debe ser causada por TIN. ¿Cuáles son los tamaños del depósito para que la cantidad más pequeña de material debería estar en su portada?

Decisión. Permitir x. - El lado de la fundación. h. - la altura del tanque, S. - El área de su superficie sin tapa, V. - Su volumen. La superficie del depósito se expresa por la fórmula, es decir. Es una función de dos variables. Para expresar S. En función de una variable, usamos lo que, desde donde. Sustituyendo la fundación encontrada h. En la fórmula para S.:

Exploramos esta característica en el extremo. Se determina y se diferencia en todas partes en] 0, + ∞ [, y

.

Equipamos el derivado cero () y encontramos un punto crítico. Además, el derivado no existe, pero este valor no está incluido en el área de definición y, por lo tanto, no puede ser un punto extremo. Entonces, el único punto crítico. Revíselo por la presencia de extremo, utilizando la segunda característica suficiente. Encuentra la segunda derivada. Con el segundo derivado más cero (). Significa que la función alcanza un mínimo. . Desde esto mínimo: el único extremo de esta función, es su significado más pequeño.. Por lo tanto, el lado de la base del depósito debe ser de 2 m, y su altura.

Ejemplo 9.Del párrafo UNA.en la línea de ferrocarril, punto DE, asentarse a una distancia l., Debe enviar bienes. El costo del peso de la unidad de peso por unidad de distancia por riel es igual a, y en la carretera es igual. A qué punto METRO. Las líneas ferroviarias deben llevarse a cabo autopistas para transportar carga desde PERO en DE fue el más económico (parcela Au El ferrocarril es asumido sencillo)?

¿Cuál es la función extremo y cuál es la condición de extremidades necesaria?

La función extrema se llama función máxima y mínima.

El requisito previo de la función máxima y mínima (extremo) es la siguiente: si la función f (x) tiene un punto en el punto x \u003d a, entonces, en este punto, el derivado es cero, o infinito o no existe.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. El derivado en el punto x \u003d o puede contactar a cero, en infinito o no existir sin la función para tener un extremo en este punto.

¿Cuál es la condición suficiente de la función extremo (máximo o mínimo)?

Primer estado:

Si está en la proximidad suficiente al punto X \u003d un derivado F? (X) es positivo a la izquierda de A y negativo a la derecha de A, luego, en el punto en sí, x \u003d y la función f (x) tiene máximo

Si está en la proximidad suficiente al punto X \u003d y el derivado F? (X) es negativo de la izquierda de la A y positiva a la derecha de la A, luego, en el punto en sí, x \u003d y la función f (x) tiene mínimo Siempre que la función f (x) sea continua aquí.

En su lugar, puede usar la segunda condición suficiente para la función extremo:

Deje en el punto x \u003d un primer derivado F? (X) se refiere a cero; Si la segunda derivada F? (A) es negativa, entonces la función F (x) tiene en el punto X \u003d un máximo, si es un mínimo positivo.

¿Qué es una función de punto crítico y cómo encontrarlo?

Este es el valor del argumento de la función, en el que la función tiene un extremo (es decir, máximo o mínimo). Para encontrarlo, necesitas encontrar un derivado Funciones f? (X) y equiparándolo a cero, resolver la ecuación F? (x) \u003d 0. Las raíces de esta ecuación, así como los puntos en los que no hay derivado de esta función son puntos críticos, es decir, los valores del argumento en el que puede ser el extremo. Se pueden definir fácilmente mirando gráfico derivado: Estamos interesados \u200b\u200ben aquellos valores del argumento, en el que la gráfica de la función cruza el eje de abscisa (Eje \u200b\u200bAxis) y aquellos en los que los gráficos toleran los descansos.

Por ejemplo, encontrar parabolla extrema.

Función Y (X) \u003d 3x2 + 2x - 50.

Función derivada: y? (X) \u003d 6x + 2

Resolvemos la ecuación: y? (X) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

En este caso, el punto crítico es X0 \u003d -1 / 3. Es con el significado del argumento que la función tiene extremo. Así que eso encontrar, Sustituimos una expresión para una función en lugar de "X" número encontrado:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333.

Cómo determinar el máximo y mínimo de la función, es decir. ¿Sus significados más grandes y más pequeños?

Si el signo de la derivado durante la transición a través del punto crítico X0 está cambiando de la "PLUS" a "MINUS", luego x0 es punto máximo; Si el signo del derivado cambia con un menos en más, entonces x0 es punto de mínimo; Si el signo no cambia, entonces, en el punto x0, sin máximo, no hay mínimo.

Para el ejemplo considerado:

Tomamos un valor arbitrario del argumento a la izquierda del punto crítico: x \u003d -1

En x \u003d -1, ¿el valor del derivado sería? (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (es decir, el signo es "menos").

Ahora tome un valor arbitrario del argumento a la derecha del punto crítico: x \u003d 1

En x \u003d 1, el valor del derivado será (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (es decir, el signo es "Plus").

Como vemos, el derivado durante la transición a través del punto crítico cambió el letrero con un menos en la ventaja. Entonces, con un valor crítico X0, tenemos un punto mínimo.

El mayor y más pequeño valor de la función. en el intervalo (En el segmento) se encuentran en el mismo procedimiento, solo teniendo en cuenta el hecho de que, tal vez, no todos los puntos críticos se encuentran dentro del intervalo especificado. Esos puntos críticos que son para la gama de intervalos deben ser excluidos de la consideración. Si solo un punto crítico está dentro del intervalo, será máximo o un mínimo. En este caso, para determinar los valores de función más grandes y más pequeños, también tenemos en cuenta los valores de la función en los extremos del intervalo.

Por ejemplo, encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función.

y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5x

a intervalos:

Entonces, función derivada -

y? (x) \u003d 3cos (x) - 0.5

Resolvemos la ecuación 3cos (x) - 0.5 \u003d 0

cos (x) \u003d 0.5 / 3 \u003d 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

Encontramos puntos críticos en el intervalo [-9; nueve]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (no incluido en el intervalo)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (no incluido en el intervalo)

Encontramos los valores de la función en los valores críticos del argumento:

y (-7,687) \u003d 3COS (-7,687) - 0.5 \u003d 0,885

y (-4.88) \u003d 3cos (-4,88) - 0.5 \u003d 5,398

y (-1,403) \u003d 3cos (-1.403) - 0.5 \u003d -2,256

y (1.403) \u003d 3cos (1.403) - 0.5 \u003d 2,256

y (4,88) \u003d 3cos (4,88) - 0.5 \u003d -5,398

y (7,687) \u003d 3cos (7,687) - 0.5 \u003d -0,885

Se puede ver que en el intervalo [-9; 9] El mayor valor de la función tiene en X \u003d -4.88:

x \u003d -4.88, y \u003d 5,398,

y el más pequeño - en x \u003d 4.88:

x \u003d 4.88, y \u003d -5,398.

En el intervalo [-6; -3] Tenemos solo un punto crítico: x \u003d -4.88. El valor de la función en x \u003d -4.88 es igual a y \u003d 5,398.

Encontramos el valor de la función en los extremos del intervalo:

y (-6) \u003d 3cos (-6) - 0.5 \u003d 3,838

y (-3) \u003d 3cos (-3) - 0.5 \u003d 1,077

En el intervalo [-6; -3] Tener el mayor valor de la función.

y \u003d 5,398 en x \u003d -4.88

el valor más pequeño es

y \u003d 1,077 en x \u003d -3

¿Cómo encontrar la función de los gráficos de inflexión de puntos y determinar las partes de abultamiento y cóncavo?

Para encontrar todos los puntos de parpadeo de la línea y \u003d f (x), es necesario encontrar el segundo derivado, para igualarlo a cero (resolver la ecuación) y experimentar todos esos valores x para los cuales la segunda derivada es cero , infinito o no existe. Si durante la transición a través de uno de estos valores, la segunda derivada cambia el letrero, luego el gráfico de funciones tiene en este punto. Si no cambia, entonces la inflexión no lo es.

Ecuación de las raíces F? (x) \u003d 0, así como los posibles puntos de ruptura de la función y la segunda derivada divide el área de determinación de la función a una serie de intervalos. La protuberancia en cada uno de sus intervalos está determinada por el signo de la segunda derivada. Si el segundo derivado en el punto en el intervalo en estudio es positivo, entonces la línea y \u003d f (x) se enfrenta aquí cóncavos hacia arriba, y si es negativo es el libro.

¿Cómo encontrar extremos de dos variables?

Para encontrar la función de extremidades f (x, y), diferenciada en el área de su tarea, necesita:

1) Encuentra puntos críticos, y para esto, resolver el sistema de ecuaciones.

fx? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0

2) Para cada punto crítico P0 (A; B) explorar si la señal de diferencia permanece sin cambios

para todos los puntos (x; y), cerca de P0. Si la diferencia conserva un signo positivo, entonces en el punto P0 tenemos un mínimo, si el negativo es el máximo. Si la diferencia no guarda el signo, entonces no hay extremo en P0.

De manera similar, se determinan los extremos de la función con un mayor número de argumentos.

Deja que la función y \u003d.f. (X) Continuo en el segmento [ a, b.]. Como se sabe, esta función en este segmento alcanza los valores más grandes y más pequeños. Estas características de valores pueden tomar ya sea en el punto interno del segmento [ a, b.], ya sea en la frontera del segmento.

Para encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función en el segmento [ a, b.] Necesario:

1) Encuentra funciones de puntos críticos en el intervalo ( a, b.);

2) Calcule los valores de la función en los puntos críticos encontrados;

3) Calcule los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, cuando x.= pero y x \u003d B.;

4) De todos los valores calculados de la función para elegir el más grande y más pequeño.

Ejemplo. Encuentra los valores más grandes y más pequeños de la función.

en el segmento.

Encontramos puntos críticos:

Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

en el punto x.\u003d 3 y en el punto x.= 0.

Investigación de la función para bulear y punto de inflexión.

Función y = f. (x.) llamada edificio En el intervalo (uNA., b.) Si su horario se encuentra bajo la tangente, pasó en cualquier momento de esta brecha, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo)Si su horario se encuentra en una tangente.

El punto al cambiar a través de la cual el bulto se reemplaza por concreción o viceversa, llamado punto de inflexión.

Un algoritmo para la investigación sobre bulto y punto de inflexión:

1. Encuentre los puntos críticos del segundo tipo, es decir, puntos en los que la segunda derivada es cero o no existe.

2. Aplique puntos críticos al recto numérico, rompiéndolo en las brechas. Encuentre un signo de la segunda derivada en cada intervalo; Si, la función es convexa, si la función está convexa.

3. Si al cambiar el punto crítico del segundo tipo cambiará el signo y, en este punto, el segundo derivado es cero, entonces este punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.

Gráficos de gráficos de asintotes. Función de investigación en asintotes.

Definición.La función gráfica asintota se llama derecho, tener la propiedad que la distancia desde cualquier punto de calendario hasta esta recta se esfuerza por cero con una eliminación ilimitada del punto de agenda del origen.

Hay tres tipos de asintotes: vertical, horizontal e inclinado.

Definición. Directo llamado asimptota verticalgráficos de función y \u003d f (x)Si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es infinito, eso es

¿Dónde está el punto de romper la función, es decir, pertenece al área de definición?

Ejemplo.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - un punto de espacio.

Definición.Derecho y \u003d.UNA. llamada asintenta horizontal Gráficos de función y \u003d f (x) cuando si

Ejemplo.

x.
y

Definición.Derecho y \u003d.k.x +.b. (k.≠ 0) llamado asintenta inclinada Gráficos de función y \u003d f (x) en donde

Esquema general para investigar funciones y construir gráficos.

Algoritmo de investigación de funcióny \u003d f (x) :

1. Encuentra el área de definición de campo D. (y).

2. Busque (si es posible) el punto de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas (cuando x. \u003d 0 y y = 0).

3. Explora la paridad y la rareza de la función ( y (‒ x.) = y (x.) ‒ paridad; y(‒ x.) = ‒ y (x.) ‒ precisión).

4. Encuentra las asintotes de los gráficos de la función.

5. Encuentra los intervalos de monotonía de la función.

6. Encuentra funciones extremas.

7. Encuentre intervalos de convexidad (concavidad) y puntos de inflexión de los gráficos de la función.

8. Sobre la base de los estudios realizados para construir un programa de función.

Ejemplo.Explorar la función y construir su horario.

1) D. (y) =

x. \u003d 4 - punto de espacio.

2) para x. = 0,

(0; - 5) - Punto de intersección con oy.

Para y = 0,

3) y(‒ x.)= La función de la forma general (ni ni siquiera ni impares).

4) Explorando asintotes.

a) vertical

b) horizontal

c) Encontramos asintotes inclinados donde

-Evilación de asintotes inclinados.

5) Esta ecuación no requiere una función de intervalos de monotonía.

6)

Estos puntos críticos dividen el campo completo de determinar la función en el intervalo (˗˗; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; + ∞). Los resultados obtenidos se envían convenientemente en forma de la siguiente tabla.