Ankstesniame skyriuje, skirta tam tikros neatskiriamos geometrinės reikšmės analizei, gavo daug formulių skaičiuojant Curvilinijos trapecijos plotą:

Yandex.rtb r-a-339285-1

S (g) \u003d ∫ a b f (x) d x už nuolatines ir ne neigiamas funkcijas y \u003d f (x) segmente [A; b]

S (g) \u003d - ∫ a b f (x) d x nepertraukiamam ir nepalankiam funkcijai Y \u003d F (x) segmente [A; b].

Šios formulės taikomos santykinai paprastoms užduotims spręsti. Tiesą sakant, mes dažniausiai turėsime dirbti su sudėtingesniais skaičiais. Šiuo atžvilgiu šiame skirsnyje mes skirti skaičiuoti skaičiaus apskaičiavimo algoritmų analizę, kuri yra ribojama funkcijų aiškiai, t.y. Kaip y \u003d f (x) arba x \u003d g (y).

Teorema

Leiskite funkcijoms Y \u003d F 1 (x) ir y \u003d f2 (x) yra nustatomi ir tęsiami sąsajoje [A; B], su F1 (x) ≤ F 2 (x) bet kokia vertė x iš [A; b]. Tada g figūros ploto apskaičiavimo formulė, apribota linijomis x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f1 (x) ir y \u003d f2 (x), bus peržiūrėta s (g) \u003d ∫ ABF 2 (x) - F1 (x) DX.

Panaši formulė bus taikoma figūros plotai, ribotas linijomis y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ir x \u003d g 2 (y): s (g) \u003d ∫ cd (G 2 (y) - g 1 (y) dy.

Įrodymai

Mes analizuosime tris atvejus, dėl kurių formulė bus teisinga.

Pirmuoju atveju, atsižvelgiant į teritorijos priedo nuosavybę, pradinio g figūros ploto sumą ir Curvilinijos trapecijos g 1 yra lygus G2 paveikslo plotai. Tai reiškia kad

Todėl s (g) \u003d s (g 2) - s (g 1) \u003d ∫ ABF2 (x) DX - ∫ ABF 1 (x) DX \u003d ∫ AB (F 2 (x) - F1 (x)) Dx.

Atlikite paskutinį perėjimą mes galime naudoti trečiąją savybę konkrečiam integralui.

Antruoju atveju lygybė yra tiesa: s (g) \u003d s (g 2) + s (g 1) \u003d ∫ ABF2 (x) dx + - ∫ ABF 1 (x) dx \u003d ∫ AB (F 2 (x ) - F1 (x)) DX

Grafinis iliustracija atrodys:

Jei abi funkcijos yra ne teigiamos, mes gauname: s (g) \u003d s (g 2) - s (g 1) \u003d - ∫ ABF2 (x) dx - - ∫ ABF 1 (x) dx \u003d ∫ AB (f 2 (x) - F 1 (x)) DX. Grafinis iliustracija atrodys:

Pasikabsime į bendrą bylą, kai y \u003d f1 (x) ir y \u003d f2 (x) kerta O x ašį.

Sankryžos taškai, kuriuos mes nurodome kaip x i, i \u003d 1, 2 ,. . . , N - 1. Šie taškai nutraukia segmentą [A; b] N dalių x i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. \\ t . . , n, kur α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Taigi,

S (g) \u003d σ i \u003d 1 n s (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f (x )) DX \u003d ∫ ABF2 (x) - F1 (x) DX

Galime įgyvendinti paskutinį perėjimą naudojant penktą ypatingo integralo ypatybes.

Mes iliustruojame bendrą bylą.

Formulė s (g) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f1 (x) d x gali būti laikoma įrodyta.

Ir dabar mes pereiti prie pavyzdžių skaičiuojant skaičiai, kurie apsiriboja linijomis y \u003d f (x) ir x \u003d g (Y).

Apsvarstymas apie bet kurį iš pavyzdžių, kuriuos pradėsime su grafiko statyba. Vaizdas leis mums atstovauti sudėtingus skaičiais kaip supaprastintų skaičių derinant. Jei grafikų ir figūrų statyba jiems sunku, galite ištirti skyrių apie pagrindines elementarines funkcijas, funkcijų grafikų geometrinį konversiją, taip pat statybos grafikus funkcijų tyrimų metu.

1 pavyzdys.

Būtina nustatyti figūros plotą, kuris apsiriboja parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ir tiesios linijos y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 .

Sprendimas Šis sprendimas

Rodyti eilutes ant grafiko Carteso koordinačių sistemoje.

Ant segmento [1; 4] Parabolos y \u003d - x 2 + 6 x - 5 yra aukščiau tiesiai y \u003d - 1 3 x - 1 2. Šiuo atžvilgiu, norint gauti atsakymą, mes naudojame formulę anksčiau, taip pat konkrečiam integral būdui apskaičiuoti pagal Newton-Leibnitsa formulę:

S (g) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Atsakymas: s (g) \u003d 13

Apsvarstyti sudėtingesnį pavyzdį.

2 pavyzdys.

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kuris apsiriboja linijomis Y \u003d X + 2, Y \u003d X, X \u003d 7.

Sprendimas Šis sprendimas

Šiuo atveju mes turime tik vieną tiesią liniją, esančią lygiagrečiai abscisa ašiai. Tai yra x \u003d 7. Ji reikalauja, kad mes surastume antrą integracijos ribą.

Mes statyti tvarkaraštį ir pareikšti linijas ant jo, duomenys apie užduočių būklę.

Turėdamas diagramą prieš akis, mes galime lengvai nustatyti, kad apatinė integracijos riba bus sankryžos taško sankirtos taško a \u003d x ir parabolos y \u003d x + 2 grindys. Norėdami rasti abscisą, naudokite lygybę:

y \u003d x + 2 o d Z: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 d \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ o dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ odz

Pasirodo, kad sankirtos taško abscisa yra x \u003d 2.

Mes atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad bendrame pavyzdyje esančioje eilutėje y \u003d x + 2, y \u003d x susikerta taške (2; 2), todėl tokie išsamūs skaičiavimai gali atrodyti nereikalingi. Šį išsamų sprendimą vedėme tik dėl to, kad sudėtingesniais atvejais sprendimas gali būti ne toks akivaizdus. Tai reiškia, kad linijų sankirtos koordinatės geriau visada apskaičiuoti analitiškai.

Intervalu [2; 7] Y \u003d X funkcijos grafikas yra virš funkcijos grafiko Y \u003d X + 2. Taikyti skaičiavimo aikštės formulę:

S (g) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Atsakymas: s (g) \u003d 59 6

3 pavyzdys.

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kuris riboja funkcijų grafikais Y \u003d 1 x ir Y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas Šis sprendimas

Taikyti eilutes pagal tvarkaraštį.

Nustatyti su integracijos ribomis. Norėdami tai padaryti, mes apibrėžiame sankirtos taškų linijų koordinates, lygiaverčių išraiška 1 x ir - x 2 + 4 x - 2. Su sąlyga, kad x nėra nulis, lygybė 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 tampa lygiavertė lygtis trečiojo laipsnio - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 su sveikų koeficientų. Norėdami atnaujinti algoritmą atmintyje sprendžiant tokias lygtis, galime susisiekti su skyriuje "kubinių lygčių sprendimas".

Šios lygties šaknis yra x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Išraiškos dalijant - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 už Bounce X - 1, mes gauname: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0.

Likusios šaknys, kurias galime rasti iš X 2 lygties - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 d \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.

Mes radome intervalą x ∈ 1; 3 + 13 2, ant kurių G figūra yra sudaryta virš mėlynos ir žemiau raudonos linijos. Tai padeda mums nustatyti figūros sritį:

S (g) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - LN 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - LN 1 \u003d 7 + 13 3 - LN 3 + 13 2 .

Atsakymas: s (g) \u003d 7 + 13 3 - 3 + 13 2

4 pavyzdys.

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kuris yra ribotas iki kreivių y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ir abscisės ašis.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes taikysime visas eilutes pagal tvarkaraštį. Mes galime gauti funkciją y \u003d - log 2 x + 1 iš grafiko y \u003d log 2 x, jei mes įdėti jį simetriškai palyginti su abscisa ašies ir pakelti vieną vienetą į viršų. Abscisės ašių lygtis y \u003d 0.

Žymi linijų sankirtos taškus.

Kaip matyti iš paveikslo, funkcijų grafikai y \u003d x 3 ir y \u003d 0 susikerta taške (0; 0). Tai gaunama, nes x \u003d 0 yra vienintelė galiojanti x 3 \u003d 0 lygties šaknis.

x \u003d 2 yra vienintelė lygties šaknis - log 2 x + 1 \u003d 0, todėl funkcijų y \u003d - log 2 x + 1 ir y \u003d 0 susikerta taške (2; 0).

x \u003d 1 yra vienintelė x 3 lygčių šaknis \u003d - log 2 x + 1. Šiuo atžvilgiu funkcijų grafikai y \u003d x 3 ir y \u003d - log 2 x + 1 susikerta taške (1; 1). Paskutinis pareiškimas gali būti neaišku, bet x 3 lygtis \u003d - log 2 x + 1 negali turėti daugiau nei vienos šaknies, nes funkcija Y \u003d X 3 yra griežtai didėja, o funkcija Y \u003d - log 2 x + 1 yra griežtai mažėjanti .

Kitas sprendimas apima kelias galimybes.

Pasirinkimo numeris 1

G figūra Mes galime įsivaizduoti kaip dviejų kreivių trapezes, esančių virš abscisos ašies, pirmiausia yra žemiau vidurinės linijos segmente x ∈ 0; 1, o antrasis žemiau raudonos linijos ant segmento x ∈ 1; 2. Tai reiškia, kad plotas bus lygus s (g) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

2 variantas numeris.

G figūra gali būti atstovaujama kaip dviejų veikėjų skirtumas, pirmasis yra virš abscisės ašies ir žemiau mėlynos linijos ant segmento x ∈ 0; 2 ir antrasis tarp raudonų ir mėlynų linijų segmente x ∈ 1; 2. Tai leidžia mums rasti plotą taip:

S (g) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Tokiu atveju, jei norite rasti plotą, turės naudoti formulę s (g) \u003d ∫ C d (G2 (Y) - g 1 (y)) d y. Tiesą sakant, eilutės, ribojančios figūrą, gali būti atstovaujama kaip argumento y.

Leido lygtis y \u003d x 3 ir - log 2 x + 1, palyginti su x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Mes gauname norimą sritį:

S (g) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - Y - Y 3) DY \u003d - 2 1 - Y ln 2 - Y 4 4 0 1 \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Atsakymas: s (g) \u003d 1 ln 2 - 1 4

5 pavyzdys.

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kuris apsiriboja linijomis Y \u003d X, Y \u003d 2 3 x - 3, Y \u003d - 1 2 x + 4.

Sprendimas Šis sprendimas

Su raudona linija, mes taikysime liniją diagramoje nurodyta funkcija y \u003d x. Mėlyna su linija y \u003d - 1 2 x + 4, juoda, mes žymi liniją y \u003d 2 3 x - 3.

Atkreipkite dėmesį į sankirtos taškus.

Rasti funkcijų grafikų sankirtos taškus y \u003d x ir y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 o d Z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 p R o į e p k A: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n Aš esu Li valgyti XP ir N ir IX22 \u003d 4 \u003d 4 \u003d 4 \u003d 1, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 Aš esu Lietsirenemura N ir Ni ⇒ (4; 2) Tohkaperesen ir i y \u003d x ir y \u003d - 1 2 x + 4

Mes rasime funkcijų grafikų sankirtos tašką y \u003d x ir y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 o d Z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 п о е р k A: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Aš esu Liemiraneni ⇒ (9; 3) toh į apericechiy \u003d x ir y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e I L I E T su i r e n e m u r a n i

Mes rasime linijų sankirtos tašką y \u003d - 1 2 x + 4 ir y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ X \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) t Apie hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 ir y \u003d 2 3 x - 3

1 metodo numeris.

Įsivaizduokite norimo figūros sritį kaip individualių figūrų sričių sumą.

Tada figūros skaičius yra lygus:

S (g) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

2 metodas.

Originalo skaičiaus plotas gali būti sudarytas kaip dviejų kitų skaičių suma.

Tada išspręsime linijos lygtį, palyginti su X, ir tik po to, kai mes taikome figūros skaičiavimo formulę.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 iki r ir su n ir aš l ir i y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l ir i y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s ir nulis ir ni

Taigi, plotas yra lygus:

S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 Y + 9 2 - - 2 Y + 8 DY + ∫ 2 3 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d ∫ 1 2 7 2 Y - 7 2 DY + ∫ 2 3 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d 7 4 Y 2 - 7 4 Y 1 2 + - Y 3 3 + 3 Y 2 4 + 9 2 Y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3.

Kaip matote, vertybės sutampa.

Atsakymas: s (g) \u003d 11 3

Rezultatai.

Norėdami rasti figūros plotą, kuris apsiriboja nurodytomis linijomis, turime pastatyti linijas plokštumoje, surasti savo sankirtos taškus, taikyti srities paieškos formulę. Šiame skyriuje mes apsvarstėme dažniausius uždavinius.

Jei pastebėsite klaidą tekste, pasirinkite jį ir paspauskite Ctrl + Enter

Iš šio straipsnio, jūs sužinosite, kaip rasti figūrų ribotas linijas, naudojant skaičiavimus naudojant integralus. Pirmą kartą susiduriame su tokia užduotimi vidurinėje mokykloje, kai mes tiesiog išlaikėme tam tikrų integralų tyrimą ir atėjo laikas pradėti praktiškai įgytą žinių geometrinį interpretaciją.

Taigi, kas reikės sėkmingai išspręsti skaičiaus ieškojimo problemą su integralų pagalba:

• Įgūdžiai kompetentingai kurti brėžinius;
• Gebėjimas išspręsti konkretų integralą su gerai žinomu newton-lignic formulės pagalba;
• Gebėjimas "pamatyti" pelningesnį sprendimą - i.e. Suprasti, kaip tokiu atveju bus patogiau atlikti integraciją? Palei x ašį (jautį) arba žaidimo ašį (OY)?
• Na, kur be teisingo skaičiavimo?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti šį kito tipo integrals ir teisingus skaičiavimus.

ALGoritmas sprendžiant skaičiavimo figūros sritį, ribotas linijas:

1. Sukurti piešinį. Patartina tai padaryti ant kūrinio narve, su dideliu mastu. Užsisakome pieštuką virš kiekvienos diagramos šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašas atliekamas tik tolesniam skaičiavimo patogumui. Gavę norimo figūros grafiką, daugeliu atvejų jis bus matomas nedelsiant, kokios bus naudojamos integracijos ribos. Taigi išspręsime užduotį su grafiniu metodu. Tačiau atsitinka, kad ribų vertės yra dalinės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, eikite į du žingsnį.

2. Jei integracijos ribos yra aiškiai nenurodytos, randame diagramos sankirtos taškus tarpusavyje, ir mes žiūrime į tai, ar mūsų grafinis sprendimas su analitiniu yra sutapo.

3. Be to, būtina analizuoti brėžinį. Priklausomai nuo to, kaip yra funkcijų grafika, yra skirtingi metodai, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite skirtingus pavyzdžius, kad surastumėte skaičiaus plotą su integralų pagalba.

3.1. Klasikinė ir paprasta užduočių parinktis yra tada, kai jums reikia rasti kreivinės trapecijos sritį. Kas yra "Curvilinear Trapeze"? Tai yra plokščias skaičius ribotas iki x ašies (y \u003d 0)tiesiai x \u003d a, x \u003d b ir bet kokia kreivė nuolat nuo intervalo a. anksčiau b.. Tuo pačiu metu šis skaičius yra ne neigiamas ir yra ne mažesnis už abscisos ašį. Tokiu atveju kreivinės trapecijos plotas yra vienodas lygus konkrečiam neatskirialui, apskaičiuotam "Newton Labender" formulėje:

1 pavyzdys. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Kokios eilutės yra figūra ribotas? Mes turime parabolą y \u003d x2 - 3x + 3kuris yra virš ašies OI, tai yra ne neigiama, nes Visi šio parabolos taškai yra teigiami. Toliau, tiesioginis x \u003d 1. ir. \\ T x \u003d 3.kurie lygiagrečiai su ašimi Ou.yra ribojančios figūros linijos kairėje ir dešinėje. Gerai y \u003d 0.Ji yra x ašis, kuri riboja žemiau pateiktą skaičių. Gautas skaičius yra tamsintas, kaip galima matyti iš brėžinio kairėje. Šiuo atveju galite iš karto pradėti spręsti problemą. Mes turime paprastą kreivės trapios, kuri yra toliau sprendžiant su Newton-Leibnic formulės pagalba.

3.2. Ankstesnėje 3.1 punkte byla yra išmontuota, kai kreivinė trapezija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai užduoties sąlygos yra vienodos, išskyrus atvejus, kai funkcija veikia pagal x ašį. Standartinė "Newton-Lesveender" formulė pridedama atėmus. Kaip išspręsti tokią užduotį, toliau svarsto.

2 pavyzdys. . Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolą y \u003d x2 + 6x + 2kuri yra kilusi iš ašies OI, tiesiai x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Čia y \u003d 0. Riboja norimą skaičių iš viršaus. Tiesiai x \u003d -4. ir. \\ T x \u003d -1. Tai yra sienos, per kurias bus apskaičiuojamas konkretus integrumas. Figūros srities problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad nurodyta funkcija nėra teigiama, ir viskas taip pat yra nuolatinė intervalui [-4; -1] . Kas nereiškia teigiamo? Kaip matyti iš paveikslo, paveikslas, kuris yra per nustatytą IC, turi tik "neigiamų" koordinates, kurias turime matyti ir prisiminti sprendžiant problemą. Skaičio sritis ieško "Newton Labitsa" formulės, pradedant nuo minuso ženklo.

Straipsnis nėra baigtas.

Iš šio straipsnio, jūs sužinosite, kaip rasti figūrų ribotas linijas, naudojant skaičiavimus naudojant integralus. Pirmą kartą susiduriame su tokia užduotimi vidurinėje mokykloje, kai mes tiesiog išlaikėme tam tikrų integralų tyrimą ir atėjo laikas pradėti praktiškai įgytą žinių geometrinį interpretaciją.

Taigi, kas reikės sėkmingai išspręsti skaičiaus ieškojimo problemą su integralų pagalba:

• Įgūdžiai kompetentingai kurti brėžinius;
• Gebėjimas išspręsti konkretų integralą su gerai žinomu newton-lignic formulės pagalba;
• Gebėjimas "pamatyti" pelningesnį sprendimą - i.e. Suprasti, kaip tokiu atveju bus patogiau atlikti integraciją? Palei x ašį (jautį) arba žaidimo ašį (OY)?
• Na, kur be teisingo skaičiavimo?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti šį kito tipo integrals ir teisingus skaičiavimus.

ALGoritmas sprendžiant skaičiavimo figūros sritį, ribotas linijas:

1. Sukurti piešinį. Patartina tai padaryti ant kūrinio narve, su dideliu mastu. Užsisakome pieštuką virš kiekvienos diagramos šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašas atliekamas tik tolesniam skaičiavimo patogumui. Gavę norimo figūros grafiką, daugeliu atvejų jis bus matomas nedelsiant, kokios bus naudojamos integracijos ribos. Taigi išspręsime užduotį su grafiniu metodu. Tačiau atsitinka, kad ribų vertės yra dalinės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, eikite į du žingsnį.

2. Jei integracijos ribos yra aiškiai nenurodytos, randame diagramos sankirtos taškus tarpusavyje, ir mes žiūrime į tai, ar mūsų grafinis sprendimas su analitiniu yra sutapo.

3. Be to, būtina analizuoti brėžinį. Priklausomai nuo to, kaip yra funkcijų grafika, yra skirtingi metodai, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite skirtingus pavyzdžius, kad surastumėte skaičiaus plotą su integralų pagalba.

3.1. Klasikinė ir paprasta užduočių parinktis yra tada, kai jums reikia rasti kreivinės trapecijos sritį. Kas yra "Curvilinear Trapeze"? Tai yra plokščias skaičius ribotas iki x ašies (y \u003d 0)tiesiai x \u003d a, x \u003d b ir bet kokia kreivė nuolat nuo intervalo a. anksčiau b.. Tuo pačiu metu šis skaičius yra ne neigiamas ir yra ne mažesnis už abscisos ašį. Tokiu atveju kreivinės trapecijos plotas yra vienodas lygus konkrečiam neatskirialui, apskaičiuotam "Newton Labender" formulėje:

1 pavyzdys. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Kokios eilutės yra figūra ribotas? Mes turime parabolą y \u003d x2 - 3x + 3kuris yra virš ašies OI, tai yra ne neigiama, nes Visi šio parabolos taškai yra teigiami. Toliau, tiesioginis x \u003d 1. ir. \\ T x \u003d 3.kurie lygiagrečiai su ašimi Ou.yra ribojančios figūros linijos kairėje ir dešinėje. Gerai y \u003d 0.Ji yra x ašis, kuri riboja žemiau pateiktą skaičių. Gautas skaičius yra tamsintas, kaip galima matyti iš brėžinio kairėje. Šiuo atveju galite iš karto pradėti spręsti problemą. Mes turime paprastą kreivės trapios, kuri yra toliau sprendžiant su Newton-Leibnic formulės pagalba.

3.2. Ankstesnėje 3.1 punkte byla yra išmontuota, kai kreivinė trapezija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai užduoties sąlygos yra vienodos, išskyrus atvejus, kai funkcija veikia pagal x ašį. Standartinė "Newton-Lesveender" formulė pridedama atėmus. Kaip išspręsti tokią užduotį, toliau svarsto.

2 pavyzdys. . Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolą y \u003d x2 + 6x + 2kuri yra kilusi iš ašies OI, tiesiai x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Čia y \u003d 0. Riboja norimą skaičių iš viršaus. Tiesiai x \u003d -4. ir. \\ T x \u003d -1. Tai yra sienos, per kurias bus apskaičiuojamas konkretus integrumas. Figūros srities problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad nurodyta funkcija nėra teigiama, ir viskas taip pat yra nuolatinė intervalui [-4; -1] . Kas nereiškia teigiamo? Kaip matyti iš paveikslo, paveikslas, kuris yra per nustatytą IC, turi tik "neigiamų" koordinates, kurias turime matyti ir prisiminti sprendžiant problemą. Skaičio sritis ieško "Newton Labitsa" formulės, pradedant nuo minuso ženklo.

Straipsnis nėra baigtas.

Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Eikite į neatsiejamų taikymo programų svarstymą. Šioje pamokoje analizuojame tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. - kaip apskaičiuoti plokštumos formą su konkrečiu neatsiejama. Galiausiai, matydamas reikšmę aukštesnėje matematikoje - tai ras. Mažai. Turėsime atnešti šalies teritoriją gyvenime su elementarinėmis funkcijomis ir rasti savo teritoriją naudojant konkretų integralą.

Sėkmingam materialinei plėtrai būtina:

1) Suprasti neapibrėžtą integrumą bent vidutinį lygį. Taigi, arbaščiai turėtų būti susipažinę su pamoka Ne.

2) Gebėti taikyti Niutono Labninės formulę ir apskaičiuoti konkretų integralą. Nustatyti šiltus draugystes su tam tikrais integruotais puslapyje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Tiesą sakant, norint rasti figūros sritį, tokių žinių apie neaiškią ir apibrėžtą integralą. Užduotis "Apskaičiuokite sritį su konkrečiu integruotais" visada reiškia piešimo konstrukcijąTodėl daug svarbesnis klausimas bus jūsų žinios ir įgūdžiai statybos brėžiniai. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementarių funkcijų grafikos atmintį ir bent jau sugebėti statyti tiesią, parabolą ir hiperbolą. Tai gali būti padaryta (reikalinga), naudojant metodinę medžiagą ir gaminius apie geometrinių diagramos transformacijas.

Tiesą sakant, su užduotimi rasti sritį su konkrečiu neatsiejama, visi yra susipažinę iš mokyklos, ir mes valgysime mažai į priekį nuo mokyklos programos. Šis straipsnis negali būti netgi, tačiau faktas yra tas, kad užduotis yra 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo neapykantos bokšto su entuziazmu išvykstančiu didesnės matematikos kursu.

Šio seminaro medžiagos pateikiamos tiesiog išsamiai ir su minimalia teorija.

Pradėkime nuo kreivinės trapios.

Curvilinear Trapezija Plokščias skaičius vadinamas ribota ašimi, tiesia ir nuolatiniu funkcijos segmente, kuris nekeičia ženklo šiuo intervalu. Leiskite šiam skaičiui ne mažiau Abscisos ašis:

Tada krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui. Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai. Sakiau, kad tam tikras neatsiejamas skaičius yra numeris. Ir dabar atėjo laikas nurodyti kitą naudingą faktą. Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis.

T.y, konkretus neatsiejamas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kai kurių paveikslų plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų neatsiejamą. "Integrand" funkcija nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (kuri nori piešimo), o pats specifinis neatsiejamas yra skaitmeninis lygus atitinkamo kreivinės trapios ploto.

1 pavyzdys.

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo taškas - brėžinio kūrimas. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Pastatant brėžinį, aš rekomenduoju šią eilutę: pirmas Geriau statyti visus tiesius (jei jie yra) ir tik vėliau - Parabolas, hiperbolai, kitų funkcijų tvarkaraščiai. Funkcijų grafikai yra pelningesni statyti potashochoe.Su registruočio konstrukcijos technika galima rasti etaloninėje medžiagoje. Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės. Čia taip pat galite rasti labai naudingą medžiagą, susijusią su mūsų pamoka medžiaga - kaip greitai sukurti parabolą.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti taip.
Atlikite brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis nustato ašį):

Aš nežudysiu kreivilinijos trapecijos, tai yra akivaizdu čia apie tai, kuri teritorija yra kalba. Sprendimas tebėra toks:

Segmento grafiko funkcija yra virš ašies, taip:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų skaičiuojant tam tikrą neatskiriamą ir Niuton-Leibnia formulės naudojimą , kreipkitės į paskaitą Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Užbaigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į brėžinį ir įvertinimą, tai yra tikras. Šiuo atveju "ant akių" skaičiuojame ląstelių skaičių brėžinyje - gerai, maždaug 9 bus skrendama, atrodo tiesa. Labai aišku, kad jei mes turėjome, tarkim, atsakykite: 20 kvadratinių vienetų, akivaizdu, kad kažkur padaryta klaida - 20 ląstelių paveiksle, jis yra aiškiai neįrengtas nuo tuzino stiprumo. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, užduotis taip pat nuspręsta neteisingai.

2 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir ašį

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi?

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir koordinatės ašis sritį.

Sprendimas Šis sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi (arba bent jau ne didesnis Ši ašis), tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

DĖMESIO! Nesupainiokite dviejų užduočių tipų:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plokščios figūros sritį, ribotas linijas.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia jums reikia atkreipti piešinį. Apskritai kalbant, kuriant užduotis užduotis, mes esame labiausiai domisi linijų sankirtos taškais. Rasti Parabolos ir tiesioginės sankirtos taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Tokiu būdu yra geresnis, jei įmanoma, nenaudokite.

Tai yra daug pelningesnis ir greičiau statyti linijos linijas, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Įvairių grafikų nutraukimo technika yra išsamiai vertinama pagalba Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės . Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Ir toks pavyzdys, mes taip pat apsvarstyti.

Grįžtame prie mūsų užduoties: racionalesnis pirmasis statyti tiesią liniją ir tik tada parabola. Atlikite brėžinį:

Kartoju, kad dabartinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai pasitaiko "automatiniu".

Ir dabar darbo formulė: Jei ant segmento yra nuolatinė funkcija daugiau arba lygus Kai kurios nuolatinės funkcijos, figūros plotas, ribotas šių funkcijų grafikai ir tiesiogiai, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia manyti, kur yra figūra - per ašį arba po ašimi, ir, apytiksliai kalbant, sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad dėl parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl būtina atimti

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola iš viršaus ir tiesioginio dugno.
Pagal segmentą pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos ploto apatinėje pusėje plokštumoje (žr. Paprastą pavyzdį Nr. 3) - ypatingą formulės atvejį . Kadangi ašis yra apibrėžta pagal lygtį, o funkcijos grafikas yra ne didesnis Ašis, T.

Ir dabar yra keletas pavyzdžių už nepriklausomą sprendimą

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

Rasti figūros ribotas linijas ,.

Siekiant išspręsti užduotis apskaičiuojant teritoriją su konkrečiu neatsiejama, kartais yra juokingas atvejis. Brėžinys baigtas teisingai, skaičiavimai - dešinėje, bet intensyvinti ... nustatyta, kad ši sritis nėra figūraTai yra tai, kaip jūsų nuolankus tarnas buvo supakuotas. Čia yra tikras gyvenimas:

7 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,,,.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia padarykite brėžinį:

... O, Khrenovynskio brėžinys išėjo, bet viskas atrodo pakilusi.

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva (Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktikoje "glitch" dažnai kyla dėmesio, kurį reikia rasti figūros plotą, kuris yra tamsesnis su žalia!

Šis pavyzdys vis dar naudingas ir tai, kad jame figūros plotas yra laikomas naudojant du konkrečius integralus. Tikrai:

1) tiesus tvarkaraštis yra ant ašies segmente;

2) ant ašies segmento yra hiperbolių grafikas.

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Atsakymas:

Eikite į kitą esminę užduotį.

8 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas,
Įsivaizduokite lygtį "Mokyklos" formoje ir atlikite dabartinį brėžinį:

Iš piešinio aišku, kad viršutinė riba mes turime "gerą" :.
Bet kas yra apatinė riba?! Akivaizdu, kad tai nėra sveikas skaičius, bet kas? Gal būt ? Bet kur yra garantija, kad brėžinys yra pagamintas su tobulu tikslumu, tai gali būti taip. Arba šaknis. Ir jei mes paprastai netinkamai pastatytume tvarkaraštį?

Tokiais atvejais turite praleisti papildomą laiką ir nurodykite analizės ribas analitiškai.

Raskite tiesioginio ir parabolos sankirtos taškus.
Norėdami tai padaryti, išspręskite lygtį:


,

Iš tikrųjų.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, pagrindinis dalykas nėra supainioti pakeitimais ir požymiais, skaičiavimai čia nėra paprasčiausias.

Dėl supjaustymo Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, ir pamokos išvadoje apsvarstykite dvi užduotis sunkiau.

9 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,

Sprendimas Šis sprendimas: Parodykite šią formą brėžinyje.

Damn, pamiršote pasirašyti tvarkaraštį, bet pakartoti paveikslėlį, atsiprašau, ne karšto. Ne paveldima, trumpesnė, diena šiandien \u003d)

Dėl dabartinės konstrukcijos turite žinoti sinusoidų išvaizdą (ir paprastai yra naudinga žinoti visų elementarių funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusų reikšmes, jie gali būti rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiame), leidžiama statyti scheminį piešinį, kuriuo diagramos ir integracijos ribos turi būti atspindėtos iš esmės.

Su integracijos ribomis čia nėra jokių problemų, jie tiesiogiai seka nuo būklės: - "x" skiriasi nuo nulio iki "Pi". Mes parengiame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, taip:

Kaip įterpti matematines formules svetainėje?

Jei norite kada nors pridėti vieną ar dvi matematines formules tinklalapyje, tai yra lengviausia tai padaryti, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės yra lengvai įterpti į svetainę į nuotraukas, kurios automatiškai generuoja alfa volframo forma. Be paprastumo, šis universalus būdas padės pagerinti paieškos sistemų svetainės matomumą. Jis veikia ilgą laiką (ir manau, dirbs amžinai), bet moraliai pasenusi.

Jei nuolat naudojate matematines formules savo svetainėje, tada aš rekomenduoju naudoti "Mathjax" - specialiosios "JavaScript" biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklių, naudojant Mathml, latekso ar Asciimathml žymėjimą.

Yra du būdai, kaip pradėti naudoti "Mathjax": (1) Naudojant paprastą kodą, galite greitai prijungti matemax scenarijų į savo svetainę, kuri automatiškai bus automatiškai įkelta iš nuotolinio serverio į norimą vieną; (2) Atsisiųskite "Mathjax" scenarijų nuotolinio serverio į savo serverį ir prisijungti prie visų svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir ilgai - paspartins jūsų svetainės puslapių atsisiuntimą ir jei matemax tėvų serveris tam tikroms priežastims tampa laikinai nepasiekiama, ji neturės įtakos jūsų pačių svetainei. Nepaisant šių privalumų, aš pasirinkau pirmą kelią kaip paprastesnį, greitą ir nereikalaujant techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdį, o po 5 minučių galite naudoti visas "Mathjax" funkcijas savo svetainėje.

"Mathjax" bibliotekos scenarijų galite prijungti nuo nuotolinio serverio, naudojant dviejų kodų parinktis, kurių buvo imtasi pagrindinėje "Mathjax" svetainėje arba dokumentuose:

Vienas iš šių kodų parinkčių turi būti nukopijuoti ir įterpti į jūsų tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymių ir. \\ T arba iškart po žymos . Pagal pirmąją versiją Mathjax yra pakrauta greičiau ir lėtina puslapį. Tačiau antrasis variantas automatiškai seka ir įkelia naujausias mathjax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jis turės būti periodiškai atnaujinamas. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti "Mathjax" naujinimų.

"Connect Mathjax" yra paprasčiausias būdas "Blogger" arba "WordPress": pridėkite "WordGet" valdiklį, skirtą įterpti trečiosios šalies "JavaScript" kodą įterpti pirmiau pateiktą pirmiau pateiktą atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį prie šablono pradžios (beje , tai nėra būtina, nes "Mathjax" scenarijus yra pakrautas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar perskaitykite MATHML, LATEX ir ASCIIMATHML žymėjimo sintaksę, ir esate pasiruošę įterpti matematines formules savo svetainės tinklalapiuose.

Bet koks fraktalas yra pagrįstas konkrečia taisyklė, kuri nuosekliai taikoma neribotam skaičiui kartų. Visi vadinami iteracija.

Iteratyvinis algoritmas sukonstruoti menmer kempine yra gana paprasta: šaltinis kubas su šone 1 yra padalintas iš lėktuvų lygiagrečiai jo veidams, 27 lygių kubeliai. Iš jo pašalinami vienas centrinis kubas ir 6 gretimos kubeliai. Gauta rinkinys, sudarytas iš 20 likusių mažesnių kubelių. Darydami tą patį su kiekvienu iš šių kubelių, mes gauname rinkinį, kurį jau sudarys nuo 400 mažesnių kubelių. Tęstinis procesas be galo, mes gauname Mengerio kempinę.