Kaip rasti mažiausią funkcijos vertę. Išvestinių finansinių priemonių naudojimas, skirtas ieškoti didžiausių ir mažiausių nuolatinės funkcijos verčių intervale

Pamokoje apie temą "Išvestinės priemonės, skirtos rasti didžiausių ir mažiausių nuolatinės funkcijos vertes intervale", bus laikoma palyginti paprasčiausiomis užduočių, kad būtų galima rasti didžiausią ir mažiausią funkcijų vertę tam tikroje spragoje darinys.

TEMA: Išvestinė

Pamoka: darinio taikymas ieškant didžiausių ir mažiausių nuolatinės funkcijos verčių intervale

Šioje pamokoje manome, kad paprastesnė užduotis, būtent, bus nustatytas intervalas, ši intervale bus nustatyta nuolatinė funkcija. Būtina žinoti labiausiai ir mažiausią nurodyto vertę funkcijos. \\ T Nurodyta atotrūkis.

№ 32.1 (B). Dano :. Nubraižykite funkcijų grafiką (žr. 1 pav.).

Fig. 1. Funkcijos grafikas.

Yra žinoma, kad ši funkcija padidėja intervalui, tai reiškia, kad jis padidina segmentą. Taigi, jei rasite taškų funkcijos vertę ir tada bus žinoma šios funkcijos keitimo ribos, bus žinoma jos didžiausia ir mažiausia vertė.

Kai argumentas padidėja nuo 8, funkcija didėja nuo anksčiau.

Atsakymas: ; .

Nr. 32.2 (a) pateikiama: rasti didžiausią ir mažiausias funkcijos vertes tam tikru intervalu.

Sukuriame šios funkcijos grafiką (žr. 2 pav.).

Jei argumentas skiriasi intervalu, funkcija didėja nuo -2 iki 2. Jei argumentas padidėja, tada funkcija mažėja nuo 2 iki 0.

Fig. 2. Funkcijos tvarkaraštis.

Rasti darinį.

, . Jei ši vertė priklauso nurodytam segmentui. Jei tada. Tai lengva patikrinti, ar reikia kitų verčių, atitinkami stacionarūs taškai viršija nurodytą segmentą. Palyginkite funkcijos vertes segmento galuose ir pasirinktuose taškuose, kuriuose išvestinė yra nulis. Rasti.

;

Atsakymas: ;.

Taigi, atsakymas gaunamas. Šiu atveju darinys gali būti naudojamas, jūs negalite naudoti, taikyti anksčiau ištirtos funkcijos savybes. Tai ne visada atsitinka, kartais išvestinių finansinių priemonių naudojimas yra vienintelis būdas, kuris leidžia jums išspręsti tokias užduotis.

Dano :. Raskite didžiausią ir mažiausią šio segmento funkcijos vertę.

Jei ankstesniu atveju buvo galima daryti be išvestinių finansinių priemonių - mes žinojome, kaip veikia funkcija, tada šiuo atveju funkcija yra gana sudėtinga. Todėl ši metodika, kurią minėjome ankstesnėje užduotyje, yra visiškai.

1. Raskite darinį. Mes randame kritinius taškus nuo čia, - kritinių taškų. Jie pasirenka tuos, kurie priklauso šiam segmentui :. Palyginkite taškų funkcijos vertę ,, Norėdami tai padaryti, rasti

Iliustruojame rezultatus skaičiui (žr. 3 pav.).

Fig. 3. Ribos, skirtos pakeisti funkcijos vertes

Mes matome, kad jei argumentas skiriasi nuo 0 iki 2, funkcija svyruoja nuo -3 iki 4. Funkcija keičiasi ne monotoniškai: jis padidina arba mažėja.

Atsakymas: ;.

Taigi, dėl trijų pavyzdžių, buvo įrodytas bendrasis metodas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos funkciją intervale, šiuo atveju - ant segmento.

Algoritmas sprendžiant didžiausią ir mažiausių funkcijų verčių paieškos užduotį:

1. Raskite išvestinę funkciją.

2. Raskite svarbiausius funkcijos taškus ir pasirinkite tuos taškus, esančius konkrečiame segmente.

3. Raskite funkcijos vertes segmento galuose ir pasirinktuose taškuose.

4. Palyginkite šias vertes ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Apsvarstykite kitą pavyzdį.

Rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos funkciją ,.

Anksčiau buvo atsižvelgta į šios funkcijos grafiką (žr. 4 pav.).

Fig. 4. Funkcijos grafikas.

Atsižvelgiant į šios funkcijos vertę . Taškas yra maksimalus taškas. Kada - funkcija didėja, kai - funkcija mažėja. Iš piešinio galima matyti, kad - tai neegzistuoja.

Taigi, pamokoje, didžiausios ir mažiausios funkcijos vertės užduotis buvo apsvarstyta, kai nurodytas intervalas yra segmentas; Suformuluotas tokių užduočių sprendimo algoritmas.

1. Algebra ir pradinė analizė, 10 klasė (dviem dalimis). Vadovas bendrojo lavinimo įstaigų (profilio lygis) ED. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2009 m.

2. Algebra ir pradinė analizė, 10 laipsnio (dviem dalimis). Problemos knyga bendrųjų švietimo įstaigų (profilio lygis) yra ED. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007 m.

3. VILENKIN N.YA., Ivassvas-Musatov O.S., Schwarzburg S.I. ALGEBRA ir 10 laipsnio matematinė analizė (mokyklinio mokinių ir klasių pamoka su išsaminu matematikos tyrimu) .- m.: Švietimas, 1996 m.

4. Galitskis M.L., Moshkovich M.M., Schwarzburg S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas. - m.: Apšvietimas, 1997 m.

5. Užimamų dalykų rinkimas pareiškėjams dirvožemyje (ED. M.I.Skanavi) .- m.: Aukštoji mokykla, 1992 m.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.s. Algebrinio simuliatorius. - k.: A.S.K., 1997.

7. Zvavichl., Liukas l.ya., chinkin algebra ir analizės pradžia. 8-11 CL: Mokyklų ir klasių vadovas, turintis išsamų matematikos tyrimą (didaktinės medžiagos) .- m.: Lašas, 2002.

8. Sahakyan s.m., Goldman A.M., Denisovas D.V. Užduotys algebra ir analizės kilmė (vadovo studentams 10-11 iš apatinių klasių. Institucijos) .- m.: Apšvietimas, 2003 m.

9. KARP A.P. ALGEBRA užduočių rinkimas ir analizės inicijavimas: tyrimai. 10-11 cl. su anglimi Moksliniai tyrimai. Matematika.-m.: Apšvietimas, 2006 m.

10. GLAZER G.I. Matematikos istorija mokykloje. 9-10 klasių (išmokų mokytojams) .- m.: Švietimas, 1983 m

Papildomi žiniatinklio ištekliai

2. Gamtos mokslų Patal ().

Padaryti namus

№ 46.16, 46.17 c) (algebra ir pradžios analizė, 10 klasė (dviem dalimis). Užduotis skirta bendrojo lavinimo įstaigoms (profilio lygiui) Ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007.)

Praktiniu požiūriu, darinio naudojimas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos funkcijos yra didžiausias susidomėjimas. Ką jis susijęs su? Didiniško pelno mažinimas, išlaidų mažinimas, optimalios įrangos įkėlimo nustatymas ... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių turite išspręsti problemas, kaip optimizuoti visus parametrus. Ir tai yra užduotys rasti didžiausią ir mažiausią funkciją funkcija užduotys.

Pažymėtina, kad didžiausia ir mažiausia funkcijos vertė paprastai ieškoma tam tikru intervalu X, kuris yra arba visa funkcija nustatant funkciją ar dalį apibrėžimo srities. Pats intervalas gali būti segmentas, atviras intervalas , begalinė spraga.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie didžiausias ir mažiausias aiškiai nurodytas vieno kintamojo y \u003d f (x) funkcijos vertes.

Naršymo puslapis.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos vertė yra apibrėžimai, iliustracija.

Trumpai sutelkti dėmesį į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcija vertė Kas yra Sąžininga nelygybė.

Mažiausia funkcijos vertė y \u003d f (x) x intervalu, kai skambinkite tokia verte Kas yra Sąžininga nelygybė.

Šie apibrėžimai yra intuityvus: didžiausia (mažiausia) funkcijos vertė yra didžiausia (maža) vertė, nagrinėjamas per abscisą.

Stacionarūs taškai - tai yra argumento, kuriame gauta funkcija yra nulinė.

Kodėl mes turime stacionarus taškus, kai radote didžiausias ir mažiausias vertes? Atsakymas į šį klausimą suteikia ūkio teorijai. Iš šios teorijos matyti, kad jei diferencinė funkcija turi ekstremum (vietinis minimalus arba vietinis maksimalus) tam tikru momentu, tada šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai trunka didžiausią (mažiausią) vertę intervalui X viename iš stacionarių taškų iš šio spragos.

Taip pat dažnai didžiausia ir mažiausia funkcija gali užtrukti taškuose, kuriuose nėra pirmojo šios funkcijos išvestinės priemonės, o pati funkcija yra apibrėžta.

Nedelsiant atsakykite į vieną iš labiausiai paplitusių klausimų šioje temoje: "Ar galite visada nustatyti didžiausią (mažiausią) funkciją"? Ne ne visada. Kartais X tarpo ribos sutampa su funkcijos nustatymo ar intervalo nustatymo ribomis yra begalinė. Ir kai kurios funkcijos begalybei ir apibrėžimo srities ribose gali būti neabejotinai didelės ir be galo mažos vertės. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijų vertę.

Siekiant aiškumo, pateikite grafinį iliustraciją. Pažvelkite į brėžinius - ir daug taps aiškesnis.

Dėl supjaustymo

Pirmajame brėžinyje funkcija trunka didžiausią (Max Y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose segmento viduje [-6; 6].

Apsvarstykite antrajame brėžinyje pavaizduotą atvejį. Pakeisti segmentą. Šiame pavyzdyje mažiausia funkcija funkcija pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia - taške su abscisa, atitinkančia tinkamą intervalo ribą.

2 paveikslas, ribiniai taškai segmento [-3; 2] yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią vertę funkcija absciesai.

Atviras intervalas

Ketvirtuojame brėžinyje funkcija užima didžiausią (maks. Y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose atvirame intervale viduje (-6; 6).

Interviu jūs negalite padaryti išvadų apie didžiausią vertę.

Dėl begalybės

Septintojame modelyje pateiktame pavyzdyje funkcija užima didžiausią vertę (maks. Y) stacionariame taške su abscisa x \u003d 1, o mažiausia vertė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Ant atėmus begalybę funkcijos vertės yra asimptotiškai artėja prie y \u003d 3.

Interviu funkcija nepasiekia mažiausios ar didžiausios vertės. Kai X \u003d 2 siekia į dešinę, funkcijos vertės yra linkę atėmus begalybę (tiesiai x \u003d 2 yra vertikali asimptota), ir kai abscipassa siekia į begalybės ir vertes. Funkcija asimptotiškai požiūris Y \u003d 3. Šio pavyzdžio grafinis iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas rasti didžiausią ir mažiausią nepertraukiamą funkciją segmente.

Mes rašome algoritmą, kuris leidžia jums rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos vertę segmente.

Raskite funkciją funkciją ir patikrinkite, ar jame yra visas segmentas.
Mes randame visus taškus, kuriuose nėra pirmojo darinio ir kurie yra segmente (paprastai tokie taškai yra naudojami funkcijoms su argumentu pagal modulio ženklą ir maitinimo funkcijas su daliniu racionaliu rodikliu). Jei nėra tokių taškų, tada eikite į kitą elementą.
Apibrėžiame visus stacionarius taškus, kurie patenka į segmentą. Už tai prilyginame jį nuliui, išspręskite gautą lygtį ir pasirinkite tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepateko į segmentą, tada mes kreipiamės į kitą elementą.
Apskaičiuokite funkcijos vertes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės priemonės (jei yra), taip pat su x \u003d a ir x \u003d b.
Nuo gautų funkcijų verčių pasirinkite didžiausią ir mažiausią - jie bus labiausiai žinomos ir mažiausios funkcijos vertės.

Mes analizuosime algoritmą sprendžiant pavyzdį, kad surastumėte didžiausią ir mažiausią funkcijos funkciją segmente.

Pavyzdys.

Rasti didžiausią ir mažiausią funkciją

ant segmento;
ant segmento [-4; -1].

Sprendimas.

Lauko apibrėžimo sritis yra daug galiojančių numerių, išskyrus nulį, tai yra. Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Rasti išvestinę funkciją:

Akivaizdu, kad išvestinė funkcija egzistuoja visuose segmentų punktuose ir [-4; -1].

Stacionarūs taškai, kuriuos nustatome iš lygties. Vienintelė galiojanti šaknis yra x \u003d 2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuokite funkcijos vertes segmento galuose ir stacionariame taške, ty x \u003d 1, x \u003d 2 ir x \u003d 4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekta x \u003d 1 ir mažiausia vertė - x \u003d 2.

Antruoju atveju apskaičiuokite funkcijos vertes tik segmento galuose [-4; -1] (nes jame nėra vieno stacionaraus taško):

Mažiausios ir didžiausios segmento funkcijos vertės nustatymo procesas panašus į sraigtasparnį (funkcijos grafiką) įdomią dislokavimo sraigtasparnį su grioveliais nuo ilgo nuotolio patrankos ir šių taškų pasirinkimo Visi specialūs kontrolės nuotraukų taškai. Taškai yra atrinkti tam tikru būdu ir pagal konkrečias taisykles. Kokiomis taisyklėmis? Mes vis dar apie tai kalbėsime.

Jei funkcija y. = f.(x.) Nuolatinis segmentas [ a., b.], tada ji pasiekia šį segmentą mažiausias ir. \\ T didžiausias reikšmes. \\ T . Tai gali įvykti arba geriausių taškų. \\ T Arba segmento galuose. Todėl rasti mažiausias ir. \\ T didžiausios funkcijos vertės Nuolatinis segmentas [ a., b.], jums reikia apskaičiuoti savo vertybes kritiniai taškai Ir segmento galuose ir tada pasirinkite iš jų mažiausio ir labiausiai.

Pavyzdžiui, leiskite nustatyti didžiausią funkcijos vertę. f.(x.) segmente [ a., b.]. Norėdami tai padaryti, surasti visus savo kritinius taškus, esančius [ a., b.] .

Kritinis taškas vadinamas tašku funkcija yra apibrėžta , ir ji darinys Lygus nuliui, arba neegzistuoja. Tada turėtumėte apskaičiuoti funkcijos vertes kritiniuose taškuose. Ir galiausiai, ji turėtų būti lyginama tarp savęs funkcijos vertė kritiniuose taškuose ir segmento galuose ( f.(a.) I. f.(b.)). Didžiausias iš šių numerių bus didžiausia segmento funkcijos vertė [a., b.] .

Panašiai, užduotys išspręstos mažiausios funkcijos vertės .

Mes ieškome mažiausių ir didžiausių funkcijos verčių kartu

1 pavyzdys Rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos vertes dėl supjaustymo [-1, 2] .

Sprendimas. Radome šios funkcijos darinį. Mes prilyginame išvestines sąlygas nuliui () ir gauname du kritinius taškus: ir. Norėdami rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos vertes tam tikrame skyriuje, pakanka apskaičiuoti savo vertes segmento skyriuose ir tuo metu, nes taškas nepriklauso segmentui [-1, 2 ]. Šios funkcijos vertės yra tokios :,,,, Tai seka mažiausia funkcijos reikšmė (ant toliau nurodytos raudonos diagramos), lygus -7, pasiekiamas dešiniajame segmento gale - taške, ir dauguma. (taip pat raudona pagal tvarkaraštį), lygus 9, - kritiniu tašku.

Jei funkcija yra nepertraukiama kai kuriais intervalais ir šis atotrūkis nėra segmentas (pvz., A, intervalas; skirtumas tarp intervalo ir segmento: intervalo ribos taškai nėra įtraukti į intervalą ir ribinius taškus Segmento dalis yra segmento dalis), tada tarp funkcijos verčių negali būti mažiausias ir didžiausias. Pavyzdžiui, žemiau esančiame paveiksle pavaizduota funkcija yra nuolatinė] -∞, + ∞ [ir neturi didžiausios vertės.

Tačiau bet kokiam intervalui (uždarytam, atviram ar begaliniam) galioja šis nuolatinių funkcijų turtas.

8 pavyzdys. Rasti mažiausias ir daugiausiai funkcijos vertes dėl supjaustymo [-1, 3] .

Sprendimas. Mes randame šios funkcijos darinį kaip privačią išvestinę priemonę:

Mes prilyginame išvestinę nulį, kuri suteikia mums vieną kritinį tašką :. Jis priklauso segmentui [-1, 3]. Norėdami rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes tam tikru segmente, mes randame savo vertybes segmento galuose ir nustatytoje kritiniame taške:

Palyginkite šias vertes. Išvada: lygus -5/13, taške ir didžiausia vertėlygus 1, tuo metu.

Mes ir toliau ieškome mažiausių ir didžiausių funkcijos verčių kartu.

Yra mokytojų, kurie, kaip rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos vertes, nesuteikia studentams sunkiau išspręsti pavyzdžių nei tie, kurie yra tie, kurie yra polinominė ar frakcija, skaitiklis ir vardiklis, iš kurių yra polinomai. Tačiau mes negalime apsiriboti tokiais pavyzdžiais, nes tarp mokytojų yra mėgėjams priversti mokinius galvoti apie pilną (stalo dariniai). Todėl į kursą eis logaritmas ir trigonometrinė funkcija.

6 pavyzdys Rasti mažiausias ir daugiausiai funkcijos reikšmes dėl supjaustymo .

Sprendimas. Radome šios funkcijos darinį kaip išvestinis darbas :

Mes prilyginame nulio išvestinę, kuri suteikia vieną kritinį tašką :. Jis priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes tam tikru segmente, mes randame savo vertybes segmento galuose ir nustatytoje kritiniame taške:

Visų veiksmų rezultatas: funkcija pasiekia mažiausią vertęlygus 0, taške ir taške ir didžiausia vertėlygus. \\ T e.², taške.

7 pavyzdys Rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos vertes dėl supjaustymo .

Sprendimas. Rasime šios funkcijos darinį:

Mes prilyginame išvestinę nulį:

Vienintelis kritinis taškas priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes tam tikru segmente, mes randame savo vertybes segmento galuose ir nustatytoje kritiniame taške:

Išėjimas: funkcija pasiekia mažiausią vertęlygus taškui ir didžiausia vertėlygus taškui.

Naudojant ekstremalias užduotis, kaip taisyklė mažiausias (didžiausias) funkcijų vertes, sumažinamas iki minimumo (maksimalaus). Tačiau daugiau praktinių interesų nėra minimumai ar maksimumai, tačiau šios argumento, kuriomis jie pasiekti, vertybės. Sprendžiant taikomuosius uždavinius, kyla papildomų sunkumų - parengti funkcijas, apibūdinančias nagrinėjamą fenomeną ar procesą.

8 pavyzdys.4 talpos talpykla, turinti lygiagrečią su kvadratine baze ir atvira iš viršaus, turi būti sukelta alavo. Kokie yra rezervuaro dydžiai, kad mažiausias medžiagos kiekis būtų ant jos viršelio?

Sprendimas. Leisti būti x. - pamato pusėje h. - bako aukštis, S. - jo paviršiaus plotas be dangčio, V. - jo tūris. Rezervuaro paviršiaus plotas yra išreikštas formulėje, t.e. Tai yra dviejų kintamųjų funkcija. Išreikšti S. Kaip vieno kintamojo funkcija, mes naudojame tai, kas, iš kur. Pakeičiant pagrindą h. Formulėje S.:

Mes tyrinėjame šią funkciją dėl ekstremens. Jis nustatomas ir diferencijuojamas visur] 0, + ∞ [ir

Mes prilyginame išvestinę nulinę () ir rasti kritinį tašką. Be to, darinys neegzistuoja, tačiau ši vertė nėra įtraukta į apibrėžimo srityje ir todėl negali būti ekstremum taškas. Taigi, vienintelis kritinis taškas. Patikrinkite jį dėl ekstremens buvimo, naudojant antrą pakankamą funkciją. Raskite antrąjį darinį. Su antrąja išvestine nuliui (). Tai reiškia, kad funkcija pasiekia minimalią . Nuo to laiko minimalus - vienintelis šios funkcijos ekstremizmas, jis yra mažiausias reikšmė. Taigi rezervuaro pagrindo pusė turi būti 2 m, o jo aukštis.

9 pavyzdys.Nuo pastraipos A.Geležinkelio linijoje Nuo., nusėda nuo jo atstumu l., Turi pristatyti prekes. Svorio vieneto svorio už vieneto atstumas geležinkeliu svorio yra lygios, o greitkelyje jis yra lygus. Į kurį tašką. \\ T M. Geležinkelio linijos turėtų būti vykdomos kelių transporto kroviniams Bet į Nuo. buvo ekonomiškas (sklypas) Au Geležinkelis yra laikomas paprastu)?

Kas yra ekstremum funkcija ir kokia yra būtina ekstremos būklė?

Ekstremali funkcija vadinama maksimali ir minimali funkcija.

Maksimalios ir mažiausios (ekstremens) funkcijos sąlyga yra tokia: jei funkcija f (x) yra x taško taške \u003d a, tada šiame taške darinys yra nulis arba begalinis arba neegzistuoja.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Darinys X \u003d arba gali susisiekti su nuliu, begalybėje arba neegzistuoja be funkcijos, kad šiuo metu būtų ekstremus.

Kokia yra pakankama ekstremum funkcija (maksimali arba mažiausia) būklė?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakanka iki X taško \u003d darinys f? (X) yra teigiamas į kairę nuo a ir neigiamo dešinėje pusėje, tada pats taškas X \u003d ir funkcija f (x) turi maksimalus

Jei pakanka iki X taško \u003d ir darinio f? (X) yra neigiamas nuo kairiojo ir teigiamo į dešinę nuo a, tada pačiame taške x \u003d ir funkcija f (x) turi minimumas Su sąlyga, kad F (x) funkcija yra nuolatinė.

Vietoj to, galite naudoti antrą pakankamą būklę dėl ekstremum funkcija:

Leiskite X taškui \u003d pirmasis darinys f? (X) reiškia nulį; Jei antrasis darinys f? (A) yra neigiamas, tada funkcija f (x) turi taške x \u003d maksimalus, jei teigiamas yra minimalus.

Kas yra kritinė taško funkcija ir kaip jį rasti?

Tai yra funkcijos argumento, kuria funkcija turi ekstremum (i.e. maksimalus arba minimalus). Norėdami rasti, jums reikia rasti darinį FUNKCIJOS F? (X) ir lygi jį iki nulio, išspręsti lygtį F? (x) \u003d 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose nėra šios funkcijos išvestinės priemonės yra kritiniai taškai, t. Y. Argumento, kuriuo gali būti, vertės gali būti. Jie gali būti lengvai apibrėžti žiūrėdami išvestinė grafika: Mes esame suinteresuoti šiomis argumento vertybėmis, kuriose funkcijos grafikas kerta abscissa ašį (OH ašį) ir tuos, kuriais grafikai toleruoja pertraukas.

Pavyzdžiui, rasti ekstremalus parabolla..

Funkcija y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50.

Išvestinė funkcija: y? (X) \u003d 6x + 2

Mes išsprendžiame lygtį: y? (X) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0 \u003d -1 / 3. Tai yra su argumentu, kad funkcija yra execum.. Taigi rasti, Mes pakeisime funkcijos išraišką, o ne "x" rastą numerį:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1-3 - 50 \u003d -50.333.

Kaip nustatyti maksimalią ir mažiausią funkciją, t.y. Jos didžiausios ir mažiausios reikšmės?

Jei iš darinio perėjimo per kritinio taško x0 ženklas keičiasi nuo "plius" į "minus", tada x0 yra maksimalus taškas. \\ T; Jei išvestinių finansinių priemonių pasikeitimai su minus apie plius, tada x0 yra minimumo taškas; Jei ženklas nepasikeičia, tada X0 taške ne maksimalus, ne minimalus.

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Mes priimame savavališką argumentą į kairę nuo kritinio taško: x \u003d -1

X \u003d -1, išvestinių finansinių priemonių vertė būtų? (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (tai yra ženklas "minus").

Dabar imkite savavališką argumentą į kritinio taško teisę: X \u003d 1

X \u003d 1, išvestinių finansinių priemonių vertė bus (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (i.e. ženklas yra "plius").

Kaip matome, darinys perėjimo per kritinį tašką pakeitė ženklą su minus ant pliuso. Taigi, su kritine verte x0, turime minimalų tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos vertė intervalu. \\ T (ant segmento) randama ta pačia tvarka, tik atsižvelgiant į tai, kad, galbūt, ne visi kritiniai taškai bus viduje nurodytu intervalu. Šie kritiniai taškai, skirti intervalams diapazonui, turi būti atmesti. Jei intervalo viduje yra tik vienas kritinis taškas - tai bus maksimalus arba minimalus. Tokiu atveju, siekiant nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijų vertes, mes taip pat atsižvelgiame į funkcijos vertes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskite didžiausias ir mažiausias funkcijos vertes.

y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi, gauta funkcija -

y? (x) \u003d 3cos (x) - 0,5

Mes išsprendžiame 3COS lygtį (x) - 0,5 \u003d 0

cos (x) \u003d 0,5 / 3 \u003d 0,16667

x \u003d ± Arccos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; devyni]:

x \u003d Arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -Arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d Arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -Arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -Arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d Arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -Arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Mes randame funkcijos vertybes kritinėmis argumento vertybėmis:

y (-7,687) \u003d 3cos (-7,687) - 0,5 \u003d 0,885

y (-4,88) \u003d 3cos (-4,88) - 0,5 \u003d 5,398

y (-1,403) \u003d 3cos (-1,403) - 0,5 \u003d -2,256

y (1.403) \u003d 3cos (1.403) - 0,5 \u003d 2,256

y (4,88) \u003d 3cos (4,88) - 0,5 \u003d -5,398

y (7,687) \u003d 3cos (7,687) - 0,5 \u003d -0,885

Tai galima matyti, kad intervale [-9; 9] Didžiausia funkcijos vertė yra x \u003d -4,88:

x \u003d -4,88, y \u003d 5,398,

ir mažiausias - x \u003d 4.88:

x \u003d 4,88, y \u003d -5,398.

Intervalu [-6; -3] Turime tik vieną kritinį tašką: x \u003d -4,88. Funkcijos vertė x \u003d -4,88 yra lygi y \u003d 5,398.

Rasime funkcijos vertę intervalo galuose:

y (-6) \u003d 3cos (-6) - 0,5 \u003d 3,838

y (-3) \u003d 3cos (-3) - 0,5 \u003d 1,077

Intervalu [-6; -3] turi didžiausią funkcijos vertę

y \u003d 5,398 ne x \u003d -4,88

mažiausia vertė yra

y \u003d 1,077 x \u003d -3

Kaip rasti taškų infekcijos grafikos funkciją ir nustatyti išsiliejimų ir įgaubtų partijas?

Norėdami rasti visus mirksi taškus linijos y \u003d f (x), būtina rasti antrą darinį, prilyginant jį nuliui (išspręsti lygtį) ir patirti visas tas reikšmes X, kuriai antrasis darinys yra nulis , begalinis arba neegzistuoja. Jei pereinant per vieną iš šių verčių, antrasis darinys pakeičia ženklą, tada funkcija grafikas turi šiuo metu. Jei jis nepasikeis, tada nuotėkis nėra.

Šaknų lygtis f? (x) \u003d 0, taip pat galimi funkcijų nutraukimo taškai ir antrasis darinys Padalinkite funkcijos nustatymo sritį į daugybę intervalų. Kiekvieno jų intervalų išsivystymas nustatomas pagal antrojo išvestinio finansinio finansavimo ženklo ženklą. Jei antrasis darinys tyrimas pagal tyrimą yra teigiamas, tada linija Y \u003d F (x) yra su juo susiduria čia įgaubtas į viršų, ir jei neigiama knyga.

Kaip rasti dviejų kintamųjų ekstremalius?

Norėdami rasti ekstremalų funkciją F (x, y), diferencijuojamos jos užduoties srityje, jums reikia:

1) Rasti kritinius taškus ir už tai - išspręsti lygčių sistemą

fX? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0 (a; b) ištirti, ar skirtumas ženklas lieka nepakitęs

visiems taškams (x; y), netoli P0. Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P0 mes turime minimalų, jei neigiama yra maksimalus. Jei skirtumas neišsaugo ženklo, P0 nėra jokio ekstremio.

Panašiai nustatomos funkcijos ekstremalios su didesniu argumentų skaičiumi.

Leiskite funkcijai y \u003d.f. (x) Nuolatinis segmentas [ a, B.]. Kaip žinoma, ši funkcija šiame segmente pasiekia didžiausias ir mažiausias vertes. Šios vertės funkcija gali būti arba vidiniame segmento taške [ a, B.], arba segmento sienos.

Rasti didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos vertes [ a, B.] Būtina:

1) Intervale rasite kritinių taškų funkcijas ( a, B.);

2) Apskaičiuokite funkcijos vertes nustatytuose kritiniuose punktuose;

3) Apskaičiuokite funkcijos vertes segmento galuose, tai yra, kai x.= Bet ir x \u003d B.;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos verčių pasirinkti didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos vertes

ant segmento.

Mes randame kritinius taškus:

Šie taškai yra segmente; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

tuo metu. \\ T x.\u003d 3 ir taške x.= 0.

Funkcijos tyrimas iki išsipuošimo ir prilipimo taško.

Funkcija y. = f. (x.) vadinamas pastatas. \\ T Intervalu. \\ T (a., b.) Jei jo tvarkaraštis yra tangentas, praleistas bet kuriame šio atotrūkio taške ir vadinama išgaubti (įgaubtas)Jei jo tvarkaraštis yra liestiniam.

Taškas, kai perjungiamas, per kurį išsipūtimas pakeičiamas konkretumu arba atvirkščiai, vadinamas polinkio taškas.

BUZGE IR PRIEŽIŪROS PUNKTO ALGORITMAS:

1. Raskite kritinius antrosios rūšies taškus, ty taškus, kuriuose antrasis darinys yra nulis arba neegzistuoja.

2. Kritinių taškų pritaikykite į skaitmeninį tiesią, nesukelkite jį į spragas. Kiekviename intervale rasti antrosios išvestinės priemonės ženklą; Jei funkcija yra išgaubta, jei funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei perjungus kritinį antrosios rūšies kritinį tašką, pakeis ženklą ir šiuo metu antrasis darinys yra nulis, tada šis taškas yra nuo infliacijos abscisa. Raskite savo ordinatą.

Asimptotų grafikos grafika. Mokslinių tyrimų funkcija asimptotes.

Apibrėžimas."AsympTota" grafinė funkcija vadinama tiesiai, Turėdami turtą, kad atstumas nuo bet kurio šio tiesaus tvarkaraščio taško siekia nulio su neribotą nuėmimą nuo grafiko taško nuo kilmės.

Yra trys asimptotų tipai: vertikalus, horizontalus ir linkęs.

Apibrėžimas. Tiesioginis vadinamas vertikalus asimptota.funkcijos grafika y \u003d f (x)Jei bent vienas iš vienašalių funkcijos ribų šiuo metu yra begalybė, tai yra

kur yra funkcijos pažeidimo taškas, ty apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - atotrūkio taškas.

Apibrėžimas.Tiesiai y \u003d.A. vadinamas horizontalus asimptota Funkcijos grafika y \u003d f (x) Kada, jei.. \\ T

Pavyzdys.

x.
y.

Apibrėžimas.Tiesiai y \u003d.k.x +.b. (k.≠ 0) pasviręs asimptoto Funkcijos grafika y \u003d f (x) kur

Bendra schema tiriant funkcijas ir statyti grafikus.

Funkcijos tyrimų algoritmasy \u003d f (x) :

1. Raskite lauko apibrėžimo sritį D. (y.).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko sankirtos taškas su koordinatės ašimis (kada x. \u003d 0 ir y. = 0).

3. Naršykite funkcijos paritetą ir keistumą ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ paritetas; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ tikslumas).

4. Raskite funkcijų grafikos asimptotus.

5. Raskite funkcijos monotonijos intervalus.

6. Rasti ekstremalias funkcijas.

7. Rasti konvekcioniumo (susigrąžinimo) intervalus ir funkcijos grafikos infaviją.

8. Remiantis atliktais tyrimais, kad būtų sukurta funkcijų tvarkaraštis.

Pavyzdys.Naršykite funkciją ir sukurkite savo tvarkaraštį.

1) D. (y.) =

x. \u003d 4 - GAP taškas.

2) x. = 0,

(0; - 5) - sankirtos taškas oy..

Dėl y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Bendrosios formos funkcija (nei net ir nelyginis).

4) tyrinėti asimptotes.

a) vertikalus

b) horizontalus

c) mes randame esančius asimptotes, kur

- pakilo asimptotų

5) Ši lygtis nereikalauja funkcijų monotonijos intervalų.

Šie kritiniai taškai padalinti visą lauką nustatant funkciją intervalu (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; + ∞). Gauti rezultatai yra patogiai pateikiami tokia lentelėje.