Cum să rezolvi problemele B15 fără derivate. Folosind derivata pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?

Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.

Condiție prealabilă Maximul și minimul (extremul) unei funcții sunt după cum urmează: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu există.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.

Care este o condiție suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?

Prima conditie:

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.

În schimb, îl poți folosi pe al doilea condiție suficientă extremul funcției:

Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.

Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?

Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuatia f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.

De exemplu, să găsim extremul unei parabole.

Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2

Rezolvați ecuația: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ÎN în acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Pentru el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?

Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1

La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).

Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1

La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).

După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interiorul intervalului, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cel mai mare și valorile cele mai mici funcții, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.

De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

la intervale:

Deci, derivata funcției este

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)

Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] cea mai mare valoare funcția are la x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

iar cel mai mic - la x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.

Aflați valoarea funcției la sfârșitul intervalului:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției

y = 5,398 la x = -4,88

cea mai mica valoare -

y = 1,077 la x = -3

Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?

Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.

Rădăcinile ecuației f? (x) = 0 și, de asemenea puncte posibile Discontinuitatea funcției și derivata a doua împart domeniul de definire al funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.

Cum se află extremele unei funcții a două variabile?

Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:

1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.

Extremele funcției sunt determinate în mod similar pentru Mai mult argumente.

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în funcție de anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului, astfel încât să ia cea mai mică cantitate material?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

În practică, este destul de comun să folosiți derivata pentru a calcula valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în cazurile în care trebuie să determinăm valoare optimă orice parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori într-un anumit interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi ca un segment [a; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest material vă vom spune cum să calculați cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții definite în mod explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x) .

Definiții de bază

Să începem, ca întotdeauna, cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X, care pentru orice valoare x x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f (x) ≤ f (x) valabil 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0), care pentru orice valoare x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f(X f (x) ≥ f (x 0).

Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai simplu, putem spune asta: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare mare valoare pe un interval cunoscut la abscisă x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0.

Definiția 3

Punctele staționare sunt acele valori ale unui argument al funcției la care derivata sa devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este punctul în care se află extremul funcției diferențiabile (adică, minimul sau maximul său local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O funcție poate lua, de asemenea, cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită și derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect: în toate cazurile putem determina valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face acest lucru atunci când limitele unui interval dat coincid cu limitele zonei de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție dintr-un segment dat sau la infinit să ia infinit de mică sau infinit valori mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste puncte vor deveni mai clare după ce vor fi reprezentate pe grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și cele mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6 ] și constatăm că valoarea maximă a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa la limita dreaptă a intervalului, iar cea minimă - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a unei anumite funcții.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6 ; 6).

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6), atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Cea mai mare valoare ne va fi necunoscută. Funcția ar putea lua valoarea maximă la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acesta este exact cazul prezentat în graficul 5.

În graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare la limita dreaptă a intervalului (- 3; 2 ] și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7 vedem că funcția va avea m a x y într-un punct staționar având o abscisă egală cu 1. Funcția își va atinge valoarea minimă la limita intervalului din partea dreaptă. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3.

Dacă luăm intervalul x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare pe ea. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este exact cazul prezentat în Figura 8.

În acest paragraf vom prezenta succesiunea de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit segment.

1. Mai întâi, să găsim domeniul de definire al funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcții al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcții de putere, al cărui exponent este un număr fracțional rațional.
3. În continuare, vom afla ce puncte staționare vor cădea în segmentul dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să selectați rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează în segmentul dat, atunci trecem la pasul următor.
4. Determinăm ce valori va lua funcția în anumite puncte staționare (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b.
5. 5. Avem un număr de valori ale funcției, din care acum trebuie să selectăm cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să le găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Stare: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe segmente [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul de definiție al unei funcții date. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Ambele segmente specificate în condiție vor fi în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a fracțiilor:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata unei funcții va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta folosind ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [1; 4].

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și în acest punct, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am constatat că cea mai mare valoare a funcției m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1, iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2.

Al doilea segment nu include un singur punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Aceasta înseamnă m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a studia această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, parcurgeți următorii pași secvențial.

1. Mai întâi, trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. Ele apar de obicei pentru funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și pentru funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
3. Acum să determinăm care puncte staționare se vor încadra în intervalul dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul dat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

• Dacă intervalul este de forma [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a; b ], atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x).
• Dacă intervalul are forma (a ; b), atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Dacă intervalul este de forma [ a ; + ∞), atunci trebuie să calculați valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
• Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
• Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
• Dacă - ∞; + ∞ , atunci considerăm limitele pe minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor și limitelor funcției obținute. Există multe opțiuni disponibile aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Mai jos vom analiza un exemplu tipic. Descrieri detaliate te va ajuta să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Exemplul 2

Condiție: funcție dată y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul de definire al funcției. Numitorul fracției conține un trinom pătratic, care nu trebuie să se transforme la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de definire al funcției căreia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există în întregul său domeniu de definire.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ], precum și limita la minus infinit:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1, înseamnă că m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a Putem doar concluziona că există o constrângere sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

Particularitatea celui de-al doilea interval este că nu există un singur punct staționar și nici o singură limită strictă în el. În consecință, nu vom putea calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. După ce am definit limita la minus infinit și cu argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar un interval de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1. De asemenea, va trebui să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 pe partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. Tot ce știm , este prezenţa unei limite inferioare la - 4 .

Pentru intervalul (- 3 ; 2), luați rezultatele calculului anterior și calculați din nou cu ce este egală limita unilaterală când tindeți spre 2 pe partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Aceasta înseamnă că m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt limitate de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am obținut în cele două calcule anterioare, putem spune că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1, dar este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞) funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce valoarea funcției va fi egală la x = 4, aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt afișate prin linii punctate.

Asta este tot ce am vrut să vă spunem despre găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții. Secvențele de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale funcția va scădea și la care va crește, după care puteți trage concluzii suplimentare. Astfel, puteți determina cu mai multă acuratețe cele mai mari și mai mici valori ale funcției și puteți justifica rezultatele obținute.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.

În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.

Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în formă pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.

Coordonatele vârfurilor parabolei

Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:

1. Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.

De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:

Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:

Puncte extreme trinom pătraticși funcția complexă în care este inclus coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.

Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:

1. Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
2. Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:

1. Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
2. Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și raționamentul său pot părea complicate. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.

Să ne uităm la problemele reale din examen de stat unificat de probă la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.

Sub rădăcină stă funcţie pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.

Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.

În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:

Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Corolare din domeniul unei funcții

Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc la punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Anume:

Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический rădăcină pătrată a unui număr negativ nu există.

Scriem intervalul de valori admisibile (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Acum să găsim vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar într-un logaritm nu poate exista numere negative, așa că scriem ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.

Căutăm vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam un algoritm binecunoscut:

1 . Găsim funcțiile ODZ.

2 . Găsirea derivatei funcției

3 . Echivalarea derivatei cu zero

4 . Găsim intervalele peste care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției este 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN în punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din Deschide banca sarcini pentru

1. Sarcina B15 (nr. 26695)

Pe segment.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment.

1. Funcții ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este egală cu zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3. Sarcina B15 (nr. 26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe cercul trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semne. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și, derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei unei funcții pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (la care derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .