Problemele matematice își găsesc aplicarea în multe științe. Acestea includ nu numai fizică, chimie, tehnologie și economie, ci și medicină, ecologie și alte discipline. Un concept important de stăpânit pentru a găsi soluții la dileme importante este derivata unei funcții. Semnificația sa fizică nu este deloc atât de greu de explicat pe cât ar putea părea celor neinițiați în esența problemei. Trebuie doar să găsești exemple potrivite că în viata realași situații obișnuite de zi cu zi. De fapt, orice șofer face față unei sarcini similare în fiecare zi când se uită la vitezometru, determinând viteza mașinii sale într-un anumit moment de timp fix. La urma urmei, tocmai acest parametru conține esența semnificației fizice a derivatului.

Cum să găsești viteza

Orice elev de clasa a cincea poate determina cu ușurință viteza unei persoane pe drum, cunoscând distanța parcursă și timpul de călătorie. Pentru a face acest lucru, împărțiți prima dintre valorile date la a doua. Dar nu orice tânăr matematician știe că în prezent găsesc raportul dintre incrementele unei funcții și un argument. Într-adevăr, dacă vă imaginați mișcarea sub forma unui grafic, trasând traseul de-a lungul axei ordonatelor și timpul de-a lungul abscisei, va fi exact așa.

Cu toate acestea, viteza unui pieton sau a oricărui alt obiect, pe care o determinăm parcela mare calea, având în vedere uniformitatea mișcării, se poate schimba foarte bine. Există multe forme de mișcare cunoscute în fizică. Poate să apară nu numai cu o accelerație constantă, ci și să încetinească și să crească într-un mod arbitrar. Trebuie remarcat faptul că în în acest caz, linia care descrie mișcarea nu va mai fi o linie dreaptă. Grafic, poate prelua cele mai complexe configurații. Dar pentru oricare dintre punctele din grafic, putem desena întotdeauna o tangentă, reprezentată printr-o funcție liniară.

Pentru a clarifica parametrul de modificare a deplasării în funcție de timp, este necesar să se scurteze segmentele măsurate. Când devin infinitezimale, viteza calculată va fi instantanee. Această experiență ne ajută să definim un derivat. Semnificația sa fizică decurge și în mod logic dintr-un astfel de raționament.

Din punct de vedere al geometriei

Se știe că cu cât viteza corpului este mai mare, cu atât graficul dependenței deplasării în timp este mai abrupt și, prin urmare, unghiul de înclinare al tangentei la grafic într-un anumit punct. Un indicator al unor astfel de modificări poate fi tangenta unghiului dintre axa absciselor și linia tangentă. Tocmai aceasta determină valoarea derivatei și este calculată prin raportul dintre lungimile opusului față de latura adiacentă în triunghi dreptunghic, format dintr-o perpendiculară coborâtă dintr-un anumit punct pe axa absciselor.

Aceasta este sens geometric prima derivată. Cea fizică se relevă în faptul că valoarea laturii opuse în cazul nostru reprezintă distanța parcursă, iar latura adiacentă reprezintă timpul. În acest caz, raportul lor este viteza. Și din nou ajungem la concluzia că viteza instantanee, determinată atunci când ambele intervale tind spre infinitezimal, este esența, indicând sensul ei fizic. Derivată a doua în în acest exemplu va avea loc o accelerare a corpului, care demonstrează, la rândul său, gradul de schimbare a vitezei.

Exemple de găsire a derivatelor în fizică

Derivatul este un indicator al ratei de schimbare a oricărei funcții, chiar și atunci când nu vorbim despre mișcare în sensul literal al cuvântului. Pentru a demonstra clar acest lucru, iată câteva exemple concrete. Să presupunem că puterea curentului, în funcție de timp, se modifică conform următoarei legi: eu= 0,4t 2 . Este necesar să se găsească valoarea vitezei cu care se modifică acest parametru la sfârșitul celei de-a 8-a secunde a procesului. Rețineți că valoarea dorită în sine, după cum se poate aprecia din ecuație, crește constant.

Pentru a rezolva, este necesar să găsiți prima derivată, al cărei sens fizic a fost discutat mai devreme. Aici dI/ dt = 0,8 t. În continuare îl vom găsi la t=8 , aflăm că rata cu care se produce modificările curentului este egală cu 6,4 O/ c. Aici se consideră că puterea curentului este măsurată în amperi, iar timpul, în consecință, în secunde.

Totul este schimbător

Vizibil lumea din jurul nostru, format din materie, sufera constant modificari, fiind in miscarea diferitelor procese care au loc in ea. Pentru a le descrie puteți folosi cel mai mult parametri diferiți. Dacă sunt uniți printr-o dependență, atunci ele sunt scrise matematic sub forma unei funcții care arată clar modificările lor. Și acolo unde există mișcare (sub orice formă ea ar fi exprimată), există și un derivat, al cărui sens fizic îl luăm în considerare în momentul de față.

Următorul exemplu este despre asta. Să presupunem că temperatura corpului se modifică conform legii T=0,2 t 2 . Ar trebui să găsiți viteza de încălzire la sfârșitul celei de-a zecea secunde. Problema este rezolvată într-un mod similar cu cel descris în cazul precedent. Adică găsim derivata și înlocuim valoarea cu t= 10 , primim T= 0,4 t= 4. Aceasta înseamnă că răspunsul final este de 4 grade pe secundă, adică procesul de încălzire și schimbarea temperaturii, măsurate în grade, au loc exact la această viteză.

Rezolvarea problemelor practice

Desigur, în viața reală totul poate fi mult mai complicat decât în ​​problemele teoretice. În practică, valoarea cantităților este de obicei determinată în timpul unui experiment. În acest caz, se folosesc instrumente care dau citiri în timpul măsurătorilor cu o anumită eroare. Prin urmare, atunci când calculați, trebuie să vă ocupați de valorile aproximative ale parametrilor și să apelați la rotunjirea numerelor incomode, precum și la alte simplificări. Luând în considerare acest lucru, să trecem din nou la problemele privind semnificația fizică a derivatului, ținând cont de faptul că acestea sunt doar o anumită model matematic procese complexe care au loc în natură.

Erupție vulcanică

Să ne imaginăm că un vulcan erupe. Cât de periculos poate fi? Pentru a clarifica această problemă, trebuie luați în considerare mulți factori. Vom încerca să luăm în considerare unul dintre ele.

Din gura „monstrului de foc” pietrele sunt aruncate vertical în sus, având o viteză inițială din momentul în care ies. Este necesar să se calculeze ce înălțime maximă pot atinge.

Pentru a găsi valoarea dorită, vom întocmi o ecuație pentru dependența înălțimii H, măsurată în metri, de alte valori. Acestea includ viteza și timpul inițial. Considerăm că valoarea accelerației este cunoscută și aproximativ egală cu 10 m/s 2 .

Derivată parțială

Să luăm acum în considerare semnificația fizică a derivatei unei funcții dintr-un unghi ușor diferit, deoarece ecuația în sine poate conține nu una, ci mai multe variabile. De exemplu, în problema anterioară, dependența înălțimii ridicării pietrelor aruncate din craterul unui vulcan a fost determinată nu numai de o modificare a caracteristicilor de timp, ci și de valoarea vitezei inițiale. Aceasta din urmă a fost considerată o valoare constantă, fixă. Dar în alte probleme cu condiții complet diferite, totul ar putea fi diferit. Daca sunt mai multe marimi de care depinde o functie complexa, calculele se fac dupa formulele de mai jos.

Semnificația fizică a derivatului frecvent ar trebui determinată ca în cazul obișnuit. Aceasta este rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct pe măsură ce parametrul variabilei crește. Se calculează în așa fel încât toate celelalte componente să fie luate ca constante, doar una este considerată variabilă. Apoi totul se întâmplă conform regulilor obișnuite.

Înțelegând sensul fizic al derivatului, nu este dificil să dai exemple de rezolvare a unor probleme complicate și complexe, al căror răspuns poate fi găsit cu astfel de cunoștințe. Dacă avem o funcție care descrie consumul de combustibil în funcție de viteza mașinii, putem calcula la ce parametri ai acesteia din urmă va fi cel mai mic consumul de benzină.

În medicină, este posibil să se prezică cum va reacționa o persoană corpul uman pe un medicament prescris de un medic. Luarea medicamentului afectează o varietate de indicatori fiziologici. Acestea includ modificări tensiunea arterială, puls, temperatura corpului și multe altele. Toate depind de doza luată medicament. Aceste calcule ajută la prezicerea cursului tratamentului, atât în ​​manifestări favorabile, cât și în evenimente nedorite, care pot afecta fatal modificările din corpul pacientului.

Fără îndoială, este important să înțelegem sensul fizic al derivatului în probleme tehnice, în special în inginerie electrică, electronică, proiectare și construcții.

Distanța de frânare

Să luăm în considerare următoarea problemă. Deplasându-se cu viteză constantă, mașina, apropiindu-se de pod, a fost nevoită să frâneze cu 10 secunde înainte de intrare, întrucât șoferul a observat un indicator rutier care interzicea circulația cu o viteză mai mare de 36 km/h. A încălcat șoferul regulile dacă distanța sa de frânare poate fi descrisă prin formula S = 26t - t 2?

După ce am calculat prima derivată, găsim o formulă pentru viteza, obținem v = 28 - 2t. În continuare, înlocuim valoarea t=10 în expresia indicată.

Deoarece această valoare a fost exprimată în secunde, viteza se dovedește a fi de 8 m/s, ceea ce înseamnă 28,8 km/h. Acest lucru face posibil să înțelegem că șoferul a început să frâneze la timp și nu a încălcat regulile de circulație și, prin urmare, limita de viteză indicată pe indicator.

Aceasta dovedește importanța semnificației fizice a derivatului. Un exemplu de rezolvare a acestei probleme demonstrează amploarea utilizării acestui concept în diverse domenii ale vieții. Inclusiv în situațiile de zi cu zi.

Derivat în economie

Până în secolul al XIX-lea, economiștii operau în principal cu medii, fie că este vorba de productivitatea muncii sau de prețul produselor manufacturate. Dar la un moment dat, valorile limită au devenit mai necesare pentru a face previziuni eficiente în acest domeniu. Acestea pot include utilitate marginală, venituri sau costuri. Înțelegerea acestui lucru a dat impuls creării unui instrument complet nou în cercetare economică, care există și s-a dezvoltat de mai bine de o sută de ani.

Pentru a elabora astfel de calcule, unde domină concepte precum minim și maxim, este pur și simplu necesar să înțelegem semnificația geometrică și fizică a derivatei. Printre creatori baza teoretica Aceste discipline includ economiști englezi și austrieci proeminenți precum W. S. Jevons, K. Menger și alții. Desigur, nu este întotdeauna convenabil să folosiți valori limită în calculele economice. Și, de exemplu, rapoartele trimestriale nu se potrivesc neapărat schema existenta, dar totusi aplicarea unei astfel de teorii in multe cazuri este utila si eficienta.

Să considerăm o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct de pe graficul unei funcții - punctul A(x 0, f (x 0)) și intersectând graficul la un moment dat B(x; f(x )). O astfel de dreaptă (AB) se numește secantă. Din ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

Din moment ce AC || Ox, apoi Ð ALO = Ð BAC = β (ca corespunzătoare atunci când sunt paralele). DarÐ ALO este unghiul de înclinare al secantei AB față de direcția pozitivă a axei Ox. Mijloace, tgβ = k - coeficientul unghiular al dreptei AB.

Acum vom reduce ∆x, i.e. ∆х→ 0. În acest caz, punctul B se va apropia de punctul A conform graficului, iar secanta AB se va roti. Poziția limită a secantei AB la ∆х→ 0 va fi o dreaptă ( o ), numită tangentă la graficul funcției y = f (x) la punctul A.

Dacă mergem la limită ca ∆x → 0 în egalitate tg β =∆ y /∆ x , atunci obținem

sau tg a = f "(x 0 ), deoarece
o - unghiul de inclinare al tangentei la directia pozitiva a axei Ox

, prin definiția unui derivat. Dar tg o = k este coeficientul unghiular al tangentei, ceea ce înseamnă k = tg a = f "(x 0 ).

Deci, semnificația geometrică a derivatei este următoarea:

Derivata functiei in punctul x 0 este egala cu panta tangentă la graficul funcției trasate în punctul cu abscisa x 0.

Sensul fizic al derivatului.

Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Lasă coordonatele unui punct să fie dată în orice moment x(t ). Se știe (dintr-un curs de fizică) că viteza medie pe o perioadă de timp [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] este egal cu raportul dintre distanța parcursă în această perioadă de timp și timpul, adică

V av = ∆ x /∆ t . Să trecem la limita în ultima egalitate la ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - viteza instantanee la momentul de timp t 0 , ∆ t → 0.

și lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (prin definiția derivatului).

Deci n(t) = x"(t).

Semnificația fizică a derivatei este următoarea: derivată a funcției y = f( x) la un moment datx 0 este rata de schimbare a funcției f(x) la punctulx 0

Derivata este folosită în fizică pentru a găsi viteza dintr-o funcție cunoscută de coordonate în funcție de timp, accelerația dintr-o funcție cunoscută a vitezei în funcție de timp.

u (t) = x "(t) - viteza,

a(f) = n"(t ) - accelerare, sau

a(t) = x"(t).

Dacă legea mișcării unui punct material dintr-un cerc este cunoscută, atunci se poate găsi viteza unghiulară și accelerația unghiulară în timpul mișcării de rotație:

φ = φ (t ) - schimbarea unghiului cu timpul,

ω = φ "(t ) - viteza unghiulara,

ε = φ "(t ) - accelerație unghiulară, sauε = φ "(t).

Dacă legea distribuției masei unei tije neomogene este cunoscută, atunci densitatea liniară a tijei neomogene poate fi găsită:

m = m (x) - masa,

x О , l - lungimea tijei,

p = m „(x) - densitate liniară.

Folosind derivata se rezolva problemele din teoria elasticitatii si vibratiilor armonice. Deci, conform legii lui Hooke

F = - kx, x - coordonate variabile, k - coeficient de elasticitate arc. Punereaω2 = k/m , primim ecuație diferențială pendul cu arc x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

unde ω = √ k /√ m frecvența de oscilație ( l/c ), k - rigiditatea arcului ( H/m).

Ecuația de forma y" +ω2y = 0 se numește ecuația oscilațiilor armonice (mecanice, electrice, electromagnetice). Soluția la astfel de ecuații este funcția

y = Asin (ωt + φ 0) sau y = Acos (ωt + φ 0), unde

A este amplitudinea oscilațiilor,ω - frecventa ciclica,

φ 0 - faza initiala.

Derivata functiei f (x) in punctul x0 este limita (daca exista) a raportului dintre incrementul functiei in punctul x0 si incrementul argumentului Δx, daca incrementul argumentului tinde sa zero și se notează cu f '(x0). Acțiunea de a găsi derivata unei funcții se numește diferențiere.
Derivata unei functii are urmatoarea semnificatie fizica: derivata unei functii intr-un punct dat este rata de schimbare a functiei intr-un punct dat.

Sensul geometric al derivatului. Derivata in punctul x0 este egala cu panta tangentei la graficul functiei y=f(x) in acest punct.

Sensul fizic al derivatului. Dacă un punct se mișcă de-a lungul axei x și coordonatele lui se modifică conform legii x(t), atunci viteza instantanee a punctului este:

Conceptul de diferenţial, proprietăţile sale. Reguli de diferențiere. Exemple.

Definiţie. Diferenţialul unei funcţii la un anumit punct x este partea liniară principală a incrementului funcţiei Diferenţiala funcţiei y = f(x) este egală cu produsul derivatei sale şi incrementul variabilei independente x. (argument).

Este scris astfel:

sau

Sau


Proprietăți diferențiale
Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:





LA regulile de bază de diferențiere include:
1) plasarea unui factor constant în afara semnului derivatei
2) derivata unei sume, derivata unei diferente
3) derivată a produsului de funcții
4) derivată a câtului a două funcții (derivată a unei fracții)

Exemple.
Să demonstrăm formula: Prin definiția derivatei avem:

Un factor arbitrar poate fi luat dincolo de semnul trecerii la limită (acest lucru este cunoscut din proprietățile limitei), prin urmare

De exemplu: Aflați derivata unei funcții
Soluţie: Să folosim regula plasării multiplicatorului în afara semnului derivatei :

Destul de des este necesar să se simplifice mai întâi forma funcției diferențiabile pentru a utiliza tabelul de derivate și regulile de găsire a derivatelor. Următoarele exemple confirmă clar acest lucru.

Formule de diferențiere. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative. Exemple.

Utilizarea unei diferenţiale în calculele aproximative vă permite să utilizaţi o diferenţială pentru a aproxima valorile unei funcţii.
Exemple.
Folosind diferența, calculați aproximativ
Pentru a calcula valoare dată hai sa aplicam formula din teorie
Să introducem o funcție în considerare și să reprezentăm valoarea dată în formă
atunci hai sa calculam

Înlocuind totul în formulă, obținem în sfârșit
Răspuns:

16. Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞. Exemple.
Limita raportului dintre două cantități infinit de mici sau două cantități infinit de mari este egală cu limita raportului dintre derivatele lor.

1)

17. Funcția crescătoare și descrescătoare. Extremul funcției. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru monotonitate și extremum. Exemple.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. adica valoare mai mare argumentul corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul acesteia merge „de jos în sus”. Funcția de demonstrație crește pe interval

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul său merge „de sus în jos”. Al nostru scade la intervale scade la intervale .

Extreme Un punct se numește punctul maxim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .
Un punct se numește punctul minim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Punctele minime și maxime sunt numite puncte extreme, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.

Pentru a explora funcția la monotonie, folosiți următoarea diagramă:
- Găsiți domeniul de definire al funcției;
- Aflați derivata funcției și domeniul de definiție al derivatei;
- Aflați zerourile derivatei, i.e. valoarea argumentului la care derivata este egală cu zero;
- Pe linia numerică, marcați partea comună a domeniului de definire a funcției și domeniul de definire a derivatei sale, iar pe ea - zerourile derivatei;
- Să se determine semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele rezultate;
- Folosind semnele derivatei, determinați la ce intervale funcția crește și pe care descrește;
- Scrieți intervalele adecvate separate prin punct și virgulă.

Algoritm de cercetare functie continua y = f(x) pentru monotonitate și extreme:
1) Aflați derivata f ′(x).
2) Găsiți punctele staționare (f ′(x) = 0) și critice (f ′(x) nu există) ale funcției y = f(x).
3) Marcați punctele staționare și critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei pe intervalele rezultate.
4) Trageți concluzii despre monotonitatea funcției și punctele sale extreme.

18. Convexitatea funcției. Puncte de inflexiune. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru convexitate (concavitate) Exemple.

convex în jos pe intervalul X dacă graficul său este situat nu mai jos decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Funcția de diferențiat se numește convex în sus pe intervalul X dacă graficul său nu este situat mai sus decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Se numește formula punctului punctul de inflexiune al graficului funcția y=f(x), dacă într-un punct dat există o tangentă la graficul funcției (poate fi paralelă cu axa Oy) și există o astfel de vecinătate a punctului o formulă în care la stânga și dreapta punctului M graficul funcţiei are directii diferite umflături.

Găsirea intervalelor pentru convexitate:

Dacă funcția y=f(x) are o derivată secundă finită pe intervalul X și dacă inegalitatea este valabilă (), atunci graficul funcției are o convexitate îndreptată în jos (în sus) la X.
Această teoremă vă permite să găsiți intervalele de concavitate și convexitate ale unei funcții trebuie doar să rezolvați inegalitățile și, respectiv, pe domeniul de definire al funcției originale;

Exemplu: Aflați intervalele pe care graficul funcției Aflați intervalele pe care se află graficul funcției are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos. are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos.
Soluţie: Domeniul acestei funcții este întregul set de numere reale.
Să găsim derivata a doua.

Domeniul de definiție al derivatei a doua coincide cu domeniul de definire al funcției originale, prin urmare, pentru a afla intervalele de concavitate și convexitate, este suficient să rezolvi și în consecință. În consecință, funcția este convexă în jos pe formula intervalului și convexă în sus pe formula intervalului.

19) Asimptotele funcției. Exemple.

Linia dreaptă se numește asimptotă verticală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită este fie egală cu sau .

Comentariu. O linie dreaptă nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă în punct. Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției.

Linia dreaptă se numește asimptotă orizontală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu .

Comentariu. Graficul unei funcții poate avea doar o asimptotă orizontală dreaptă sau doar una stângă.

Linia dreaptă se numește asimptotă oblică graficul funcției dacă

EXEMPLU:

Exercita. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie. Domeniul de aplicare al definiției funcției:

a) asimptote verticale: linie dreaptă - asimptotă verticală, întrucât

b) asimptote orizontale: găsim limita funcției la infinit:

adică nu există asimptote orizontale.

c) asimptote oblice:

Astfel, asimptota oblică este: .

Răspuns. Asimptota verticală este dreaptă.

Asimptota oblică este dreaptă.

20) Schema generala cercetarea funcției și trasarea graficului. Exemplu.

o.
Găsiți ODZ și punctele de discontinuitate ale funcției.

b. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

2. Efectuați un studiu al funcției folosind derivata întâi, adică găsiți punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere.

3. Investigați funcția folosind derivata de ordinul doi, adică găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și intervalele convexității și concavității acestuia.

4. Aflați asimptotele graficului funcției: a) verticală, b) oblică.

5. Pe baza cercetării, construiți un grafic al funcției.

Rețineți că înainte de a trasa un grafic, este util să determinați dacă o anumită funcție este pară sau impară.

Reamintim că o funcție este apelată chiar dacă schimbarea semnului argumentului nu schimbă valoarea funcției: f(-x) = f(x) iar o funcție se numește impar dacă f(-x) = -f(x).

În acest caz, este suficient să examinați funcția și să trasați graficul la valori pozitive argumente aparținând ODZ. La valori negative argument, graficul este completat pe baza faptului că pentru o funcție pară este simetric în raport cu axa Oi, și pentru impar relativ la origine.

Exemple. Explorați funcțiile și construiți-le grafice.

Domeniul funcției D(y)= (–∞; +∞). Nu există puncte de rupere.

Intersecția cu axa Bou: x = 0,y= 0.

Funcția este impară, prin urmare, poate fi studiată doar pe intervalul )