Nivel de profil trigonometrie. Ecuații trigonometrice. Ghidul suprem (2019)

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de sănătate publică. cazuri importante.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Respectarea vieții private la nivelul companiei

MBOU „Școala secundară Mordovsko-Paevskaya” din districtul Insarsky al Republicii Moldova

Completat de: Pantileikina Nadezhda,

elev de clasa a XI-a

Director: Kadyshkina N.V.,

profesor de matematică

Cuprins

Introducere……………………………………………………………………………………….

Capitolul I. Despre ecuațiile trigonometrice…………………………………..…5

1) Tipuri de bază de ecuații trigonometrice și metode de rezolvare a acestora:

1. Ecuații reduse la cele mai simple. ……………………………..5

2. Ecuații care se reduc la pătratice……………………………….5

3. Ecuații omogene acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Ecuații de forma acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7

5. Ecuații rezolvate prin factorizare………...….7

6. Ecuații non-standard………………………………………………………….8

Capitolul II. Concepte de bază și formule de trigonometrie………….8-10

Capitolul II eu. Ecuații oferite la examenul de stat unificat din anii anteriori…………………10-14

Concluzie……………………………………………………………………………………………….14

Anexa…………………………………………………………..……………………….15-17

Literatură………………………………………………………………………………………………..18

Introducere

„Singura cale care duce la cunoaștere este activitatea...”

Bernard Shaw

Relevanța lucrării.

În câteva luni termin școala.

Pentru a evita problemele cu alegere suplimentară calea vieții, necesar obțineți un certificat școlar, iar pentru a obține un certificat școlar trebuie să promovați două examene obligatorii sub forma Examenului Unificat de Stat - și unul dintre elematematică. Ce putem spune, examenele finale sunt o perioadă crucială în viața oricărui student, de care depinde nu doar nota finală la certificat, ci și viitorul său profesional, veniturile și cariera.

Singur Examen de stat- Acesta este un test important înainte de a vă muta noua viatași admiterea la o universitate sau colegiu. Este deosebit de important să-l treci cu scoruri bune.Examenul de stat unificat la matematică este un test serios și fără o bază bună, un student nu va putea pretinde un rezultat decent.

Cum să eviți să pierzi examenul și să obții scoruri bune? Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați bine sarcinile. Nu pretind punctajul maxim, dar totuși mă pregătesc cu sârguință. Și am observat că și la prima sarcină a părții C, și anume, la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a sistemelor acestora, fac greșeli.La prima vedere, problema C1 este o ecuație relativ simplă sau un sistem de ecuații care poate conține funcții trigonometrice,Una dintre principalele abordări de rezolvare a acestora este simplificarea lor secvenţială pentru a le reduce la una sau mai multe cele mai simple.Deci de ce greșesc?

Relevanța subiectului este determinată de faptul că elevii trebuie să înţeleagă anumite metode de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice.

Prin urmare, mi-am propus următoareleţintă:

Sistematizarea și extinderea cunoștințelor și abilităților legate de utilizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Obiect de studiu este studiul ecuațiilor trigonometrice în sarcinile Unified State Examination.

Subiect de cercetare- este soluția ecuațiilor trigonometrice

Astfel, obiectivul principal scriind asta munca de curs este studiul ecuațiilor trigonometrice și al sistemelor acestora, metode de rezolvare a acestora.

În conformitate cu scopurile, obiectul și subiectul studiului, se definesc următoarele: sarcini:

1). Studiați toate sarcinile legate de rezolvarea ecuațiilor trigonometrice oferite la Lucrări de examinare unificată de stat anii anteriori și la efectuarea lucrărilor de diagnosticare;

2) Metode de studiu pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

3). Identificați principalul posibile erori la rezolvarea unor astfel de ecuații;

4). Aflați motivul pentru care faceți astfel de greșeli.

6). Trageți concluzii.

În munca mea, voi rezolva mai multe ecuații trigonometrice, voi arăta posibile erori în rezolvarea lor și voi încerca să răspund la următoarele intrebari:

1). Este posibil să evitați greșelile atunci când efectuați sarcini de tip C1?

2) Dacă exersez rezolvarea ecuațiilor de acest tip, atunci pot

Este posibil să efectuați astfel de sarcini fără erori?

În acest scop, am studiat toate sarcinile demonstrative și de instruire efectuate cu noi, Materiale pentru examenul de stat unificat anii anteriori;

surse de referință studiate;

sarcini rezolvate independent de pe Internet;

și-a consultat profesorul în caz de dificultate;

Am învățat să analizez și să formatez corect rezultatele.

Capitol eu. Despre ecuațiile trigonometrice.

1) Definiție 1. O ecuație trigonometrică este o ecuație care conține o variabilă sub semn funcții trigonometrice.

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuații de forma sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

În astfel de ecuații, variabila se află sub semnul funcției trigonometrice și este numărul dat.

Rezolvarea unei ecuații trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației pentru a obține forma sa cea mai simplă și rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice rezultată.

2) Tipuri de bază de ecuații trigonometrice.

Ecuații reduse la cele mai simple.

Rezolvați ecuația

Soluţie:

Răspuns:

Ecuații care se reduc la pătratice.

1) Rezolvați ecuația 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Răspuns:

Ecuații omogene: asinx + bcosx = 0

o sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Rezolvați ecuația 2sinx – 3cosx = 0

Soluție: Fie cosx = 0, apoi 2sinx = 0 și sinx = 0 – o contradicție cu

că sin 2 x + cos 2 x = 1. Aceasta înseamnă cosx ≠ 0 și putem împărți ecuația la cosx.

Primim

Răspuns:

Exemplu: Rezolvați ecuația

Soluţie:

Răspuns:

Ecuații rezolvate prin factorizare.

Priper: Rezolvați ecuația sin2x – sinx = 0.

Rezolvare: Folosind formula sin2x = 2sinxcosx, obținem

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Răspuns:

Ecuații non-standard.

Rezolvați ecuația cosx = X 2 + 1.

Soluţie:

Să ne uităm la funcții

Capitol II. Concepte de bază și formule de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice sunt un subiect obligatoriu în orice examen de matematică.

DESPREx, cât de multă agonie provoacă studenților învățarea trigonometriei.

Anumite dificultăți apar chiar dacă în apropiere este un profesorîn matematică și explică fiecare mic detaliu. Acest lucru este de înțeles, doar există mai mult de douăzeci de formule de bază. Și dacă le numărăm derivatele... Elevul se încurcă în calcule și nu-și poate aminti mecanismele prin care aceste formule permit să se găsească, de exemplu, .

Cunoașteți formulele - vă este ușor să decideți. Dacă nu știi, nu vei înțelege, chiar dacă ei îți dau formula.Nu trebuie doar să cunoașteți formula, ci trebuie să știți unde poate fi aplicată, cum să o deschideți și care este esența formulei, iar pentru aceasta trebuie să rezolvați exemple special pentru acele probleme care sunt greu de rezolvat.

La început mi s-a păruttrigonometria este un set plictisitor de formule și grafice. Cu toate acestea, pe măsură ce am făcut cunoștință cu noi concepte de trigonometrie și metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice, m-am convins de fiecare dată cât de interesantă și fascinantă este lumea trigonometriei.

În primul rând, pentru a rezolva cu succes ecuații trigonometrice trebuie să știi bine formule trigonometrice, nu numai cele principale, ci și altele suplimentare (conversia sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs și a produselor într-o sumă, formule pentru reducerea gradelor și altele),din moment ce folosirea cheat sheets şi telefoane mobile interzisă

(Anexa 1)

În al doilea rând , trebuie să cunoaștem clar formulele standard pentru rădăcinile celor mai simple ecuații trigonometrice (este util să ne amintim sau să putem obține formule simplificate pentru rădăcinile ecuațiilor folosind cercul trigonometric)

Fiecare dintre aceste ecuații este rezolvată folosind formule pe care ar trebui să le cunoașteți. Acestea sunt formulele:

a) Funcțiay= păcatx. Funcția este limitată: este în [-1; 1]. Aceasta înseamnă că atunci când rezolvăm ecuații precumsinx=2 sausinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n arcsin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 arcsin a +n,n Z

De asemenea, trebuie să cunoașteți cazuri speciale: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = o,

De asemenea, trebuie să fii capabil să rezolvisub forma a doua serii de radacini

2. Funcţie y = cos x . Funcția este limitată: este în [-1; 1]. Aceasta înseamnă că atunci când rezolvăm ecuații precumcosx=2 saucosx=-5 răspunsul se dovedește a fi: fără rădăcini. Formule pentru funcția y=cosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Cazuri speciale: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funcţiey= tgx.

Există o singură formulă, fără cazuri speciale:tgx = ± o .

X = ± arctan a+n,n Z

În al treilea rând, trebuie să cunoașteți valorile funcțiilor trigonometrice;

(Anexa 2)

În al patrulea rând, Dacă într-o ecuație funcția trigonometrică se află sub semnul radical, atunci o astfel de ecuație trigonometrică va fi irațională. În astfel de ecuații, trebuie să urmați toate regulile care sunt utilizate la rezolvarea ecuațiilor iraționale obișnuite (se ia în considerare intervalul de valori permise atât pentru ecuația în sine, cât și pentru eliminarea rădăcinii unui grad par).

V. Ecuații oferite la examenul de stat unificat din anii precedenți.

„O metodă de soluție este bună dacă de la bun început putem prevedea – și ulterior confirma acest lucru – că urmând această metodă vom atinge scopul.”

Leibniz

1. Ecuații care se reduc la pătratice.

C1. Rezolvați ecuația:

Soluție: Folosind identitatea trigonometrică de bază,rescriem ecuația sub forma

Înlocuirecos= tecuaţia se reduce la pătratică:2t 2 + 9 t-5 =0, care are rădăcinit 1 = ½ șit 2 = -5. Revenind la variabila x, obținem
,

A doua ecuație nu are rădăcini din |cosx |≥1, iar din prima x =± +6k, k Z

Răspuns: =± +6k, k Z

Concluzie: Când introduceți o nouă variabilă, trebuie să țineți cont de faptul că valorile sin x și cos x sunt limitate de segment
, altfel vor apărea rădăcini străine.

2. Ecuații rezolvate prin factorizare

Sarcina C1 (2011)

a) Rezolvați ecuația

b) Indicați rădăcinile ecuației aparținând segmentului

Rezolvare: a) rezolvați prin factorizarea părții stângi:

grupăm și scoatem factorul comun dintre paranteze, obținem

Ecuația 1) nu are soluții.

A doua ecuație este omogenă, poate fi rezolvată prin împărțirea termenului cu termen la cosx ≠0, obținem
, unde

Raspuns: a)
b)

Concluzie:

1. Când rezolvați o ecuație de acest tip, în primul rând, trebuie să știți că |sin x|≤1 și |cosx |≤1, iar ecuația sinx =-2 nu are soluții;

2. În al doilea rând, justificați împărțirea prin cosx ≠о (deoarece dacă cosx = 0, atunci sin x = 0, dar acest lucru este imposibil;

în al treilea rând, este rezonabil să selectați rădăcinile aparținând unui interval dat

3
.Ecuaţia de aplicare a formulelor de reducere

C1 (2010) Având în vedere ecuația

a) rezolvați ecuația;

b
) Indicați rădăcinile aparținând segmentului

Soluție: Folosind formulele de reducere, obținem:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

Cu osx (2 sinx -1)=0, de unde cosx= 0 sau sinx =½,

b) Aflați valorile lui k la care vor aparține rădăcinile

intervalul specificat. Pentru a selecta rădăcinile. aparținând unui interval dat, prezentăm soluția sub forma:

b

) Găsiți valorile lui k la care rădăcinile vor aparține intervalului specificat.

Rezolvarea acestei inegalități, a întregului

nu vom obține valori pentru k.

Raspuns: a)

Concluzie:

La rezolvarea unei ecuații de acest tip este necesar să cunoașteți formulele ecuației date și să o aplicați corect; să poată prezenta o soluție
în două serii de rădăcini; alegeți rădăcinile corecte aparținând unui segment dat.

4. Sisteme de ecuaţii trigonometrice

C1 (2010). Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluție: O.D.Z

O fracție este egală cu zero dacă numărătorul este 0 și numitorul nu este 0.

Din ecuația 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, rezolvând prin introducerea unei noi variabile, găsim

sau sin x =1.

1) Lasă
, Atunci
și y = cos x = ›0 (folosind identitatea trigonometrică de bază)

sau
Şi
- nicio solutie.

2) Lasă sinx = 1, atunci y = cos x = 0 – nu există soluție.

Răspuns:
și y =

Concluzie: 1) este necesar să se țină cont de limitările trigonometrice

funcții

2) Înregistrați și luați în considerare O.D.Z.

5. C1 (Unified State Exam 2011) Rezolvați ecuația:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 sau cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, de unde t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - nu are soluție

x =

tinand cont de O.D.Z. x =

Raspuns: x =

Concluzie: Notați răspunsul ținând cont de O.D.Z.

CONCLUZIE

În munca pe care am făcut-o, am studiat soluții la ecuații trigonometrice, am luat în considerare recomandări pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și am considerat erorile care sunt posibile la rezolvarea acestora.

Am ajuns la urmatoarele concluzii:

1. Sarcinile de tip C1 testează capacitatea de a rezolva ecuații trigonometrice. Aceste sarcini sunt, într-adevăr, simple, ceea ce conferă exces de încredere în sine și calmează atenția. Singura dificultate a acestor sarcini este că, după ce am rezolvat o ecuație sau un sistem de ecuații, trebuie să renunți la rădăcinile străine.

2. Sarcina C1 este cea mai mare sarcină simplă grupa C. La rezolvarea acesteia nu ar trebui să apară transformări greoaie și calcule complexe. Dacă apar, trebuie să vă opriți imediat, să verificați soluția și să încercați să înțelegeți ce este greșit aici.

3. Pana la urma,Cerința principală este ca soluția să fie alfabetizată din punct de vedere matematic, iar cursul raționamentului trebuie să fie clar din ea.Trebuie să încercați să vă notați decizia pe scurt și clar, dar cel mai important - corect!

4. Și cel mai important, pentru a învăța cum să rezolvi ecuații fără erori, trebuie să le rezolvi! La urma urmei, după cum spunea Polya, „Dacă vrei să înveți să înoți, atunci simți-te liber să te scufunzi în apă, iar dacă vrei să înveți cum să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi!”

Anexa 1 (formule de bază ale trigonometriei)

1) identitate trigonometrică de bazăpăcat 2 α + cos 2 α= 1,

Împărțind această ecuație la pătratul cosinusului și, respectiv, al sinusului, avem