Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții. Folosind derivata pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

Din punct de vedere practic, cel mai mare interes este folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții. Cu ce ​​este legat asta? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvăm probleme de optimizare a unor parametri. Și acestea sunt sarcinile de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Trebuie remarcat faptul că cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții sunt de obicei căutate pe un anumit interval X, care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului de definiție. Intervalul X însuși poate fi un segment, un interval deschis , un interval infinit.

În acest articol vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții specificate în mod explicit a unei variabile y=f(x) .

Navigare în pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.

Să ne uităm pe scurt la principalele definiții.

Cea mai mare valoare a funcției asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare la abscisă.

Puncte staționare– acestea sunt valorile argumentului la care derivata funcției devine zero.

De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția ia adesea cea mai mare (cea mai mică) valoare pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, o funcție poate lua adesea valorile sale cele mai mari și cele mai mici în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului de definire a funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.

Pentru claritate, vom oferi o ilustrare grafică. Priviți imaginile și multe vor deveni mai clare.

Pe segment

În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul segmentului [-6;6].

Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Să schimbăm segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare în punctul cu abscisa corespunzătoare limitei drepte a intervalului.

În figura 3, punctele limită ale segmentului [-3;2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

Într-un interval deschis

În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului deschis (-6;6).

Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.

La infinit

În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare(max y) într-un punct staționar cu abscisă x=1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.

Pe parcursul intervalului, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Pe măsură ce x=2 se apropie de la dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment.

Să scriem un algoritm care ne permite să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

1. Găsim domeniul de definire al funcției și verificăm dacă acesta conține întregul segment.
2. Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt cuprinse în segment (de obicei astfel de puncte se găsesc în funcții cu argument sub semnul modulului și în funcții de putere cu un exponent fracţional-raţional). Dacă nu există astfel de puncte, treceți la următorul punct.
3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, treceți la următorul punct.
4. Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care prima derivată nu există (dacă există), precum și la x=a și x=b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile mai mari și, respectiv, cele mai mici necesare ale funcției.

Să analizăm algoritmul pentru rezolvarea unui exemplu pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

• pe segment;
• pe segmentul [-4;-1] .

Soluţie.

Domeniul de definire al unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Aflați derivata funcției în raport cu:

Evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1].

Determinăm puncte staționare din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției se realizează la x=1, iar cea mai mică valoare – la x=2.

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar):

Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.

În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.

Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în formă pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.

Coordonatele vârfurilor parabolei

Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:

1. Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.

De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:

Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:

Punctele extreme ale unui trinom pătratic și funcția complexă în care este inclus coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.

Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:

1. Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
2. Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:

1. Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
2. Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și raționamentul său pot părea complicate. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.

Să ne uităm la problemele reale din examen de stat unificat de probă la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.

Sub rădăcină stă funcţie pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.

Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.

În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:

Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Corolare din domeniul unei funcții

Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc la punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Anume:

Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический rădăcină pătrată a unui număr negativ nu există.

Scriem intervalul de valori admisibile (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Acum să găsim vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar într-un logaritm nu poate exista numere negative, așa că scriem ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.

Căutăm vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?

Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.

Condiție prealabilă Maximul și minimul (extremul) unei funcții sunt după cum urmează: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu există.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.

Care este o condiție suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?

Prima conditie:

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.

În schimb, îl poți folosi pe al doilea condiție suficientă extremul funcției:

Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.

Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?

Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuatia f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.

De exemplu, să găsim extremul unei parabole.

Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2

Rezolvați ecuația: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ÎN în acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Pentru el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. cea mai mare și cea mai mică valoare?

Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1

La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).

Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1

La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).

După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interiorul intervalului, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.

De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

la intervale:

Deci, derivata funcției este

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)

Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] funcția are cea mai mare valoare la x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

iar cel mai mic - la x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.

Aflați valoarea funcției la sfârșitul intervalului:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției

y = 5,398 la x = -4,88

cea mai mica valoare -

y = 1,077 la x = -3

Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?

Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.

Rădăcinile ecuației f? (x) = 0 și, de asemenea puncte posibile Discontinuitatea funcției și derivata a doua împart domeniul de definire al funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.

Cum se află extremele unei funcții a două variabile?

Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:

1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.

Extremele funcției sunt determinate în mod similar pentru Mai mult argumente.

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în funcție de anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului, astfel încât să ia cea mai mică cantitate material?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Uneori, în problemele B14 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real. În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monotonia. Definiție Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele: x 1

Definiţie. Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru oricare dintre punctele x 1 și x 2 ale acestui segment se întâmplă următoarele: x 1 f (x 2). Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mic.

Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0: 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:" title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> !}

0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 9 Coordonatele vârfului parabolei Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile parabolei pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a title="(! LANG:Coordonatele vârfului unei parabole Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătratic de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile unei parabole pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a

Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum; Dar există un singur astfel de punct - vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, soluția problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași: Scrieți ecuația parabolei și găsiți vârful acesteia folosind formula: Aflați valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.

0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină este o funcție pătratică Graficul acestei parabole de funcție cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2) 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină se află o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare Sub logaritm este din nou o funcție pătratică Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Găsiți cea mai mare valoare a funcției: Soluție: Exponentul conține o funcție pătratică Să o rescriem în formă normală: Evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificată în jos (a = 1.

Corolare din domeniul funcției Uneori pentru a rezolva problema B14 nu este suficient să găsim vârful parabolei. Valoarea dorită se poate afla la sfârșitul segmentului și deloc în punctul extremum. Dacă problema nu specifică deloc un segment, ne uităm la intervalul de valori permise ale funcției originale. Anume:

0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero: 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: „> 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul a unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: "> 0 2. Aritmetică rădăcina pătrată există numai a numerelor nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. The argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătrat aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:"> !}

Soluție Sub rădăcină este din nou o funcție pătratică. Graficul său este parabolic, dar ramurile sunt îndreptate în jos, deoarece a = 1
Acum să găsim vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punctul x 0 = 1 aparține segmentului ODZ și acesta este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ: y(3) = y(1) = 0 Deci, am obținut numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare număr 2. Răspuns: 2

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine. Căutăm vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Vârful parabolei se potrivește cu ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Răspuns: -2