Nivel de intrare

Derivată a unei funcții. Ghid cuprinzător (2019)

Să ne imaginăm un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de altitudine zero în viață, folosim nivelul mării.

Pe măsură ce înaintăm pe un astfel de drum, ne deplasăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasare de-a lungul axei absciselor), se modifică valoarea funcției (deplasare de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Ce fel de valoare ar putea fi aceasta? Este foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea atunci când înaintezi o anumită distanță. La urma urmei, pe zone diferite drumuri, mergând înainte (de-a lungul axei x) cu un kilometru, ne vom ridica sau vom coborî cantități diferite metri în raport cu nivelul mării (de-a lungul axei ordonatelor).

Să notăm progresul (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică aceasta este o schimbare în cantitate, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de amploare.

Important: o expresie este un singur întreg, o variabilă. Nu separa niciodată „delta” de „x” sau de orice altă literă!

Adică, de exemplu, .

Deci, ne-am înaintat, pe orizontală, cu. Dacă comparăm linia drumului cu graficul funcției, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, pe măsură ce înaintăm, ne ridicăm mai sus.

Valoarea este ușor de calculat: dacă la început eram la înălțime, iar după mutare ne-am trezit la înălțime, atunci. Dacă punctul final este mai jos decât punctul de plecare, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Să revenim la „abrupte”: aceasta este o valoare care arată cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când avansăm cu o unitate de distanță:

Acum să ne uităm la vârful unui deal. Dacă luați începutul tronsonului cu jumătate de kilometru înainte de vârf, iar sfârșitul cu jumătate de kilometru după acesta, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Puțin peste o distanță de kilometri se pot schimba multe. Este necesar să se ia în considerare suprafețe mai mici pentru o evaluare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii pe măsură ce vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, putem pur și simplu să-l depășim. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin înseamnă mai mult!

ÎN viata reala Măsurarea distanțelor la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost inventat infinitezimal, adică valoarea absolută este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că o mărime este infinitezimală, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că puteți împărți cu el.

Conceptul opus infinitezimal este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este modulo mai mare decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și veți obține un număr și mai mare. Și infinitul încă în plus ce se va întâmpla. De fapt, infinitul de mare și infinit de mic sunt invers unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum să ne întoarcem la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinitezimal al traseului, adică:

Observ că cu o deplasare infinitezimală, modificarea înălțimii va fi și ea infinitezimală. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinitezimal nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține destul număr obișnuit, De exemplu, . Adică, o valoare mică poate fi de exact ori mai mare decât alta.

Pentru ce sunt toate acestea? Drumul, abruptul... Nu mergem la un raliu de mașini, dar predăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului.

Treptatîn matematică ei numesc schimbare. Se numește măsura în care argumentul () se schimbă pe măsură ce se mișcă de-a lungul axei increment de argumentși este desemnat cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) când se deplasează înainte de-a lungul axei cu o distanță creșterea funcției si este desemnat.

Deci, derivata unei funcții este raportul față de când. Notăm derivata cu aceeași literă ca și funcția, doar cu un prim în dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Derivata poate fi egala cu zero? Cu siguranţă. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Și este adevărat, înălțimea nu se schimbă deloc. Așa este și cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este egal cu zero pentru oricare.

Să ne amintim exemplul de pe deal. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În cele din urmă, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinitezimală. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțimi la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles astfel: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: la stânga vârfului funcția crește, iar la dreapta scade. După cum am aflat mai devreme, atunci când o funcție crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (din moment ce drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, între negativ și valori pozitive trebuie să existe cu siguranță. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru jgheab (zona în care funcția din stânga scade și din dreapta crește):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul în mărime. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, la fel merge și funcția: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct în care incrementul argumentului este egal cu.
2. Același lucru este valabil și pentru funcția la un punct.

Solutii:

În puncte diferite cu același argument increment, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata în fiecare punct este diferită (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului este diferit în puncte diferite). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere este o funcție în care argumentul este într-o anumită măsură (logic, nu?).

Mai mult – în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Să ne amintim definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Incrementul este acesta. Dar o funcție în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este egala cu:

Derivata lui este egala cu:

b) Acum luați în considerare funcţie pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinitezimală și, prin urmare, nesemnificativă pe fondul celuilalt termen:

Deci, am venit cu o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula de înmulțire abreviată a cubului sumei sau factorizați întreaga expresie folosind formula diferenței cuburilor. Încercați să o faceți singur folosind oricare dintre metodele sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și din nou să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată la functie de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Regula poate fi formulată în cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient și apoi redus cu ”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formulă și folosind definiția derivatei - prin calcularea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este asta? Unde este gradul?”, amintiți-vă subiectul „”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar fracțional: .
   Deci ale noastre rădăcină pătrată- acesta este doar o diplomă cu un indicator:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment devine din nou neclar, repetați subiectul „”!!! (aproximativ un grad cu exponent negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

Funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Cu expresie.

Dovada o vei învăța în primul an de institut (și pentru a ajunge acolo, trebuie să treci bine Examenul Unificat de Stat). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este tăiat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă folosind un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examenul de stat unificat.

Deci, să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai apropiată relatie cu

a) Luați în considerare funcția. Ca de obicei, să-i găsim incrementul:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (rețineți subiectul „”): .

Acum derivata:

Să facem un înlocuitor: . Atunci pentru infinitezimal este și infinitezimal: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o cantitate infinitezimală poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci primim următoarea regulă:derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabulare”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practica:

1. Aflați derivata funcției într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi, să găsim derivata în vedere generală, apoi înlocuiți-i valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normală:
   .
   Grozav, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este asta????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o funcție în matematică a cărei derivată pentru orice valoare este egală cu valoarea funcției însăși în același timp. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci, regula:

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivat din logaritmul natural de asemenea foarte simplu:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: hai să intrăm caracteristică nouăși găsiți-i incrementul:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplu original arata cam asa:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivatul produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde x– orice număr real, adică x– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Astfel, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția derivatei. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate x din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei o logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De x.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Şi x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice x din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și x- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt x, primim (aici x este o funcție și y– argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Şi .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la a-a putere este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata rădăcinii de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . 0 Să găsim derivata funcției (3) la x =
.

. 0 :
.
Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:

Să înlocuim x =
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
Deci am gasit:
Deci am gasit:
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
(1) .
La , . 0 .

Acest rezultat se obține și din formula (1):< 0

Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x =
(3) .
Cazul x Luați în considerare din nou funcția (3): Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative variabila x.
,
Și anume, să fie număr rațional.

. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă: 3 unde m și n sunt numere întregi fără 1 divizor comun
.
Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x.

De exemplu, când n =
.
și m =
.
avem rădăcina cubă a lui x:

.
De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.
.
Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
.
Apoi
.
Apoi,
(1) .

Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Aici . Dar
(3) .
De atunci
.

Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
.
Derivate de ordin superior
;

.

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere Am găsit deja derivata de ordinul întâi: Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.

În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea: Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.
Rețineți că
,
dacă a este

număr natural

, atunci derivata a n-a este constantă:

Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
.

la .

Exemple de calculare a derivatelor
;
.
Exemplu
.

Aflați derivata funcției:
;
.
Soluţie
.

Să convertim rădăcinile în puteri: Atunci funcția originală ia forma: Găsirea derivatelor puterilor: Derivata constantei este zero::

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 2 + (2Derivata constantei este zero: la argumentul increment Δ x Derivata constantei este zero: Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției Derivata constantei este zero:. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	y(Derivata constantei este zero:) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	y(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: n	n · Derivata constantei este zero: n − 1
Sinusul	y(Derivata constantei este zero:) = păcat Derivata constantei este zero:	cos Derivata constantei este zero:
Cosinus	y(Derivata constantei este zero:) = cos Derivata constantei este zero:	−păcat Derivata constantei este zero:(minus sinus)
Tangentă	y(Derivata constantei este zero:) = tg Derivata constantei este zero:	1/cos 2 Derivata constantei este zero:
Cotangentă	y(Derivata constantei este zero:) = ctg Derivata constantei este zero:	− 1/sin 2 Derivata constantei este zero:
Logaritmul natural	y(Derivata constantei este zero:) = jurnal Derivata constantei este zero:	1/Derivata constantei este zero:
Logaritmul arbitrar	y(Derivata constantei este zero:) = jurnal o Derivata constantei este zero:	1/(Derivata constantei este zero: ln o)
Funcția exponențială	y(Derivata constantei este zero:) = x Derivata constantei este zero:	x Derivata constantei este zero:(nu s-a schimbat nimic)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcții este, de asemenea, ușor de calculat:

(C · y)’ = C · y ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2Derivata constantei este zero: 3)’ = 2 · ( Derivata constantei este zero: 3)’ = 2 3 Derivata constantei este zero: 2 = 6Derivata constantei este zero: 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Astfel vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiabile în raport cu anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile y(Derivata constantei este zero:) Și g(Derivata constantei este zero:), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (y + g)’ = y ’ + g ’
2. (y − g)’ = y ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( y + g + h)’ = y ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența y − g poate fi rescris ca o sumă y+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

y(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 2 + sin x; g(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 4 + 2Derivata constantei este zero: 2 − 3.

Funcţie y(Derivata constantei este zero:) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

y ’(Derivata constantei este zero:) = (Derivata constantei este zero: 2 + păcat Derivata constantei este zero:)’ = (Derivata constantei este zero: 2)’ + (păcat Derivata constantei este zero:)’ = 2Derivata constantei este zero:+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(Derivata constantei este zero:). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(Derivata constantei este zero:) = (Derivata constantei este zero: 4 + 2Derivata constantei este zero: 2 − 3)’ = (Derivata constantei este zero: 4 + 2Derivata constantei este zero: 2 + (−3))’ = (Derivata constantei este zero: 4)’ + (2Derivata constantei este zero: 2)’ + (−3)’ = 4Derivata constantei este zero: 3 + 4Derivata constantei este zero: + 0 = 4Derivata constantei este zero: · ( Derivata constantei este zero: 2 + 1).

Răspuns:
y ’(Derivata constantei este zero:) = 2Derivata constantei este zero:+ cos x;
g ’(Derivata constantei este zero:) = 4Derivata constantei este zero: · ( Derivata constantei este zero: 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(y · g) ’ = y ’ · g + y · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: y(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 3 cos x; g(Derivata constantei este zero:) = (Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero:− 7) · x Derivata constantei este zero: .

Funcţie y(Derivata constantei este zero:) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

y ’(Derivata constantei este zero:) = (Derivata constantei este zero: 3 cos Derivata constantei este zero:)’ = (Derivata constantei este zero: 3)’ cos Derivata constantei este zero: + Derivata constantei este zero: 3 (cos Derivata constantei este zero:)’ = 3Derivata constantei este zero: 2 cos Derivata constantei este zero: + Derivata constantei este zero: 3 (−sin Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 2 (3cos Derivata constantei este zero: − Derivata constantei este zero: păcat Derivata constantei este zero:)

Funcţie g(Derivata constantei este zero:) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(Derivata constantei este zero:) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(Derivata constantei este zero:) = ((Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero:− 7) · x Derivata constantei este zero:)’ = (Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero:− 7)’ · x Derivata constantei este zero: + (Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero:− 7) ( x Derivata constantei este zero:)’ = (2Derivata constantei este zero:+ 7) · x Derivata constantei este zero: + (Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero:− 7) · x Derivata constantei este zero: = x Derivata constantei este zero:· (2 Derivata constantei este zero: + 7 + Derivata constantei este zero: 2 + 7Derivata constantei este zero: −7) = (Derivata constantei este zero: 2 + 9Derivata constantei este zero:) · x Derivata constantei este zero: = Derivata constantei este zero:(Derivata constantei este zero:+ 9) · x Derivata constantei este zero: .

Răspuns:
y ’(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero: 2 (3cos Derivata constantei este zero: − Derivata constantei este zero: păcat Derivata constantei este zero:);
g ’(Derivata constantei este zero:) = Derivata constantei este zero:(Derivata constantei este zero:+ 9) · x Derivata constantei este zero: .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții y(Derivata constantei este zero:) Și g(Derivata constantei este zero:), și g(Derivata constantei este zero:) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(Derivata constantei este zero:) = y(Derivata constantei este zero:)/g(Derivata constantei este zero:). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția y(Derivata constantei este zero:) = păcat Derivata constantei este zero:și înlocuiți variabila Derivata constantei este zero:, să zicem, pe Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:. Se va rezolva y(Derivata constantei este zero:) = păcat ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

y ’(Derivata constantei este zero:) = y ’(t) · t', Dacă Derivata constantei este zero: este înlocuit cu t(Derivata constantei este zero:).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliată fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: y(Derivata constantei este zero:) = x 2Derivata constantei este zero: + 3 ; g(Derivata constantei este zero:) = păcat ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:)

Rețineți că dacă în funcție y(Derivata constantei este zero:) în loc de expresia 2 Derivata constantei este zero:+ 3 va fi ușor Derivata constantei este zero:, atunci se va rezolva funcţie elementară y(Derivata constantei este zero:) = x Derivata constantei este zero:. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 Derivata constantei este zero: + 3 = t, y(Derivata constantei este zero:) = y(t) = x t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

y ’(Derivata constantei este zero:) = y ’(t) · t ’ = (x t)’ · t ’ = x t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2Derivata constantei este zero:+ 3. Obținem:

y ’(Derivata constantei este zero:) = x t · t ’ = x 2Derivata constantei este zero:+ 3 (2 Derivata constantei este zero: + 3)’ = x 2Derivata constantei este zero:+ 3 2 = 2 x 2Derivata constantei este zero: + 3

Acum să ne uităm la funcție g(Derivata constantei este zero:). Evident că trebuie înlocuit Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero: = t. Avem:

g ’(Derivata constantei este zero:) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:. Apoi:

g ’(Derivata constantei este zero:) = cos ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:) · ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:)’ = cos ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:) · (2 Derivata constantei este zero: + 1/Derivata constantei este zero:).

Asta este! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
y ’(Derivata constantei este zero:) = 2 · x 2Derivata constantei este zero: + 3 ;
g ’(Derivata constantei este zero:) = (2Derivata constantei este zero: + 1/Derivata constantei este zero:) cos ( Derivata constantei este zero: 2 + ln Derivata constantei este zero:).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca ultimul exemplu Să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(Derivata constantei este zero: n)’ = n · Derivata constantei este zero: n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este Derivata constantei este zero: 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

y(Derivata constantei este zero:) = (Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero: − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero: − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

y ’(Derivata constantei este zero:) = y ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero:− 7. Avem:

y ’(Derivata constantei este zero:) = 0,5 · ( Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero:− 7) −0,5 · ( Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero:− 7)’ = 0,5 (2 Derivata constantei este zero:+ 8) ( Derivata constantei este zero: 2 + 8Derivata constantei este zero: − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata logaritmului natural și a logaritmului la baza a. Exemple de calculare a derivatelor lui ln 2x, ln 3x și ln nx. Demonstrarea formulei pentru derivata logaritmului de ordinul al n-lea folosind metoda inducție matematică.

Derivarea formulelor pentru derivatele logaritmului natural și logaritmului la baza a

Derivata logaritmului natural al lui x este egala cu una impartita la x:
(1) (ln x)′ =.

Derivata logaritmului la baza a este egala cu unu impartita la variabila x inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) (log a x)′ =.

Dovada

Să fie câteva număr pozitiv, nu este egal cu unu. Luați în considerare o funcție care depinde de o variabilă x, care este un logaritm față de bază:
.
Această funcție este definită la .
(3) .

Să găsim derivata ei în raport cu variabila x.
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem următoarele fapte:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
O) Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(7) .
B)
Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă: Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
(8) .

ÎN)
.
Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:

.

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.

Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile (4) și (5).
.
Logaritm la bază e numit logaritmul natural. Se desemnează după cum urmează:
.
Apoi ;
.

Astfel, am obținut formula (2) pentru derivata logaritmului.

Derivată a logaritmului natural

Încă o dată scriem formula pentru derivata logaritmului pe baza a:
.
Această formulă are cea mai simplă formă pentru logaritmul natural, pentru care , .
(1) .

Apoi
.

Datorită acestei simplități, logaritmul natural este utilizat pe scară largă în analiza matematică și în alte ramuri ale matematicii legate de calculul diferențial. Funcțiile logaritmice cu alte baze pot fi exprimate în termeni de logaritm natural folosind proprietatea (6):
.

Derivata logaritmului față de bază poate fi găsită din formula (1), dacă scoateți constanta din semnul de diferențiere:

Alte moduri de a demonstra derivata unui logaritm
(9) .
Aici presupunem că știm formula pentru derivata exponențialului:

Apoi putem deriva formula pentru derivata logaritmului natural, dat fiind că logaritmul este funcția inversă a exponențialului. Să demonstrăm formula pentru derivata logaritmului natural,:
.
aplicând formula pentru derivata funcţiei inverse În cazul nostru. Funcția inversă
.
exponențialul față de logaritmul natural este:
.
Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
.
Apoi
.
Derivatul său este determinat de formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:

Formula este dovedită. Acum demonstram formula pentru derivata logaritmului natural folosind reguli de diferențiere a funcțiilor complexe
.
. Deoarece funcțiile și sunt inverse între ele, atunci
(10) .
Să diferențiem această ecuație față de variabila x:
.
Derivata lui x este egala cu unu:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
.
Aici . Să înlocuim în (10):
.

, atunci derivata a n-a este constantă:

De aici Găsiți derivate ale ln 2x,Şi ln 3x.

la .

lnnx Funcțiile originale au aspect similar . Prin urmare vom găsi derivata funcției y = log nx . Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ln 2x ln 2x, .

Şi
. Prin urmare vom găsi derivata funcției .
Deci, căutăm derivata funcției
1) Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
2) Funcții în funcție de o variabilă: ;
Funcţii în funcţie de o variabilă: .
.

Atunci funcția originală este compusă din funcțiile și:
.
Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.

Să înlocuim x =
(11) .
Aici o punem la punct.
.
- aceasta este o constantă. Derivata sa este zero. Atunci, conform regulii de diferențiere a sumei, avem:
.

Răspuns

; ; .

Derivată a logaritmului modulului x

Să găsim derivatul altuia foarte functie importanta- logaritmul natural al modulului x:
(12) .

Să luăm în considerare cazul.
.
Apoi funcția arată astfel:
.

Derivatul său este determinat de formula (1):
,
Acum să luăm în considerare cazul.
Apoi funcția arată astfel:
.
Apoi
.

Unde .
.

Dar am găsit și derivata acestei funcții în exemplul de mai sus. Nu depinde de n și este egal cu
.

Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:

În consecință, pentru ca logaritmul să bazeze a, avem:
.
Derivate de ordine superioare ale logaritmului natural
(13) .

Luați în considerare funcția
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
.
Să găsim derivata de ordinul doi:
.

Să găsim derivata de ordinul trei:
(14) .
Să găsim derivata de ordinul al patrulea:

Dovada

Puteți observa că derivata de ordinul n-a are forma:
.
Să demonstrăm acest lucru prin inducție matematică. 1 Să înlocuim valoarea n = 1 în formula (14):

Din moment ce , atunci când n = + 1 .

, formula (14) este valabilă.
.
Să presupunem că formula (14) este satisfăcută pentru n = k.

.
Să demonstrăm că aceasta implică că formula este valabilă pentru n = k
.
Într-adevăr, pentru n = k avem: 1 Diferențierea față de variabila x: 1 .

Deci avem:

Această formulă coincide cu formula (14) pentru n = k +

.
.
Astfel, din ipoteza că formula (14) este valabilă pentru n = k, rezultă că formula (14) este valabilă pentru n = k +
.