Faceți cu 0. Puteți împărți cu zero? Când a apărut zero

De ce nu poți împărți la zero? 16 aprilie 2018

Deci am discutat recent. Și iată o altă declarație interesantă. „Nu poți împărți la zero!” - majoritatea elevilor memorează această regulă fără a pune întrebări. Toți copiii știu ce este „nu este permis” și ce se va întâmpla dacă, ca răspuns la el, întreabă: „De ce?”. Asta se va întâmpla dacă

Dar de fapt este foarte interesant și important să știm de ce este imposibil.

Ideea este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind complete - adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare scăderea, de exemplu. Ce înseamnă 5 - 3? Răspunsul elevului la aceasta este simplu: trebuie să luați cinci obiecte, să luați (înlăturați) trei dintre ele și să vedeți câte au rămas. Dar matematicienii privesc această problemă într-un mod complet diferit. Nu există nicio scădere, doar adunare. Prin urmare, scrierea 5 - 3 înseamnă un număr care, adăugat la numărul 3, dă numărul 5. Adică, 5 - 3 este doar o notație prescurtată a ecuației: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere în aceasta. ecuaţie. Există doar o sarcină - să găsești un număr potrivit.

La fel este și cazul înmulțirii și împărțirii. Notația 8: 4 poate fi înțeleasă ca rezultat al împărțirii a opt articole în patru grămezi egale. Dar, în realitate, este doar o formă prescurtată a ecuației 4 x = 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Notația 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0, va da 5. Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0, obțineți întotdeauna 0. Acesta este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Un număr care, înmulțit cu 0, va da altceva decât zero, pur și simplu nu există. Adică, sarcina noastră nu are soluție. (Da, acest lucru se întâmplă, nu orice problemă are o soluție.) Aceasta înseamnă că notația 5: 0 nu corespunde niciunui număr specific și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are sens. Nesemnificația acestei înregistrări este exprimată pe scurt, spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc se vor întreba cu siguranță: poate fi împărțit zero la zero? Într-adevăr, ecuația 0 x = 0 poate fi rezolvată cu succes. De exemplu, puteți lua x = 0 și apoi obținem 0 · 0 = 0. Deci, 0: 0 = 0? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x = 1. Obținem 0 · 1 = 0. Nu? Deci 0: 0 = 1? Dar puteți lua orice număr în acest fel și obțineți 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să optăm pentru unul dintre ele. Adică, nu putem spune cărui număr îi corespunde înregistrarea 0: 0. Și dacă este așa, atunci suntem forțați să admitem că nici această înregistrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică, există cazuri când, din cauza condițiilor suplimentare ale problemei, poate fi preferată una dintre soluțiile posibile ale ecuației 0 · x = 0; în astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvăluirea incertitudinii”, dar în aritmetică astfel de cazuri nu apar.)

Aceasta este particularitatea operațiunii de divizare. Mai exact, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.

Ei bine, și cel mai meticulos, citind până aici, se poate întreba: de ce este imposibil să împărțiți la zero, dar puteți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Puteți răspunde numai după ce vă familiarizați cu definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și operațiile asupra acestora.

Zero este o cifră foarte interesantă în sine. Prin ea însăși, înseamnă gol, lipsă de sens, iar alături de un alt număr își mărește semnificația de 10 ori. Orice numere în gradul zero da întotdeauna 1. Acest semn a fost folosit chiar și în civilizația mayașă și desemna, de asemenea, conceptul de „început, cauză”. Chiar și calendarul a început din ziua zero. Și această cifră este, de asemenea, asociată cu o interdicție strictă.

Încă din anii de școală elementară, cu toții am învățat clar regula „nu poți împărți la zero”. Dar dacă în copilărie iei mult pe credință și cuvintele unui adult trezesc rareori îndoieli, atunci de-a lungul timpului uneori tot vrei să înțelegi motivele, să înțelegi de ce au fost stabilite anumite reguli.

De ce nu poți împărți la zero? Aș dori să obțin o explicație logică clară pentru această întrebare. În clasa I, profesorii nu puteau face asta, pentru că la matematică regulile sunt explicate folosind ecuații, iar la vârsta aceea habar nu aveam despre ce este. Și acum este timpul să vă dați seama și să obțineți o explicație logică clară a motivului pentru care nu puteți împărți la zero.

Cert este că în matematică, doar două din cele patru operații de bază (+, -, x, /) cu numere sunt recunoscute ca independente: înmulțirea și adunarea. Restul operațiunilor sunt considerate a fi derivate. Să ne uităm la un exemplu simplu.

Spune-mi, cât de mult va ieși dacă scazi 18 din 20? Desigur, răspunsul ne apare imediat în cap: va fi 2. Și cum am ajuns la un astfel de rezultat? Pentru unii, această întrebare le va părea ciudată - la urma urmei, totul este clar că va ieși 2, cineva le va explica că a luat 18 din 20 de copeici și a primit două copeici. În mod logic, toate aceste răspunsuri nu sunt puse la îndoială, dar din punct de vedere al matematicii, această problemă ar trebui rezolvată într-un mod diferit. Să reamintim încă o dată că principalele operații din matematică sunt înmulțirea și adunarea și, prin urmare, în cazul nostru răspunsul constă în soluția următoarei ecuații: x + 18 = 20. Din care rezultă că x = 20 - 18, x = 2. S-ar părea, de ce să pictezi totul atât de detaliat? La urma urmei, totul este elementar simplu. Cu toate acestea, fără aceasta este dificil de explicat de ce nu se poate împărți la zero.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă dorim să împărțim 18 la zero. Să facem din nou ecuația: 18: 0 = x. Deoarece operația de împărțire este o derivată a procedurii de înmulțire, transformând ecuația noastră obținem x * 0 = 18. Aici începe punctul mort. Orice număr în locul lui x atunci când este înmulțit cu zero va da 0 și nu vom putea obține 18 în niciun fel. Acum devine foarte clar de ce nu se poate împărți la zero. Zero în sine poate fi împărțit la orice număr, dar dimpotrivă - din păcate, nu poate fi.

Ce se întâmplă dacă zero este împărțit la sine? Poate fi scris astfel: 0: 0 = x, sau x * 0 = 0. Această ecuație are nenumărate soluții. Deci rezultatul final este infinitul. Prin urmare, nici operațiunea nu are sens în acest caz.

Împărțirea cu 0 este la baza multor presupuse glume matematice care pot fi folosite pentru a nedumeri orice persoană ignorantă, dacă se dorește. De exemplu, luați în considerare ecuația: 4 * x - 20 = 7 * x - 35. Să scoatem 4 în partea stângă, iar în partea dreaptă 7. Obținem: 4 * (x - 5) = 7 * (x - 5). Acum înmulțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu fracția 1 / (x - 5). Ecuația va lua următoarea formă: 4 * (x - 5) / (x - 5) = 7 * (x - 5) / (x - 5). Să reducem fracțiile cu (x - 5) și obținem că 4 = 7. De aici putem concluziona că 2 * 2 = 7! Desigur, problema aici este că este egal cu 5 și a fost imposibil să anulați fracții, deoarece acest lucru a dus la împărțirea la zero. Prin urmare, atunci când reduceți fracții, trebuie să verificați întotdeauna, astfel încât zero să nu ajungă accidental la numitor, altfel rezultatul se va dovedi a fi complet imprevizibil.

De ce nu poți împărți la zero? Cine a interzis-o? Școala ne interzice cu încăpățânare să împărțim la zero, dar de îndată ce trecem pragul universității, am primit o îngăduință. Ceea ce era considerat o interdicție în școală este acum posibil. Puteți împărți la zero și obțineți infinit. Matematică superioară... Ei bine, aproape.

Istoria și filosofia lui zero

De fapt, povestea cu împărțirea la zero și-a bântuit inventatorii (a). Dar indienii sunt filozofi obișnuiți cu probleme abstracte. Ce înseamnă a împărți în nimic? Pentru europenii de atunci, o astfel de întrebare nu exista deloc, deoarece nu știau despre zero sau numere negative (care sunt la stânga zero pe scară).

În India, scăderea celui mai mare din cel mai mic și obținerea unui număr negativ nu a fost o problemă. La urma urmei, ce înseamnă 3-5 = -2 în viața obișnuită? Aceasta înseamnă că cineva datorează cuiva 2. Au fost apelate numere negative datorii.

Acum să ne ocupăm la fel de ușor de problema împărțirii la zero. În 598 d.Hr. (gândiți-vă doar cu cât timp în urmă, cu mai bine de 1400 de ani în urmă!) S-a născut în India matematicianul Brahmagupta, care s-a întrebat și despre împărțirea la zero.

El ne-a sugerat că dacă luați o lămâie și începeți să o împărțiți în părți, mai devreme sau mai târziu vom ajunge la concluzia că feliile vor fi foarte mici. În imaginația noastră, putem ajunge la punctul în care lobulii devin egali cu zero. Deci, întrebarea este, dacă împărțiți o lămâie nu în 2, 4 sau 10 părți, ci în numărul de părți care tind spre infinit - care este dimensiunea feliilor? Va exista un număr infinit de „zero felii”. Totul este destul de simplu, tăiem lămâia foarte fin, obținem o băltoacă cu un număr infinit de părți – zeama de lămâie.

Este suficient să-ți pui o întrebare:

Dacă împărțirea la infinit dă zero, atunci împărțirea la zero ar trebui să dea infinit.

x / ∞ = 0 deci x / 0 = ∞

Dar dacă te apuci de matematică, se dovedește cumva ilogic:

a * 0 = 0? Ce se întâmplă dacă b * 0 = 0? Înseamnă: a * 0 = b * 0

Și de aici: a = b

Adică, orice număr este egal cu orice număr. Prima împărțire cu zero este incorectă, să mergem mai departe. În matematică, împărțirea este considerată a fi inversul înmulțirii. Aceasta înseamnă că dacă împărțim 4 la 2, trebuie să găsim un număr care, înmulțit cu 2, dă 4.

Împărțiți 4 la zero - trebuie să găsiți numărul care, atunci când este înmulțit cu zero, va da 4. Adică x * 0 = 4? Dar x * 0 = 0! Din nou ghinion. Așa că întrebăm: „Câte zerouri trebuie să luați pentru a obține 4?” Infinit? Un număr infinit de zerouri se va aduna în continuare până la zero.

Și împărțirea lui 0 la 0 dă în general incertitudine, deoarece 0 * x = 0, unde x este orice. Adică nenumărate soluții.

Natura ilogică și abstractă a operațiilor cu zero nu este permisă în cadrul restrâns al algebrei, sau mai degrabă, este o operație nedefinită. Are nevoie de un aparat mai serios - matematică superioară. Deci, într-un fel, nu poți împărți la zero, dar dacă vrei cu adevărat, poți împărți la zero, dar trebuie să fii pregătit să înțelegi lucruri precum funcția delta Dirac și alte lucruri greu de înțeles. Împărțiți prin sănătate.

Explicație simplă din viață

Iată un puzzle din viața reală. Să presupunem că vrem să calculăm cât va dura să parcurgem 10 kilometri. Aceasta înseamnă Viteza * timp = distanță (S = Vt). Pentru a afla timpul, împărțim distanța la viteza (t = S / V). Și ce se va întâmpla dacă viteza noastră este 0? t = 10/0. Va fi infinit!

Stăm pe loc, viteza este zero, iar cu această viteză vom ajunge mereu la 10 km. Deci timpul va fi... t = ∞. Deci avem infinitul!

Și în acest exemplu, puteți împărți la zero, experiența de viață permite. Este păcat că profesorii de la școală nu pot explica astfel de lucruri simplu.

Se spune că puteți împărți la zero dacă determinați rezultatul împărțirii la zero. Trebuie doar să extindeți algebra. Printr-o ciudată coincidență, nu este posibil să găsim măcar câteva, dar mai bine înțelese și mai simple, exemplu de asemenea extensie. Pentru a repara Internetul, este necesară fie o demonstrație a uneia dintre modalitățile unei astfel de extensii, fie o descriere a motivului pentru care acest lucru nu este posibil.

Articolul a fost scris în continuarea tendinței:

Disclaimer

Scopul acestui articol este de a explica în „limbajul uman” cum funcționează fundamentele fundamentale ale matematicii, de a structura cunoștințele și de a restabili relațiile cauzale ratate între ramurile matematicii. Toate raționamentele sunt filozofice, în ceea ce privește judecățile ele diverg de cele general acceptate (prin urmare, nu se pretinde a fi rigoare matematică). Articolul este conceput pentru nivelul cititorului „a trecut de turn cu mulți ani în urmă”.

O înțelegere a principiilor aritmeticii, algebrei elementare, generale și liniară, analizei matematice și non-standard, teoriei mulțimilor, topologiei generale, geometriei proiective și afine este de dorit, dar nu este necesară.

În timpul experimentelor, nici măcar un infinit nu a fost afectat.

Prolog

A depăși este un proces natural de căutare a unor noi cunoștințe. Dar nu orice căutare aduce cunoștințe noi și, prin urmare, beneficii.

1. De fapt, totul a fost deja împărțit la noi!

1.1 Extensie afină a liniei numerice

Să începem cu ceea ce probabil încep toți aventurierii când împart la zero. Să ne amintim graficul funcției .

La stânga și la dreapta lui zero, funcția pleacă în diferite direcții de „inexistență”. La zero, în general există o „bază” și nimic nu este vizibil.

În loc să ne grăbim în „piscine”, să vedem ce curge înăuntru și ce iese de acolo. Pentru a face acest lucru, vom folosi limita - principalul instrument de analiză matematică. Principalul „truc” este că limita îți permite să mergi cât mai aproape de un anumit punct, dar nu să „calci pe el”. Un astfel de „gard” în fața „vârtejului”.

Original

Ei bine, „gardul” a fost amenajat. Nu mai e așa de înfricoșător. Avem două căi către „vârtej”. Să mergem la stânga - o coborâre abruptă, la dreapta - o urcare abruptă. Oricât ai merge la „gard”, acesta nu se apropie. Nu există nicio modalitate de a traversa „inexistența” inferioară și superioară. Apar suspiciuni, mergem în cerc? Deși nu, numerele se schimbă, deci nu într-un cerc. Să scotocim încă în piept cu instrumentele de analiză matematică. Pe lângă limitele cu „gard”, setul include infinite pozitive și negative. Cantitatile sunt complet abstracte (nu numere), bine formalizate si gata de utilizare! Ne convine. Să completăm „ființa” noastră (mulțimea numerelor reale) cu două infinite semnate.

Limbajul matematic:

Această extensie vă permite să luați limita cu argumentul care tinde spre infinit și să obțineți infinitul ca urmare a luării limitei.

Există două ramuri ale matematicii care descriu același lucru folosind o terminologie diferită.

Să rezumam:

În reziduul uscat. Vechile abordări au încetat să funcționeze. Complexitatea sistemului, sub forma unui morman de „dacă”, „pentru toți, dar”, etc., a crescut. Aveam doar două incertitudini, 1/0 și 0/0 (nu am luat în considerare operațiunile cu putere), acum sunt cinci. Dezvăluirea unei incertitudini a generat mai multe incertitudini.

1.2 Roata

Introducerea infinitului nesemnat nu s-a oprit aici. Pentru a ieși din incertitudini, ai nevoie de un al doilea vânt.

Deci, avem o mulțime de numere reale și două incertitudini 1/0 și 0/0. Pentru a elimina primul, am efectuat o extindere proiectivă a dreptei numerice (adică am introdus infinitul fără semn). Să încercăm să ne ocupăm de a doua incertitudine a formei 0/0. Să facem la fel. Să completăm setul de numere cu un nou element reprezentând a doua incertitudine.

Definiția unei operații de împărțire se bazează pe înmulțire. Nu ne convine. Să decuplăm operațiile una de cealaltă, dar să păstrăm comportamentul obișnuit pentru numerele reale. Să definim o operație de împărțire unară, notată cu „/”.

Să extindem definiția operațiunilor.

Această structură se numește „Roata”. Termenul a fost luat din cauza asemănării cu imaginea topologică a extinderii proiective a dreptei numerice și a punctului 0/0.

Totul arată bine, dar diavolul este în detalii:

Pentru a rezolva toate caracteristicile, pe lângă extinderea setului de elemente, se atașează un bonus sub forma nu a uneia, ci a două identități care descriu legea distributivă.

Limbajul matematic:

Din punct de vedere al algebrei generale, am operat pe un câmp. Și în teren, după cum știți, sunt definite doar două operații (adunare și înmulțire). Conceptul de împărțire se deduce prin invers, iar dacă și mai profund, atunci elementele unității. Modificările făcute transformă sistemul nostru algebric într-un monoid atât din punct de vedere al adunării (cu zero ca element neutru), cât și din punct de vedere al înmulțirii (cu unitatea ca element neutru).

În scrierile descoperitorilor, simbolurile ∞ și ⊥ nu sunt întotdeauna folosite. În schimb, puteți găsi notația sub forma / 0 și 0/0.

Lumea nu mai e atât de frumoasă, nu-i așa? Nu te grăbi, totuși. Să verificăm dacă noile identități ale legii distributive vor face față setului nostru extins .

De data aceasta, rezultatul este mult mai bun.

Să rezumam:

În reziduul uscat. Algebra funcționează excelent. S-a luat însă ca bază conceptul „nedefinit”, care a început să fie considerat ceva existent și să opereze cu el. Într-o zi cineva va spune că totul este rău și este necesar să împărțim „nedefinitul” dat în câteva „nedefinite”, dar mai mici. Algebra generală va spune: „Nici o problemă, frate!”.
Ceva de genul acesta a postulat unități imaginare suplimentare (j și k) în cuaternioni Adăugați etichete

În cursul aritmeticii școlare, toate operațiile matematice sunt efectuate cu numere reale. Mulțimea acestor numere (sau un câmp ordonat continuu) are o serie de proprietăți (axiome): comutativitatea și asociativitatea înmulțirii și adunării, existența elementelor zero, unu, opuse și inverse. De asemenea, axiomele de ordine și continuitate, folosite pentru analiza comparativă, vă permit să determinați toate proprietățile numerelor reale.

Deoarece împărțirea este inversul înmulțirii, împărțirea numerelor reale la zero va duce inevitabil la două probleme de nerezolvat. În primul rând, testarea rezultatului împărțirii la zero folosind înmulțirea nu are o expresie numerică. Oricare ar fi numărul coeficientului, dacă îl înmulțiți cu zero, nu puteți obține dividendul. În al doilea rând, în exemplul 0: 0, răspunsul poate fi absolut orice număr, care, înmulțit cu un divizor, se transformă întotdeauna în zero.

Împărțirea cu zero în matematica superioară

Dificultățile enumerate de împărțire la zero au dus la impunerea unui tabu asupra acestei operațiuni, cel puțin în cadrul cursului școlar. Cu toate acestea, la matematica superioară, ei găsesc modalități de a ocoli această interdicție.

De exemplu, prin construirea unei alte structuri algebrice, diferită de linia numerică familiară. Un exemplu de astfel de structură este o roată. Există legi și reguli aici. În special, împărțirea nu este legată de înmulțire și trece de la o operație binară (cu două argumente) la una unară (cu un argument), notat cu simbolul / x.

Extinderea câmpului numerelor reale are loc datorită introducerii numerelor hiperreale, care acoperă cantități infinit de mari și infinit de mici. Această abordare ne permite să considerăm termenul „infinit” ca un anumit număr. Mai mult, atunci când linia numerică se extinde, își pierde semnul, transformându-se într-un punct idealizat care leagă cele două capete ale acestei linii. Această abordare poate fi comparată cu o linie de schimbare a datelor, când, atunci când vă deplasați între două fusuri orare UTC + 12 și UTC-12, puteți fi în ziua următoare sau pe cea anterioară. În acest caz, afirmația x / 0 = ∞ devine adevărată pentru orice x ≠ 0.

Pentru a elimina ambiguitatea 0/0, se introduce un nou element ⏊ = 0/0 pentru roată. Mai mult, această structură algebrică are propriile sale nuanțe: 0 · x ≠ 0; xx ≠ 0 în general. De asemenea x · / x ≠ 1, întrucât împărțirea și înmulțirea nu mai sunt considerate operații inverse. Dar aceste trăsături ale roții sunt bine explicate cu ajutorul identităților legii distributive, care funcționează oarecum diferit într-o astfel de structură algebrică. Explicații mai detaliate pot fi găsite în literatura de specialitate.

Algebra, cu care toată lumea este obișnuită, este, de fapt, un caz special de sisteme mai complexe, de exemplu, aceeași roată. După cum puteți vedea, este posibil să împărțiți la zero în matematica superioară. Acest lucru necesită depășirea limitelor ideilor obișnuite despre numere, operații algebrice și legile cărora acestea se supun. Deși acesta este un proces complet natural care însoțește orice căutare de noi cunoștințe.

Articol înrudit

Surse:

Operațiile matematice cu zero se disting adesea prin reguli speciale și chiar prin interdicții. Deci, toți școlarii din școala elementară învață regula: „Nu poți împărți la zero”. Există și mai multe reguli și convenții cu privire la numerele negative. Toate acestea complică în mod semnificativ înțelegerea de către elev a materialului, așa că uneori nici măcar nu este clar dacă zero poate fi împărțit la un număr negativ.

Ce este diviziunea

În primul rând, pentru a ne da seama dacă zero poate fi împărțit la un număr negativ, ar trebui să ne amintim cum se realizează în general împărțirea numerelor negative. Operația matematică de împărțire este inversul înmulțirii.

Acest lucru poate fi descris după cum urmează: dacă a și b sunt numere raționale, atunci împărțirea a la b, aceasta înseamnă găsirea unui număr c care, atunci când este înmulțit cu b, va avea ca rezultat numărul a. Această definiție a diviziunii este valabilă atât pentru numerele pozitive, cât și pentru cele negative, dacă divizorii sunt nenuli. În acest caz, se respectă cu strictețe condiția că este imposibil de împărțit la zero.

Prin urmare, de exemplu, pentru a împărți numărul 32 la numărul -8, ar trebui să găsiți un astfel de număr care, atunci când este înmulțit cu numărul -8, va avea ca rezultat numărul 32. Acest număr va fi -4, deoarece

(-4) x (-8) = 32. În acest caz, semnele sunt adăugate, iar minus cu minus va rezulta în plus.

Prin urmare:

Alte exemple de împărțire a numerelor raționale:

21: 7 = 3, deoarece 7 x 3 = 21,

(−9): (−3) = 3 deoarece 3 (−3) = −9.

Reguli de împărțire pentru numere negative

Pentru a determina modulul coeficientului, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului. Este important să țineți cont de semnul atât al unuia, cât și al celuilalt element al operației.

Pentru a împărți două numere cu aceleași semne, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și să puneți un semn plus în fața rezultatului.

Pentru a împărți două numere cu semne diferite, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului, dar puneți un semn minus în fața rezultatului și nu contează care dintre elemente, divizorul sau dividend, a fost negativ.

Regulile indicate și relațiile dintre rezultatele înmulțirii și împărțirii, cunoscute pentru numerele pozitive, sunt valabile și pentru toate numerele raționale, cu excepția numărului zero.

Există o regulă importantă pentru zero: câtul de împărțire a zeroului la orice număr diferit de zero este, de asemenea, zero.

0: b = 0, b ≠ 0. Mai mult, b poate fi atât pozitiv, cât și negativ.

Astfel, putem concluziona că zero poate fi împărțit la un număr negativ, iar rezultatul va fi întotdeauna zero.