Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții

Într-o lecție pe tema „Folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori functie continua pe un interval” vom lua în considerare probleme relativ simple de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat folosind derivata.

Subiect: derivat

Lecție: Utilizarea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

În această lecție, vom lua în considerare o problemă mai simplă și anume, se va da un interval, se va da o funcție continuă pe acest interval. Trebuie să aflăm cel mai mare și cea mai mică valoare dat funcții pe un dat între.

Nr. 32.1 (b). Având în vedere: , . Să desenăm un grafic al funcției (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Graficul unei funcții.

Se știe că această funcție crește pe interval, ceea ce înseamnă că crește și pe interval. Aceasta înseamnă că, dacă găsiți valoarea unei funcții în puncte și , atunci limitele de modificare ale acestei funcții, vor fi cunoscute valorile sale cele mai mari și cele mai mici.

Când argumentul crește de la la 8, funcția crește de la la .

Răspuns: ; .

Nr. 32.2 (a) dat: Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un interval dat.

Să reprezentăm grafic această funcție (vezi Fig. 2).

Dacă argumentul se schimbă în intervalul , atunci funcția crește de la -2 la 2. Dacă argumentul crește de la , atunci funcția scade de la 2 la 0.

Orez. 2. Graficul funcției.

Să găsim derivata.

, . Dacă , atunci această valoare aparține și segmentului dat. Dacă, atunci. Este ușor de verificat dacă ia alte valori și punctele staționare corespunzătoare se încadrează în afara segmentului dat. Să comparăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate la care derivata este egală cu zero. Vom găsi

;

Răspuns: ;.

Deci, răspunsul a fost primit. Derivat în în acest caz,Îl poți folosi, nu îl poți folosi, poți aplica proprietățile funcției care au fost studiate mai devreme. Acest lucru nu se întâmplă întotdeauna, uneori, utilizarea unui derivat este singura metodă care vă permite să rezolvați astfel de probleme.

Având în vedere: , . Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe un anumit segment.

Dacă în cazul precedent a fost posibil să se facă fără derivată - știam cum se comportă funcția, atunci în acest caz funcția este destul de complexă. Prin urmare, metodologia pe care am menționat-o în sarcina anterioară este pe deplin aplicabilă.

1. Să găsim derivata. Să găsim puncte critice, deci - puncte critice. Dintre acestea le selectăm pe cele care aparțin acestui segment: . Să comparăm valoarea funcției în punctele , , . Pentru aceasta vom găsi

Să ilustrăm rezultatul în figură (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Limitele modificărilor valorilor funcției

Vedem că dacă argumentul se schimbă de la 0 la 2, funcția se schimbă în intervalul de la -3 la 4. Funcția nu se schimbă monoton: fie crește, fie scade.

Răspuns: ;.

Deci, folosind trei exemple, a fost demonstrată tehnica generală de găsire a valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un interval, în acest caz pe un segment.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții:

1. Aflați derivata funcției.

2. Găsiți punctele critice ale funcției și selectați acele puncte care se află pe un segment dat.

3. Găsiți valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate.

4. Comparați aceste valori și alegeți cel mai mare și cel mai mic.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției , .

Graficul acestei funcții a fost considerat anterior (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Graficul funcției.

Pe interval, intervalul de valori ale acestei funcții . Punct - punct maxim. Când - funcția crește, când - funcția scade. Din desen este clar că , - nu există.

Deci, în lecție ne-am uitat la problema celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții atunci când intervalul dat este un segment; a formulat un algoritm pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general ( nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și calcul pentru clasa a 10-a ( manual de instruire pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. Clasele 8-11: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (manual pentru profesori).-M.: Educaţie, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portalul Științelor Naturii ().

Fă-o acasă

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebră și începuturi de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) editată de A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

Din punct de vedere practic, cel mai mare interes este folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții. Cu ce ​​este legat asta? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvăm probleme de optimizare a unor parametri. Și acestea sunt sarcinile de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Trebuie remarcat faptul că cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții sunt de obicei căutate pe un anumit interval X, care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului de definiție. Intervalul X însuși poate fi un segment, un interval deschis , un interval infinit.

În acest articol vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții specificate în mod explicit a unei variabile y=f(x) .

Navigare în pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.

Să ne uităm pe scurt la principalele definiții.

Cea mai mare valoare a funcției asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare la abscisă.

Puncte staționare– acestea sunt valorile argumentului la care derivata funcției devine zero.

De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția ia adesea cea mai mare (cea mai mică) valoare pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, o funcție poate lua adesea valorile sale cele mai mari și cele mai mici în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului de definire a funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.

Pentru claritate, vom oferi o ilustrare grafică. Priviți imaginile și multe vor deveni mai clare.

Pe segment

În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul segmentului [-6;6].

Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Să schimbăm segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare în punctul cu abscisa corespunzătoare limitei drepte a intervalului.

În figura 3, punctele limită ale segmentului [-3;2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

Într-un interval deschis

În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului deschis (-6;6).

Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.

La infinit

În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare(max y) într-un punct staționar cu abscisă x=1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.

Pe parcursul intervalului, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Pe măsură ce x=2 se apropie de la dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment.

Să scriem un algoritm care ne permite să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

1. Găsim domeniul de definire al funcției și verificăm dacă acesta conține întregul segment.
2. Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt cuprinse în segment (de obicei astfel de puncte se găsesc în funcții cu argument sub semnul modulului și în funcții de putere cu un exponent fracţional-raţional). Dacă nu există astfel de puncte, treceți la următorul punct.
3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, treceți la următorul punct.
4. Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care prima derivată nu există (dacă există), precum și la x=a și x=b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile mai mari și, respectiv, cele mai mici necesare ale funcției.

Să analizăm algoritmul pentru rezolvarea unui exemplu pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

• pe segment;
• pe segmentul [-4;-1] .

Soluţie.

Domeniul de definire al unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Aflați derivata funcției în raport cu:

Evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1].

Determinăm puncte staționare din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției se realizează la x=1, iar cea mai mică valoare – la x=2.

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar):

Micuță și drăguță sarcină simplă din categoria celor care servesc drept salvare pentru un elev plutitor. Este mijlocul lunii iulie în natură, așa că este timpul să vă acomodați cu laptopul pe plajă. A jucat dimineața devreme iepuraș însorit teorie pentru a se concentra în curând pe practică, care, în ciuda pretinsei ei ușurință, conține cioburi de sticlă în nisip. În acest sens, vă recomand să luați în considerare cu conștiință cele câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva probleme practice trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale funcției.

În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. În lecția despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității la un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un interval dacă:

1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct corect iar la punct stânga.

În al doilea paragraf am vorbit despre așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări pentru a-l defini, dar voi rămâne la linia pe care am început-o mai devreme:

Funcția este continuă în punct corect, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: . Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acest punct:

Imaginați-vă că punctele verzi sunt unghii cu o bandă elastică magică atașată de ele:

Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat– un gard în sus, un gard în jos, iar produsul nostru pășește în padoc. Astfel, o funcție continuă pe un interval este mărginită pe ea. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit cu strictețe. Prima teoremă a lui Weierstrass....Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt fundamentate plictisitor în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras un grafic în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă la orizont? La urma urmei, Pământul era odată considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)

Conform A doua teoremă a lui Weierstrass, continuu pe un segmentfuncția își atinge limita superioară exactăși a ta marginea inferioară exactă .

Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși sunt notate cu , iar numărul este valoarea minimă a funcției pe segment marcat .

In cazul nostru:

Nota : în teorie, înregistrările sunt comune .

În linii mari, cea mai mare valoare este acolo unde se află cel mai înalt punct de pe grafic, iar cea mai mică valoare este acolo unde este punctul cel mai jos.

Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a funcțieiŞi cea mai mică valoare a funcției – NU ACEȘI, Ce functia maximaŞi functie minima. Deci, în exemplul luat în considerare, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.

Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și o inundație, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere si asta e!

Mai mult, soluția este pur analitică, așadar nu este nevoie să faci un desen!

Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:

1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparţin acestui segment.

Prinde o altă chiflă: aici nu este nevoie să verifici condiție suficientă extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu garanteaza inca, care este valoarea minimă sau maximă. Funcția demonstrativă atinge un maxim și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției de pe segment. Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.

Deci, în primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă există sau nu extreme în ele.

2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.

3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectați cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.

Ne așezăm pe mal mare albastrăși lovim apa puțin adâncă cu călcâiele:

Exemplul 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Soluţie:
1) Să calculăm valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:

Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:

2) Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponenți și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, să ne înarmam cu un calculator sau Excel și să calculăm valori aproximative, fără a uita că:

Acum totul este clar.

Răspuns:

Exemplu rațional fracționar pentru decizie independentă:

Exemplul 6

Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în funcție de anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului, astfel încât să ia cea mai mică cantitate material?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam un algoritm binecunoscut:

1 . Găsirea funcțiilor ODZ.

2 . Găsirea derivatei funcției

3 . Echivalarea derivatei cu zero

4 . Găsim intervalele peste care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției este 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN în punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din Deschide banca sarcini pentru

1. Sarcina B15 (nr. 26695)

Pe segment.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment.

1. Funcții ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este egală cu zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3. Sarcina B15 (nr. 26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe cercul trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semne. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și, derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei unei funcții pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (la care derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .