Calculați aproximativ cu precizia specificată. §6. Seria Taylor. Seria Maclaurin. Utilizarea seriei de puteri în calcule aproximative

Extinderea unei funcții într-o serie Taylor, Maclaurin și Laurent pe un site pentru formarea abilităților practice. Această extindere în serie a unei funcții permite matematicienilor să estimeze valoarea aproximativă a funcției la un moment dat din domeniul său de definire. Este mult mai ușor să calculezi o astfel de valoare a funcției în comparație cu utilizarea tabelului Bredis, care este atât de irelevant în acest secol tehnologie informatică. Extinderea unei funcții într-o serie Taylor înseamnă calcularea coeficienților înainte funcții liniare această serie și scrieți-o în forma corecta. Elevii confundă aceste două serii, neînțelegând ce este caz general, și care este un caz special al celui de-al doilea. Vă reamintim odată pentru totdeauna, seria Maclaurin - caz special Seria Taylor, adică aceasta este seria Taylor, dar în punctul x = 0. Toate intrările scurte pentru extinderea funcțiilor binecunoscute, cum ar fi e^x, Sin(x), Cos(x) și altele, sunt expansiuni din seria Taylor, dar la punctul 0 pentru argument. Pentru funcțiile unui argument complex, seria Laurent este cea mai comună problemă în TFCT, deoarece reprezintă o serie infinită cu două fețe. Este suma a două serii. Vă sugerăm să vă uitați la un exemplu de descompunere direct pe site, acest lucru este foarte ușor de făcut făcând clic pe „Exemplu” cu orice număr, apoi pe butonul „Soluție”. Tocmai această extindere a unei funcții într-o serie care este asociată cu o serie majorizantă limitează funcția inițială într-o anumită regiune de-a lungul axei ordonatelor dacă variabila aparține regiunii absciselor. Analiza vectorială este comparată cu o altă disciplină interesantă din matematică. Deoarece fiecare termen trebuie examinat, procesul necesită destul de mult timp. Orice serie Taylor poate fi asociată cu o serie Maclaurin prin înlocuirea x0 cu zero, dar pentru o serie Maclaurin uneori nu este evident să reprezinte seria Taylor în sens invers. Indiferent cât de mult este necesar să se facă acest lucru formă pură, dar interesant pentru autodezvoltarea generală. Fiecare serie Laurent corespunde unei serii de puteri infinite cu două fețe în numere întregi puterile z-a, cu alte cuvinte, o serie de același tip Taylor, dar ușor diferită în calculul coeficienților. Despre regiunea de convergență a seriei Laurent vom vorbi puțin mai târziu, după mai multe calcule teoretice. Ca și în secolul trecut, o extindere pas cu pas a unei funcții într-o serie cu greu poate fi realizată pur și simplu prin aducerea termenilor la un numitor comun, deoarece funcțiile din numitori sunt neliniare. Un calcul aproximativ al valorii funcționale este cerut de formularea problemelor. Gândiți-vă la faptul că atunci când argumentul unei serii Taylor este o variabilă liniară, atunci expansiunea are loc în mai mulți pași, dar imaginea este complet diferită atunci când argumentul funcției care se extinde este o funcție complexă sau neliniară, atunci procesul de reprezentarea unei astfel de funcții într-o serie de puteri este evidentă, deoarece, în acest fel, este ușor de calculat, deși o valoare aproximativă, în orice punct al regiunii de definiție, cu o eroare minimă care are un efect redus asupra calculelor ulterioare. Acest lucru este valabil și pentru seria Maclaurin. când este necesar să se calculeze funcția la punctul zero. Cu toate acestea, seria Laurent în sine este reprezentată aici de o expansiune pe plan cu unități imaginare. De asemenea, nu va fi fără succes decizia corectă sarcini în timpul proces general. Această abordare nu este cunoscută în matematică, dar există în mod obiectiv. Ca urmare, puteți ajunge la concluzia așa-numitelor submulțimi punctuale, iar în extinderea unei funcții într-o serie trebuie să utilizați metode cunoscute pentru acest proces, cum ar fi aplicarea teoriei derivatelor. Încă o dată suntem convinși că a avut dreptate profesorul, care și-a făcut presupunerile despre rezultatele calculelor post-computaționale. Să remarcăm că seria Taylor, obținută după toate canoanele matematicii, există și este definită pe întreaga axă numerică, totuși, dragi utilizatori ai serviciului de site, nu uitați de tipul funcției originale, deoarece se poate dovedi că inițial este necesar să se stabilească domeniul de definire al funcției, adică să se scrie și să se excludă de la analiza ulterioară acele puncte în care funcția nu este definită în domeniul numerelor reale. Ca să spunem așa, acest lucru vă va arăta eficiența în rezolvarea problemei. Construcția unei serii Maclaurin cu o valoare a argumentului zero nu va fi o excepție de la ceea ce s-a spus. Procesul de găsire a domeniului de definire a unei funcții nu a fost anulat și trebuie să abordați această operație matematică cu toată seriozitatea. În cazul unei serii Laurent care conține partea principală, parametrul „a” va fi numit punct singular izolat, iar seria Laurent va fi extinsă într-un inel - aceasta este intersecția zonelor de convergență a părților sale, prin urmare va urma teorema corespunzătoare. Dar nu totul este atât de complicat pe cât i-ar părea la prima vedere unui student fără experiență. După ce ați studiat seria Taylor, puteți înțelege cu ușurință seria Laurent - un caz generalizat pentru extinderea spațiului numerelor. Orice extindere în serie a unei funcții poate fi realizată numai într-un punct din domeniul de definire al funcției. Ar trebui luate în considerare proprietățile funcțiilor precum periodicitatea sau diferențiabilitatea infinită. De asemenea, vă sugerăm să utilizați tabelul de expansiuni gata făcute din seria Taylor functii elementare, deoarece o funcție poate fi reprezentată de până la zeci de serii de puteri diferite, așa cum se poate vedea folosind calculatorul nostru online. Seria online Maclaurin este la fel de ușor de determinat, dacă utilizați serviciul unic de site web, trebuie doar să introduceți funcția scrisă corectă și veți primi răspunsul prezentat în câteva secunde, este garantat că este exact și în o formă scrisă standard. Puteți copia rezultatul direct într-o copie curată pentru a fi transmisă profesorului. Ar fi corect să se determine mai întâi analiticitatea funcției în cauză în inele și apoi să se afirme fără ambiguitate că este extensibilă într-o serie Laurent în toate astfel de inele. Este important să nu pierdeți din vedere termenii seriei Laurent care conțin puteri negative. Concentrează-te pe asta cât mai mult posibil. Folosiți bine teorema lui Laurent privind extinderea unei funcții în puteri întregi.

Să fie necesar să se calculeze integrală definită$\int\limits_(a)^(b)f(x)dx$ cu o precizie predeterminată $\varepsilon$. Dacă se găsește direct antiderivatul funcția integrand$f(x)$ este prea greoaie, sau integrala $\int f(x)dx$ nu este luată deloc, atunci în aceste cazuri puteți folosi serii funcționale. În special se folosesc seriile Maclaurin, cu ajutorul cărora se obține o extindere a seriei de puteri a funcției integrand $f(x)$. De aceea, în munca noastră vom avea nevoie de un document cu seria Maclaurin.

Seria de putere, pe care le vom folosi, converg uniform, astfel încât ele pot fi integrate termen cu termen pe orice segment aflat în intervalul de convergență. Schema de rezolvare a unor probleme similare care implică calculul integralelor folosind serii este simplă:

1. Extindeți integrand în gamă funcțională(de obicei în seria Maclaurin).
2. Efectuați integrarea termen cu termen a termenilor seriei funcționale înscrise în primul paragraf.
3. Calculați suma seriei de numere obținute în a doua etapă cu precizia specificată $\varepsilon$.

Problemele care implică calculul integralelor folosind seria sunt populare printre compilatorii de calcule standard pentru matematică superioară. Prin urmare, în acest subiect vom analiza cinci exemple, în fiecare dintre ele trebuie să calculăm o integrală definită cu o precizie de $\varepsilon$.

Exemplul nr. 1

Calculați $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx$ cu precizie la $\varepsilon=10^(-3)$.

Să observăm imediat că integrala $\int e^(-x^2)dx$ nu este luată, i.e. antiderivata integrandului nu se exprimă printr-o combinație finită de funcții elementare. Cu alte cuvinte, folosind metode standard(substituție, integrare prin părți etc.) antiderivată a funcției $e^(-x^2)$ nu poate fi găsită.

Există două opțiuni de proiectare pentru astfel de sarcini, așa că le vom lua în considerare separat. În mod convențional, ele pot fi numite versiuni „extinse” și „scurtate”.

Opțiune de proiectare extinsă

Seria Maclaurin:

$$e^x=1+x+\frac(x^2)(2)+\frac(x^3)(6)+\ldots$$

$$e^(-x^2)=1-x^2+\frac(\left(-x^2\right)^2)(2)+\frac(\left(-x^2\right) ^3)(6)+\ldots=1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots$$

Integram expansiunea rezultata pe intervalul $\left$:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx=\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))\left (1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac( x^3)(3)+\frac(x^5)(10)-\frac(x^7)(42)+\ldots\right)\right|_(0)^(1/2)= \ frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot(2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))-\frac(1)(42\cdot( 2^7))+\ldots$$

Am obținut un semn convergent al unei serii alternative. Aceasta înseamnă că dacă, pentru a calcula valoarea aproximativă a unei integrale date, luăm $k$ termeni ai seriei rezultate, atunci eroarea nu va depăși modulul $(k+1)$-lea termen al seriei.

Conform condiției, precizia este $\varepsilon=10^(-3)$. Deoarece $\frac(1)(42\cdot(2^7))=\frac(1)(5376)<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot( 2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))=\frac(443)(960).$$

Eroarea egalității rezultate nu depășește $\frac(1)(5376)$.

Cu toate acestea, însumarea fracțiilor obișnuite este o sarcină plictisitoare, așa că cel mai adesea calculele sunt efectuate în fracții zecimale:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot( 2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))\aprox(0(,)5)-0(,)0417+0(,)0031\aprox(0(,)461 ).$$

Desigur, în acest caz trebuie luată în considerare eroarea de rotunjire. Primul termen (adică $0(,)5$) a fost calculat exact, deci nu există nicio eroare de rotunjire acolo. Al doilea și al treilea termen au fost rotunjiți la a patra zecimală, prin urmare eroarea de rotunjire pentru fiecare dintre ei nu va depăși 0,0001$. Eroarea de rotunjire rezultată nu va depăși $0+0(,)0001+0(,)0001=0(,)0002$.

În consecință, eroarea totală a egalității $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx(0(,)461)$ nu va depăși $0 (,)0002 +\frac(1)(5376)<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.

Versiune scurtată a designului

Să scriem extinderea funcției $e^x$ în seria Maclaurin:

$$e^x=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac(x^n)(n$$ !}

Această extindere este valabilă pentru toți $x\in(R)$. Să înlocuim $-x^2$ în loc de $x$:

$$e^(-x^2)=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac(\left(-x^2\right)^n)(n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}$$ !}

Integram seria rezultata pe intervalul $\left$:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx=\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))\sum \limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(x)^(2n))(ndx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}$$ !}

$$\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n)(n!\cdot(2n+1)\cdot(2^(2n+1)))=\ frac(1)(2)-\frac(1)(24)+\frac(1)(320)-\frac(1)(5376)+\ldots$$

Toate considerațiile care au fost făcute cu privire la erorile din versiunea extinsă a designului rămân valabile, de exemplu. $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot(2) ^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))\aprox(0(,)461)$.

De ce versiunea scurtată a înregistrării este mai bună decât cea extinsă?

În primul rând, nu trebuie să ghicim câți termeni ai seriei să luăm în expansiunea originală pentru a calcula integrala definită cu o precizie dată. De exemplu, am notat chiar la începutul soluției:

$$e^(-x^2)=1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots$$

Cu toate acestea, de ce am decis că trebuie să luăm exact patru termeni ai seriei? Ce se întâmplă dacă trebuie să luați doi membri dintr-o serie, sau cinci sau o sută? Dacă doar al șaselea termen al seriei s-a dovedit a fi mai mic de $\varepsilon$, atunci ce? Și apoi ar trebui să ne întoarcem la începutul soluției, să mai adăugăm câțiva termeni ai seriei și să îi integrăm. Și dacă acest lucru nu este suficient, atunci repetați această procedură.

Forma prescurtată de înregistrare nu suferă de un astfel de dezavantaj. Obținem o serie de numere scrisă în formă generală, astfel încât să putem lua cât mai mulți dintre membrii ei este necesar.

Din motivele de mai sus, prefer metoda de înregistrare scurtată. În viitor, toate deciziile din acest subiect vor fi prezentate într-o formă prescurtată.

Răspuns: $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx(0(,)461)$.

Exemplul nr. 2

Calculați integrala definită $\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx$ cu precizie la $\varepsilon=10^( -3)$, extinzând integrandul într-o serie Maclaurin și integrând termen cu termen.

Să începem prin a extinde funcția integrand $\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)$ într-o serie Maclaurin. Să scriem expansiunea funcției $\cos(x)$ în seria Maclaurin:

$$\cos(x)=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(x)^(2n))((2n)$$ !}

Această extindere este valabilă pentru toți $x\in(R)$. Să înlocuim fracția $\frac(5x)(3)$ în loc de $x$:

$$\cos(\frac(5x)(3))=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(\left(\frac(5x)( 3)\dreapta))^(2n))((2n)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.$$ !}

Acum să extindem $1-\cos\frac(5x)(3)$:

$$ 1-\cos\frac(5x)(3)=1-\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\ cdot(x)^(2n))(3^(2n)\cdot((2n)} $$ !}

Luând din suma $\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^ ( 2n)\cdot((2n)}$ первый член, получим: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$. Следовательно:!}

$$ 1-\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^( 2n)\cdot((2n)}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$ !}

Ultimul lucru rămas este să împărțiți la $x$:

$$ \frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)=\frac(1)(x)\cdot\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(( -1)^(n+1)\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^(2n)\cdot((2n)}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$ !}

Să integrăm această expansiune pe intervalul $\left$:

$$ \int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx=\int\limits_(0)^(\frac( 1)(5))\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac((-1)^(n+1)\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n -1))(3^(2n)\cdot((2n)}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$ !}

Am primit un semn pentru un rând alternativ. Să notăm primii termeni ai acestei serii (până când termenul scris devine mai mic de $\varepsilon$):

$$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac((-1)^(n+1))((2n)\cdot 3^(2n)\cdot((2n)}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots$$ !}

Din moment ce $\frac(1)(7776)<\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:

$$\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx\approx\frac(1)(36)\approx( 0(,)028).$$

Răspuns: $\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx\approx(0(,)028)$.

Vom continua subiectul calculării integralelor folosind seria Maclaurin în

În această lecție ne vom uita la prima, cea mai simplă problemă, a cărei soluție va necesita cele mai de bază cunoștințe de serie, tabel de extindere a funcțiilor în serii de puteriși un microcalculator. Ca opțiune, Excel va face (dacă știi cum să-i gestionezi funcțiile). Sarcinile de calcul necesită concentrare sporită, așa că recomand abordarea studiului articolului într-o formă fizică bună și cu o minte proaspătă:

Există 2 tipuri de probleme luate în considerare, pe care le-am întâlnit deja înainte, în special când se calculează integrala folosind formula trapezoidală și metoda lui Simpson. Tastați unul:

Exemplul 1

Folosind o extindere în serie a unei funcții, calculați numărul, limitându-vă la 5 termeni ai expansiunii. Rotunjiți rezultatul la 0,001. Efectuați calcule pe un calculator și găsiți eroarea absolută a calculelor.

Soluţie: În primul rând, alege-l pe cel potrivit descompunerea în tabel a unei funcții. Evident, în cazul nostru este necesar să luăm următoarele serii:
, care converge pentru orice valoare a lui „x”.

Să repetăm ​​pe scurt ce este convergenţa seriei funcţionale: cu cât luăm în considerare mai mulți termeni, cu atât mai precis o funcție polinomială va aproxima funcția . Într-adevăr, graficul unei parabole nu seamănă deloc cu exponențialul și graficul unei funcții cubice este, de asemenea, departe de a fi ideal, dar dacă iei 50-100 de membri ai seriei, poza se va schimba radical. Și în sfârșit, graficul unui polinom infinit va coincide cu graficul funcţiei exponenţiale.

Nota : în teorie există chiar o astfel de abordare și definiție: o funcție este suma unei serii funcționale.

Condiția indică în mod direct că trebuie să însumați primii 5 termeni ai seriei, iar rezultatul ar trebui să fie rotunjit la 0,001. Și, prin urmare, nu există probleme aici:

Să calculăm o valoare mai precisă folosind un microcalculator:

Eroare absolută de calcul:
- Ei bine, asta e destul de bine. Dar devine mai bine.

Răspuns:

Acum să ne uităm la un tip ușor diferit de sarcină:

Exemplul 2

Folosind o extindere în serie a funcției, calculați aproximativ cu o precizie de 0,001.

! Nota : uneori argumentul este exprimat în grade, în astfel de cazuri este necesar convertiți în radiani.

Să ne amintim sensul expresiei „cu precizie” la 0,001". Înseamnă că răspunsul nostru ar trebui să difere de adevăr cu cel mult 0,001.

Soluţie: folosind descompunere tabulară , notăm mai mulți termeni ai seriei corespunzătoare și este mai bine să rotunjim cu o „marjă” - până la 5-6 zecimale:

Câți termeni ai seriei ar trebui însumați pentru a obține acuratețea necesară? Pentru convergent semne alternante rânduri următorul criteriu este valabil: membrii ar trebui să fie însumați până când aceștia modulo Mai mult precizie specificată. Primul mai mic, împreună cu întreaga „coadă”, trebuie aruncat. În acest exemplu, acesta este al 4-lea membru: , De aceea:

– cu rotunjirea rezultatului final la precizia cerută.

Răspuns: cu precizie de 0,001

Probabil că toată lumea înțelege de ce este garantat: aici până la al 4-lea termen negativ se adauga Mai puțin modulo număr, apoi scăzut din rezultat chiar mai mici număr - și așa mai departe la infinit. Figurat vorbind, designul seamănă cu un pendul cu oscilații amortizate, unde cel mai mare leagăn este în direcția negativă, „eclipsând” toate celelalte mișcări.

Evident, pentru convergenți serie pozitivă (cel mai apropiat exemplu este Exemplul 1) criteriul considerat este incorect. Relativ vorbind, dacă 0,00034< 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (deoarece TOȚI membrii seriei sunt pozitivi). Și voi reveni la această problemă mai târziu:

Exemplul 3

Exemplul 4

Calculați aproximativ folosind primii doi termeni ai expansiunii corespunzătoare. Estimați eroarea absolută a calculelor.

Acestea sunt exemple pe care le puteți rezolva singur. Desigur, este avantajos să-l găsiți imediat pentru a controla eficient progresul soluției.

Și se pune întrebarea: de ce se fac astfel de lucruri ridicole dacă există calculatoare și programe de calcul? Am dat o parte din răspuns în clasă Calcule aproximative folosind diferenţial. Nu cu mult timp în urmă, un calculator era o raritate, ca să nu mai vorbim de luxuri precum cheile cu inscripții etc. În cartea de oaspeți a site-ului, una dintre vizitatoare și-a împărtășit amintirile despre modul în care a efectuat toate calculele pentru diploma folosind tabele matematice și o regulă de calcul. Iar astfel de instrumente, alături de abacuri mecanice, astăzi vor ocupa doar un loc în muzeul de istorie a matematicii.

Rezumatul este acesta: rezolvăm o problemă învechită. Sensul practic imediat este că trebuie rezolvat =) Ei bine, poate că va fi util pentru altcineva în informatică - o sumă aproximativă cu o precizie predeterminată este pur și simplu algoritmizată printr-o buclă. Adevărat, unii Pascal se vor rupe destul de repede, deoarece factorialul crește cu salturi și limite.

În plus, există o altă aplicație foarte importantă și relevantă, care are o semnificație practică, dar acest secret va fi dezvăluit în timpul lecției;-) Propuneți ipoteze, dacă ghiciți - respect.

De asemenea, nu trebuie să pierdeți atenția asupra zonei de convergență a seriei propuse, expansiuni de sinus, cosinus și exponențial– da, ele converg pentru orice „X”, dar exemplele analizate nu trebuie să liniștească vigilența! Cea mai simplă ilustrare este arctangenta și expansiunea acesteia . Dacă încercăm să calculăm, să zicem, valoarea , atunci este ușor să observi o creștere nelimitată (modulo) membrii unui serial care nu ne va conduce la niciuna final, și cu atât mai mult la o valoare aproximativă. Și totul pentru că nu este inclus în regiunea de convergență a acestei expansiuni.

Să ne uităm la sarcini mai dificile:

Exemplul 5

Calculați până la 0,01

Soluţie: faceți clic pe tastele calculatorului: . Și ne gândim cum să facem calcule aproximative folosind o serie. În situații rădăcină, problema se reduce la o expansiune binomială cu un interval de convergență garantat.

Încercăm să reprezentăm radicalul nostru sub forma:

Și totul ar fi bine, dar valoarea nu este inclusă în zona de convergență a seriei binomiale luate în considerare, adică construcția nu este potrivită pentru calcule - se va produce același accident ca și cel discutat mai sus.

Ce ar trebuii să fac? Să ne uităm din nou la valoare și observăm că este aproape de „trei”. De fapt: . Folosind un vecin minunat, efectuăm următoarea transformare tipică: sub rădăcină selectăm numărul 27, îl scoatem artificial din paranteze și apoi îl scoatem de sub rădăcină:

Acum totul este de vârf: numărul aparține intervalului de convergență. Dar, ca „efect secundar”, este necesar să se corecteze acuratețea calculelor. La urma urmei, când numărăm termenii expansiunii, ni se va cere să înmulțim fiecare număr cu „trei”. Și din acest motiv, precizia cerută inițial de 0,01 trebuie mărită de trei ori: .

Deci, folosim seria în care . Nu uitați să verificați masa de expansiune, dacă exemplul nostru nu se încadrează în vreun caz special de expansiune binomială. Nu. Aceasta înseamnă că trebuie să lucrați manual:

Aici pentru a obține precizia necesară (rețineți că membrii au început să ia pe rând!) trei termeni au fost de ajuns, iar al patrulea monstru nu avea rost să numărăm. Dar „în rezervă” încercăm întotdeauna să notăm mai mulți membri ai seriei. Dacă ești leneș și nu ai destui termeni, vei rescrie din nou întreaga sarcină.

Răspuns: cu precizie de 0,001

Da, calculele, desigur, nu sunt un cadou, dar ce poți face...

O variantă mai simplă pe aceeași temă pe care să o rezolvați singur:

Exemplul 6

Calculează, limitându-te la primii trei termeni ai seriei. Rotunjiți rezultatul la 3 zecimale.

Un exemplu de sarcină la sfârșitul lecției. Și nu uitați să apelați din nou la tehnologia computerizată: .

Ce așteaptă cu nerăbdare un student în fiecare zi? Logaritmi:

Exemplul 7

Calculați cu cel mai apropiat 0,001

Soluţie: mai întâi, ca întotdeauna, aflăm răspunsul: .

Evident, aici trebuie să folosim expansiunea

Și acest lucru este cu adevărat posibil, pentru că... valoarea este inclusă în regiunea de convergență a acestei serii.

Numaram:

Stop. Ceva nu e bine aici. Seria va converge, dar în acest ritm calculele pot dura până la sfârșitul timpului. Și o analiză științifică a inegalității a sugerat că acest sfârșit va veni după un număr norocos .

Astfel, serialul converge destul de lent și este potrivit doar pentru calculele altor logaritmi, al căror argument este destul de aproape de unitate.

Pentru a accelera semnificativ procesul, este ușor să obțineți următoarea descompunere:
cu regiune de convergenţă

Lucrul frumos este că fiecare număr pozitiv (cu excepția unuia) poate fi reprezentat ca . Să transformăm argumentul logaritmului într-o fracție obișnuită și să rezolvăm următoarea ecuație:

Examinare:

„Încărcare”:

Și acum am descoperit o altă problemă - un rând, se pare, pozitiv, și, prin urmare, nu poate fi specificat aici și aruncați întreaga „coadă”. Ce se întâmplă dacă totalul său se dovedește a fi mai mare de 0,001? În acest sens, folosim o metodă de evaluare mai sofisticată. Păstrând al treilea termen suspect de mare „pentru orice eventualitate”, să luăm în considerare restul seriei:

Numerele 9, 11, 13, ... la numitori schimba prin 7 – prin urmare doar crescând membri și, prin urmare, întreaga sumă a soldului:

Din punct de vedere științific, aceasta se numește selecție majorant serie convergentă (în în acest caz,– geom. progresie), a căror sumă este ușor de găsit (sau care este cunoscută). Iar planul nu a fost doar îndeplinit, ci și depășit! Renunțând la toți termenii seriei, începând cu data de 4, se va garanta o precizie de 0,00002! Cu toate acestea, în funcție de condiție, rezultatul trebuie să fie rotunjit la trei zecimale:

Răspuns: cu precizie de 0,001

Ei bine, tot ce a mai rămas a fost să verificăm cu un sens mai exact cu un sentiment de satisfacție morală albastră.

...Sau poate ar fi fost mai ușor să calculăm suma a 12 termeni dintr-o serie lent convergentă? =) Cu toate acestea, în următoarea sarcină această posibilitate nu va mai fi disponibilă:

Exemplul 8

Calculați cu cel mai apropiat 0,001

– din motivul că valoarea nu este inclusă în domeniul de convergență al seriei .

Du-te!

Articolul a început cu un calcul aproximativ al numărului „e” și îl vom încheia cu o altă constantă celebră:

Calculul aproximativ al unui număr folosind o serie

S-au scris kilometri de hârtie despre „pi” și s-au spus milioane de cuvinte, așa că nu vă voi încărca cu istorie, teorie și ipoteze, dacă vă interesează (și acest lucru este de fapt interesant), consultați, de exemplu, Wikipedia . Acest număr are un număr infinit de zecimale: , iar teoria seriilor oferă o modalitate eficientă de a găsi aceste numere.

Cursul 57

EXTENSIUNEA FUNCȚIILOR ÎN SERIA POWER

Orice funcție care este infinit diferențiabilă în interval, i.e.
, poate fi extins în acest interval într-o lege a puterii infinite care converge către aceasta Seria Taylor

,

dacă condiţia este îndeplinită în acest interval
, Unde
este termenul rămas al formulei Taylor.

La
primim așa-numitul Seria Maclaurin:.

Dacă într-un anumit interval care conține un punct , pentru orice inegalitatea este valabilă
, Unde
este o constantă pozitivă, atunci
și funcția
Să-l extindem într-o serie Taylor.

Să prezentăm expansiunile din seria Taylor ale următoarelor funcții:

1)

2)

7)

8) serie binomială:

Această ultimă extindere este aplicabilă în următoarele cazuri:

la
Dacă

la
Dacă

la
Dacă
.

În general, extinderea funcțiilor în serii de puteri se bazează pe utilizarea seriilor Taylor sau Maclaurin. În practică, seriile de puteri ale multor funcții pot fi găsite în mod formal folosind seria (1-8) sau formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice. Uneori, la descompunere, este util să folosiți diferențierea termen cu termen sau integrarea serii. În intervalul de convergență, seria converge către funcțiile corespunzătoare.

1. Extindeți-vă în puteri ale diferenței
funcţie
.

Soluţie. Pentru a folosi formula lui Taylor pentru
, gasim:

etc.

Prin urmare,

2.Așezați
în ordinea puterilor
.

Soluţie. Să folosim egalitatea
. Partea dreaptă a acestei egalități poate fi considerată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen
și numitorul
. De aici ajungem

Deoarece
, Asta

3. Extindeți funcția din seria Maclaurin

Soluţie. Să extindem această funcție într-o sumă de fracții raționale simple:

Din moment ce

Că

De la serie
converge la
, și serialul
converge la
, apoi serialul
converge către această funcţie când
.

4. Extindeți funcția într-o serie de puteri
.

Soluţie. Să găsim valorile funcției și derivatele sale la

Deoarece
, apoi pentru un fix exista inegalitate
la orice . Prin urmare, funcția poate fi reprezentată ca suma unei serii Taylor:

.

În acest caz

Această expansiune poate fi obținută în alt mod: este suficientă în expansiune
înlocui pe
.

5. Extindeți funcția într-o serie de puteri

.

Soluţie. În decădere

înlocui pe
, primim

6. Întindeți
în ordinea puterilor
.

Soluţie. În decădere

înlocui pe
, primim

7. Extindeți funcția într-o serie de puteri
.

Soluţie. Rețineți că
.Luați în considerare serialul

Această serie converge la
, ceea ce înseamnă că poate fi integrat termen cu termen pe orice interval
. Prin urmare,

, adică am obținut o serie convergentă către această funcție la

8. Aranjați pe grade
polinom

9. Aranjați pe grade
funcţie
și găsiți regiunea de convergență a seriei rezultate.

Răspuns:

10. Aranjați pe grade
funcţie
și găsiți regiunea de convergență a acestei serii.

11. Aranjați pe grade
funcţie
. Aflați regiunea de convergență a acestei serii.

Răspuns

Extindeți funcția într-o serie Maclaurin
. Indicați regiunea de convergență a seriei rezultate la această funcție.

12.
.

13.
Răspuns:
.

14.
Răspuns:
.

15.
Răspuns:

16.
Răspuns:
.

17.
Răspuns:
.

18.
Răspuns:

19.
. Răspuns:
.

.Răspuns:

6.16. Aplicarea seriilor de puteri în calcule aproximative Calcularea valorilor funcției
. Să fie dată o serie de puteri a unei funcții
. Sarcina de a calcula valoarea acestei funcții este de a găsi suma seriei pentru o valoare dată a argumentului. Limitându-ne la un anumit număr de termeni ai seriei, găsim valoarea funcției cu o acuratețe care poate fi stabilită prin estimarea restului seriei numerice sau a termenului rămas.
, Unde
formulele lui Taylor sau Maclaurin. Dacă o serie dată este de semn constant, atunci seria compusă din termeni aruncați este comparată cu o progresie geometrică infinit descrescătoare. În cazul unei serii alternative, se utilizează estimarea

- primul dintre membrii scoși din serie.

Exemplul 1. Calculați valoarea lui ln1.1 cu o precizie de 0.0001.

Soluţie.

Să luăm o serie pentru funcția ln(1+x):

Care converge la ln(1+x) în intervalul (-1,1], și, presupunând x=0,1, obținem o serie pentru calcularea ln1,1 cu orice precizie.

Valoarea absolută a celui de-al patrulea termen din această serie este mai mică de 0,0001. Prin urmare, conform proprietății unei serii convergente alternante, pentru a calcula valoarea aproximativă a lui ln1,1 cu o precizie de 0,0001, este suficient să luăm suma primilor trei termeni ai seriei.

.

Precizie: 0,001.

În problemele aplicate, estimarea erorii de aproximare este importantă.

Definiție: Precizia calculului nu depășește primul dintre elementele aruncate ale seriei.

1. Estimați eroarea egalității aproximative

Soluţie. Eroarea acestei egalități aproximative este determinată de suma termenilor următori
în descompunere :

,

Înlocuirea fiecăruia dintre factori
,...valoare mai mică
, obținem inegalitatea

Să însumăm progresia geometrică infinit descrescătoare și să obținem:

, adică

2.Calculează
cu o precizie de 0,00001.

Soluţie. Folosind descompunerea într-un rând, obținem

Să stabilim numărul astfel încât eroarea egalităţii aproximative

nu a depășit 0,00001. Să folosim estimarea erorii dată în exemplul anterior. Noi credem
, Atunci:

aceste.
.

Prin selecție determinăm la ce valoare inegalitatea va fi satisfăcută
. Lasă
, Atunci
, adică
. Lasă
, Atunci
, adică
. Acceptăm
..

Calculăm fiecare termen cu o precizie de 0,000001, astfel încât la însumare să nu obținem o eroare care depășește 0,00001. În sfârșit, obținem
.

3. Calculați
cu o precizie de 0,00001.

Soluţie. Avem

S-a obţinut o serie alternantă de semne care satisface condiţiile de convergenţă ale testului Leibniz, prin urmare, eroarea admisibilă în valoare absolută trebuie să fie mai mică decât primul dintre termenii aruncaţi ai seriei. Nu este greu să vezi asta
, deci primul dintre termenii abandonați este egal cu
Şi
. Calculăm suma și obținem
.

4. Utilizarea expansiunii
pe rând, calculează
cu o precizie de 0,0001.

Soluţie. .

Este suficient să luăm trei termeni din serial, de atunci

5. Calculați
cu o precizie de 0,0001.

la rând, presupunând
. Avem

Renunțăm la termenul al patrulea și următorii, deoarece al patrulea termen este mai mic de 0,0001. Aşa

6. Calculați
cu o precizie de 0,001.

Soluţie. Deoarece este cubul unui număr întreg cel mai apropiat de numărul 130, atunci este recomandabil să reprezentați numărul 130 ca sumă a doi termeni:
. Apoi

Al patrulea termen este mai puțin
, astfel încât acesta și termenii care îi urmează pot fi eliminate. Deci, i.e.
.

7. Calculați
cu o precizie de 0,0001.

Soluţie. Să folosim expansiunea
intr-un rand:

sau de unde

Calculați valoarea specificată aproximativ cu un anumit grad de precizie , folosind extinderea seriei de putere a unei funcții selectate corespunzător.

8.
.

9.
Răspuns: 3.017.

10.
Răspuns: 0,340.

11.
.

12.
,
Răspuns: 0,84147.

13.
.

14.
Răspuns: 1,3956.

15.
.

16.
,
Răspuns: 1.140.

17.
Răspuns: 0,302.

Răspuns: 0,464. Răspuns: 1,0986.

Răspuns: 0,999.
Răspuns: 0,3679.

Calculul integralelor pe . Deoarece seriile de putere converg uniform pe orice segment aflat în intervalul lor de convergență, folosind expansiuni ale funcțiilor în serii de puteri se pot găsi integrale nedefinite sub formă de serie de puteri și se pot calcula aproximativ integralele definite corespunzătoare.

18. Calculați

cu precizie

Soluţie. Să folosim expansiunea. Înlocuindu-l
, primim o serie.

Această serie converge pe întreaga dreaptă numerică, deci poate fi integrată termen cu termen peste tot. Prin urmare,

întrucât al treilea termen al seriei alternative rezultate este deja mai mic

19. Aflați integrala

sub forma unei serii de puteri și indicați regiunea de convergență a acesteia.
.

20.
Soluţie. Să folosim expansiunea și să obținem o serie pentru integrand

21.
Converge pe întreaga dreaptă numerică și, prin urmare, poate fi integrat termen cu termen:

22.
Întrucât, la integrarea unei serii de puteri, intervalul ei de convergență nu se modifică, seria rezultată converge și pe întreaga dreaptă numerică.

23.
Folosind extinderea integrandului într-o serie de puteri, calculați integrala definită specificată cu exactitate

24.
. Răspuns: 0,070.

25.
. Răspuns: 0,223.

26.
. Răspuns: 0,162.

27.
. Răspuns: 0,480.

28.
. Răspuns: 0,054.

29.
. Răspuns: 0,484.

. Răspuns: 0,487. .

. Răspuns: 0,156.

. Răspuns: 0,059.
Răspuns: 0,103.
Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor diferențiale
În cazul în care nu este posibil să se integreze cu precizie o ecuație diferențială folosind funcții elementare, este convenabil să se caute soluția acesteia sub forma unei serii de puteri, de exemplu, seria Taylor sau Maclaurin.
La rezolvarea problemei Cauchy

, se utilizează seria Taylor
, unde și celelalte derivate

se găsesc prin diferenţierea succesivă a ecuaţiei
.

și înlocuirea datelor inițiale în expresii pentru aceste derivate.
Rezolvarea problemei Cauchy
.

căci o ecuație diferențială poate fi căutată și sub forma unei expansiuni în serie de puteri
cu coeficienți incerti

30. Aflați primii cinci termeni ai extinderii seriei de puteri a soluției

, Dacă
,
Soluţie. Din această ecuație aflăm că . Să diferențiem ecuația inițială: etc. Înlocuind valorile găsite ale derivatelor în seria Taylor, obținem
Dacă funcția f(x) are derivate de toate ordinele pe un anumit interval care conține punctul a, atunci i se poate aplica formula Taylor:

Unde

În punctul x 0 =
Număr de elemente de rând 3 4 5 6 7
Utilizați expansiunea funcțiilor elementare e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Reguli de intrare în funcții:

Dacă pentru o anumită valoare X . Să diferențiem ecuația inițială:→0 la n→∞, atunci în limită formula Taylor devine convergentă pentru această valoare Seria Taylor:
,
Astfel, funcția f(x) poate fi extinsă într-o serie Taylor în punctul x luat în considerare dacă:
1) are derivate de toate ordinele;
2) seria construită converge în acest punct.

Când a = 0 obținem o serie numită lângă Maclaurin:
,
Extinderea celor mai simple funcții (elementare) din seria Maclaurin:
Funcții exponențiale
, R=∞
Funcții trigonometrice
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funcția actgx nu se extinde în puteri ale lui x, deoarece ctg0=∞
Funcții hiperbolice


Funcții logaritmice
, -1
Seria binomială
.

Exemplul nr. 1. Extindeți funcția într-o serie de puteri Unde 2x.
Soluţie. Să găsim valorile funcției și derivatele sale la X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în formula seriei Taylor, obținem:

Raza de convergență a acestei serii este egală cu infinitul, prin urmare această expansiune este valabilă pentru -∞<x<+∞.

Exemplul nr. 2. Scrieți seria Taylor în puteri ( X+4) pentru funcție Unde e x.
Soluţie. Aflarea derivatelor functiei e xși valorile lor la punct X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Prin urmare, seria Taylor necesară a funcției are forma:

Această expansiune este valabilă și pentru -∞<x<+∞.

Exemplul nr. 3. Extindeți o funcție f(x)=ln xîntr-o serie de puteri ( X- 1),
(adică în seria Taylor în vecinătatea punctului X=1).
Soluţie. Găsiți derivatele acestei funcții.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Înlocuind aceste valori în formulă, obținem seria Taylor dorită:

Folosind testul lui d'Alembert, puteți verifica dacă seria converge la ½x-1½<1 . Действительно,

Seria converge dacă ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 se obţine o serie alternativă care satisface condiţiile criteriului Leibniz. Când x=0 funcția nu este definită. Astfel, regiunea de convergență a seriei Taylor este intervalul semideschis (0;2).

Exemplul nr. 4. Extindeți funcția într-o serie de puteri.
Soluţie. În expansiunea (1) înlocuim x cu -x 2, obținem:
, -∞

Exemplul nr. 5. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.
Soluţie. Avem
Folosind formula (4), putem scrie:

înlocuind –x în loc de x în formulă, obținem:

De aici găsim: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Deschidem parantezele, rearanjam termenii seriei și aducem termeni similari, obținem
. Această serie converge în intervalul (-1;1), deoarece se obține din două serii, fiecare dintre acestea convergând în acest interval.

Comentariu .
Formulele (1)-(5) pot fi, de asemenea, utilizate pentru a extinde funcțiile corespunzătoare într-o serie Taylor, de exemplu. pentru extinderea funcțiilor în puteri întregi pozitive ( Ha). Pentru a face acest lucru, este necesar să se efectueze astfel de transformări identice asupra unei anumite funcții pentru a obține una dintre funcțiile (1)-(5), în care în schimb X costă k( Ha) m , unde k este un număr constant, m este un întreg pozitiv. Este adesea convenabil să faceți o schimbare a variabilei t=Hași extindeți funcția rezultată în raport cu t în seria Maclaurin.

Această metodă se bazează pe teorema privind unicitatea expansiunii unei funcții într-o serie de puteri. Esența acestei teoreme este că în vecinătatea aceluiași punct nu se pot obține două serii de puteri diferite care ar converge către aceeași funcție, indiferent de modul în care este realizată expansiunea acesteia.

Exemplul nr. 5a. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin și indicați regiunea de convergență.
Soluţie. Mai întâi găsim 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
la elementar:

Fracția 3/(1-3x) poate fi considerată ca fiind suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 3x, dacă |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

cu regiunea de convergenţă |x|< 1/3.

Exemplul nr. 6. Extindeți funcția într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x = 3.
Soluţie. Această problemă poate fi rezolvată, ca și înainte, folosind definiția seriei Taylor, pentru care trebuie să găsim derivatele funcției și valorile acestora la X=3. Cu toate acestea, va fi mai ușor să utilizați extinderea existentă (5):
=
Seria rezultată converge la sau –3

Exemplul nr. 7. Scrieți seria Taylor în puteri (x -1) ale funcției ln(x+2) .
Soluţie.


Seria converge la , sau -2< x < 5.

Exemplul nr. 8. Extindeți funcția f(x)=sin(πx/4) într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x =2.
Soluţie. Să facem înlocuirea t=x-2:

Folosind expansiunea (3), în care înlocuim π / 4 t în locul lui x, obținem:

Seria rezultată converge către funcția dată la -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Astfel,
, (-∞

Calcule aproximative folosind seria de puteri

Seriile de putere sunt utilizate pe scară largă în calcule aproximative. Cu ajutorul lor, puteți calcula valorile rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice, logaritmilor numerelor și integralelor definite cu o precizie dată. Seriile sunt de asemenea folosite la integrarea ecuațiilor diferențiale.
Luați în considerare expansiunea unei funcții într-o serie de puteri:

Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei funcții într-un punct dat X, aparținând regiunii de convergență a seriei indicate, primele sunt lăsate în extinderea acesteia n membri ( n– un număr finit), iar termenii rămași sunt eliminați:

Pentru a estima eroarea valorii aproximative obținute, este necesar să se estimeze restul aruncat rn (x) . Pentru a face acest lucru, utilizați următoarele tehnici:

• dacă seria rezultată este alternativă, atunci se utilizează următoarea proprietate: pentru o serie alternativă care îndeplinește condițiile Leibniz, restul seriei în valoare absolută nu depășește primul termen aruncat.
• dacă o serie dată este de semn constant, atunci seria compusă din termeni aruncați este comparată cu o progresie geometrică infinit descrescătoare.
• în cazul general, pentru a estima restul seriei Taylor, puteți utiliza formula Lagrange: a x ).

Exemplul nr. 1. Calculați ln(3) la cel mai apropiat 0,01.
Soluţie. Să folosim expansiunea unde x=1/2 (vezi exemplul 5 din subiectul anterior):

Să verificăm dacă putem elimina restul după primii trei termeni ai expansiunii pentru a face acest lucru, îl vom evalua folosind suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Deci, putem arunca acest rest și obținem

Exemplul nr. 2. Calculați cu cel mai apropiat 0,0001.
Soluţie. Să folosim seria binomială. Deoarece 5 3 este cubul unui număr întreg cel mai apropiat de 130, este recomandabil să se reprezinte numărul 130 ca 130 = 5 3 +5.



deoarece deja cel de-al patrulea termen al seriei alternative rezultate care satisface criteriul Leibniz este mai mic decât precizia cerută:
, astfel încât acesta și termenii care îi urmează pot fi eliminate.
Multe integrale definite sau improprii practic necesare nu pot fi calculate folosind formula Newton-Leibniz, deoarece aplicarea acesteia este asociată cu găsirea unei antiderivate, care adesea nu are expresie în funcții elementare. De asemenea, se întâmplă că găsirea unui antiderivat este posibilă, dar necesită o forță de muncă inutilă. Cu toate acestea, dacă funcția integrand este extinsă într-o serie de puteri, iar limitele integrării aparțin intervalului de convergență al acestei serii, atunci este posibil un calcul aproximativ al integralei cu o precizie predeterminată.

Exemplul nr. 3. Calculați integrala ∫ 0 1 4 sin (x) x la 10 -5 .
Soluţie. Integrala nedefinită corespunzătoare nu poate fi exprimată în funcții elementare, adică. reprezintă o „integrală nepermanentă”. Formula Newton-Leibniz nu poate fi aplicată aici. Să calculăm integrala aproximativ.
Împărțirea termen cu termen a seriei pentru păcat x pe x, obținem:

Integrând această serie termen cu termen (acest lucru este posibil, întrucât limitele de integrare aparțin intervalului de convergență al acestei serii), obținem:

Deoarece seria rezultată satisface condițiile lui Leibniz și este suficient să luăm suma primilor doi termeni pentru a obține valoarea dorită cu o precizie dată.
Astfel, găsim
.

Exemplul nr. 4. Calculați integrala ∫ 0 1 4 e x 2 cu o precizie de 0,001.
Soluţie.
. Să verificăm dacă putem elimina restul după al doilea termen al seriei rezultate.
0,0001<0.001. Следовательно, .