Kako rešiti probleme B15 brez izvedenih finančnih instrumentov. Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na intervalu

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum in minimum funkcije.

Predpogoj Maksimum in minimum (ekstremum) funkcije sta naslednja: če ima funkcija f(x) ekstrem v točki x = a, potem je na tej točki odvod nič ali neskončen ali pa ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Odvod v točki x = a lahko gre na nič, v neskončnost ali ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

Kaj je zadosten pogoj za ekstrem funkcije (maksimum ali minimum)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) pozitiven levo od a in negativen desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) maksimum

Če je v zadostni bližini točke x = a odvod f?(x) negativen levo od a in pozitiven desno od a, potem ima v točki x = a funkcija f(x) najmanj pod pogojem, da je funkcija f(x) tukaj zvezna.

Namesto tega lahko uporabite drugo zadosten pogoj ekstrem funkcije:

Naj v točki x = a prvi odvod f?(x) izniči; če je drugi odvod f??(a) negativen, potem ima funkcija f(x) maksimum v točki x = a, če je pozitiven, potem ima minimum.

Kaj je kritična točka funkcije in kako jo najti?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. maksimum ali minimum). Da bi ga našli, potrebujete poišči izpeljanko funkcijo f?(x) in jo enačimo z nič, reši enačbo f? (x) = 0. Korenine te enačbe, kot tudi tiste točke, na katerih derivat te funkcije ne obstaja, so kritične točke, tj. Vrednosti argumenta, pri katerih lahko pride do ekstrema. Z lahkoto jih je mogoče prepoznati z ogledom izpeljani graf: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije seka abscisno os (Ox os) in tiste, pri katerih graf trpi diskontinuitete.

Na primer, poiščimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Odvod funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rešite enačbo: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN v tem primeru kritična točka je x0=-1/3. Funkcija ima to vrednost argumenta ekstrem. Njemu najti, zamenjajte najdeno število v izrazu za funkcijo namesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti maksimum in minimum funkcije, tj. njegove največje in najmanjše vrednosti?

Če se predznak odvoda pri prehodu skozi kritično točko x0 spremeni iz "plus" v "minus", potem je x0 največja točka; če se predznak odvoda spremeni iz minusa v plus, potem je x0 najmanjša točka; če se predznak ne spremeni, potem v točki x0 ni niti maksimuma niti minimuma.

Za obravnavani primer:

Vzamemo poljubno vrednost argumenta levo od kritične točke: x = -1

Pri x = -1 bo vrednost odvoda y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je "minus").

Sedaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Pri x = 1 bo vrednost odvoda y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je "plus").

Kot lahko vidite, je odvod spremenil predznak iz minusa v plus, ko je šel skozi kritično točko. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 točko minimuma.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu(na segmentu) najdemo po istem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda ne bodo vse kritične točke v navedenem intervalu. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je znotraj intervala le ena kritična točka, bo imela bodisi maksimum bodisi minimum. V tem primeru za določitev največjega in najnižje vrednosti funkcije, upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncih intervala.

Na primer, poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervalih:

Torej je odvod funkcije

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rešimo enačbo 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritične točke najdemo na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ni vključeno v interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ni vključeno v interval)

Najdemo vrednosti funkcije pri kritičnih vrednostih argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidimo, da je na intervalu [-9; 9] najvišja vrednost funkcija ima pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

in najmanjši - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4,88 je enaka y = 5,398.

Poiščite vrednost funkcije na koncih intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo največjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost -

y = 1,077 pri x = -3

Kako najti prevojne točke funkcijskega grafa in določiti konveksno in konkavno stran?

Če želite najti vse prevojne točke premice y = f(x), morate najti drugi odvod, ga enačiti z nič (rešite enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, za katere je drugi odvod nič, neskončno ali ne obstaja. Če pri prehodu skozi eno od teh vrednosti drugi odvod spremeni predznak, potem ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni ovinka.

Korenine enačbe f? (x) = 0 in tudi možne točke Prekinjenost funkcije in drugi odvod delita področje definiranja funkcije na več intervalov. Konveksnost na vsakem od njihovih intervalov je določena s predznakom drugega odvoda. Če je drugi odvod v točki preučevanega intervala pozitiven, je premica y = f(x) konkavna navzgor, če je negativna, pa navzdol.

Kako najti ekstreme funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti ekstreme funkcije f(x,y), ki jih je mogoče diferenciirati v domeni njene specifikacije, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to - rešite sistem enačb

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) za vsako kritično točko P0(a;b) preverite, ali predznak razlike ostaja nespremenjen

za vse točke (x;y), ki so dovolj blizu P0. Če razlika ostane pozitivna, potem imamo v točki P0 minimum, če je negativna, potem imamo maksimum. Če razlika ne obdrži predznaka, potem v točki P0 ni ekstrema.

Ekstremumi funkcije so določeni podobno za več argumenti.

Postopek iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije na odseku spominja na fascinanten let okoli objekta (graf funkcije) v helikopterju, streljanje na določene točke iz topa velikega dosega in izbiranje prav posebnih točk. s teh točk za kontrolne strele. Točke se izbirajo na določen način in glede na določena pravila. Po kakšnih pravilih? O tem bomo še govorili.

Če funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] , potem doseže ta segment najmanj in najvišje vrednosti . To se lahko zgodi bodisi v ekstremne točke, ali na koncih segmenta. Zato najti najmanj in največje vrednosti funkcije , zvezna na intervalu [ a, b] , morate izračunati njegove vrednosti v vseh kritične točke in na koncu segmenta, nato pa med njimi izberite najmanjšega in največjega.

Recimo, da želite določiti največjo vrednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Če želite to narediti, morate najti vse njegove kritične točke, ki ležijo na [ a, b] .

Kritična točka imenovana točka, pri kateri definirana funkcija, in njo izpeljanka bodisi enako nič ali ne obstaja. Nato morate izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah. In končno, primerjajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih segmenta ( f(a) In f(b)). Največje od teh številk bo največjo vrednost funkcije na segmentu [a, b] .

Težave pri iskanju najmanjše vrednosti funkcij .

Skupaj iščemo najmanjšo in največjo vrednost funkcije

Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

rešitev. Poiščite odvod te funkcije. Izenačimo odvod na nič () in dobimo dve kritični točki: in . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, je dovolj, da izračunate njene vrednosti na koncih segmenta in v točki, saj točka ne pripada segmentu [-1, 2]. Te vrednosti funkcije so: , , . Iz tega izhaja, da najmanjša vrednost funkcije(na spodnjem grafu označeno z rdečo), enako -7, je doseženo na desnem koncu segmenta - v točki , in največji(tudi rdeče na grafu), je enako 9, - na kritični točki.

Če je funkcija zvezna v nekem intervalu in ta interval ni segment (je pa npr. interval; razlika med intervalom in segmentom: mejne točke intervala niso vključene v interval, ampak mejne točke segmenta so vključene v segment), potem med vrednostmi funkcije morda ne bo najmanjše in največje. Tako je na primer funkcija, prikazana na spodnji sliki, zvezna na ]-∞, +∞[ in nima največje vrednosti.

Vendar pa za vsak interval (zaprt, odprt ali neskončen) velja naslednja lastnost zveznih funkcij.

Primer 4. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot odvod količnika:

Izenačimo odvod na nič, kar nam da eno kritično točko: . Spada v segment [-1, 3] . Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Primerjajmo te vrednosti. Zaključek: enako -5/13, v točki in najvišja vrednost enako 1 v točki.

Nadaljujemo z iskanjem najmanjše in največje vrednosti funkcije skupaj

Obstajajo učitelji, ki na temo iskanja najmanjše in največje vrednosti funkcije učencem ne dajo primerov za reševanje, ki so bolj zapleteni od pravkar obravnavanih, torej tistih, v katerih je funkcija polinom ali ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma. Vendar se ne bomo omejili na takšne primere, saj so med učitelji tisti, ki radi prisilijo učence, da razmišljajo v celoti (tabela izpeljank). Zato bosta uporabljeni logaritem in trigonometrična funkcija.

Primer 6. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

rešitev. Odvod te funkcije najdemo kot derivat izdelka :

Izenačimo odvod na nič, kar daje eno kritično točko: . Spada v segment. Če želite najti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Rezultat vseh dejanj: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako 0, v točki in v točki in najvišja vrednost, enako e², v bistvu.

Primer 7. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na segmentu .

rešitev. Poiščite odvod te funkcije:

Izenačimo odvod na nič:

Edina kritična točka pripada segmentu. Da bi našli najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu, najdemo njene vrednosti na koncih segmenta in na najdeni kritični točki:

Zaključek: funkcija doseže svojo minimalno vrednost, enako , v točki in najvišja vrednost, enako , v točki .

V uporabnih ekstremnih problemih se iskanje najmanjših (največjih) vrednosti funkcije praviloma zmanjša na iskanje najmanjše (največje). Toda večji praktični interes niso sami minimumi ali maksimumi, temveč tiste vrednosti argumenta, pri katerih so doseženi. Pri reševanju uporabnih problemov se pojavi dodatna težava - sestavljanje funkcij, ki opisujejo obravnavani pojav ali proces.

Primer 8. Rezervoar s prostornino 4, ki ima obliko paralelopipeda s kvadratno osnovo in odprt na vrhu, mora biti konzerviran. Kakšne naj bodo dimenzije rezervoarja, da ga sprejme najmanjši znesek material?

rešitev. Naj x- osnovna stran, h- višina rezervoarja, S- njegova površina brez pokrova, V- njegova prostornina. Površina rezervoarja je izražena s formulo, tj. je funkcija dveh spremenljivk. Izraziti S kot funkcijo ene spremenljivke uporabimo dejstvo, da , od koder . Zamenjava najdenega izraza h v formulo za S:

Preučimo to funkcijo do njene skrajnosti. Definirana in diferenciacijska je povsod v ]0, +∞[ in

Izenačimo odvod na nič () in poiščemo kritično točko. Poleg tega, ko izpeljanka ne obstaja, vendar ta vrednost ni vključena v domeno definicije in zato ne more biti točka ekstrema. Torej, to je edina kritična točka. Preverimo prisotnost ekstrema z uporabo drugega zadostnega znaka. Poiščimo drugo izpeljanko. Ko je drugi odvod večji od nič (). To pomeni, da ko funkcija doseže minimum . Od tega minimum je edini ekstrem te funkcije, je njena najmanjša vrednost. Torej mora biti stran dna rezervoarja 2 m, njegova višina pa .

Primer 9. Od točke A ki se nahaja ob železniški progi, do točke Z, ki se nahaja na oddaljenosti od njega l, tovor je treba prepeljati. Strošek prevoza enote teže na enoto razdalje po železnici je enak , po avtocesti pa je enak . Do katere točke M vrstice železnica treba zgraditi avtocesto za prevoz tovora iz A V Z je bil najbolj ekonomičen (oddelek AB predvidevamo, da je železnica ravna)?

V praksi je precej običajno, da se za izračun največje in najmanjše vrednosti funkcije uporablja odvod. To dejanje izvedemo, ko ugotovimo, kako minimizirati stroške, povečati dobiček, izračunati optimalno obremenitev proizvodnje itd., torej v primerih, ko moramo določiti optimalna vrednost poljuben parameter. Če želite pravilno rešiti takšne težave, morate dobro razumeti, kaj so največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Običajno te vrednosti definiramo znotraj določenega intervala x, ki lahko ustreza celotni domeni funkcije ali njenemu delu. Lahko je kot segment [a; b ] , in odprti interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), neskončni interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ali neskončni interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

V tem gradivu vam bomo povedali, kako izračunati največjo in najmanjšo vrednost izrecno definirane funkcije z eno spremenljivko y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Začnimo, kot vedno, z oblikovanjem osnovnih definicij.

Definicija 1

Največja vrednost funkcije y = f (x) na določenem intervalu x je vrednost m a x y = f (x 0) x ∈ X, kar za poljubno vrednost x x ∈ X, x ≠ x 0 pomeni neenakost f (x) ≤ f (x) veljavno 0) .

Definicija 2

Najmanjša vrednost funkcije y = f (x) na določenem intervalu x je vrednost m i n x ∈ X y = f (x 0), kar za vsako vrednost x ∈ X, x ≠ x 0 pomeni neenakost f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Te definicije so povsem očitne. Še preprosteje lahko rečemo takole: največja vrednost funkcije je njena največja velika vrednost na znanem intervalu na abscisi x 0, najmanjša pa je najmanjša sprejeta vrednost na istem intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke so tiste vrednosti argumenta funkcije, pri katerih njen derivat postane 0.

Zakaj moramo vedeti, kaj so stacionarne točke? Za odgovor na to vprašanje se moramo spomniti Fermatovega izreka. Iz tega sledi, da je stacionarna točka točka, v kateri se nahaja ekstrem diferenciabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ali maksimum). Posledično bo funkcija zavzela najmanjšo ali največjo vrednost na določenem intervalu ravno na eni od stacionarnih točk.

Funkcija lahko prevzame največjo ali najmanjšo vrednost tudi v tistih točkah, kjer je sama funkcija definirana in njen prvi odvod ne obstaja.

Prvo vprašanje, ki se pojavi pri preučevanju te teme: ali lahko v vseh primerih določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu? Ne, tega ne moremo storiti, ko meje danega intervala sovpadajo z mejami definicijskega območja ali če imamo opravka z neskončnim intervalom. Zgodi se tudi, da funkcija v danem segmentu ali v neskončnosti zavzame neskončno majhno ali neskončno velike vrednosti. V teh primerih ni mogoče določiti največje in/ali najmanjše vrednosti.

Te točke bodo postale jasnejše, ko bodo prikazane na grafih:

Prva slika nam prikazuje funkcijo, ki zavzame največje in najmanjše vrednosti (m a x y in m i n y) v stacionarnih točkah, ki se nahajajo na segmentu [ - 6 ; 6].

Oglejmo si podrobno primer, prikazan v drugem grafu. Spremenimo vrednost segmenta v [ 1 ; 6 ] in ugotovimo, da bo največja vrednost funkcije dosežena v točki z absciso na desni meji intervala, najmanjša pa v stacionarni točki.

Na tretji sliki predstavljajo abscise točk mejne točke odseka [ - 3 ; 2]. Ustrezata največji in najmanjši vrednosti dane funkcije.

Zdaj pa poglejmo četrto sliko. V njem funkcija zavzame m a x y (največjo vrednost) in m i n y (najmanjšo vrednost) v stacionarnih točkah na odprtem intervalu (- 6 ; 6).

Če vzamemo interval [ 1 ; 6), potem lahko rečemo, da bo najmanjša vrednost funkcije na njej dosežena v stacionarni točki. Največja vrednost nam bo neznana. Funkcija bi lahko prevzela največjo vrednost pri x enakem 6, če bi x = 6 pripadal intervalu. Točno to je prikazano v grafu 5.

V grafu 6 dobi ta funkcija najmanjšo vrednost na desni meji intervala (- 3; 2 ], o največji vrednosti pa ne moremo dokončno sklepati.

Na sliki 7 vidimo, da bo imela funkcija m a x y v stacionarni točki, ki ima absciso enako 1. Funkcija bo dosegla svojo najmanjšo vrednost na meji intervala na desni strani. Pri minus neskončnosti se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3.

Če vzamemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , potem bomo videli, da dana funkcija na sebi ne bo sprejela niti najmanjše niti največje vrednosti. Če se x nagiba k 2, se bodo vrednosti funkcije nagibale k minus neskončnosti, saj je ravna črta x = 2 navpična asimptota. Če se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3. Točno to je primer, prikazan na sliki 8.

V tem odstavku bomo predstavili zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti, da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na določenem segmentu.

Najprej poiščimo domeno definicije funkcije. Preverimo, ali je segment, naveden v pogoju, vključen vanj.
Sedaj pa izračunajmo točke v tem segmentu, v katerih prvi odvod ne obstaja. Najpogosteje jih najdemo v funkcijah, katerih argument je zapisan pod znakom modula ali v močnostne funkcije, katerega eksponent je delno racionalno število.
Nato bomo ugotovili, katere stacionarne točke bodo padle v dani segment. Če želite to narediti, morate izračunati odvod funkcije, ga nato izenačiti z 0 in rešiti nastalo enačbo ter nato izbrati ustrezne korene. Če ne dobimo niti ene stacionarne točke ali ne sodijo v dani segment, gremo na naslednji korak.
Določimo, katere vrednosti bo funkcija zavzela na danih stacionarnih točkah (če obstajajo) ali na tistih točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstajajo), ali pa izračunamo vrednosti za x = a in x = b.
5. Imamo več funkcijskih vrednosti, med katerimi moramo zdaj izbrati največjo in najmanjšo. To bodo največja in najmanjša vrednost funkcije, ki jo moramo najti.

Poglejmo, kako pravilno uporabiti ta algoritem pri reševanju problemov.

Primer 1

Pogoj: podana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Določite njegove največje in najmanjše vrednosti na segmentih [ 1 ; 4] in [-4; - 1 ] .

rešitev:

Začnimo z iskanjem domene definicije dane funkcije. V tem primeru bo to niz vseh realnih števil razen 0. Z drugimi besedami, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenta, navedena v pogoju, bosta znotraj območja definicije.

Zdaj izračunamo odvod funkcije po pravilu diferenciacije ulomkov:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Izvedeli smo, da bo odvod funkcije obstajal v vseh točkah odsekov [1; 4] in [-4; - 1 ] .

Sedaj moramo določiti stacionarne točke funkcije. Naredimo to z enačbo x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo en pravi koren, ki je 2. To bo stacionarna točka funkcije in bo spadala v prvi segment [1; 4].

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih prvega segmenta in na tej točki, tj. za x = 1, x = 2 in x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ugotovili smo, da je največja vrednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 bo dosežen pri x = 1, najmanjši m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2.

Drugi segment ne vključuje niti ene stacionarne točke, zato moramo vrednosti funkcije izračunati samo na koncih danega segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

To pomeni m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Glej sliko:

Pred študijem ta metoda, vam svetujemo, da pregledate, kako pravilno izračunate enostransko mejo in mejo v neskončnosti ter spoznate osnovne metode za njuno iskanje. Če želite najti največjo in/ali najmanjšo vrednost funkcije na odprtem ali neskončnem intervalu, zaporedoma izvedite naslednje korake.

Najprej morate preveriti, ali je podani interval podmnožica domene definicije te funkcije.
Določimo vse točke, ki so vsebovane v zahtevanem intervalu in na katerih prvi odvod ne obstaja. Običajno se pojavijo pri funkcijah, kjer je argument obdan z znakom modula, in pri potenčnih funkcijah z ulomkom racionalnim eksponentom. Če te točke manjkajo, lahko nadaljujete z naslednjim korakom.
Zdaj pa določimo, katere stacionarne točke bodo spadale v dani interval. Najprej izenačimo odvod z 0, rešimo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če nimamo niti ene stacionarne točke ali le te ne sodijo v dani interval, gremo takoj na nadaljnje ukrepe. Določeni so glede na vrsto intervala.

Če je interval oblike [ a ; b) , potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = a in enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) .
Če ima interval obliko (a; b ], potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = b in enostransko mejo lim x → a + 0 f (x).
Če ima interval obliko (a; b), potem moramo izračunati enostranske meje lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Če je interval oblike [ a ; + ∞), potem moramo izračunati vrednost v točki x = a in mejo v plus neskončnosti lim x → + ∞ f (x) .
Če je interval videti kot (- ∞ ; b ] , izračunamo vrednost v točki x = b in mejo v minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x) .
Če - ∞ ; b , potem upoštevamo enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) in mejo pri minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x)
Če - ∞; + ∞ , potem upoštevamo limite na minus in plus neskončnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Na koncu morate na podlagi dobljenih funkcijskih vrednosti in mej narediti sklep. Tukaj je na voljo veliko možnosti. Torej, če je enostranska meja enaka minus neskončnosti ali plus neskončnosti, potem je takoj jasno, da o najmanjših in največjih vrednostih funkcije ni mogoče reči ničesar. Spodaj si bomo ogledali en tipičen primer. Podrobni opisi vam bo pomagal razumeti, kaj je kaj. Po potrebi se lahko vrnete na slike 4 - 8 v prvem delu gradiva.

Primer 2

Pogoj: dana funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovo največjo in najmanjšo vrednost v intervalih - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

rešitev

Najprej poiščemo domeno definicije funkcije. Imenovalec ulomka vsebuje kvadratni trinom, ki se ne sme spremeniti v 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo domeno definicije funkcije, kateri pripadajo vsi v pogoju podani intervali.

Zdaj pa ločimo funkcijo in dobimo:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posledično obstajajo izpeljanke funkcije v celotnem področju definicije.

Pojdimo k iskanju stacionarnih točk. Odvod funkcije postane 0 pri x = - 1 2 . To je stacionarna točka, ki leži v intervalih (- 3 ; 1 ] in (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrednost funkcije pri x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ], kot tudi mejo pri minus neskončnosti:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ker je 3 e 1 6 - 4 > - 1, pomeni, da je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne omogoča enoznačne določitve najmanjše vrednosti lahko le sklepamo, da obstaja omejitev pod -1, saj se tej vrednosti asimptotično približuje pri minus neskončnosti.

Posebnost drugega intervala je, da v njem ni niti ene stacionarne točke niti ene stroge meje. Posledično ne bomo mogli izračunati ne največje ne najmanjše vrednosti funkcije. Ko smo določili mejo pri minus neskončnosti in ker argument teži k -3 na levi strani, dobimo le interval vrednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To pomeni, da se bodo vrednosti funkcije nahajale v intervalu - 1; +∞

Da bi našli največjo vrednost funkcije v tretjem intervalu, določimo njeno vrednost v stacionarni točki x = - 1 2, če je x = 1. Prav tako bomo morali poznati enostransko mejo za primer, ko argument teži k -3 na desni strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izkazalo se je, da bo funkcija prevzela največjo vrednost v stacionarni točki m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Najmanjše vrednosti pa ne moremo določiti. Vse, kar vemo , je prisotnost spodnje meje na -4 .

Za interval (- 3 ; 2) vzemite rezultate prejšnjega izračuna in še enkrat izračunajte, čemu je enaka enostranska meja, ko se na levi strani nagibamo k 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

To pomeni, da je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, najmanjše vrednosti pa ni mogoče določiti, vrednosti funkcije pa so od spodaj omejene s številom - 4. .

Glede na to, kar smo dobili v prejšnjih dveh izračunih, lahko rečemo, da je na intervalu [ 1 ; 2) funkcija bo prevzela največjo vrednost pri x = 1, vendar je nemogoče najti najmanjšo.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija ne bo dosegla niti največje niti najmanjše vrednosti, tj. vzel bo vrednosti iz intervala - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Po izračunu, koliko bo enaka vrednost funkcije pri x = 4, ugotovimo, da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , in dana funkcija pri plus neskončnosti se bo asimptotično približala premici y = - 1 .

Primerjajmo, kar smo dobili pri posameznem izračunu, z grafom dane funkcije. Na sliki so asimptote prikazane s pikčastimi črtami.

To je vse, kar smo vam želeli povedati o iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije. Zaporedje dejanj, ki smo jih podali, vam bo pomagalo narediti potrebne izračune kar se da hitro in preprosto. Vendar ne pozabite, da je pogosto koristno najprej ugotoviti, v katerih intervalih se bo funkcija zmanjšala in v katerih povečala, po tem pa lahko naredite nadaljnje sklepe. Tako lahko natančneje določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije ter utemeljite dobljene rezultate.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Včasih so v problemih B15 "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej se je to dogajalo le med vzorčnimi testi, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravi na pravi enotni državni izpit ni več mogoče prezreti.

V tem primeru delujejo druge tehnike, od katerih je ena monotono.

Za funkcijo f (x) pravimo, da monotono narašča na odseku, če za katerikoli točki x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Za funkcijo f (x) pravimo, da je monotono padajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f(x). Za padajočo funkcijo velja nasprotno: večji ko je x, tem manj f(x).

Na primer, logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetični kvadratni (in ne samo kvadratni) koren monotono narašča na celotnem področju definicije:

Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča pri a > 1 in pada pri 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Končno stopinje z negativnim eksponentom. Lahko jih zapišete kot ulomek. Imajo točko preloma, kjer se prekine monotonija.

Vseh teh funkcij ni nikoli mogoče najti v čista oblika. Seštevajo polinome, ulomke in druge neumnosti, kar oteži izračun odvoda. Poglejmo, kaj se zgodi v tem primeru.

Koordinate vrha parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadratni trinom oblike y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola, ki nas zanima:

Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Oglišče parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije, v kateri ta funkcija doseže minimum (za a > 0) ali maksimum (a< 0) значение.

Največje zanimanje je vrh parabole, katere abscisa se izračuna po formuli:

Torej, našli smo ekstremno točko kvadratne funkcije. Če pa je izvorna funkcija monotona, bo zanjo tudi točka x 0 točka ekstrema. Zato oblikujmo ključno pravilo:

Ekstremne točke kvadratni trinom in kompleksna funkcija, v katero je vključena, sovpadata. Zato lahko iščete x 0 za kvadratni trinom in pozabite na funkcijo.

Iz zgornjega razmišljanja ostaja nejasno, katero točko dobimo: največjo ali minimalno. Vendar so naloge posebej oblikovane tako, da to ni pomembno. Presodite sami:

V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni potrebe po izračunavanju f(a) in f(b). Upoštevati je treba le ekstremne točke;
Vendar obstaja samo ena taka točka - to je vrh parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je reševanje problema močno poenostavljeno in se spušča v samo dva koraka:

Zapišite enačbo parabole y = ax 2 + bx + c in poiščite njeno oglišče po formuli: x 0 = −b /2a ;
Poiščite vrednost prvotne funkcije na tej točki: f (x 0). Če št dodatni pogoji ne, to bo odgovor.

Na prvi pogled se lahko ta algoritem in njegova utemeljitev zdita zapletena. Namenoma ne objavljam "golega" diagrama rešitve, saj je nepremišljena uporaba takih pravil polna napak.

Poglejmo resnične težave iz poskusni enotni državni izpit v matematiki - tu se ta tehnika najpogosteje pojavlja. Hkrati pa bomo poskrbeli, da bodo na ta način številne težave z B15 postale skorajda oralne.

Pod korenino stoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Ker sta veji parabole usmerjeni navzgor, dobi v točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 najmanjšo vrednost.

Koren monotono narašča, kar pomeni, da je x 0 najmanjša točka celotne funkcije. Imamo:

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola z vejami navzgor, ker a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Torej v točki x 0 = −1 kvadratna funkcija prevzame svojo najmanjšo vrednost. Toda funkcija y = log 2 x je monotona, torej:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo y = 1 − 4x − x 2 . Zapišimo ga v normalni obliki: y = −x 2 − 4x + 1.

Očitno je graf te funkcije parabola, razvejana navzdol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Prvotna funkcija je eksponentna, je monotona, zato bo največja vrednost v najdeni točki x 0 = −2:

Pozoren bralec bo verjetno opazil, da nismo zapisali obsega dovoljenih vrednosti korena in logaritma. Vendar to ni bilo potrebno: znotraj so funkcije, katerih vrednosti so vedno pozitivne.

Posledice iz domene funkcije

Včasih preprosto iskanje vrha parabole ni dovolj za rešitev problema B15. Vrednost, ki jo iščete, je lahko lažna na koncu segmenta in sploh ne na skrajni točki. Če težava sploh ne kaže na segment, si oglejte razpon sprejemljivih vrednosti izvirno funkcijo. namreč:

Ponovno upoštevajte: ničla je lahko pod korenom, nikoli pa v logaritmu ali imenovalcu ulomka. Poglejmo, kako to deluje, s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenom je spet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njen graf je parabola, vendar se veje navzdol, ker je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический kvadratni koren negativnega števila ne obstaja.

Zapišemo obseg dovoljenih vrednosti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Zdaj pa poiščimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - in to je dobro. Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Torej, dobili smo številki 2 in 0. Prosimo, da poiščemo največjo - to je številka 2.

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Znotraj logaritma je kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. To je parabola z vejami navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativna števila, zato izpišemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. To razlikuje logaritem od korena, kjer nam konci odseka precej ustrezajo.

Iščemo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Oglišče parabole se prilega po ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, izračunamo vrednost funkcije samo v točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?

Za to sledimo znanemu algoritmu:

1 . Iskanje funkcij ODZ.

2 . Iskanje odvoda funkcije

3 . Izenačenje odvoda na nič

4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:

Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.

Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.

5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.

IN na maksimalni točki funkcije odvod spremeni predznak iz “+” v “-”.

IN minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".

6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,

nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
ali primerjajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na najmanjših točkah ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije

Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša na segmentu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.

Upoštevajte funkcijo . Graf te funkcije izgleda takole:

Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov iz Odprta banka naloge za

1. Naloga B15 (št. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x

Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Posledično funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Naloga B15 (št. 26702)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu.

1. Funkcije ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:

Zato je naslov="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .

Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Naloga B15 (št. 26708)

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na odseku.

1. Funkcije ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.

Interval vsebuje dve števili: in

Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: . Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.

Upodabljamo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:

Očitno je točka minimalna točka (v kateri izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+"), in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjšo točko in na levem koncu segmenta, .