Funkcionalne serije. Power Rows.
Regija konvergence vrstice

Smeh brez razloga - znak dalamberja

Torej je uro funkcionalnih serij udarila. Za uspešen razvoj teme, in zlasti ta lekcija, morate dobro razumeti v običajnih številskih vrstah. Dobro bi bilo razumeti, kakšna je številka, da bi lahko uporabila znake primerjave za študijo številne konvergence. Torej, če ste pravkar začeli proučiti temo ali je kotliček v najvišji matematiki, potrebnotri lekcije za dosledno delo: Vrstice za čajnike, Znak dalamberja. Znaki kauchy. in Poravnava vrstic. Prijavite Leibnitsa.. Nujno vse tri! Če obstaja osnovno znanje in spretnosti za reševanje težav s številskimi vrstami, bo zelo preprosto obvladati funkcionalne vrstice, saj novi material ni zelo veliko.

V tej lekciji bomo upoštevali koncept funkcionalne serije (ki je na splošno to), se bomo seznanili z močnostnimi vrstami, ki jih najdemo v 90% praktičnih nalog, in se naučijo rešiti skupno nalogo modela za iskanje polmera konvergence, konvergenčnega intervala in regijah konvergence serije moči. Nato priporočam, da razmislite o materialu razgradnja funkcij v močnih vrstahin "Ambulance" začetnik bo zagotovljen. Pojdi na naslednjo stopnjo:

Tudi v delu funkcionalnih serij je njihova številna vloge za približne izračuneNekateri dvorski gre od Fourierjeve, ki v izobraževalni literaturi, praviloma, ločeno poglavje izstopa. Imam samo en članek, vendar je dolg in veliko, veliko dodatnih primerov!

Torej, smernice so urejene, je šla:

Koncept funkcionalnih serij in serij moči

Če je meja neskončnostiAlgoritem odločbe tudi konča svoje delo in dajemo končni odgovor na nalogo: "Številka se konvergira na" (ali z nitijo «). Glej zadevo številko 3 iz prejšnjega odstavka.

Če meja ni nič in ne neskončnost, Imamo najpogostejši primer št. 1 v praksi - serija v določenem intervalu konvergira.

V tem primeru je meja enaka. Kako najti konvergenčni interval vrstic? Neenakost:

V Vsaka naloga te vrste V levem delu neenakosti mora biti rezultat izračuna mejein v pravem delu neenakosti - strogo enota. Ne bom pojasnil, zakaj je to takšna neenakost in zakaj na desni. Lekcije so praktične in je že zelo dobro, da so nekateri izreki postali jasnejši pri mojih zgodbah. Nekateri izreki so postali jasnejši.

Tehnika dela z modulom in rešitvami dvojnih neenakosti je bila podrobno obravnavana v prvem letu v članku Opredelitev funkcije ObmočjeAmpak za udobje bom poskusil komentirati v najbolj podrobnosti vseh dejanj. Razkrijejo neenakost z modulom za šolska pravila . V tem primeru:

Polovico poti.

Na drugi stopnji je treba raziskati konvergenco vrstice na koncu ugotovljene intervala.

Prvič, vzemite levi konec intervala in ga nadomestite v naši moči:

Za

Dobimo številčno serijo in jo moramo raziskati zaradi konvergence (že znana nalogam prejšnjih lekcij).

1) Številka je alkalna.
2) - Člani številk zmanjšajo modul. Ob istem času, vsak naslednji član vrste modula je manj kot prejšnji: Tako zmanjšajte monotono.
Zaključek: Serija se konvergira.

S pomočjo serije, ki jo sestavljajo moduli, ugotovite, kako:
- Converges ("Referenčna" vrstica iz družine splošnih harmonskih serij).

Tako nastale številčne serije se popolnoma konvergeta.

za - Converges.

! Spomin da se vse konvergentne pozitivne serije popolnoma zbližajo.

Tako se močnostna serija konvergira in absolutno, na obeh koncih intervala.

Odgovor: Regija konvergence preučevane serije Power:

Ima pravico do življenja in druge dekoracije odgovora: serija se konvergira, če

Včasih v stanju naloge morate določiti polmer konvergence. Očitno je, v obravnavanem primeru.

Primer 2.

Poiščite konvergenčno območje moči

Sklep: Interval konvergence vrstice bo našla vIA. Znak dalamberja (vendar ne na podlagi! - Za funkcionalne serije ni take lastnosti):

Številka se konvergira kot

Levo Oditi moramo samoZato oba dela neenakosti pomnožimo s 3:

- Število je znak.
– - Člani številk zmanjšajo modul. Vsak naslednji član serije modula je manjši od prejšnjega: Tako zmanjšajte monotono.

Zaključek: Serija se konvergira.

Raziskujemo ga na naravo konvergence:

Primerjajte to serijo z različnimi.
Uporabljamo znak za označevanje primerjave:

Dobimo končno število, ki se razlikuje od nič, to pomeni, da se vrstica razlikuje skupaj z v bližini.

Tako se serija pogojno konvergira.

2) Za - razveze zakonske zveze (dokazane).

Odgovor: Regija konvergence preučevane moči serije :. \\ T Z konvergenco serije.

V obravnavanem primeru je konvergenčna površina serije Power pol-interval, in na vseh točkah intervala moči konvergira, in na točki, kot se je izkazalo - Pogojno.

Primer 3.

Poiščite konvergenčni interval serije Power in raziščite njegovo konvergenco na koncu najdenega intervala

To je primer za samostojno rešitev.

Razmislite nekaj primerov, ki so redki, vendar jih najdemo.

Primer 4.

Poiščite regijo serije vrstice:

Sklep: Uporaba znaka Dalamberja, bomo našli konvergenčni interval te serije:

(1) Pripravite razmerje med naslednjim članom serije na prejšnji.

(2) Znebite se štiri-zgodbe frakcij.

(3) Kocke in na pravilu delovanja s stopnjami so povzete za eno samo stopnjo. V števca, pregrade razpadajočo stopnjo, t.e. Odklenite tako, da zmanjšate frakcijo na naslednjem koraku. Factorials opisujejo podrobno.

(4) Pod kocko krepijo števec na imenovalca, kar kaže na to. V frakciji je vse, kar se lahko zmanjša. Multiplikator Izvlecimo omejitev za znak, razpravlja se, ker nima ničesar, kar je odvisno od "dinamične" spremenljivke "EN". Upoštevajte, da znak modula ni sestavljen - iz razloga, da za katero koli "X" potrebujejo ne-negativne vrednosti.

Omejitev je prejela nič, zato je mogoče navesti končni odgovor:

Odgovor: Številka se konvergira kot

In prvič, zdelo se je, da bi bila ta serija z "strašno nadevom" težko rešiti. Nič ali neskončnost v meji je skoraj darilo, ker je raztopina opazno zmanjšana!

Primer 5.

Poišči regijo konvergence vrstice

To je primer za samostojno rešitev. Bodite previdni ;-) Popolna rešitev Odgovor na koncu lekcije.

Razmislite o nekaterih več primerih, ki vsebujejo elemente novosti v smislu uporabe tehničnih tehnik.

Primer 6.

Poiščite interval konvergence serije in raziščite njegovo konvergenco na koncu najdenega intervala

Sklep: Skupni član serije Power vključuje multiplikator, ki zagotavlja dim. Algoritem raztopine je popolnoma shranjen, toda ko nastavite mejo, prezremo (ne pišete) tega multiplikatorja, saj modul uničuje vse "minule".

Interval konvergence vrstice bo našel s pomočjo znaka Dalamberja:

Pripravljamo standardno neenakost:
Številka se konvergira kot
Levo Oditi moramo samo modulZato oba dela neenakosti pomnožimo na 5:

Zdaj razkrijejo modul, ki je že znan:

Na sredini dvojne neenakosti morate za te namene pustiti samo "X", od vsakega dela neenakosti, smo odštejemo 2:

- intervalna konvergenca preučevane serije moči.

Raziskujemo konvergenco vrstice na koncih ugotovljenega intervala:

1) Nadomestite vrednost v naši moči :

Bodite zelo pozorni, multiplikator ne zagotavlja usklajenosti, z vsemi naravnimi "en". Nastalo minus prenašamo zunaj vrstice in pozabimo na to, ker (kot vsak konstantni faktor) ne vpliva na konvergenco ali razhajanje numeričnih serij.

Ponovno obvestiloTo je med substitucijo vrednosti v splošnem članu serije moči zmanjšala multiplikator. Če se to ni zgodilo, bi to pomenilo, da smo nepravilno izračunali omejitev, ali pa je bil modul nepravilno odkrit.

Zato je potrebno raziskati konvergenco numerične serije. Tukaj je najlažje uporabiti obrobni znak primerjave in primerjajte to serijo z različnimi harmoničnimi v bližini. Ampak, pošteno, mejni znak primerjave z grozo, sem utrujen, zato bom v odločbi naredil nekaj raznolikosti.

Torej, serija se konvergira, ko

Pomnožite oba dela neenakosti z 9:

Odstranite koren iz obeh delov, medtem ko se spomnite stare šole šale:


Razkrijte modul:

in dodajte vse dele enega:

- intervalna konvergenca preučevane serije moči.

Raziskujemo konvergenco moči na koncih ugotovitve intervala:

1) Če se dobimo naslednja številska številka:

Multiplikator je izginil brez sledu, ker z vsem naravnim pomenom "EN".

Konvergenčna regija je funkcionalna poleg številnih članov, katerih funkcije / definirane na številski osi. Na primer, člani serije se določijo v intervalu, člani serije pa so opredeljene na segmentu funkcionalne serije (1) se imenuje funkcionalne vrstice konvergenčnega območja enotne konvergence funkcije weierstrass na Vsaka točka nabora DCE in drugače na vsaki točki, nabor D ne pripada, pravijo, da serija konvergira na set D, in se imenuje D regija serije vrstic. Številka (1) se imenuje absolutno zbližemo na SET D, če se v tem nizu konverget v primeru konvergence vrstice (1) na SET D, bo njegov znesek S bo funkcija, definirana na D, regiji Konvergence nekaterih funkcionalnih serij je mogoče najti z znanimi zadostnimi znaki, nameščenimi za vrstice s pozitivnimi člani, na primer, znak DAPAMBER, znak kavčaja. Primer 1. Poiščite regijo konvergence serije M, ker se številčne serije konvergirajo, ko P\u003e 1 in odprete, ko P ^ 1, potem, da verjamemo P-IGX, dobimo to serijo. ki se bo konvergirala na IGX\u003e C I Če je X\u003e 10 in se razlikuje z IGX ^ 1, t.e. pri 0.< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 vrstica odstopanja, kot L \u003d. Razlika serije na X \u003d 0 je očitna. Primer 3. Območje neji konvergence številnih serij je definirano in neprekinjeno na nizu. Uporaba znaka Kos in, bomo našli za vsakogar. Posledično se vrstica razlikuje pri vseh vrednostih x. Označi s SN (x) N-MU delno vsoto funkcionalnih serij (1). Če se ta serija konvergira na set D in je njena vsota 5 (g), je lahko zastopana v obliki, kjer je vsota niza na nizu D vrstice, imenovane Ostanki PN funkcionalne serije (1) . Za vse vrednosti x € D, je torej razmerje. t.e., ostanek RN (X) konvergenčne vrstice nagiba na nič s P oo, ki bi bil x 6 D. Enotna konvergenca med vsemi konvergenčnimi funkcionalnimi serijami, tako imenovane enakomerno konvergentne vrstice imajo pomembno vlogo. Naj bo naveden na nizu d funkcionalnega števila, ki je enak S (x). Opredelitev delni zneska N-MU. Funkcionalna serija Funkcionalna serija konvergenčne regije Enotna konvergenčni znak weierstrass Lastnosti enotno konvergirnih funkcionalnih serij se imenuje enakomerno zbliževanje na nizu PS1), če obstaja več LH za poljubno število e\u003e, da bo izvedena neenakost Za vse številke n\u003e n in za vse x iz niza FI. Komentar. Tukaj je številka n enaka za vse x €, t.e. Ni odvisno od Z, vendar je odvisno od izbire številke E, tako da je napisana n \u003d n (e). Enotna konvergenca funkcionalne serije £ / N (®) na funkcijo 5 (x) na nizu FT je pogosto označena na naslednji način: Določitev enotne konvergence vrstice / N (g) na nizu ft Lahko je napisana v kratkem z uporabo logičnih simbolov: razlagali bomo geometrijsko pomen enotne konvergenčne funkcionalne serije. Vzemite kot nabor FT segment [A, 6] in konstruirati grafe funkcij. Neenakost | opravljena za številke n\u003e n in za vse a; G [A, B], lahko napisano v naslednji obliki. Dobljene neenakosti kažejo, da bodo grafi vseh funkcij y \u003d 5 "(g) s številkami p\u003e n v celoti zaključeni znotraj £ -polati, ki jih omejuje krivulje y \u003d s (x) - e in y \u003d 5 (g) + e (sl. 1). Primer 1 enakomerno se konvergira na segmentu Ta serija je določena, izpolnjuje pogoje priznavanja števila ljudi na kateri koli x € [-1,1] in zato se konvergira na segmentu (-1,1]. Naj s (x) biti njegova vsota in sn. (x) - njegov PN je delni znesek. Ostanek številke v absolutni vrednosti ne presega absolutne vrednosti prvega člana: in ker bomo vzeli eequality | Opravljeno bo, če. Od tu najdemo, da p\u003e. Če vzamete številko (tukaj skozi [A], je največje celo število, ki ne presega a), potem neenakost | E bo izvedena za vse številke p\u003e n in za vse x € [-1.1). To pomeni, da se ta serija enakomerno približa na segmentu [-1.1). I. Ni nobena funkcionalna serija, ki gre na set, je enakomerno zbliževala na primer 2. Pokazali bomo, da serija konvergira na segmentu, vendar ne enakomerno. 4 Izračunajte PM delno vsoto £ "(*) številke. Od kod se ta serija konvergira na segmentu in njeni znesek, če je absolutna vrednost razlike S (x) - 5 "(x) (ostanek vrstice) enaka. Vzemite taka številka E. Dovoliti, da neenakost glede na odstavek. Od koder (kot, in pri deljenju na Inx, znak neenakosti se spremeni v nasprotno). Neenakost bo izvedena na. Zato, tako neodvisno število N (e), tako da se neenakost izvede za vsakega) takoj za vse X iz segmenta. , ne obstaja. Če zamenjate segment 0 z manjšim segmentom, kjer se bo ta serija na zadnji enote konvergirala na funkcijo S0. Dejansko, kdaj, in zato takoj za vse x §3. Znak weierstrass je zadosten znak enotne konvergence funkcionalne serije, ki jo daje weierstrass izrek. Teorem 1 (znak weierstrass). Naj za vse X iz niza q, člani funkcionalne serije v absolutni vrednosti ne presegajo ustreznih članov zadevne številčne serije N \u003d 1 s pozitivnimi člani, tj. Za vse x € Q. Potem funkcionalno serijo (1) na set n Converges popolnoma in enakomerno. In tehnologija, kot je pogoj iz teorema, člani serije (1) izpolnjujejo pogoj (3) na celotnem nastavljenem Q, nato na podlagi primerjave, serija 2 fn (X) konvergira na Vsaka x € in, zato je številka (1) konvergirala na P absolutno. Dovolite, da dokažemo enotno konvergenco vrstice (1). Naj bo označen s SN (X) in delnimi zneski serije (1) in (2). Vzamemo vsakogar (kako majhen) številka E\u003e 0. Potem, od konvergence numerične serije (2), obstoj številke n \u003d n (e), ki je torej za vse številke p\u003e n ( E) in za vse HBS. Številka (1) se enakomerno zniža na kompletu P. Opomba. Številska številka (2) se pogosto imenuje glavna ali velika, za funkcionalno serijo (1). Primer 1. Naučiti enotno konvergenco, se izvede več neenakosti za vse. In za vse. Numerična vrstica konverget. Glede na weoertrass je upoštevana funkcionalna serija absolutno in enakomerno na celotni osi. PRIMER 2. Če želite raziskati enotno konvergenco, se določijo številni člani vrstice in stalno na segmentu [-22 |. Ker na segmentu [-22) za vse naravne n, se tako neenakost izvede. Ker se številčne serije konvergirajo, na podlagi weiergrass, prvotne funkcionalne serije konvergence absolutno in enakomerno na segmentu. Komentar. Funkcionalna serija (1) je lahko enakomerno na nizu piva, ko ni numerične večje serije (2), i.e., Znak Weiertrass je le zadosten znak za enotno konvergenco, vendar ni potrebno. Primer. Kot je prikazano zgoraj (primer), se serija enakomerno približa na segmentu 1-1,1]. Vendar pa za njega velika konvergenca numerične serije (2) ne obstaja. Pravzaprav za vse naravne P in za vse x € [-1.1) se neenakost izvede z enakostjo doseženega na. Zato morajo biti člani artikuliranih večjih serij (2) zagotovo zadovoljni s pogojem, vendar numerično serijo funkcionalnih nizov konvergence enotne konvergence karakteristik weiertrass enakomerno konvergentne funkcionalne serije odstopajo. Torej, se bo število up op. Lastnosti enotne konvergenčne funkcionalne vrstice so enakomerno konvergenčne funkcionalne serije imajo številne pomembne lastnosti. Teorem 2. Če vsi člani serije enakomerno zbližujejo segment [A, B], pomnožimo z isto funkcijo D (X), omejeno na [A, 6], nato pa bo dobljena funkcionalna vrstica enakomerno konvergenzirana. Pustite na segmentu [A, b palico £ fn (x) enakomerno konvergira na funkcijo 5 (g), in funkcija D (x) je omejena, tj. Obstaja konstantna c\u003e 0, tako da z določitvijo uniforme Konvergenca serije za katero koli številko E\u003e 0, obstaja številka N, ki za vse p\u003e n in za vse x € [A, B] bo izvedena neenakost, kjer bo 5N (AR) delni znesek serije Obravnavani. Zato bomo imeli za vsakogar. Vrstica se enakomerno zbliža na [A, B | Na funkcijo TEHOREMA 3. Naj vsi člani FN (X) funkcionalne serije neprekinjeni, serija pa se enakomerno konvergira na segmentu [A, B \\ t Potem je vsota S (x) številke neprekinjena na tem segmentu. M smo na segmentu [O, B] dva arbitrarna GIG + AH točke. Ker se ta serija konvergira na segmentu [a, b] enakomerno, potem za katero koli številko e\u003e ni številka n \u003d n (e), kot je za vse I\u003e n izvedene neenakosti, kjer5 "(g) - delni zneski serije FN (x). Te delne zneskov 5 "(g) so neprekinjene na segmentu [A, 6] kot količina končnega števila neprekinjenih na [A, 6) Funs FN (X). Zato, za fiksno število ne\u003e n (e) in število e) obstaja številka 6 \u003d 6 (e)\u003e 0, tako da za povečanje AH, ki izpolnjuje pogoj |, bo prišlo do neenakosti kot Zneski S (x) se lahko predložijo v naslednjem obrazcu: Od kje. Glede na neenakosti (1) in (2), za korake AH, ki izpolnjuje pogoj |, dobimo to pomeni, da je vsota šest) neprekinjena na točki X. Ker je X samovoljna točka segmenta [A, 6], nato 5 (g) neprekinjeno | A, 6 |. Komentar. Funkcionalno število članov, katerih člani so neprekinjeni na segmentu [A, 6), ki pa se konvergira na (a, 6] neenakomer, lahko ima vsoto diskontinuoverne funkcije. Primer 1. Razmislite o funkcionalnih serijah na segmentu | 0, 1). Izračunam svoj N-MU delni znesek, tako da se razbije na segmentu, čeprav so člani serije neprekinjene. Na podlagi dokazanega izreka, ta serija ni enakomerno zbliževala segmenta. Primer 2. Razmislite o številki, kot je prikazano zgoraj, se ta serija konvergira na, se bo število konvergiralo enakomerno na podlagi weiertrass, saj 1 in numerične serije konvergira. Zato je za katero koli X\u003e 1, je znesek te serije neprekinjen. Komentar. Funkcija se imenuje Rimska funkcija (ta funkcija igra veliko vlogo v teoriji številk). Teorem 4 (o ubiti integracije funkcionalne serije). Naj vsi člani Fn (X) serije neprekinjeni, serija pa se enakomerno zniža na segmentu [A, B] na funkcijo S (X). Potem je enakost resnična zaradi kontinuitete funkcij F "(x) in enotno konvergenco te serije na segmentu [A, 6], njegov znesek 5 (g) je neprekinjen in zato integriran. Razmislite o razlikah z enotno konvergenco serije na [O, B] Iz tega sledi, da je za vse E\u003e 0, je številka N (E)\u003e 0, ki za vse številke P\u003e N (E) in za vse x € [A, 6] Neenakost se bo izvedena, če se območje FN (0 ni enakomerno zbliževa, običajno govori, je nemogoče integrirati reaktivno, tj. Teorem 5 (o ugodnem razlikovanju funkcionalnih serij). Naj vse člane Konvergiralna serija 00 imajo stalne derivate in več zbranih iz teh izvedenih finančnih instrumentov se enakomerno približajo na segmentu [A, B]. Nato je na kateri koli točki, je enakost resnična. Ta serija je mogoče diferencirati. . Potem bomo na podlagi teorema 4 imeli funkcijo O- (x) stalno kot vsota enotno konvergirnih serij neprekinjenih funkcij. Zato diferenciacijska enakost pridobivamo vaje. Poiščite področja konvergence podatkov funkcionalnih serij : Z znakom weierstrass dokazati enotno konvergenco teh funkcionalnih serij v določenih intervalih:

luhov yu.p. Povzetek predavanj o višji matematiki. Predavanje št. 42.5

Predavanje 42.

Zadeva: Funkcionalne vrstice

Načrt.

1. Funkcionalne serije. Regije konvergence.
2. Enotna konvergenca. Znak weierstrass.
3. Lastnosti enotno konvergiranja serije: kontinuiteta vsote števila, integracije tal in diferenciacije.
4. Power Rows. Abel Theorem. Regija konvergence serije moči. Polmer konvergence.
5. Glavne lastnosti serije Power: Enotna konvergenca, kontinuiteta in neskončna različna količina. Integracija tal in diferenciacija moči.

Funkcionalne serije. Regija konvergenca

Opredelitev 40.1. Neskončno količino funkcij

u 1 (x) + u 2 (x) + ... + u n (x) + ..., (40.1)

kjer je u n (x) \u003d f (x, n) funkcional.

Če določite določeno številčno vrednosth. , vrstica (40.1) se spremeni v številčno serijo in odvisno od izbire vrednostih. Takšna serija se lahko približuje ali razprši. Praktična vrednost predstavljajo samo konvergenčne vrstice, zato je pomembno opredeliti te vrednoteh. , v kateri postane funkcionalna serija konvergentna številska.

Opredelitev 40.2. Veliko vrednoth. Pri zamenjavi, ki se v funkcionalnem seriji (40.1), ki se pridobi s številsko številko, imenovano, imenovanoregija konvergenca Funkcionalne serije.

Opredelitev 40.3. Funkcija S (x) opredeljeno na področju konvergence serije, ki za vsako vrednosth. Iz območja konvergence je enaka vsoti ustreznih numeričnih serij, pridobljenih iz (40.1) pri določeni vrednosti.x, imenovan vsota funkcionalnih serij.

Primer. Poiščite regijo konvergence in vsoto funkcionalnih serij

1 + x + x ² + ... + x n + ...

S | X. | ≥ 1 Zato se ustrezne številske vrstice preusmerijo. Če.

| X. | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Posledično je regija konvergence serije interval (-1, 1), njegova vsota pa ima določen pogled.

Komentar . Tako kot za numerične vrste, je mogoče uvesti koncepte delne vsote funkcionalne serije:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

in preostanek vrstice: R n \u003d S-S št.

Enotna konvergenca funkcionalne serije

Najprej opredelimo koncept enotne konvergence numeričnega zaporedja.

Opredelitev 40.4. Funkcionalno zaporedjef n (x) se imenuje enakomerno konvergentf na nizu X, če

Opomba 1. Obiščemo običajno konvergenco funkcionalnega zaporedja in enotne konvergence -.

Opomba 2. . Opozarjamo še enkrat glavno razliko med enotno konvergenco od običajnega: v primeru normalne konvergence z izbrano vrednostjo ε za vsak tamvaša številka n, za kateron\u003e N. Izvedena se neenakost:

Lahko se izkaže, da je skupna številka za to ε.N, Zagotavljanje te neenakosti za vseh. , Nemogoče. V primeru enotne konvergence, takšno številoN, ki je skupna vsem X, obstaja.

Zdaj opredeljujemo pojem enotne konvergence funkcionalnih serij. Ker vsaka vrstica ustreza zaporedju njegovih delnih zneskov, se enotna konvergenca vrstice določi z enotno konvergenco tega zaporedja:

Opredelitev 40.5. Funkcionalni obsegenakomerno konvergencana set X, če je na x Enakomerno konvergira zaporedje njegovih delnih zneskov.

Znak weierstrass.

Teorem 40.1. Če se številska serija konvergira in za vse za vsen \u003d. 1, 2, ... neenakost se izvaja, nato serija konvergenta absolutno in enakomerno na setH.

Dokaz.

Za vse ε\u003e 0 c takšna številka jeN, torej

Za preostale r n Številne vrednosti veljajo

Zato je torej vrstica enakomerno konvergenta.

Komentar. Postopek za izbiro številčnih serij, ki izpolnjuje pogoje iz teorema 40.1 se običajno imenujemajomovania. in ta številka sama -majonanta. za to funkcionalno serijo.

Primer. Za funkcionalno serijo možajo za vsak pomenh. To je vrstica za prijavo. Zato je začetna številka enaka dimenziranju na (-∞, + ∞).

Nepremičnine enakomerno konvergirane serije

Teorem 40.2. Če funkcije u n (x) neprekinjeno z njim se enakomerno zbližujeX, potem njegov znesek S (x) Tudi neprekinjeno na točkix 0.

Dokaz.

Izberite ε\u003e 0. Potem, zato obstaja številkap 0

- vsota končnega števila neprekinjenih funkcij, tako Neprekinjeno na točkix 0. Zato je taka Δ\u003e 0 toPotem dobimo:

To pomeni, da je funkcija S (x) neprekinjena pri x \u003d x 0.

Teorem 40.3. Naj funkcije u n (x) neprekinjeno na segmentu [a, B. ] In vrstica je enaka dimenzaciji na tem segmentu. Potem je vrsta enakomerno konverzina na [a, B] in (40.2)

(to je v pogojih izreka, se lahko število vključi v doslej).

Dokaz.

Funkcija TEOREM 40.2s (x) \u003d neprekinjeno na [a, b ] In zato integrirano na njem, to je integral obrnjen proti levi strani enakosti (40,2) obstaja. Pokažemo, da serija enakomerno konvergira na funkcijo.

Označeno

Potem je za vse ε takšna številkaN, ki za n\u003e n

To pomeni, da se serija enakomerno konvergenzira, njegova vsota pa je enaka σ (x) \u003d.

Izkazalo se je izrek.

Teorem 40.4. Naj funkcije u n (x) na segmentu nenehno diferencialjia, B. ] in številko, sestavljeno iz njihovih derivatov: \\ t

(40.3)

enako konvergira na [a, B. ]. Nato, če serija konvergira vsaj na eni točki, se konvergira enakomerno na vse [a, B], njegova vsota (x) \u003d je nenehno diferencialna funkcija in

(Serija se lahko razlikuje).

Dokaz.

Definiramo funkcijo Σ (h. ) AS. S TEOREM 40.3 vrstico (40.3), lahko integrirate reaktivno:

Vrstica, ki stoji na desni strani te enakosti, se enakomerno približa [a, B. ] S Theoremom 40.3. Toda številska številka po pogojih teorema, zato enakomerno konvergira številko. Potem funkcija σ (t. ) je vsota enotno konvergenčne serije neprekinjenih funkcij na [a, B. Zato je sam stalno. Potem je funkcija stalno diferencial za [a, B. ] in kaj je bilo potrebno dokazati.

Opredelitev 41.1. Moč v bližini imenovane funkcionalne vrste vrst

(41.1)

Komentar. Z zamenjavox - X 0 \u003d T Številka (41.1) je lahko posledica oblike, zato so vse lastnosti serije moči dovolj, da se dokažejo vrstice oblike

(41.2)

Teorem 41.1 (1. abel teorem).Če se močnostna vrstica (41.2) konvergira, kox \u003d x 0, nato na kateri koli X: | X |< | x 0 | Številka (41,2) se popolnoma približa. Če se številka (41,2) odstopax \u003d x 0, Potem se odvrne z vsemix: | X | \u003e | x 0 |. \\ T

Dokaz.

Če serija konvergira, zato je konstantac\u003e 0:

Posledično, vrstica s |x |<| x 0 | Konvergira, kot je vsota neskončno zmanjševanja geometrijskega napredovanja. Torej, vrstica s |x |<| x 0 | Absolutno konvergira.

Če je znano, da vrstica (41.2) odpravilx \u003d x 0 , ne more konvergatirati na |x | \u003e | x 0 | . Od prejšnjega dokazanega, bi bilo, da se konvergira na točkix 0.

Torej, če najdete največje številkex 0. \u003e 0, da (41,2) se konvergira, kox \u003d x 0, potem je območje konvergence te serije, kot sledi iz Teorema Abela, bo interval (- x 0, x 0 ), po možnosti, vključno z enim ali obema mejama.

Opredelitev 41.2. Število R ≥ 0 se imenuje polmer konvergencepower Series (41.2), če se ta serija konvergira in odstopa. Interval (R, R) Poklican konvergenčni interval.vrstica (41.2).

Primeri.

1. Če želite preučiti absolutno konvergenco serije, se uporablja znak Dalambert :. Posledično serija konvergira samo, koh. \u003d 0, in polmer njene konvergence je 0:R \u003d 0.
2. Z istim znakom dalamberja se lahko prikaže, da serija konvergira na vsakemx, to je
3. Za več dalamber, dobimo:

Posledično, pri -1< x. < 1 ряд сходится, при

x.< -1 и x \u003e 1 odstopa. Zah. \u003d 1 dobimo harmonsko vrstico, ki, kot znana, odstopa, in kdajh. \u003d -1 Konvergenca vrstice pri prepoznavanju zdravila Leiby. Tako je polmer konvergence serijeR. \u003d 1, in interval mostu - [-1, 1).

Formule za določanje polmera konvergence moči.

1. Formulo dalamberja.

Razmislite o moči in nanesite znak dalamberja: potrebno je, da je konvergenca serije obstajala, regija konvergence je določena z neenakostjo, to je

- (41.3)

• formula dalamber.za izračun polmera konvergence.

1. Formula kavchy-adamar.

Z uporabo radikalnega znaka Kauchija in prepiramo na podoben način, smo pridobili, da je mogoče določiti regijo konvergence serije moči čim več rešitev neenakosti, ob upoštevanju obstoja te meje, in zato, da bi našli drugo formula za konvergenčni polmer:

(41.4)

• formula CAUCHY-ADAMAR.

Lastnosti močnostnih vrst.

Teorem 41.2 (2. Abel Theorem).Če je R. - polmer konvergence vrstice (41.2) in te serije se konvergira, kox \u003d R. , enakomerno se je konvergiral na intervalu (-R, r).

Dokaz.

Poravnave se konvergirajo v Teoremu 41.1. Posledično se območje (41.2) enakomerno združi v intervalu [-ρ, ρ] s strani Therema 40.1. Iz izbire ρ sledi, da je interval enotne konvergence - (-R, R. ), ki je bilo potrebno dokazati.

Colorlary 1. . Na katerem koli segmentu je celotno območje znotraj konvergenčnega intervala, vsota vrstice (41.2) stalna funkcija.

Dokaz.

Člani vrstic (41.2) so neprekinjene funkcije, serija pa se enakomerno konvergira na obravnavanem segmentu. Potem je kontinuiteta vsote iz Teorema 40.2.

Colorlary 2. Če se integracija omejuje α, β v notranjosti konvergenčnega intervala serije Power, je integral iz vsote števila enak vsoti integralov iz števila članov:

(41.5)

Dokaz te izjave izhaja iz Theorema 40.3.

Teorem 41.3. Če ima serija (41.2) konvergenčni interval (-R, r), nato vrstico

φ (x) \u003d a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² + ... + na n x n - 1 + ..., (41.6)

pridobljen z diferenciacijo vrstice (41.2), ima enak konvergenčni interval (-R, r). Kjer

φ (x) \u003d s (x) s | X |< R , (41.7)

to je znotraj konvergenčnega interval iz derivata iz količine serije moči je enaka vsoti števila, dobljene z njeno globino razlikovanje.

Dokaz.

Izberite ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Potem se serija torej konvergira, to je, če| X | ≤ ρ, potem

Kadar so zato člani serije (41.6) v modulu, zmanjšani za člane usklajevalne serije, ki se konvergira na podlagi Dalambert:

to pomeni, da je to največja za serijo (41.6) s tem, da je številka (41,6) enaka - dimenzivno konvergira na [-ρ, ρ]. Zato je Therem 40.4 prava enakost (41,7). Iz izbire ρ sledi, da se število (41.6) konvergira na kateri koli notranji točki intervala (-R, r).

Dokažimo, da se iz tega intervala (41,6) odstopi. Dejansko, če se je konvergenral, kox 1\u003e r , nato pa integracijo tal na interval (0,x 2), r< x 2 < x 1 Dobili bi, da je število (41.2) konvergiralo na točkix 2. Kaj je v nasprotju s pogojem izreka. Torej je teorem popolnoma dokazan.

Komentar . Številka (41.6) se lahko hitro razlikuje in da to operacijo čim bolj izvaja.

Izhod: Če serija napajanja konvergira na intervalu (-R, R. ), potem je njegova količina funkcija, ki je znotraj konvergenčnega intervala derivatov poljubnega naročila, od katerih je vsaka vsota serije, pridobljene iz začetne interakcije s pomočjo ustreznega števila časa; Hkrati je interval konvergence za več različnih izvedenih finančnih instrumentov tam (-R, r).

Oddelek za informatiko in višjo matematiko KGPU

Tema 2. Funkcionalne serije. Power Rows.

2.1. Funkcionalne vrstice

Doslej smo razmišljali o vrstah, katerih člani so bili številke. Zdaj se obrnemo na študijo vrst, katerih člani so funkcije.

Funkcional imenovan vrstice

Člani so funkcije istega argumenta, določenega na enem nizu E.

Na primer,

1.
;

2.
;

Če daš argument h. Nekaj \u200b\u200bštevilske vrednosti
,
, potem dobimo številčno serijo

ki se lahko konvergirajo (približajo) ali se razlikujejo.

Če.
Nastale številske serije se konvergeta, točka
imenovankonvergenčna točka Funkcionalne serije. Kombinacija vseh konvergenčnih točk se imenujeregija konvergenca Funkcionalne serije.Označi regijo konvergence H.očitno
.

Če se zastavlja vprašanje za numerične poravnalne vrstice: "Številska konverges ali odstopa?", Za izmenično - vprašanje: "Konvergira kot pogojna ali absolutno, - ali odstopa?", Za funkcionalne serije, glavno vprašanje, kot je ta : »Converges (Converges absolutno) z vsemi h.?».

Funkcionalna serija
določa zakon, za katerega je vsaka vrednost argumenta
,
je v skladu s številko, ki je enaka vsoti numeričnih serij
. Tako na nizu H. Funkcija je nastavljena
, ki se imenuje vsota funkcionalnih serij.

Primer 16.

Poiščite regijo konvergence funkcionalne serije

.

Sklep.

Naj bo. h. - fiksno število, potem se ta serija lahko šteje za numerično serijo, poravnava, kdaj
In nadomestno kot
.

Spostavimo številne absolutne vrednosti članov te serije:

za vsako vrednost h. Ta omejitev je manjša od enote, kar pomeni, da se ta serija konvergira, in absolutno (ker so preiskali številne absolutne vrednosti članov serije) na celotno numerično os.

Tako je območje absolutne konvergence
.

Primer 17.

Poiščite regijo konvergence funkcionalne serije
.

Sklep.

Naj bo. h. - fiksno število, \\ t
, potem se ta serija lahko šteje za številčno serijo, poravnava z
In nadomestno kot
.

Razmislite o vrsti od absolutnih vrednosti članov te serije:

in za to veljamo znak Dumamber.

Na podlagi trgovca serija konvergira, če je meja manjša od enote, t.j. Ta serija se bo približala, če
.

Odločanje te neenakosti, dobimo:


.

Torej, ko je število, ki je sestavljeno iz absolutnih vrednosti članov te serije, to pomeni, da se začetna serija približa absolutno, in
Ta serija se razlikuje.

Za
Vrstica se lahko konvergira ali razhaja, saj s temi vrednostmi h. Meja je enaka enemu. Zato nadaljnje preiskave konvergence številnih točk
in
.

Zamenjava v tej seriji
, dobite številčno serijo
o kateri je znano, da je harmoničen divergenten blizu, potem točka
- divergenčno točko določene serije.

Za
Izkazalo se je iz manjše številske vrstice

o katerem je znano, da se konvergira pogojno (glej primer 15), to pomeni, da je to točka
- točka pogojne konvergence serije.

Tako se regija konvergence te serije, in serija se popolnoma približa.

Funkcionalna serija

imenovanmajorizirana na določenem območju spremembe X, če je takšen podoben znak

,

to za vse x s tega območja je pogoj izvedena
za
. Vrstica
imenovanmajom.

Z drugimi besedami, vrstica je najboljša, če vsak od njenih članov v absolutni vrednosti ni več kot ustrezni član nekoliko konvergenčne poravnave vrstice.

Na primer, številka

je najboljša za katero koli h.od vsega h. Razmerje se izvaja

za
,

Številka Kot veste, je konvergentno.

Teorem.Weierstrasse.

V tem območju je povsem združena vrstica, ki je na določenem območju.

Razmislite na primer serije funkcij
. Ta serija je najboljša
od kdaj
Člani serije ne presegajo ustreznih članov poravnave serije . Posledično je na teoremu WEIERSTRASS, obravnavani funkcionalni razpon popolnoma konvergenten
.

2.2. Power Row. Abel Theorem. Regija konvergence serije Power

Med raznolikostjo funkcionalnih serij so najpomembnejše in trigonometrične vrste najpomembnejše v smislu praktične uporabe. Razmislite o takih vrsticah.

Moč v bližini v stopinjah
imenovane funkcionalne vrste vrst

kje - nekaj fiksnega števila,
- Številke, imenovane razmerja.

Za
Dobimo moč moči v stopinjah h.ki ima pogled

.

Za preprostost, bomo razmislili o moči v stopinjah h.Zaradi take vrstice je enostavno dobiti več stopinj
Namesto tega zamenjati h. izraz
.

Preprostost in pomen serije razreda je predvsem posledica dejstva, da je delni znesek serije moči

to je polinom - funkcija, katere lastnosti so dobro preučevana in vrednosti, katerih vrednosti se zlahka izračunajo z uporabo samo aritmetičnih operacij.

Ker so močnostne vrstice poseben primer funkcionalne serije, je treba najti tudi področje konvergence. V nasprotju s področjem konvergence poljubne funkcionalne serije, ki je lahko niz poljubnih vrst, je regija konvergence Power Row je popolnoma določen pogled. To je navedeno z naslednjim izrekom.

Teorem.Abel.

Če je moč
konvergira z nekaj pomena
Nato se konvergira in absolutno, z vsemi vrednostmi X, ki izpolnjujejo pogoj
. Če je močnostna vrstica razpršena z nekaj pomena
Potem se razprši in s pomenom, ki izpolnjuje pogoj
.

Abel's Therem To sledi vse Konvergenčne točke moči v stopinjah h.od začetka koordinat ne naslednje, kot katera koli odstopajoče točke. Očitno so konvergenčne točke zapolnijo nekaj intervalov s središčem na začetku koordinat. Pošteni izrek na območju konvergence serije moči.

Teorem.

Za vse močnostne vrstice
Obstaja številkaR. (R.>0) tako, da z vsem intervalom x
serija konvergira absolutno in z vsemi x, ki leži zunaj intervala
, vrstica odstopanja.

ŠtevilkaR. imenovanpolmer konvergence Power Series in Interval
– konvergenčni interval. Power Series v stopinjah x.

Upoštevajte, da v terenu, nič navaja o konvergenci serije na koncih konvergenčnega intervala, tj. V točkah
. Na teh točkah se različne močnostne vrstice obnašajo drugače: vrstica se lahko konvergira (popolnoma ali pogojno) in se lahko razlikuje. Zato je treba konvergenco števila na teh točkah neposredno preveriti po definiciji.

V posebnih primerih je lahko polmer konvergence serije nič ali neskončnost. Če
Potem moč v stopinjah h. konvergira samo na eni točki
; če.
Power Row Converges na celotni številski os.

Ponovno bomo pozorni na dejstvo, da je moč
v stopinjah
lahko se zmanjša na močnostno vrsto
Z zamenjavo
. Če je vrstica
Konvergenca.
. za
, potem po hrbtni zamenjavi dobimo

 Or.
.

Tako konvergenčni interval serije Power
Ima videz
. Točka Pokliči center za konvergenco. Zaradi jasnosti se upošteva konvergenčni interval, ki prikazuje številsko osi (slika 1)

Tako je regija konvergence sestavljena iz konvergenčnega intervala, na katere se lahko dodajo točke
Če na teh točkah se število konvergira. Konvergenčni interval je mogoče najti z uporabo neposrednega znaka DUMABER ali radikalne značilnosti kavča v vrstici, ki jo sestavljajo absolutne vrednosti članov te serije.

Primer 18.

Poišči regijo konvergence vrstice
.

Sklep.

Ta serija je močna poleg stopinj. h..
. Razmislite o številki, ki je sestavljena iz absolutnih vrednosti članov te serije, in uporabljamo znak trgovca.

Vrstica se bo približala, če je meja manjša od 1, t.j.

Od!
.

Tako je konvergenčni interval te serije
, Polmer konvergence
.

Raziskujemo konvergenco vrstice na koncih intervala, na točkah
. Zamenjava tega števila
, dobimo številko

.

Nastala serija je harmonična razpršena v bližini, zato na točki
Vrstica odstopa, to pomeni, da je točka
Ni vključen v konvergenčno območje.

Za
Dobimo znak številke

,

ki je pogojno konvergentno (primer 15), zato je točka
– konvergenčna točka (pogojna).

Tako je regija konvergence serije
in na točki
Serija konvergira pogojno in na drugih točkah - absolutno.

Argumenti, ki se uporabljajo pri reševanju primera, lahko dajete splošno naravo.

Razmislite o moči

Naredili bomo številne absolutne vrednosti članov serije in veljajo za znak D "Alamber.

Če obstaja (končna ali neskončna) meja, nato pod pogojem konvergence D "Alamber se bo vrstica približala, če

,

,

.

Od tu od določanja intervala in polmera konvergence

Uporaba radikalnega znaka kavča in podobno, lahko dobite drugo formulo za iskanje polmera konvergence

Primer 19.

Sklep.

Vrstica je moč za stopinje x.Če želite najti konvergenčni interval, izračunamo polmer konvergence v skladu z zgornjo formulo. Za določeno številko je formula numeričnega koeficienta obrazca

, potem.

Zato,

Sodišče R. \u003d , nato serija konvergira (in absolutno) za vse vrednosti x,ti. Regija konvergenca h. (–; +).

Upoštevajte, da bi bilo mogoče najti konvergenčno območje brez uporabe formul in neposredno nanašati znak D "Alamber:

Ker meja ni odvisna od h.in manj kot 1, nato serija konvergira na vseh vrednostih x,ti. za h.(-;+).

Primer 20.

Poišči regijo konvergence vrstice

1!(h.+5)+2!(h. + 5) 2 +3!(h. + 5) 3 +... + str!(h. + 5) str +...

Sklep .

x +.5), ti. Center konvergence h. 0 = - 5. Numerični koeficient vrstice zvezek str \u003d P.!.

Polmer konvergence serije najdemo

.

Tako konvergenčni interval je sestavljen iz ene točke - središče konvergenčnega intervala x \u003d -5.

Primer 21.

Poišči regijo konvergence vrstice
.

Sklep.

Ta serija je močna poleg stopinj ( h.–2), ti.

center konvergence h. 0 = 2. Upoštevajte, da je vrstica znana pozitivna v vsakem fiksnem x,kot izraz ( x-2) postavljeno je v stopnjo 2 str.Nanesite na radikalni znak prasa.

Vrstica se bo približala, če je meja manjša od 1, t.j.

,
,
,

torej, polmer konvergence
, potem integralno konvergenco

,
.

Tako se serija popolnoma približuje h.
. Ugotavljamo, da je integral konvergence simetričen glede konvergenčnega centra h. približno = 2.

Raziskujemo konvergenco vrstice na koncih konvergenčnega intervala.

Verjel
, dobimo numerični znak

Uporabljamo potreben znak konvergence:

posledično je številčna vrstica razpršena in točka
To je divergenčna točka. Upoštevajte, da pri izračunu meje uporabljene druge čudovite meje.

Verjel
, Dobim isto številčno vrstico (preveri sebe!), Tako da je točka
Tudi ni vključen v konvergenčni interval.

Torej, regija absolutne konvergence te serije h.
.

2.3. Lastnosti konvergenčnih vrst

Vemo, da je končni znesek neprekinjenih funkcij neprekinjen; Znesek diferencialnih funkcij je diferenciran, derivat zneska pa je enak količini izvedenih finančnih instrumentov; Končni znesek lahko vključuje tla.

Izkazalo se je, da za "neskončne zneske" funkcij - funkcionalne serije v splošnem primeru, lastnosti nimajo prostora.

Na primer, razmislite o funkcionalnih serijah

Očitno so vsi člani serije stalne funkcije. Poiščite regijo konvergence te serije in njeno vsoto. Če želite to narediti, poiščite delni zneske številke

potem vsota vrstice

Tako je znesek S.(h.) ta serija, kot omejitev zaporedja delnih zneskov, obstaja in je končna, ko h. (-1;1), to pomeni, da je ta vrzel območje konvergence serije. V tem primeru je njegova količina diskontinuirana funkcija, odkar

Torej, ta primer kaže, da v splošnem primeru lastnosti končnih zneskov nimajo analoga za neskončne vsote - vrstice. Vendar pa so za določen primer funkcionalnih serij - električne vrste - lastnosti zneska so podobne lastnostim končnih zneskov.

Naj funkcija določa na tem območju

Opredelitev. Izraz

Imenovan delujoč V bližini.

Primer.

Z nekaterimi vrednostmi se lahko vrstica približa drugim vrednotam - razpršijo.

Primer.

Poiščite regijo konvergence vrstice. Ta serija je definirana za vrednosti.

Če potem, vrstica odstopajo, ker se potreben znak konvergence serije ne izvede; Če serija razlikuje; Če - neskončno zmanjševanje geometrijskega napredovanja.

Primerjava te serije s konvergentom, ki je naslednja, da bi regiji konvergence serije v študiji.

Z vrednostmi funkcionalne serije je pridobljena numerična serija

Če za številčne serije konvergira, se točka imenuje konvergenčna točkafunkcionalne serije.

Kombinacija vseh točk konvergence vrstice je območje njene konvergence. Konvergenčno območje je običajno nekaj osi interval.

Če se na vsaki točki številske vrstice zbližuje, se kliče območje funkcije cONVERGENT. na območju.

Količina funkcionalnih serij je nekaj funkcije iz spremenljivke, določene v območju konvergence vrstice

Katere lastnosti imajo funkcije, če so znane lastnosti številne vrstice, to je.

Kontinuiteta funkcij ne zadostuje za sklenitev kontinuitete.

Konvergenca številnih neprekinjenih funkcij na neprekinjeno delovanje je opremljena z dodatnim pogojem, ki izraža eno pomembno značilnost konvergence funkcionalne serije.

Opredelitev. Funkcionalni razpon se imenuje zbliževanje na območju, če je meja delne vsote te serije, to je.

Opredelitev. Funkcionalna serija se imenuje enakomerno zbliževanje na območju, če je za vsako pozitivno, obstaja taka številka, ki se izvaja za vse.

Geometrijski pomen enotne konvergence

Če obkrožite graf funkcije - Strip ", določen z razmerjem grafike vse Funkcije, ki se začnejo s precej veliko vrednostjo poln Leži v tem "- traku", ki obdaja graf mejne funkcije.

Nepremičnine enakomerno zbližujejo vrstice .

1. Vsota enotno konvergentne vrstice v določeni regiji, sestavljena iz neprekinjenih funkcij, je funkcija neprekinjeno na tem področju.

2. Takšno število se lahko razlikuje

3. Število se lahko integrira

Da bi ugotovili, ali je funkcionalna serija enakomerno zbliževala, je treba izkoristiti zadosten znak konvergence weierstrass.

Opredelitev. Funkcionalni obseg majorizirana Na nekaterih področjih spremembe, če obstaja podobno število številske številke s pozitivnimi člani, ki se neenakost izvede za vse to področje.

Znak weierstrass. (enotna konvergenca funkcionalne serije).

Funkcionalna serija konvergira uniformo Na področju konvergence, če je na tem področju učinkovita.

Z drugimi besedami, če funkcije na določenem območju niso presežene z absolutno vrednostjo ustreznih pozitivnih števil in če se številčne serije konvergirajo, se funkcionalna serija na tem območju konvergira enakomerno.

Primer. Dokazati enotno konvergenco funkcionalnih serij.

Sklep. . Splošni član te serije zamenjamo s splošnim članom številčnih serij, vendar boljši od vsakega člana številne absolutne vrednosti. Če želite to narediti, je treba ugotoviti, v katerem bo skupni član serije maksimalen.

Nastala numerična serija konvergira, to pomeni, da se funkcionalna serija uvršča enakomerno glede na znak weiertrass.

Primer. Poiščite vsoto vrstice.

Da bi našli vsoto številke, uporabljamo dobro znano formulo za količino geometrijskega napredovanja

Razlikovanje leve in desne strani s formulo (1), smo zaporedno

Opozarjamo v znesku, ki ga je treba izračunati, komponente sorazmerne s prvim in drugim izvedenim izvedenim finančnim instrumentom:

Izračunajte derivate:

Power Rows.

Med funkcionalnimi serijami je razred moči in trigonometričnih serij.

Opredelitev. Funkcionalna vrsta vrst

imenovana moč v stopinjah. Izrazi so konstantne številke.

Če je serija nemočna v stopinjah.

Regija konvergence serije moči. Abel Theorem.

Teorem.. Če se serija Power Converges na točki, konvergira in poleg tega absolutno za kakršno koli vrednost, v absolutni vrednosti manjšega, to je ali v intervalu.

Dokaz.

Zaradi konvergence Rada bi se njegov splošni član si prizadeval za nič, zato so vsi člani te serije enakomerno omejeni: obstaja tako stalno pozitivno število, ki poteka., To za vsakogar s Centrom na točki