Lastnosti operacij s števili, racionalne metode odštevanja. Seštevanje in odštevanje racionalnih števil

Potem je a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Dodajanje ničle ne spremeni števila, vendar je vsota nasprotnih števil enaka nič.

To pomeni, da za vsako racionalno število velja: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Množenje racionalnih števil ima tudi komutativne in asociativne lastnosti. Z drugimi besedami, če so a, b in c katera koli racionalna števila, potem ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Množenje z 1 ne spremeni racionalnega števila, vendar je zmnožek števila in njegovega inverza enak 1.

To pomeni, da imamo za vsako racionalno število a:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - str.

1190. Po izbiri priročnega postopka izračuna poiščite vrednost izraza:

1191. Ubesedite komutativno lastnost množenja ab = ba in jo preverite, ko:

1192. Z besedami oblikujte asociativno lastnost množenja a(bc)=(ab)c in jo preverite, ko:

1193. Z izbiro priročnega vrstnega reda izračuna poiščite vrednost izraza:

1194. Katero število (pozitivno ali negativno) dobiš, če pomnožiš:

a) eno negativno število in dva pozitivna števila;
b) dve negativni in eno pozitivno število;
c) 7 negativnih in več pozitivnih števil;
d) 20 negativnih in več pozitivnih? Potegnite zaključek.

1195. Določite znak izdelka:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha in Maxim so se zbrali v telovadnici (slika 91, a). Izkazalo se je, da je vsak od fantov poznal le še dva. Kdo pozna koga? (Rob grafa pomeni "saj se poznamo.")

b) Bratje in sestre ene družine se sprehajajo po dvorišču. Kateri od teh otrok so dečki in kateri deklice (slika 91, b)? (Pukčasti robovi grafa pomenijo »sem sestra«, polni pa »sem brat.«)

1205. Izračunaj:

1206. Primerjaj:

a) 2 3 in 3 2; b) (-2) 3 in (-3) 2; c) 1 3 in 1 2; d) (-1) 3 in (-1) 2.

1207. Zaokroži 5,2853 na tisočinke; do stotink; do desetin; do enot.

1208. Reši nalogo:

1) Motorist dohiti kolesarja. Zdaj je med njima 23,4 km. Hitrost motorista je 3,6-krat večja od hitrosti kolesarja. Poišči hitrosti kolesarja in motorista, če je znano, da bo motorist čez eno uro dohitel kolesarja.
2) Avto dohiti avtobus. Zdaj je med njima 18 km. Hitrost avtobusa je enaka hitrosti osebnega avtomobila. Poišči hitrosti avtobusa in avtomobila, če je znano, da bo avto čez eno uro dohitel avtobus.

1209. Poišči pomen izraza:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Preverite svoje izračune z mikro kalkulator.
1210. Ko izberete primeren vrstni red izračuna, poiščite vrednost izraza:

1211. Poenostavi izraz:

1212. Poišči pomen izraza:

1213. Sledite tem korakom:

1214. Učenci so dobili nalogo zbrati 2,5 tone odpadnega železa. Zbrali so 3,2 tone odpadnega železa. Za koliko odstotkov so učenci opravili nalogo in za koliko presegli?

1215. Avto je prevozil 240 km. Od tega je 180 km prehodila po podeželski cesti, ostalo pa po avtocesti. Poraba bencina na vsakih 10 km podeželske ceste je bila 1,6 litra, na avtocesti pa 25% manj. Koliko litrov bencina je bilo v povprečju porabljenih za vsakih 10 km poti?

1216. Kolesar je pri odhodu iz vasi na mostu opazil pešca, ki je hodil v isti smeri, in ga čez 12 minut dohitel. Poišči hitrost pešca, če je hitrost kolesarja 15 km/h in je razdalja od vasi do mostu 1 km 800 m?

1217. Sledite tem korakom:

a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Kot veste, so se ljudje z racionalnimi števili seznanili postopoma. Sprva so se pri štetju predmetov pojavile težave naravna števila. Sprva jih je bilo malo. Tako so do nedavnega med domorodci otokov v Torresovi ožini (ločuje Nova Gvineja iz Avstralije) sta bili v jeziku samo dve številki: "urapun" (ena) in "okaz" (dve). Otočani so šteli takole: »Okaza-urapun« (tri), »Okaza-Okaza« (štiri) itd. Domačini so vsa števila, začenši s sedmico, imenovali z besedo, ki pomeni »mnogo«.

Znanstveniki verjamejo, da se je beseda za stotine pojavila pred več kot 7000 leti, za tisoče - pred 6000 leti in pred 5000 leti v Stari Egipt in v starem Babilonu so se pojavila imena za ogromno število - do milijon. Toda dolgo časa je naravna vrsta števil veljala za končno: ljudje so mislili, da jih je največ veliko število.

Največji starogrški matematik in fizik Arhimed (287–212 pr. n. št.) se je domislil načina, kako opisati ogromna števila. Največje število, ki ga je lahko imenoval Arhimed, je bilo tako veliko, da bi za digitalni zapis potrebovali trak, dvatisočkrat daljši od razdalje od Zemlje do Sonca.

A tako ogromnih številk jim še ni uspelo zapisati. To je postalo mogoče šele po indijskih matematikih v 6. st. je bilo izumljeno število nič, ki je začelo označevati odsotnost enot v števkah decimalni zapisštevilke.

Pri delitvi plena in kasneje pri merjenju vrednosti ter v drugih podobnih primerih so ljudje naleteli na potrebo po uvajanju »zlomljenih številk« - navadni ulomki. Operacije z ulomki so v srednjem veku veljale za najtežje področje matematike. Še danes Nemci za človeka, ki se znajde v težki situaciji, pravijo, da je »padel na zlom«.

Za lažje delo z ulomki so izumili decimalke ulomki. V Evropi jih je leta X585 uvedel nizozemski matematik in inženir Simon Stevin.

Negativna števila so se pojavila kasneje kot ulomki. Dolgo časa takšne številke so veljale za "neobstoječe", "napačne" predvsem zaradi dejstva, da je sprejeta razlaga za pozitivna in negativna števila "premoženje - dolg" povzročila zmedo: lahko dodate ali odštejete "premoženje" ali "dolgove", vendar kako razumeti produkt ali zasebno »lastnino« in »dolg«?

Toda kljub takšnim dvomom in zmedi so bila v 3. stoletju predlagana pravila za množenje in deljenje pozitivnih in negativnih števil. grški matematik Diofant (v obliki: »Kar je odšteto, pomnoženo s tem, kar je dodano, daje odštevanec; kar je odšteto z odštevancem, daje to, kar je dodano,« itd.), kasneje pa indijski matematik Bhaskar (XII. stoletje) izrazil ista pravila v pojmih »premoženje«, »dolg« (»Produkt dveh premoženja ali dveh dolgov je lastnina; produkt premoženja in dolga je dolg.« Isto pravilo velja za delitev).

Ugotovljeno je bilo, da so lastnosti operacij na negativnih številih enake kot na pozitivnih številih (npr. seštevanje in množenje imata lastnost komutativnosti). In končno, od začetka prejšnjega stoletja so negativna števila postala enaka pozitivnim številom.

Kasneje so se v matematiki pojavila nova števila - iracionalna, kompleksna in druga. O njih se učite v srednji šoli.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Učbenik za srednja šola

Knjige in učbeniki po koledarskem načrtu za 6. razred matematika prenos, pomoč šolarjem na spletu

Vsebina lekcije zapiski lekcije podporni okvir predstavitev lekcije metode pospeševanja interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samotestiranje delavnice, treningi, primeri, questi domača naloga diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, diagrami, humor, anekdote, šale, stripi, prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki triki za radovedneže jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovar pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev odlomka v učbeniku, elementi inovativnosti pri pouku, nadomeščanje zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto metodološka priporočila diskusijski programi Integrirane lekcije

Koncept števil se nanaša na abstrakcije, ki označujejo predmet s kvantitativnega vidika. Že v primitivni družbi so ljudje morali šteti predmete, zato so se pojavile numerične oznake. Kasneje so postali osnova matematike kot znanosti.

Za delo z matematičnimi pojmi si je treba najprej predstavljati, kakšne številke obstajajo. Obstaja več glavnih vrst številk. to:

1. Naravni - tisti, ki jih dobimo pri številčenju predmetov (njihovo naravno štetje). Njihov niz je označen z N.

2. Cela števila (njihov niz je označen s črko Z). To vključuje naravna števila, njihova nasprotja, negativna cela števila in ničlo.

3. Racionalna števila (črka Q). To so tisti, ki jih lahko predstavimo kot ulomek, katerega števec je enak celemu številu, imenovalec pa naravnemu številu. Vsi so celi in razvrščeni kot razumni.

4. Pravi (označeni so s črko R). Vključujejo racionalna in iracionalna števila. Iracionalna števila so števila, ki jih dobimo iz racionalnih z različnimi operacijami (računanje logaritma, izluščenje korena), vendar sama po sebi niso racionalna.

Tako je kateri koli od navedenih nizov podmnožica naslednjih. To tezo ponazarja diagram v obliki t.i. Eulerjevi krogi. Zasnova je sestavljena iz več koncentričnih ovalov, od katerih se vsak nahaja znotraj drugega. Notranji, najmanjši oval (površina) označuje množico naravnih števil. Popolnoma je zajeto in vključuje območje, ki simbolizira množico celih števil, ki pa je vsebovano v območju racionalnih števil. Zunanji, največji oval, ki vključuje vse ostale, označuje niz

V tem članku si bomo ogledali množico racionalnih števil, njihove lastnosti in značilnosti. Kot že rečeno, vsi pripadajo njim obstoječe številke(pozitivno kot tudi negativno in ničelno). Racionalna števila tvorijo neskončno vrsto z naslednjimi lastnostmi:

Ta množica je urejena, to pomeni, da lahko, če vzamemo kateri koli par števil iz te serije, vedno ugotovimo, katera je večja;

Če vzamemo katerikoli par takšnih števil, lahko mednje vedno postavimo vsaj še eno in zato cela serija tako - tako racionalna števila predstavljajo neskončno vrsto;

Vsi štirje aritmetične operacije nad takimi številkami je možno, njihov rezultat je vedno določeno število(tudi racionalno); izjema je deljenje z 0 (nič) - ni mogoče;

Katera koli racionalna števila lahko predstavimo kot decimalne ulomke. Ti ulomki so lahko končni ali neskončno periodični.

Če želite primerjati dve števili, ki pripadata racionalni množici, se morate spomniti:

Vsako pozitivno število večji od nič;

Vsako negativno število je vedno manj kot nič;

Pri primerjavi dveh negativnih racionalnih števil je večje tisto, katerega absolutna vrednost (modul) je manjša.

Kako se izvajajo operacije z racionalnimi števili?

Če želite sešteti dve taki številki z enakim predznakom, morate sešteti njuni absolutni vrednosti in ju postaviti pred vsoto splošni znak. Če želite dodati številke z različna znamenja izhaja iz večja vrednost odštejemo manjšega in postavimo predznak tistega, katerega absolutna vrednost je večja.

Če želite odšteti eno racionalno število od drugega, je dovolj, da prvemu številu dodate nasprotno od drugega. Če želite pomnožiti dve števili, morate pomnožiti njuni vrednosti absolutne vrednosti. Dobljeni rezultat bo pozitiven, če imata dejavnika enak predznak, in negativen, če sta različna.

Delitev se izvede na podoben način, to je, da se najde količnik absolutnih vrednosti, pred rezultatom pa je znak "+", če znaki dividende in delitelja sovpadata, in znak "-", če ne sovpadajo.

Potence racionalnih števil izgledajo kot produkti več faktorjev, ki so med seboj enaki.

) so števila s pozitivnimi oz negativni predznak(cela števila in ulomki) in nič. Natančnejši koncept racionalnih števil zveni takole:

Racionalno število- število, ki je predstavljeno navadni ulomek m/n, kjer je števec m so cela števila in imenovalec n- naravna števila, na primer 2/3.

Neskončni neperiodični ulomki NISO vključeni v množico racionalnih števil.

a/b, Kje a∈ Z (a pripada celim številom), b∈ n (b pripada naravnim številom).

Uporaba racionalnih števil v resničnem življenju.

IN resnično življenje množica racionalnih števil se uporablja za štetje delov nekaterih celoštevilsko deljivih predmetov, Na primer, pecivo ali druga živila, ki se pred zaužitjem narežejo na kose, ali za grobo oceno prostorskih odnosov razširjenih predmetov.

Lastnosti racionalnih števil.

Osnovne lastnosti racionalnih števil.

1. Urejenost a in b obstaja pravilo, ki vam omogoča nedvoumno identifikacijo 1 in samo enega od 3 odnosov med njimi: "<», «>« ali »=«. To je pravilo - pravilo naročanja in ga formuliramo takole:

2 pozitivni števili a=m a /n a in b=m b /n b sta povezani z enakim razmerjem kot 2 celi števili m a⋅ n b in m b⋅ n a;
2 negativni števili a in b sta povezani z enakim razmerjem kot 2 pozitivni števili |b| in |a|;
kdaj a pozitivno in b- torej negativno a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija dodajanja. Za vsa racionalna števila a in b Obstaja pravilo seštevanja, ki jim dodeli določeno racionalno število c. Še več, sama številka c- To vsotaštevilke a in b in je označena kot (a+b) seštevanje.

Pravilo seštevanja izgleda takole:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operacija množenja. Za vsa racionalna števila a in b Obstaja pravilo množenja, jih povezuje z določenim racionalnim številom c. Število c imenujemo deloštevilke a in b in označujejo (a⋅b), in postopek iskanja te številke se imenuje množenje.

Pravilo množenja izgleda takole: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost relacije reda. Za poljubna tri racionalna števila a, b in cče a manj b in b manj c, To a manj c, in če a enako b in b enako c, To a enako c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutativnost seštevanja. Zamenjava mest racionalnih členov ne spremeni vsote.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Dodatna asociativnost. Vrstni red seštevanja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisotnost ničle. Obstaja racionalno število 0, pri seštevanju ohrani vsako drugo racionalno število.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prisotnost nasprotnih števil. Vsako racionalno število ima nasprotno racionalno število in ko ju seštejemo, je rezultat 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Zamenjava mest racionalnih dejavnikov ne spremeni izdelka.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Asociativnost množenja. Vrstni red množenja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Razpoložljivost enote. Obstaja racionalno število 1, ki ohrani vsako drugo racionalno število v procesu množenja.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Prisotnost vzajemnih števil. Vsako racionalno število razen nič ima inverzno racionalno število, pomnožimo s katerim dobimo 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja glede na seštevanje. Operacija množenja je povezana s seštevanjem z uporabo distribucijskega zakona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Razmerje med relacijo reda in operacijo seštevanja. Na levi in desni del racionalna neenakost dodajte isto racionalno število.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Razmerje med relacijo reda in operacijo množenja. Levo in desno stran racionalne neenakosti lahko pomnožimo z istim nenegativnim racionalnim številom.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Ne glede na racionalno število a, je enostavno vzeti toliko enot, da bo njihova vsota večja a.

V tej lekciji se bomo spomnili osnovnih lastnosti operacij s števili. Ne bomo le pregledali osnovnih lastnosti, ampak se bomo tudi naučili, kako jih uporabiti pri racionalnih številih. Vse pridobljeno znanje bomo utrdili z reševanjem primerov.

Osnovne lastnosti operacij s števili:

Prvi dve lastnosti sta lastnosti seštevanja, naslednji dve sta lastnosti množenja. Peta lastnost velja za obe operaciji.

V teh lastnostih ni nič novega. Veljale so tako za naravna kot za cela števila. Veljajo tudi za racionalna števila in bodo veljala za števila, ki jih bomo preučevali naslednjič (na primer iracionalna števila).

Lastnosti permutacije:

Preurejanje izrazov ali faktorjev ne spremeni rezultata.

Lastnosti kombinacije:, .

Seštevanje ali množenje več števil je možno v poljubnem vrstnem redu.

Distribucijska lastnost:.

Lastnost povezuje obe operaciji – seštevanje in množenje. Tudi, če berete od leve proti desni, se imenuje pravilo za odpiranje oklepajev, če pa v nasprotni smeri, se imenuje pravilo za postavljanje skupnega faktorja izven oklepajev.

Naslednji dve lastnosti opisujeta nevtralni elementi za seštevanje in množenje: dodajanje ničle in množenje z ena ne spremeni izvirnega števila.

Še dve lastnosti, ki opisujeta simetrični elementi pri seštevanju in množenju je vsota nasprotnih števil enaka nič; produkt vzajemnih števil je enak ena.

Naslednja lastnost: . Če število pomnožimo z nič, bo rezultat vedno enak nič.

Zadnja lastnost, ki si jo bomo ogledali, je: .

Če število pomnožimo z, dobimo nasprotno število. Ta lastnost ima posebnost. Vseh drugih obravnavanih lastnosti ni bilo mogoče dokazati z drugimi. Isto lastnost je mogoče dokazati s prejšnjimi.

Množenje z

Dokažimo, da če število pomnožimo z , dobimo nasprotno število. Za to uporabimo lastnost distribucije: .

To velja za vse številke. Zamenjajmo in namesto številke:

Na levi v oklepaju je vsota medsebojno nasprotnih števil. Njihova vsota je nič (tako lastnost imamo). Zdaj na levi. Na desni strani dobimo: .

Sedaj imamo na levi ničlo, na desni pa vsoto dveh števil. Če pa je vsota dveh števil nič, potem sta ti števili med seboj nasprotni. Toda število ima samo eno nasprotno število: . Torej, to je to: .

Lastnost je dokazana.

Takšno lastnost, ki jo lahko dokažemo s prejšnjimi lastnostmi, imenujemo izrek

Zakaj tukaj ni lastnosti odštevanja in deljenja? Na primer, lahko bi zapisali distribucijsko lastnost za odštevanje: .

Ampak ker:

Odštevanje poljubnega števila lahko enakovredno zapišemo kot seštevanje tako, da število nadomestimo z njegovim nasprotjem:

Deljenje lahko zapišemo kot množenje z njegovo recipročno vrednostjo:

To pomeni, da lahko lastnosti seštevanja in množenja uporabimo za odštevanje in deljenje. Posledično je seznam lastnosti, ki si jih je treba zapomniti, krajši.

Vse lastnosti, ki smo jih obravnavali, niso izključno lastnosti racionalnih števil. Tudi druga števila, na primer iracionalna, upoštevajo vsa ta pravila. Na primer, vsota njegovega nasprotnega števila je nič: .

Zdaj bomo prešli na praktični del in rešili več primerov.

Racionalna števila v življenju

Tiste lastnosti predmetov, ki jih lahko kvantitativno opišemo, označimo z neko številko, imenujemo vrednosti: dolžina, teža, temperatura, količina.

Enako količino lahko označimo tako s celim kot z delnim številom, pozitivnim ali negativnim.

Na primer, vaša višina m je delno število. Lahko pa rečemo, da je enako cm - to je že celo število (slika 1).

riž. 1. Ilustracija na primer

Še en primer. Negativna temperatura na Celzijevi lestvici bo pozitiven na Kelvinovi lestvici (slika 2).

riž. 2. Ilustracija na primer

Pri gradnji stene hiše lahko ena oseba izmeri širino in višino v metrih. Proizvaja delne vrednosti. Vse nadaljnje izračune bo izvajal z ulomljenimi (racionalnimi) števili. Druga oseba lahko meri vse v številu opek v širino in višino. Ko bo prejel samo cele vrednosti, bo izvedel izračune s celimi števili.

Same količine niso niti cele niti delne, niti negativne niti pozitivne. Toda število, s katerim opišemo vrednost količine, je že precej specifično (na primer negativno in delno). Odvisno je od merilne lestvice. In ko preidemo od realnih vrednot k matematični model, potem delamo z določeno vrsto številk

Začnimo z dodajanjem. Pogoje lahko preuredimo na kakršen koli način, ki nam ustreza, dejanja pa lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu. Če se izrazi različnih znakov končajo z isto števko, je primerno, da najprej izvedete operacije z njimi. Če želite to narediti, zamenjajmo izraze. Na primer:

Navadne ulomke z enakimi imenovalci je enostavno sešteti.

Seštevek nasprotnih števil je nič. Številke z enakimi decimalnimi repi je enostavno odšteti. Z uporabo teh lastnosti in komutativnega zakona seštevanja lahko olajšate izračun vrednosti na primer naslednjega izraza:

Številke s komplementarnimi decimalnimi repi je enostavno sešteti. Priročno je ločeno delati s celimi in ulomki mešanih števil. Te lastnosti uporabljamo pri izračunu vrednosti naslednjega izraza:

Pojdimo k množenju. Obstajajo pari števil, ki jih je enostavno pomnožiti. Z uporabo komutativne lastnosti lahko faktorje preuredite tako, da so sosednji. Število minusov v izdelku lahko takoj preštejemo in sklepamo o predznaku rezultata.

Razmislite o tem primeru:

Če iz dejavnikov enako nič, potem je produkt enak nič, na primer: .

Produkt vzajemnih števil je enak ena, množenje z ena pa ne spremeni vrednosti produkta. Razmislite o tem primeru:

Poglejmo primer z uporabo lastnosti distribucije. Če odprete oklepaje, je vsako množenje preprosto.

Osnovne lastnosti operacij s števili:

Prvi dve lastnosti sta lastnosti seštevanja, naslednji dve sta lastnosti množenja. Peta lastnost velja za obe operaciji.

Lastnosti permutacije:

Preurejanje izrazov ali faktorjev ne spremeni rezultata.

Lastnosti kombinacije:, .

Seštevanje ali množenje več števil je možno v poljubnem vrstnem redu.

Distribucijska lastnost:.

Naslednji dve lastnosti opisujeta nevtralni elementi za seštevanje in množenje: dodajanje ničle in množenje z ena ne spremeni izvirnega števila.

Še dve lastnosti, ki opisujeta simetrični elementi pri seštevanju in množenju je vsota nasprotnih števil enaka nič; produkt vzajemnih števil je enak ena.

Naslednja lastnost: . Če število pomnožimo z nič, bo rezultat vedno enak nič.

Zadnja lastnost, ki si jo bomo ogledali, je: .

Če število pomnožimo z , dobimo nasprotno število. Ta lastnost ima posebnost. Vseh drugih obravnavanih lastnosti ni bilo mogoče dokazati z drugimi. Isto lastnost je mogoče dokazati s prejšnjimi.

Množenje z

Dokažimo, da če število pomnožimo z , dobimo nasprotno število. Za to uporabimo lastnost distribucije: .

To velja za vse številke. Zamenjajmo in namesto številke:

Na levi v oklepaju je vsota medsebojno nasprotnih števil. Njihova vsota je nič (tako lastnost imamo). Zdaj na levi. Na desni strani dobimo: .

Lastnost je dokazana.

Takšno lastnost, ki jo lahko dokažemo s prejšnjimi lastnostmi, imenujemo izrek

Zakaj tukaj ni lastnosti odštevanja in deljenja? Na primer, lahko bi zapisali distribucijsko lastnost za odštevanje: .

Ampak ker:

Odštevanje poljubnega števila lahko enakovredno zapišemo kot seštevanje tako, da število nadomestimo z njegovim nasprotjem:

Deljenje lahko zapišemo kot množenje z njegovo recipročno vrednostjo:

To pomeni, da lahko lastnosti seštevanja in množenja uporabimo za odštevanje in deljenje. Posledično je seznam lastnosti, ki si jih je treba zapomniti, krajši.

Zdaj bomo prešli na praktični del in rešili več primerov.

Racionalna števila v življenju

Tiste lastnosti predmetov, ki jih lahko kvantitativno opišemo, označimo z neko številko, imenujemo vrednosti: dolžina, teža, temperatura, količina.

Enako količino lahko označimo tako s celim kot z delnim številom, pozitivnim ali negativnim.

Na primer, vaša višina m je delno število. Lahko pa rečemo, da je enako cm - to je že celo število (slika 1).

riž. 1. Ilustracija na primer

Še en primer. Negativna temperatura na Celzijevi lestvici bo pozitivna na Kelvinovi lestvici (slika 2).

riž. 2. Ilustracija na primer

Same količine niso niti cele niti delne, niti negativne niti pozitivne. Toda število, s katerim opišemo vrednost količine, je že precej specifično (na primer negativno in delno). Odvisno je od merilne lestvice. In ko preidemo od realnih količin k matematičnim modelom, delamo s posebno vrsto številk

Navadne ulomke z enakimi imenovalci je enostavno sešteti.