วิธีค้นหาค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น การใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา

ในบทเรียนในหัวข้อ "การประยุกต์ใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา" งานที่ค่อนข้างง่ายจะได้รับการพิจารณาเพื่อค้นหาค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่องว่างที่กำหนด อนุพันธ์

หัวข้อ: อนุพันธ์

บทเรียน: การใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา

ในบทเรียนนี้เราพิจารณาภารกิจที่ง่ายกว่าคือช่วงเวลาที่จะตั้งค่าฟังก์ชั่นต่อเนื่องจะถูกตั้งค่าในช่วงเวลานี้ จำเป็นต้องรู้ว่าค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของที่ระบุ ฟังก์ชั่น ที่ระบุไว้ ช่องว่าง.

№ 32.1 (b) Dano:. วาดกราฟฟังก์ชั่น (ดูรูปที่ 1)

รูปที่. 1. กราฟฟังก์ชั่น

เป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชั่นนี้เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาซึ่งหมายความว่ามันจะเพิ่มขึ้นในส่วน ดังนั้นหากคุณพบค่าของฟังก์ชั่นที่จุดและข้อ จำกัด ของการเปลี่ยนฟังก์ชั่นนี้จะเป็นที่รู้จักค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจะเป็นที่รู้จัก

เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจาก 8 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากก่อนหน้านี้

ตอบ: ; .

หมายเลข 32.2 (a) ได้รับ: ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในช่วงเวลาที่กำหนด

เราสร้างกราฟของฟังก์ชั่นนี้ (ดูรูปที่ 2)

หากอาร์กิวเมนต์แตกต่างกันไปตามช่วงเวลาฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก -2 เป็น 2 หากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากนั้นฟังก์ชั่นจะลดลงจาก 2 เป็น 0

รูปที่. 2. ตารางฟังก์ชั่น

ค้นหาอนุพันธ์

, . ถ้าจากนั้นค่านี้เป็นของกลุ่มที่ระบุ ถ้าแล้ว มันง่ายต่อการตรวจสอบว่าใช้ค่าอื่น ๆ แต่จุดนิ่งที่สอดคล้องกับส่วนที่ระบุ เปรียบเทียบค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของกลุ่มและในจุดที่เลือกซึ่งอนุพันธ์เป็นศูนย์ หา

;

ตอบ: ;.

ดังนั้นคำตอบที่ได้รับ อนุพันธ์ในกรณีนี้สามารถใช้งานได้คุณไม่สามารถใช้ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชั่นที่ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้ มันไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไปบางครั้งการใช้งานของอนุพันธ์เป็นวิธีเดียวที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้

Dano:. ค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วนนี้

หากในกรณีก่อนหน้านี้เป็นไปได้ที่จะทำโดยไม่มีอนุพันธ์ - เรารู้ว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรในกรณีนี้ฟังก์ชั่นนั้นค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นวิธีการนั้นที่เรากล่าวถึงในงานก่อนหน้านี้เต็ม

1. ค้นหาอนุพันธ์ เราพบจุดสำคัญจากที่นี่ - จุดวิกฤติ พวกเขาเลือกผู้ที่เป็นของกลุ่มนี้:. เปรียบเทียบมูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุด ในการทำเช่นนี้ค้นหา

เราแสดงให้เห็นถึงผลลัพธ์ในรูป (ดูรูปที่ 3)

รูปที่. 3. ข้อ จำกัด ในการเปลี่ยนค่าของฟังก์ชั่น

เราเห็นว่าหากอาร์กิวเมนต์แตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 2 ฟังก์ชั่นแตกต่างกันไปจาก -3 ถึง 4 ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงไม่ได้เกิดขึ้นอย่างน่าเบื่อ: มันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ตอบ: ;.

ดังนั้นในสามตัวอย่างวิธีการทั่วไปในการค้นหาฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในช่วงเวลาที่แสดงในกรณีนี้ - ในกลุ่ม

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาการค้นหาค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด:

1. ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดสำคัญของฟังก์ชั่นและเลือกจุดเหล่านั้นที่อยู่ในกลุ่มที่กำหนด

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของกลุ่มและในจุดที่เลือก

4. เปรียบเทียบค่าเหล่านี้และเลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

พิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

ก่อนหน้านี้กราฟของฟังก์ชั่นนี้ได้รับการพิจารณา (ดูรูปที่ 4)

รูปที่. 4. ฟังก์ชั่นกราฟ

ในช่วงของค่าของฟังก์ชั่นนี้ . จุดเป็นจุดสูงสุด เมื่อ - ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเมื่อ - ฟังก์ชั่นลดลง จากการวาดภาพสามารถมองเห็นได้ว่า - ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นในบทเรียนงานของฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นได้รับการพิจารณาเมื่อช่วงเวลาที่ระบุคือส่วน; อัลกอริทึมสูตรสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าว

1. พีชคณิตและการวิเคราะห์เริ่มต้นเกรด 10 (ในสองส่วน) ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด A. G. Mordkovich -m.: Mnemozina, 2009

2. พีชคณิตและการวิเคราะห์เริ่มต้นเกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) คือเอ็ด A. G. Mordkovich -m.: Mnemozina, 2007

3. Vilenkin N.YA. , Ivashev-Musatov O.S. , Schwarzburg S.i. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 10 (บทช่วยสอนสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกของคณิตศาสตร์). - การศึกษา, 1996

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Schwarzburg S.i. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: ตรัสรู้, 1997

5. การรวบรวมภารกิจในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครในดิน (ed. m.i.skanavi). - M .- โรงเรียนมัธยมศึกษาปี 1992

6. Merzlyak A.G. , Polonsky V.B. , Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต - K .. ..K. , 1997

7. zvavichl, ฟัก l. ya. , พีชคณิต chinkin และการเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 8-11 cl: คู่มือสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกของคณิตศาสตร์ (วัสดุสอน) .- ม.: ลดลง, 2002

8. Sahakyan S.M. , Goldman A.M. , Denisov D.V. งานเกี่ยวกับพีชคณิตและต้นกำเนิดของการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียน 10-11 ของชั้นเรียนที่สูงขึ้นสถาบัน) .- ม.: ตรัสรู้ 2546

9. Karp A.P. คอลเลกชันของงานเกี่ยวกับพีชคณิตและการเริ่มต้นการวิเคราะห์: การศึกษา คู่มือสำหรับ 10-11 cl ด้วยถ่านหิน การวิจัย. คณิตศาสตร์. -m.: ตรัสรู้, 2549

10. Glazer G.I ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน 9-10 ชั้นเรียน (ประโยชน์สำหรับครู). -m.: การศึกษา, 1983

ทรัพยากรเว็บเพิ่มเติม

2. Patal of Natural Sciences ()

ทำให้บ้าน

№ 46.16, 46.17 (c) (พีชคณิตและการวิเคราะห์เริ่มต้นเกรด 10 (สองส่วน) งานนี้มีไว้สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด A. G. Mordkovich -m. Mnemozina, 2007. )

จากมุมมองที่ใช้งานได้จริงการใช้อนุพันธ์สำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นที่น่าสนใจที่สุด มันเชื่อมต่อกับอะไร? การเพิ่มผลกำไรสูงสุดการลดต้นทุนการกำหนดอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุดในการโหลด ... ในคำอื่น ๆ ในหลาย ๆ ด้านของชีวิตคุณต้องแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพพารามิเตอร์ใด ๆ และนี่คืองานของการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

มันควรจะสังเกตว่าค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นมักจะค้นหาในช่วงเวลาที่กำหนด x ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดของการกำหนดฟังก์ชั่นหรือส่วนของพื้นที่นิยาม ช่วงเวลา x ตัวเองสามารถเป็นเซ็กเมนต์ช่วงเวลาที่เปิด ช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในบทความนี้เราจะพูดคุยเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นที่ระบุอย่างชัดเจนของตัวแปรหนึ่งตัวแปร y \u003d f (x)

หน้าการนำทาง

ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นคือคำจำกัดความภาพประกอบ

มุ่งเน้นไปที่คำจำกัดความพื้นฐานสั้น ๆ

ค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อะไรก็ได้ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรม

ค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น y \u003d f (x) ในช่วงเวลาของการเรียก x ค่าดังกล่าว อะไรก็ได้ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างยุติธรรม

คำจำกัดความเหล่านี้ใช้งานง่าย: ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชั่นคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (ขนาดเล็ก) ในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในระหว่าง Abscissa

จุดนิ่ง - นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชั่นที่ได้รับมาถึงเป็นศูนย์

ทำไมเราถึงมีคะแนนนิ่งเมื่อค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ให้ทฤษฎีบทฟาร์ม จากทฤษฎีบทนี้มันเป็นไปตามที่ว่าฟังก์ชั่นที่แตกต่างมี oriemum (local ขั้นต่ำหรือสูงสุดในพื้นที่) ในบางจุดจากนั้นจุดนี้จะอยู่กับที่ ดังนั้นฟังก์ชั่นมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ที่ช่วงเวลา X ในหนึ่งในจุดที่อยู่กับที่อยู่กับช่องว่างนี้

นอกจากนี้บ่อยครั้งที่ฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดสามารถรับได้ที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์แรกของฟังก์ชั่นนี้และฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดเอง

ตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งในหัวข้อนี้: "คุณสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ได้เสมอหรือไม่? ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่องว่าง X ตรงกับขอบเขตของฟังก์ชั่นการกำหนดฟังก์ชั่นหรือช่วงเวลา X นั้นไม่มีที่สิ้นสุด และบางฟังก์ชั่นเกี่ยวกับอินฟินิตี้และขอบเขตของพื้นที่นิยามอาจใช้ค่าขนาดเล็กที่มีขนาดใหญ่และไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีเหล่านี้ไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

เพื่อความชัดเจนให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพวาด - และมากจะกลายเป็นชัดเจนยิ่งขึ้น

ตัด

ในรูปแบบแรกฟังก์ชั่นใช้ค่าใช้จ่ายที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด Y) และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ) ในจุดที่อยู่กับที่อยู่ภายในเซ็กเมนต์ [-6; 6]

พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปวาดที่สอง เปลี่ยนส่วนของ ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่นจะประสบความสำเร็จในจุดนิ่งและที่ใหญ่ที่สุด - ณ จุดที่มี abscissa สอดคล้องกับขอบเขตที่ถูกต้องของช่วงเวลา

รูปที่ 2 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3; 2] เป็นแผลที่จุดที่สอดคล้องกับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

เปิดช่วงเวลา

ในรูปแบบที่สี่ฟังก์ชั่นใช้ค่าใช้จ่ายที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด Y) และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ y) ในจุดที่อยู่กับที่อยู่ในช่วงเปิด (-6; 6)

ในช่วงเวลาคุณไม่สามารถสรุปได้เกี่ยวกับมูลค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

บนอินฟินิตี้

ในตัวอย่างที่นำเสนอในรูปแบบที่เจ็ดฟังก์ชั่นใช้ค่าสูงสุด (สูงสุด Y) ในจุดที่อยู่กับที่ abscissa x \u003d 1 และค่าที่เล็กที่สุด (ขั้นต่ำ y) สามารถทำได้ในขอบเขตที่เหมาะสมของช่วงเวลา ในลบอนันต์ค่าของฟังก์ชั่นจะเข้าใกล้ asymptotically เพื่อ y \u003d 3

ในช่วงเวลาฟังก์ชั่นไม่ถึงค่าที่เล็กที่สุดหรือยิ่งใหญ่ที่สุด เมื่อ x \u003d 2 มีความพยายามด้านขวาค่าของฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (ตรง x \u003d 2 เป็น asymptota แนวตั้ง) และเมื่อ abscissa มุ่งมั่นที่จะบวกกับอินฟินิตี้ค่าของ ฟังก์ชั่น Asymptotically เข้าใกล้ Y \u003d 3 ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในส่วน

เราเขียนอัลกอริทึมที่ให้คุณค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วน

1. ค้นหาฟังก์ชั่นการกำหนดฟังก์ชั่นและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
2. เราพบทุกประเด็นที่ไม่มีอนุพันธ์ครั้งแรกและมีอยู่ในกลุ่ม (โดยปกติจุดดังกล่าวจะถูกใช้ในฟังก์ชั่นที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้สัญลักษณ์ของโมดูลและในฟังก์ชั่นพลังงานที่มีตัวบ่งชี้เหตุผลที่เป็นเศษส่วน) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปที่รายการถัดไป
3. เรากำหนดจุดนิ่งทั้งหมดที่ตกลงไปในกลุ่ม สำหรับสิ่งนี้เราถือเอาไปที่ศูนย์แก้สมการที่ได้รับและเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดนิ่งหรือไม่มีใครตกอยู่ในกลุ่มจากนั้นเราหันไปหารายการถัดไป
4. คำนวณค่าของฟังก์ชั่นในจุดที่เลือกไว้ (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ครั้งแรก (ถ้ามี) เช่นเดียวกับ x \u003d a และ x \u003d b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชั่นให้เลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - พวกเขาจะเป็นค่าที่มีชื่อเสียงที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นตามลำดับ

เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมเมื่อแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วน

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

• ในกลุ่ม;
• ในกลุ่ม [-4; -1]

การตัดสินใจ

พื้นที่นิยามของฟิลด์เป็นตัวเลขที่ถูกต้องทั้งหมดยกเว้นศูนย์นั่นคือ ทั้งสองส่วนตกลงไปในพื้นที่นิยาม

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์โดย:

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นอนุพันธ์มีอยู่ในทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4; -1]

จุดนิ่งที่เรากำหนดจากสมการ รากที่ถูกต้องเท่านั้นคือ x \u003d 2 จุดนิ่งนี้เข้าสู่เซ็กเมนต์แรก

สำหรับกรณีแรกให้คำนวณค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของกลุ่มและในจุดที่อยู่กับที่อยู่ที่ x \u003d 1, x \u003d 2 และ x \u003d 4:

ดังนั้นคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ทำได้ที่ x \u003d 1 และค่าที่เล็กที่สุด - ที่ x \u003d 2

สำหรับกรณีที่สองคำนวณค่าของฟังก์ชั่นเฉพาะที่ปลายของเซกเมนต์ [-4; -1] (เนื่องจากไม่มีจุดนิ่ง):

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มมีลักษณะคล้ายกับการปรับใช้วัตถุที่น่าตื่นเต้นของวัตถุ (กราฟิกของฟังก์ชั่น) โดยเฮลิคอปเตอร์ที่มีการปอกเปลือกจากปืนใหญ่ระยะยาวของจุดหนึ่งและจุดเลือกของประเด็นเหล่านี้ คะแนนพิเศษทั้งหมดสำหรับการควบคุมภาพ คะแนนจะถูกเลือกในบางวิธีและตามกฎเฉพาะ โดยกฎอะไร เราจะยังคงพูดถึงมัน

หากฟังก์ชั่น y. = f.(เอ็กซ์) ต่อเนื่องในส่วนของ [ ก., b.] จากนั้นเธอก็ถึงเซ็กเมนต์นี้ ที่เล็กที่สุด และ ความหมายที่ยิ่งใหญ่ที่สุด . มันสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดยอด หรือที่ปลายส่วน ดังนั้นเพื่อค้นหา ที่เล็กที่สุด และ ค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ต่อเนื่องในส่วนของ [ ก., b.] คุณต้องคำนวณค่าของมันในทั้งหมด ประเด็นสำคัญ และที่ปลายของส่วนแล้วเลือกจากพวกเขาที่เล็กที่สุดและมากที่สุด

ยกตัวอย่างเช่นจำเป็นต้องมีการกำหนดค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) ในส่วน [ ก., b.. ในการทำเช่นนี้ค้นหาจุดสำคัญทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก., b.] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นถูกกำหนด , และเธอ อนุพันธ์ เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชั่นที่จุดวิกฤติ และในที่สุดก็ควรเปรียบเทียบกับมูลค่าของฟังก์ชั่นที่จุดวิกฤติและที่ปลายส่วนของส่วน ( f.(ก.) ผม. f.(b.). ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้จะ มูลค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่ม [ก., b.] .

ในทำนองเดียวกันงานได้รับการแก้ไข ค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น .

เรากำลังมองหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของการทำงานร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด [-1, 2] .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้ เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ () และเราได้รับสองจุดสำคัญ: และ ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วนที่กำหนดมันจะพอเพียงในการคำนวณค่าของมันในส่วนของส่วนและที่จุดเนื่องจากจุดไม่ได้เป็นของกลุ่ม [-1, 2 . ค่าฟังก์ชั่นเหล่านี้มีดังนี้: ,,, มันตามมาว่า ความหมายที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่น (บนแผนภูมิด้านล่างที่กำหนดสีแดง) เท่ากับ -7 สามารถทำได้ทางด้านขวาของส่วน - ณ จุดและ มากที่สุด (ยังเป็นสีแดงในตาราง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

หากฟังก์ชั่นต่อเนื่องในบางช่วงเวลาและช่องว่างนี้ไม่ได้เป็นส่วน (A, ตัวอย่าง, ช่วงเวลา; ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและกลุ่ม: จุดขอบเขตของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาและจุดขอบเขต ส่วนของส่วนเป็นส่วนหนึ่งของส่วน) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชั่นอาจไม่น้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่ปรากฎในรูปด้านล่างต่อเนื่องบน] -∞, + ∞ [และไม่มีค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

อย่างไรก็ตามสำหรับช่วงเวลาใด ๆ (ปิดเปิดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชั่นต่อเนื่องนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4. ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด [-1, 3] .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็นอนุพันธ์ส่วนตัว:

.

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ซึ่งให้เราหนึ่งจุดวิกฤติ:. มันเป็นของส่วน [-1, 3] ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

เปรียบเทียบค่าเหล่านี้ สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับ 1 ณ จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของการทำงานร่วมกัน

มีครูที่อยู่ในหัวข้อของการค้นหาคุณค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นอย่าให้นักเรียนแก้ตัวอย่างยากกว่าที่พิจารณานั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชั่นที่เป็นพหุนามหรือเศษส่วนตัวเลข และตัวหารที่เป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด เพียงตัวอย่างดังกล่าวเพราะในหมู่ครูมีคู่รักที่จะบังคับให้นักเรียนคิดอย่างเต็มรูปแบบ (อนุพันธ์ของตาราง) ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติจะเข้าสู่หลักสูตร

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและค่านิยมที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็น งานอนุพันธ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ของศูนย์ซึ่งให้จุดสำคัญหนึ่งจุด:. มันเป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชั่นถึงค่าที่เล็กที่สุดเท่ากับ 0 ณ จุดและ ณ จุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากัน อี.² ณ จุด

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น ตัด .

การตัดสินใจ เราพบว่าอนุพันธ์ของคุณสมบัตินี้:

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์:

จุดสำคัญเพียงอย่างเดียวเป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นในกลุ่มที่กำหนดเราพบค่าของมันที่ปลายส่วนและที่จุดวิกฤติที่พบ:

เอาท์พุท: ฟังก์ชั่นถึงค่าที่เล็กที่สุดเท่ากับจุดและ ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับจุด

ในการใช้งานที่รุนแรงการค้นหาค่าฟังก์ชั่นที่เล็กที่สุด (ใหญ่ที่สุด) ตามกฎจะลดลงเพื่อค้นหาขั้นต่ำ (สูงสุด) แต่ความสนใจในทางปฏิบัติมากขึ้นไม่ใช่ Minima หรือ Maxima แต่ค่าเหล่านั้นของอาร์กิวเมนต์ที่พวกเขาประสบความสำเร็จ เมื่อแก้ไขงานที่ใช้ความยากลำบากเพิ่มเติมเกิดขึ้น - วาดฟังก์ชั่นที่อธิบายถึงปรากฏการณ์ภายใต้การพิจารณาหรือกระบวนการ

ตัวอย่างที่ 8ถังของความจุ 4 มีขนานกับฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปิดจากด้านบนต้องเกิดจากดีบุก ขนาดของอ่างเก็บน้ำมีขนาดเล็กที่สุดเท่าใดวัสดุที่เล็กที่สุดควรอยู่บนหน้าปก?

การตัดสินใจ อนุญาต เอ็กซ์ - ด้านข้างของรากฐาน เอช. - ความสูงของถัง S. - พื้นที่ของพื้นผิวที่ไม่มีฝาปิด V. - ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำแสดงโดยสูตร I.e. มันเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดง S. เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรหนึ่งเราใช้สิ่งที่อยู่ที่ไหน แทนที่รากฐานที่พบ เอช. ในสูตรสำหรับ S.:

เราสำรวจคุณสมบัตินี้ใน Extremum มันถูกกำหนดและแตกต่างทุกที่ใน] 0, + ∞ [และ

.

เราถือเอาศูนย์อนุพันธ์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้อนุพันธ์ไม่มีอยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในพื้นที่นิยามดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดยอด ดังนั้นจุดสำคัญเพียงอย่างเดียว ตรวจสอบการปรากฏตัวของ Extremum โดยใช้คุณสมบัติที่เพียงพอที่สอง ค้นหาอนุพันธ์ที่สอง ด้วยอนุพันธ์ที่สองเพิ่มเติมศูนย์ () หมายความว่าฟังก์ชั่นถึงขั้นต่ำ . ตั้งแต่นี้ ขั้นต่ำ - สุดยอดของฟังก์ชั่นนี้เขาเป็นความหมายที่เล็กที่สุด. ดังนั้นด้านข้างของฐานของอ่างเก็บน้ำจะต้องเป็น 2 เมตรและความสูง

ตัวอย่างที่ 9จากวรรค ก.บนเส้นทางรถไฟจุด จากชำระจากมันในระยะไกล l.ต้องจัดส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายของน้ำหนักของน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยรางเท่ากับและบนทางหลวงมันเท่ากัน ถึงจุดใด เอ็ม ควรดำเนินการทางรถไฟสายเพื่อขนส่งสินค้าจาก แต่ ใน จาก เป็นที่ประหยัดที่สุด (พล็อต ฿ รถไฟสันนิษฐานว่าตรงไปตรงมา)?

ฟังก์ชั่น extremum คืออะไรและเงื่อนไข ormorma ที่จำเป็นคืออะไร?

ฟังก์ชั่น Extreme เรียกว่าการทำงานสูงสุดและขั้นต่ำ

ข้อกำหนดเบื้องต้นของฟังก์ชั่นสูงสุดและขั้นต่ำ (extremum) มีดังนี้: หากฟังก์ชั่น F (x) มี extremum ที่จุด x \u003d a จากนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่

เงื่อนไขนี้เป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ อนุพันธ์ที่จุด x \u003d หรือสามารถติดต่อศูนย์ในแบบไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่โดยไม่มีฟังก์ชั่นที่จะมี extremum ณ จุดนี้

ฟังก์ชั่น Extremum เพียงพอ (สูงสุดหรือขั้นต่ำ) คืออะไร?

เงื่อนไขแรก:

หากอยู่ในความใกล้ชิดเพียงพอที่จะชี้ x \u003d อนุพันธ์ F? (x) เป็นบวกกับด้านซ้ายของ A และลบไปทางขวาของ A จากนั้นที่จุด X \u003d และฟังก์ชั่น F (x) มี ขีดสุด

หากอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด X \u003d และอนุพันธ์ F? (x) เป็นลบจากด้านซ้ายของ A และบวกไปทางขวาของ A จากนั้นที่จุดตัวเอง x \u003d และฟังก์ชั่น F (x) มี ขั้นต่ำ มีให้ฟังก์ชัน F (x) ต่อเนื่องที่นี่

แต่คุณสามารถใช้เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองสำหรับฟังก์ชั่น Extremum:

ให้ที่ Point X \u003d อนุพันธ์แรก F? (x) หมายถึงศูนย์; หากอนุพันธ์ที่สอง f ?? (a) เป็นลบจากนั้นฟังก์ชั่น F (x) มีที่จุด x \u003d สูงสุดหากเป็นบวกน้อยที่สุด

ฟังก์ชั่นจุดวิกฤติคืออะไรและวิธีการหามันคืออะไร?

นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชั่นที่ฟังก์ชั่นมี extremum (I.e. สูงสุดหรือขั้นต่ำ) เพื่อค้นหาคุณต้องการ หาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่น f? (x) และเท่ากับศูนย์ แก้สมการ f? (x) \u003d 0. รากของสมการนี้รวมถึงจุดที่ไม่มีการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นนี้เป็นจุดสำคัญเช่นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ oriemum อาจเป็น สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยดู กราฟอนุพันธ์: เรามีความสนใจในค่านิยมเหล่านั้นของการโต้แย้งซึ่งกราฟของฟังก์ชั่นข้าม Abscissa Axis (OH Axis) และที่ซึ่งกราฟทนต่อการหยุดพัก

ตัวอย่างเช่นค้นหา parabolla Extreme.

ฟังก์ชั่น y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50

ฟังก์ชั่นที่ได้รับ: y? (x) \u003d 6x + 2

เราแก้สมการ: y? (x) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

ในกรณีนี้จุดวิกฤติคือ x0 \u003d -1 / 3 มันอยู่กับความหมายของการโต้แย้งว่าฟังก์ชั่นมี สุดยอด. ดังนั้น การค้นหาเราแทนที่การแสดงออกสำหรับฟังก์ชั่นแทน "x" จำนวนที่พบ:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333

วิธีการกำหนดฟังก์ชันสูงสุดและขั้นต่ำของฟังก์ชั่น I.e. ความหมายที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของเธอ?

หากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านจุดวิกฤติ x0 กำลังเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จากนั้น x0 คือ จุดสูงสุด; หากสัญลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมายลบบนบวก X0 คือ จุดต่ำสุด; หากเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลงแล้วที่จุด x0 ไม่มีค่าสูงสุดไม่มีขั้นต่ำ

สำหรับตัวอย่างการพิจารณา:

เราใช้ค่าการโต้แย้งทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: X \u003d -1

ที่ x \u003d -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็นอย่างไร (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (นั่นคือเครื่องหมายคือ "ลบ")

ตอนนี้ใช้มูลค่าโดยพลการของการโต้แย้งทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: X \u003d 1

ที่ x \u003d 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (I.e. เครื่องหมายคือ "บวก")

อย่างที่เราเห็นอนุพันธ์ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านจุดวิกฤติเปลี่ยนเครื่องหมายด้วยลบในข้อดี ดังนั้นด้วยค่าวิกฤต X0 เรามีจุดต่ำสุด

ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น ที่ช่วงเวลา (ในกลุ่ม) พบได้ตามขั้นตอนเดียวกันเพียงคำนึงถึงความจริงที่ว่าบางทีอาจไม่ใช่จุดวิกฤติทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด จุดวิกฤติที่สำคัญสำหรับช่วงเวลาที่ต้องพิจารณาจากการพิจารณา หากเพียงหนึ่งจุดสำคัญอยู่ในช่วงเวลา - มันจะเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกรณีนี้เพื่อกำหนดค่าฟังก์ชั่นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดเรายังคำนึงถึงค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของช่วงเวลา

ตัวอย่างเช่นค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5X

ในช่วงเวลา:

ดังนั้นฟังก์ชั่นที่ได้รับมา -

y? (x) \u003d 3cos (x) - 0.5

เราแก้สมการ 3cos (x) - 0.5 \u003d 0

cos (x) \u003d 0.5 / 3 \u003d 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk

เราพบจุดสำคัญในช่วงเวลา [-9; เก้า]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา)

x \u003d -Craccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -Craccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา)

เราพบค่าของฟังก์ชั่นในค่าที่สำคัญของอาร์กิวเมนต์:

y (-7,687) \u003d 3cos (-7,687) - 0.5 \u003d 0,885

y (-4.88) \u003d 3cos (-4,88) - 0.5 \u003d 5,398

y (-1,403) \u003d 3cos (-1,403) - 0.5 \u003d -2,256

y (1.403) \u003d 3cos (1.403) - 0.5 \u003d 2,256

y (4,88) \u003d 3cos (4,88) - 0.5 \u003d -5,398

y (7,687) \u003d 3cos (7,687) - 0.5 \u003d -0,885

มันสามารถเห็นได้ว่าในช่วงเวลา [-9; 9] ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่นมีที่ x \u003d -4.88:

x \u003d -4.88, y \u003d 5,398

และเล็กที่สุด - ที่ x \u003d 4.88:

x \u003d 4.88, y \u003d -5,398

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีเพียงหนึ่งจุดสำคัญ: x \u003d -4.88 ค่าของฟังก์ชั่นที่ x \u003d -4.88 เท่ากับ y \u003d 5,398

เราค้นหาค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของช่วงเวลา:

y (-6) \u003d 3cos (-6) - 0.5 \u003d 3,838

y (-3) \u003d 3cos (-3) - 0.5 \u003d 1,077

ในช่วงเวลา [-6; -3] มีค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชั่น

y \u003d 5,398 ที่ x \u003d -4.88

ค่าที่เล็กที่สุดคือ

y \u003d 1,077 ที่ x \u003d -3

วิธีการค้นหาฟังก์ชั่นกราฟิกการทำให้การทำให้การติดเชื้อและกำหนดคู่กรณีของกระพุ้งและเว้า?

ในการค้นหาจุดกะพริบทั้งหมดของบรรทัด y \u003d f (x) มีความจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ที่สองเพื่อเปรียบเสมือนเป็นศูนย์ (แก้สมการ) และสัมผัสกับค่าเหล่านั้นทั้งหมด x ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่สองเป็นศูนย์ ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่ หากในระหว่างการเปลี่ยนแปลงผ่านหนึ่งในค่าเหล่านี้อนุพันธ์ที่สองจะเปลี่ยนสัญญาณจากนั้นกราฟฟังก์ชั่นมีที่จุดนี้ ถ้ามันไม่เปลี่ยนแปลงแล้วการผันไม่ได้

สมการราก f? (x) \u003d 0 เช่นเดียวกับจุดที่เป็นไปได้ของการทำลายฟังก์ชั่นและอนุพันธ์อันดับสองแบ่งพื้นที่ของการกำหนดฟังก์ชั่นเป็นจำนวนช่วงเวลา กระพุ้งที่แต่ละช่วงเวลาของพวกเขาจะถูกกำหนดโดยสัญญาณของอนุพันธ์ที่สอง หากอนุพันธ์ที่สองที่จุดในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการศึกษาเป็นไปในเชิงบวกจากนั้นบรรทัด y \u003d f (x) กำลังเผชิญอยู่ที่นี่เว้าขึ้นไปและถ้าลบเป็นหนังสือ

วิธีการค้นหา Extremums ของสองตัวแปร?

ในการค้นหาฟังก์ชั่นสุดขีด F (x, y), แตกต่างในพื้นที่ของงานที่คุณต้องการ:

1) ค้นหาจุดสำคัญและสำหรับสิ่งนี้ - แก้ปัญหาระบบของสมการ

fx? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0

2) สำหรับแต่ละจุดวิกฤติ P0 (a; b) เพื่อสำรวจว่าเครื่องหมายแตกต่างยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่

สำหรับคะแนนทั้งหมด (x; y), ใกล้กับ P0 หากความแตกต่างยังคงเป็นเครื่องหมายบวกที่จุด P0 เรามีขั้นต่ำหากลบคือสูงสุด หากความแตกต่างไม่สามารถบันทึกสัญลักษณ์แล้วไม่มี oriemum ที่ P0

ในทำนองเดียวกัน Extremums ของฟังก์ชั่นที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์จำนวนมากขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชั่น y \u003d.f. (x) ต่อเนื่องในส่วนของ [ a, B. ตามที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชั่นนี้ในส่วนนี้จะถึงค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด คุณลักษณะค่าเหล่านี้สามารถใช้ในจุดภายในของเซกเมนต์ [ a, B] ทั้งบนขอบของส่วน

ในการค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่นในส่วนของ [ a, B] จำเป็น:

1) ค้นหาฟังก์ชันจุดสำคัญในช่วงเวลา ( a, B);

2) คำนวณค่าของฟังก์ชั่นในจุดสำคัญที่พบ;

3) คำนวณค่าของฟังก์ชั่นที่ปลายของส่วนนั้นคือเมื่อ เอ็กซ์= แต่ และ x \u003d B.;

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชั่นเพื่อเลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชั่น

ในกลุ่ม

เราพบจุดสำคัญ:

จุดเหล่านี้อยู่ในกลุ่ม; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

ที่จุด เอ็กซ์\u003d 3 และที่จุด เอ็กซ์= 0.

การสอบสวนของฟังก์ชั่นเพื่อกระพุ้งและจุดผัน

ฟังก์ชั่น y. = f. (เอ็กซ์) เรียกว่า อาคาร ที่ช่วงเวลา (ก., b.) หากกำหนดการอยู่ภายใต้การแทนเจนต์ใช้เวลาในจุดใดก็ได้ของช่องว่างนี้และเรียกว่า นูนลง (เว้า)หากตารางเวลาอยู่ที่สัมผัสกัน

ประเด็นเมื่อเปลี่ยนไปซึ่งโป่งถูกแทนที่ด้วยคอนกรีตหรือในทางกลับกันเรียกว่า จุดงัน.

อัลกอริทึมสำหรับการวิจัยเกี่ยวกับกระพุ้งและจุดผัน:

1. ค้นหาจุดสำคัญของชนิดที่สองนั่นคือคะแนนที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่

2. ใช้จุดสำคัญกับตัวเลขที่ตรงไปตรงมาทำลายเข้าไปในช่องว่าง ค้นหาสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ที่สองในแต่ละช่วงเวลา; หากฟังก์ชั่นกำลังนูนขึ้นหากฟังก์ชั่นถูกวางนูนลง

3. หากเมื่อเปลี่ยนไปที่จุดวิกฤติของชนิดที่สองจะเปลี่ยนเครื่องหมายและ ณ จุดนี้อนุพันธ์ที่สองคือศูนย์ดังนั้นจุดนี้คือ abscissa ของจุดประกาย พบว่าเธอคาดการณ์

กราฟิกกราฟ asymptotes ฟังก์ชั่นการวิจัยเกี่ยวกับ asymptotes

นิยามฟังก์ชั่นกราฟิก Asymptota เรียกว่า ตรงการมีอสังหาริมทรัพย์ที่ระยะห่างจากจุดใด ๆ ของตารางไปจนถึงตรงนี้คือการดิ้นรนเป็นศูนย์ด้วยการลบจุดกำหนดเวลาไม่ จำกัด จากจุดกำเนิด

asymptotes มีสามประเภท: แนวตั้งแนวนอนและเอียง

นิยาม เรียกโดยตรง แนวตั้ง Asimptotaฟังก์ชั่นกราฟิก y \u003d f (x)หากอย่างน้อยหนึ่งข้อ จำกัด ด้านเดียวของฟังก์ชั่น ณ จุดนี้คืออินฟินิตี้นั่นคือ

จุดที่จะทำลายฟังก์ชั่นนั่นคือเป็นของพื้นที่นิยาม

ตัวอย่าง.

d ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

เอ็กซ์\u003d 2 - จุด Gap

นิยามตรง y \u003d.ก. เรียกว่า asymptota แนวนอน ฟังก์ชั่นกราฟิก y \u003d f (x) เมื่อถ้า

ตัวอย่าง.

เอ็กซ์
y.

นิยามตรง y \u003d.เค.x +b. (เค.≠ 0) เรียกว่า asymptoto เอียง ฟังก์ชั่นกราฟิก y \u003d f (x) ที่ไหน

โครงการทั่วไปสำหรับการวิจัยฟังก์ชั่นและสร้างกราฟ

อัลกอริทึมการวิจัยฟังก์ชั่นy \u003d f (x) :

1. ค้นหาพื้นที่นิยามฟิลด์ D. (y.).

2. ค้นหา (ถ้าเป็นไปได้) จุดตัดของกราฟด้วยแกนของพิกัด (เมื่อ เอ็กซ์ \u003d 0 และ y. = 0).

3. สำรวจความเท่าเทียมกันและความแปลกประหลาดของฟังก์ชั่น ( y. (‒ เอ็กซ์) = y. (เอ็กซ์) ‒ ความเท่าเทียมกัน; y.(‒ เอ็กซ์) = ‒ y. (เอ็กซ์) ‒ ความแม่นยำ)

4. ค้นหา asymptotes ของกราฟิกฟังก์ชั่น

5. ค้นหาช่วงเวลาที่น่าเบื่อของฟังก์ชั่น

6. ค้นหาฟังก์ชั่นที่รุนแรง

7. ค้นหาช่วงเวลาของการนูน (concavity) และจุดงอของกราฟิกของฟังก์ชั่น

8. ขึ้นอยู่กับการศึกษาที่ดำเนินการเพื่อสร้างตารางงาน

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชั่นและสร้างตารางเวลา

1) D. (y.) =

เอ็กซ์ \u003d 4 - จุด Gap

2) สำหรับ เอ็กซ์ = 0,

(0; - 5) - จุดตัดด้วย oy..

สำหรับ y. = 0,

3) y.(‒ เอ็กซ์)= ฟังก์ชั่นของแบบฟอร์มทั่วไป (ทั้งคู่หรือคี่)

4) การสำรวจ asymptotes

a) แนวตั้ง

b) แนวนอน

c) เราพบว่า asymptotes เอียงที่

-evillation ของ asymptotes เอียง

5) สมการนี้ไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นเรื่องความน่าเบื่อ

6)

จุดสำคัญเหล่านี้แบ่งการทำงานทั้งหมดของการกำหนดฟังก์ชั่นในช่วงเวลา (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) และ (10; + ∞) ผลลัพธ์ที่ได้รับจะถูกส่งไปอย่างสะดวกในรูปแบบของตารางต่อไปนี้