คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวน วิธีการลบแบบตรรกยะ การบวกและการลบจำนวนตรรกยะ

จากนั้น a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c

การบวกศูนย์จะไม่เปลี่ยนตัวเลข แต่ผลรวมของตัวเลขตรงข้ามจะเป็นศูนย์

ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เรามี: a + 0 = a, a + (- a) = 0

การคูณจำนวนตรรกยะยังมีคุณสมบัติสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงอีกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ แล้ว ab - ba, a(bc) - (ab)c

การคูณด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนจำนวนตรรกยะ แต่ผลคูณของตัวเลขและค่าผกผันจะเท่ากับ 1

ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ a เรามี:

ก) x + 8 - x - 22; ค) am + 7-8+m;
ข) -x-a + 12+a -12; ง) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p

1190 เมื่อเลือกขั้นตอนการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1191. จงกำหนดคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ ab = ba ด้วยคำพูด แล้วตรวจสอบเมื่อ:

1192. จงกำหนดคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ a(bc)=(ab)c ด้วยคำพูด และตรวจสอบเมื่อ:

1193 การเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกค้นหาค่าของนิพจน์:

1194. คุณจะได้เลขอะไร (บวกหรือลบ) ถ้าคุณคูณ:

ก) จำนวนลบหนึ่งจำนวนและจำนวนบวกสองตัว
b) จำนวนลบสองตัวและจำนวนบวกหนึ่งจำนวน
c) จำนวนลบ 7 จำนวนและจำนวนบวกหลายจำนวน
d) 20 ค่าลบและค่าบวกหลายค่า? วาดข้อสรุป

1195. กำหนดสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์:

ก) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
ข) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

ก) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha และ Maxim รวมตัวกันในโรงยิม (รูปที่ 91, a) ปรากฎว่าเด็กชายแต่ละคนรู้จักอีกสองคนเท่านั้น ใครรู้จักบ้างคะ? (ขอบของกราฟหมายถึง “เรารู้จักกัน”)

b) พี่น้องของครอบครัวหนึ่งกำลังเดินอยู่ในสนาม เด็กคนไหนเป็นเด็กผู้ชายและผู้หญิงคนไหน (รูปที่ 91, b)? (ขอบเส้นประของกราฟหมายถึง “ฉันเป็นน้องสาว” และเส้นทึบหมายถึง “ฉันเป็นพี่ชาย”)

1205. คำนวณ:

1206. เปรียบเทียบ:

ก) 2 3 และ 3 2; ข) (-2) 3 และ (-3) 2; ค) 1 3 และ 1 2; ง) (-1) 3 และ (-1) 2.

1207. รอบที่ 5.2853 ถึงหนึ่งในพัน; ก่อน หนึ่งในร้อย; มากถึงสิบ; จนถึงหน่วย

1208. แก้ไขปัญหา:

1) ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์ไล่ตามนักปั่นจักรยาน ขณะนี้อยู่ระหว่าง 23.4 กม. ความเร็วของผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์คือ 3.6 เท่าของความเร็วของผู้ขับขี่จักรยานยนต์ จงหาความเร็วของนักปั่นจักรยานและผู้ขับขี่จักรยานยนต์ ถ้ารู้ว่าผู้ขับขี่จะตามทันในหนึ่งชั่วโมง
2) รถยนต์กำลังแซงรถบัส ขณะนี้มีระยะทาง 18 กม. ระหว่างพวกเขา ความเร็วของรถบัสเท่ากับความเร็วของรถยนต์นั่งส่วนบุคคล จงหาความเร็วของรถบัสและรถถ้ารู้ว่ารถจะวิ่งทันรถบัสภายในหนึ่งชั่วโมง

1209. ค้นหาความหมายของสำนวน:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

ตรวจสอบการคำนวณของคุณด้วย เครื่องคิดเลขไมโคร.
1210 เมื่อเลือกลำดับการคำนวณที่สะดวกแล้ว ให้ค้นหาค่าของนิพจน์:

1211. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

1212. ค้นหาความหมายของสำนวน:

1213. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

พ.ศ. 1214 นักศึกษาได้รับมอบหมายให้เก็บเศษเหล็กจำนวน 2.5 ตัน พวกเขารวบรวมเศษโลหะได้ 3.2 ตัน นักเรียนทำภารกิจสำเร็จกี่เปอร์เซ็นต์ และทำสำเร็จได้กี่เปอร์เซ็นต์

1215 รถวิ่งไปแล้ว 240 กม. เธอเดินไปตามถนนในชนบทระยะทาง 180 กม. และเส้นทางที่เหลือไปตามทางหลวง ปริมาณการใช้น้ำมันเบนซินทุกๆ 10 กม. ของถนนในชนบทคือ 1.6 ลิตรและบนทางหลวง - น้อยกว่า 25% มีการใช้น้ำมันเบนซินโดยเฉลี่ยกี่ลิตรต่อการเดินทางทุกๆ 10 กม.

พ.ศ. 1216 นักปั่นจักรยานออกจากหมู่บ้านสังเกตเห็นคนเดินถนนบนสะพานเดินไปในทิศทางเดียวกันจึงตามทันอีก 12 นาทีต่อมา จงหาความเร็วของคนเดินเท้า ถ้าความเร็วของนักปั่นจักรยานคือ 15 กม./ชม. และระยะทางจากหมู่บ้านถึงสะพานคือ 1 กม. 800 ม.?

1217. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ก) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
ข) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
ค) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5)

ดังที่คุณทราบ ผู้คนเริ่มคุ้นเคยกับจำนวนตรรกยะทีละน้อย ในตอนแรก เมื่อนับวัตถุ จำนวนธรรมชาติก็เกิดขึ้น ในตอนแรกมีเพียงไม่กี่คน ดังนั้นจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ชาวพื้นเมืองของหมู่เกาะในช่องแคบทอร์เรส (แยกนิวกินีออกจากออสเตรเลีย) จึงมีชื่อในภาษาของพวกเขาเพียงสองตัวเลข: "urapun" (หนึ่ง) และ "okaz" (สอง) ชาวเกาะนับดังนี้: “โอกาซาอุราปุน” (สาม), “โอกาซา-โอกาซา” (สี่) ฯลฯ ชาวพื้นเมืองเรียกเลขทั้งหมดโดยเริ่มจากเจ็ด โดยคำว่า “มากมาย”

นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าคำว่าร้อยปรากฏเมื่อกว่า 7,000 ปีที่แล้วเมื่อหนึ่งพัน - 6,000 ปีก่อนและ 5,000 ปีที่แล้วในอียิปต์โบราณและบาบิโลนโบราณชื่อของจำนวนมาก - มากถึงหนึ่งล้าน - ปรากฏขึ้น แต่เป็นเวลานานที่อนุกรมของตัวเลขตามธรรมชาติถือเป็นจำนวนจำกัด ผู้คนคิดว่ามีจำนวนมากที่สุด

อาร์คิมีดีส นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวกรีกโบราณที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) คิดค้นวิธีอธิบายจำนวนมหาศาลได้ ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่อาร์คิมิดีสสามารถตั้งชื่อได้นั้นใหญ่มากจนในการบันทึกแบบดิจิทัลจะต้องใช้เทปยาวกว่าระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองเท่า

แต่พวกเขายังไม่สามารถเขียนจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้หลังจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 6 เท่านั้น เลขศูนย์ถูกประดิษฐ์ขึ้นและเริ่มแสดงว่าไม่มีหน่วยอยู่ในตำแหน่งทศนิยมของตัวเลข

เมื่อแบ่งของที่ริบและต่อมาเมื่อวัดปริมาณและในกรณีอื่น ๆ ที่คล้ายคลึงกัน ผู้คนพบว่าจำเป็นต้องแนะนำ "ตัวเลขที่หัก" - เศษส่วนธรรมดา การดำเนินการกับเศษส่วนถือเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในยุคกลาง จนถึงทุกวันนี้ ชาวเยอรมันพูดถึงบุคคลที่พบว่าตัวเองตกอยู่ในสถานการณ์ที่ยากลำบากว่าเขา "แตกเป็นเสี่ยง"

เพื่อให้ง่ายต่อการทำงานกับเศษส่วน จึงมีการประดิษฐ์ทศนิยมขึ้นมา เศษส่วน. ในยุโรปมีการแนะนำผลิตภัณฑ์นี้ใน X585 โดย Simon Stevin นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวดัตช์

จำนวนลบปรากฏช้ากว่าเศษส่วน เป็นเวลานานที่ตัวเลขดังกล่าวถูกพิจารณาว่า "ไม่มีอยู่จริง", "เท็จ" สาเหตุหลักมาจากความจริงที่ว่าการตีความที่ยอมรับสำหรับตัวเลขบวกและลบ "ทรัพย์สิน - หนี้" ทำให้เกิดความสับสน: คุณสามารถเพิ่มหรือลบ "ทรัพย์สิน" หรือ “หนี้” แต่เข้าใจงานหรือ “ทรัพย์สิน” และ “หนี้” ส่วนตัวอย่างไร?

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีข้อสงสัยและความสับสนดังกล่าว แต่ก็มีการเสนอกฎสำหรับการคูณและหารจำนวนบวกและลบในศตวรรษที่ 3 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ไดโอแฟนทัส (ในรูปแบบ: "สิ่งที่ถูกลบคูณด้วยสิ่งที่ถูกบวกให้สิ่งที่ถูกหักล้างสิ่งที่ถูกลบด้วยสิ่งที่ถูกหักล้างจะให้สิ่งที่ถูกบวก" เป็นต้น) และต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Bhaskar (ศตวรรษที่ 12) แสดงกฎเดียวกันในแนวคิดเรื่อง "ทรัพย์สิน" "หนี้" ("ผลคูณของทรัพย์สินสองรายการหรือหนี้สองรายการคือทรัพย์สิน ผลคูณของทรัพย์สินและหนี้คือหนี้" กฎเดียวกันนี้ใช้กับการแบ่ง)

พบว่าคุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนลบจะเหมือนกับคุณสมบัติของจำนวนบวก (เช่น การบวกและการคูณ มีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน) และท้ายที่สุด ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ผ่านมา จำนวนลบก็เท่ากับจำนวนบวก

ต่อมาตัวเลขใหม่ปรากฏในคณิตศาสตร์ - ไม่ลงตัว, ซับซ้อนและอื่น ๆ คุณเรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาในโรงเรียนมัธยม

N.Ya.Vilenkin, A.S. เชสโนคอฟ, S.I. Shvartsburg, V.I. Zhokhov, คณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6, หนังสือเรียนสำหรับโรงเรียนมัธยม

หนังสือและตำราเรียนตามแผนปฏิทินสำหรับการดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ช่วยเหลือสำหรับเด็กนักเรียนออนไลน์

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธี โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

แนวคิดเรื่องตัวเลขหมายถึงนามธรรมที่แสดงลักษณะของวัตถุจากมุมมองเชิงปริมาณ แม้แต่ในสังคมดึกดำบรรพ์ ผู้คนก็ยังจำเป็นต้องนับสิ่งของ ดังนั้นสัญลักษณ์ตัวเลขจึงปรากฏขึ้น ต่อมาพวกเขากลายเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์

ในการทำงานกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ก่อนอื่นต้องจินตนาการว่ามีตัวเลขประเภทใด ตัวเลขหลักมีหลายประเภท นี้:

1. ธรรมชาติ - สิ่งที่เราได้รับเมื่อนับวัตถุ (การนับตามธรรมชาติ) ชุดของพวกเขาแสดงโดย N.

2. จำนวนเต็ม (เซตของพวกมันแสดงด้วยตัวอักษร Z) ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม จำนวนเต็มลบ และศูนย์

3. จำนวนตรรกยะ (ตัวอักษร Q) สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยมีตัวเศษเท่ากับจำนวนเต็ม และตัวส่วนเท่ากับจำนวนธรรมชาติ ทั้งหมดล้วนสมบูรณ์และจัดอยู่ในประเภทเหตุผล

4. จริง (กำหนดด้วยตัวอักษร R) ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ได้รับจากจำนวนตรรกยะผ่านการดำเนินการต่างๆ (คำนวณลอการิทึม การแยกราก) แต่ตัวมันเองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

ดังนั้น ชุดใดชุดหนึ่งในรายการจึงเป็นชุดย่อยของชุดต่อไปนี้ วิทยานิพนธ์นี้แสดงเป็นแผนภาพในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า วงกลมออยเลอร์ การออกแบบประกอบด้วยวงรีที่มีศูนย์กลางหลายวง ซึ่งแต่ละอันตั้งอยู่ภายในอีกวงหนึ่ง วงรีด้านในที่เล็กที่สุด (พื้นที่) แสดงถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ มันถูกรวมไว้อย่างสมบูรณ์และรวมถึงบริเวณที่เป็นสัญลักษณ์ของชุดจำนวนเต็ม ซึ่งในทางกลับกันก็อยู่ภายในขอบเขตของจำนวนตรรกยะ วงรีด้านนอกที่ใหญ่ที่สุดซึ่งรวมถึงวงรีอื่นๆ ทั้งหมด แสดงถึงอาร์เรย์

ในบทความนี้ เราจะดูชุดของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติ และคุณลักษณะต่างๆ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวเลขที่มีอยู่ทั้งหมด (บวก ลบ และศูนย์) เป็นของพวกเขา จำนวนตรรกยะสร้างอนุกรมอนันต์โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ชุดนี้ได้รับคำสั่งนั่นคือโดยการนำตัวเลขคู่ใดก็ได้จากซีรีย์นี้เราจะสามารถค้นหาได้ว่าอันไหนใหญ่กว่ากัน

เมื่อนำตัวเลขดังกล่าวมาคู่ใดคู่หนึ่ง เราก็สามารถวางอีกอย่างน้อยหนึ่งตัวระหว่างตัวเลขเหล่านั้นได้ และด้วยเหตุนี้ จึงสามารถใส่อนุกรมทั้งหมดได้ ดังนั้น จำนวนตรรกยะจึงเป็นอนุกรมอนันต์

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่รายการกับตัวเลขดังกล่าวเป็นไปได้ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนที่แน่นอนเสมอ (ยังเป็นตรรกยะด้วย) ข้อยกเว้นคือการหารด้วย 0 (ศูนย์) - เป็นไปไม่ได้

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ เศษส่วนเหล่านี้อาจเป็นแบบจำกัดหรือเป็นคาบไม่สิ้นสุดก็ได้

หากต้องการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวที่อยู่ในเซตตรรกยะ คุณต้องจำไว้ว่า:

จำนวนบวกใดๆ ที่มากกว่าศูนย์

จำนวนลบใดๆ จะน้อยกว่าศูนย์เสมอ

เมื่อเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะลบสองตัว ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) น้อยกว่าจะมากกว่า

การดำเนินการกับจำนวนตรรกยะทำอย่างไร?

หากต้องการเพิ่มตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณจะต้องเพิ่มค่าสัมบูรณ์และใส่เครื่องหมายร่วมไว้หน้าผลรวม หากต้องการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ให้ลบตัวเลขที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า แล้วใส่เครื่องหมายของตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

หากต้องการลบจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งออกจากอีกจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะบวกค่าตรงข้ามของจำนวนที่สองเข้ากับจำนวนแรก หากต้องการคูณตัวเลขสองตัว คุณต้องคูณค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขเหล่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าบวกหากปัจจัยมีเครื่องหมายเหมือนกัน และเป็นค่าลบหากต่างกัน

การหารจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันนั่นคือพบผลหารของค่าสัมบูรณ์และผลลัพธ์จะนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "+" หากสัญญาณของการจ่ายเงินปันผลและตัวหารตรงกันและเครื่องหมาย "-" ถ้า พวกเขาไม่ตรงกัน

กำลังของจำนวนตรรกยะดูเหมือนผลคูณของตัวประกอบหลายอย่างที่เท่ากัน

) คือตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) และศูนย์ แนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะที่แม่นยำยิ่งขึ้นมีดังนี้:

จำนวนตรรกยะ- จำนวนที่แสดงเป็นเศษส่วนร่วม ม./นโดยที่ตัวเศษ มเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วน n- จำนวนเต็ม เช่น 2/3.

เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

มี/ข, ที่ไหน ก∈ ซี (กเป็นของจำนวนเต็ม) ข∈ เอ็น (ขเป็นของจำนวนธรรมชาติ)

การใช้จำนวนตรรกยะในชีวิตจริง

ในชีวิตจริง ชุดของจำนวนตรรกยะใช้ในการนับส่วนของวัตถุที่หารจำนวนเต็มบางส่วนได้ ตัวอย่างเช่นเค้กหรืออาหารอื่นๆ ที่หั่นเป็นชิ้นๆ ก่อนบริโภค หรือเพื่อประมาณความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของวัตถุที่ขยายออกมาอย่างคร่าวๆ

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ

1. ความเป็นระเบียบเรียบร้อย กและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ระหว่าง 1 และ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาได้อย่างชัดเจน: “<», «>" หรือ "=" กฎนี้คือ - กฎการสั่งซื้อและกำหนดดังนี้:

2 จำนวนบวก ก=ม ก /น กและ ข=ม ข /n ขมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็ม 2 ตัว ม⋅ ไม่มีและ ม.ข⋅ ไม่ใช่;
2 จำนวนลบ กและ ขมีความสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนเดียวกับจำนวนบวก 2 จำนวน |ข|และ |a|;
เมื่อไร กเชิงบวกและ ข- ลบแล้ว ก>ข.

∀ ก,ข∈ ถาม(ก ∨ ก>ข∨ ก=ข)

2. การดำเนินการเพิ่มเติม. สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการรวมซึ่งกำหนดจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งให้กับพวกเขา ค. อีกทั้งตัวเลขนั้นเอง ค- นี้ ผลรวมตัวเลข กและ ขและมันถูกแสดงเป็น (ก+ข) ผลรวม.

กฎการรวมดูเหมือนว่า:

ม/n ก + ม ข/ไม่มี ข =(ม⋅ ไม่มีข + มข⋅ ไม่ใช่)/(ไม่ใช่⋅ ไม่ใช่ข)

∀ ก,ข∈ ถาม∃ !(ก+ข)∈ ถาม

3. การดำเนินการคูณ. สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการคูณมันเชื่อมโยงพวกมันกับจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ค. เรียกเลข c งานตัวเลข กและ ขและแสดงถึง (ก⋅ข)และกระบวนการค้นหาหมายเลขนี้เรียกว่า การคูณ.

กฎการคูณดูเหมือนว่า: ฉันไม่มี⋅ ม บี เอ็น ข = ม⋅ ฉัน บี นา⋅ ไม่มี.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามจำนวนใดๆ ก, ขและ คถ้า กน้อย ขและ ขน้อย ค, ที่ กน้อย ค, และถ้า กเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, ที่ กเท่ากับ ค.

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก ∧ ข ⇒ ก ∧ (ก = ข∧ ข = ค⇒ ก = ค)

5. การสับเปลี่ยนของการบวก. การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม ก+ข=ข+ก

6. นอกจากนี้การเชื่อมโยง. ลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะ 3 ตัวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม (ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)

7. การมีอยู่ของศูนย์. มีจำนวนตรรกยะเป็น 0 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกจำนวนเมื่อบวกเข้าด้วยกัน

∃ 0 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม+0=ก

8. การมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกัน. จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม และเมื่อบวกกัน ผลลัพธ์จะเป็น 0

∀ ก∈ ถาม∃ (-ก)∈ ถาม ก+(−ก)=0

9. การสับเปลี่ยนของการคูณ. การเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม⋅ ข=ข⋅ ก

10. ความสัมพันธ์ของการคูณ. ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะ 3 จำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก⋅ ข)⋅ ค=ก⋅ (ข⋅ ค)

11. ความพร้อมของหน่วย. มีจำนวนตรรกยะ 1 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทั้งหมดไว้ในกระบวนการคูณ

∃ 1 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม⋅ 1=ก

12. การปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกัน. จำนวนตรรกยะทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน คูณด้วยผลลัพธ์ที่ได้ 1 .

∀ ก∈ ถาม∃ ก−1∈ ถาม⋅ ก−1=1

13. การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก. การดำเนินการคูณเกี่ยวข้องกับการบวกโดยใช้กฎการกระจาย:

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก+ข)⋅ ค=ก⋅ ค+บี⋅ ค

14. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับและการดำเนินการบวก. จำนวนตรรกยะเดียวกันจะถูกบวกเข้าที่ด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตรรกยะ

∀ ก,ข,ค∈ ถาม ⇒ เอ+ซี

15. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับกับการดำเนินการคูณ. ด้านซ้ายและขวาของอสมการเชิงตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นลบอันเดียวกันได้

∀ ก,ข,ค∈ คิว ค>0∧ ก ⇒ ก⋅ ค ⋅ ค

16. สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส. ไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม กมันง่ายที่จะเอาหลายหน่วยจนผลรวมของมันมากขึ้น ก.

ในบทนี้ เราจะนึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการกับตัวเลข เราจะไม่เพียงแต่ตรวจสอบคุณสมบัติพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังเรียนรู้วิธีนำไปใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย เราจะรวบรวมความรู้ทั้งหมดที่ได้รับจากการแก้ตัวอย่าง

คุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการด้วยตัวเลข:

คุณสมบัติสองประการแรกเป็นคุณสมบัติของการบวก สองคุณสมบัติถัดไปเป็นคุณสมบัติของการคูณ คุณสมบัติที่ห้าใช้กับการดำเนินงานทั้งสอง

ไม่มีอะไรใหม่ในคุณสมบัติเหล่านี้ ใช้ได้กับทั้งจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม นอกจากนี้ยังเป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะด้วย และจะเป็นจริงสำหรับตัวเลขที่เราจะศึกษาต่อไป (เช่น จำนวนอตรรกยะ)

คุณสมบัติการเรียงสับเปลี่ยน:

การจัดเรียงข้อกำหนดหรือปัจจัยใหม่จะไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลง

คุณสมบัติรวมกัน:, .

การบวกหรือคูณตัวเลขหลายตัวสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

คุณสมบัติการกระจาย:.

คุณสมบัติเชื่อมโยงทั้งการดำเนินการ - การบวกและการคูณ นอกจากนี้ หากคุณอ่านจากซ้ายไปขวาจะเรียกว่ากฎสำหรับการเปิดวงเล็บเหลี่ยม และหากอ่านทิศทางตรงกันข้ามจะเรียกว่ากฎสำหรับการวางตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

คุณสมบัติสองประการต่อไปนี้อธิบาย องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ: การบวกศูนย์และการคูณด้วยหนึ่งจะไม่ทำให้ตัวเลขเดิมเปลี่ยนไป

คุณสมบัติอีกสองประการที่อธิบาย องค์ประกอบสมมาตรสำหรับการบวกและการคูณ ผลรวมของจำนวนตรงข้ามจะเป็นศูนย์ ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติถัดไป: . หากตัวเลขคูณด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ

คุณสมบัติสุดท้ายที่เราจะดูคือ: .

คูณตัวเลขด้วย เราจะได้จำนวนตรงกันข้าม ที่พักแห่งนี้มีคุณสมบัติพิเศษ คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่ถือว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติอื่นๆ คุณสมบัติเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า

คูณด้วย

ลองพิสูจน์ว่าถ้าเราคูณตัวเลขด้วย เราจะได้จำนวนตรงกันข้าม สำหรับสิ่งนี้ เราใช้คุณสมบัติการกระจาย: .

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขใดๆ เรามาแทนที่และแทนตัวเลข:

ด้านซ้ายในวงเล็บคือผลรวมของจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกัน ผลรวมของพวกเขาคือศูนย์ (เรามีทรัพย์สินดังกล่าว) ด้านซ้ายตอนนี้. ทางด้านขวาเราจะได้: .

ตอนนี้เรามีศูนย์ทางด้านซ้าย และผลรวมของตัวเลขสองตัวทางด้านขวา แต่ถ้าผลรวมของตัวเลขสองตัวเป็นศูนย์ แสดงว่าตัวเลขเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกัน แต่จำนวนนั้นจะมีจำนวนตรงข้ามเพียงตัวเดียวเท่านั้น: . ดังนั้นนี่คือสิ่งที่: .

คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติดังกล่าวซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้านี้เรียกว่า ทฤษฎีบท

เหตุใดจึงไม่มีคุณสมบัติการลบและการหารตรงนี้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียนคุณสมบัติการแจกแจงสำหรับการลบ:

แต่ตั้งแต่:

การลบจำนวนใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นการบวกได้เทียบเท่ากัน โดยแทนที่ตัวเลขด้วยตัวตรงข้าม:

การหารสามารถเขียนเป็นการคูณด้วยส่วนกลับของมัน:

ซึ่งหมายความว่าสามารถใช้คุณสมบัติของการบวกและการคูณกับการลบและการหารได้ ส่งผลให้รายการคุณสมบัติที่ต้องจดจำสั้นลง

คุณสมบัติทั้งหมดที่เราพิจารณาไม่ใช่คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ตัวเลขอื่นๆ ที่ไม่ลงตัว ก็ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนตรงข้ามจะเป็นศูนย์:

ตอนนี้เราจะไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริงโดยแก้ไขตัวอย่างต่างๆ

จำนวนตรรกยะในชีวิต

คุณสมบัติของวัตถุที่เราอธิบายได้ในเชิงปริมาณและกำหนดด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งเรียกว่า ค่านิยม: ความยาว น้ำหนัก อุณหภูมิ ปริมาณ

ปริมาณเดียวกันสามารถแสดงด้วยทั้งจำนวนเต็มและจำนวนเศษส่วน บวกหรือลบ

เช่น ส่วนสูง m เป็นเลขเศษส่วน แต่เราสามารถพูดได้ว่ามันเท่ากับ cm - นี่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้ว (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ตัวอย่างภาพประกอบ

อีกตัวอย่างหนึ่ง อุณหภูมิติดลบในระดับเซลเซียสจะเป็นค่าบวกในระดับเคลวิน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ตัวอย่างภาพประกอบ

เมื่อสร้างกำแพงบ้านคนหนึ่งสามารถวัดความกว้างและความสูงเป็นเมตรได้ เขาสร้างปริมาณที่เป็นเศษส่วน เขาจะดำเนินการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดด้วยตัวเลขเศษส่วน (ตรรกยะ) อีกคนสามารถวัดทุกอย่างเป็นจำนวนอิฐที่มีความกว้างและสูงได้ เมื่อได้รับเฉพาะค่าจำนวนเต็มแล้ว เขาจะดำเนินการคำนวณด้วยจำนวนเต็ม

ปริมาณนั้นไม่ใช่จำนวนเต็มหรือเศษส่วน ไม่เป็นลบหรือบวก แต่ตัวเลขที่เราอธิบายมูลค่าของปริมาณนั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจงอยู่แล้ว (เช่น ค่าลบและเศษส่วน) ขึ้นอยู่กับสเกลการวัด และเมื่อเราย้ายจากปริมาณจริงไปสู่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะทำงานกับตัวเลขประเภทใดประเภทหนึ่งโดยเฉพาะ

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม สามารถจัดเรียงข้อกำหนดใหม่ในลักษณะใดก็ได้ที่สะดวกสำหรับเรา และสามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ หากเงื่อนไขของเครื่องหมายต่างกันลงท้ายด้วยตัวเลขเดียวกัน จะสะดวกในการดำเนินการกับเครื่องหมายเหล่านั้นก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสลับเงื่อนไขกัน ตัวอย่างเช่น:

เศษส่วนร่วมที่มีตัวส่วนเท่ากันนั้นง่ายต่อการบวก

จำนวนตรงข้ามรวมกันได้ศูนย์ ตัวเลขที่มีทศนิยมเท่ากันนั้นลบได้ง่าย การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เช่นเดียวกับกฎการสับเปลี่ยนของการบวก จะทำให้การคำนวณค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ง่ายขึ้น เช่น

ตัวเลขที่มีทศนิยมทศนิยมเสริมนั้นง่ายต่อการบวก สะดวกในการทำงานกับจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขคละแยกกัน เราใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ต่อไปนี้:

มาดูการคูณกันดีกว่า. มีคู่ตัวเลขที่คูณง่าย เมื่อใช้สมบัติการสับเปลี่ยน คุณสามารถจัดเรียงตัวประกอบใหม่ให้อยู่ติดกันได้ สามารถนับจำนวน minuses ในผลิตภัณฑ์ได้ทันทีและสามารถสรุปผลเกี่ยวกับสัญญาณของผลลัพธ์ได้

ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:

หากปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ผลคูณก็จะเท่ากับศูนย์ เช่น:

ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับ 1 และการคูณด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนมูลค่าของผลคูณ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้:

ลองดูตัวอย่างโดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง หากคุณเปิดวงเล็บ การคูณแต่ละครั้งจะเป็นเรื่องง่าย