Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности

Отсюда найдем:

Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.

Затем с помощью соотношений

находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах

В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.

В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы

Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой . Точность её имеет порядок .

Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие :

Явная разностная схема является условно устойчивой . Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.

Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон

Метод 36

Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Подставим в уравнение теплопроводности:

Это соотношение записывается для каждого внутреннего узла на временном уровне и дополняется двумя соотношениями, определяющими значения в граничных узлах. В результате получается система уравнений для определения неизвестных значений функции на временном уровне.

Схема решения задачи следующая:

С помощью начальных и граничных условий находится значение функции на нулевом временном уровне. Затем с помощью этих соотношений и граничных условий строится система линейных алгебраических уравнений для нахождения значения функции на первом временном уровне, после чего опять с помощью этих соотношений строится система, и находятся значения на втором временном уровне и т.д.

Отличие от явной схемы - значения на очередном временном уровне вычисляются не непосредственно с помощью готовой формулы, а находится путем решения системы уравнений, т.е. значения неизвестных находятся неявно путем решения СЛАУ. Поэтому разностная схема называется неявной. В отличие от явной неявная является абсолютно устойчивой.

Тема №9

Задачи оптимизации.

Эти задачи являются одними из важнейших задач прикладной математики. Под оптимизацией понимают выбор наилучшего варианта из всех возможных решений данной задачи. Для этого необходимо сформулировать решаемую задачу как математическую, придав количественный смысл понятиям лучше или хуже. Обычно в процессе решения необходимо найти оптимизируемые значения параметров. Эти параметры называют проектными. А число проектных параметров определяет размерность задачи.

Количественная оценка решения производится с помощью некоторой функции зависящей от проектных параметров. Эта функция называется целевой . Она строится таким образом, чтобы наиболее оптимальное значение соответствовало максимуму(минимуму).

- целевая функция.

Наиболее просты случаи, когда целевая функция зависит от одного параметра и задаётся явной формулой. Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании самолёта требуется одновременно обеспечить максимальную надежность, минимальные вес и стоимость и т.д. В таких случаях вводится система приоритетов . Каждой целевой функции ставится в соответствие некоторый целевой множитель в результате получается обобщенная целевая функция(функция компромиссов).

Обычно оптимальное решение ограничено рядом условий связанных с физической функцией задачи. Эти условия могут иметь вид равенств или неравенств

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследований одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Если целевая функция линейна относительно проектных параметров и ограничения, накладываемые на параметры также линейны, то возникает задача линейного программирования . Рассмотрим методы решения одномерной задачи оптимизации.

Требуется найти значения на при которых целевая функция имеет максимальное значение. Если целевая функция задана аналитически и может быть найдено выражение для её производных, то оптимальное решение будет достигаться либо на концах отрезка, либо в точках в которых производная обращается в ноль. Это критические точки и . Необходимо найти значения целевой функции во всех критических точках и выбрать максимальное.

В общем случае для нахождения решения применяют различные методы поиска. В результате происходит сужение отрезка содержащего оптимальное решение.

Рассмотрим некоторые из методов поиска. Предположим, что целевая функция на промежутке имеет один максимум. В этом случае, разбив узловыми точками , число которых , вычисляют целевую функцию в этих узловых точках. Предположим, что максимальное значение целевой функции будет в узле , тогда можно считать, что оптимальное решение находится на интервале . В результате произведено сужение отрезка, содержащего оптимальное решение. Полученный новый отрезок вновь разбивают на частей и т.д. При каждом разбиении отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшаются в раз.

Предположим, что произведено шагов сужения. Тогда исходный отрезок уменьшается в раз.

То есть, делаем пока выполняется (*)

При этом производится вычислений целевой функции.

Требуется найти такое значение, чтобы выражение (*) было получено при наименьшем

числе вычислений .

Метод 37

Метод половинного деления.

Рассмотрим метод поиска при . Он называется методом половинного деления, так как на каждом шаге отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшается в два раза.

Эффективность поиска можно повысить путём специального выбора точек, в которых вычисляется целевая функция на определённом шаге сужения.

Метод 38

Метод золотого сечения.

Одним из эффективных способов является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется точка для которой выполняется условие

Таких точек две: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Отрезок делится точками и а после находится точка, целевая функция в которой максимальна. В результате чего находится изменённый отрезок длинною 0,618( - ) .

Одно значение золотого отрезка для суженного отрезка уже известно, поэтому на каждом последующем шаге требуется вычисление целевой функции только в одной точке (второй точки золотого сечения).

Метод 39

Метод покоординатного подъёма (спуска).

Перейдём к рассмотрению задачи оптимизации в случае, когда целевая функция зависит от нескольких значений параметров. Простейшим методом поиска является метод покоординатного подъёма (спуска).

Различают три метода построения разностных схем на заданном шаблоне:

· метод разностной аппроксимации;

· интегро-интерполяционный метод;

· метод неопределенных коэффициентов.

Методом разностной аппроксимации мы уже пользовались при составлении схем (24), (26). Согласно данному методу, каждая производная, входящая в уравнение и краевое условие, заменяется каким-либо разностным выражением с учетов узлов заданного шаблона. Метод позволяет легко составить разностные схемы с первым и вторым порядком аппроксимации, когда коэффициенты уравнения достаточно гладкие функции. Обобщение данного подхода на ряд важных случаев затруднителен. Например, если коэффициенты уравнения разрывные, или предполагается использовать непрямоугольную и неравномерную сетку, возникает неопределенность в построении разностной схемы.

При использовании интегро-интерполяционного метода или метода баланса используют дополнительные физические соображения, сводящиеся к составлению уравнений сохранения тех или иных величин. В данном методе после выбора шаблона область разбивается на ячейки. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к интегральной форме, отвечающей некоторому интегральному закону. Интегралы вычисляют приближенно по одной из квадратурных формул и получают разностную схему.

Представим уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности в виде: . Выберем для его аппроксимации шаблон, представленный на рис.8, где пунктиром выделена соответствующая ячейка.

Выполним интегрирование по ячейке:

и аппроксимируем первый интеграл по формуле средних, а второй интеграл - по формуле прямоугольников, тогда

В последнем выражении производные заменим конечными разностями и, считая сетку равномерной, получим разностную схему

Если k = const, то схема (35) совпадает с неявной схемой (24).

Рис.8. Шаблон и ячейка интегро-интерполяционного
метода для уравнения теплопроводности

Интегро-интерполяционный метод наиболее полезен, когда коэффициенты уравнения является негладкими или даже разрывными. В этом случае обращение к более общим - интегральным законам возвращает нас к более правильным обобщенным решениям.

Рассмотрим пример использования разностной схемы (35) для расчета теплопроводности среды, состоящей из трех сред с разными коэффициентами теплопроводности, т.е.

(36)

где k 1 , k 2 , k 3 , вообще говоря, различные неотрицательные числа. Исходное уравнение можно в этом случае записать в виде:

(37)

Для расчета по схеме (35) с коэффициентом теплопроводности (36) будем полагать, что

а на левой x = 0 и правой x = a границе согласно (37) будем поддерживать нуль температуры, т.е. и .

На листинге_№4 приведен код программы, которая решает уравнение (36), (37) согласно разностной схеме (35), (38).

Листинг_№4

%Программа решения уравнения теплопроводности

%(37) с разрывным коэффициентом

%теплопроводности (36)

global a k1 k2 k3

%определяем отрезок интегрирования и

%три значения коэффициента теплопроводности

%в трех областях отрезка интегрирования

a=3; k1=0.1; k2=100; k3=10;

%определяем шаг по времени и по пространству

tau=0.05; h=0.05;

x=0:h:a; N=length(x);

%Строим начальное распределение температуры

if x(i)<=0.5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*x(i);

if x(i)>0.5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*(a-x(i));

%рисуем начальный профиль температуры

%толстой красной линией

plot(x,y,"Color","red","LineWidth",3);

%вычисляем коэффициенты прогонки A(n), B(n)

%C(n): A(n)y2(n+1)+B(n)y2(n)+C(n)y2(n-1)=y(n)

A(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)+0.5*h);

B(n)=1+(tau/h^2)*...

(k(x(n)+0.5*h)+k(x(n)-0.5*h));

C(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)-0.5*h);

%определяем левое граничное условие

alpha(2)=0; beta(2)=0;

alpha(n+1)=-A(n)/(B(n)+C(n)*alpha(n));

beta(n+1)=(y(n)-C(n)*beta(n))/...

(B(n)+C(n)*alpha(n));

%задаем правое граничное условие

for n=(N-1):-1:1

y(n)=alpha(n+1)*y(n+1)+beta(n+1);

%рисуем текущий профиль температуры

%определяем коэффициент теплопроводности

global a k1 k2 k3

if (x>=0)&(x<=a/3)

if (x>a/3)&(x<=(2*a)/3)

if (x>(2*a)/3)&(x<=a)

На рис.9 приведен итог работы кода программы листинга_№4. Красной жирной линией нарисован начальный треугольный профиль температуры. Вертикальные стрелки на графике отделяют области с разными коэффициентами теплопроводности. Согласно коду листинга_№4, коэффициенты теплопроводности отличаются друг от друга на три порядка.

Рис.9. Решение уравнения теплопроводности (37) с разрывным
коэффициентом теплопроводности (36)

Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной схемы берут линейную комбинацию решений в узлах некоторого шаблона. Коэффициенты линейной комбинации определяют из условия максимального порядка соответствующей невязки по t и h .

Так, для уравнения на шаблоне рис.8 можем записать следующую схему с неопределенными коэффициентами

Определяем невязку

Подставим (31) в (40), тогда

(41)

Большинство членов в (41) обнуляются при условии

. (42)

Подставляя (42) в (39) получим разностную схему (24).

Метод неопределенных коэффициентов применим и к более сложным случаям. Например, для треугольной сетки, шаблон которой приведен на рис.10 можно получить следующую разностную схему

Рис.10. Шаблон треугольной сетки для разностного уравнения (43)

Рассмотрим нерегулярные узлы разностной схемы, т.е. ее граничные условия. Для уравнения теплопроводности u t = k u xx нерегулярными являются граничные узлы n = 0 и n = N . Если рассматривается первая краевая задача

то легко записать соответствующие разностные условия

которые выполняются точно, т.к. невязка для них равна нулю.

Более сложным является случай второй краевой задачи, когда граничное условие содержит производную по x . Например, при задании на краях теплового потока граничные условия приобретают следующий вид:

Производные в (44) можно аппроксимировать правой (левой) конечной разностью:

Невязка разностных уравнений (45) легко оценивается:

(46)

Таким образом, согласно (46), невязка граничных условий имеет первый порядок точности по h , тогда как в регулярных точках порядок точности второй по h , т.е. при выборе аппроксимации граничных условий по формулам (45) происходит потеря точности.

Для повышения точности граничных условий рассмотрим метод фиктивных точек . Введем вне отрезка две фиктивные точки: , и запишем в точках n = 0 и n = N явную разностную схему (26), тогда

Аппроксимируем левое и правое граничное условие с помощью центральной разности, т.е.

Исключая из (47), (48) фиктивные точки и значения функции в них, находим граничные условия второго порядка точности по h :

(49)

Граничные условия (49) являются явными, т.к. содержат только по одному значению на следующем слое.

Помимо метода фиктивных точек есть другой метод уменьшения невязки, он более универсален, но менее нагляден. Разложим u (t ,x 1) в окрестности x 0 , тогда

Согласно (44), , а из уравнения теплопроводности найдем . Подставляя данные оценки в разложение Тейлора, находим

Делая в (50) замену , получим левое граничное условие (49).

Согласно приведенной выше процедуре можно добиться повышенной точности в аппроксимации граничных условий.

Аппроксимация

Пусть задана область G переменных x = (x 1 ,x 2 ,…,x p ) с границей G и поставлена корректная задача решения уравнения с граничными условиями:

Au (x ) - f (x ) = 0, x Î G ; (51)

Ru (x ) - m (x ) = 0, x Î G. (52)

Введем в области G + G сетку с шагом h , которая содержит регулярные (внутренние) узлы w h и нерегулярные (граничные) узлы g h .

Перейдем в (51), (52) к соответствующим разностным аналогам

A h y h (x ) - j h (x ) = 0, x Î w h ; (51¢)

R h y h (x ) - c h (x ) = 0, x Î g h . (52¢)

Близость разностной схемы (51¢), (52¢) к исходной задаче (51), (52) определяется величинами невязок:

Разностная схема (51¢), (52¢) аппроксимирует задачу (51), (52), когда

аппроксимация имеет p -й порядок, когда

Дадим некоторые комментарии к выбору норм. Для простоты будем рассматривать одномерный случай, т.е. G = [a ,b ].

Можно использовать чебышевскую или локальную норму

,

или гильбертову, среднеквадратическую:

.

Часто строят ассоциированные или связанные с оператором A энергетические нормы. Например,

Выбор нормы регулируется двумя противоположными соображениями. С одной стороны, желательно, чтобы разностное решение y было близко к точному решению в наиболее сильной© норме. Например, в задачах на разрушение конструкций малость деформаций в не гарантирует целостность конструкций, а малость в норме - гарантирует. С другой стороны, чем слабее норма , тем легче разностную схему построить и доказать ее сходимость.

Функции y h , j h , c h , входящие в (51¢), (52¢), определены на сетке, поэтому для них необходимо определить соответствующие сеточные нормы , и . Обычно их вводят так, чтобы они переходили в выбранные нормы , и при h ® 0. В качестве разностных аналогов чебышевской и гильбертовых норм выбирают выражения

или близкие аналоги.

Устойчивость

Под устойчивостью (неустойчивостью) разностной схемы понимается то, что малые ошибки, возникающие в процессе счета (или внесенные с входными данными), при последующих расчетах уменьшаются (возрастают).

Рассмотрим пример неустойчивой разностной схемы для задачи Коши дифференциального уравнения u ¢ = a u . Выберем следующее однопараметрическое семейство разностных схем:

. (53)

Исследуем рост ошибки dy n начальных данных уравнения (53). Поскольку уравнение (53) линейно, постольку ошибка dy n удовлетворяет тому же уравнению (53). Изучим специальный вид ошибки dy n = l n . Подставим это представление в (53), тогда

Решение квадратного уравнения (54) при h ® 0 дает следующие оценки корней

Из оценок корней в (55) следует, что при s < ½ второй корень |l 2 | > 1, т.е. за один шаг ошибка возрастает в несколько раз. Проверим это.

На листинге_№5 приведен код программы, иллюстрирующей расчет по неустойчивой при s = 0,25 схеме (53) и по устойчивой схеме при s = 0,75. В начальных данных выбирались малые возмущения. Далее проводились серии расчетов с уменьшающимся значением шага сетки h . На рис.11 приведены итоговые графики зависимости значения возмущения в начальных данных на правом конце отрезка интегрирования в зависимости от шага сетки. Отчетливо видно сколь разительно отличаются друг от друга расчеты по неустойчивой и устойчивой схемам. Используя данную программу можно убедиться в пороговом значении параметра s = 0,5: при s < 0,5 схема неустойчива, при s ³ 0,5 - устойчива.

Листинг_№5

%Программа расчета по неустойчивой схеме при

%sigma=0,25 и по устойчивой схеме при sigma=0,75

%очищаем рабочее пространство

%определяем константу уравнения u"=alpha*u

%определяем значения sigma=0,25; 0,75

sigm=0.25:0.5:0.75;

for s=1:length(sigm)

%определяем начальное значение шага сетки

x=0:h:1; N=length(x);

%определяем возмущения начальных данных

dy(1)=1e-6; dy(2)=1e-6;

%осуществляем расчет возмущения начальных

%данных на правом конце отрезка интегрирования

dy(n+1)=(2+(alpha*h-1)/sigma)*dy(n)+...

(1/sigma-1)*dy(n-1);

%запоминаем возмущение на правом конце и

%шаг сетки

deltay(i)=dy(N);

%рисуем график зависимости возмущения на

%правой границе от шага сетки

plot(step,deltay);

Рис.11. Графики зависимости возмущения при расчете по
схеме (53) на правой границе от шага сетки h

Разностная схема (51¢), (52¢) устойчива , если решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных данных j , c и эта зависимость равномерна относительно шага сетки. Уточним непрерывную зависимость. Это означает, что для любого e > 0 найдется такое d (e ), не зависящее от h , что

, (56)

Если разностная схема (51¢), (52¢) линейна, то разностное решение линейно зависит от входных данных. В этом случае можно положить, что d (e ) = e /(M + M 1), где M , M 1 - некоторые неотрицательные величины, независящие от h . В итоге условие устойчивости для линейных разностных схем можно записать в виде:

Непрерывную зависимость разностного решения от j называют устойчивостью по правой части , а от c - устойчивостью по граничным данным .

В дальнейшем будем рассматривать двуслойные разностные схемы , т.е. такие схемы которые содержат один известный и один новый, неизвестный слой.

Двуслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если при выборе начальных данных с любого слоя t * (t 0 £ t * < T ) разностная схема устойчива по ним, причем устойчивость равномерна по t * . Для линейных схем условие равномерной устойчивости можно записать в виде

где константа K не зависит от t * и h , - решения разностной схемы A h y = j с начальными данными и с одной и той же правой частью.

Достаточный признак равномерной устойчивости. Для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех m выполнялось

Доказательство. Условие (60) означает, что если на некотором слое возникла ошибка dy , то при переходе на следующий слой норма возмущения ||dy || возрастает не более чем в (1 + Сt ) £ e C t раз. Согласно (59), при переходе со слоя t * на слой t требуется m = (t - t *)/t шагов по времени, т.е. ошибка возрастает не более чем в . В итоге имеем

что, согласно определению в (59), означает равномерную устойчивость по начальным данным.

Теорема. Пусть двухслойная разностная схема A h y = j равномерно устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения A h y k = j k равны на некотором слое, т.е. , то на следующем слое выполняется соотношение

где a = const. Тогда разностная схема устойчива по правой части.

Доказательство. Помимо решения y рассмотрим решение , соответствующее возмущенной правой части . В дальнейшем будем считать, что . Это можно предположить, т.к. исследуется устойчивость по правой части.

1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом τ по оси Ot :

a) x i =ih , i = l, n , n=L/h ;

б) t k =k τ, k= l, m , m =T/τ;

в) и i , k = u (x i , t k ) = u (ih , k τ).

2. Вычисляем значения функции u (x i , t k ) в узлах, лежащих на прямых х= 0 и x=L :

3. Вычисляем u i ,0 =f (ih ), i= 1, n .

4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u i , k + n , i= l, n -l , k= 0, m -l .

1.3. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом сеток

1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода

Рассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и граничные условия) для волнового уравнения

в области D ={0≤x≤L , 0≤t≤T } с начальными условиями

и граничными условиями

Будем предполагать, что f (x ), g (x ) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D (x =0, t =0), (x=L , t =0), обеспечивающие существованне и единственность решения u (x , t ).

Для дискретизации исходной задачи построим в области

прямоугольную сетку

где h – шаг сетки в направлении х , τ – шаг сетки в направлении t ,

Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений

которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х i , t k ) с погрешностью O (h 2 + τ 2).

Здесь u i , k – приближенное значение функции и (х , t ) в узле (x i , t k ).

Полагая λ = аτ/h , получим трехслойную разностнуюсхему:

Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u i , k функции и (х , t ) на трех временных слоях с номерами (k -l), k , (k +1).

Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).

Схема (1.28) связывает значения u i , k =u (ih , kτ ) на трех слоях по времени, и чтобы перейти на уровень (k +1), необходимо знать как u i , k , так и u i , k -1 , что является следствием того, что дифференциальное уравнение (1.24) содержит вторую производную по времени. Численное решение задачи (1.24) – (1.26) состоит в вычислении приближенных значений u i , k решения u (х , t ) в узлах (х i , t ) при i = 1, n , k =1, m . Схема вычислений по (1.28) является явной, она позволяет вычислить приближенно значения функции в узлах (k +1)-го слоя по известным ее значениям на двух предыдущих слоях. На первых двух слоях значения функции определяются из начальных условий (1.25). Полагаем

Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)

Порядок аппроксимации (1.30) равен О (τ).

Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первыхдвухстрок: k =0, k =1. Подставляя k= 1 в (1.28), получим:

Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и i , k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.

После этого, зная решения и i ,1 , и i ,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и i , k на третьем временном слое, четвертом и т. д.

Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О (τ+h 2). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).

Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта

Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h →0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).

Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.

Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х , то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.

Раздел ¹ 10. Численное решение уравнений в частных производных

Разностные схемы для уравнений эллиптического типа
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Метод матричной прогонки
Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле
Уравнение параболического типа. Явные и неявные конечноразностные методы
Методы прогонки для уравнения параболического типа
Предметный указатель

Разностные схемы. Основные понятия

Пусть Д - некоторая область изменения независимых переменных x, y, ограниченная контуром. Говорят, что в области Д задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(x, y), если для любой точки из области Д имеет место соотношение

			∂2 U				∂2 U		∂2 U
			∂x2						∂x2
						G(x, y)U = f(x, y),

где a(x, y), b(x, y), . . . - коэффициенты, f(x, y) - свободный член уравнения. Эти функции известны и их обычно считают определенными в замкнутой области Д = Д + .

График решения представляет собой поверхность в пространстве Oxyz.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Обозначим δ(x, y) = b2 − ac. Уравнение L(U) = f называется эллиптическим, параболическим или

гиперболическим в Д, если соответственно выполняются условия δ(x, y) < 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) > 0 для

всех (x, y) Д.

В зависимости от типа дифференциального уравнения по-разному ставятся граничные начальные

(10.1):

Уравнение Пуассона (уравнение эллиптического типа)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Уравнение теплопроводности (уравнение параболическго типа)

∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2

Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем

Пусть U есть решение дифференциального уравнения

заданного в Д. Рассмотрим некоторое множество Дh = {Mh } состоящее из изолированных точек Mh , принадлежащих замкнутой области Д = Д + . Число точек в Дh , будем характеризовать величиной h; чем меньше h, тем большим будет число точек в Дh . Множество Дh называется сеткой, а точки Mh Дh - узлами сетки. Функция, определенная в узлах, называется сеточной функцией. Обозначим через U пространство непрерывных в D функций V (x, y). Через Uh обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций Vh (x, y), определенных на Дh . В методе сеток осуществляется замена пространства U на пространство Uh .

Пусть U(x, y) - точное решение уравнения ((10.2 )) и U(x, y) принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений Uh (x, y). Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

равно числу точек в Дh . Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения U(h) , относительно которых можно предполагать, что

U(h) ≈ Uh (x, y).

Величины U(h) называются приближенными сеточными значениями решения U(x, y). Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде

Lh (U(h) ) = fh ,

есть разностный оператор,

соответствующий оператору

зуется по F аналогично тому, как U

образовывалось по U. Формулу (10.3 ) будем называть разностной

схемой. Пусть в линейных пространствах Uh и Fh введены соответственно нормы k · kU h и k · kF h , которые являются сеточными аналогами норм k · kU и k · kF в исходных пространствах. Будем говорить, что разностная схема (10.3 ) является сходящейся, если при h → 0 выполняется условие

kUh (x, y) − Uh kU h → 0.

Если выполняется условие

kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,

где c - постоянная, не зависящая от h и s > 0, то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s относительно h.

Говорят, что разностная схема (10.3 ) аппроксимирует задачу (10.2 ) на решении U(x, y), если

Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) и	δf(h) F h → 0 приh → 0.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Величина δf(h) называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если

δf (h) F h 6 Mh σ, где M - константа, не зависящая от h и σ > 0, то говорят, что задана разностная схема (10.3 ) на решении U(x, y) с погрешностью порядка σ относительно h.

Разностная схема (3) называется устойчивой, если существует такое h0 > 0, что для всех h < h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

	Разностная схема (10.3 ) имеет единственное решение;
	U (h) U h			f(h) F h , где M - постоянная, не зависящая от h и f(h) .

Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема 1 Пусть разностная схема L h (U h (x, y)) = f (h) аппроксимирует задачу L(U) = f на решении U(x, y) с порядком s относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. будет справедлива оценка

Uh (x, y) − Uh U h 6 khs ,

где k - постоянная, не зависящая от h .

Доказательство . По определению аппроксимации имеем

(h) F h 6 M(Chs ) = Khs ,

где K = MC. Таким образом, оценка (10.4 ) установлена и теорема доказана. Обычно применение метода сеток заключается в следующем:

1. Вначале указывается правило выбора сетки, т.е. указывается метод замены области Д и контура Г некоторой сеточной областью. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2. Затем указывается и строится конкретно одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации и устанавливается ее порядок.

3. Доказывается устойчивость построенных разностных схем. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если разностная схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости судят по доказанной теореме.

4. Рассматривается вопрос численного решения разностных схем.

В случае линейных разностных схем это будет система линейных алгебраических уравнений. Порядок таких систем может быть большим.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Разностная схема

Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

Аппроксимация

Говорят, что дифференциальный оператор , определённый на функциях , заданных в области , аппроксимируется на некотором классе функций конечно-разностным оператором , определённым на функциях , заданных на сетке, зависящей от шага , если

Говорят, что аппроксимация имеет порядок , если

где - константа, зависящая от конкретной функции , но не зависящая от шага . Норма , использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности :

иногда используются дискретные аналоги интегральных норм .

Пример . Аппроксимация оператора конечно-разностным оператором

на ограниченном интервале имеет второй порядок на классе гладких функций .

Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация имеет порядок , если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные) условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами, и аппроксимации имеют порядок .

Условие Куранта

Условие Куранта (в англоязычной литературе англ. Courant-Friedrichs-Levy condition , CFL) - скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремиться к решению дифференциального уравнения. Другими словами, за один шаг по времени частица не должна «пробегать» более одной ячейки.

В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Схемы на смещенных сетках

В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.

См. также

Ссылки

• «Разностные схемы» - Глава в wikibooks на тему «Разностные схемы для гиперболических уравнений»
• Демьянов А. Ю., Чижиков Д. В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности
• В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. Об устойчивости разностных уравнений. - М .: Гостехиздат, 1956.
• С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Введение в теорию разностных схем. - М .: Физматгиз, 1962.
• К. И. Бабенко. Основы численного анализа. - М .: Наука, 1986.
• Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, - Любое издание.
• Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, - Любое издание.
• Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. - М .: Наука, 1977.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Разностная схема" в других словарях:

Система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи Р. с. это один из способов приближенной дискретизации исходной задачи … Математическая энциклопедия

разностная схема конечных элементов - метод конечных элементов — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы метод конечных элементов EN finite volume difference schedule …

Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия

конечно-разностная схема расчёта на основе контрольных объёмов - (напр. тепломассобмена, теплопроводности) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN control volume based finite difference schedule … Справочник технического переводчика

Схема: графический документ ; изложение, изображение, представление чего либо в самых общих чертах, упрощённо (например, схема доклада); электронное устройство, содержащее множество компонентов (интегральная схема). Графический документ… … Википедия

Разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… … Математическая энциклопедия

Раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и). Р. с. т. изучает способы построения разностных схем,… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… … Математическая энциклопедия

Методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия электронная книга