Равновесие механической системы. Равновесие тел. Виды равновесия тел Равновесие механической системы

Позволяет провести анализ общих закономерностей движения, если известна зависимость потенциальной энергии от координат. Рассмотрим для примера одномерное движение материальной точки (частицы), вдоль оси 0x в потенциальном поле, показанном на рис. 4.12.

Рис.4.12. Движение частицы вблизи положений устойчивого и неустойчивого равновесия

Поскольку в однородном поле сил тяжести потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема тела, можно представить себе ледяную горку (пренебрегаем трением) с профилем, соответствующим функции П(x) на рисунке.

Из закона сохранения энергии E = К + П и из факта, что кинетическая энергия К = Е - П всегда неотрицательна, следует, что частица может находиться лишь в областях, где E > П . На рисунке частица с полной энергией E может двигаться только в областях

В первой области ее движение будет ограничено (финитно): при данном запасе полной энергии частица не может преодолеть «горок» на своем пути (их называют потенциальными барьерами ) и обречена вечно оставаться в «долине» между ними. Вечно - с точки зрения классической механики, которую мы сейчас изучаем. В конце курса мы увидим, как квантовая механика помогает частице выбраться из заточения в потенциальной яме - области

Во второй области движение частицы не ограничено (инфинитно), она может удалиться бесконечно далеко от начала координат направо, но слева ее движение по-прежнему ограничено потенциальным барьером:

Видео 4.6. Демонстрация финитного и инфинитного движений.

В точках экстремума потенциальной энергии x MIN и x MAX сила, действующая на частицу, равна нулю, потому что равна нулю производная потенциальной энергии:

Если поместить в эти точки покоящуюся частицу, то она оставалась бы там... опять-таки вечно, если бы не флуктуации ее положения. В этом мире нет ничего строго покоящегося, частица может испытывать небольшие отклонения (флуктуации ) от положения равновесия. При этом, естественно, возникают силы. Если они возвращают частицу к положению равновесия, то такое равновесие называется устойчивым . Если же при отклонении частицы возникающие силы еще дальше уводят ее от равновесного положения, то мы имеем дело с неустойчивым равновесием, и частица в таком положении обычно долго не задерживается. По аналогии с ледяной горкой можно догадаться, что устойчивым будет положение в минимуме потенциальной энергии, а неустойчивым - в максимуме.

Докажем, что это действительно так. Для частицы в точке экстремума x M (x MIN или x MAX ) действующая на нее сила F x (x M) = 0 . Пусть вследствие флуктуации координата частицы изменяется на небольшую величину x . При таком изменении координаты на частицу начнет действовать сила

(штрихом обозначена производная по координате x ). Учитывая, что F x =-П" , получаем для силы выражение

В точке минимума вторая производная потенциальной энергии положительна: U"(x MIN) > 0 . Тогда при положительных отклонениях от положения равновесия x > 0 возникающая сила отрицательна, а при x <0 сила положительна. В обоих случаях сила препятствует изменению координаты частицы, и положение равновесия в минимуме потенциальной энергии устойчиво.

Наоборот, в точке максимума вторая производная отрицательна: U"(x MAX)<0 . Тогда увеличение координаты частицы Δx приводит к возникновению положительной же силы, еще больше увеличивающей отклонение от положения равновесия. При x <0 сила отрицательна, то есть и в этом случае способствует дальнейшему отклонению частицы. Такое положение равновесия неустойчиво.

Таким образом, положение устойчивого равновесия может быть найдено при совместном решении уравнения и неравенства

Видео 4.7. Потенциальные ямы, потенциальные барьеры и равновесие: устойчивое и неустойчивое.

Пример . Потенциальная энергия двухатомной молекулы (например, Н 2 или О 2 ) описывается выражением вида

где r - расстояние между атомами, а A , B - положительные постоянные. Определить равновесное расстояние r М между атомами молекулы. Устойчива ли двухатомная молекула?

Решение . Первый член описывает отталкивание атомов на малых расстояниях (молекула сопротивляется сжатию), второй - притяжение на больших расстояниях (молекула сопротивляется разрыву). В соответствии со сказанным, равновесное расстояние находится при решении уравнения

Дифференцируя потенциальную энергию, получаем

Находим теперь вторую производную потенциальной энергии

и подставляем туда значение равновесного расстояния r M :

Положение равновесия устойчиво.

На рис. 4.13 представлен опыт по изучению потенциальных кривых и условий равновесия шарика. Если на модели потенциальной кривой поместить шарик на высоту большую высоты потенциального барьера (энергия шарика больше энергии барьера), то шарик преодолевает потенциальный барьер. Если начальная высота шарика меньше высоты барьера, то шарик остается в пределах потенциальной ямы.

Шарик, помещенный в наивысшую точку потенциального барьера, находится в неустойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к переходу шарика в нижнюю точку потенциальной ямы. В нижней точке потенциальной ямы шарик находится в устойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к возвращению шарика в нижнюю точку потенциальной ямы.

Рис. 4.13. Экспериментальное изучение потенциальных кривых

Дополнительная информация

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – Приложение к журналу «Квант» - рассуждения об устойчивом и неустойчивом равновесии (А. Леонович);

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, Изд,Высшая школа, 1986 г. – стр. 11–15, §2 – исходные положения статики.

Рассмотрю материальную точку, движение которой ограничено таким образом, что она имеет лищь одну степень свободы.

Это означает, что ее положение может быть определено с помощью одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно, изогнутой в вертикальной плоскости проволоке (рис. 26.1, а).

Другим примером может служит прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий без трения до горизонтальной направляющей (рис. 26.2, а).

На шарик действует консервативная сила: в первом случае это сила тяжести, во втором - упругая сила деформированной пружины. Графики потенциальной энергии показаны на рис. 26.1, б и 26.2, б.

Поскольку шарики движутся по проволоке без трения, сила, с которой проволока действует на шарик, в обоих случаях перпендикулярна к скорости шарика и, следовательно, работы над шариком не совершает. Поэтому имеет место сохранение энергии:

Из (26.1) следует, что, кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потешдаалыюй энергии. Поэтому, если шарик находится в таком состоянии, что его скорость равна нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне он не сможет прийти в движение, т. е. будет находиться в равновесии.

Минимумам U соответствуют на графиках значения равные (на рис. 26.2 есть длина недеформированной дружины) Условие минимума потенциальной энергии имеет вид

В соответствии t (22.4) условие (26.2) равнозначно тому, что

(в случае, когда U является функцией только одной переменной, ). Таким образом, положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что сила, действующая на тело, равна нулю.

В случае, - изображенном на рис. 26.1, условия (26.2) и (26.3) выполняются также для х, равного (т. е. для максимума U). Определяемое этим значением положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при будет неустойчивым: достаточно слегка вывести, шарик из этого положения как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого ), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.

Зная вид t функции, которой выражается потенциальная энергия, можно сделать ряд заключений о характере движения частищл. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 26.1, б. Если полная энергия имеет значение, указанное На рисунке, то частица может совершать движение либо в пределах от до либо в пределах от до бесконечности. В области частица проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может, стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Такрм образом, область представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область называется потенциальной ямой.

Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, движение называется финитным. Если же частица может уходить сколь угодно далеко, движение называют инфинитным. Частица в потенциальной яме совершает финитное движение. Финитным будет также движение частицы с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения (предполагается, что потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности).

Равновесием механической системы называют такое её состояние, при котором все точки рассматриваемой системы покоятся по отношению к выбранной системе отсчета.

Моментом силы относительно какой‑либо оси называют произведение величины этой силы F на плечо d.

Проще всего выяснить условия равновесия на примере простейшей механической системы - материальной точки. Согласно первому закону динамики (см. Механика), условием покоя (или равномерного прямолинейного движения) материальной точки в инерциальной системе координат является равенство нулю векторной суммы всех приложенных к ней сил.

При переходе к более сложным механическим системам одного этого условия для их равновесия оказывается недостаточно. Кроме поступательного движения, к которому приводят нескомпенсированные внешние силы, сложная механическая система может совершать вращательное движение или деформироваться. Выясним условия равновесия абсолютно твердого тела - механической системы, состоящей из собрания частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.

Возможность поступательного движения (с ускорением) механической системы можно устранить так же, как и в случае с материальной точкой, потребовав равенства нулю суммы сил, приложенных ко всем точкам системы. Это и есть первое условие равновесия механической системы.

В нашем случае твердое тело деформироваться не может, поскольку мы условились, что взаимные расстояния между его точками не изменяются. Но в отличие от материальной точки к абсолютно твердому телу можно приложить пару равных и противоположно направленных сил в разных его точках. При этом поскольку сумма этих двух сил равна нулю, то рассматриваемая механическая система поступательного движения совершать не будет. Однако очевидно, что под действием такой пары сил тело начнет вращаться относительно некоторой оси со всевозрастающей угловой скоростью.

Возникновение в рассматриваемой системе вращательного движения обусловлено наличием нескомпенсированных моментов сил. Моментом силы относительно какой‑либо оси называется произведение величины этой силы $F$ на плечо $d,$ т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки $O$ (см. рис.), через которую проходит ось, на направление силы. Отметим, что момент силы при таком определении - алгебраическая величина: он считается положительным, если сила приводит к вращению против часовой стрелки, и отрицательным - в противном случае. Таким образом, второе условие равновесия твердого тела заключается в требовании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси вращения.

В случае, когда оба найденных условия равновесия выполнены, твердое тело будет пребывать в состоянии покоя, если в момент начала действия сил скорости всех его точек были равны нулю. В противном случае оно будет совершать равномерное движение по инерции.

Рассмотренное определение равновесия механической системы ничего не говорит о том, что произойдет, если система чуть‑чуть выйдет из положения равновесия. При этом имеется три возможности: система вернется в свое прежнее состояние равновесия; система, несмотря на отклонение, не изменит своего состояния равновесия; система выйдет из состояния равновесия. Первый случай называют устойчивым состоянием равновесия, второй - безразличным, третий - неустойчивым. Характер положения равновесия определяется зависимостью потенциальной энергии системы от координат. На рисунке показаны все три типа равновесия на примере тяжелого шарика, находящегося в углублении (устойчивое равновесие), на гладком горизонтальном столе (безразличное), на вершине бугорка (неустойчивое).

Изложенный выше подход к проблеме равновесия механической системы рассматривался учеными еще в древнем мире. Так, закон равновесия рычага (т. е. твердого тела с закрепленной осью вращения) был найден Архимедом в III в. до н. э.

В 1717 г. Иоганн Бернулли разработал совершенно иной подход к нахождению условий равновесия механической системы - метод виртуальных перемещений. В основе его лежит вытекающее из закона сохранения энергии свойство сил реакций связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакций связей равна нулю.

При решении задач статики (см. Механика) на основании описанных выше условий равновесия существующие в системе связи (опоры, нити, стержни) характеризуются возникающими в них силами реакции. Необходимость учета этих сил при определении условий равновесия в случае систем, состоящих из нескольких тел, приводит к громоздким расчетам. Однако благодаря равенству нулю работы сил реакции связей при малых отклонениях от положения равновесия можно избежать рассмотрения этих сил вообще.

Кроме сил реакции на точки механической системы действуют и внешние силы. Какова их работа при малом отклонении от положения равновесия? Так как система первоначально покоится, то для любого её перемещения необходимо совершить некоторую положительную работу. В принципе эту работу могут совершать как внешние силы, так и силы реакции связей. Но, как мы уже знаем, полная работа сил реакции равна нулю. Поэтому для того, чтобы система вышла из состояния равновесия, суммарная работа внешних сил при любом возможном перемещении должна быть положительной. Следовательно, условие невозможности движения, т. е. условие равновесия, можно сформулировать как требование неположительности полной работы внешних сил при любом возможном перемещении: $ΔA≤0.$

Допустим, что при перемещениях точек системы $Δ\overrightarrow{γ}_1…\ Δ\overrightarrow{γ}_n$ сумма работ внешних сил оказалась равной $ΔA1.$ А что произойдет, если система совершит перемещения $−Δ\overrightarrow{γ}_1,−Δ\overrightarrow{γ}_2,\ …,−Δ\overrightarrow{γ}_n?$ Эти перемещения возможны так же, как и первые; однако работа внешних сил теперь изменит знак: $ΔA2 =−ΔA1.$ Рассуждая аналогично предыдущему случаю, мы придем к выводу, что теперь условие равновесия системы имеет вид: $ΔA1≥0,$ т. е. работа внешних сил должна быть неотрицательной. Единственная возможность «примирить» два этих почти противоречивых условия - потребовать точного равенства нулю полной работы внешних сил при любом возможном (виртуальном) перемещении системы из положения равновесия: $ΔA=0.$ Под возможным (виртуальным) перемещением тут подразумевается бесконечно малое мысленное перемещение системы, которое не противоречит наложенным на неё связям.

Итак, условие равновесия механической системы в виде принципа виртуальных перемещений формулируется следующим образом:

«Для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на систему сил при любом возможном перемещении была равна нулю».

С помощью принципа виртуальных перемещений решаются задачи не только статики, но и гидростатики, и электростатики.

Известно, что для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы или. (7)

Поскольку вариации обобщённых координат являются независимыми друг от друга и, в общем случае, не равны нулю, нужно, чтобы
,
,…,
.

Для равновесия системы с голономными удерживающими, стационарными, идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы, соответствующие выбранным обобщёным координатам были бы равны нулю.

Случай потенциальных сил:

Если система находится в потенциальном силовом поле, то

,
,…,

,
,…,

То есть положения равновесия системы могут быть только при тех значениях обобщённых координат, при которых силовая функция U и потенциальная энергия П имеют экстремальные значения (max или min ).

Понятие об устойчивости равновесия.

Определив положения, в которых система может находиться в равновесии, можно определить какие из этих положений реализуемые, а какие нереализуемые, то есть определить: какое положение является является устойчивым, а какое – неустойчивым.

В общем случае необходимый признак устойчивости равновесия по Ляпунову можно сформулировать следующим образом:

Выведем систему из положения равновесия, сообщив небольшие по модулю значения обобщённых координат и их скоростям. Если при дальнейшем рассмотрении системы обобщённые координаты и их скорости будут оставаться по модулю малымивеличинами, то есть система не будет далеко отклоняться от положения равновесия, то такое положение равновесия – устойчиво.

Достаточное условие устойчивости равновесия системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихля :

Если в полодении равновесия механической системы с идеальными связями потенциальная энергия имеет минимальное значение, то такое положение равновесия – устойчивое.

,
- устойчивое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Устойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.

Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неустойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.

В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния).

В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).

Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.

Статическое и динамическое равновесие тел

Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Статическое равновесие - это такое равновесие, когда под действием приложенных сил тело находится в состоянии покоя.

Динамическое равновесие - это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.

В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.