Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П. §2. Предел переменной величины Арифметические действия над переменными величинами

Пусть x – переменная величина . Это значит, что величина x меняет свои значения. Этим она принципиально отличается от любой постоянной величины a , которая своего неизменного значения не меняет. Например, высота столба – величина постоянная, а высота живого растущего дерева – величина переменная.

Переменная величина x считается заданной, задана числовая последовательность

ее значений. То есть тех значений x 1 ; x 2 ; x 3 ;…, которые она последовательно, одно за другим, принимает в процессе своего изменения. Будем считать, что этот процесс изменения величиной x своих значений ни на каком этапе не прекращается (переменная х никогда не застывает, она «всегда живая»). А это значит, что последовательность (1) имеет бесконечное число значений, что и отмечено в (1) многоточием.

Значения переменной величины можно рассматривать как множество значений функции натурального аргумента x n =f(n) . Член x n называется общим членом последовательности. Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого её члена по его известному номеру.

Пример 1 : Написать первые десять членов последовательности, если её общий член .

Решение: Вычисляя значение дроби при значениях n равных 1,2,3,…10, получим:

Вообще же последовательность с общим членом запишется так:

Естественно, возникает интерес относительно характера изменения величиной x своих значений. То есть возникает вопрос: меняются эти значения бессистемно, хаотически или все же как-то целенаправленно.

Основной интерес представляет, конечно, второй вариант. А именно, пусть значения x n переменной x по мере увеличения их номера n неограниченно приближаются (стремятся ) к некоторому конкретному числу a . Это значит, что разность (расстояние) между значениями x n переменной x и числом a сокращается, стремясь при увеличении n (при ) к нулю. Заменяя слово «стремится» стрелкой, сказанное выше можно записать так:

При <=> при (2)

Если имеет место (2), то говорят, что переменная х стремится к числу а . Это число а называется пределом переменной x . И записывается это следующим образом:

Читается: предел x равен a (x стремится к a ).

Стремление переменной x к своему пределу a можно наглядно проиллюстрировать на числовой оси. Точный математический смысл этого стремления x к a состоит в том, что какое бы малое положительное число ни взять, а значит, каким бы малым промежутком ни окружить на числовой оси число a , в этот промежуток (в так называемую -окрестность числа a ) попадут, начиная с некоторого номера N , все значения x n переменной x . В частности, на рис. 1 в изображенную -окрестность числа a попали все значения x n переменной x , начиная с номера .

Определение: Число а называется пределом последовательности (пределом переменной х или пределом функции f(n) ), если каково бы ни было наперед заданное положительное число , всегда можно найти такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполняться неравенство .

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам: . Число N зависит от выбранного . Если уменьшить число , то соответствующий ему номер N увеличится.

Для последовательности (или для переменной х ) необязательно иметь предел, но если этот предел есть, то он единственный. Имеющую предел последовательность называют сходящейся . Последовательность, не имеющую предела называют расходящейся .

Переменная величина x, может стремиться к своему пределу различными способами:

1. оставаясь меньше своего предела,

2. оставаясь больше своего предела,

3. колеблясь около своего предела,

4. принимая значения, равные своему пределу.

Выбор числа произволен, но после того как оно выбрано, никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться.

Переменная x , имеющая своим пределом нуль (то есть стремящаяся к нулю) называется бесконечно малой . А переменная x , неограниченно растущая по абсолютной величине, называется бесконечно большой (ее модуль стремится к бесконечности).

Итак, если , то x – бесконечно малая переменная величина, а если , то x – бесконечно большая переменная величина. В частности, если или , то x – бесконечно большая переменная величина.

Если , то . И обратно, если , то . Отсюда получаем следующую важную связь между переменной x и ее пределом a :

Уже говорилось, что не всякая переменная x имеет предел. У многих переменных нет предела. Есть он или нет – это зависит от того, какова последовательность (1) значений этой переменной.

Пример 2 . Пусть

Здесь, очевидно, , то есть .

Пример 3 . Пусть

x – бесконечно малая.

Пример 4 . Пусть

Здесь, очевидно, , то есть . Значит, переменная x – бесконечно большая.

Пример 5 . Пусть

Здесь, очевидно, переменная x ни к чему не стремится. То есть предела у нее нет ( не существует).

Пример 6 . Пусть

Здесь ситуация с пределом переменной x не так очевидна, как в предыдущих четырех примерах. Для прояснения этой ситуации преобразуем значения x n переменной x :

Очевидно, что при . Значит,

при .

А это значит, что , то есть .

Пример 7 . Пусть

Здесь последовательность {x n } значений переменной x представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q . Следовательно, предел переменной x – это предел бесконечной геометрической прогрессии.

а) Если , то, очевидно, при . А это значит, что ().

б) Если , то . То есть в этом случае значения переменной x не меняются – они все время равны 1. Тогда и ее предел равен 1 ().

в) Если , то . В этом случае, очевидно, не существует.

г) Если , то – бесконечно возрастающая положительная числовая последовательность. А значит, ().

д) Если , то вводя обозначение , где , получим: – знакопеременная числовая последовательность с бесконечно возрастающими по абсолютной величине членами:

А значит, переменная x бесконечно большая. Но в силу знакопеременности ее членов она не стремится ни к +∞, ни к –∞ (предела не имеет).

Пример 8 . Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 2.

Доказательство: Выберем произвольно положительное число и покажем, что для него можно подобрать такое число N , что для всех значений номера n , больших этого числа N , будет выполняться неравенство , в котором надо взять a=2 , , т.е. будет выполняться неравенство .

Из этого неравенства после приведения в скобках к общему знаменателю получаем . Таким образом: . За N возьмем наименьшее целое число принадлежащее интервалу . Таким образом, мы сумели по произвольно заданному положительному определить такое натуральное N , что неравенство выполняется для всех номеров n>N . Этим и доказано, что 2 есть предел последовательности с общим членом .

Отдельный интерес представляют монотонные и ограниченные последовательности.

Определение: монотонно возрастающей, если при всех n каждый её член больше предшествующего, т.е. если , и монотонно убывающей, если каждый ее член меньше предшествующего, т.е. .

Пример 9. Последовательность натуральных чисел 1,2,3,….,n ,… - монотонно возрастающая.

Пример 10 . Последовательность чисел , обратных натуральным, - монотонно убывающая.

Определение: последовательность называется ограниченной, если все её члены находятся в конечном интервале (-М,+М) и М>0 , т.е. если , для любого номера n .

Пример 11 . Последовательность { x n } , где x n есть n -й десятичный знак числа , ограничена, т.к. .

Пример 12 . Последовательность ограничена, так как .

Основные свойства переменных величин и их пределов

1) Если (переменная x неизменна и равна постоянной a ), то естественно считать, что и . То есть предел постоянной равен ей самой:

2) Если , и a и b конечны, то . То есть

Пусть х - упорядоченная переменная величина (например числовая последовательность).

Определение.

Постоянное число a называют пределом переменной величины х, если какое бы сколь угодно малое положительное число  мы не взяли, можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству  x -а  .

Символически это пишут ха или limх=а (от латинского limes - предел).

Геометрически это определение означает, что какую бы малую  - окрестность точки a мы не взяли, все последующие значения x после некоторого будут лежать в этой окрестности.

Из чертежа видно, что неравенство
означает, что расстояние от точки х до а меньше . А это и есть внутренность окрестности. Точка х удовлетворяет, очевидно, и двойному неравенству a- и это равнозначны.

Определение: Для числовой последовательности {x n } a является пределом, если по
можно указать такой номерN, что для всех

Для членов последовательности все значения x N ,x N +1 и далее лежат внутри -окрестности обязательно.

Переменную x, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n часто записывают в виде члена последовательности x=x n или {x n }. Например, {1/n}. Это переменная величина или последовательность с общим членом x n =1/n: 1,1/2,1/3…

Пример : Пусть переменная величина x принимает последовательно значения: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… т.е. образуют числовую последовательность. Докажем, что
.

Возьмём
.


. Как только номерn станет
, его примем заN. Тогда неравенство будет выполняться для
. Но тогда всё доказано.

Теорема 1: предел постоянной величины равен этой постоянной. Доказательство: Постоянная величина является частным случаем переменной – все её значения =с: x=c/ Но, тогда limc=c.

Теорема 2: Переменная величина x не может иметь двух пределов.

Доказательство: Допустим limx=a и limx=b. Тогда

и
после некоторого значенияx. Но тогда

Так как сколь угодно мало, то неравенство возможно лишь приa=b

Замечаеие: Переменная может и не иметь предела: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. Расстояние до любой точки а от её значений –1,+1 не может быть меньше 1/2
(-1) n не имеет предела.

Мы предполагали а – числом. Но переменная x может стремиться и к бесконечности.

Определение: Переменная x стремится к бесконечности, если для
начиная с некоторого значенияx вес остальные значения удовлетворяют неравенству
. Переменнаяx стремится к
, если при тех же условиях выполняется неравенствоx>M и к -, если при тех же условиях выполняется неравенство x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют бесконечно большой величиной и пишут

Пример: x=x n =n 2 . Возьмём
>0. Должно выполнятьсяn 2 >M. n>
. Как только n удовлетворяет этому неравенству, так для всех x n =n 2 неравенство выполняется. Значит, n 2
, а точнее n 2
.

§3. Предел функции.

Будем предполагать, что аргумент х функции у=f(х) стремится к х 0 или .

Рассмотрим поведение функции y в этих случаях.

Определение.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х 0 . Число A называется пределом функции при хх 0 , если для любого , сколь угодно малого, можно указать такое число , что для всех хх 0 и удовлетворяющих неравенству x-x 0  выполняется неравенство f(х)-A.

Если A есть предел функции f(х), то пишут
илиf(х)А при хх 0 .

Определение так можно проиллюстрироватьгеометрически .

Если А есть предел f(х) при хх 0 , то взяв любую - окрестность точки А, мы всегда можем указать такую  - окрестность точки х 0 , что для всех х из этой  - окрестности значения функции f(х) отстоят от А не дальше , т.е. попадут в выбранную - окрестность точки А, или, все равно, часть графика соответствующая точкам х из - окрестности лежит целиком в полосе шириной 2.

Видно, что чем меньше , тем меньше должно быть и .

Определение.

Пусть аргумент х стремится к точке х 0 , принимая все время значения xx 0 xx 0 .Тогда число А 1 (А 2), к которому стремится функция f(х), называется пределом функции f(х) в точке х 0 справа (слева) или правосторонним (левосторонним).

Записывается: lim х  х0+0 f(х)=А 1 , (lim х  х0-0 f(х)=А 2).

Можно доказать, что если предел lim х  х0 f(х)=А существует, то существуют в этой точке и оба односторонних предела и они равны, А 1 =А 2 =А. Обратно: Если существуют односторонние пределы и они равны, то существует и общий предел. Если же хоть один не существует или они не равны, то предел функции не существует.

Пример.

Доказать, что f(х)=3х-2 имеет предел при х1 равный 1.

Любое х  3х2-1, 3х3, 3х, х3.

В качестве  можно взять любые положительные числа /3; 0</3.

Доказали, что для любого  достаточно взять /3, чтобы из 0х f(х)-1, но это и значит, что lim X  (3х-2)=1.

Определение.

Ч
исло А называется пределом функции у=f(х) при х, если для любого  (сколь угодно малого) можно указать такое положительное число P, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству хP выполняется неравенство f(х)-А.

Записывают lim х  f(х)=А.

Геометрически это означает, что для любого  график функции для хp и х-p располагается в полосе шириной 2.

Пример.

f(х)=1/х при х, f(х)0.

Какое бы 0 ни взяли, график функции при хР и х-Р расположится в полосе шириной 2.

1/х, 1/х, х1/, Р=1/.

Аналогично определяются и
f(х)=А 1 и
f(х)=А 2 . В первом случае должно выполняться неравенство f(х)-А 1  для хР, во втором f(х)-А 2  при х-Р (Р0.

Так,
1/х=0, и
1/х=0. Равенство их и позволяет рассматривать общий предел
1/х=0.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Л.И. Самочернова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета 2-е издание, исправленное Издательство Томского политехнического университета 2005 УДК 514.12 C17 Самочернова Л.И. C17 Высшая математика. Часть II: учебное пособие / Л.И. Само- чернова; Томский политехнический университет. – 2-е изд., испр. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2005. – 164 с. Учебное пособие включает три раздела высшей математики: 1) введение в математический анализ (предел последовательности и функции, бесконечно малые и бесконечно большие величины, сравнение бесконечно малых, непре- рывность функции, точки разрыва); 2) дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная и дифференциал функции, применения диф- ференциального исчисления к исследованию функций); 3) интегральное исчис- ление (неопределенный интеграл, определенный интеграл, геометрические приложения определенного интеграла). Пособие подготовлено на кафедре прикладной математики и предназна- чено для студентов ИДО, обучающихся по направлениям 080400 «Управление персоналом», 080200 «Менеджмент», 080100 «Экономика», 100700 «Торговое дело». УДК 514.12 Рецензенты Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры ТГУ С.Я. Гриншпон Кандидат технических наук, доцент факультета систем управления ТУСУРа А.И. Кочегуров © Томский политехнический университет, 2005 © Самочернова Л.И., 2005 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2005 2 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.1. Числовая последовательность и её предел Определение 1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число xn , то гово- рят, что задана числовая последовательность {xn } : x1,x2 , x3 ,...,xn ,... (1.1) Другими словами, числовая последовательность – это функция нату- рального аргумента: xn = f(n). Числа, составляющие последовательность, называются её членами, а xn – общим или n-м членом последовательности. Пример числовой последовательности: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Для этой последовательности x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n – общий член последовательности чётных чисел. n Пример 1. Зная общий член последовательности xn = , написать n+2 её первые пять членов. Решение. Давая n значения 1, 2, 3, 4, 5, получим 1 2 3 4 5 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n Вообще же последовательность с общим членом xn = запишется так: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 Отметим, что поскольку xn =f(n) есть функция, то есть, вообще говоря, переменная величина, то для удобства будем в дальнейшем часто называть функцию xn переменной величиной, или просто переменной xn . Ограниченные и неограниченные последовательности Определение 2. Последовательность {xn } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент xn последовательности {xn } удовлетворяет неравенству xn ≤ M (xn ≥ m) . При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гра- нью) последовательности {xn } , а неравенство xn ≤ M (xn ≥ m) называется ус- ловием ограниченности последовательности сверху (снизу). 3 Определение 3. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть, если существуют числа m и М такие, что любой элемент xn этой после- довательности удовлетворяет неравенствам: m ≤ xn ≤ M . Если последовательность {xn } ограничена и М и m – её верхняя и нижняя грани, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству xn ≤ A , (1.2) где А – максимальное из двух чисел |М| и |m|. Обратно, если все элементы по- следовательности {xn } удовлетворяют неравенству (1.2), то выполняются также неравенства − A ≤ xn ≤ A и, следовательно, последовательность {xn } ограничена. Таким образом, неравенство (1.2) представляет собой другую форму условия ограниченности последовательности. Уточним понятие неог- раниченной последовательности. Последовательность {xn } называется неограниченной, если для любо- го положительного числа А найдется элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству xn > A . 2n Примеры: 1. Последовательность с общим членом xn = (− 1)n sin 3n n +1 ограничена, т. к. при всех n выполняется неравенство 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤ < 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn > xn +1) , то последовательность {xn } называется воз- растающей (убывающей). Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными. Пример 2. Последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ..., где xn = 2n − 1 , – монотонно возрастающая. 4 Действительно, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2 , так что xn +1 − xn > 0 , т. е. xn +1 > xn при всех n. Предел последовательности Определим одно из важнейших понятий математического анализа – предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной вели- чины xn , пробегающей последовательность x1,x2 ,...,xn ,... Определение 5. Постоянное число а называется пределом последова- тельности x1,x2 ,...,xn ,... или пределом переменной xn , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такое натураль- ное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N вы- полняется неравенство xn − a < ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n > N будет выполняться неравенство (1.3), в котором надо взять а =1; n xn = , то есть неравенство n +1 n 1− < ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 > 1/ε, n > 1/ε–1. Следовательно, за N можно взять наибольшее це- лое число, содержащееся в (1/ε – 1), то есть Е(1/ε – 1). Тогда неравенство (1.4) будет выполняться при всех n >N. Если окажется, что Е(1/ε – 1) ≤ 0, то N можно взять равным 1. Поскольку ε брали произвольно, то этим и доказано, что 1 есть предел последовательности с общим членом xn = n /(n + 1) . В част- ности, если ε = 0,01, то N = Е (1 / 0,01 − 1) =Е(100 – 1)=99; если ε=1/2, то N=Е (1 / 0,5 − 1)=1 и т. д. Выбранные таким образом N для различных значений ε будут наименьшими из возможных. Геометрическая интерпретация предела числовой последовательности Числовую последовательность (1.1) можно рассматривать как последова- тельность точек прямой. Точно так же и о пределе можно говорить как о точке на прямой. Так как неравенство xn − a < ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n > N попадут в заданную окрестность. Изобразим числа a , a – ε, a + ε и значения переменной xn точками на числовой оси (рис. 1). Выполнение неравенства (1.3) при условии n > N гео- метрически означает, что все точки xn , начиная с точки x N +1 , то есть с точки, индекс которой превосходит некоторое натуральное число N, будут непре- менно лежать в ε-окрестности точки а. Вне этой окрестности, если и будут находиться точки xn , то их окажется лишь конечное число. Рис. 1 Признак сходимости монотонной последовательности Теорема 1. Всякая невозрастающая (неубывающая) ограниченная снизу (сверху) последовательность {xn } или переменная величина xn имеет предел. 6 1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие величины Определение 1. Переменная величина xn называется бесконечно ма- лой, если она имеет предел, равный нулю. Следуя определению предела, можно сказать, что xn будет бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε > 0. Примерами бесконечно малой могут служить переменные 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n при q < 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε > 0. Из неравенства xn = = < ε полу- n n чаем n >1/ε. Если взять N = E(1/ε), то для n > N будет xn < ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M > 0 можно указать такое натуральное число N, что для всех но- меров n > N выполняется неравенство xn > М. Иначе говоря, переменная ве- личина xn называется бесконечно большой, если, начиная с некоторого но- мера, она становится и остаётся при всех последующих номерах по абсолют- ной величине больше любого наперед заданного положительного числа М. О бесконечно большой переменной xn говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел, и пишут: xn → ∞ или lim xn = ∞ . n →∞ n →∞ 7 В связи с введением нового понятия – «бесконечный предел» – усло- вимся предел в ранее определенном смысле называть конечным пределом. Пример 2. Величина xn = (− 1)n ⋅ n , принимающая последовательно зна- чения -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K – бесконечно большая. Действительно, xn = (− 1)n n = n . Отсюда ясно, что, каково бы ни было число М, для всех n, начиная с некоторого, будет xn = n > М, то есть lim xn = ∞ . n →∞ Определение 3. Переменная величина xn называется положительной бесконечно большой величиной, если для любого числа М можно указать такое натуральное число N, что для всех номеров n > N выполняется неравен- ство xn > М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к плюс бесконечности и символически записывают это так: xn → +∞ или lim xn = +∞ . n→∞ n →∞ Определение 4. Переменная величина xn называется отрицательной бесконечно большой величиной, если для любого числа М можно указать такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство xn <М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) с центром в начале координат, точка xn , изобра- жающая значения бесконечно большой величины, при достаточно большом номере n окажется вне указанного сегмента и при дальнейшем увеличении n будет оставаться вне его (рис. 2). При этом, если xn – положительная (отри- цательная) бесконечно большая величина, то точка, изображающая её значе- ния, окажется для достаточно больших номеров n вне указанного сегмента с правой (левой) стороны от начала координат. Рис. 2 8 Замечание 2. 1. Символы ∞, + ∞, − ∞ не являются числами, а вводятся только для упрощения записи и для сокращенного словесного выражения того факта, что переменная величина является бесконечно большой, положительной бес- конечно большой и отрицательной бесконечно большой. Следует твердо за- помнить, что никаких арифметических действий над этими символами про- изводить нельзя! 2. Нельзя смешивать постоянное очень большое число с бесконечно большой величиной. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами Теорема 1. Пусть xn ≠0 (при любом n). Если xn – бесконечно большая, то yn = 1 / xn – бесконечно малая; если xn – бесконечно малая, то yn = 1 / xn – бесконечно большая. 1.3. Арифметические действия над переменными величинами. Основные теоремы о пределах переменных (последовательностей) Введём понятие об арифметических операциях над переменными вели- чинами. Пусть имеем две переменные величины xn и yn , принимающие со- ответственно значения: x1 , x2 , x3 , ..., xn , ..., y1 , y2 , y3 , ..., yn , ... . Под суммой двух данных переменных xn и yn понимают переменную, каждое значение которой равно сумме соответствующих (с одними и теми же номерами) значений переменных xn и yn , то есть переменную, прини- мающую последовательность значений x1 + y1, x2 + y2 , K , xn + yn , K Мы будем обозначать эту переменную через xn + yn . Аналогично определяется сумма любого числа переменных, их произ- ведение, а также разность двух переменных и их частное. Таким образом, возникают новые переменные: xn + y n , xn − y n , xn ⋅ y n и x n / y n . (В последнем случае предполагается, что, хотя бы с некоторого номера yn ≠0, и частное xn / yn рассматривается только для таких номеров). Аналогичным образом эти определения формулируются в терминах последовательностей. 9 Теоремы о пределах переменных Теорема 1. Переменная xn может иметь только один предел. Между переменными величинами, имеющими предел, и бесконечно малыми величинами существует связь. Теорема 2. Переменную величину, имеющую предел, можно предста- вить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины. Теорема 3 (обратная к теореме 2). Если переменную величину xn мож- но представить в виде суммы двух слагаемых xn = a + α n , (1.5) где а есть некоторое число, а α n – бесконечно малая, то а есть предел пере- менной величины xn . Теорема 4. Если переменная xn имеет конечный предел, то она огра- ничена. Следствие. Бесконечно малая переменная ограничена. Лемма 1. Алгебраическая сумма любого (но ограниченного) числа бес- конечно малых величин есть также величина бесконечно малая. Лемма 2. Произведение ограниченной переменной величины xn на бесконечно малую α n есть величина бесконечно малая. Следствие 1. Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин представляет собой бесконечно малую величину. Следствие 2. Произведение постоянной величины на бесконечно ма- лую есть величина бесконечно малая. Следствие 3. Произведение переменной величины, стремящейся к пре- делу, на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Пользуясь леммами 1 и 2 можно доказать следующие теоремы о пределах. Теорема 5. Если переменные xn и yn имеют конечные пределы, то их сумма, разность, произведение также имеют конечные пределы, причем: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn . n→∞ n→∞ n→∞ Замечание 1. Эта теорема верна для любого фиксированного числа слагаемых и сомножителей. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ где с – какая-либо постоянная. Теорема 6. Если переменные xn и yn имеют конечные пределы и yn ≠0, lim yn ≠ 0, то и частное этих переменных также имеет предел, причем n →∞ 10

Числовая последовательность.

Переменная, пробегающая числовую последовательность

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число x n , т. е.

1, 2, 3, 4, …, n , …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

то говорят, что задана числовая последовательность с общим членом x n . В дальнейшем будем говорить, что задана переменная x , пробегающая числовую последовательность с общим членом x n . В этом случае эту переменную будем обозначать x n . Значения переменной x n изображаются точками на числовой оси.

Например, даны переменные:

: или ;

: 1, 4, 6, …, 2n ..

Число а называется пределом переменнойx n , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое натуральное число N x n , у которых номер n больше числа N , удовлетворяют неравенству .

Этот факт символически записывается так:

Геометрически это означает, что точки, изображающие значения переменной x n , сгущаются, накапливаются около точки а .

Отметим, что если переменная имеет предел, то он единственный. Предел постоянной, есть сама постоянная, т.е. , если c=const . Переменная может вовсе не иметь предела.

Например, переменная x n =(-1) n не имеет предела, т.е. нет единственного числа, около которого накапливаются значения переменной. Геометрически это очевидно .

Ограниченная переменная

Переменная x n называется ограниченной , если существует такое число M > 0, что |x n | < M для всех номеров n.

Дана переменная . В качестве числа М можно взять, например, 3. Очевидно, что для всех номеров n . Следовательно, – ограниченная переменная.

Переменная x n = 2n является неограниченной, т.к. с ростом номера n ее значения увеличиваются и нельзя подобрать такое число M > 0, чтобы |2n | < M для всех номеров n .

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена .

Обратная теорема неверна.

Бесконечно малые величины

Переменная x n называется бесконечно малой , если ее предел равен 0.

Например, бесконечно малыми являются величины:

Так как ;

Так как

Величина не является бесконечно малой, это величина конечная.

Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой на постоянную величину или на бесконечно малую или на величину, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины

Переменная x n называется бесконечно большой , если для любого сколь угодно большого числа A>0 , найдется такое натуральное число N , что все значения переменной x n , у которых номер n>N , удовлетворяют неравенству .

В этом случае пишут или .

Например, бесконечно большими являются переменные:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; x n = -5n : -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n ×n : -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Видно, что модули значений этих переменных неограниченно возрастают.

, , .

Произведение бесконечно большой на бесконечно большую или на величину, имеющую предел, есть бесконечно большая величина.

Сумма бесконечно больших одного знака есть бесконечно большая.

Величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая .

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая.

Замечание.

Если , а – число, то говорят, что x n имеет конечный предел.

Если , то говорят, что x n имеет бесконечный предел.

Арифметические действия над переменными величинами

Если переменные x n и y n имеют конечные пределы, то их сумма, разность, произведение и частное также имеют конечные пределы, причем, если и , то

(4.3)

Замечание: , c = const.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Функция

Пусть даны две переменные x и y .

Переменная y называется функцией от переменной x , если каждому значению x из некоторого множества по определенному закону соответствует определенное значение y .

При этом x называется независимой переменной или аргументом , y – зависимая переменная или функция . Обозначается: y = f(x) или y=y(x).

Предел – это одно из самых фундаментальных понятий высшей математики. В данной главе мы рассмотрим две основные разновидности пределов: 1) предел переменной; 2) предел функции.

Пусть X – Переменная величина . Это значит, что величина X меняет свои значения. Этим она принципиально отличается от любой Постоянной величины A , которая своего неизменного значения не меняет. Например, высота столба – величина постоянная, а высота живого растущего дерева – величина переменная.

Переменная величина X считается заданной, если задана последовательность

Ее значений. То есть тех значений X 1; X 2; X 3;…, которые она последовательно, одно за другим, принимает в процессе своего изменения. Будем считать, что этот процесс изменения величиной X своих значений ни на каком этапе не прекращается (переменная Х никогда не застывает, она «всегда живая»). А это значит, что последовательность (1.1) имеет бесконечное число значений, что и отмечено в (1.1) многоточием.

Естественно, возникает интерес относительно характера изменения величиной X своих значений. То есть возникает вопрос: меняются эти значения бессистемно, хаотически или все же как-то целенаправленно.

Основной интерес представляет, конечно, второй вариант. А именно, пусть значения Xn Переменной X по мере увеличения их номера N неограниченно приближаются (Стремятся ) к некоторому конкретному числу A . Это значит, что разность (расстояние) между значениями Xn Переменной X и числом A сокращается, стремясь при увеличении N (при ) к нулю. Заменяя слово «стремится» стрелкой, сказанное выше можно записать так:

При <=> при (1.2)

Если имеет место (1.2), то говорят, что Переменная х стремится к числу а . Это число А Называется Пределом переменной X . И записывается это следующим образом:

<=> (1.3)

Читается: Предел X равен A (X стремится к A ).

Стремление переменной X к своему пределу A Можно наглядно проиллюстрировать на числовой оси. Точный математический смысл этого стремления X к A состоит в том, что какое бы малое положительное число ни взять, а значит, каким бы малым промежутком ни окружить на числовой оси число A , в этот промежуток (в так называемую -окрестность числа A ) попадут, начиная с некоторого номера N , все значения Xn Переменной X . В частности, на рис. 3.1 в изображенную -окрестность числа A попали все значения Xn Переменной X , начиная с номера .

Переменная X , имеющая своим пределом нуль (то есть стремящаяся к нулю) называется Бесконечно малой . А переменная X , неограниченно растущая по абсолютной величине, называется Бесконечно большой (ее модуль стремится к бесконечности).

Итак, если , то X – бесконечно малая переменная величина, а если , то X – бесконечно большая переменная величина. В частности, если или , то X – бесконечно большая переменная величина.

Если , то . И обратно, если , то . Отсюда получаем следующую важную связь между переменной X и ее пределом A :

Отметим, что не всякая переменная X имеет предел. У многих переменных нет предела. Есть он или нет – это зависит от того, какова последовательность (1.1) значений этой переменной.

Пример 1 . Пусть

Здесь, очевидно, , то есть .

Пример 2 . Пусть

X – бесконечно малая.

Пример 3 . Пусть

Здесь, очевидно, , то есть . Значит, переменная X – бесконечно большая.

Пример 4 . Пусть

Здесь, очевидно, переменная X ни к чему не стремится. То есть предела у нее нет ( не существует).

Пример 5 . Пусть

Здесь ситуация с пределом переменной X не так очевидна, как в предыдущих четырех примерах. Для прояснения этой ситуации преобразуем значения Xn переменной X :

Очевидно, что при . Значит,

при .

А это значит, что , то есть .

Пример 6 . Пусть

Здесь последовательность {Xn } значений переменной X представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем Q . Следовательно, предел переменной X – это предел бесконечной геометрической прогрессии.

А) Если , то, очевидно, при . А это значит, что ().