Формула периодического колебания. Гармонические колебания

Так и к ангармоническим строго периодическими колебаниям (а приближенно - с тем или иным успехом - и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием , под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: T {\displaystyle T} (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это τ {\displaystyle \tau } , иногда Θ {\displaystyle \Theta } и т. д.).

T = 1 ν , ν = 1 T . {\displaystyle T={\frac {1}{\nu }},\ \ \ \nu ={\frac {1}{T}}.}

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны λ {\displaystyle \lambda }

v = λ ν , T = λ v , {\displaystyle v=\lambda \nu ,\ \ \ T={\frac {\lambda }{v}},}

где v {\displaystyle v} - скорость распространения волны (точнее - фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта - например, частицы - есть частота колебаний его волновой функции).

Теоретическое нахождение периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно - и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы , секундомеры , частотомеры , стробоскопы , строботахометры, осциллографы . Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса . Для волн можно померить период косвенно - через длину волны, для чего применяются интерферометры , дифракционные решетки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).
Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот элетромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .
Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне
От 5·10 −5 до 0,2
(четкие границы его несколько условны).
Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света - в диапазоне
От 1,1·10 −15 до 2,3·10 −15 .
Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней - период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц ().
В любом случае границей снизу может служить планковское время , которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено , но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху - время существования Вселенной - более десяти миллиардов лет.

Периоды колебаний простейших физических систем

Пружинный маятник

Математический маятник

T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
где l {\displaystyle l} - длина подвеса (к примеру, нити), g {\displaystyle g} - ускорение свободного падения .
Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью равен 2 секундам.

Физический маятник

T = 2 π J m g l {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgl}}}}
где J {\displaystyle J} - момент инерции маятника относительно оси вращения, m {\displaystyle m} -

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка
Амплитуда колебаний
Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.
Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:
x = Xm*cos(ω0*t).
Период колебаний
Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.
Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.
ν = 1/Т.
Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Частота колебаний
Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.
Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:
Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.
Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.
Период свободных колебаний :
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.
Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.
тогда период будет равен
T = 2*pi*√(l/g).
Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.
От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.
Определение и физический смысл
Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.
Какие бывают колебания?
Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.
Опыт с маятниками
Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль - держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.
Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.
Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.
Обозначение величин и размерности
Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).
Формула для математического маятника. Задача №1
Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:
Где l - длина нити, п = 3,14, а g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.
Формула для пружинного маятника. Задача №2
Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:
В ней m - масса подвешенного к пружине груза, k - коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься - все-таки 2 величины из 4 являются константами - то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.
Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь - половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.
Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний
Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.
1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.
2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.
3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

Важнейшим параметром, характеризующим механические, звуковые, электрические, электромагнитные и все другие виды колебаний, является период - время, в течение которого совершается одно полное колебание. Если, например, маятник часов-ходиков делает за 1 с два полных колебания, период каждого колебания равен 0,5с. Период колебаний больших качелей около 2 с, а период колебаний струны может составлять от десятых до десятитысячных долей секунды.
Рисунок 2.4 - Колебание
где: φ – фаза колебания, I – сила тока, Ia – амплитудное значение силы тока (амплитуда)
Т – период колебания силы тока (период)
Другим параметром, характеризующим колебания, является частота (от слова «часто») - число, показывающее, сколько полных колебаний в секунду совершают маятник часов, звучащее тело, ток в проводнике и т.п. Частоту колебаний оценивают единицей, носящей название герц (сокращенно пишут Гц): 1 Гц-это одно колебание в секунду. Если, например, звучащая струна совершает 440 полных колебаний в 1 с (при этом она создает тон «ля» третьей октавы), говорят, что частота ее колебаний 440 Гц. Частота переменного тока электроосветительной сети 50 Гц. При этом токе электроны в проводах сети в течение секунды текут попеременно 50 раз в одном направлении и столько же раз в обратном, т.е. совершают за 1 с 50 полных колебаний.
Более крупные единицы частоты - килогерц (пишут кГц), равный 1000 Гц и мегагерц (пишут МГц), равный 1000 кГц или 1 000 000 Гц.
Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины при колебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, измеряется в единицах, зависящих от типа волны или колебания.
Рисунок 2.5 - Синусоидальное колебание.
где, y - амплитуда волны, λ - длина волны.
Например:
Форма изменения амплитуды называется огибающей волной .
Звуковые колебания
Как возникают звуковые волны в воздухе? Воздух состоит из невидимых глазам частиц. При ветре они могут переноситься на большие расстояния. Но они, кроме того, могут и колебаться. Например, если в воздухе сделать резкое движение палкой, то мы почувствуем легкий порыв ветра и одновременно услышим слабый звук. Звук это - результат колебаний частиц воздуха, возбужденных колебаниями палки.
Проведем такой опыт. Оттянем струну, например, гитары, а потом отпустим ее. Струна начнет дрожать - колебаться около своего первоначального положения покоя. Достаточно сильные колебания струны заметны на глаз. Слабые колебания струны можно только почувствовать как легкое щекотание, если прикоснуться к ней пальцем. Пока струна колеблется, мы слышим звук. Как только струна успокоится, звук затихнет. Рождение звука здесь - результат сгущения и разрежения частиц воздуха. Колеблясь из стороны в сторону, струна теснит, как бы прессует перед собой частицы воздуха, образуя в некотором его объеме области повышенного давления, а сзади, наоборот, области пониженного давления. Это и есть звуковые волны . Распространяясь в воздухе со скоростью около 340 м/с , они несут в себе некоторый запас энергии. В тот момент, когда до уха доходит область повышенного давления звуковой волны, она надавливает на барабанную перепонку, несколько прогибая ее внутрь. Когда же до уха доходит разреженная область звуковой волны, барабанная перепонка выгибается несколько наружу. Барабанная перепонка все время колеблется в такт с чередующимися областями повышенного и пониженного давления воздуха. Эти колебания передаются по слуховому нерву в мозг, и мы воспринимаем их как звук. Чем больше амплитуды звуковых волн, тем больше энергии несут они в себе, тем громче воспринимаемый нами звук.
Звуковые волны, как и водяные или электрические колебания, изображают волнистой линией - синусоидой. Ее горбы соответствуют областям повышенного давления, а впадины-областям пониженного давления воздуха. Область повышенного давления и следующая за нею область пониженного давления образуют звуковую волну.
По частоте колебаний звучащего тела можно судить о тоне или высоте звука. Чем больше частота, тем выше тон звука, и наоборот, чем меньше частота, тем ниже тон звука. Наше ухо способно реагировать на сравнительно небольшую полосу (участок) частот звуковых колебаний - примерно от 20 Гц до 20 кГц . Тем не менее эта полоса частот вмещает всю обширнейшую гамму звуков, создаваемых голосом человека, симфоническим оркестром: от очень низких тонов, похожих на звук жужжания жука, до еле уловимого высокого писка комара. Колебания частотой до 20 Гц, называемые инфразвуковыми , и свыше 20 кГц, называемые ультразвуковыми , мы не слышим. А если бы барабанная перепонка нашего уха оказалась способной реагировать и на ультразвуковые колебания, мы могли бы тогда услышать писк летучих мышей, голос дельфина. Дельфины издают и слышат ультразвуковые колебания с частотами до 180 кГц.
Но нельзя путать высоту, т.е. тон звука с его силой. Высота звука зависит не от амплитуды, а от частоты колебаний. Толстая и длинная струна музыкального инструмента, например, создает низкий тон звука, т.е. колеблется медленнее, чем тонкая и короткая струна, создающая высокий тон звука (рис. 1).
Рисунок 2.6 - Звуковые волны
Чем больше частота колебаний струны, тем короче звуковые волны и выше тон звука.
В электро - и радиотехнике используют переменные токи частотой от нескольких герц до тысяч гигагерц. Антенны широковещательных радиостанций, например, питаются токами частотой примерно от 150 кГц до 100 МГц.
Эти быстропеременные колебания, называемые колебаниями радиочастоты, и являются тем средством, с помощью которого осуществляется передача звуков на большие расстояния без проводов.
Весь огромный диапазон переменных токов принято подразделять на несколько участков - поддиапазонов.
Токи частотой от 20 Гц до 20 кГц, соответствующие колебаниям, воспринимаемым нами как звуки разной тональности, называют токами (или колебаниями) звуковой частоты , а токи частотой выше 20 кГц - токами ультразвуковой частоты .
Токи частотой от 100 кГц до 30 МГц называют токами высокой частоты ,
Токи частотой выше 30 МГц - токами ультравысокой и сверхвысокой частоты.

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Рекомендуем также