Расчетные схемы для балок. Изгиб

Общие понятия.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1) . Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а) , то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б) :

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. .

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. .

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н· м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

Поскольку,

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

Сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке ;
• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. .

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ; ; .

2. ;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.
2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. .

Построение эпюр и в балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а) . На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и (рис. 6.5, б) . Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А (рис. 6.5, в) .

(рис. 6.5, г). Расстояние может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

Н а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае – наклонными прямыми .

Н а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

В сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры .

Н а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.

Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1) Выполняется гипотеза плоских сечений.

2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии

Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где н.о. — это нейтральная ось

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.

Для наглядного представления характера деформации брусьев (стержней) при изгибе проводится следующий опыт. На боковые грани резинового бруса прямоугольного сечения наносится сетка линий, параллельных и перпендикулярных оси бруса (рис. 30.7, а). Затем к брусу по его концам прикладываются моменты (рис. 30.7, б), действующие в плоскости симметрии бруса, пересекающей каждое его поперечное сечение по одной из главных центральных осей инерции. Плоскость, проходящая через ось бруса и одну из главных центральных осей инерции каждого его поперечного сечения, будем называть главной плоскостью.

Под действием моментов брус испытывает прямой чистый изгиб. В результате деформации, как показывает опыт, линии сетки, параллельные оси бруса, искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния. При указанном на рис. 30.7, б направлении моментов эти линии в верхний части бруса удлиняются, а в нижней - укорачиваются.

Каждую линию сетки, перпендикулярную к оси бруса, можно рассматривать как след плоскости некоторого поперечного сечения бруса. Так как эти линии остаются прямыми, то можно предполагать, что поперечные сечения бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации.

Это предположение, основанное на опыте, как известно, носит название гипотезы плоских сечений, или гипотезы Бернулли (см. § 6.1).

Гипотеза плоских сечений применяется не только при чистом, но и при поперечном изгибе. Для поперечного изгиба она является приближенной, а для чистого изгиба строгой, что подтверждается теоретическими исследованиями, проведенными методами теории упругости.

Рассмотрим теперь прямой брус с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси, заделанный правым концом и нагруженный на левом конце внешним моментом действующим в одной из главных плоскостей бруса (рис. 31.7). В каждом поперечном сечении этого бруса возникают только изгибающие моменты действующие в той же плоскости, что и момент

Таким образом, брус на всем своем протяжении находится в состоянии прямого чистого изгиба. В состоянии чистого изгиба могут находиться отдельные участки балки и в случае действия на нее поперечных нагрузок; например, чистый изгиб испытывает участок 11 балки, изображенной на рис. 32.7; в сечениях этого участка поперечная сила

Выделим из рассматриваемого бруса (см. рис. 31.7) двумя поперечными сечениями элемент длиной . В результате деформации, как это следует из гипотезы Бернулли, сечения останутся плоскими, но наклонятся по отношению друг к другу на некоторый угол Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол оно займет положение (рис. 33.7).

Прямые пересекутся в некоторой точке А, которая является центром кривизны (или, точнее, следом оси кривизны) продольных волокон элемента Верхние волокна рассматриваемого элемента при показанном на рис. 31.7 направлении момента удлиняются, а нижние укорачиваются. Волокна же некоторого промежуточного слоя перпендикулярного к плоскости действия момента сохраняют свою длину. Этот слой называется нейтральным слоем.

Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя, т. е. расстояние от этого слоя до центра кривизны А (см. рис. 33.7). Рассмотрим некоторый слой расположенный на расстоянии у от нейтрального слоя. Абсолютное удлинение волокон этого слоя равно а относительное

Рассматривая подобные треугольники устанавливаем, что Следовательно,

В теории изгиба предполагается, что продольные волокна бруса не давят друг на друга. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это предположение не влияет существенно на результаты расчета.

При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса не возникают касательные напряжения. Таким образом, все волокна при чистом изгибе находятся в условиях одноосного растяжения или сжатия.

По закону Гука для случая одноосного растяжения или сжатия нормальное напряжение о и соответствующая относительная деформация связаны зависимостью

или на основании формулы (11.7)

Из формулы (12.7) следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах бруса прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя. Следовательно, в поперечном сечении бруса в каждой его точке нормальные напряжения пропорциональны расстоянию у от этой точки до нейтральной оси, представляющей собой линию пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением (рис.

34.7, а). Из симметрии бруса и нагрузки следует, что нейтральная ось горизонтальна.

В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю; по одну сторону от нейтральной оси они растягивающие, а по другую - сжимающие.

Эпюра напряжений о представляет собой график, ограниченный прямой линией, с наибольшими по абсолютной величине значениями напряжений для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 34.7,б).

Рассмотрим теперь условия равновесия выделенного элемента бруса. Действие левой части бруса на сечение элемента (см. рис. 31.7) представим в виде изгибающего момента остальные внутренние усилия в этом сечении при чистом изгибе равны нулю. Действие правой части бруса на сечение элемента представим в виде элементарных сил о приложенных к каждой элементарной площадке поперечного сечения (рис. 35.7) и параллельных оси бруса.

Составим шесть условий равновесия элемента

Здесь - суммы проекций всех сил, действующих на элемент соответственно на оси - суммы моментов всех сил относительно осей (рис. 35.7).

Ось совпадает с нейтральной осью сечения а ось у перпендикулярна к ней; обе эти оси расположены в плоскости поперечного сечения

Элементарная сила не дает проекций на оси у и и не вызывает момента относительно оси Поэтому уравнения равновесия удовлетворяются при любых значениях о.

Уравнение равновесия имеет вид

Подставим в уравнение (13.7) значение а по формуле (12.7):

Так как (рассматривается изогнутый элемент бруса, для которого ), то

Интеграл представляет собой статический момент поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси . Равенство его нулю означает, что нейтральная ось (т. е. ось ) проходит через центр тяжести поперечного сечения. Таким образом, центр тяжести всех поперечных сечений бруса, а следовательно, и ось бруса, являющаяся геометрическим местом центров тяжести, расположены в нейтральном слое. Следовательно, радиус кривизны нейтрального слоя является радиусом кривизны изогнутой оси бруса.

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно нейтральной оси :

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси .

Обозначим площадь части поперечного сечения бруса, расположенной над нейтральной осью, - под нейтральной осью.

Тогда представит собой равнодействующую элементарных сил приложенных выше нейтральной оси, ниже нейтральной оси (рис. 36.7).

Обе эти равнодействующие равны друг другу по абсолютной величине, так как их алгебраическая сумма на основании условия (13.7) равна нулю. Эти равнодействующие образуют внутреннюю пару сил, действующую в поперечном сечении бруса. Момент этой пары сил, равный т. е. произведению величины одной из них на расстояние между ними (рис. 36.7), представляет собой изгибающий момент в поперечном сечении бруса.

Подставим в уравнение (15.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь представляет собой осевой момент инерции , т. е. оси, проходящей через центр тяжести сечения. Следовательно,

Подставим значение из формулы (16.7) в формулу (12.7):

При выводе формулы (17.7) не учтено, что при внешнем моменте направленном, как это показано на рис. 31.7, согласно принятому правилу знаков, изгибающий момент является отрицательным. Если учесть это, то перед правой частью формулы (17.7) необходимо поставить знак «минус». Тогда при положительном изгибающем моменте в верхней зоне бруса (т. е. при ) значения а получатся отрицательными, что укажет на наличие в этой зоне сжимающих напряжений. Однако обычно знак «минус» в правой части формулы (17.7) не ставится, а эта, формула используется лишь для определения абсолютных значений напряжений а. Поэтому в формулу (17.7) следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента и ординаты у. Знак же напряжений всегда легко устанавливается по знаку момента или по характеру деформации балки.

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно оси у:

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси у (см. рис. 35.7).

Подставим в выражение (18.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь интеграл представляет собой центробежный момент инерции поперечного сечения бруса относительно осей у и . Следовательно,

Но так как

Как известно (см. § 7.5), центробежный момент инерции сечения равен нулю относительно главных осей инерции.

В рассматриваемом случае ось у является осью симметрии поперечного сечения бруса и, следовательно, оси у и являются главными центральными осями инерции этого сечения. Поэтому условие (19.7) здесь удовлетворяется.

В случае, когда поперечное сечение изгибаемого бруса не имеет ни одной оси симметрии, условие (19.7) удовлетворяется, если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения или параллельна этой оси.

Если плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения бруса и не параллельна ей, то условие (19.7) не удовлетворяется и, следовательно, нет прямого изгиба - брус испытывает косой изгиб.

Формула (17.7), определяющая нормальное напряжение в произвольной точке рассматриваемого сечения бруса, применима при условии, что плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных осей инерции этого сечения или ей параллельна. При этом нейтральная ось поперечного сечения является его главной центральной осью инерции, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента.

Формула (16.7) показывает, что при прямом чистом изгибе кривизна изогнутой оси бруса прямо пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции Произведение будем называть жесткостью сечения при изгибе; она выражается в и т. д.

При чистом изгибе балки постоянного сечения изгибающие моменты и жесткости сечений постоянны по ее длине. В этом случае радиус кривизны изогнутой оси балки имеет постоянное значение [см. выражение (16.7)], т. е. балка изгибается по дуге окружности.

Из формулы (17.7) следует, что наибольшие (положительные - растягивающие) и наименьшие (отрицательные-сжимающие) нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее. При поперечном сечении, симметричном относительно нейтральной оси, абсолютные величины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений одинаковы и их можно определить по формуле

где - расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения.

Величина зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления сечения и обозначается

(20.7)

Следовательно,

Определим осевые моменты сопротивления для прямоугольного и круглого сечений.

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой

Для круглого сечения диаметром d

Момент сопротивления выражается в .

Для сечений, не симметричных относительно нейтральной оси, например для треугольника, тавра и т. п., расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон различны; поэтому для таких сечений имеются два момента сопротивления:

где - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон.

Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.

Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .

Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.

В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.

Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.

Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.

Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.

Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).

Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).

Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.

Относительное удлинение ε x волокна

Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .

Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :

μ – коэффициент Пуассона.

Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим

Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения

Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .

Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .

Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.

Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям 1.3. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) 1.4. Расчёты на прочность при прямом изгибе балок 1.5. Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок 1.6. Понятие о центре изгиба 1.7. Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости 1.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 1.9. Метод непосредственного интегрирования 1.10. Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования 1.11. Физический смысл постоянных интегрирования 1.12. Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки) 1.13. Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров 1.14. Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина 1.15. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина 1.16. Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список 4 1. Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: 1 Q 3 0 кН. Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: . Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок СА м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок. 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок. 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где так как здесь имеем кНм. Участок. 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где Q 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q  от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При Kx3 мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева откуда Рис. 1.7 Проверка Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: из которых имеем a 10, b  20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения (1.9) где d0 и d – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности где yP,max , yC,max – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид 22 (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если 0 МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. . Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Здесь – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Решение: 1. Определяем реакции опор балки откуда Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W  472 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений. Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы VVB A8qa . 29 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке q в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б. Пример 1.9 Определить требуемые размеры поперечного сечения чугунной балки (рис. 1.20.), предварительно выбрав рациональное расположение сечения. Принять Решение 1. Определение реакций опор балки. 2. Построение эпюр Q и М. Эпюры представлены на рис. 1.20, в,г. Наибольший (по модулю) изгибающий момент возникает в сечении «b». В этом сечении растянутые волокна расположены вверху. Большая часть материала должна располагаться в растянутой зоне. Следовательно, рационально расположить сечение балки так, как показано на рис. 1.20, б. 3. Определение положения центра тяжести сечения (по аналогии с предыдущим примером): 4. Определение момента инерции сечения относительно нейтральной оси: 5. Определение требуемых размеров сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям. Обозначим y соответственно расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек в зонах растяжения и сжатия (для сечения В): , то опасными являются точки растянутой зоны, наиболее удаленные от нейтральной оси. Составляем условие прочности для точки m в сечении В: или после подстановки числовых значений При этом напряжения в точке n, наиболее удалённой от нейтральной оси в сжатой зоне (в сечении В), будут, МПа. Эпюра M неоднозначна. Необходимо проверить прочность балки в сечении С. Здесь момент, Bно растягиваются нижние волокна. Опасной точкой будет точка n: При этом напряжения в точке m будут Из расчётов окончательно принимаем Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения С показана на рис. 1.21. Рис. 1.21 1.5. Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Выше рассмотрены примеры расчета балок на прочность по нормальным и касательным напряжениям. В подавляющем большинстве случаев этого расчета достаточно. Однако в тонкостенных балках двутаврового, таврового, швеллерного и коробчатого сечений в месте соединения стенки с полкой возникают значительные касательные напряжения. Это имеет место в тех случаях, когда к балке приложена значительная поперечная сила и есть сечения, в которых M и Q одновременно велики. Одно из таких сечений будет опасным и проверяется 34 по главным напряжениям с применением одной из теорий прочности. Проверка прочности балок по нормальным, касательным и главным напряжениям носит название полной проверки прочности балок. Такой расчет рассматривается ниже. Основным является расчет балки по нормальным напряжениям. Условие прочности для балок, материал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию имеет вид где Mmax─ максимальный изгибающий момент (по модулю), взятый из эпюры M , Wz ─ осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси балки; [ ]─ допускаемое нормальное напряжение для материала. Из условия прочности (1) определяют необходимые размеры поперечного сечения балки. Подобранные размеры сечения балки проверяются по касательным напряжениям. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид (формула Д. И. Журавского): где Qmax ─ максимальная поперечная сила, взятая из эпюры Q ; Szотс.─ статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; I z ─ момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; b─ ширина сечения балки на том уровне, где определяются касательные напряжения; ─ допускаемое касательное напряжение материала при изгибе. Проверка прочности по нормальным напряжениям относится к точке, наиболее удаленной от нейтральной оси в сечении, где действует Mmax. Проверка прочности по касательным напряжениям относится к точке, расположенной на нейтральной оси в сечении, где действует Qmax . В балках с тонкостенным сечением (двутавр и др.) опасной может оказаться точка, расположенная в стенке в сечении, где одновременно велики M и Q . В этом случае проверка прочности производится по главным напряжениям. Главные и экстремальные касательные напряжения определяются по аналитическим зависимостям, полученным из теории плоского напряженного состояния тел: Угол наклона главных площадок определяется по формуле (1.22) Имея величины главных напряжений, составляют условия прочности по той или иной теории прочности. Например По третьей теории наибольших касательных напряжений имеем После подстановки значений главных напряжений окончательно получаем (1.23) По четвертой энергетической теории прочности условие прочности имеет вид (1.24) Из формул (1.6) и (1.7) видно, что расчетное напряжение Экв зависит от. Следовательно, проверке подлежит элемент материала балки, для которого будут одновременно велики. Это осуществляется в таких случаях: 1) изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшего значения в одном и том же сечении; 2) ширина балки резко меняется вблизи краев сечения (двутавр и др.). Если указанные условия не имеют места, то необходимо рассмотреть несколько сечений, в которых могут возникнуть наиболее высокие значения экв. Пример 1.10 Сварная балка двутаврового поперечного сечения пролетом l=5 м, свободно опертая по концам, нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и сосредоточенной силой P 5qa, приложенной на расстоянии а =1 м от правой опоры (рис. 1.22). Определить допускаемую нагрузку на балку из условия прочности по нормальным напряжениям и проверить по касательным и главным напряжениям по 36 4-й (энергетической) теории прочности. Построить эпюры в опасном сечении по главным напряжениям и исследовать напряженное состояние элемента, выделенного в стенке около полки в указанном сечении. Допускаемое напряжение на растяжение и сжатие: при изгибе160 МПа; и на сдвиг 100 МПа. Рис. 1.22 Решение 1. Определение реакций опор балки: 2. Построение эпюр M и Q по характерным сечениям (точкам): 3. Вычисление геометрических характеристик сечения балки. а) осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси z: 37 б) Осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси z: 4. Определение допускаемой нагрузки на балку из условия прочности по нормальным напряжениям: Допускаемая нагрузка на балку 5. Проверка прочности балки по касательным напряжениям по формуле Д.И.Журавского Статический момент полусечения двутавра относительно нейтральной оси z: Ширина сечения на уровне точки 3: Максимальная поперечная сила Максимальные касательные напряжения в балке 6. Проверка прочности балки по главным напряжениям. Опасным по главным напряжениям является сечение D , в котором одновременно велики M и Q , а опасными точками в этом сечении являются точки 2 и 4, где одновременно велики  и  (рис. 1.23). Для точек 2 и 4 производим проверку прочности по главным напряжениям, используя 4-ю теорию прочности где (2) и (2)─ нормальные и касательные напряжения в точке 2(4) соответственно (рис. 1.2). Рис. 1.23 расстояние от нейтральной оси до точки 2. где Sz по(лки ─) статический момент полки относительно нейтральной оси z . см ─ ширина сечения по линии, проходящей через точку 3. Эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности в точке 2 сечения D: Условие прочности по 4-й теории прочности удовлетворяется. 7. Построение эпюр нормальных, касательных, главных и экстремальных касательных напряжений в опасном сечении D (по главным напряжениям). а) вычисляем напряжения точках (1-5) сечения D по соответствующим формулам. Точка 2 (в стенке) Ранее были вычислены значения нормальных и касательных напряжений в точке 2. Находим главные и экстремальные касательные напряжения в этой же точке 2: Точка 3. Нормальные и касательные напряжения в точке 3: Главные и экстремальные касательные напряжения в точке 3: Аналогично находятся напряжения в точках 4 и 5. По получаемым данным строим эпюры, max . 8. Напряженное состояние элемента, выделенного в окрестности точки 2 в сечении D , представлено на рис. 1.24, угол наклона главных площадок 1.6. Понятие о центре изгиба Как было указано выше, касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенных стержней при изгибе (например, двутавра или швеллера) определяются по формуле На рис. 194 изображены эпюры касательных напряжений в двутавровом сечении. Используя методику, описанную в параграфе 63, можно построить эпюру 41 также для швеллера. Рассмотрим случай, когда швеллер заделан в стену, а на другом конце загружен силой Р, приложенной в центре тяжести сечения. Рис. 1.25 Общий вид эпюры τ в каком – либо сечении показан на рис. 1.25, а. В вертикальной стенке возникают касательные напряжения τу. В результате действия напряжений τу возникает суммарная сдвигающая сила Т2 (рис. 1.25, б). Если пренебречь касательными напряжениями τу в полках, то можно записать приближённое равенство В горизонтальных полках возникают касательные напряжения τх, которые направлены по горизонтали. Наибольшее касательное напряжение в полке τx max равно Здесь S1ОТС – статический момент площади полки относительно оси Ох: Следовательно, Суммарная сдвигающая сила в полке определится как площадь эпюры касательных напряжений, умноженная на толщину полки На нижнюю полку действует точно такая же сдвигающая сила, как и на верхнюю, но она направлена в обратную сторону. Две силы Т1 образуют пару с моментом (1.25) Таким образом, вследствие касательных напряжений τу и τх возникают три внутренние касательные силы, которые показаны на рис. 1.25, б. Из этого рисунка видно, что силы Т1 и Т2 стремятся повернуть сечение швеллера относительно центра тяжести в одну и ту же сторону. Рис. 1.25 Следовательно, в сечении швеллера возникает внутренний крутящий момент, направленный по ходу часовой стрелки. Итак, при изгибе швеллерной балки силой, приложенной в центре тяжести сечения, балка одновременно и закручивается. Три касательные силы можно привести к главному вектору и главному моменту. Величина главного момента зависит от положения точки, к которой приводятся силы. Оказывается, что можно выбрать такую точку А, относительно которой главный момент равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. Приравнивания момент касательных сил нулю: получим Учтя выражение (1.25), окончательно найдем расстояние от оси вертикальной стенки до центра изгиба: Если внешнюю силу приложить не в центре тяжести сечения, а в центре изгиба, то она создаст относительно центра тяжести такой же момент, какой создают внутренние касательные силы, но только противоположного знака. При таком загружении (рис. 1.25, в) швеллер закручиваться не будет, а будет только изгибаться. Именно поэтому точка А названа центром изгиба. Подробное изложение расчета тонкостенных стержней дано в гл. XIII . 1.7. Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жесткости Под действием внешней нагрузки балка деформируется и ее ось искривляется. Кривая, в которую обращается ось балки после приложения нагрузки, называется упругой линией при условии, если напряжения балки не превосходят предела пропорциональности. В зависимости от направления нагрузки, расположения эпюр упругая линия может иметь выпуклость вверх (рис. 1.26, а), вниз (рис. 1.26, б) либо совокупность (рис. 1.26, в). При этом центры тяжести поперечных сечений перемещаются соответственно либо вверх, либо вниз, а сами сечения поворачиваются относительно нейтральной оси, оставаясь перпендикулярными изогнутой оси балки (рис. 1.26, а). Строго говоря, центры тяжести поперечных сечений перемещаются ещё и в направлении продольной оси балки. Однако в виду малости этих перемещений для балок ими пренебрегают, т. е. считают, что центр тяжести сечения перемещается перпендикулярно оси балки. Обозначим это перемещение через y , и в дальнейшем будем понимать под ним прогиб балки (см. рис. 1.26). Прогибом балки в данном сечении называется перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки. Рис. 1.26 Прогибы в различных сечениях балки зависят от положения сечений и являются величиной переменной. Так, для балки (рис. 1.26, а) в точке B прогиб будет иметь максимальное значение, а в точке D он равен нулю. Как уже отмечалось, наряду с перемещением центра тяжести сечения происходит поворот сечений относительно нейтральной оси сечения. Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Будем обозначать угол поворота через (рис. 1.26, а). Так как при изгибе балки поперечное сечение всегда остается перпендикулярно изогнутой её оси, то угол поворота можно представить как угол, заключенный между касательной к изогнутой оси в данной точке и первоначальной осью балки (рис. 1.26, а) или перпендикуляром к первоначальной и изогнутой осей балки в рассматриваемой точке. Угол поворота сечения для балок также является величиной переменной. Например, для балки (рис. 1.26, б) максимальное значение он имеет в шарнирных опорах, а минимальное значение 0 для сечения, в котором прогиб имеет максимальное значение. Для консольной балки (рис. 1.26, а) максимальный угол поворота будет на свободном её конце, т. е. в точке B . Для обеспечения нормальной работы балок оказывается недостаточно, чтобы они удовлетворяли условию прочности. Необходимо еще, чтобы балки обладали достаточной жесткостью, т. е. чтобы максимальные прогиб и угол поворота не превосходили допускаемых величин, определяемых эксплуатационными условиями балок. Это положение носит название условие жесткости балок при изгибе. В краткой математической форме записи условия жесткости имеют вид: где [y] и соответственно допускаемые прогиб и угол поворота. 45 Допускаемый прогиб обычно задается как часть расстояния между опорами балки (длиной пролёта l), т. е. где m─ коэффициент, зависящий от значения и условий работы системы, в которой используется данная балка. В каждой отрасли машиностроения эта величина определяется нормами проектирования и изменяется в широких пределах. Следующим образом: - для подкрановых балок m = 400 - 700; - для железнодорожных мостов m = 1000; - для шпинделей токарных станков m= 1000-2000. Допускаемые углы поворота для балок обычно не превосходят величин 0,001рад. В левую часть уравнений (1.26) входят максимальные прогиб ymax и угол поворота max , которые определяются расчетным путем на основании известных способов: аналитических, графических и графоаналитических, некоторые из которых рассматриваются ниже. 1.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием внешних сил ось балки искривляется (см. рис. 1.26, а). Тогда уравнение изогнутой оси балки можно записать в виде а угол поворота  для любого сечения будет равен углу наклона касательной к изогнутой оси в данной точке. Тангенс этого угла численно равен производной от прогиба по абсциссе текущего сечения x , т. е. Так как прогибы балки малы по сравнению с её длиной l (см. выше), то можно принять, что угол поворота (1.27) При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе было установлено, что между кривизной нейтрального слоя и изгибающим моментом существует следующая связь: Эта формула показывает, что кривизна изменяется по длине балки по тому же закону, по которому изменяется величина Mz . Если балка постоянного сечения испытывает чистый изгиб (рис. 5.27), при котором момент по длине не меняется, ее кривизна: Следовательно, для такой балки радиус кривизны – также величина постоянная и балка в этом случае будет изгибаться по дуге окружности. Однако в общем случае непосредственно применять закон изменения кривизны для определения прогибов не удается. Для аналитического решения задачи используем известное из математики выражение кривизны. (1.29) Подставляя (1.28) в (1.29), получим точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки: . (1.30) Уравнение (1.30) является нелинейным, и его интегрирование связано с большими трудностями. Учитывая, что прогибы и углы поворота для реальных балок, используемых в машиностроении, строительстве и т.д. малы, то величиной можно пренебречь. С учетом этого, а также того, что для правой системы координат изгибающий момент и кривизна имеют один и тот же знак (рис. 1.26), то для правой системы координат знак минус в уравнении (1.26) можно опустить. Тогда приближенное дифференциальное уравнение будет иметь вид 1.9. Метод непосредственного интегрирования Этот метод основан на интегрировании уравнения (1.31) и позволяет получить уравнение упругой оси балки в форме прогибов y f (x)и уравнение углов поворота Проинтегрировав уравнение (1.31) первый раз, получим уравнение углов поворота (1.32) где C ─ постоянная интегрирования. Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов где D ─ вторая постоянная интегрирования. Постоянные C и D определяются из краевых условий опирания балки и граничных условий её участков. Так для балки (рис. 1.26, а), в месте заделки (x l)прогиб и угол поворота сечения равны нулю, а для балки (см. рис. 1.26, б) прогиб y и прогиб yD 0, при x .l Для шарнирно опертой балки с консолями (рис. 1.28) при совмещении начала координат с концом левой опоры и выбором правой системы координат граничные условия имеют вид С учетом граничных условий определяются постоянные интегрирования. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения углов поворота (1.32) и прогибов (1.33) вычисляются углы поворота и прогибы данного сечения. 1.10. Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Пример 1.11 Определить максимальный прогиб и угол поворота для консольной балки (рис. 1.26, а). Решение Начало координат совмещаем с левым концом балки. Изгибающий момент в произвольном сечении на расстоянии х от левого конца балки вычисляется по формуле С учетом момента приближенное дифференциальное уравнение имеет вид Интегрируя первый раз, имеем (1.34) Интегрируя второй раз Граничные условия С учетом второго условия, откуда Аналогично из первого условия будем иметь С учетом найденных постоянных интегрирования C и D уравнение углов поворота и прогибов будут иметь вид: При (см. рис. 1.26, а) угол поворота и прогиб имеют максимальные значения: Положительное значение угла  указывает, что сечение при изгибе балки поворачивается в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Отрицательное значение y говорит о том, что центр тяжести сечения перемещается вниз. 1.11. Физический смысл постоянных интегрирования Если обратиться к уравнениям (1.32), (1.33) и (1.34), (1.35), рассмотренных выше примеров, то нетрудно заметить, что при x 0 из них следует Таким образом, можно сделать вывод, что постоянные интегрирования C и D представляют собой произведение жесткости балки соответственно на угол: поворота 0 и прогиб y0 в начале координат. Зависимости (1.36) и (1.37) оказываются справедливыми всегда для балок, имеющих один участок нагружения, если вычислять изгибающий момент от сил, расположенных между сечением и началом координат. Это же остается в силе и для балок с любым числом участков нагружения, если применять специальные приемы интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, о которых будет сказано ниже. 1.12. Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки) При определении прогибов и углов поворота методом непосредственного интегрирования требуется нахождение двух постоянных интегрирования C и D даже в тех случаях, когда балка имеет один участок нагружения. На практике применяются балки, имеющие несколько участков нагружения. В этих случаях на разных участках нагружения закон изгибающего момента будет различен. Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси необходимо будет составлять для каждого из участков балки и для каждого из них отыскивать свои постоянные интегрирования C и D . Очевидно, что если балка имеет n участков нагружения, то число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для их 50 определения необходимо будет решить 2 уравнения. Эта задача трудоемкая. Для решения задач, имеющих не один участок нагружения, широкое распространение получил метод начальных параметров, представляющий собой развитие метода непосредственного интегрирования. Оказывается, что, соблюдая некоторые условия, приемы составления и интегрирования уравнений по участкам, можно уменьшить число постоянных интегрирования, независимо от числа участков нагружения, до двух, представляющих собой прогиб и угол поворота в начале координат. Рассмотрим сущность этого метода на примере консольной балки (рис. 1.28), нагруженной произвольной нагрузкой, но создающей положительный момент в любом сечении балки. Пусть дана балка постоянного сечения, при этом сечение имеет ось симметрии, совпадающую с осью y , и вся нагрузка расположена в одной плоскости, проходящей через эту ось. Поставим задачу установить зависимости, определяющие угол поворота и прогиб произвольного сечения балки. Рис. 1.29 При решении задач условимся: 1. Начало координат будем связывать с левым концом балки, и оно является общим для всех участков. 2. Изгибающий момент в произвольном сечении будем всегда вычислять для участка балки, расположенного слева от сечения, т. е. между началом координат и сечением. 3. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси на всех участках будем производить, не раскрывая скобок некоторых выражений, 51 содержащих скобки. Так, например, интегрирование выражения вида P x(b) производится без раскрытия скобок, а именно по следующей формуле Интегрирование по этой формуле отличается от интегрирования с предварительным открытием скобок только величиной произвольной постоянной. 4. При составлении выражения для изгибающего момента в произвольном сечении, вызванного внешним сосредоточенным моментом М, будем добавлять множитель (x)a0 1. Придерживаясь этих правил, составим и проинтегрируем приближенное дифференциальное уравнение для каждого из пяти участков балки, обозначенных на рис. 1.28 римскими цифрами. Приближенное дифференциальное уравнение для указанных участков имеет один и тот же вид: (1.38) но для каждого участка изгибающий момент имеет свой закон изменения. Изгибающие моменты для участков имеют вид: Подставив выражения изгибающего момента в уравнение (1.38), для каждого из участков после интегрирования получим по два уравнения: уравнение углов поворота и уравнение прогибов, в которые войдут свои две постоянные интегрирования Ci и Di . В виду того, что балка имеет пять участков, то таких постоянных интегрирования будет десять. Однако, принимая во внимание, что изогнутая ось балки является непрерывной и упругой линией, то на границах соседних участков прогиб и угол поворота имеют одни и те же значения, т. е. при т. д. В силу этого из сравнения уравнений углов поворота и прогибов соседних участков получим, что постоянные интегрирования Таким образом, вместо десяти постоянных интегрирования для решения поставленной задачи необходимо определить только две постоянных интегрирования C и D . Из рассмотрения интегральных уравнений первого участка следует, что при x 0: т.е. они представляют собой те же зависимости (1.36) и (1.37). Начальные параметры 0 и y0 о определяются из граничных условий, о которых было сказано в предыдущем разделе. Анализируя полученные выражения для углов поворота и прогибов y , видим, что наиболее общий вид уравнений соответствует пятому участку. С учетом постоянных интегрирования эти уравнения имеют вид: Первое из этих уравнений представляет уравнение углов поворота, а второе - прогибов. Так как на балку может действовать не одна сосредоточенная сила, момент или балка может иметь не один участок с распределенной нагрузкой, то для общего случая уравнения (1.38),(1.39) запишутся в виде: Уравнения (1.41), (1.42) называются универсальными уравнениями изогнутой оси балки. Первое из этих уравнений является уравнением углов поворота, а второе – уравнением прогибов. С помощью этих уравнений можно определить прогибы и углы поворота сечений для любых статически определимых балок, у которых жесткость по их длине постоянна EI  const . В уравнениях (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ внешняя нагрузка, расположенная между началом координат и сечением, в котором определяются перемещения (угол поворота и прогиб); a , b, c , d ─ расстояния от начала координат до точек приложения соответственно момента М, сосредоточенной силы P , начало равномерно распределяемой нагрузки и начало неравномерно распределенной нагрузки. Необходимо обратить внимание: 53 1. При противоположном направлении внешней нагрузки, что принято при выводе универсальных уравнений, перед соответствующим членом уравнений знак меняется на противоположный, т. е. на минус. 2. Последние два члена уравнений (1.41), (1.42) справедливы только в том случае, если распределенная нагрузка не обрывается ранее того сечения, в котором определяются прогиб и угол поворота. Если нагрузка не доходит до этого сечения, то ее необходимо продолжить до данного сечения и одновременно добавить на продленном участке такую же распределенную нагрузку, но противоположную по знаку, эта мысль пояснена на рис. 1.30. Пунктиром показана добавленная распределенная нагрузка на продленном участке. Рис. 1.30 При определении углов поворота  и прогибов y начало координат следует помещать в левом конце балки, направляя ось y вверх, а ось x ─ вправо. В составляемое уравнение углов поворота и прогибов включаются только те силы, которые расположены левее сечения, т.е. на участке балки между началом координат и сечением, в котором определяются прогиб и угол поворота (включая и силы, действующие в сечении совпадающим с началом координат). 1.13. Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Пример 1.12 Для балки (рис. 1.31), защемленной левым концом и нагруженной сосредоточенной силой P , определить угол поворота и прогиб в точке приложения силы, а также свободного конца (сечение D). Жесткость балки Рис. 1.31 Решение уравнения равновесия статики: 1) Обратим внимание, что реактивный момент направлен против часовой стрелки, поэтому в уравнение изогнутой оси он войдёт со знаком минус. 2. Совмещаем начало координат с точкой B и устанавливаем начальные параметры. В защемлении ()B прогиб и угол поворота отсутствуют, т.е. 0 0. Записываем уравнение углов поворота и прогибов для произвольного сечения второго участка, т.е. расположенное на расстоянии x от начало координат С учетом реактивных сил, а также равенства нулю начальных параметров эти уравнения имеют вид При x lимеем угол поворота и прогиб сечения C соответственно 55 Для сеченияD , x1l 12(1)2 Пример 1.13 Определить максимальный прогиб и угол поворота на правой опоре балки, нагруженной посередине пролёта сосредоточенной силой (рис. 1.32). Решение 1. Определяем опорные реакции Из уравнений статики имеем B 2. Помещаем начало координат на левом конце балки (точка B). Рис. 1.32 3. Устанавливаем начальные параметры. Прогиб в начале координат By0, так как опора не позволяет вертикальное перемещение. Необходимо заметить, что если опора была бы подпружинена, то прогиб в начале координат был бы равен осадке деформации пружины. Угол поворота в начале координат не равен нулю, т. е. 4. Определяем угол поворота в начале координат 0 . Для этого используем условие, что при x lпрогиб равен нулю yD 0: 3 Так как балка относительно нагрузки P симметрична, то угол поворота на правой опоре равен углу поворота на левой опоре. 2 BD 16z Pl EI . Максимальный прогиб будет посередине балки при x . Следовательно, Пример 1.14 Определить прогиб посередине пролёта и на правом конце балки (рис. 1.33), если балка изготовлена из двутавра № 10 (момент инерции Iz 198 ссмм4), нагруженной распределенной нагрузкой q 2,Н/м, сосредоточенными моментом M силой. P ккНН Рис. 1.33 Решение 1 . Определяем опорные реакции Откуда Проверка правильности определения реакций 2. Совмещаем начало координат с точкой B и устанавливаем начальные параметры. Из рис. 1.33 следует, что в начале координат прогиб y0 0 и угол поворота. 57 3. Определяем начальные параметры y0 и 0 . Для этого используем граничные условия, что при: Для реализации граничных условий составляем уравнение изогнутой оси. для двух участков: участок BC 0 мм1: При записи этого уравнения учтено, что распределенная нагрузка оборвалась в точке C , поэтому согласно сказанному выше, ее продолжили и на продолженном участке ввели компенсирующую нагрузку такой же величины, но обратного направления. С учетом граничных условий (пункт 3) и нагрузки уравнения (1.43) и (1.44) имеют вид: Из совместного решения этих уравнений имеем 4. Определяем прогиб в сечениях К и E . Для сечения K при x 2 мм имеем 1.14. Определение перемещений по методу Мора Правило А.К. Верещагина Метод Мора является общим методом определения перемещений в стержневых линейно-деформируемых системах. Определение перемещений (линейных, угловых) в расчетных сечениях производится по формуле (интегралу) Мора, которую нетрудно получить, базируясь на теоремы о взаимности работ (теорема Бетти) и теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла). Пусть, например, задана плоская упругая система в виде балки (рис. 1.34), загруженная плоской уравновешенной произвольной нагрузкой. Заданное сос- тояние системы будем называть грузовым и обозначим буквой P . Под действием внешней нагрузки произойдет деформация, и в точке K возникнут перемещения, в частности, в направлении, перпендикулярном оси – прогиб кр. Введем новое (вспомогательное) состояние этой же системы, но нагруженной в точке K по направлению искомого перемещения (кр)единичной безразмерной силой (рис.1.34). Такое состояние системы обозначим буквой i , и будем называть единичным состоянием. 59 Рис. 1.34 На основании теоремы Бетти возможная работа сил грузового состояния pi A и силы единичного состояния pi A равны (1.45) Возможная работа сил грузового состояния, выраженная через внутренние силы, определяется по формуле а силы единичного состояния - по формуле (1.47) С учетом (1.46), (1.47) из (1.45) имеем (1.48) где M p , Qp, Np ─ соответственно изгибающий момент, поперечная и продольная силы, возникающие в системе от внешней нагрузки; Mi, Qi , Ni ─ соответственно изгибающий момент, поперечная и продольная силы, возникающие в системе от единичной нагрузки, приложенной по направлению определяемого перемещения; k ─ коэффициент, учитывающий неравномерность касательных напряжений по сечению; I ─ осевой момент инерции относительно главной центральной оси; A─ площадь поперечного сечения стержня на участке; 60 E , G ─ модули упругости материала. Неравномерность распределения касательных напряжений в сечении зависит от формы сечения . Для прямоугольного и треугольного сечений k 1,2, круглого сечения k 1,11, круглого кольцевого сечения k 2. Формула (1.48) позволяет определить перемещение в любой точке плоской упругой системы. При определении в сечении (K) прогиба прикладываем в этой точке единичную силу (безразмерную). В случае определения угла поворота сечения в точке K необходимо приложить единичный безразмерный момен