Investigación de funciones. En este artículo hablaremos sobre las tareas en las que se consideran funciones y la condición contiene preguntas relacionadas con su estudio. Consideremos los principales puntos teóricos que necesitas conocer y comprender para resolverlos.

Este es un grupo completo de problemas incluidos en el examen de matemáticas. Por lo general, se plantea la cuestión de encontrar los puntos máximos (mínimos) o determinar el valor más grande (más pequeño) de una función en un intervalo dado.Considerado:

- Funciones de poder e irracionales.

- Funciones racionales.

- Investigación de obras y particulares.

- Funciones logarítmicas.

- Funciones trigonométricas.

Si entiendes la teoría de límites, el concepto de derivada, las propiedades de la derivada para el estudio de gráficas de funciones y eso, entonces tales problemas no te causarán ninguna dificultad y los resolverás con facilidad.

La información a continuación son puntos teóricos, cuya comprensión le permitirá comprender cómo resolver tales problemas. Intentaré presentarlos de tal manera que incluso aquellos que se hayan perdido este tema o hayan estudiado mal puedan resolver tales problemas sin mucha dificultad.

En los problemas de este grupo, como ya se mencionó, se requiere encontrar el punto mínimo (máximo) de la función o el valor más grande (más pequeño) de la función en el intervalo.

Puntos mínimos, máximos.Propiedades derivadas.

Considere la gráfica de la función:

El punto A es un punto máximo, en el intervalo de O a A la función aumenta, en el intervalo de A a B disminuye.

El punto B es un punto mínimo, en el intervalo de A a B la función disminuye, en el intervalo de B a C aumenta.

En estos puntos (A y B), la derivada desaparece (igual a cero).

Las tangentes en estos puntos son paralelas al eje buey.

Agregaré que los puntos en los que la función cambia su comportamiento de creciente a decreciente (y viceversa, de decreciente a creciente) se denominan extremos.

Un punto importante:

1. La derivada de los intervalos de aumento tiene un signo positivo (nAl sustituir un valor de un intervalo en una derivada, se obtiene un número positivo).

Esto significa que si la derivada en un cierto punto de un cierto intervalo tiene un valor positivo, entonces la gráfica de la función aumenta en este intervalo.

2. En intervalos de disminución, la derivada tiene un signo negativo (cuando se sustituye un valor del intervalo en la expresión de la derivada, se obtiene un número negativo).

Esto significa que si la derivada en un cierto punto de un cierto intervalo tiene un valor negativo, entonces la gráfica de la función disminuye en este intervalo.

¡¡¡Esto debe entenderse claramente !!!

Por lo tanto, al calcular la derivada y equipararla a cero, puede encontrar puntos que dividan el eje numérico en intervalos.En cada uno de estos intervalos, puede determinar el signo de la derivada y luego sacar una conclusión sobre su aumento o disminución.

* Por separado, conviene decir sobre los puntos en los que no existe la producción. Por ejemplo, podemos obtener una derivada, cuyo denominador desaparece para una determinada x. Está claro que para tal x la derivada no existe. Entonces, este punto también debe tenerse en cuenta al determinar los intervalos de aumento (disminución).

La función no siempre cambia de signo en los puntos donde la derivada es cero. Habrá un artículo separado sobre esto. En el examen en sí, no habrá tales tareas.

Las propiedades anteriores son necesarias para estudiar el comportamiento creciente y decreciente de la función.

Qué más necesitas saber para resolver los problemas especificados: la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. No puedes prescindir de él. Este es un conocimiento básico en la materia de derivada. Debes conocer perfectamente las derivadas de funciones elementales.

Calcular la derivada de una función complejaF(gramo(X)), imagina que la funcióngramo(X) esta es una variable y luego calcular la derivadaF’(gramo(X)) según fórmulas tabulares como derivada habitual de una variable. Luego multiplica el resultado por la derivada de la función.gramo(X) .

Vea un video tutorial de Maxim Semenikhin sobre una función compleja:

Tareas para encontrar puntos máximos y mínimos

Algoritmo para encontrar los puntos máximos (mínimos) de la función:

1. Encuentra la derivada de la función F’(X).

2. Encuentra los ceros de la derivada (igualando la derivada a cero F’(X)=0 y resuelve la ecuación resultante). También encontramos los puntos en los que la derivada no existe(en particular, esto se refiere a funciones racionales fraccionarias).

3. Marcamos los valores obtenidos en la recta numérica y determinamos los signos de la derivada en estos intervalos sustituyendo los valores de los intervalos en la expresión de la derivada.

La salida será una de dos cosas:

1. El punto máximo es el puntoen el que la derivada cambia el valor de positivo a negativo.

2. El punto mínimo es el puntoen el que la derivada cambia el valor de negativo a positivo.

Problemas de valor más alto o más bajo

funciones en el intervalo.

En otro tipo de problema, se requiere encontrar el valor más grande o más pequeño de una función en un intervalo dado.

Algoritmo para encontrar el valor más grande (más pequeño) de una función:

1. Determine si hay puntos máximos (mínimos). Para hacer esto, encontramos la derivada F’(X) , luego resolvemos F’(X)=0 (puntos 1 y 2 del algoritmo anterior).

2. Determine si los puntos obtenidos pertenecen a un intervalo dado y anote los que se encuentran dentro de él.

3. Sustituimos en la función original (no en la derivada, sino en la dada en la condición) los límites de este intervalo y los puntos (máximo-mínimo) que se encuentran dentro del intervalo (elemento 2).

4. Calculamos los valores de la función.

5. Elegimos el valor más grande (más pequeño) de los obtenidos, dependiendo de qué pregunta se planteó en el problema y luego anotamos la respuesta.

Pregunta: ¿por qué es necesario buscar puntos máximos (mínimos) en los problemas de encontrar el valor más grande (más pequeño) de una función?

La respuesta es mejor para ilustrar esto, mire el diagrama esquemático de las gráficas de las funciones dadas:

En los casos 1 y 2, es suficiente sustituir los límites del intervalo para determinar el valor más grande o más pequeño de la función. En los casos 3 y 4, es necesario encontrar los ceros de la función (puntos máximo-mínimo). Si sustituimos los límites del intervalo (sin encontrar los ceros de la función), obtendremos la respuesta incorrecta, esto se puede ver en las gráficas.

Y el punto es que para una función dada no podemos ver cómo se ve el gráfico en el intervalo (si tiene un máximo o un mínimo dentro del intervalo). Por lo tanto, ¡debes encontrar los ceros de la función!

Si la ecuación f '(X)=0 no tendrá una solución, esto significa que no hay puntos máximo-mínimo (Figura 1, 2), y para encontrar la tarea establecida, sustituimos solo los límites del intervalo en esta función.

Otro punto importante. Recuerde que la respuesta debe ser un número entero o un decimal final. Al calcular los valores más grande y más pequeño de una función, recibirá expresiones con el número e y pi, así como expresiones con una raíz. Recuerda que no necesitas calcularlos hasta el final, por lo que está claro que el resultado de tales expresiones no será la respuesta. Si desea calcular ese valor, hágalo (números: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14).

Escribiste mucho, probablemente confundido? Con ejemplos concretos, verás que todo es sencillo.

A continuación, quiero contarte un pequeño secreto. El hecho es que muchas tareas se pueden resolver sin conocer las propiedades de la derivada e incluso sin las reglas de diferenciación. Definitivamente te hablaré de estos matices y te mostraré cómo hacerlo. ¡No te pierdas!

Pero entonces, ¿por qué incluso expuse la teoría y también dije que es necesario conocerla sin falta? Eso es correcto, necesitas saberlo. Si lo comprende, ninguna tarea de este tema lo desconcertará.

Esos "trucos" que aprenderá le ayudarán a resolver prototipos de problemas específicos (algunos). PARAComo herramienta adicional, estas técnicas son, por supuesto, cómodas de usar. El problema se puede resolver 2-3 veces más rápido y ahorrar tiempo para resolver la parte C.

¡Todo lo mejor!

Saludos cordiales, Alexander Krutitskikh.

P.S: Le agradecería que nos contara sobre el sitio en las redes sociales.

El contenido del artículo

DERIVADO- función derivada y = F(X) definido en algún intervalo ( a, B) en el punto X de este intervalo se llama el límite al que tiende la razón del incremento de la función F en este punto, al incremento del argumento correspondiente, ya que el incremento del argumento tiende a cero.

La derivada generalmente se denota de la siguiente manera:

También se utilizan ampliamente otras denominaciones:

Velocidad instantánea.

Deja el punto METRO se mueve en línea recta. Distancia s un punto en movimiento, medido desde parte de su posición inicial METRO 0 , depende del tiempo t, es decir. s hay una función del tiempo t: s= F(t). Dejemos que en algún momento t punto en movimiento METRO estaba a distancia s desde la posición inicial METRO 0, y en algún momento siguiente t+ D t se encontró en una posición METRO 1 - a distancia s+ D s desde la posición inicial ( ver fig.).

Así, para el intervalo de tiempo D t distancia s cambiado por D s... En este caso, se dice que para el intervalo de tiempo D t magnitud s obtuve el incremento D s.

La velocidad media no puede en todos los casos caracterizar con precisión la velocidad de movimiento del punto. METRO en este momento t... Si, por ejemplo, el cuerpo al comienzo del intervalo D t movido muy rápido, y al final muy lentamente, entonces la velocidad promedio no podrá reflejar las características especificadas del movimiento del punto y dar una idea de la verdadera velocidad de su movimiento en el momento t... Para expresar con mayor precisión la velocidad real usando la velocidad promedio, necesita tomar un intervalo de tiempo más corto D t... Caracteriza más plenamente la velocidad de movimiento de un punto en el momento t el límite al que tiende la velocidad media en D t® 0. Este límite se denomina velocidad de movimiento en el momento:

Por lo tanto, la velocidad de movimiento en un momento dado es el límite de la relación del incremento de la trayectoria D s al incremento de tiempo D t cuando el incremento de tiempo tiende a cero. Porque

El valor geométrico de la derivada. La tangente a la gráfica de la función.

La construcción de tangentes es uno de los problemas que llevaron al nacimiento del cálculo diferencial. El primer trabajo publicado relacionado con el cálculo diferencial y escrito por Leibniz se tituló Un nuevo método de máximos y mínimos, así como de tangentes, para el que ni las cantidades fraccionarias ni las irracionales son un obstáculo, y un tipo especial de cálculo para ello..

Deje que la curva sea la gráfica de la función y =F(X) en un sistema de coordenadas rectangular ( cm... arroz.).

Con algún valor X la función importa y =F(X). Estos valores X y y la curva corresponde al punto METRO 0(X, y). Si el argumento X dar incremento D X, luego el nuevo valor del argumento X+ D X corresponde al nuevo valor de la función y + D y = F(X + D X). El punto correspondiente de la curva será el punto METRO 1(X+ D X,y+ D y). Si dibujas una secante METRO 0METRO 1 y denotar por j el ángulo formado por la secante con la dirección positiva del eje Buey, se ve directamente en la figura que.

Si ahora D X tiende a cero, entonces el punto METRO 1 se mueve a lo largo de una curva, acercándose a un punto METRO 0, y el ángulo j cambia a medida que cambia D X... A Dx® 0 el ángulo j tiende a algún límite a y la línea recta que pasa por el punto METRO 0 y la componente con la dirección positiva del eje de abscisas, ángulo a, será la tangente deseada. Su pendiente es:

Por eso, F´( X) = tga

aquellos. valor derivado F´( X) para un valor dado del argumento X es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente a la gráfica de la función F(X) en el punto correspondiente METRO 0(X,y) con una dirección positiva del eje Buey.

Diferenciabilidad de funciones.

Definición. Si la función y = F(X) tiene una derivada en el punto X = X 0, entonces la función es diferenciable en este punto.

Continuidad de una función con una derivada. Teorema.

Si la función y = F(X) es diferenciable en algún momento X = X 0, entonces es continuo en este punto.

Por tanto, en los puntos de discontinuidad, la función no puede tener una derivada. La conclusión opuesta no es cierta, es decir de lo que en algún momento X = X 0 función y = F(X) es continuo no implica que sea diferenciable en este punto. Por ejemplo, la función y = |X| continuo para todos X(–Ґ x x = 0 no tiene derivada. No hay tangente a la gráfica en este punto. Hay una tangente derecha y una tangente izquierda, pero no coinciden.

Algunos teoremas sobre funciones diferenciables. Teorema de la raíz derivada (teorema de Rolle). Si la función F(X) es continuo en el segmento [a,B], diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento y en los extremos X = a y X = B desaparece F(a) = F(B) = 0), luego dentro del segmento [ a,B] hay al menos un punto X= con, a c b en el que la derivada Fў( X) desaparece, es decir Fў( C) = 0.

El teorema de los incrementos finitos (teorema de Lagrange). Si la función F(X) es continuo en el segmento [ a, B] y diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, luego dentro del segmento [ a, B] hay al menos un punto con, a c b eso

F(B) – F(a) = Fў( C)(B– a).

Un teorema sobre la razón de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy). Si F(X) y gramo(X) Son dos funciones continuas en el segmento [a, B] y diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, y gramoў( X) no desaparece en ningún lugar dentro de este segmento, luego dentro del segmento [ a, B] hay tal punto X = con, a c b eso

Derivados de varios órdenes.

Deja que la función y =F(X) diferenciable en algún segmento [ a, B]. Valores derivados F ў( X), en general, dependen de X, es decir. derivado F ў( X) es también una función de X... Al diferenciar esta función se obtiene la llamada segunda derivada de la función F(X), que se denota F ўў ( X).

Derivado norte- el orden de la función F(X) es la derivada (de primer orden) de la derivada norte- 1- th y se denota con el símbolo y(norte) = (y(norte- 1)) ў.

Diferenciales de diferentes órdenes.

Función diferencial y = F(X), dónde X- variable independiente, hay dy = F ў( X)dx, alguna función de X, Pero de donde X solo el primer factor puede depender F ў( X), mientras que el segundo factor ( dx) es el incremento de la variable independiente X y no depende del valor de esta variable. Porque dy hay una función de X, entonces se puede determinar el diferencial de esta función. El diferencial del diferencial de una función se denomina diferencial de segundo o diferencial de segundo orden de esta función y se denota D 2y:

D(dx) = D 2y = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferencial norte- de th orden se llama el primer diferencial del diferencial norte- 1- th orden:

d n y = D(d n–1y) = F(norte)(X)dx(norte).

Derivada parcial.

Si una función depende de más de un argumento x yo(I varía de 1 a norte,I= 1, 2,… norte),F(X 1,X 2,… x n), luego en el cálculo diferencial se introduce el concepto de derivada parcial, que caracteriza la tasa de cambio de una función de varias variables cuando solo cambia un argumento, por ejemplo, x yo... Derivada parcial de primer orden con respecto a x yo se define como una derivada ordinaria, se supone que todos los argumentos excepto x yo, mantenga valores constantes. Para derivadas parciales, se introduce la notación

Las derivadas parciales de 1er orden determinadas de esta manera (como funciones de los mismos argumentos) pueden, a su vez, tener también derivadas parciales, estas son derivadas parciales de segundo orden, etc. Tomadas para diferentes argumentos, tales derivadas se denominan mixtas. Las derivadas mixtas continuas del mismo orden no dependen del orden de diferenciación y son iguales entre sí.

Anna Chugainova

Definición. Deje que la función \ (y = f (x) \) se defina en algún intervalo que contenga el punto \ (x_0 \). Dale al argumento un incremento \ (\ Delta x \) tal que no salga de este intervalo. Encuentre el incremento de función correspondiente \ (\ Delta y \) (al pasar del punto \ (x_0 \) al punto \ (x_0 + \ Delta x \)) y componga la relación \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Si hay un límite de esta relación en \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), entonces el límite especificado se llama función derivada\ (y = f (x) \) en el punto \ (x_0 \) y denotar \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

El símbolo y "se usa a menudo para denotar la derivada. Tenga en cuenta que y" = f (x) es una función nueva, pero naturalmente relacionada con la función y = f (x), definida en todos los puntos x en los que existe el límite anterior. ... Esta función se llama así: derivada de la función y = f (x).

El significado geométrico de la derivada es como sigue. Si la gráfica de la función y = f (x) en un punto con abscisas x = a se puede dibujar tangente, no paralelo al eje y, entonces f (a) expresa la pendiente de la tangente:
\ (k = f "(a) \)

Dado que \ (k = tg (a) \), la igualdad \ (f "(a) = tg (a) \) es verdadera.

Ahora interpretemos la definición de la derivada desde el punto de vista de las igualdades aproximadas. Deje que la función \ (y = f (x) \) tenga una derivada en un punto específico \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Esto significa que cerca del punto x se cumple la igualdad aproximada \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ approx f "(x) \), es decir, \ (\ Delta y \ approx f" (x) \ cdot \ Delta x \). El significado significativo de la igualdad aproximada obtenida es el siguiente: el incremento de la función es "casi proporcional" al incremento del argumento, y el coeficiente de proporcionalidad es el valor de la derivada en un punto x dado. Por ejemplo, la función \ (y = x ^ 2 \) satisface la igualdad aproximada \ (\ Delta y \ approx 2x \ cdot \ Delta x \). Si analizamos cuidadosamente la definición de la derivada, encontraremos que contiene un algoritmo para encontrarla.

Formulémoslo.

¿Cómo encontrar la derivada de la función y = f (x)?

1. Fija el valor \ (x \), encuentra \ (f (x) \)
2. Dale al argumento \ (x \) un incremento \ (\ Delta x \), ve a un nuevo punto \ (x + \ Delta x \), encuentra \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Encuentre el incremento de la función: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Inventa la relación \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Calcula $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Este límite es la derivada de la función en el punto x.

Si la función y = f (x) tiene una derivada en el punto x, entonces se llama derivable en el punto x. El procedimiento para encontrar la derivada de una función y = f (x) se llama diferenciación función y = f (x).

Analicemos la siguiente pregunta: ¿cómo se relacionan entre sí la continuidad y la diferenciabilidad de una función en un punto?

Sea la función y = f (x) derivable en el punto x. Entonces se puede trazar una tangente a la gráfica de la función en el punto M (x; f (x)) y, recuerde, la pendiente de la tangente es igual af "(x). Tal gráfica no puede" romperse " en el punto M, es decir, la función debe ser continua en el punto x.

Fue un razonamiento de "yema del dedo". Demos un razonamiento más riguroso. Si la función y = f (x) es diferenciable en el punto x, entonces se cumple la igualdad aproximada \ (\ Delta y \ approx f "(x) \ cdot \ Delta x \). Si en esta igualdad \ (\ Delta x \) tiende a cero, entonces \ (\ Delta y \) tenderá a cero, y esta es la condición para la continuidad de la función en el punto.

Entonces, si la función es derivable en el punto x, entonces también es continua en este punto.

Lo contrario no es cierto. Por ejemplo: función y = | x | es continua en todas partes, en particular en el punto х = 0, pero la tangente a la gráfica de la función en el "punto de unión" (0; 0) no existe. Si en algún momento no se puede trazar la tangente a la gráfica de la función, entonces no hay derivada en este punto.

Un ejemplo más. La función \ (y = \ sqrt (x) \) es continua en toda la recta numérica, incluso en el punto x = 0. Y la tangente a la gráfica de la función existe en cualquier punto, incluso en el punto x = 0 . Pero en este punto la línea tangente coincide con el eje y, es decir, es perpendicular al eje de abscisas, su ecuación tiene la forma x = 0. No hay pendiente para tal línea recta, por lo que no existe y \ (f "(0) \)

Entonces, nos familiarizamos con una nueva propiedad de una función: la diferenciabilidad. ¿Y cómo, a partir de la gráfica de la función, podemos concluir sobre su diferenciabilidad?

En realidad, la respuesta se recibió arriba. Si en algún punto de la gráfica de la función es posible trazar una tangente que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces en este punto la función es diferenciable. Si en algún punto la tangente a la gráfica de la función no existe o es perpendicular al eje de abscisas, entonces en este punto la función no es diferenciable.

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación... Al realizar esta operación, a menudo hay que trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como con "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. Con base en la definición de la derivada, es posible derivar reglas de diferenciación que faciliten este trabajo. Si C es un número constante y f = f (x), g = g (x) son algunas funciones diferenciables, entonces las siguientes son verdaderas reglas de diferenciación:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ (Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C ) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Derivada de una función compleja:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Tabla derivada de algunas funciones

$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ left (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x)" = \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ PS

Derivada de una función de una variable.

Introducción.

Estos desarrollos metodológicos están destinados a estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial y Civil. Se compilan en relación con el programa del curso de matemáticas en la sección "Cálculo diferencial de funciones de una variable".

Los desarrollos representan una guía metodológica unificada, que incluye: breve información teórica; Tareas y ejercicios "típicos" con soluciones detalladas y explicaciones para estas soluciones; opciones de prueba.

Hay ejercicios adicionales al final de cada párrafo. Tal estructura de desarrollos los hace adecuados para el dominio independiente de la sección con la mínima ayuda del profesor.

§1. Definición de la derivada.

Significado mecánico y geométrico

derivado.

El concepto de derivada es uno de los conceptos más importantes del cálculo, que se remonta al siglo XVII. La formación del concepto de derivada se asocia históricamente con dos problemas: el problema de la velocidad del movimiento variable y el problema de la tangente a una curva.

Estos problemas, a pesar de su contenido diferente, conducen a la misma operación matemática, que debe realizarse sobre una función, operación que ha recibido un nombre especial en matemáticas. Se llama operación de diferenciación de funciones. El resultado de la operación de diferenciación se llama derivada.

Entonces, la derivada de la función y = f (x) en el punto x0 es el límite (si existe) de la razón del incremento de la función al incremento del argumento
a
.

La derivada generalmente se denota de la siguiente manera:
.

Así, por definición

Los símbolos también se utilizan para denotar una derivada.
.

El significado mecánico de la derivada.

Si s = s (t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto material, entonces
es la velocidad de este punto en el tiempo t.

El significado geométrico de la derivada.

Si la función y = f (x) tiene una derivada en el punto , luego la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto
es igual a
.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de la función
en el punto =2:

1) Démosle un punto = 2 incrementos
... Darse cuenta de.

2) Encuentre el incremento de la función en el punto =2:

3) Compongamos la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:

Encontremos el límite de la razón en
:

.

Por lo tanto,
.

§ 2. Derivadas de algunos

funciones más simples.

El estudiante debe aprender a calcular las derivadas de funciones específicas: y = x, y = y en general y = .

Encontremos la derivada de la función y = x.

aquellos. (x) ′ = 1.

Encuentra la derivada de la función

Derivado

Permitir
luego

Es fácil ver el patrón en las expresiones para las derivadas de la función de potencia.
para n = 1,2,3.

Por eso,

. (1)

Esta fórmula es válida para cualquier n real.

En particular, usando la fórmula (1), tenemos:

;

.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de la función

.

.

Esta función es un caso especial de una función de la forma

a
.

Usando la fórmula (1), tenemos

.

Derivadas de las funciones y = sen x y y = cos x.

Sea y = senx.

Dividir por ∆x, obtenemos

Pasando al límite como ∆x → 0, tenemos

Sea y = cosx.

Pasando al límite como ∆x → 0, obtenemos

;
. (2)

§3. Reglas básicas de diferenciación.

Consideremos las reglas de diferenciación.

Teorema1 ... Si las funciones u = u (x) y v = v (x) son diferenciables en un punto x dado, entonces su suma también es diferenciable en este punto, y la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas de la términos: (u + v) "= u" + v ". (3)

Prueba: Considere la función y = f (x) = u (x) + v (x).

El incremento ∆x del argumento x corresponde a los incrementos ∆u = u (x + ∆x) -u (x), ∆v = v (x + ∆x) -v (x) de las funciones u y v. Entonces la función y se incrementará

∆y = f (x + ∆x) -f (x) =

= - = ∆u + ∆v.

Por eso,

Entonces (u + v) "= u" + v ".

Teorema2. Si las funciones u = u (x) y v = v (x) son diferenciables en un punto x dado, entonces su producto es diferenciable en el mismo punto. Además, la derivada del producto se encuentra mediante la siguiente fórmula: (uv ) "= u" v + uv ". (4)

Demostración: Sea y = uv, donde u y v son algunas funciones diferenciables de x. Dale a x un incremento de ∆x; luego u obtiene un incremento de ∆u, v obtiene un incremento de ∆v e y obtiene un incremento de ∆y.

Tenemos y + ∆y = (u + ∆u) (v + ∆v), o

y + ∆y = uv + u∆v + v∆u + ∆u∆v.

Por lo tanto, ∆y = u∆v + v∆u + ∆u∆v.

De aquí

Pasando al límite como ∆x → 0 y teniendo en cuenta que uyv no dependen de ∆x, tenemos

Teorema 3... La derivada del cociente de dos funciones es igual a la fracción, cuyo denominador es igual al cuadrado del divisor, y el numerador es la diferencia entre el producto de la derivada del divisor por el divisor y el producto de la dividendo por la derivada del divisor, es decir

Si
luego
(5)

Teorema 4. La derivada de la constante es cero, es decir si y = C, donde C = constante, entonces y "= 0.

Teorema 5. El factor constante se puede mover fuera del signo de la derivada, es decir si y = Cu (x), donde C = constante, entonces y "= Cu" (x).

Ejemplo 1.

Encuentra la derivada de la función

.

Esta función tiene la forma
, donde u = x, v = cosx. Aplicando la regla de diferenciación (4), encontramos

.

Ejemplo 2.

Encuentra la derivada de la función

.

Apliquemos la fórmula (5).

Aquí
;
.

Tareas.

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

La operación de encontrar una derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples) definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. apareció. Los primeros en el campo de la búsqueda de derivados fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite mencionado anteriormente de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, pero solo necesita usar el tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo de trazo desmontar funciones simples y determinar que acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están vinculadas. Además, las derivadas de funciones elementales se encuentran en la tabla de derivadas, y las fórmulas para derivadas del producto, suma y cociente se encuentran en las reglas de diferenciación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función

Solución. De las reglas de diferenciación, encontramos que la derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas encontramos que la derivada de la "x" es igual a uno, y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función

Solución. Diferenciamos como la derivada de la suma, en la que el segundo término con un factor constante, se puede sacar del signo de la derivada:

Si todavía hay preguntas sobre de dónde viene lo que viene, por regla general, se vuelven más claras después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla derivada de funciones simples

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200 ...) que esté en la expresión de la función. Siempre cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere con mucha frecuencia.
2. Derivada de la variable independiente. La mayoría de las veces "x". Siempre igual a uno. También es importante recordar esto durante mucho tiempo.
3. Grado derivado. Al resolver problemas, necesita transformar raíces no cuadradas en una potencia.
4. Derivada de una variable a la potencia de -1
5. Derivada de la raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada de la tangente
9. Derivada de la cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arcocoseno
12. Derivada del arcangente
13. Derivada del arco cotangente
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de la función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de la función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de la suma o diferencia
2. Derivado del trabajo
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1.Si funciones

diferenciables en algún punto, entonces en el mismo punto las funciones

es más

aquellos. la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.

Regla 2.Si funciones

diferenciable en algún punto, entonces en el mismo punto su producto también es diferenciable

es más

aquellos. la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra.

Corolario 1. El factor constante se puede mover fuera del signo de la derivada.:

Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada uno de los factores por todos los demás.

Por ejemplo, por tres factores:

Regla 3.Si funciones

diferenciable en algún momento y , entonces en este punto es diferenciable y su cocienteu / v, y

aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a la fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el numerador anterior.

Dónde que buscar en otras páginas

Al encontrar la derivada del producto y el cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo que hay más ejemplos sobre estas derivadas en el artículo."Derivado de una obra y una función particular".

Comentario.¡No confunda una constante (es decir, un número) como suma y como factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se saca del signo de las derivadas. Este es un error típico que ocurre en la etapa inicial del estudio de derivadas, pero después de resolver varios ejemplos de uno o dos componentes, el estudiante promedio ya no comete este error.

Y si, a la hora de diferenciar una obra o un particular, tienes un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por lo tanto, el término completo será igual a cero (este caso se analiza en el Ejemplo 10).

Otro error común es la solución mecánica de una derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja se dedica un artículo aparte. Pero primero, aprenderemos a encontrar las derivadas de funciones simples.

En el camino, no puede prescindir de las transformaciones de expresión. Para hacer esto, es posible que deba abrir los tutoriales en nuevas ventanas Acciones con poderes y raíces y Acciones de fracciones .

Si está buscando soluciones para derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve como , luego siga la lección Derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces.

Si tienes una tarea como , luego su lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función

Solución. Determinamos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa el producto y sus factores son sumas, en el segundo de los cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de la diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla para diferenciar la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma, el segundo término con un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "x" para nosotros se convierte en uno y menos 5 en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de las derivadas:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de la función completa requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para diferenciar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada de la denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el Ejemplo 2. No olvide que el producto que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual se toma con un signo menos:

Si está buscando soluciones a problemas en los que necesita encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, entonces bienvenido a clase "Derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesita aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se ve como , luego tu lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función

Solución. En esta función, vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada nos familiarizamos en la tabla de derivadas. Según la regla de diferenciación del producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función

Solución. En esta función, vemos el cociente, cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Según la regla de diferenciación del cociente, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor de la tabla de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para deshacerse de la fracción en el numerador, multiplique el numerador y el denominador por.