Galios funkcijos įrodymo išvestinė. Natūralaus logaritmo išvestinė ir logaritmas į bazę a

Pradinis lygis

Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019)

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, kurį mes naudojame kaip jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Juk toliau skirtingos sritys keliais, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba krisime skirtingi kiekiai metrų jūros lygio atžvilgiu (išilgai ordinačių ašies).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Teisingai, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės!

Tai, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lygintume kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.

Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis nei pradžios taškas, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai netiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra daugiau!

IN tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Jūs tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar didesnį skaičių. Ir dar begalybė be to kas bus. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo maža nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, gausite gana įprastas numeris, Pavyzdžiui,. Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir nurodoma, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies per atstumą funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Tačiau tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščio skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį pakeičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl tarp neigiamų ir teigiamas vertes būtinai turi būti. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva:. Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip dėl funkcijos padidėjimo? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento prieaugiu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kurioje argumentas yra tam tikru laipsniu (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinė funkcija (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname:.

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti galios funkcija su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

(dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

. Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip tai? Kur yra laipsnis?“, prisiminkite temą „“!
Taip, taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninė dalis: .
Taigi mūsų kvadratinė šaknis- tai tik laipsnis su rodikliu:
.
Išvestinės ieškome naudodami neseniai išmoktą formulę:
Jei šiuo metu vėl pasidaro neaišku, pakartokite temą ""!!! (apie laipsnį su neigiamu rodikliu)
. Dabar eksponentas:
O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
;
.
Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
.
. Ankstesnių atvejų derinys: .

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija yra „tikslas“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažiau, tuo artimesnę vertę santykis su

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi gauname kita taisyklė:sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

Raskite funkcijos išvestinę taške;
Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

Pirmiausia suraskime išvestinę bendras vaizdas, tada pakeiskite jo reikšmę:
;
.
Čia mes turime kažką panašaus į galios funkciją. Pabandykime ją atvesti
normalus vaizdas:
.
Puiku, dabar galite naudoti formulę:
.
.
. Eeeeeee.....Kas tai yra????

Gerai, tu teisus, mes dar nežinome, kaip rasti tokių išvestinių. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios bet kurios reikšmės išvestinė yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas – konstanta – yra begalinė dešimtainė trupmena, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.

Kam jis lygus? Žinoma.

Darinys iš natūralusis logaritmas taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijos išvestinę.
Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikos diferencialas yra toks pat funkcijos prieaugis ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė taip pat tinka skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

taške;
taške;
taške;
taške.

Sprendimai:

(išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes š tiesinė funkcija, prisimeni?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: įeinam nauja funkcija ir raskite jo prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijų ir išvestines;
Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Ar pavyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to parašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas atsitiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu, .

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie originalus pavyzdys atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo nukirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos išgauname ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (dedame šokoladą į įvyniojimas ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo galo.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo atitinkama funkcija bus „išoriškesnė“. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Pirmo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Išvesdami pačią pirmąją lentelės formulę, vadovausimės išvestinės funkcijos apibrėžimu taške. Paimkime kur x– bet koks tikrasis skaičius, ty x– bet koks skaičius iš funkcijos apibrėžimo srities. Užrašykime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą:

Reikėtų pažymėti, kad pagal ribinį ženklą gaunama išraiška, kuri nėra nulio neapibrėžtis, padalyta iš nulio, nes skaitiklyje yra ne be galo maža reikšmė, o tiksliai nulis. Kitaip tariant, pastovios funkcijos prieaugis visada yra lygus nuliui.

Taigi, pastovios funkcijos išvestinėyra lygus nuliui visoje apibrėžimo srityje.

Galios funkcijos išvestinė.

Galios funkcijos išvestinės formulė turi formą , kur eksponentas p– bet koks tikrasis skaičius.

Pirmiausia įrodykime natūraliojo eksponento formulę, tai yra už p = 1, 2, 3, …

Naudosime išvestinės apibrėžimą. Užrašykime galios funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą:

Norėdami supaprastinti išraišką skaitiklyje, pereiname prie Niutono dvinario formulės:

Vadinasi,

Tai įrodo natūraliojo eksponento laipsnio funkcijos išvestinės formulę.

Eksponentinės funkcijos išvestinė.

Pateikiame išvestinės formulės išvedimą pagal apibrėžimą:

Atėjome į netikrumą. Norėdami jį išplėsti, pristatome naują kintamąjį ir . Tada . Paskutiniame perėjime naudojome perėjimo prie naujos logaritminės bazės formulę.

Pakeiskime pradinę ribą:

Jei prisiminsime antrąją reikšmingą ribą, gauname eksponentinės funkcijos išvestinės formulę:

Logaritminės funkcijos išvestinė.

Įrodykime logaritminės funkcijos išvestinės formulę visiems x iš apibrėžimo srities ir visų galiojančių bazės reikšmių a logaritmas Pagal išvestinės priemonės apibrėžimą turime:

Kaip pastebėjote, įrodinėjimo metu transformacijos buvo atliekamos naudojant logaritmo savybes. Lygybė yra tiesa dėl antrosios nepaprastos ribos.

Trigonometrinių funkcijų dariniai.

Norėdami išvesti trigonometrinių funkcijų išvestinių formules, turėsime prisiminti kai kurias trigonometrijos formules, taip pat pirmąją reikšmingą ribą.

Pagal mūsų turimos sinusinės funkcijos išvestinės apibrėžimą .

Naudokime sinusų skirtumo formulę:

Belieka pereiti prie pirmosios nepaprastos ribos:

Taigi funkcijos išvestinė nuodėmė x Yra cos x.

Lygiai taip pat įrodoma kosinuso išvestinės formulė.

Todėl funkcijos išvestinė cos x Yra – nuodėmė x.

Tangento ir kotangento išvestinių lentelės formules išvesime naudodami įrodytas diferenciacijos taisykles (trupmenos išvestinę).

Hiperbolinių funkcijų dariniai.

Diferencijavimo taisyklės ir eksponentinės funkcijos išvestinės formulė iš išvestinių lentelės leidžia išvesti hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formules.

Atvirkštinės funkcijos išvestinė.

Norėdami išvengti painiavos pateikimo metu, apatiniame indekse pažymėkime funkcijos argumentą, pagal kurį atliekamas diferencijavimas, tai yra, tai yra funkcijos išvestinė f(x) Autorius x.

Dabar suformuluokime atvirkštinės funkcijos išvestinės radimo taisyklė.

Tegul funkcijos y = f(x) Ir x = g(y) tarpusavyje atvirkštiniai, apibrėžti intervalais ir atitinkamai. Jei taške yra baigtinė nulinė funkcijos išvestinė f(x), tada taške yra atvirkštinės funkcijos baigtinė išvestinė g(y), ir . Kitame įraše .

Šią taisyklę galima performuluoti bet kuriai x iš intervalo , tada gauname .

Patikrinkime šių formulių pagrįstumą.

Raskime atvirkštinę natūraliojo logaritmo funkciją (Čia y yra funkcija ir x- argumentas). Išsprendę šią lygtį x, gauname (čia x yra funkcija ir y– jos argumentas). tai yra ir tarpusavyje atvirkštines funkcijas.

Iš išvestinių lentelės matome, kad Ir .

Įsitikinkite, kad formulės, skirtos rasti atvirkštinės funkcijos išvestines, duoda tuos pačius rezultatus:

Laipsninės funkcijos (x iki a laipsnio) išvestinės formulės išvedimas. Nagrinėjamos išvestinės iš x šaknų. Aukštesnės eilės galios funkcijos išvestinės formulė. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai.

x išvestinė iš laipsnio a lygi iš karto x iš laipsnio minus vienas:
(1) .

x n-osios šaknies išvestinė iki m-osios laipsnio yra:
(2) .

Laipsninės funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Atvejis x > 0

Apsvarstykite kintamojo x laipsnio funkciją su eksponentu a:
(3) .
Čia a yra savavališkas realusis skaičius. Pirmiausia panagrinėkime atvejį.

Norėdami rasti funkcijos (3) išvestinę, naudojame laipsnio funkcijos savybes ir paverčiame ją tokia forma:
.

Dabar randame išvestį naudodami:
;
.
čia .

Formulė (1) buvo įrodyta.

n laipsnio šaknies x išvestinės iki m laipsnio formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite funkciją, kuri yra šios formos šaknis:
(4) .

Norėdami rasti išvestinę, transformuojame šaknį į galios funkciją:
.
Lyginant su (3) formule matome, kad
.
Tada
.

Naudodami (1) formulę randame išvestinę:
(1) ;
;
(2) .

Praktiškai nereikia įsiminti formulės (2). Daug patogiau iš pradžių šaknis transformuoti į laipsniškas funkcijas, o tada pagal (1) formulę rasti jų išvestinius (žr. pavyzdžius puslapio pabaigoje).

Atvejis x = 0

Jei , tai galios funkcija yra apibrėžta kintamojo x = reikšmei 0 . 0 Raskime funkcijos (3) išvestinę ties x =
.

. 0 :
.
Norėdami tai padaryti, naudojame darinio apibrėžimą:

Pakeiskime x =
.
Šiuo atveju išvestine turime omenyje dešinės pusės ribą, kuriai .
Taigi mes radome:
Taigi mes radome:
Iš to aišku, kad , .
(1) .
adresu , . 0 .

Šis rezultatas taip pat gaunamas iš (1) formulės:< 0

Todėl formulė (1) galioja ir x =
(3) .
Atvejis x Dar kartą apsvarstykite funkciją (3): Tam tikroms konstantos a reikšmėms ji taip pat apibrėžiama neigiamos reikšmės kintamasis x.
,
Būtent, tegul būna racionalus skaičius.

. Tada ją galima pavaizduoti kaip neredukuojamą trupmeną: 3 kur m ir n yra sveikieji skaičiai be 1 bendras daliklis
.
Jei n yra nelyginis, tada galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms.

Pavyzdžiui, kai n =
.
ir m =
.
turime x kubinę šaknį:

.
Jis taip pat apibrėžiamas neigiamoms kintamojo x reikšmėms.
.
Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite x tokia forma:
.
Tada
.
Tada,
(1) .

Išvestinę randame pastatydami konstantą už išvestinės ženklo ribų ir taikydami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:

čia . Bet
(3) .
Nuo tada
.

Tai yra, formulė (1) taip pat galioja:
.
Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
;

.

Dabar suraskime galios funkcijos aukštesnės eilės išvestines Mes jau radome pirmos eilės išvestinį: Paėmę konstantą a už išvestinės ženklo ribų, randame antros eilės išvestinę:
.

Panašiai randame trečios ir ketvirtos eilės išvestinius: Iš to aišku, kad savavališkos n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
.
Atkreipkite dėmesį, kad
,
jei a yra

natūralusis skaičius

, tada n-oji išvestinė yra pastovi:

Tada visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui:
.

adresu .

Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai
;
.
Pavyzdys
.

Raskite funkcijos išvestinę:
;
.
Sprendimas
.

Paverskime šaknis į galias: Tada pradinė funkcija įgauna tokią formą: Galių išvestinių radimas: Konstantos išvestinė lygi nuliui::

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + (2Konstantos išvestinė lygi nuliui: prie argumento prieaugio Δ x Konstantos išvestinė lygi nuliui: Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę Konstantos išvestinė lygi nuliui:. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestiniai duomenys jau seniai buvo skaičiuojami ir įrašyti į lentelę. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų išvestinėmis.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

Vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: n	n · Konstantos išvestinė lygi nuliui: n − 1
Sinusas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:	cos Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Kosinusas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = cos Konstantos išvestinė lygi nuliui:	− nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:(minusas sinusas)
Tangentas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = tg Konstantos išvestinė lygi nuliui:	1/cos 2 Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Kotangentas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = ctg Konstantos išvestinė lygi nuliui:	– 1 / nuodėmė 2 Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Natūralus logaritmas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = žurnalas Konstantos išvestinė lygi nuliui:	1/Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Savavališkas logaritmas	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = žurnalas a Konstantos išvestinė lygi nuliui:	1/(Konstantos išvestinė lygi nuliui: ln a)
Eksponentinė funkcija	y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = x Konstantos išvestinė lygi nuliui:	x Konstantos išvestinė lygi nuliui:(niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · y)’ = C · y ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3)' = 2 · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3)' = 2 3 Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 = 6Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir skirtingos tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) Ir g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

(y + g)’ = y ’ + g ’
(y − g)’ = y ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( y + g + h)’ = y ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas y − g galima perrašyti į sumą y+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + sin x; g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 4 + 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 − 3.

Funkcija y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2)' + (nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = 2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 4 + 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 − 3)’ = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 4 + 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + (−3))’ = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 4)’ + (2Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2)’ + (−3)’ = 4Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3 + 4Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 0 = 4Konstantos išvestinė lygi nuliui: · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 1).

Atsakymas:
y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = 2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ cos x;
g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = 4Konstantos išvestinė lygi nuliui: · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(y · g) ’ = y ’ · g + y · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3 cos x; g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: .

Funkcija y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3 cos Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3)“ cos Konstantos išvestinė lygi nuliui: + Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3 (kai Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = 3Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 cos Konstantos išvestinė lygi nuliui: + Konstantos išvestinė lygi nuliui: 3 (-nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 (3 cos Konstantos išvestinė lygi nuliui: − Konstantos išvestinė lygi nuliui: nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:)

Funkcija g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) pirmasis veiksnys yra šiek tiek sudėtingesnis, bet bendra schema tai nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Turime:

g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = ((Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7)“ · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: + (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7) ( x Konstantos išvestinė lygi nuliui:)’ = (2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 7) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: + (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: = x Konstantos išvestinė lygi nuliui:· (2 Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 7 + Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 7Konstantos išvestinė lygi nuliui: −7) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 9Konstantos išvestinė lygi nuliui:) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: = Konstantos išvestinė lygi nuliui:(Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 9) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: .

Atsakymas:
y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 (3 cos Konstantos išvestinė lygi nuliui: − Konstantos išvestinė lygi nuliui: nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui:);
g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = Konstantos išvestinė lygi nuliui:(Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 9) · x Konstantos išvestinė lygi nuliui: .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) Ir g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:), ir g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:)/g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia dalinio išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, užtenka paimti funkciją y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = nuodėmė Konstantos išvestinė lygi nuliui: ir pakeiskite kintamąjį Konstantos išvestinė lygi nuliui:, tarkim, įjungta Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:. Tai pavyks y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = nuodėmė ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau naudojant aukščiau aptartas taisykles jo rasti nepavyks.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = y ’(t) · t', jei Konstantos išvestinė lygi nuliui: pakeičiamas t(Konstantos išvestinė lygi nuliui:).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su išsamus aprašymas kiekviename žingsnyje.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = x 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 3 ; g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = nuodėmė ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) vietoj 2 išraiškos Konstantos išvestinė lygi nuliui:+3 bus lengva Konstantos išvestinė lygi nuliui:, tada viskas pavyks elementari funkcija y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = x Konstantos išvestinė lygi nuliui:. Todėl pakeičiame: leiskite 2 Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 3 = t, y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = y(t) = x t. Sudėtinės funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = y ’(t) · t ’ = (x t)’ · t ’ = x t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 3. Gauname:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = x t · t ’ = x 2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 3 (2 Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 3)’ = x 2Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 3 2 = 2 x 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(Konstantos išvestinė lygi nuliui:). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui: = t. Turime:

g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:. Tada:

g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = cos ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:) · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:)' = cos ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:) · (2 Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 1/Konstantos išvestinė lygi nuliui:).

tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = 2 · x 2Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 3 ;
g ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (2Konstantos išvestinė lygi nuliui: + 1/Konstantos išvestinė lygi nuliui:) cos ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + ln Konstantos išvestinė lygi nuliui:).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, pirminis dydis nuo sumos lygi sumai potėpių. Ar taip aiškiau? Na, tai gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinis pavyzdys Grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju rodikliu:

(Konstantos išvestinė lygi nuliui: n)’ = n · Konstantos išvestinė lygi nuliui: n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra Konstantos išvestinė lygi nuliui: 0.5. O jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta dovanoti bandymai ir egzaminus.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

y(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = (Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui: − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui: − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = y ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7. Mes turime:

y ’(Konstantos išvestinė lygi nuliui:) = 0,5 · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui:– 7) –0,5 · ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui:− 7)' = 0,5 (2 Konstantos išvestinė lygi nuliui:+ 8) ( Konstantos išvestinė lygi nuliui: 2 + 8Konstantos išvestinė lygi nuliui: − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Natūralaus logaritmo išvestinės ir logaritmo iki a pagrindo formulių įrodymas ir išvedimas. Ln 2x, ln 3x ir ln nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės logaritmo išvestinės formulės įrodymas naudojant metodą matematinė indukcija.

Natūralaus logaritmo ir logaritmo iki a pagrindo išvestinių formulių išvedimas

Natūralaus x logaritmo išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritmo išvestinė į bazę a yra lygi vienetui, padalytam iš kintamojo x, padauginta iš natūraliojo a logaritmo:
(2) (log a x)′ =.

Įrodymas

Tegul būna teigiamas skaičius, nelygu vienam. Apsvarstykite funkciją, priklausančią nuo kintamojo x, kuris yra logaritmas su baze:
.
Ši funkcija apibrėžta adresu .
(3) .

Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu.
Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba: Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti šiuos faktus:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Logaritmo savybės. Mums reikės šių formulių:
(7) .
B)
Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:Štai keletas funkcijų, kurios turi ribą ir ši riba yra teigiama.
(8) .

IN)
.
Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:

.

Taikykime šiuos faktus iki savo ribų. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.

Norėdami tai padaryti, taikome savybes (4) ir (5).
.
Logaritmas iki pagrindo e paskambino natūralusis logaritmas. Jis žymimas taip:
.
Tada;
.

Taip gavome logaritmo išvestinės formulę (2).

Natūralaus logaritmo išvestinė

Dar kartą išrašome logaritmo išvestinės formulę a pagrindu:
.
Ši formulė turi paprasčiausią natūraliojo logaritmo formą, kuriai , .
(1) .

Tada
.

Dėl šio paprastumo natūralusis logaritmas labai plačiai naudojamas matematinėje analizėje ir kitose su diferencialiniu skaičiavimu susijusiose matematikos šakose. Logaritminės funkcijos su kitais pagrindais gali būti išreikštos natūraliu logaritmu, naudojant savybę (6):
.

Logaritmo išvestinę bazės atžvilgiu galima rasti iš (1) formulės, jei iš diferenciacijos ženklo išimsite konstantą:

Kiti logaritmo išvestinės įrodymo būdai
(9) .
Čia darome prielaidą, kad žinome eksponentinės išvestinės formulę:

Tada galime išvesti natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, atsižvelgiant į tai, kad logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcija. Įrodykime natūraliojo logaritmo išvestinės formulę,:
.
taikant atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę Mūsų atveju. Atvirkštinė funkcija
.
natūralaus logaritmo eksponentinis yra:
.
Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite x tokia forma:
.
Tada
.
Jo išvestinė nustatoma pagal (9) formulę. Kintamieji gali būti pažymėti bet kokia raide. (9) formulėje kintamąjį x pakeiskite y:

Formulė įrodyta. Dabar įrodome natūraliojo logaritmo išvestinės formulę naudodami sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklės
.
. Kadangi funkcijos ir yra atvirkštinės viena kitai, tada
(10) .
Išskirkime šią lygtį kintamojo x atžvilgiu:
.
x išvestinė lygi vienetui:
.
Taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę:
.
čia . Pakeiskime (10):
.