Aria unui trapez prin diagonale și înălțime. Cum să găsiți aria unui trapez

Pentru a te simți încrezător și pentru a rezolva cu succes problemele din lecțiile de geometrie, nu este suficient să înveți formulele. Ele trebuie înțelese mai întâi. Să-ți fie frică, și cu atât mai mult să urăști formulele, este neproductiv. Acest articol va analiza într-un limbaj accesibil diferite moduri de a găsi zona unui trapez. Pentru a înțelege mai bine regulile și teoremele corespunzătoare, vom acorda o oarecare atenție proprietăților sale. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cum funcționează regulile și în ce cazuri trebuie aplicate anumite formule.

Definirea unui trapez

Ce fel de cifră este aceasta în ansamblu? Un trapez este un poligon cu patru colțuri și două laturi paralele. Celelalte două laturi ale trapezului pot fi înclinate spre unghiuri diferite. Laturile sale paralele se numesc baze, iar pentru laturile neparalele se folosește denumirea de „laturi” sau „șolduri”. Astfel de cifre sunt destul de comune în viața de zi cu zi. Contururile trapezului pot fi văzute în siluetele de îmbrăcăminte, articole de interior, mobilier, vase și multe altele. Se întâmplă trapezul diferite tipuri: scalen, echilateral și dreptunghiular. Vom examina tipurile și proprietățile lor mai detaliat mai târziu în articol.

Proprietățile unui trapez

Să ne oprim pe scurt asupra proprietăților acestei figuri. Suma unghiurilor adiacente oricărei laturi este întotdeauna 180°. Trebuie remarcat faptul că toate unghiurile unui trapez se adună până la 360°. Trapezul are conceptul de linie mediană. Dacă conectați punctele medii ale laturilor cu un segment, aceasta va fi linia de mijloc. Este desemnat m. Linia de mijloc are proprietăți importante: este întotdeauna paralel cu bazele (ne amintim că bazele sunt, de asemenea, paralele între ele) și egal cu jumătatea lor:

Aceasta definitie trebuie invatata si inteleasa, pentru ca este cheia rezolvarii multor probleme!

Cu un trapez, puteți oricând să coborâți înălțimea până la bază. O altitudine este o perpendiculară, notată adesea prin simbolul h, care este trasată din orice punct al unei baze la o altă bază sau prelungirea acesteia. Linia mediană și înălțimea vă vor ajuta să găsiți zona trapezului. Astfel de probleme sunt cele mai frecvente la cursul de geometrie școlară și apar în mod regulat printre lucrările de test și examen.

Cele mai simple formule pentru aria unui trapez

Să ne uităm la cele două formule cele mai populare și simple folosite pentru a găsi aria unui trapez. Este suficient să înmulțiți înălțimea cu jumătate din suma bazelor pentru a găsi cu ușurință ceea ce căutați:

S = h*(a + b)/2.

În această formulă, a, b indică bazele trapezului, h - înălțimea. Pentru ușurința percepției, în acest articol, semnele înmulțirii sunt marcate cu un simbol (*) în formule, deși în cărțile oficiale de referință semnul înmulțirii este de obicei omis.

Să ne uităm la un exemplu.

Dat: un trapez cu două baze egale cu 10 și 14 cm, înălțimea este de 7 cm. Care este aria trapezului?

Să ne uităm la soluția acestei probleme. Folosind această formulă, trebuie mai întâi să găsiți jumătatea sumei bazelor: (10+14)/2 = 12. Deci, jumătatea sumei este egală cu 12 cm. Acum înmulțim jumătatea sumei cu înălțimea: 12*7 = 84. Ceea ce căutăm este găsit. Răspuns: Aria trapezului este de 84 de metri pătrați. cm.

A doua formulă binecunoscută spune: aria unui trapez este egală cu produsul liniei mediane și înălțimea trapezului. Adică rezultă de fapt din conceptul anterior al liniei de mijloc: S=m*h.

Utilizarea diagonalelor pentru calcule

Un alt mod de a găsi zona unui trapez nu este de fapt atât de complicat. Este conectat la diagonalele sale. Folosind această formulă, pentru a găsi aria, trebuie să înmulțiți semiprodusul diagonalelor sale (d 1 d 2) cu sinusul unghiului dintre ele:

S = ½ d 1 d 2 sin o.

Să luăm în considerare o problemă care arată aplicarea acestei metode. Dat: un trapez cu lungimea diagonalelor egală cu 8, respectiv 13 cm. Unghiul a dintre diagonale este de 30°. Găsiți aria trapezului.

Soluţie. Folosind formula de mai sus, este ușor să calculați ceea ce este necesar. După cum știți, păcatul 30° este 0,5. Prin urmare, S = 8*13*0,5=52. Raspuns: suprafata este de 52 de metri patrati. cm.

Găsirea ariei unui trapez isoscel

Un trapez poate fi isoscel (isoscel). Laturile sale sunt aceleași și unghiurile de la baze sunt egale, ceea ce este bine ilustrat de figură. Un trapez isoscel are aceleași proprietăți ca unul obișnuit, plus o serie de unele speciale. Un cerc poate fi circumscris în jurul unui trapez isoscel, iar în el poate fi înscris un cerc.

Ce metode există pentru a calcula suprafața unei astfel de figuri? Metoda de mai jos va necesita o mulțime de calcule. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți valorile sinusului (sin) și cosinusului (cos) ale unghiului de la baza trapezului. Pentru a le calcula, aveți nevoie fie de tabele Bradis, fie de un calculator de inginerie. Iată formula:

S= c*păcat o*(o - c*cos o),

Unde Cu- laterala coapsei, o- unghi la baza inferioară.

Un trapez echilateral are diagonale de lungime egală. Este adevărat și invers: dacă un trapez are diagonale egale, atunci este isoscel. Prin urmare, următoarea formulă pentru a ajuta la găsirea aria unui trapez - jumătatea produsului dintre pătratul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele: S = ½ d 2 sin o.

Găsirea ariei unui trapez dreptunghiular

Cunoscut caz special trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, în care o parte (coapsa sa) se învecinează cu bazele în unghi drept. Are proprietățile unui trapez obișnuit. În plus, ea are foarte caracteristică interesantă. Diferența dintre pătratele diagonalelor unui astfel de trapez este egală cu diferența dintre pătratele bazelor sale. Pentru aceasta sunt folosite toate metodele descrise anterior pentru calcularea suprafeței.

Folosim ingeniozitatea

Există un truc care vă poate ajuta dacă uitați anumite formule. Să aruncăm o privire mai atentă la ce este un trapez. Dacă îl împărțim mental în părți, vom obține forme geometrice familiare și ușor de înțeles: un pătrat sau dreptunghi și un triunghi (unul sau două). Dacă înălțimea și laturile trapezului sunt cunoscute, puteți utiliza formulele pentru aria unui triunghi și a unui dreptunghi și apoi adăugați toate valorile rezultate.

Să ilustrăm acest lucru cu următorul exemplu. Dat un trapez dreptunghiular. Unghiul C = 45°, unghiurile A, D sunt 90°. Baza superioară a trapezului este de 20 cm, înălțimea este de 16 cm. Trebuie să calculați aria figurii.

Această figură constă în mod evident dintr-un dreptunghi (dacă două unghiuri sunt egale cu 90°) și un triunghi. Deoarece trapezul este dreptunghiular, prin urmare, înălțimea lui este egală cu latura sa, adică 16 cm Avem un dreptunghi cu laturile de 20 și respectiv 16 cm. Acum considerăm un triunghi al cărui unghi este de 45°. Știm că o latură a acestuia este de 16 cm Deoarece această latură este și înălțimea trapezului (și știm că înălțimea coboară la bază în unghi drept), prin urmare, al doilea unghi al triunghiului este de 90°. Prin urmare, unghiul rămas al triunghiului este de 45°. Ca o consecință a acestui lucru obținem un dreptunghiular triunghi isoscel, ale căror două laturi sunt aceleași. Aceasta înseamnă că cealaltă parte a triunghiului este egală cu înălțimea, adică 16 cm. Tot ce rămâne este să calculați aria triunghiului și a dreptunghiului și să adăugați valorile rezultate.

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale: S = (16*16)/2 = 128. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lățimea și lungimea acestuia: S = 20*16 = 320. Am găsit necesarul: aria trapezului S = 128 + 320 = 448 sq. vezi. Vă puteți verifica cu ușurință folosind formulele de mai sus, răspunsul va fi identic.

Folosim formula Pick

În cele din urmă, vă prezentăm o altă formulă originală care ajută la găsirea ariei unui trapez. Se numește formula Pick. Este convenabil de utilizat atunci când trapezul este desenat pe hârtie în carouri. Probleme similare se găsesc adesea în materialele GIA. Arata cam asa:

S = M/2 + N - 1,

în această formulă M este numărul de noduri, adică intersecțiile liniilor figurii cu liniile celulei la limitele trapezului (puncte portocalii în figură), N este numărul de noduri din interiorul figurii (puncte albastre). Cel mai convenabil este să îl utilizați atunci când găsiți zona unui poligon neregulat. Cu toate acestea, cu cât arsenalul de tehnici folosite este mai mare, cu atât mai mult mai putine erori si rezultate mai bune.

Desigur, informațiile furnizate nu epuizează tipurile și proprietățile unui trapez, precum și metodele de găsire a zonei acestuia. Acest articol oferă o prezentare generală a caracteristicilor sale cele mai importante. Când rezolvați probleme geometrice, este important să acționați treptat, să începeți cu formule și probleme simple, să vă consolidați în mod constant înțelegerea și să treceți la un alt nivel de complexitate.

Adunate împreună, cele mai comune formule îi vor ajuta pe elevi să navigheze prin diferitele moduri de a calcula aria unui trapez și să se pregătească mai bine pentru teste și teste pe acest subiect.

Trapezul cu multe fețe... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz trebuie să știți cum să găsiți aria unui trapez. Desigur, cel mai simplu mod este să vă amintiți formulele de bază. Dar uneori este mai ușor să folosiți unul care este derivat luând în considerare toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.

Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale

Orice patrulater ale cărui două laturi sunt paralele poate fi numit trapez. ÎN caz general nu sunt egali si se numesc baze. Cel mai mare este cel de jos, iar celălalt este cel de sus.

Celelalte două părți se dovedesc a fi laterale. În trapezul liber au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci cifra devine isoscelă.

Dacă brusc unghiul dintre orice latură și bază se dovedește a fi egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.

Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum să găsiți zona unui trapez.

Dintre elementele figurii care pot fi indispensabile în rezolvarea problemelor, putem evidenția următoarele:

înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
linia de mijloc, care are la capete punctele medii ale laturilor laterale.

Ce formulă poate fi folosită pentru a calcula suprafața dacă se cunosc baza și înălțimea?

Această expresie este dată ca una de bază deoarece de cele mai multe ori se pot recunoaște aceste cantități chiar și atunci când nu sunt date explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, va trebui să adăugați ambele baze și să le împărțiți la două. Apoi înmulțiți valoarea rezultată cu valoarea înălțimii.

Dacă notăm bazele cu literele a 1 și a 2, înălțimea cu n, atunci formula pentru zonă va arăta astfel:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formula pentru calcularea suprafeței dacă sunt date înălțimea și linia centrală

Dacă te uiți cu atenție la formula anterioară, este ușor de observat că conține clar valoarea liniei mediane. Și anume, suma bazelor împărțită la doi. Fie ca linia din mijloc să fie desemnată cu litera l, apoi formula pentru zonă devine:

S = l * n.

Abilitatea de a găsi o zonă folosind diagonale

Această metodă va ajuta dacă unghiul format de ei este cunoscut. Să presupunem că diagonalele sunt desemnate cu literele d 1 și d 2, iar unghiurile dintre ele sunt α și β. Apoi formula pentru a găsi aria unui trapez va fi scrisă după cum urmează:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Puteți înlocui cu ușurință α cu β în această expresie. Rezultatul nu se va schimba.

Cum să aflați zona dacă toate laturile figurii sunt cunoscute?

Există, de asemenea, situații în care se cunosc exact laturile acestei figuri. Această formulă este greoaie și greu de reținut. Dar este posibil. Fie ca laturile să aibă denumirea: a 1 și a 2, baza a 1 este mai mare decât a 2. Apoi formula zonei va lua următoarea formă:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez isoscel

Prima se datorează faptului că în el poate fi înscris un cerc. Și, cunoscând raza sa (se notează cu litera r), precum și unghiul de la bază - γ, puteți folosi următoarea formulă:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Dura formula generala, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, va fi simplificat semnificativ datorită faptului că laturile au aceeași semnificație:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez dreptunghiular

Este clar că oricare dintre cele de mai sus va fi potrivită pentru figură arbitrară. Dar uneori este util să știți despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența dintre pătratele lungimilor diagonalelor este egală cu diferența formată din pătratele bazelor.

Adesea formulele pentru un trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile unui dreptunghi și triunghi sunt amintite. Apoi puteți folosi o metodă simplă. Împărțiți trapezul în două forme, dacă este dreptunghiular, sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, nu rămâne decât să le însumăm.

Aceasta este o modalitate destul de simplă de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.

Ce se întâmplă dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor trapezului?

În acest caz, va trebui să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Se poate aplica de trei ori: pentru a afla ambele baze si o inaltime. Și apoi aplicați doar prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.

Pentru a ilustra această metodă, poate fi dat următorul exemplu. Vârfurile date cu coordonatele A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Trebuie să aflați zona figurii.

Înainte de a găsi aria trapezului, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de următoarea formulă:

lungimea segmentului = √((diferența primelor coordonate ale punctelor) 2 + (diferența coordonatelor secunde ale punctelor) 2 ).

Baza superioară este desemnată AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu √(((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Cea de jos este CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Acum trebuie să desenați înălțimea de sus la bază. Fie începutul său în punctul A. Sfârșitul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5; 1), să fie acesta punctul H. Lungimea segmentului AN va fi egală cu √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Tot ce rămâne este să înlocuiți valorile rezultate în formula pentru aria unui trapez:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema a fost rezolvată fără unități de măsură, deoarece scara grilei de coordonate nu a fost specificată. Poate fi fie un milimetru, fie un metru.

Exemple de probleme

Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapez arbitrar este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare. Este necesar să se calculeze aria trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să calculați răspunsul. Nu este greu de calculat, 3 * 2 = 6 (dm).

Acum trebuie să utilizați formula potrivită pentru zonă:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema este rezolvată.

Răspuns: Aria trapezului este de 4,5 dm2.

Nr. 2. Stare.În trapezul ABCD bazele sunt segmentele AD și BC. Punctul E este mijlocul laturii SD. Din aceasta se trasează o perpendiculară pe linia dreaptă AB, capătul acestui segment este desemnat cu litera H. Se știe că lungimile AB și EH sunt egale cu 5, respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria a trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să faci un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura pe care este trasă, trapezul va fi ușor alungit în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.

Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o linie dreaptă care va fi paralelă cu latura AB. Punctele de intersecție ale acestei drepte cu AD sunt P, iar cu continuarea lui BC sunt X. Figura rezultată VHRA este un paralelogram. În plus, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile care au fost obținute în timpul construcției suplimentare sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laturii și a două unghiuri adiacente acesteia, unul vertical, celălalt întins transversal.

Puteți găsi aria unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul laturii și înălțimea coborâtă pe acesta.

Astfel, aria trapezului este de 5 * 4 = 20 cm 2.

Răspuns: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Stare. Elementele unui trapez isoscel au următoarele valori: baza inferioară - 14 cm, baza superioară - 4 cm, unghi ascuțit- 45º. Trebuie să-i calculezi aria.

Soluţie. Lăsați baza mai mică să fie desemnată BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi VH. Deoarece unghiul este de 45º, triunghiul ABH va fi dreptunghiular și isoscel. Deci AN=VN. În plus, AN este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența de baze. Adică (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Se cunosc bazele, se calculează înălțimile. Puteți folosi prima formulă, care a fost discutată aici pentru un trapez arbitrar.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Răspuns: Suprafața necesară este de 45 cm 2.

Nr. 4. Stare. Există un trapez ABCD arbitrar. Punctele O și E sunt luate pe laturile sale laterale, astfel încât OE să fie paralel cu baza AD. Aria trapezului AOED este de cinci ori mai mare decât cea a OVSE. Calculați valoarea OE dacă sunt cunoscute lungimile bazelor.

Soluţie. Va trebui să desenați două drepte paralele AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE - punctul T; al doilea prin E și punctul de intersecție cu AD va fi M.

Fie necunoscutul OE=x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE este n 1, AOED mai mare este n 2.

Deoarece ariile acestor două trapeze sunt legate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale prin construcție. Prin urmare, putem scrie încă o egalitate:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).

În ultimele două intrări din partea stângă există valori egale, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5(x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a 1 - x).

Aici sunt necesare o serie de transformări. Mai întâi înmulțiți în cruce. Parantezele vor apărea pentru a indica diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule veți obține o scurtă ecuație.

În el trebuie să deschideți parantezele și să mutați toți termenii cu „x” necunoscut la partea stângă, și apoi luați rădăcina pătrată.

Răspuns: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

ȘI . Acum putem începe să luăm în considerare întrebarea cum să găsim aria unui trapez. Această sarcină apare foarte rar în viața de zi cu zi, dar uneori se dovedește a fi necesar, de exemplu, pentru a găsi zona unei camere în formă de trapez, care sunt din ce în ce mai utilizate în construcții. apartamente moderne, sau în proiecte de proiectare de renovare.

Trapezul este figură geometrică, format din patru segmente care se intersectează, dintre care două sunt paralele între ele și se numesc bazele unui trapez. Celelalte două segmente se numesc laturile trapezului. În plus, vom avea nevoie de o altă definiție mai târziu. Aceasta este linia de mijloc a trapezului, care este un segment care leagă punctele medii ale laturilor și înălțimea trapezului, care este egală cu distanța dintre baze.
Asemenea triunghiurilor, trapezele au tipuri speciale sub forma unui trapez isoscel (echilateral), în care lungimile laturilor sunt aceleași, și a unui trapez dreptunghiular, în care una dintre laturi formează un unghi drept cu bazele.

Trapezele au câteva proprietăți interesante:

Linia mediană a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.
Trapezele isoscele au laturile egale și unghiurile pe care le formează cu bazele.
Punctele medii ale diagonalelor unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt pe aceeași linie dreaptă.
Dacă suma laturilor unui trapez este egală cu suma bazelor, atunci poate fi înscris un cerc în el
Dacă suma unghiurilor formate de laturile unui trapez la oricare dintre bazele sale este 90, atunci lungimea segmentului care leagă punctele medii ale bazelor este egală cu jumătatea diferenței acestora.
Un trapez isoscel poate fi descris printr-un cerc. Și invers. Dacă un trapez se potrivește într-un cerc, atunci este isoscel.
Segmentul care trece prin punctele medii ale bazelor unui trapez isoscel va fi perpendicular pe bazele acestuia și reprezintă axa de simetrie.

Cum să găsiți aria unui trapez.

Aria trapezului va fi egală cu jumătate din suma bazelor sale înmulțită cu înălțimea sa. Sub formă de formulă, aceasta este scrisă ca o expresie:

unde S este aria trapezului, a, b este lungimea fiecărei baze ale trapezului, h este înălțimea trapezului.

Puteți înțelege și aminti această formulă după cum urmează. După cum rezultă din figura de mai jos, folosind linia centrală, un trapez poate fi transformat într-un dreptunghi, a cărui lungime va fi egală cu jumătate din suma bazelor.

De asemenea, puteți descompune orice trapez în figuri mai simple: un dreptunghi și unul sau două triunghiuri, iar dacă vă este mai ușor, atunci găsiți aria trapezului ca suma ariilor figurilor sale constitutive.

Există o altă formulă simplă pentru calcularea ariei sale. Potrivit acesteia, aria unui trapez este egală cu produsul liniei sale mediane cu înălțimea trapezului și este scrisă sub forma: S = m*h, unde S este aria, m este lungimea trapezului. linia mediană, h este înălțimea trapezului. Această formulă este mai potrivită pentru problemele de matematică decât pentru problemele de zi cu zi, deoarece în condiții reale nu vei cunoaște lungimea liniei centrale fără calcule preliminare. Și veți ști doar lungimile bazelor și laturilor.

În acest caz, aria trapezului poate fi găsită folosind formula:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

unde S este aria, a, b sunt bazele, c, d sunt laturile trapezului.

Există mai multe alte moduri de a găsi aria unui trapez. Dar, sunt la fel de incomod ca ultima formulă, ceea ce înseamnă că nu are rost să ne oprim asupra lor. Prin urmare, vă recomandăm să utilizați prima formulă din articol și vă dorim să obțineți întotdeauna rezultate exacte.

Trapez se numeste patrulater al carui doar doi laturile sunt paralele între ele.

Ele se numesc bazele figurii, cele rămase se numesc laturile. Paralelogramele sunt considerate cazuri speciale ale figurii. Există și un trapez curbat, care include graficul unei funcții. Formulele pentru aria unui trapez includ aproape toate elementele sale și cea mai buna solutie este selectat în funcție de valorile specificate.
Rolurile principale în trapez sunt atribuite înălțimii și liniei mediane. Linia de mijloc- Aceasta este o linie care leagă punctele medii ale laturilor. Înălţime Trapezul este desenat în unghi drept din colțul de sus până la bază.
Aria unui trapez prin înălțimea sa este egală cu produsul dintre jumătate din suma lungimilor bazelor înmulțit cu înălțimea:

Dacă linia medie este cunoscută în funcție de condiții, atunci această formulă este simplificată semnificativ, deoarece este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor:

Dacă, în funcție de condiții, sunt date lungimile tuturor laturilor, atunci putem lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez folosind aceste date:

Să presupunem că ni se oferă un trapez cu bazele a = 3 cm, b = 7 cm și laturile c = 5 cm, d = 4 cm Să aflăm aria figurii:

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel sau, așa cum este numit și un trapez isoscel, este considerat un caz separat.
Un caz special este găsirea ariei unui trapez isoscel (echilateral). Formula este derivată în diverse moduri– prin diagonale, prin unghiuri adiacente bazei și razei cercului înscris.
Dacă lungimea diagonalelor este specificată în funcție de condiții și unghiul dintre ele este cunoscut, puteți utiliza următoarea formulă:

Amintiți-vă că diagonalele unui trapez isoscel sunt egale între ele!

Adică, cunoscând una dintre bazele lor, latura și unghiul, puteți calcula cu ușurință aria.

Aria unui trapez curbat

Un caz special este trapez curbat. Este situat pe axa de coordonate și este limitat de graficul unei funcții pozitive continue.

Baza sa este situată pe axa X și este limitată la două puncte:
Integrale ajută la calcularea ariei trapez curbat.
Formula se scrie astfel:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez curbat. Formula necesită anumite cunoștințe pentru a lucra anumite integrale. Mai întâi, să ne uităm la valoarea integralei definite:

Aici F(a) este valoarea funcției antiderivate f(x) la punctul a, F(b) este valoarea aceleiași funcții f(x) la punctul b.

Acum să rezolvăm problema. Figura prezintă un trapez curbat mărginit de funcție. Funcţie
Trebuie să găsim aria figurii selectate, care este un trapez curbiliniu delimitat deasupra de grafic, în dreapta de linia dreaptă x =(-8), în stânga de linia dreaptă x =(-10 ) și axa OX de mai jos.
Vom calcula aria acestei figuri folosind formula:

Condițiile problemei ne dau o funcție. Folosind-o vom găsi valorile antiderivatei la fiecare dintre punctele noastre:

Acum
Răspuns: Aria unui trapez curbat dat este 4.

Nu este nimic complicat în calcularea acestei valori. Singurul lucru care este important este grija extremă în calcule.

Ce este un trapez isoscel? Aceasta este o figură geometrică ale cărei laturi opuse, neparalele, sunt egale. Sunt mai multe diverse formule pentru a găsi aria unui trapez cu conditii diferite, care sunt date în sarcini. Adică aria poate fi găsită dacă sunt date înălțimea, laturile, unghiurile, diagonalele etc. De asemenea, este imposibil să nu menționăm că pentru trapezele isoscele există câteva „excepții”, datorită cărora căutarea zonei și formula în sine sunt simplificate semnificativ. Mai jos sunt prezentate soluții detaliate pentru fiecare caz cu exemple.

Proprietăți necesare pentru găsirea ariei unui trapez isoscel

Am aflat deja că o figură geometrică care are laturi opuse, nu paralele, dar egale este un trapez și una isoscelă. Există cazuri speciale când un trapez este considerat isoscel.

Acestea sunt condițiile pentru egalitatea unghiurilor. Deci, un punct obligatoriu: unghiurile de la bază (faceți poza de mai jos) trebuie să fie egale. În cazul nostru, unghiul BAD = unghiul CDA și unghiul ABC = unghiul BCD
Doilea regula importanta– într-un astfel de trapez diagonalele trebuie să fie egale. Prin urmare, AC = BD.
Al treilea aspect: unghiurile opuse ale trapezului trebuie să adună până la 180 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul ABC + unghiul CDA = 180 de grade. Același lucru este valabil și pentru unghiurile BCD și BAD.
În al patrulea rând, dacă un trapez permite ca un cerc să fie descris în jurul lui, atunci este isoscel.

Cum să găsiți aria unui trapez isoscel - formule și descrierile acestora

S = (a+b)h/2 este formula cea mai comună pentru găsirea zonei, unde O – baza inferioară, b este baza superioară, iar h este înălțimea.

Dacă înălțimea este necunoscută, atunci o puteți căuta folosind o formulă similară: h = c*sin(x), unde c este fie AB, fie CD. sin(x) este sinusul unghiului la orice bază, adică unghiul DAB = unghiul CDA = x. În cele din urmă, formula ia următoarea formă: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
Înălțimea poate fi găsită și folosind această formulă:

Formula finală arată astfel:

Zona unui trapez isoscel poate fi găsită și prin intermediul linia mediană si inaltime. Formula este: S = mh.

Să luăm în considerare condiția când un cerc este înscris într-un trapez.

În cazul prezentat în imagine,

QN = D = H – diametrul cercului și în același timp înălțimea trapezului;

LO, ON, OQ = R – razele cercului;

DC = a – baza superioară;

AB = b – baza inferioară;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – unghiurile bazelor trapezului.

Un caz similar permite găsirea zonei folosind următoarele formule:

Acum să încercăm să găsim aria prin diagonale și unghiurile dintre ele.

În figură notăm AC, DB – diagonale – d. Unghiuri COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind diagonalele și unghiul dintre ele, ( S ) este: